مستوى اول

المتوالية العددية. النظرية التفصيلية مع الأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك ما تريد (في حالتنا ، هم). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها ، يمكننا دائمًا تحديد أي منهم هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا إلى الأخير ، أي يمكننا ترقيمها. هذا مثال على تسلسل رقمي:

تسلسل رقمي
على سبيل المثال ، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص محدد لرقم تسلسل واحد فقط. بمعنى آخر ، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في التسلسل. الرقم الثاني (مثل الرقم -th) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

في حالتنا هذه:

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.
على سبيل المثال:

إلخ.
يسمى هذا التسلسل العددي بالتقدم الحسابي.
تم تقديم مصطلح "التقدم" من قبل المؤلف الروماني بوثيوس في وقت مبكر من القرن السادس وتم فهمه بمعنى أوسع على أنه تسلسل رقمي لا نهاية له. تم نقل اسم "الحساب" من نظرية النسب المستمرة التي انخرط فيها الإغريق القدماء.

هذا تسلسل رقمي ، كل عضو فيه يساوي التسلسل السابق ، مضافًا بنفس الرقم. يسمى هذا الرقم باختلاف التقدم الحسابي ويشار إليه.

حاول تحديد التسلسلات الرقمية التي تعتبر تقدمًا حسابيًا وأيها ليست:

أ)
ب)
ج)
د)

فهمتها؟ قارن إجاباتنا:
يكونالتقدم الحسابي - ب ، ج.
ليسالتقدم الحسابي - أ ، د.

دعنا نعود إلى التقدم المعطى () ونحاول إيجاد قيمة العضو العاشر. موجود اثنينطريقة للعثور عليه.

1. الطريقة

يمكننا أن نضيف إلى القيمة السابقة لرقم التقدم حتى نصل إلى الحد العاشر من التقدم. من الجيد أنه ليس لدينا الكثير لتلخيصه - ثلاث قيم فقط:

إذن ، العضو -th في التقدم الحسابي الموصوف يساوي.

2. الطريق

ماذا لو احتجنا لإيجاد قيمة الحد ال عشر للتقدم؟ كان الجمع سيستغرق منا أكثر من ساعة ، وليس حقيقة أننا لم نكن نرتكب أخطاء عند جمع الأرقام.
بالطبع ، توصل علماء الرياضيات إلى طريقة لا تحتاج فيها إلى إضافة فرق التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة. انظر عن كثب إلى الصورة المرسومة ... بالتأكيد لاحظت بالفعل نمطًا معينًا ، وهو:

على سبيل المثال ، دعنا نرى ما الذي يُكوِّن قيمة العضو رقم -th في هذا التقدم الحسابي:


بعبارة أخرى:

حاول أن تجد بهذه الطريقة بشكل مستقل قيمة عضو في هذا التقدم الحسابي.

محسوب؟ قارن إدخالاتك بالإجابة:

انتبه إلى أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة ، عندما أضفنا على التوالي أعضاء التقدم الحسابي إلى القيمة السابقة.
دعنا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فنحن نضعها في شكل عام ونحصل على:

معادلة التقدم الحسابي.

التدرجات الحسابية تتزايد أو تتناقص.

في ازدياد- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أكبر من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تنازلي- التدرجات التي تكون فيها كل قيمة لاحقة للمصطلحات أقل من القيمة السابقة.
على سبيل المثال:

تُستخدم الصيغة المشتقة في حساب المصطلحات في كل من المصطلحات المتزايدة والمتناقصة للتقدم الحسابي.
دعنا نتحقق من ذلك في الممارسة.
يتم منحنا تقدمًا حسابيًا يتكون من الأرقام التالية:

منذ ذلك الحين:

وبالتالي ، كنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل في تقليل التقدم الحسابي وزيادة حجمه.
حاول أن تجد العضوين -th و -th في هذا التقدم الحسابي بنفسك.

لنقارن النتائج:

خاصية التقدم الحسابي

دعونا نعقد المهمة - نشتق خاصية التقدم الحسابي.
لنفترض أننا حصلنا على الشرط التالي:
- التقدم الحسابي ، أوجد القيمة.
إنه سهل ، كما تقول ، وابدأ في العد وفقًا للصيغة التي تعرفها بالفعل:

دعونا إذن:

صح تماما. اتضح أننا وجدنا أولًا ، ثم نضيفه إلى الرقم الأول ونحصل على ما نبحث عنه. إذا تم تمثيل التقدم بقيم صغيرة ، فلا يوجد شيء معقد بشأنه ، ولكن ماذا لو تم إعطاؤنا أرقامًا في الحالة؟ موافق ، هناك احتمال لارتكاب أخطاء في الحسابات.
فكر الآن ، هل من الممكن حل هذه المشكلة في خطوة واحدة باستخدام أي صيغة؟ بالطبع ، نعم ، وسنحاول إخراجها الآن.

دعنا نشير إلى المصطلح المطلوب للتقدم الحسابي حيث أننا نعرف صيغة إيجاده - هذه هي نفس الصيغة التي اشتقناها في البداية:
، ثم:

• العضو السابق في التقدم هو:
• الفصل التالي من التقدم هو:

دعنا نلخص الأعضاء السابقين والتاليين في التقدم:

اتضح أن مجموع الأعضاء السابقين واللاحقين للتقدم هو ضعف قيمة عضو التقدم الموجود بينهما. بمعنى آخر ، من أجل العثور على قيمة عضو التقدم مع القيم المعروفة السابقة والمتتالية ، من الضروري إضافتهم والقسمة على.

هذا صحيح ، لدينا نفس الرقم. دعونا نصلح المادة. احسب قيمة التقدم بنفسك ، لأنها ليست صعبة على الإطلاق.

