"حل المعادلات المنطقية الكسرية"
أهداف الدرس:
الدورة التعليمية:
- تشكيل مفهوم المعادلات المنطقية الكسرية ؛ للنظر في طرق مختلفة لحل المعادلات المنطقية الكسرية ؛ ضع في اعتبارك خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية ، بما في ذلك شرط أن الكسر يساوي صفرًا ؛ لتعليم حل المعادلات المنطقية الكسرية وفقًا للخوارزمية ؛ التحقق من مستوى استيعاب الموضوع بإجراء اختبار.
النامية:
- تنمية القدرة على العمل بشكل صحيح مع المعرفة المكتسبة والتفكير المنطقي ؛ تنمية المهارات الفكرية والعمليات العقلية - التحليل والتوليف والمقارنة والتعميم ؛ تطوير المبادرة ، والقدرة على اتخاذ القرارات ، وليس التوقف عند هذا الحد ؛ تنمية التفكير النقدي. تنمية مهارات البحث.
التنشئة:
- تعليم الاهتمام المعرفي بالموضوع ؛ تعليم الاستقلال في حل المشاكل التربوية ؛ تعليم الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.
نوع الدرس: درس - شرح مادة جديدة.
خلال الفصول
1. لحظة تنظيمية.
مرحبا يا شباب! المعادلات مكتوبة على السبورة ، انظر إليها بعناية. هل يمكنك حل كل هذه المعادلات؟ أيها ليس كذلك ولماذا؟
تسمى المعادلات التي يكون فيها الجانب الأيمن والأيسر تعبيرات منطقية كسرية معادلات عقلانية كسرية. ما رأيك سوف ندرس اليوم في الدرس؟ قم بصياغة موضوع الدرس. لذلك ، نفتح دفاتر الملاحظات ونكتب موضوع الدرس "حل المعادلات المنطقية الكسرية".
2. تفعيل المعرفة. مسح أمامي ، عمل شفهي مع الفصل.
والآن سنكرر المادة النظرية الرئيسية التي نحتاجها لدراسة موضوع جديد. الرجاء الإجابة على الأسئلة التالية:
1. ما هي المعادلة؟ ( المساواة مع متغير أو متغيرات.)
2. ماذا تسمى المعادلة رقم 1؟ ( خطي.) طريقة حل المعادلات الخطية. ( انقل كل شيء مع المجهول إلى الجانب الأيسر من المعادلة ، كل الأرقام إلى اليمين. إحضار شروط مماثلة. أوجد المضاعف المجهول).
3. ماذا تسمى المعادلة رقم 3؟ ( ميدان.) طرق حل المعادلات التربيعية. ( اختيار المربع الكامل ، بالصيغ ، باستخدام نظرية فييتا وعواقبها.)
4. ما هي النسبة؟ ( المساواة بين العلاقات.) الخاصية الرئيسية للنسبة. ( إذا كانت النسبة صحيحة ، فإن حاصل ضرب حدودها القصوى يساوي حاصل ضرب الحدود الوسطى.)
5. ما هي الخصائص المستخدمة في حل المعادلات؟ ( 1. إذا نقلنا المصطلح في المعادلة من جزء إلى آخر ، وقمنا بتغيير علامته ، فإننا نحصل على معادلة مكافئة لتلك المعطاة. 2. إذا تم ضرب جزئي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل المعطى.)
6. متى يساوي الكسر صفرًا؟ ( الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا والمقام غير صفري.)
3. شرح المواد الجديدة.
حل المعادلة رقم 2 في دفاتر الملاحظات وعلى السبورة.
إجابه: 10.
ما المعادلة الكسرية المنطقية التي يمكنك محاولة حلها باستخدام خاصية التناسب الأساسية؟ (رقم 5).
(س -2) (س -4) = (س + 2) (س + 3)
x2-4x-2x + 8 = x2 + 3x + 2x + 6
x2-6x-x2-5x = 6-8
حل المعادلة رقم 4 في دفاتر الملاحظات وعلى السبورة.
إجابه: 1,5.
ما المعادلة الكسرية الكسرية التي يمكنك محاولة حلها بضرب طرفي المعادلة في المقام؟ (رقم 6).
د = 1> 0 ، س 1 = 3 ، س 2 = 4.
إجابه: 3;4.
حاول الآن حل المعادلة رقم 7 بإحدى الطرق.
(x2-2x-5) x (x-5) = x (x-5) (x + 5) |
|
||
(x2-2x-5) x (x-5) -x (x-5) (x + 5) = 0 | |||
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) = 0 | x2-2x-5-x-5 = 0 |
||
x (x-5) (x2-3x-10) = 0 | |||
x = 0 x-5 = 0 x2-3x-10 = 0 | |||
س 1 = 0 × 2 = 5 د = 49 | |||
إجابه: 0;5;-2. | إجابه: 5;-2. |
اشرح لماذا حدث هذا؟ لماذا توجد ثلاثة جذور في حالة واحدة واثنتان في الأخرى؟ ما هي أعداد جذور هذه المعادلة الكسرية المنطقية؟
حتى الآن ، لم يلتق الطلاب بمفهوم الجذر الخارجي ، فمن الصعب جدًا عليهم فهم سبب حدوث ذلك. إذا لم يتمكن أي شخص في الفصل من تقديم شرح واضح لهذا الموقف ، فإن المعلم يطرح أسئلة إرشادية.
- كيف تختلف المعادلتان رقم 2 و 4 عن المعادلتين رقم 5،6،7؟ ( في المعادلتين رقم 2 و 4 في مقام العدد ، رقم 5-7 - التعبيرات ذات المتغير.) ما هو جذر المعادلة؟ ( قيمة المتغير الذي تصبح فيه المعادلة مساواة حقيقية.) كيف تعرف ما إذا كان الرقم هو جذر المعادلة؟ ( قم بإجراء شيك.)
