من الواضح أن كل حدث لديه درجة معينة من احتمال حدوثه (تنفيذه). من أجل المقارنة الكمية للأحداث مع بعضها البعض وفقًا لدرجة احتمالية حدوثها ، من الواضح أنه من الضروري ربط رقم معين بكل حدث ، وكلما كان الحدث أكبر ، كلما كان الحدث ممكنًا. هذا الرقم يسمى احتمالية الحدث.

احتمالية الحدث- هو مقياس رقمي لدرجة الاحتمال الموضوعي لحدوث هذا الحدث.

ضع في اعتبارك تجربة عشوائية وحدثًا عشوائيًا لوحظ في هذه التجربة. دعنا نكرر هذه التجربة n مرة ونجعل m (A) هو عدد التجارب التي حدث فيها الحدث A.

العلاقة (1.1)

اتصل التردد النسبيالحدث أ في سلسلة التجارب.

من السهل التحقق من صحة الخصائص:

إذا كان A و B غير متوافقين (AB =) ، إذن ν (A + B) = ν (A) + ν (B) (1.2)

يتم تحديد التردد النسبي فقط بعد سلسلة من التجارب ، وبشكل عام ، قد يختلف من سلسلة إلى سلسلة. ومع ذلك ، تظهر التجربة أنه في كثير من الحالات ، مع زيادة عدد التجارب ، يقترب التردد النسبي من رقم معين. تم التحقق بشكل متكرر من حقيقة استقرار التردد النسبي ويمكن اعتبارها مثبتة تجريبياً.

المثال 1.19.. إذا رميت عملة واحدة ، فلا أحد يستطيع التنبؤ بالجانب الذي ستهبط عليه. ولكن إذا رميت طنين من العملات المعدنية ، فسيقول الجميع إن حوالي طن واحد سوف يسقط مثل شعار النبالة ، أي أن التكرار النسبي لسقوط شعار النبالة يساوي 0.5 تقريبًا.

إذا ، مع زيادة عدد التجارب ، فإن التكرار النسبي للحدث ν (A) يميل إلى بعض الأرقام الثابتة ، فإننا نقول ذلك الحدث A مستقر إحصائيًا، وهذا الرقم يسمى احتمالية الحدث A.

احتمال وقوع حدث لكنيتم استدعاء بعض الأرقام الثابتة P (A) ، حيث يميل التردد النسبي ν (A) لهذا الحدث مع زيادة عدد التجارب ، أي ،

هذا التعريف يسمى التعريف الإحصائي للاحتمال .

ضع في اعتبارك بعض التجارب العشوائية واترك مساحة أحداثها الأولية تتكون من مجموعة محدودة أو غير محدودة (لكنها قابلة للعد) من الأحداث الأولية 1 ، ω 2 ، ... ، ω i ،…. افترض أن كل حدث ابتدائي ω i تم تعيينه لرقم معين - р i ، والذي يميز درجة احتمال حدوث هذا الحدث الأولي ويفي بالخصائص التالية:

يسمى هذا الرقم ص أنا احتمال حدث ابتدائيω ط.

لنفترض الآن أن A حدث عشوائي لوحظ في هذه التجربة ، ومجموعة معينة تتوافق معه

في مثل هذا الوضع احتمالية الحدث لكن يسمى مجموع احتمالات الأحداث الأولية لصالح A.(المدرجة في المجموعة المقابلة أ):

(1.4)

الاحتمال المقدم بهذه الطريقة له نفس خصائص التردد النسبي ، وهي:

وإذا كان AB \ u003d (A و B غير متوافقين) ،

ثم P (A + B) = P (A) + P (B)

في الواقع وفقًا لـ (1.4)

في العلاقة الأخيرة ، استفدنا من حقيقة أنه لا يوجد حدث أولي يمكنه في نفس الوقت تفضيل حدثين غير متوافقين.