أحسنت! أنت تعرف كل شيء تقريبًا عن التقدم! يبقى أن نكتشف صيغة واحدة فقط ، والتي ، وفقًا للأسطورة ، واحدة من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، "ملك علماء الرياضيات" - كارل غاوس ، استنتجها لنفسه بسهولة ...

عندما كان كارل غاوس يبلغ من العمر 9 سنوات ، كان المعلم مشغولًا بفحص عمل الطلاب من الفصول الأخرى ، وسأل المهمة التالية في الدرس: "احسب مجموع جميع الأعداد الطبيعية من أعلى (وفقًا لمصادر أخرى حتى). " ما كانت مفاجأة المعلم عندما أعطى أحد طلابه (كان كارل جاوس) بعد دقيقة الإجابة الصحيحة على المهمة ، بينما تلقى معظم زملائه في الصف المتهور بعد حسابات طويلة النتيجة الخاطئة ...

لاحظ Young Carl Gauss نمطًا يمكنك ملاحظته بسهولة.
لنفترض أن لدينا تقدمًا حسابيًا يتكون من -ti أعضاء: نحتاج إلى إيجاد مجموع الأعضاء المعينين للتقدم الحسابي. بالطبع ، يمكننا جمع كل القيم يدويًا ، ولكن ماذا لو احتجنا إلى إيجاد مجموع شروطها في المهمة ، كما كان يبحث عنها غاوس؟

دعونا نصور التقدم المعطى لنا. انظر عن كثب إلى الأرقام المميزة وحاول إجراء عمليات حسابية مختلفة معهم.


حاول؟ ماذا لاحظت؟ يمين! مبالغهم متساوية

أجب الآن ، كم عدد هذه الأزواج في التقدم المعطى لنا؟ بالطبع ، بالضبط نصف كل الأرقام ، هذا هو.
استنادًا إلى حقيقة أن مجموع حدين من التقدم الحسابي متساوٍ ، وأزواج متساوية متشابهة ، نحصل على أن المجموع الكلي يساوي:
.
وبالتالي ، فإن صيغة مجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي ستكون:

في بعض المشاكل ، لا نعرف المصطلح ال ، لكننا نعرف فرق التقدم. حاول الاستعاضة في صيغة الجمع ، صيغة العضو ال.
على ماذا حصلت؟

أحسنت! الآن دعنا نعود إلى المسألة التي أعطيت لكارل غاوس: احسب بنفسك مجموع الأرقام التي تبدأ من -th ، ومجموع الأرقام التي تبدأ من -th.

كم لم تحصل عليه؟
اتضح جاوس أن مجموع المصطلحات متساوٍ ومجموع المصطلحات. هل هذه هي الطريقة التي قررت بها؟

في الواقع ، تم إثبات صيغة مجموع أعضاء التقدم الحسابي من قبل العالم اليوناني القديم ديوفانتوس في القرن الثالث ، وطوال هذا الوقت ، استخدم الأشخاص البارعون خصائص التقدم الحسابي مع القوة والرئيسية.
على سبيل المثال ، تخيل مصر القديمة وأكبر موقع بناء في ذلك الوقت - بناء هرم ... يوضح الشكل جانبًا واحدًا منه.

أين التقدم هنا تقول؟ انظر بعناية وابحث عن نمط في عدد الكتل الرملية في كل صف من جدار الهرم.


لماذا ليس التقدم الحسابي؟ احسب عدد الكتل اللازمة لبناء جدار واحد إذا تم وضع قوالب الطوب في القاعدة. أتمنى ألا تحسب من خلال تحريك إصبعك على الشاشة ، هل تتذكر الصيغة الأخيرة وكل ما قلناه عن التقدم الحسابي؟

في هذه الحالة ، يبدو التقدم كما يلي:
فرق التقدم الحسابي.
عدد أعضاء التقدم الحسابي.
دعنا نستبدل بياناتنا في الصيغ الأخيرة (نحسب عدد الكتل بطريقتين).

طريقة 1.

الطريقة الثانية.

والآن يمكنك أيضًا إجراء الحساب على الشاشة: قارن القيم التي تم الحصول عليها بعدد الكتل الموجودة في هرمنا. هل وافقت؟ أحسنت صنعًا ، لقد أتقنت مجموع شروط التقدم الحسابي.
طبعا لايمكنك بناء هرم من الكتل في القاعدة لكن من؟ حاول حساب عدد الطوب الرملي المطلوب لبناء جدار بهذه الحالة.
هل تستطيع فعلها؟
الجواب الصحيح هو الكتل:

تمرين

مهام:

1. ماشا تتأقلم مع الصيف. كل يوم تزيد من عدد القرفصاء. كم مرة ستجلس ماشا القرفصاء في أسابيع إذا مارست القرفصاء في التمرين الأول.
2. ما هو مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في.
3. عند تخزين السجلات ، يقوم الحطاب بتكديسها بحيث تحتوي كل طبقة عليا على سجل أقل من سابقتها. كم عدد السجلات الموجودة في البناء الواحد ، إذا كانت قاعدة البناء عبارة عن سجلات.

الإجابات:

1. دعونا نحدد معلمات التقدم الحسابي. في هذه الحالة
   (أسابيع = أيام).

   إجابة:في غضون أسبوعين ، يجب أن تجلس ماشا مرة واحدة في اليوم.

2. أول رقم فردي وآخر رقم.
   فرق التقدم الحسابي.
   عدد الأعداد الفردية في - النصف ، ومع ذلك ، تحقق من هذه الحقيقة باستخدام الصيغة لإيجاد العنصر -th في التقدم الحسابي:

   الأرقام تحتوي على أرقام فردية.
   نستبدل البيانات المتاحة في الصيغة:

   إجابة:مجموع كل الأعداد الفردية الواردة في يساوي.