عند إجراء اختبار ، يلاحظ بعض الطلاب أنه يتعين عليهم القسمة على صفر. استنتجوا أن العددين 0 و 5 ليسا جذور هذه المعادلة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك طريقة لحل المعادلات المنطقية الكسرية التي تزيل هذا الخطأ؟ نعم ، تعتمد هذه الطريقة على شرط أن الكسر يساوي صفرًا.
x2-3x-10 = 0 ، D = 49 ، x1 = 5 ، x2 = -2.
إذا كانت x = 5 ، فإن x (x-5) = 0 ، إذن 5 هو جذر غريب.
إذا كانت x = -2 ، فإن x (x-5) ≠ 0.
إجابه: -2.
دعنا نحاول صياغة خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية بهذه الطريقة. الأطفال أنفسهم يصوغون الخوارزمية.
خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية:
1. انقل كل شيء إلى الجانب الأيسر.
2. اجعل الكسور مقامًا مشتركًا.
3. اصنع نظامًا: الكسر يساوي صفرًا عندما يساوي البسط صفرًا ، والمقام لا يساوي صفرًا.
4. حل المعادلة.
5. تحقق من عدم المساواة لاستبعاد الجذور الدخيلة.
6. اكتب الإجابة.
مناقشة: كيفية إضفاء الطابع الرسمي على الحل إذا تم استخدام الخاصية الأساسية للنسبة وضرب كلا طرفي المعادلة بمقام مشترك. (أكمل الحل: استبعد من جذوره أولئك الذين يحولون القاسم المشترك إلى الصفر).
4. الفهم الأساسي للمواد الجديدة.
العمل في ازواج. يختار الطلاب كيفية حل المعادلة بأنفسهم ، اعتمادًا على نوع المعادلة. مهام من الكتاب المدرسي "الجبر 8" ، 2007: رقم 000 (ب ، ج ، ط) ؛ رقم 000 (أ ، هـ ، ز). يتحكم المعلم في أداء المهمة ، ويجيب على الأسئلة التي ظهرت ، ويقدم المساعدة للطلاب ذوي الأداء الضعيف. الاختبار الذاتي: تتم كتابة الإجابات على السبورة.
ب) 2 هو جذر دخيل. الجواب: 3.
ج) 2 هو جذر دخيل. الجواب: 1.5.
أ) الجواب: -12.5.
ز) الجواب: 1 ؛ 1.5.
5. بيان الواجب المنزلي.
2. تعلم الخوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية.
3. حل في دفاتر الملاحظات رقم 000 (أ ، د ، هـ) ؛ رقم 000 (ز ، ح).
4. حاول حل الرقم 000 (أ) (اختياري).
6. إتمام المهمة الرقابية على الموضوع المدروس.
يتم العمل على الأوراق.
مثال على الوظيفة:
أ) أي من المعادلات منطقية كسرية؟
ب) الكسر يساوي صفرًا عندما يكون البسط هو ______________________ والمقام هو _______________________.
س) هل الرقم -3 هو جذر المعادلة رقم 6؟
د) حل المعادلة رقم 7.
معايير تقييم المهام:
- يتم إعطاء "5" إذا أكمل الطالب أكثر من 90٪ من المهمة بشكل صحيح. "4" - 75٪ -89٪ "3" - 50٪ -74٪ "2" تعطى للطالب الذي أكمل أقل من 50٪ من المهمة. لا يتم وضع الصف الثاني في المجلة ، أما الصف الثالث فهو اختياري.
7. انعكاس.
على المنشورات ذات العمل المستقل ، ضع:
- 1 - إذا كان الدرس ممتعًا ومفهومًا لك ؛ 2 - مثيرة للاهتمام ولكنها غير واضحة ؛ 3 - ليست مثيرة للاهتمام ، لكنها مفهومة ؛ 4 - غير مثير للاهتمام وغير واضح.
8. تلخيص الدرس.
لذلك ، تعرفنا اليوم في الدرس على المعادلات المنطقية الكسرية ، وتعلمنا كيفية حل هذه المعادلات بطرق مختلفة ، واختبرنا معرفتنا بمساعدة العمل التربوي المستقل. سوف تتعلم نتائج العمل المستقل في الدرس التالي ، في المنزل ستتاح لك الفرصة لتعزيز المعرفة المكتسبة.
ما هي طريقة حل المعادلات المنطقية الكسرية ، برأيك ، أسهل ، وأكثر سهولة في الوصول إليها ، وأكثر عقلانية؟ بغض النظر عن طريقة حل المعادلات المنطقية الكسرية ، ما الذي لا ينبغي نسيانه؟ ما هو "دهاء" المعادلات المنطقية الكسرية؟
شكرًا لكم جميعًا ، انتهى الدرس.
دعنا نتعرف على المعادلات المنطقية الكسرية ، ونقدم تعريفها ، ونعطي أمثلة ، ونحلل أيضًا أكثر أنواع المشكلات شيوعًا.
Yandex.RTB R-A-339285-1
المعادلة العقلانية: التعريف والأمثلة
يبدأ التعرف على التعبيرات العقلانية في الصف الثامن من المدرسة. في هذا الوقت ، في دروس الجبر ، يبدأ الطلاب بشكل متزايد في تلبية المهام مع المعادلات التي تحتوي على تعبيرات عقلانية في ملاحظاتهم. دعونا نعيد تنشيط ذاكرتنا لما هي عليه.
التعريف 1
معادلة عقلانيةهي معادلة يحتوي فيها كلا الطرفين على تعبيرات عقلانية.