نلاحظ بشكل خاص أن نظرية الاحتمال لا تشير إلى طرق لتحديد p i ، يجب البحث عنها من اعتبارات عملية أو الحصول عليها من تجربة إحصائية مناسبة.

كمثال ، ضع في اعتبارك المخطط الكلاسيكي لنظرية الاحتمالات. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك تجربة عشوائية ، تتكون مساحة الأحداث الأولية منها من عدد محدود (ن) من العناصر. دعنا نفترض بالإضافة إلى ذلك أن كل هذه الأحداث الأولية متساوية في الاحتمال ، أي أن احتمالات الأحداث الأولية هي p (ω i) = p i = p. ومن ثم يتبع ذلك

مثال 1.20. عند رمي عملة متناظرة ، يكون شعار النبالة وذيول متساويًا ، واحتمالاتها 0.5.

مثال 1.21. عندما يتم رمي نرد متماثل ، فإن احتمالية كل الوجوه متساوية ، واحتمالاتها تساوي 1/6.

دع الآن الحدث A يتم تفضيله بواسطة الأحداث الأولية m ، وعادة ما يتم استدعاؤها نتائج لصالح الحدث أ. ثم

حصلت التعريف الكلاسيكي للاحتمال: احتمال P (A) للحدث A يساوي نسبة عدد النتائج التي تفضل الحدث A إلى إجمالي عدد النتائج

مثال 1.22. تحتوي الجرة على م كرات بيضاء و ن كرات سوداء. ما هو احتمال رسم كرة بيضاء؟

المحلول. يوجد إجمالي عدد الأحداث الابتدائية m + n. كلهم لا يصدقون بنفس القدر. مناسبة مواتية أ منهم م. بالتالي، .

الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمال:

خاصية 1. احتمال حدث معين يساوي واحد.

في الواقع ، إذا كان الحدث مؤكدًا ، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة م = ع ،بالتالي،

P (A) = m / n = n / n = 1.(1.6)

خاصية 2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

في الواقع ، إذا كان الحدث مستحيلًا ، فلن تفضل أي من النتائج الأولية للمحاكمة الحدث. في هذه الحالة ر= 0 ، لذلك ، P (A) = m / n = 0 / n = 0. (1.7)

الملكية 3.احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب بين صفر وواحد.

في الواقع ، يفضل جزء فقط من العدد الإجمالي للنتائج الأولية للاختبار حدثًا عشوائيًا. أي 0≤m≤n ، مما يعني 0≤m / n≤1 ، وبالتالي ، فإن احتمال أي حدث يفي بالمتباينة المزدوجة 0≤ ف (أ) ≤1. (1.8)

بمقارنة تعريفات الاحتمال (1.5) والتردد النسبي (1.1) ، نستنتج: تعريف الاحتمال لا يتطلب إجراء اختبارفي الواقع؛ تعريف التردد النسبي يفترض ذلك تم إجراء الاختبارات بالفعل. بعبارات أخرى، يتم حساب الاحتمال قبل التجربة ، والتردد النسبي - بعد التجربة.

ومع ذلك ، فإن حساب الاحتمال يتطلب معلومات مسبقة حول عدد أو احتمالات النتائج الأولية التي تفضل حدثًا معينًا. في حالة عدم وجود مثل هذه المعلومات الأولية ، يتم استخدام البيانات التجريبية لتحديد الاحتمال ، أي أن التكرار النسبي للحدث يتم تحديده من نتائج التجربة العشوائية.

مثال 1.23. قسم الرقابة الفنية اكتشف 3أجزاء غير قياسية في دفعة تتكون من 80 جزءًا تم اختياره عشوائيًا. التردد النسبي لحدوث الأجزاء غير القياسية ص (أ)= 3/80.

مثال 1.24. عن طريق الغرض 24 رصاصة ، و 19 إصابة. التكرار النسبي لضرب الهدف. ص (أ)=19/24.