3. أذكر مشكلة الأهرامات. بالنسبة لحالتنا ، أ ، نظرًا لأنه يتم تقليل كل طبقة عليا بواسطة سجل واحد ، فلا يوجد سوى مجموعة من الطبقات ، أي.
   استبدل البيانات الموجودة في الصيغة:

   إجابة:هناك سجلات في البناء.

تلخيص لما سبق

1. - تسلسل رقمي يكون فيه الاختلاف بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا. إنه يتزايد ويتناقص.
2. إيجاد الصيغةتتم كتابة العضو العاشر في التقدم الحسابي بواسطة الصيغة - ، حيث يوجد عدد الأرقام في التقدم.
3. خاصية أعضاء التقدم الحسابي- - أين - عدد الأرقام في التقدم.
4. مجموع أعضاء التقدم الحسابييمكن العثور عليها بطريقتين:
   
   ، أين هو عدد القيم.

المتوالية العددية. مستوى متوسط

تسلسل رقمي

دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام ، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده. لكن يمكنك دائمًا معرفة أيهما هو الأول ، وهو الثاني ، وهكذا ، أي يمكننا ترقيمهما. هذا مثال على تسلسل رقمي.

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام ، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

بمعنى آخر ، يمكن ربط كل رقم برقم طبيعي معين ، واحد فقط. ولن نخصص هذا الرقم لأي رقم آخر من هذه المجموعة.

الرقم الذي يحتوي على الرقم يسمى العضو -th في التسلسل.

عادة ما نطلق على التسلسل الكامل بعض الأحرف (على سبيل المثال ،) ، وكل عضو في هذا التسلسل - نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو:.

إنه مناسب جدًا إذا كان من الممكن إعطاء العضو -th في التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال ، الصيغة

يحدد التسلسل:

والصيغة هي التسلسل التالي:

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة (المصطلح الأول هنا متساوٍ والفرق). أو (فرق).

صيغة مصطلح nth

نسمي المتكرر صيغة تحتاج فيها إلى معرفة المصطلح السابق أو السابق:

لإيجاد ، على سبيل المثال ، المصطلح العاشر للتقدم باستخدام مثل هذه الصيغة ، علينا حساب التسعة السابقة. على سبيل المثال ، دعونا. ثم:

حسنًا ، الآن من الواضح ما هي الصيغة؟

في كل سطر ، نضيف إلى ، مضروبًا في عدد ما. لماذا؟ بسيط جدًا: هذا هو رقم العضو الحالي مطروحًا منه:

أكثر راحة الآن ، أليس كذلك؟ نحن نفحص:

تقرر لنفسك:

في التقدم الحسابي ، أوجد صيغة الحد النوني وأوجد الحد المائة.

حل:

المصطلح الأول متساوي. وما الفرق؟ وإليك ما يلي:

(بعد كل شيء ، يطلق عليه الفرق لأنه يساوي اختلاف الأعضاء المتعاقبين في التقدم).

إذن الصيغة هي:

ثم المصطلح المائة هو:

ما هو مجموع كل الأعداد الطبيعية من إلى؟

وفقًا للأسطورة ، قام عالم الرياضيات العظيم كارل جاوس ، وهو صبي يبلغ من العمر 9 سنوات ، بحساب هذا المبلغ في بضع دقائق. لقد لاحظ أن مجموع العددين الأول والأخير متساويان ، ومجموع الثاني وما قبل الأخير هو نفسه ، ومجموع الثالث والثالث من النهاية هو نفسه ، وهكذا. كم عدد الأزواج الموجودة؟ هذا صحيح ، بالضبط نصف عدد كل الأرقام ، أي. لذا،

ستكون الصيغة العامة لمجموع المصطلحات الأولى لأي تقدم حسابي:

مثال:
أوجد مجموع كل المضاعفات المكونة من رقمين.

حل:

الرقم الأول من هذا القبيل هو هذا. يتم الحصول على كل تالية عن طريق إضافة رقم إلى الرقم السابق. وهكذا ، فإن الأرقام التي تهمنا تشكل تقدمًا حسابيًا مع المصطلح الأول والفرق.

صيغة المصطلح العاشر لهذا التقدم هي:

كم عدد المصطلحات في التقدم إذا كان يجب أن تكون جميعها من رقمين؟

سهل جدا: .

سيكون المصطلح الأخير من التقدم متساويًا. ثم المجموع:

إجابة: .

قرر الآن بنفسك:

1. في كل يوم ، يركض الرياضي 1 متر أكثر من اليوم السابق. كم كيلومترًا سيجري في أسابيع إذا ركض كيلومترًا في اليوم الأول؟
2. يركب راكب الدراجة أميالًا كل يوم أكثر من سابقه. في اليوم الأول سافر كيلومترًا. كم يوما يجب عليه القيادة لقطع كيلومتر واحد؟ كم كيلومترًا سيقطعه في اليوم الأخير من الرحلة؟
3. يتم تخفيض سعر الثلاجة في المتجر بنفس المبلغ كل عام. حدد مقدار انخفاض سعر الثلاجة كل عام إذا تم بيعها مقابل روبل بعد ست سنوات ، معروضة للبيع مقابل روبل.

الإجابات:

1. أهم شيء هنا هو التعرف على التقدم الحسابي وتحديد معاملاته. في هذه الحالة (أسابيع = أيام). تحتاج إلى تحديد مجموع الشروط الأولى لهذا التقدم:
   .
   إجابة:
2. هنا يعطى: ، من الضروري أن تجد.
   من الواضح أنك تحتاج إلى استخدام نفس صيغة الجمع كما في المسألة السابقة:
   .
   استبدل القيم:

   من الواضح أن الجذر غير مناسب ، لذا فإن الإجابة.
   لنحسب المسافة المقطوعة خلال اليوم الأخير باستخدام صيغة المصطلح -th:
   (كم).
   إجابة:

3. منح: . يجد: .
   لا يصبح الأمر أسهل:
   (فرك).
   إجابة:

المتوالية العددية. باختصار حول الرئيسي

هذا تسلسل رقمي يكون فيه الفرق بين الأعداد المتجاورة متساويًا ومتساويًا.