في العديد من الكتيبات ، يمكنك أن تجد صيغة أخرى.
التعريف 2
معادلة عقلانية- هذه معادلة ، يحتوي سجل الجانب الأيسر منها على تعبير عقلاني ، بينما يحتوي الجانب الأيمن على صفر.
التعريفات التي قدمناها للمعادلات المنطقية متكافئة ، لأنها تعني نفس الشيء. يتم تأكيد صحة كلماتنا من خلال حقيقة أنه لأي تعبيرات عقلانية صو سالمعادلات ف = سو ف - س = 0ستكون عبارات مكافئة.
الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.
مثال 1
المعادلات العقلانية:
س = 1 ، 2 س - 12 × 2 ص 3 = 0 ، س س 2 + 3 س - 1 = 2 + 2 7 س - أ (س + 2) ، 1 2 + 3 4-12 س - 1 = 3.
يمكن أن تحتوي المعادلات العقلانية ، تمامًا مثل المعادلات من الأنواع الأخرى ، على أي عدد من المتغيرات من 1 إلى عدة متغيرات. بادئ ذي بدء ، سننظر في أمثلة بسيطة تحتوي فيها المعادلات على متغير واحد فقط. ثم نبدأ في تعقيد المهمة تدريجيًا.
تنقسم المعادلات المنطقية إلى مجموعتين كبيرتين: عدد صحيح وكسر. دعونا نرى المعادلات التي ستنطبق على كل مجموعة.
التعريف 3
ستكون المعادلة المنطقية عددًا صحيحًا إذا كان سجل الجزأين الأيمن والأيسر يحتوي على تعبيرات عقلانية كاملة.
التعريف 4
ستكون المعادلة المنطقية كسرية إذا كان أحد أجزائها أو كلاهما يحتوي على كسر.
تحتوي المعادلات المنطقية الكسرية بالضرورة على القسمة على متغير ، أو أن المتغير موجود في المقام. لا يوجد مثل هذا التقسيم في كتابة المعادلات الصحيحة.
مثال 2
3 س + 2 = 0و (س + ص) (3 × 2-1) + س = - ص + 0 ، 5هي معادلات عقلانية كاملة. هنا يتم تمثيل كلا الجزأين من المعادلة بتعبيرات صحيحة.
1 × - 1 = × 3 و س: (5 × 3 + ص 2) = 3: (س - 1): 5هي معادلات منطقية كسور.
تشمل المعادلات المنطقية الكاملة المعادلات الخطية والتربيعية.
حل المعادلات الصحيحة
عادة ما يقلل حل هذه المعادلات من تحولها إلى معادلات جبرية مكافئة. يمكن تحقيق ذلك من خلال إجراء تحويلات مكافئة للمعادلات وفقًا للخوارزمية التالية:
- نحصل أولاً على صفر في الجانب الأيمن من المعادلة ، لذلك من الضروري نقل التعبير الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة إلى جانبه الأيسر وتغيير العلامة ؛
- ثم نقوم بتحويل التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة إلى صيغة معيارية كثيرة الحدود.
علينا الحصول على معادلة جبرية. ستكون هذه المعادلة مكافئة فيما يتعلق بالمعادلة الأصلية. تتيح لنا الحالات السهلة حل المشكلة عن طريق تقليل المعادلة بأكملها إلى معادلة خطية أو تربيعية. في الحالة العامة ، نحل المعادلة الجبرية للدرجات ن.
مثال 3
من الضروري إيجاد جذور المعادلة بأكملها 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.
المحلول
دعونا نحول التعبير الأصلي من أجل الحصول على معادلة جبرية مكافئة لها. للقيام بذلك ، سننقل التعبير الموجود في الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ونغير الإشارة إلى العكس. نتيجة لذلك ، نحصل على: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.
سنقوم الآن بتحويل التعبير الموجود على الجانب الأيسر إلى كثير الحدود من النموذج القياسي وتنفيذ الإجراءات اللازمة باستخدام كثير الحدود هذا:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2-9 x + 3 س - 9 - 2 س 2 + س + 3 = س 2-5 س - 6
تمكنا من تقليل حل المعادلة الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية للصيغة س 2-5 س - 6 = 0. مميز هذه المعادلة موجب: د = (- 5) 2-4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49.هذا يعني أنه سيكون هناك جذران حقيقيان. لنجدهم باستخدام صيغة جذور المعادلة التربيعية:
س \ u003d - - 5 ± 49 2 1 ،
× 1 \ u003d 5 + 7 2 أو × 2 \ u003d 5-7 2 ،
س 1 = 6 أو س 2 = - 1
لنتحقق من صحة جذور المعادلة التي وجدناها أثناء الحل. لهذا الرقم ، الذي تلقيناه ، نستبدل المعادلة الأصلية: 3 (6 + 1) (6-3) = 6 (2 6-1) - 3و 3 (- 1 + 1) (- 1-3) = (- 1) (2 (- 1) - 1) - 3. في الحالة الأولى 63 = 63 ، في الثانية 0 = 0 . الجذور س = 6و س = - 1هي بالفعل جذور المعادلة الواردة في حالة المثال.
إجابه: 6 , − 1 .
دعونا نلقي نظرة على ما تعنيه "قوة المعادلة بأكملها". غالبًا ما نواجه هذا المصطلح في تلك الحالات عندما نحتاج إلى تمثيل معادلة كاملة في شكل معادلة جبرية. دعنا نحدد المفهوم.
التعريف 5
درجة معادلة عدد صحيحهي درجة المعادلة الجبرية المكافئة للمعادلة الكاملة الأصلية.
