يمكن أن يكون للعمودي في الفضاء:

1. خطان مستقيمان

3. طائرتان

دعونا ننظر في هذه الحالات الثلاث بدورها: كل التعاريف والبيانات الخاصة بالنظريات المتعلقة بها. ثم نناقش نظرية مهمة جدًا حول ثلاثة خطوط عمودية.

عمودية سطرين.

تعريف:

يمكنك القول: لقد فتحوا لي أمريكا أيضًا! لكن تذكر أن كل شيء في الفضاء يختلف تمامًا عن كل شيء على متن الطائرة.

على المستوى ، فقط هذه الخطوط (المتقاطعة) يمكن أن تكون عمودية:

لكن يمكن أن يحدث العمودي في مساحة سطرين حتى إذا لم يتقاطعوا. نظرة:

الخط عمودي على الخط ، على الرغم من أنه لا يتقاطع معه. كيف ذلك؟ نتذكر تعريف الزاوية بين السطور: للعثور على الزاوية بين خطوط الانحراف ، تحتاج إلى رسم خط من خلال نقطة عشوائية على الخط أ. وستكون الزاوية بين و (بالتعريف!) مساوية للزاوية الواقعة بين و.

تذكرت؟ حسنًا ، في حالتنا ، إذا كانت الخطوط متعامدة ، فيجب اعتبار المستقيمين متعامدين.

لنكون واضحين تمامًا ، دعونا نلقي نظرة على مثال.يجب ألا يكون هناك مكعب. ويطلب منك إيجاد الزاوية بين الخطين و. هذه الخطوط لا تتقاطع - إنها تتقاطع. لإيجاد الزاوية بين و ، ارسم.

بسبب حقيقة أن - متوازي الأضلاع (وحتى المستطيل!) ، اتضح ذلك. وبسبب حقيقة أن - مربع ، اتضح ذلك. حسنًا ، هذا يعني.

عمودية الخط والمستوى.

تعريف:

ها هي الصورة:

يكون الخط متعامدًا على مستوى إذا كان متعامدًا مع جميع الخطوط في هذا المستوى: و و و و و و حتى! ومليار سطور أخرى!

نعم ، ولكن كيف يمكنك التحقق بشكل عام من العمودية في خط مستقيم ومستوى؟ لذا فالحياة لا تكفي! لكن لحسن حظنا أنقذنا علماء الرياضيات من كابوس اللانهاية بالاختراع علامة عمودية الخط والمستوى.

نصوغ:

تحقق من مدى روعة:

إذا كان هناك سطرين (خطوط) فقط في المستوى يكون الخط متعامدًا عليه ، فسيكون هذا الخط على الفور متعامدًا مع المستوى ، أي على جميع الخطوط في هذا المستوى (بما في ذلك بعض الخطوط التي تقف على الجانب ). هذه نظرية مهمة جدًا ، لذلك سنقوم أيضًا برسم معناها في شكل رسم بياني.

ودعونا ننظر مرة أخرى مثال.

دعونا نحصل على رباعي السطوح منتظم.

المهمة: إثبات ذلك. ستقول: هذان خطان مستقيمان! وما علاقة عمودي الخط المستقيم والمستوى به ؟!

لكن انظر:

دعنا نحدد منتصف الحافة ونرسم و. هذه هي الوسيطات في و. المثلثات منتظمة و.

ها هي معجزة: اتضح ذلك ، وكذلك. علاوة على ذلك ، لجميع الخطوط المستقيمة في المستوى ، ومن ثم ، و. اثبت. وكانت النقطة الأكثر أهمية تحديدًا هي استخدام إشارة عمودية الخط المستقيم والمستوى.

عندما تكون الطائرات متعامدة

تعريف:

أي (لمزيد من التفاصيل ، راجع موضوع "الزاوية ثنائية الأضلاع") ، فإن مستويين (مستويين) متعامدين إذا اتضح أن الزاوية بين العمودين (الأعمدة) على خط تقاطع هذين المستويين متساوية. وهناك نظرية تربط مفهوم المستويات العمودية بمفهوم العمودية في فضاء الخط والمستوى.