يتزايد التقدم الحسابي () ويتناقص ().

على سبيل المثال:

صيغة إيجاد العضو رقم n للتقدم الحسابي

مكتوب كصيغة ، حيث عدد الأرقام في التقدم.

خاصية أعضاء التقدم الحسابي

يسهل العثور على عضو في التقدم إذا كان الأعضاء المجاورون معروفين - أين عدد الأرقام في التقدم.

مجموع أعضاء التقدم الحسابي

هناك طريقتان لإيجاد المجموع:

أين عدد القيم.

أين عدد القيم.

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

لاجتياز الامتحان بنجاح ، للقبول في المعهد بميزانية محدودة ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - 999 فرك.

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

في الحالة الثانية سنقدم لكمجهاز محاكاة "6000 مهمة مع حلول وإجابات ، لكل موضوع ، لجميع مستويات التعقيد." يكفي بالتأكيد أن تحصل على يدك في حل المشكلات في أي موضوع.

في الواقع ، هذا أكثر بكثير من مجرد جهاز محاكاة - برنامج تدريبي كامل. إذا لزم الأمر ، يمكنك أيضًا استخدامه مجانًا.

يتم توفير الوصول إلى جميع النصوص والبرامج طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

قبل أن نبدأ في اتخاذ القرار مشاكل التقدم الحسابي، ضع في اعتبارك ماهية التسلسل الرقمي ، لأن التقدم الحسابي هو حالة خاصة من التسلسل الرقمي.

التسلسل الرقمي هو مجموعة عددية ، لكل عنصر رقم تسلسلي خاص به. تسمى عناصر هذه المجموعة أعضاء التسلسل. يُشار إلى الرقم الترتيبي لعنصر التسلسل بواسطة فهرس:

العنصر الأول في التسلسل ؛

العنصر الخامس في التسلسل.

- العنصر "nth" في التسلسل ، أي العنصر "يقف في قائمة الانتظار" في الرقم ن.

هناك تبعية بين قيمة عنصر التسلسل ورقمه الترتيبي. لذلك ، يمكننا اعتبار التسلسل كدالة تكون وسيطتها هي الرقم الترتيبي لعنصر من عناصر التسلسل. بعبارة أخرى ، يمكن للمرء أن يقول ذلك التسلسل هو دالة للحجة الطبيعية:

يمكن تحديد التسلسل بثلاث طرق:

1 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام جدول.في هذه الحالة ، نقوم ببساطة بتعيين قيمة كل عضو في التسلسل.

على سبيل المثال ، قرر شخص ما القيام بإدارة الوقت الشخصية ، والبدء بحساب مقدار الوقت الذي يقضيه في فكونتاكتي خلال الأسبوع. من خلال كتابة الوقت في جدول ، سيحصل على تسلسل يتكون من سبعة عناصر:

يحتوي السطر الأول من الجدول على رقم يوم الأسبوع ، والثاني - الوقت بالدقائق. نرى أنه ، يوم الاثنين ، قضى شخص ما 125 دقيقة في فكونتاكتي ، أي يوم الخميس - 248 دقيقة ، أي يوم الجمعة ، 15 دقيقة فقط.

2 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة العضو رقم n.

في هذه الحالة ، يتم التعبير عن اعتماد قيمة عنصر التسلسل على رقمه مباشرة كصيغة.

على سبيل المثال ، إذا ، إذن

لإيجاد قيمة عنصر تسلسل برقم معين ، نستبدل رقم العنصر في صيغة العضو رقم n.

نفعل الشيء نفسه إذا احتجنا إلى إيجاد قيمة دالة إذا كانت قيمة الوسيطة معروفة. نستبدل قيمة الوسيطة بدلاً من ذلك في معادلة الوظيفة:

إذا ، على سبيل المثال ، ، الذي - التي

مرة أخرى ، ألاحظ أنه في تسلسل ، على عكس دالة رقمية عشوائية ، يمكن أن يكون الرقم الطبيعي فقط حجة.

3 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة تعبر عن اعتماد قيمة عضو التسلسل بالرقم n على قيمة الأعضاء السابقين. في هذه الحالة ، لا يكفي أن نعرف فقط رقم عضو التسلسل لإيجاد قيمته. نحتاج إلى تحديد العضو الأول أو أول عدد قليل من الأعضاء في التسلسل.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسل ,

يمكننا إيجاد قيم أعضاء المتسلسلة في تسلسلابتداء من الثالث:

أي أنه في كل مرة للعثور على قيمة العنصر التاسع في المتسلسلة ، نعود إلى العنصرين السابقين. تسمى طريقة التسلسل هذه متكرر، من الكلمة اللاتينية متكرر- عد.

الآن يمكننا تحديد التقدم الحسابي. التقدم الحسابي هو حالة خاصة بسيطة من التسلسل العددي.

المتوالية العددية يسمى تسلسل عددي ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، مضافًا بنفس الرقم.

الرقم يسمى الفرق في التقدم الحسابي. يمكن أن يكون الاختلاف في التقدم الحسابي موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.

إذا كان العنوان = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} في ازدياد.

على سبيل المثال ، 2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ أحد عشر؛...

إذا ، فإن كل مصطلح من التقدم الحسابي أقل من السابق ، والتقدم هو يتضاءل.

على سبيل المثال ، 2 ؛ -1 ؛ -4 ؛ -7 ؛ ...

إذا ، فإن جميع أعضاء التقدم متساوون مع نفس الرقم ، والتقدم هو ثابت.

على سبيل المثال ، 2 ؛ 2 ؛ 2 ؛ 2 ؛ ...

الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي:

لنلق نظرة على الصورة.

نحن نرى ذلك

، وفي نفس الوقت

بإضافة هاتين المتعادلتين ، نحصل على:

.

قسّم طرفي المعادلة على 2:

إذن ، كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي لاثنين من المتجاورين:

علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين

، وفي نفس الوقت

، الذي - التي

، وبالتالي

يبدأ كل عضو في التقدم الحسابي بالعنوان = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

صيغة العضو ال.

نرى أنه بالنسبة لأعضاء التقدم الحسابي ، فإن العلاقات التالية تصمد:

وأخيرا

حصلنا صيغة المصطلح n.

مهم!يمكن التعبير عن أي عضو في التقدم الحسابي من حيث و. بمعرفة المصطلح الأول وفرق التقدم الحسابي ، يمكنك العثور على أي من أعضائه.

مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي.

في التقدم الحسابي التعسفي ، تكون مجموع المصطلحات المتباعدة بشكل متساوٍ عن المتطرفين متساوية مع بعضها البعض:

ضع في اعتبارك التقدم الحسابي مع n من الأعضاء. دع مجموع n من أعضاء هذا التقدم يكون مساويًا لـ.

رتب شروط التقدم أولاً بترتيب تصاعدي للأرقام ، ثم بترتيب تنازلي:

دعنا نجمعها:

المجموع في كل قوس هو ، عدد الأزواج ن.

نحن نحصل:

لذا، يمكن إيجاد مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي باستخدام الصيغ:

يعتبر حل مشاكل التقدم الحسابي.

1 . يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة العضو التاسع: . إثبات أن هذا التسلسل هو تطور حسابي.

دعنا نثبت أن الفرق بين عضوين متجاورين في المتسلسلة يساوي نفس العدد.

لقد توصلنا إلى أن الفرق بين عضوين متجاورين في المتسلسلة لا يعتمد على عددهما وهو ثابت. لذلك ، بحكم التعريف ، هذا التسلسل هو تقدم حسابي.

2 . بالنظر إلى التقدم الحسابي -31 ؛ -27 ؛ ...

أ) ابحث عن 31 مصطلحًا للتقدم.

ب) تحديد ما إذا كان الرقم 41 مدرجًا في هذا التقدم.

أ)نحن نرى ذلك ؛

دعنا نكتب صيغة الحد التاسع لتقدمنا.

على العموم

في حالتنا هذه ، لهذا

كانت مشاكل التقدم الحسابي موجودة بالفعل في العصور القديمة. ظهروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.

لذلك ، في إحدى برديات مصر القديمة ، والتي تحتوي على محتوى رياضي - بردية Rhind (القرن التاسع عشر قبل الميلاد) - تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة مقاييس من الخبز إلى عشرة أشخاص ، بشرط أن يكون الفرق بين كل منها واحدًا. ثمن القياس.

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء ، توجد نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. لذلك ، صاغ Hypsicles of Alexandria (القرن الثاني ، الذي جمع العديد من المشكلات الشيقة وأضف الكتاب الرابع عشر إلى "Elements" لإقليدس ، الفكرة التالية: "في التقدم الحسابي مع عدد زوجي من الأعضاء ، مجموع أعضاء النصف الثاني أكبر من مجموع أعضاء الأول من قبل أعضاء المربع 1/2.

يتم الإشارة إلى التسلسل. تسمى أرقام التسلسل أعضائها ويتم الإشارة إليها عادةً بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى الرقم التسلسلي لهذا العضو (a1 ، a2 ، a3 ... تقرأ: "a 1st" ، "a 2nd" ، "a 3rd "وما إلى ذلك).

يمكن أن يكون التسلسل غير محدود أو محدود.

ما هو التقدم الحسابي؟ يُفهم أنه تم الحصول عليه عن طريق إضافة المصطلح السابق (n) بنفس الرقم d ، وهو اختلاف التقدم.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ، ثم يعتبر هذا التقدم في تزايد.

يقال إن التقدم الحسابي محدود إذا تم أخذ عدد قليل من مصطلحاته الأولى في الاعتبار. مع وجود عدد كبير جدًا من الأعضاء ، يعد هذا بالفعل تقدمًا لا نهائيًا.

يتم إعطاء أي تقدم حسابي بالمعادلة التالية:

an = kn + b ، بينما b و k بعض الأرقام.

العبارة ، التي هي عكس ذلك ، صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء التسلسل بصيغة مماثلة ، فهذا بالضبط تقدم حسابي ، له الخصائص:

1. كل عضو في التقدم هو المتوسط ​​الحسابي للعضو السابق والعضو التالي.
2. العكس: إذا كان كل مصطلح ، بدءًا من المصطلح الثاني ، هو المتوسط ​​الحسابي للمصطلح السابق والتالي ، أي إذا تم استيفاء الشرط ، فإن التسلسل المحدد هو تقدم حسابي. هذه المساواة هي في نفس الوقت علامة على التقدم ، لذلك عادة ما تسمى خاصية مميزة للتقدم.
   بالطريقة نفسها ، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: التسلسل هو تقدم حسابي فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من أعضاء المتسلسلة ، بدءًا من الثانية.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام للتقدم الحسابي بالصيغة a + am = ak + al إذا كانت n + m = k + l (m ، n ، k هي أرقام التقدم).

في التقدم الحسابي ، يمكن العثور على أي مصطلح (Nth) ضروري من خلال تطبيق الصيغة التالية:

على سبيل المثال: يتم إعطاء المصطلح الأول (a1) في التقدم الحسابي ويساوي ثلاثة ، والفرق (د) يساوي أربعة. تحتاج إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ 45 = 1 + 4 (45-1) = 177

تسمح لك الصيغة a = ak + d (n - k) بتحديد العضو n من التقدم الحسابي من خلال أي من أعضائه k ، بشرط أن يكون معروفًا.