إذا نظرت إلى المعادلات من المثال أعلاه ، يمكنك تحديد: درجة هذه المعادلة بأكملها هي الثانية.
إذا كانت دورتنا تقتصر على حل المعادلات من الدرجة الثانية ، فيمكن إكمال النظر في الموضوع هنا. لكن كل شيء ليس بهذه البساطة. حل المعادلات من الدرجة الثالثة محفوف بالصعوبات. وبالنسبة للمعادلات فوق الدرجة الرابعة ، فلا توجد معادلات عامة للجذور على الإطلاق. في هذا الصدد ، يتطلب حل المعادلات الكاملة من الدرجة الثالثة والرابعة وغيرهما استخدام عدد من الأساليب والطرق الأخرى.
يعتمد النهج الأكثر استخدامًا لحل المعادلات المنطقية بأكملها على طريقة العوامل. خوارزمية الإجراءات في هذه الحالة هي كما يلي:
- ننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر بحيث يبقى الصفر على الجانب الأيمن من السجل ؛
- نمثل التعبير الموجود على الجانب الأيسر كحاصل ضرب عوامل ، ثم ننتقل إلى مجموعة من عدة معادلات أبسط.
أوجد حل المعادلة (س 2-1) (س 2-10 س + 13) = 2 س (س 2-10 س + 13).
المحلول
ننقل التعبير من الجانب الأيمن من السجل إلى الجانب الأيسر بالإشارة المعاكسة: (× 2-1) (× 2-10 × + 13) - 2 × (× 2-10 × + 13) = 0. تحويل الجانب الأيسر إلى كثير الحدود بالصيغة القياسية غير عملي نظرًا لحقيقة أن هذا سيعطينا معادلة جبرية من الدرجة الرابعة: × ٤ - ١٢ × ٣ + ٣٢ × ٢ - ١٦ × - ١٣ = ٠. سهولة التحول لا تبرر كل الصعوبات في حل مثل هذه المعادلة.
من الأسهل بكثير أن نسير في الاتجاه الآخر: نخرج العامل المشترك × 2-10 × + 13.وهكذا نصل إلى معادلة الشكل (× 2-10 × + 13) (× 2 - 2 × - 1) = 0. الآن نستبدل المعادلة الناتجة بمجموعة من معادلتين تربيعيتين س 2-10 س + 13 = 0و س 2 - 2 س - 1 = 0وإيجاد جذورهم من خلال المميز: 5 + 2 3، 5 - 2 3، 1 + 2، 1 - 2.
إجابه: 5 + 2 3 ، 5-2 3 ، 1 + 2 ، 1 - 2.
وبالمثل ، يمكننا استخدام طريقة إدخال متغير جديد. تسمح لنا هذه الطريقة بالمرور إلى معادلات مكافئة ذات قوى أقل من تلك الموجودة في المعادلة الكاملة الأصلية.
مثال 5
هل للمعادلة جذور؟ (س 2 + 3 س + 1) 2 + 10 = - 2 (س 2 + 3 س - 4)?
المحلول
إذا حاولنا الآن اختزال معادلة منطقية كاملة إلى معادلة جبرية ، فسنحصل على معادلة من الدرجة 4 ، والتي ليس لها جذور منطقية. لذلك ، سيكون من الأسهل بالنسبة لنا أن نذهب في الاتجاه الآخر: إدخال متغير جديد y ، والذي سيحل محل التعبير في المعادلة × 2 + 3 س.
الآن سنعمل مع المعادلة بأكملها (ص + 1) 2 + 10 = - 2 (ص - 4). ننقل الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر بالإشارة المعاكسة ونجري التحولات اللازمة. نحن نحصل: ص 2 + 4 ص + 3 = 0. لنجد جذور المعادلة التربيعية: ص = - 1و ص = - 3.
الآن لنقم بالتعويض العكسي. نحصل على معادلتين س 2 + 3 س = - 1و س 2 + 3 س = - 3.دعنا نعيد كتابتها بالصيغة x 2 + 3 x + 1 = 0 و س 2 + 3 س + 3 = 0. نستخدم صيغة جذور المعادلة التربيعية لإيجاد جذور المعادلة الأولى التي تم الحصول عليها: - 3 ± 5 2. مميز المعادلة الثانية سالب. هذا يعني أن المعادلة الثانية ليس لها جذور حقيقية.
إجابه:- 3 ± 5 2
تصادف المعادلات الصحيحة للدرجات العليا في مسائل في كثير من الأحيان. لا داعي للخوف منهم. يجب أن تكون جاهزًا لتطبيق طريقة غير قياسية لحلها ، بما في ذلك عدد من التحولات الاصطناعية.
حل المعادلات الكسرية الكسرية
نبدأ النظر في هذا الموضوع الفرعي باستخدام خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية للصيغة p (x) q (x) = 0 ، حيث ص (خ)و ف (س)هي تعبيرات منطقية عدد صحيح. يمكن دائمًا اختصار حل المعادلات المنطقية الكسرية الأخرى إلى حل المعادلات بالصيغة المشار إليها.
الطريقة الأكثر استخدامًا لحل المعادلات p (x) q (x) = 0 تعتمد على العبارة التالية: الكسر العددي ش، أين الخامسهو رقم يختلف عن الصفر ، ويساوي صفرًا فقط في الحالات التي يكون فيها بسط الكسر مساويًا للصفر. باتباع منطق البيان أعلاه ، يمكننا التأكيد على أن حل المعادلة p (x) q (x) = 0 يمكن اختزاله لتحقيق شرطين: ص (س) = 0و ف (س) ≠ 0. على هذا ، تم بناء خوارزمية لحل المعادلات المنطقية الكسرية للصيغة p (x) q (x) = 0:
- نجد حل المعادلة المنطقية بأكملها ص (س) = 0;
- نتحقق مما إذا كانت الحالة مرضية بالنسبة للجذور الموجودة أثناء الحل ف (س) ≠ 0.