هذه النظرية تسمى

معيار عمودية الطائرات.

دعونا نصيغ:

كما هو الحال دائمًا ، يبدو فك تشفير الكلمات "عندئذ فقط" كما يلي:

• إذا ، ثم يمر من خلال عمودي على.

• إذا كان يمر من خلال عمودي على ، إذن.

(بطبيعة الحال ، هنا والطائرات).

هذه النظرية هي واحدة من أهم النظريات في القياس الفراغي ، ولكنها للأسف واحدة من أكثرها صعوبة في التطبيق.

لذلك عليك أن تكون حذرا للغاية!

فالصيغة هي:

ومرة أخرى ، فك رموز عبارة "حينها وفقط عندها". تنص النظرية على شيئين في وقت واحد (انظر إلى الصورة):

دعنا نحاول تطبيق هذه النظرية لحل المشكلة.

مهمة: يتم إعطاء هرم سداسي منتظم. أوجد الزاوية بين الخطين و.

المحلول:

نظرًا لحقيقة أن الرأس في الهرم المنتظم يقع في مركز القاعدة أثناء الإسقاط ، فقد اتضح أن الخط هو إسقاط الخط.

لكننا نعلم ذلك في شكل سداسي منتظم. نطبق نظرية العمودي الثلاثة:

واكتب الجواب:

عمودية الخطوط في الفضاء. باختصار حول الرئيسي

عمودية سطرين.

يكون الخطان في الفراغ متعامدين إذا كانت الزاوية بينهما.

عمودية الخط والمستوى.

يكون الخط متعامدًا على المستوى إذا كان متعامدًا على كل الخطوط في ذلك المستوى.

عمودي الطائرة.

تكون المستويات متعامدة إذا كانت الزاوية ثنائية الأضلاع بينهما متساوية.

معيار عمودية الطائرات.

هناك طائرتان متعامدتان إذا مر أحدهما عبر المستوى العمودي على المستوى الآخر فقط.

نظرية الثلاثة العمودي:

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

لاجتياز الامتحان بنجاح ، للقبول في المعهد بميزانية محدودة ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - شراء كتاب مدرسي - 899 روبل

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

في هذه المقالة سوف نتحدث عن عمودي الخط والمستوى. أولاً ، يتم تقديم تعريف للخط المستقيم العمودي على مستوى ، ويتم تقديم رسم توضيحي ومثال ، ويتم عرض تعيين خط عمودي ومستوى. بعد ذلك ، يتم وضع علامة على عمودي الخط المستقيم والمستوى. علاوة على ذلك ، يتم الحصول على الشروط التي تجعل من الممكن إثبات عمودية الخط والمستوى ، عندما يتم إعطاء الخط والمستوى بواسطة بعض المعادلات في نظام إحداثيات مستطيل في مساحة ثلاثية الأبعاد. في الختام ، يتم عرض الحلول التفصيلية للأمثلة والمشكلات النموذجية.

التنقل في الصفحة.

خط عمودي ومستوي - معلومات أساسية.

نوصي بأن تكرر أولاً تعريف الخطوط العمودية ، لأن تعريف الخط العمودي على المستوى يُعطى من خلال عمودية الخطوط.

تعريف.

ويقولون ان خط مستقيم عمودي على المستوى، إذا كان عموديًا على أي خط موجود في هذا المستوى.

يمكنك أيضًا أن تقول إن المستوى متعامد على الخط ، أو أن الخط والمستوى متعامدان.

للإشارة إلى العمودية ، استخدم رمز النموذج "". أي ، إذا كان المستقيم c متعامدًا على المستوى ، فيمكننا الكتابة بإيجاز.