يتم حساب مجموع أعضاء التقدم الحسابي (بافتراض أول ن أعضاء من التقدم النهائي) على النحو التالي:

Sn = (a1 + an) ن / 2.

إذا كان المصطلح الأول معروفًا أيضًا ، فإن صيغة أخرى مناسبة للحساب:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على عدد n من المصطلحات على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على شروط المهام والبيانات الأولية.

السلسلة الطبيعية لأية أرقام مثل 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ن ، ... هي أبسط مثال على التقدم الحسابي.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي ، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.

على سبيل المثال ، التسلسل \ (2 \) ؛ \ (5 \) ؛ \ (8 \) ؛ \(أحد عشر\)؛ \ (14 \) ... هو تقدم حسابي ، لأن كل عنصر تالٍ يختلف عن العنصر السابق بمقدار ثلاثة (يمكن الحصول عليه من العنصر السابق بإضافة ثلاثة):

في هذا التقدم ، يكون الفرق \ (د \) موجبًا (يساوي \ (3 \)) ، وبالتالي فإن كل مصطلح تالٍ أكبر من السابق. تسمى هذه التعاقب في ازدياد.

ومع ذلك ، يمكن أيضًا أن يكون \ (d \) رقمًا سالبًا. على سبيل المثال، في التدرج الحسابي \ (16 \) ؛ \ (10 ​​\) ؛ \ (4 \) ؛ \ (- 2 \) ؛ \ (- 8 \) ... فارق التقدم \ (د \) يساوي سالب ستة.

وفي هذه الحالة ، سيكون كل عنصر تالٍ أقل من العنصر السابق. تسمى هذه التعاقب تناقص.

تدوين التقدم الحسابي

يُشار إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.

الأرقام التي تشكل التقدم تسمى ذلك أعضاء(أو عناصر).

يتم الإشارة إليها بنفس الحرف مثل التقدم الحسابي ، ولكن مع فهرس عددي يساوي رقم العنصر بالترتيب.

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي \ (a_n = \ left \ (2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ 11 ؛ 14 ... \ right \) \) يتكون من العناصر \ (a_1 = 2 \) ؛ \ (a_2 = 5 \) ؛ \ (a_3 = 8 \) وهكذا.

بمعنى آخر ، للتقدم \ (a_n = \ left \ (2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ 11 ؛ 14 ... \ right \) \)

حل المشاكل في التقدم الحسابي

من حيث المبدأ ، المعلومات الواردة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقريبًا في التقدم الحسابي (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).

مثال (OGE). يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الشروط \ (b_1 = 7 ؛ د = 4 \). ابحث عن \ (b_5 \).
حل:

إجابة: \ (ب_5 = 23 \)

مثال (OGE). يتم إعطاء المصطلحات الثلاثة الأولى للتقدم الحسابي: \ (62 ؛ 49 ؛ 36 ... \) أوجد قيمة المصطلح السلبي الأول لهذا التقدم ..
حل:

	لدينا العناصر الأولى من التسلسل ونعلم أنه تقدم حسابي. أي أن كل عنصر يختلف عن العنصر المجاور بنفس الرقم. اكتشف أيهما بطرح العنصر السابق من العنصر التالي: \ (د = 49-62 = -13 \).
	الآن يمكننا استعادة تقدمنا ​​إلى العنصر المطلوب (السلبي الأول).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(-3\)

مثال (OGE). يتم إعطاء العديد من العناصر المتتالية للتقدم الحسابي: \ (... 5 ؛ x ؛ 10 ؛ 12.5 ... \) أوجد قيمة العنصر المشار إليه بالحرف \ (x \).
حل:

	للعثور على \ (س \) ، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق ، بمعنى آخر ، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \ (د = 12.5-10 = 2.5 \).
	والآن نجد ما نبحث عنه دون أي مشاكل: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(7,5\).

مثال (OGE). يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشروط التالية: \ (a_1 = -11 \)؛ \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) أوجد مجموع المصطلحات الستة الأولى لهذا التقدم.
حل:

	علينا إيجاد مجموع أول ستة حدود من التقدم. لكننا لا نعرف معانيها ، فنحن لدينا العنصر الأول فقط. لذلك ، نحسب القيم أولاً بدورنا ، باستخدام المعطى لنا: \ (ن = 1 \) ؛ \ (أ_ (1 + 1) = أ_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (ن = 2 \) ؛ \ (أ_ (2 + 1) = أ_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (ن = 3 \) ؛ \ (أ_ (3 + 1) = أ_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) وبعد حساب العناصر الستة التي نحتاجها ، نجد مجموعها.
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	تم العثور على المبلغ المطلوب.

إجابة: \ (S_6 = 9 \).

مثال (OGE). في التدرج الحسابي \ (أ_ (12) = 23 \) ؛ \ (أ_ (16) = 51 \). ابحث عن الاختلاف في هذا التقدم.
حل:

إجابة: \ (د = 7 \).

صيغ التقدم الحسابي الهامة

كما ترى ، يمكن حل العديد من مشاكل التقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - أن التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام ، ويتم الحصول على كل عنصر تالي في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الفرق من التقدم).

ومع ذلك ، في بعض الأحيان هناك حالات يكون فيها حل مشكلة "الجبين" غير مريح للغاية. على سبيل المثال ، تخيل أنه في المثال الأول ، لا نحتاج إلى إيجاد العنصر الخامس \ (b_5 \) ، بل العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \ (b_ (386) \). ما هو ، نحن \ (385 \) مرة لجمع أربعة؟ أو تخيل أنه في المثال قبل الأخير ، تحتاج إلى إيجاد مجموع أول ثلاثة وسبعين عنصرًا. العد محير ...