إذا تم استيفاء هذا الشرط ، فسيتم العثور على الجذر ، وإذا لم يكن كذلك ، فلن يكون الجذر حلاً للمشكلة.
مثال 6
أوجد جذور المعادلة 3 · س - 2 5 · س 2-2 = 0.
المحلول
نحن نتعامل مع معادلة عقلانية كسرية بالصيغة p (x) q (x) = 0 ، حيث p (x) = 3 · x - 2 ، q (x) = 5 · x 2 - 2 = 0. لنبدأ في حل المعادلة الخطية 3 س - 2 = 0. سيكون جذر هذه المعادلة س = 2 3.
دعنا نتحقق من الجذر الذي تم العثور عليه ، ما إذا كان يفي بالشرط 5 × 2 - 2 0. للقيام بذلك ، استبدل القيمة الرقمية في التعبير. نحصل على: 5 2 3 2 - 2 \ u003d 5 4 9-2 \ u003d 20 9-2 \ u003d 2 9 ≠ 0.
تم استيفاء الشرط. هذا يعني انه س = 2 3هو جذر المعادلة الأصلية.
إجابه: 2 3 .
يوجد خيار آخر لحل المعادلات المنطقية الكسرية p (x) q (x) = 0. تذكر أن هذه المعادلة تعادل المعادلة بأكملها ص (س) = 0في نطاق القيم المقبولة للمتغير x للمعادلة الأصلية. هذا يسمح لنا باستخدام الخوارزمية التالية في حل المعادلات p (x) q (x) = 0:
- حل المعادلة ص (س) = 0;
- أوجد مدى القيم المقبولة للمتغير x ؛
- نأخذ الجذور التي تقع في منطقة القيم المقبولة للمتغير x كالجذور المرغوبة للمعادلة المنطقية الكسرية الأصلية.
حل المعادلة x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
المحلول
أولًا ، لنحل المعادلة التربيعية × 2 - 2 × - 11 = 0. لحساب جذوره ، نستخدم صيغة الجذر لمعامل ثانٍ زوجي. نحن نحصل د 1 = (- 1) 2-1 (- 11) = 12، و x = 1 ± 2 3.
يمكننا الآن إيجاد ODV لـ x للمعادلة الأصلية. هذه كلها أرقام من أجلها س 2 + 3 س ≠ 0. إنها نفس ملفات س (س + 3) ≠ 0، من أين س ≠ 0 ، س ≠ - 3.
الآن دعنا نتحقق مما إذا كانت الجذور x = 1 ± 2 3 التي تم الحصول عليها في المرحلة الأولى من الحل تقع في نطاق القيم المقبولة للمتغير x. نرى ما يأتي. هذا يعني أن المعادلة المنطقية الكسرية لها جذران x = 1 ± 2 3.
إجابه:س = 1 ± 2 3
طريقة الحل الثانية الموصوفة أبسط من الأولى في الحالات التي يمكن فيها العثور بسهولة على منطقة القيم المقبولة للمتغير x ، وجذور المعادلة ص (س) = 0غير منطقي. على سبيل المثال ، 7 ± 4 26 9. يمكن أن تكون الجذور عقلانية ، ولكن ذات البسط أو المقام الكبير. فمثلا، 127 1101 و − 31 59 . هذا يوفر الوقت لفحص الحالة. ف (س) ≠ 0: من الأسهل بكثير استبعاد الجذور التي لا تناسب ، وفقًا لـ ODZ.
عندما تكون جذور المعادلة ص (س) = 0هي أعداد صحيحة ، فمن الأنسب استخدام أول الخوارزميات الموصوفة لحل المعادلات بالصيغة p (x) q (x) = 0. إيجاد جذور المعادلة بأكملها بشكل أسرع ص (س) = 0، ثم تحقق مما إذا كان الشرط قد تم الوفاء به بالنسبة لهم ف (س) ≠ 0، وعدم إيجاد ODZ ، ثم حل المعادلة ص (س) = 0على هذا ODZ. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه في مثل هذه الحالات يكون من الأسهل عادةً إجراء فحص بدلاً من العثور على ODZ.
المثال 8
أوجد جذور المعادلة (2 x - 1) (x - 6) (x 2-5 x + 14) (x + 1) x 5-15 x 4 + 57 x 3-13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
المحلول
نبدأ بالنظر في المعادلة بأكملها (2 x - 1) (x - 6) (x 2-5 x + 14) (x + 1) = 0وإيجاد جذوره. للقيام بذلك ، نطبق طريقة حل المعادلات من خلال التحليل إلى عوامل. اتضح أن المعادلة الأصلية تعادل مجموعة من أربع معادلات 2 س - 1 = 0 ، س - 6 = 0 ، س 2-5 س + 14 = 0 ، س + 1 = 0 ، ثلاثة منها خطية و واحد هو مربع. نجد الجذور: من المعادلة الأولى س = 1 2من الثانية س = 6، من الثالث - س \ u003d 7 ، س \ u003d - 2 ، من الرابع - س = - 1.
دعونا نتحقق من الجذور التي تم الحصول عليها. من الصعب علينا تحديد ODZ في هذه الحالة ، لأنه لهذا سيتعين علينا حل معادلة جبرية من الدرجة الخامسة. سيكون من الأسهل التحقق من الحالة التي وفقًا لمقام الكسر الموجود في الجانب الأيسر من المعادلة ، يجب ألا يختفي.