كمثال على خط مستقيم عمودي على مستوى ، يمكن للمرء أن يستشهد بخط مستقيم يتقاطع على طول جدارين متجاورين من غرفة. هذا الخط عمودي على المستوى ومستوى السقف. يمكن أيضًا اعتبار الحبل الموجود في صالة الألعاب الرياضية كخط مستقيم عمودي على مستوى الأرضية.

في ختام هذه الفقرة من المقالة ، نلاحظ أنه إذا كان الخط عموديًا على المستوى ، فإن الزاوية بين الخط والمستوى تعتبر تسعين درجة.

عمودي الخط المستقيم والمستوى - علامة وشروط العمودية.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يطرح السؤال: "هل الخط والمستوى المعينين متعامدين؟" للإجابة عليه ، هناك حالة كافية لعمودية الخط والمستوى، وهذا هو ، مثل هذا الشرط ، الذي يضمن تحقيقه عمودي الخط والمستوى. تسمى هذه الحالة الكافية بعلامة عمودية الخط والمستوى. نصيغها في شكل نظرية.

نظرية.

لكي يكون خط معين متعامدًا على مستوى ، يكفي أن يكون الخط متعامدًا على خطين متقاطعين يقعان في هذا المستوى.

يمكنك رؤية دليل علامة عمودية الخط المستقيم والمستوى في كتاب الهندسة للصفوف 10-11.

عند حل المشكلات المتعلقة بإنشاء عمودية لخط ومستوى ، غالبًا ما تُستخدم النظرية التالية.

نظرية.

إذا كان أحد الخطين المتوازيين متعامدًا على المستوى ، فسيكون الخط الآخر أيضًا متعامدًا مع المستوى.

في المدرسة ، يتم النظر في العديد من المشكلات ، والتي يتم من خلالها استخدام علامة عمودية الخط المستقيم والمستوى ، وكذلك النظرية الأخيرة. هنا لن أسهب في الحديث عنها. في هذا القسم من المقالة ، سنركز على تطبيق الشرط التالي الضروري والكافي لعمودية الخط والمستوى.

يمكن إعادة كتابة هذا الشرط بالشكل التالي.

يترك هو المتجه الموجه للخط المستقيم أ ، و هو المتجه الطبيعي للطائرة. من أجل عمودية الخط a والمستوى ، من الضروري والكافي ذلك و : ، حيث t هو عدد حقيقي.

إن إثبات هذا الشرط الضروري والكافي لعمودية خط ومستوى يستند إلى تعريفات متجه التوجيه للخط والمتجه الطبيعي للمستوى.

من الواضح أن هذا الشرط مناسب للاستخدام لإثبات عمودية الخط والمستوى ، عندما يتم العثور بسهولة على إحداثيات متجه التوجيه للخط وإحداثيات المتجه العادي للمستوى في مساحة ثابتة في مساحة ثلاثية الأبعاد . هذا صحيح بالنسبة للحالات التي يتم فيها إعطاء إحداثيات النقاط التي يمر من خلالها المستوى والخط المستقيم ، وكذلك في الحالات التي يتم فيها تحديد الخط المستقيم بواسطة بعض معادلات الخط المستقيم في الفضاء ، ويتم إعطاء المستوى بواسطة معادلة مستوى من نوع ما.

دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال.

إثبات أن الخط عمودي والطائرات.

المحلول.

نعلم أن الأرقام في مقامات المعادلات الأساسية لخط مستقيم في الفضاء هي الإحداثيات المقابلة لمتجه التوجيه لهذا الخط المستقيم. في هذا الطريق، - متجه الاتجاه مستقيم .

المعاملات في المتغيرات x و y و z في المعادلة العامة للمستوى هي إحداثيات المتجه الطبيعي لذلك المستوى ، أي ، هو المتجه الطبيعي للطائرة.

دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الضروري والكافي لعمودية الخط والمستوى.