لذلك ، في مثل هذه الحالات ، لا يتم حلها "على الجبهة" ، ولكنها تستخدم صيغًا خاصة مشتقة للتقدم الحسابي. والأهم منها صيغة الحد التاسع من التقدم وصيغة مجموع \ (n \) المصطلحات الأولى.

صيغة للعضو \ (n \): \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) ، حيث \ (a_1 \) هو العضو الأول في التقدم ؛
\ (n \) - رقم العنصر المطلوب ؛
\ (a_n \) عضو في التقدم بالرقم \ (n \).

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على ما لا يقل عن ثلاثمائة ، حتى العنصر المليون ، مع العلم فقط بالاختلاف الأول وفرق التقدم.

مثال. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشروط: \ (b_1 = -159 \) ؛ \ (د = 8،2 \). ابحث عن \ (b_ (246) \).
حل:

إجابة: \ (ب_ (246) = 1850 \).

صيغة مجموع المصطلحات n الأولى هي: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \) ، حيث

\ (a_n \) هو آخر مصطلح تم تجميعه ؛

مثال (OGE). يتم الحصول على التقدم الحسابي من خلال الشروط \ (a_n = 3.4n-0.6 \). أوجد مجموع \ (25 \) شروط هذا التقدم.
حل:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		لحساب مجموع أول 25 عنصرًا ، علينا معرفة قيمة الحد الأول والخامس والعشرين. يتم إعطاء تقدمنا ​​من خلال صيغة المصطلح التاسع اعتمادًا على رقمه (انظر التفاصيل). لنحسب العنصر الأول باستبدال \ (n \) بآخر.
\ (n = 1 ؛ \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		لنجد الآن الحد الخامس والعشرين بالتعويض عن 25 بدلاً من \ (n \).
\ (ن = 25 ؛ \) \ (أ_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		حسنًا ، الآن نحسب المبلغ المطلوب دون أي مشاكل.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فارك (2،8 + 84،4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		الجواب جاهز.

إجابة: \ (S_ (25) = 1090 \).

للحصول على مجموع \ (n \) المصطلحات الأولى ، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) بدلاً من \ (a_n \) استبدل الصيغة الخاصة به \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). نحن نحصل:

صيغة مجموع المصطلحات n الأولى هي: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) ، حيث

\ (S_n \) - المبلغ المطلوب \ (n \) للعناصر الأولى ؛
\ (a_1 \) هو أول مصطلح يتم جمعه ؛
\ (د \) - فرق التقدم ؛
\ (n \) - عدد العناصر في المجموع.

مثال. أوجد مجموع أول \ (33 \) - على سبيل المثال شروط التقدم الحسابي: \ (17 \) ؛ \ (15،5 \) ؛ \ (14 \) ...
حل:

إجابة: \ (S_ (33) = - 231 \).

مشاكل تقدم حسابية أكثر تعقيدًا

الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا. لننهي الموضوع من خلال التفكير في المشكلات التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب ، بل أيضًا التفكير قليلاً (في الرياضيات ، قد يكون هذا مفيدًا ☺)

مثال (OGE). أوجد مجموع كل الشروط السلبية للتقدم: \ (- 19.3 \) ؛ \ (- 19 \) ؛ \ (- 18.7 \) ...
حل:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) د) (2) \) \ (\ cdot n \)		المهمة مشابهة جدا للمهمة السابقة. نبدأ في الحل بنفس الطريقة: أولاً نجد \ (د \).
\ (د = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \)		سنقوم الآن باستبدال \ (d \) في صيغة المجموع ... وهنا يظهر فارق بسيط - لا نعرف \ (n \). بمعنى آخر ، لا نعرف عدد المصطلحات التي يجب إضافتها. كيف تعرف؟ لنفكر. سنتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك تحتاج إلى معرفة رقم هذا العنصر. كيف؟ دعنا نكتب معادلة حساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) لحالتنا.
\ (a_n = a_1 + (n-1) د \)
\ (أ_n = -19.3 + (ن -1) 0.3 \)		نحتاج أن يكون \ (a_n \) أكبر من الصفر. دعنا نكتشف ما سيحدث \ (n \) هذا.
\ (- 19.3+ (ن -1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \)		نقسم طرفي المتباينة على \ (0،3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19،3) (0،3) \)		ننقل ناقص واحد ، ولا ننسى تغيير العلامات
\ (n> \) \ (\ frac (19،3) (0،3) \) \ (+ 1 \)		الحوسبة ...
\ (n> 65333… \)		... واتضح أن أول عنصر موجب سيكون له الرقم \ (66 \). وفقًا لذلك ، فإن آخر سلبية لها \ (n = 65 \). فقط في حالة ، دعنا نتحقق من ذلك.
\ (n = 65 ؛ \) \ (أ_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66 ؛ \) \ (أ_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		وبالتالي ، نحتاج إلى إضافة عناصر \ (65 \) الأولى.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19،3) + (65-1) 0،3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		الجواب جاهز.

إجابة: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

مثال (OGE). يُعطى التقدم الحسابي بالشروط: \ (a_1 = -33 \)؛ \ (أ_ (ن + 1) = أ_n + 4 \). أوجد المجموع من \ (26 \) th إلى \ (42 \) ضمناً.
حل:

\ (a_1 = -33 ؛ \) \ (أ_ (ن + 1) = أ_n + 4 \)	في هذه المشكلة ، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر ، ولكن ليس من الأول ، ولكن من \ (26 \) th. ليس لدينا صيغة لهذا. كيف تقرر؟ سهل - للحصول على المجموع من \ (26 \) إلى \ (42 \) ، يجب عليك أولاً إيجاد المجموع من \ (1 \) إلى \ (42 \) ، ثم طرح المجموع منه أول من \ (25 \) عشر (انظر الصورة).
	لتقدمنا ​​\ (a_1 = -33 \) ، والفرق \ (د = 4 \) (بعد كل شيء ، نضيف أربعة إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة هذا ، نجد مجموع أول \ (42 \) - أه عناصر.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ فارك (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	الآن مجموع العناصر \ (25 \) - الأولى.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فارك (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	وأخيرًا ، نحسب الإجابة.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

إجابة: \ (ق = 1683 \).