بدلًا من ذلك ، استبدل الجذور مكان المتغير x في التعبير × ٥ - ١٥ × ٤ + ٥٧ × ٣ - ١٣ × ٢ + ٢٦ × + ١١٢وحساب قيمتها:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32-15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ؛
6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ؛
7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ؛
(- 2) 5-15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3 - 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 0 ؛
(- 1) 5-15 (- 1) 4 + 57 (- 1) 3-13 (- 1) 2 + 26 (- 1) + 112 = 0.
يسمح لنا التحقق الذي تم إجراؤه بإثبات أن جذور المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية هي 1 2 و 6 و − 2 .
إجابه: 1 2 , 6 , - 2
المثال 9
أوجد جذور المعادلة المنطقية الكسرية 5 × 2 - 7 س - 1 س - 2 × 2 + 5 س - 14 = 0.
المحلول
لنبدأ بالمعادلة (5 × 2-7 × - 1) (س - 2) = 0. لنجد جذوره. يسهل علينا تمثيل هذه المعادلة كمجموعة من المعادلات التربيعية والخطية 5 × 2 - 7 × - 1 = 0و س - 2 = 0.
نستخدم صيغة جذور المعادلة التربيعية لإيجاد الجذور. نحصل على جذرين x = 7 ± 69 10 من المعادلة الأولى ومن الثانية س = 2.
سيكون استبدال قيمة الجذور في المعادلة الأصلية للتحقق من الظروف أمرًا صعبًا للغاية بالنسبة لنا. سيكون من الأسهل تحديد LPV للمتغير x. في هذه الحالة ، DPV للمتغير x هي جميع الأرقام ، باستثناء تلك التي يتم استيفاء الشرط لها س 2 + 5 س - 14 = 0. نحصل على: x ∈ - ∞، - 7 ∪ - 7، 2 ∪ 2، +.
الآن دعنا نتحقق مما إذا كانت الجذور التي وجدناها تنتمي إلى نطاق القيم المقبولة لمتغير x.
الجذور x = 7 ± 69 10 - تنتمي ، لذلك ، فهي جذور المعادلة الأصلية ، و س = 2- لا ينتمي لذلك فهو جذر دخيل.
إجابه:س = 7 ± 69 10.
دعونا نفحص بشكل منفصل الحالات التي يحتوي فيها بسط المعادلة المنطقية الكسرية للصيغة p (x) q (x) = 0 على رقم. في مثل هذه الحالات ، إذا احتوى البسط على رقم غير الصفر ، فلن يكون للمعادلة جذور. إذا كان هذا الرقم يساوي صفرًا ، فسيكون جذر المعادلة أي رقم من ODZ.
المثال 10
حل المعادلة الكسرية المنطقية - 3 ، 2 × 3 + 27 = 0.
المحلول
لن يكون لهذه المعادلة جذور ، لأن بسط الكسر من الجانب الأيسر للمعادلة يحتوي على عدد غير صفري. هذا يعني أنه بالنسبة لأية قيم لـ x ، فإن قيمة الكسر المعطى في حالة المشكلة لن تساوي صفرًا.
إجابه:لا جذور.
المثال 11
حل المعادلة 0 × 4 + 5 × 3 = 0.
المحلول
نظرًا لأن بسط الكسر يساوي صفرًا ، فإن حل المعادلة سيكون أي قيمة لـ x من متغير ODZ x.
الآن دعنا نحدد ODZ. سيتضمن جميع قيم x الخاصة بها × 4 + 5 × 3 0. حلول المعادلات × 4 + 5 × 3 = 0نكون 0 و − 5 ، لأن هذه المعادلة تعادل المعادلة × 3 (س + 5) = 0، وهي بدورها تعادل مجموعة معادلتين x 3 = 0 و س + 5 = 0حيث تظهر هذه الجذور. توصلنا إلى استنتاج مفاده أن النطاق المطلوب للقيم المقبولة هو أي x ، باستثناء س = 0و س = -5.
اتضح أن المعادلة المنطقية الكسرية 0 × 4 + 5 × 3 = 0 لها عدد لا نهائي من الحلول ، وهي أي أرقام باستثناء الصفر و - 5.
إجابه: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
الآن دعنا نتحدث عن المعادلات المنطقية الكسرية ذات الشكل العشوائي وطرق حلها. يمكن كتابتها كـ ص (س) = ث (س)، أين ص (خ)و ق (س)هي تعبيرات عقلانية ، وواحد منها على الأقل كسري. يتم تقليل حل هذه المعادلات إلى حل المعادلات بالصيغة p (x) q (x) = 0.
نعلم بالفعل أنه يمكننا الحصول على معادلة مكافئة عن طريق نقل التعبير من الجانب الأيمن للمعادلة إلى الجانب الأيسر بالإشارة المقابلة. هذا يعني أن المعادلة ص (س) = ث (س)يعادل المعادلة ص (س) - ث (س) = 0. لقد ناقشنا بالفعل كيفية تحويل تعبير كسري إلى كسر كسري. بفضل هذا ، يمكننا بسهولة تحويل المعادلة ص (س) - ث (س) = 0في الجزء المنطقي المتطابق من النموذج p (x) q (x).
لذلك ننتقل من المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية ص (س) = ث (س)إلى معادلة بالصيغة p (x) q (x) = 0 ، والتي تعلمنا بالفعل كيفية حلها.
وتجدر الإشارة إلى أنه عند إجراء انتقالات من ص (س) - ث (س) = 0إلى p (x) q (x) = 0 ثم إلى ص (س) = 0قد لا نأخذ في الاعتبار توسيع نطاق القيم الصالحة للمتغير x.