لان ، ثم المتجهات وترتبط بالعلاقة ، أي أنها على علاقة خطية متداخلة. لذلك ، خط مستقيم عمودي على المستوى.

مثال.

هل الخطوط عمودية؟ والطائرة.

المحلول.

دعونا نجد متجه الاتجاه للخط المحدد والمتجه الطبيعي للمستوى من أجل التحقق من استيفاء الشرط الضروري والكافي للخط والمستوى ليكونا متعامدين.

اتجاه متجه مستقيم هو

درس الفيديو 2: نظرية على ثلاثة متعامدات. نظرية

درس الفيديو 3: نظرية على ثلاثة متعامدات. مهمة

محاضرة: عمودية الخط المستقيم والمستوى ، العلامات والخصائص ؛ عمودي ومائل. نظرية ثلاثة عمودي

عمودية الخط والمستوى

لنتذكر ما هو عمودي الخطوط المستقيمة بشكل عام. الخطوط العمودية هي تلك التي تتقاطع بزاوية 90 درجة. في هذه الحالة ، يمكن أن تكون الزاوية بينهما ، سواء في حالة التقاطع عند نقطة معينة ، أو في حالة العبور. إذا تقاطعت بعض الخطوط بزاوية قائمة ، فيمكن أيضًا تسميتها بالخطوط المتعامدة إذا تم نقل الخط إلى نقطة في السطر الثاني بسبب الترجمة المتوازية.

تعريف:إذا كان الخط متعامدًا على أي خط ينتمي إلى مستوى ، فيمكن اعتباره متعامدًا مع هذا المستوى.

ميزة:إذا كان هناك خطان متعامدان على مستوى ما وكان هناك خط ثالث متعامد مع كل منهما ، فإن هذا الخط الثالث يكون عموديًا على المستوى.

الخصائص:

• إذا كانت بعض الخطوط متعامدة مع مستوى واحد ، فإنها تكون متوازية مع بعضها البعض.

• إذا كان هناك مستويان متوازيان ، بالإضافة إلى خط مستقيم عمودي على أحد المستويين ، فهو أيضًا متعامد مع الثاني.
• يمكن أيضًا إجراء العبارة العكسية: إذا كان خط معين عموديًا على مستويين مختلفين ، فإن هذه المستويات تكون بالضرورة متوازية.

منحرف - مائل

إذا كان هناك خط يربط نقطة عشوائية لا تقع على المستوى مع أي نقطة على المستوى ، فسيتم استدعاء هذا الخط منحرف - مائل.

يرجى ملاحظة أنه يميل فقط إذا كانت الزاوية بينه وبين المستوى ليست 90 درجة.

في الشكل ، AB هو α يميل إلى المستوى. في هذه الحالة ، تسمى النقطة B قاعدة المنحدر.

إذا قمت برسم جزء من النقطة A إلى المستوى ، مما يجعل زاوية قياسها 90 درجة مع المستوى ، فإن هذا الجزء سيطلق عليه اسم عمودي. عمودي يسمى أيضا أصغر مسافة للمستوى.

AC عمودي مرسوم من النقطة A إلى المستوى α. النقطة C تسمى قاعدة العمود العمودي.

إذا تم رسم مقطع في هذا الرسم يربط قاعدة العمود العمودي (C) بقاعدة المائل (B) ، فسيتم استدعاء المقطع الناتج تنبؤ.

نتيجة التركيبات البسيطة ، حصلنا على مثلث قائم الزاوية. في هذا المثلث ، تسمى الزاوية ABC الزاوية بين المائل والإسقاط.