للتقدم الحسابي ، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب قلة فائدتها العملية. ومع ذلك ، يمكنك العثور عليها بسهولة.

أو الحساب - هذا نوع من التسلسل العددي المرتب ، يتم دراسة خصائصه في دورة الجبر المدرسية. تناقش هذه المقالة بالتفصيل مسألة كيفية إيجاد مجموع التقدم الحسابي.

ما هذا التقدم؟

قبل الشروع في النظر في السؤال (كيفية إيجاد مجموع التقدم الحسابي) ، يجدر بنا فهم ما سيتم مناقشته.

أي تسلسل للأرقام الحقيقية التي يتم الحصول عليها عن طريق إضافة (طرح) بعض القيمة من كل رقم سابق يسمى التقدم الجبري (الحسابي). هذا التعريف ، المترجم إلى لغة الرياضيات ، يأخذ الشكل:

أنا هنا هو الرقم الترتيبي لعنصر السلسلة a i. وبالتالي ، بمعرفة رقم أولي واحد فقط ، يمكنك بسهولة استعادة السلسلة بأكملها. يُطلق على المعلمة d في الصيغة اسم فرق التقدم.

يمكن بسهولة إثبات أن المساواة التالية تنطبق على سلسلة الأرقام قيد الدراسة:

أ n \ u003d أ 1 + د * (ن - 1).

أي لإيجاد قيمة العنصر n بالترتيب ، أضف الفرق d إلى العنصر الأول a 1 n-1 مرة.

ما هو مجموع التقدم الحسابي: الصيغة

قبل إعطاء صيغة المبلغ المحدد ، يجدر النظر في حالة خاصة بسيطة. بالنظر إلى تقدم الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10 ، فأنت بحاجة إلى إيجاد مجموعها. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات في التقدم (10) ، فمن الممكن حل المشكلة بشكل مباشر ، أي جمع كل العناصر بالترتيب.

S 10 \ u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \ u003d 55.

يجدر النظر في أمر واحد مثير للاهتمام: نظرًا لأن كل مصطلح يختلف عن المصطلح التالي بنفس القيمة d \ u003d 1 ، فإن الجمع الزوجي للأول مع العاشر ، والثاني مع التاسع ، وما إلى ذلك سيعطي نفس النتيجة . حقًا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

كما ترى ، لا يوجد سوى 5 من هذه المبالغ ، أي أقل مرتين بالضبط من عدد العناصر في السلسلة. ثم بضرب عدد المجاميع (5) في نتيجة كل مجموع (11) ، ستصل إلى النتيجة التي حصلت عليها في المثال الأول.

إذا قمنا بتعميم هذه الحجج ، فيمكننا كتابة التعبير التالي:

S n \ u003d n * (a 1 + a n) / 2.

يوضح هذا التعبير أنه ليس من الضروري على الإطلاق جمع كل العناصر في صف واحد ، يكفي معرفة قيمة الأول 1 والأخير n ، بالإضافة إلى العدد الإجمالي للمصطلحات n.

يُعتقد أن غاوس فكر أولاً في هذه المساواة عندما كان يبحث عن حل للمشكلة التي حددها مدرس مدرسته: لتلخيص أول 100 عدد صحيح.

مجموع العناصر من م إلى ن: الصيغة

تجيب الصيغة الواردة في الفقرة السابقة على سؤال حول كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي (للعناصر الأولى) ، ولكن غالبًا في المهام من الضروري جمع سلسلة من الأرقام في منتصف التقدم. كيف افعلها؟

أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي النظر في المثال التالي: فليكن من الضروري إيجاد مجموع المصطلحات من mth إلى n. لحل المشكلة ، يجب تمثيل مقطع معين من m إلى n من التقدم كسلسلة أرقام جديدة. في هذا التمثيل ، سيكون العضو m a m هو الأول ، وسيتم ترقيم n n- (m-1). في هذه الحالة ، بتطبيق الصيغة القياسية للمبلغ ، سيتم الحصول على التعبير التالي:

S م n \ u003d (n - م + 1) * (أ م + أ ن) / 2.

مثال على استخدام الصيغ

معرفة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي ، يجدر النظر في مثال بسيط لاستخدام الصيغ أعلاه.

يوجد أدناه تسلسل رقمي ، يجب أن تجد مجموع أعضائه ، بدءًا من الخامس وينتهي بالرقم الثاني عشر:

تشير الأرقام المعطاة إلى أن الفرق d يساوي 3. باستخدام التعبير الخاص بالعنصر n ، يمكنك إيجاد قيم العضوين الخامس والثاني عشر من التقدم. اتضح:

أ 5 \ u003d أ 1 + د * 4 \ u003d -4 + 3 * 4 \ u003d 8 ؛

أ 12 \ u003d أ 1 + د * 11 \ u003d -4 + 3 * 11 \ u003d 29.

من خلال معرفة قيم الأرقام الموجودة في نهايات التقدم الجبري قيد الدراسة ، وكذلك معرفة الأرقام في السلسلة التي تشغلها ، يمكنك استخدام صيغة المجموع التي تم الحصول عليها في الفقرة السابقة. يحصل:

S 5 12 \ u003d (12-5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن الحصول على هذه القيمة بشكل مختلف: أولاً ، ابحث عن مجموع أول 12 عنصرًا باستخدام الصيغة القياسية ، ثم احسب مجموع العناصر الأربعة الأولى باستخدام نفس الصيغة ، ثم اطرح الثاني من المجموع الأول .