من الواقعي أن المعادلة الأصلية ص (س) = ث (س)والمعادلة ص (س) = 0نتيجة للتحولات ، سوف تتوقف عن أن تكون متكافئة. ثم حل المعادلة ص (س) = 0يمكن أن تعطينا الجذور التي ستكون غريبة ص (س) = ث (س). في هذا الصدد ، في كل حالة من الضروري إجراء فحص بأي من الطرق الموضحة أعلاه.
لتسهيل دراسة الموضوع ، قمنا بتعميم جميع المعلومات في خوارزمية لحل المعادلة المنطقية الكسرية للنموذج ص (س) = ث (س):
- ننقل التعبير من الجانب الأيمن بعلامة معاكسة ونحصل على صفر على اليمين ؛
- نقوم بتحويل التعبير الأصلي إلى كسر منطقي p (x) q (x) ، ونقوم بإجراء عمليات متتابعة باستخدام الكسور ومتعددة الحدود ؛
- حل المعادلة ص (س) = 0;
- نكشف عن جذور دخيلة عن طريق التحقق من انتمائها إلى ODZ أو عن طريق استبدالها في المعادلة الأصلية.
بصريًا ، ستبدو سلسلة الإجراءات كما يلي:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → التسرب r o n d e r o o n s
المثال 12
حل المعادلة المنطقية الكسرية x x + 1 = 1 x + 1.
المحلول
دعنا ننتقل إلى المعادلة x x + 1 - 1 x + 1 = 0. دعنا نحول التعبير المنطقي الكسري على الجانب الأيسر من المعادلة إلى الصورة p (x) q (x).
للقيام بذلك ، علينا اختزال الكسور الكسرية إلى مقام موحد وتبسيط التعبير:
س س + 1 - 1 س - 1 = س س - 1 (س + 1) - 1 س (س + 1) س (س + 1) = = س 2 - س - 1 - س 2 - س س (س + 1) = - 2 × - 1 × (× + 1)
لإيجاد جذور المعادلة - 2 س - 1 س (س + 1) = 0 ، علينا حل المعادلة - 2 × - 1 = 0. نحصل على جذر واحد س = - 1 2.
يبقى علينا إجراء الفحص بأي من الطرق. دعونا نفكر في كليهما.
استبدل القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية. نحصل على - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. لقد وصلنا إلى المساواة العددية الصحيحة − 1 = − 1 . هذا يعني انه س = - 1 2هو جذر المعادلة الأصلية.
الآن سوف نتحقق من خلال ODZ. دعنا نحدد مساحة القيم المقبولة للمتغير x. ستكون هذه المجموعة الكاملة من الأرقام ، باستثناء - 1 و 0 (عندما تكون x = - 1 و x = 0 ، تختفي مقامات الكسور). الجذر الذي حصلنا عليه س = - 1 2ينتمي إلى ODZ. هذا يعني أنه جذر المعادلة الأصلية.
إجابه: − 1 2 .
المثال 13
أوجد جذور المعادلة x 1 x + 3-1 x = - 2 3 x.
المحلول
نحن نتعامل مع معادلة منطقية كسرية. لذلك ، سوف نتصرف وفقًا للخوارزمية.
لننقل التعبير من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر بالإشارة المعاكسة: x 1 x + 3-1 x + 2 3 x = 0
دعنا ننفذ التحولات اللازمة: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
نأتي إلى المعادلة س = 0. جذر هذه المعادلة هو صفر.
دعنا نتحقق مما إذا كان هذا الجذر هو الجذر الأجنبي للمعادلة الأصلية. عوّض بالقيمة في المعادلة الأصلية: 0 1 0 + 3-1 0 = - 2 3 0. كما ترى ، فإن المعادلة الناتجة لا معنى لها. هذا يعني أن 0 هو جذر خارجي ، وأن المعادلة المنطقية الكسرية الأصلية ليس لها جذور.
إجابه:لا جذور.
إذا لم نقم بتضمين تحويلات مكافئة أخرى في الخوارزمية ، فهذا لا يعني على الإطلاق أنه لا يمكن استخدامها. تعد الخوارزمية عالمية ، لكنها مصممة للمساعدة وليس للحد.
المثال 14
حل المعادلة ٧ + ١ ٣ + ١ ٢ + ١ ٥ - س ٢ = ٧ ٧ ٢٤
المحلول
أسهل طريقة هي حل المعادلة المنطقية الكسرية وفقًا للخوارزمية. لكن هناك طريقة أخرى. لنفكر فيه.
اطرح من الجزأين الأيمن والأيسر 7 ، نحصل على: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \ u003d 7 24.
من هذا يمكننا أن نستنتج أن التعبير في مقام الطرف الأيسر يجب أن يكون مساويًا لعدد مقلوب الرقم من الطرف الأيمن ، أي 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
اطرح من كلا الجزأين 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. بالقياس 2 + 1 5 - × 2 \ u003d 7 3 ، من حيث 1 5 - × 2 \ u003d 1 3 ، والمزيد 5 - × 2 \ u003d 3 ، × 2 \ u003d 2 ، س \ u003d ± 2
دعنا نتحقق لمعرفة ما إذا كانت الجذور الموجودة هي جذور المعادلة الأصلية.
إجابه:س = ± 2
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
حتى الآن ، قمنا فقط بحل معادلات عدد صحيح فيما يتعلق بالمجهول ، أي المعادلات التي لا تحتوي فيها القواسم (إن وجدت) على المجهول.
غالبًا ما يتعين عليك حل المعادلات التي تحتوي على المجهول في القواسم: تسمى هذه المعادلات كسريًا.
لحل هذه المعادلة ، نضرب طرفيها في كثير الحدود الذي يحتوي على المجهول. هل ستكون المعادلة الجديدة معادلة للمعادلة المعطاة؟ للإجابة على السؤال ، دعنا نحل هذه المعادلة.