ثلاثة نظرية عمودية

تعريف. يُقال إن الخط الذي يتقاطع مع المستوى يكون عموديًا على ذلك المستوى إذا كان متعامدًا مع أي خط يقع في المستوى المحدد ويمر عبر نقطة التقاطع.
إشارةعمودية الخط والمستوى.إذا كان الخط متعامدًا على خطين متقاطعين في المستوى ، فإنه يكون عموديًا على المستوى المحدد.
دليل - إثبات. يترك أ- الخط المستقيم العمودي على الخطوط المستقيمة بو معتنتمي إلى الطائرة أ. أ هي نقطة تقاطع الخطوط. في الطائرة أارسم خطًا يمر بالنقطة أ دالتي لا تتطابق مع الخطوط المستقيمة بو مع. الآن مسطحة ألنرسم خطًا مستقيمًا كالذي يتقاطع مع الخطوط دو معوعدم المرور عبر النقطة أ. نقاط التقاطع ، على التوالي ، D و B و C. ضع على خط مستقيم أفي اتجاهات مختلفة من النقطة A الأجزاء المتساوية AA 1 و AA 2. المثلث A 1 CA 2 متساوي الساقين ، لأن ارتفاع التيار المتردد هو أيضًا الوسيط (الميزة 1) ، أي أ 1 ج \ u003d CA 2. وبالمثل ، في المثلث A 1 BA 2 ، يكون الضلعان A 1 B و BA 2 متساويين. إذن ، المثلثان A 1 ق.م ، و 2 ق.م ، متساويان في المعيار الثالث ، وبالتالي ، فإن الزاويتين A 1 BD و A 2 BD متساويتان. هذا يعني أن المثلثين A 1 BD و A 2 BD متساويان أيضًا وفقًا للإشارة الأولى. إذن ، A 1 D و A 2 D. ومن هنا فإن المثلث A 1 DA 2 متساوي الساقين بالتعريف. في مثلث متساوي الساقين A 1 D A 2 د A هو الوسيط (حسب البناء) ، ومن ثم الارتفاع ، أي أن الزاوية A 1 AD هي خط مستقيم ، مما يعني خطًا مستقيمًا أعمودي على الخط د.وبالتالي ، يمكن إثبات أن الخط أعمودي على أي خط يمر بالنقطة A وينتمي إلى المستوى أ. ويترتب على التعريف أن الخط أعمودي على المستوى أ.

مبنىخط عمودي على مستوى معين من نقطة مأخوذة خارج هذا المستوى.
يترك أ- المستوي ، A - النقطة التي يجب أن يخفض منها الخط العمودي. ارسم خطًا مستقيمًا في المستوى أ. من خلال النقطة أ وخط أارسم طائرة ب(خط ونقطة يحددان مستوى ، وواحد فقط). في الطائرة بتسقط من النقطة أ إلى خط مستقيم أعمودي AB. من النقطة B في الطائرة أاستعادة العمودي والدلالة على الخط الذي يقع بعده هذا العمودي مع. من خلال المقطع AB والخط المستقيم معارسم طائرة ز(خطان متقاطعان يحددان مستوى ، وواحد فقط). في الطائرة زتسقط من النقطة أ إلى خط مستقيم مععمودي AC. دعونا نثبت أن القطعة AC متعامدة على المستوى ب. دليل - إثبات. مستقيم أعمودي على الخطوط المستقيمة معو AB (بالتركيب) ، مما يعني أنه عمودي على المستوى نفسه ز، حيث يقع هذان الخطان المتقاطعان (بمعيار عمودية الخط والمستوى). وبما أنه عمودي على هذا المستوى ، فهو أيضًا متعامد مع أي خط في هذا المستوى ، مما يعني خطًا أعمودي على التيار المتردد. الخط AC عمودي على خطين موجودين في المستوى α: مع(عن طريق البناء) و أ(وفقًا لما تم إثباته) ، فهذا يعني أنه عمودي على المستوى α (بمعيار عمودي الخط والمستوى)

نظرية 1 . إذا كان هناك خطان متقاطعان متوازيان ، على التوالي ، مع خطين متعامدين ، فإنهما يكونان أيضًا متعامدين.
دليل - إثبات. يترك أو ب- خطوط متعامدة أ 1 و ب 1 - تقاطع خطوط مستقيمة موازية لها. دعونا نثبت أن الخطوط أ 1 و ب 1 عمودي.
إذا كان مستقيما أ, ب, أ 1 و ب 1 تقع في نفس المستوى ، ثم يكون لها الخاصية المشار إليها في النظرية ، كما هو معروف من قياس الكواكب.
لنفترض الآن أن خطوطنا لا تقع في نفس المستوى. ثم الخطوط أو بتكمن في بعض المستويات α ، والخطوط أ 1 و ب 1 - في بعض الطائرات β. على أساس التوازي بين المستويات ، فإن المستويين α و متوازيان. دع C تكون نقطة تقاطع الخطوط أو ب، و C 1 - تقاطعات الخطوط أ 1 و بواحد . ارسم مستوى الخطوط المتوازية أو أ أو أ 1 عند النقطتين A و A 1. في مستوى الخطوط المتوازية بو ب 1 خط مستقيم موازٍ للخط المستقيم SS 1. سوف تعبر الخطوط بو ب 1 عند النقطتين B و B 1.
الشكلان الرباعيان CAA 1 C 1 و CBB 1 C 1 هما متوازي أضلاع ، لأن ضلعيه المتقابلين متوازيين. الشكل الرباعي ABB 1 A 1 هو أيضًا متوازي أضلاع. جانبيها AA 1 و BB 1 متوازيان ، لأن كل منهما يوازي الخط CC 1. وهكذا ، يكمن الشكل الرباعي في مستوى يمر عبر الخطين المتوازيين AA 1 و BB 1. ويتقاطع مع المستويين المتوازيين α و على طول الخطين المتوازيين AB و A 1 B 1.
بما أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية ، إذن AB = A 1 B 1 ، AC = A 1 C 1 ، BC = B 1 C 1. بعلامة المساواة الثالثة ، المثلثان ABC و A 1 B 1 C 1 متساويان. إذن ، الزاوية أ 1 ج 1 ب 1 ، التي تساوي الزاوية DIA ، مستقيمة ، أي مستقيم أ 1 و ب 1 عمودي. ch.t.d.

الخصائصعمودي على الخط والمستوى.
نظرية 2 . إذا كان المستوى متعامدًا على أحد الخطين المتوازيين ، فإنه يكون أيضًا عموديًا على الآخر.
دليل - إثبات. يترك أ 1 و أ 2 - خطان متوازيان و α - مستوي ، عمودي على الخط أواحد . دعونا نثبت أن هذا المستوى عمودي على الخط المستقيم أ 2 .
ارسم من خلال النقطة أ 2 تقاطعات للخط أ 2 مع المستوى α خط تعسفي مع 2 في المستوى α. لنرسم المستوى α عبر النقطة A 1 تقاطع الخط المستقيم أ 1 مع خط مستقيم للمستوى α مع 1 موازٍ للخط مع 2. منذ الخط المستقيم أ 1 عمودي على المستوى α ، ثم الخطوط أ 1 و مع 1 عمودي. ووفقًا للنظرية 1 ، فإن الخطوط المتقاطعة موازية لها أ 2 و مع 2 متعامدة أيضًا. وهكذا ، فإن المباشر أ 2 عمودي على أي خط مع 2 في المستوى α. وهذا يعني أن الملف المباشر أ 2 عمودي على المستوى α. لقد تم إثبات النظرية.

نظرية 3 . خطان متعامدان على نفس المستوى متوازيان مع بعضهما البعض.
لدينا مستوى α وخطان متعامدان عليه أو ب. دعنا نثبت ذلك أ || ب.
ارسم خطًا مستقيمًا عبر نقاط تقاطع خطوط المستوى مع. حسب اللافتة نحصل عليها أ ^ جو ب ^ ج. من خلال خطوط مستقيمة أو بدعنا نرسم مستوى (خطان متوازيان يحددان المستوى ، وعلاوة على ذلك ، واحد فقط). في هذا المستوى لدينا خطان متوازيان أو بوقاطع مع. إذا كان مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة ، فإن الخطوط تكون متوازية. لدينا مثل هذه الحالة بالضبط - زاويتان قائمتان. لهذا أ || ب.