بضرب طرفيها نحصل على:
لحل هذه المعادلة من الدرجة الأولى نجد:
إذن ، المعادلة (2) لها جذر واحد
بالتعويض عنها في المعادلة (1) ، نحصل على:
ومن ثم ، فهو أيضًا جذر المعادلة (1).
المعادلة (1) ليس لها جذور أخرى. في مثالنا ، يمكن ملاحظة ذلك ، على سبيل المثال ، من حقيقة أنه في المعادلة (1)
كيف يجب أن يكون القاسم المجهول مساويًا للمقسوم 1 مقسومًا على حاصل القسمة 2 ، أي
لذا ، فإن المعادلتين (1) و (2) لها جذر واحد ، ومن ثم فهي متكافئة.
2. نحل المعادلة التالية الآن:
أبسط قاسم مشترك:؛ اضرب جميع شروط المعادلة بها:
بعد التخفيض نحصل على:
دعنا نفدد الأقواس:
عند إحضار مثل هذه الشروط ، لدينا:
لحل هذه المعادلة نجد:
بالتعويض في المعادلة (1) ، نحصل على:
على الجانب الأيسر ، تلقينا تعابير لا معنى لها.
ومن ثم ، فإن جذر المعادلة (1) ليس كذلك. هذا يعني أن المعادلات (1) وليست متكافئة.
في هذه الحالة ، نقول أن المعادلة (1) قد اكتسبت جذرًا غريبًا.
دعونا نقارن حل المعادلة (1) بحل المعادلات التي درسناها سابقًا (انظر الفقرة 51). في حل هذه المعادلة ، كان علينا إجراء عمليتين من هذا القبيل لم نرهما من قبل: أولاً ، قمنا بضرب طرفي المعادلة بتعبير يحتوي على المجهول (القاسم المشترك) ، وثانيًا ، قللنا الكسور الجبرية بواسطة عوامل تحتوي على المجهول.
بمقارنة المعادلة (1) مع المعادلة (2) ، نرى أنه ليست كل قيم x الصالحة للمعادلة (2) صالحة للمعادلة (1).
إن الأرقام 1 و 3 ليست قيمًا مقبولة للمجهول في المعادلة (1) ، ونتيجة للتحول أصبحت مقبولة للمعادلة (2). تبين أن أحد هذه الأرقام هو حل للمعادلة (2) ، لكنه بالطبع لا يمكن أن يكون حلاً للمعادلة (1). المعادلة (1) ليس لها حلول.
يوضح هذا المثال أنه عند ضرب كلا الجزأين من المعادلة بعامل يحتوي على المجهول ، وعند تقليل الكسور الجبرية ، يمكن الحصول على معادلة لا تعادل المعطى المعطى ، وهي: يمكن أن تظهر الجذور الخارجية.
ومن ثم نستنتج الاستنتاج التالي. عند حل معادلة تحتوي على مجهول في المقام ، يجب التحقق من الجذور الناتجة بالتعويض في المعادلة الأصلية. يجب التخلص من الجذور الدخيلة.
"المعادلات المنطقية مع كثيرات الحدود" هي واحدة من أكثر الموضوعات التي يتم مواجهتها بشكل متكرر في اختبارات الاستخدام في الرياضيات. لهذا السبب ، ينبغي إيلاء اهتمام خاص لتكرارها. يواجه العديد من الطلاب مشكلة إيجاد المميز ونقل المؤشرات من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر وإحضار المعادلة إلى قاسم مشترك مما يجعل من الصعب إكمال مثل هذه المهام. سيساعدك حل المعادلات المنطقية استعدادًا للامتحان على موقعنا على التعامل بسرعة مع المهام بأي تعقيد واجتياز الاختبار بشكل مثالي.
اختر البوابة التعليمية "شكلكوفو" لتحضير ناجح لامتحان الرياضيات الموحد!
لمعرفة قواعد حساب المجهول والحصول على النتائج الصحيحة بسهولة ، استخدم خدمتنا عبر الإنترنت. بوابة شكولكوفو هي عبارة عن منصة فريدة من نوعها حيث يتم جمع المواد اللازمة للتحضير للامتحان. نظم مدرسونا جميع القواعد الرياضية وقدموا في شكل مفهوم. بالإضافة إلى ذلك ، ندعو تلاميذ المدارس لتجربة أيديهم في حل المعادلات المنطقية النموذجية ، والتي يتم تحديث قاعدتها وتكميلها باستمرار.
لمزيد من التحضير الفعال للاختبار ، نوصيك باتباع طريقتنا الخاصة والبدء بتكرار القواعد وحل المشكلات البسيطة ، والانتقال تدريجيًا إلى المشكلات الأكثر تعقيدًا. وبذلك يكون الخريج قادرًا على إبراز أصعب الموضوعات لنفسه والتركيز على دراسته.
ابدأ بالتحضير للاختبار النهائي مع شكولكوفو اليوم ، والنتيجة لن تجعلك تنتظر! اختر أسهل مثال من تلك المعطاة. إذا أتقنت التعبير بسرعة ، فانتقل إلى مهمة أكثر صعوبة. لذلك يمكنك تحسين معرفتك حتى حل مهام الاستخدام في الرياضيات على مستوى الملف الشخصي.
التعليم متاح ليس فقط للخريجين من موسكو ، ولكن أيضًا لأطفال المدارس من المدن الأخرى. اقض بضع ساعات يوميًا في الدراسة على بوابتنا ، على سبيل المثال ، وسرعان ما ستتمكن من التعامل مع المعادلات بأي تعقيد!