نرى باستمرار أن العمودين على نفس المستوى متوازي. على سبيل المثال ، الأجزاء العمودية متوازية مع بعضها البعض. يمكن تمثيل هذه الأجزاء بواسطة أعمدة أو صواري متوازية ، وجذوع من أشجار الصنوبر النحيلة في غابة السفن ، وأعمدة مباني المتحف (الشكل 84) أو دعائم الجسر الرأسي ، إلخ.

أرز. 84

يتم التعبير عن هذه الهندسة الأنيقة في النظرية التي سنثبتها الآن.

8.1 توازي المستقيمات المتعامدة على مستوى واحد

دليل - إثبات. دع خطين مستقيمين أ و ب متعامدين مع المستوى أ ويتقاطعان معه ، على التوالي ، عند النقطتين A و B (الشكل 85). لنرسم المستوى p عبر الخط أ والنقطة ب ونبين أن الخط ب يقع أيضًا في المستوى β.

أرز. 85

في المستوى a ، خذ قطعة MN متعامدة على القطعة AB وتكون النقطة A كنقطة منتصفها. بما أن AM = AN و AB ⊥ MN ، إذن BM = BN.

لنأخذ أي نقطة C ≠ B على الخط b ونرسم المقاطع CA و CM و CN. بما أن ب ⊥ أ ، فإن المثلثات CBM و CBN هي مثلثات قائمة. إنهم متساوون ، لأن لديهم ساق مشتركة CB وأرجل متساوية BM و BN. لذلك CM = CN ، أي المثلث CMN متساوي الساقين. متوسط ​​CA هو أيضًا ارتفاعه ، أي CA ⊥ MN.

إذن ، الخطوط الثلاثة التي تمر بالنقطة A - AC و AB و a - متعامدة على الخط MN. وفقًا لنظرية المستوى المتعامد (القسم 7.2) ، فإنهما يقعان في نفس المستوى - المستوى ، الذي يمر عبر الخطين AB و a.

بما أن الخط AC يقع في المستوى β ، فإن النقطة С ∈ β. ومن ثم ، يقع الخط ب في المستوى β (وكذلك الخط أ). لكن في المستوى β ، يكون الخطان a و b متعامدين على نفس الخط AB (حيث أن a α ، ثم b ⊥ α والخط AB يقع في α). لذلك ب || أ.

النظرية المثبتة هي علامة على التوازي بين الخطوط في الفضاء.

8.2 موازية للعمودي

في هذا القسم الفرعي نثبت وجود نظرية معاكسة للنظرية في موازاة الخطوط العمودية.

دليل - إثبات. لنفترض أن الخطين a و b متوازيين ويكون a عموديًا على المستوى a (الشكل 86). يتقاطع الخط b مع المستوى α عند نقطة ما B (بواسطة اللمة في القسم 3.3). هناك احتمالان:

1. ب ⊥ α ؛
2. ب ليس عموديًا على α.

أرز. 86

لنفترض أن الثانية قيد التشغيل. ثم نرسم خطًا مستقيمًا مع ⊥ α حتى النقطة B (المشكلة 7.3). بواسطة نظرية التوازي من أجل العمودية c || α. اتضح أن خطين يمران بالنقطة ب ، بالتوازي مع الخط أ ، وهو أمر مستحيل.

لذلك ب ⊥ α.

النظرية الخاصة بالتوازي مع العمودي هي علامة أخرى على عمودية الخط والمستوى.

أسئلة لضبط النفس

1. ما هي علامات الخطوط المتوازية التي تعرفت عليها؟
2. ما هي علامات عمودية الخط المستقيم والمستوى التي تعرفها الآن؟