أظهرت الملاحظات طويلة المدى أنه إذا تم إجراء التجارب في ظل نفس الظروف ، حيث يكون عدد الاختبارات في كل منها كبيرًا بدرجة كافية ، فإن التردد النسبي يُظهر خاصية الاستقرار. هذه الخاصية أنه في تجارب مختلفة ، يتغير التردد النسبي قليلاً (كلما قل ، تم إجراء المزيد من الاختبارات) ، متذبذبًا حول رقم ثابت معين.اتضح أن هذا الرقم الثابت يمكن اعتباره قيمة تقريبية للاحتمال.

سيتم وصف العلاقة بين التردد النسبي والاحتمال بمزيد من التفصيل وبشكل أكثر دقة أدناه. الآن دعونا نوضح خاصية الاستقرار بأمثلة.

مثال 1.25. وفقًا للإحصاءات السويدية ، فإن معدل المواليد النسبي للفتيات في عام 1935 حسب الشهر يتميز بالأرقام التالية (الأرقام مرتبة حسب ترتيب الأشهر ، بدءًا من يناير): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

يتقلب التردد النسبي حول الرقم 0.481 ، والذي يمكن اعتباره قيمة تقريبية لاحتمالية إنجاب الفتيات.

لاحظ أن إحصاءات البلدان المختلفة تعطي نفس القيمة تقريبًا للتردد النسبي.

مثال 1.26.وأجريت تجارب متكررة لرمي قطعة نقود ، حيث تم حساب عدد مرات ظهور "شعار النبالة". يتم عرض نتائج العديد من التجارب في الجدول.

هل تريد أن تعرف ما هي الفرص الحسابية لنجاح رهانك؟ ثم لدينا خبران جيدان لك. أولاً: لحساب المباح ، لا تحتاج إلى إجراء حسابات معقدة وقضاء الكثير من الوقت. يكفي استخدام الصيغ البسيطة ، والتي ستستغرق دقيقتين للعمل بها. ثانيًا ، بعد قراءة هذا المقال ، ستتمكن بسهولة من حساب احتمالية اجتياز أي من تداولاتك.

لتحديد صلاحية المباح بشكل صحيح ، تحتاج إلى اتخاذ ثلاث خطوات:

• حساب النسبة المئوية لاحتمالية نتيجة الحدث وفقًا لمكتب المراهنات ؛
• احسب الاحتمال من البيانات الإحصائية بنفسك ؛
• اكتشف قيمة الرهان في ضوء كلا الاحتمالين.

دعونا نفكر بالتفصيل في كل خطوة من الخطوات ، ليس فقط باستخدام الصيغ ، ولكن أيضًا باستخدام الأمثلة.

مرور سريع

حساب الاحتمالية المضمنة في احتمالات الرهان

الخطوة الأولى هي معرفة الاحتمالية التي يقيمها صانع المراهنات لفرص نتيجة معينة. بعد كل شيء ، من الواضح أن وكلاء المراهنات لا يراهنون على احتمالات من هذا القبيل. لهذا نستخدم الصيغة التالية:

صب= (1 / ك) * 100٪ ،

حيث P B هو احتمال النتيجة وفقًا لمكتب المراهنات ؛

ك - احتمالات المراهنات على النتيجة.

لنفترض أن احتمالات فوز أرسنال اللندني في المبارزة ضد بايرن هي 4. وهذا يعني أن احتمال فوزه من قبل BC يعتبر (1/4) * 100٪ = 25٪. أو ديوكوفيتش يلعب ضد الجنوب. مضاعف انتصار نوفاك 1.2 ، فرصه تساوي (1 / 1.2) * 100٪ = 83٪.

هذه هي الطريقة التي يقيّم بها صانع المراهنات نفسه فرص النجاح لكل لاعب وفريق. بعد الانتهاء من الخطوة الأولى ، ننتقل إلى الثانية.

حساب احتمال وقوع حدث من قبل اللاعب

النقطة الثانية في خطتنا هي تقييمنا لاحتمال وقوع الحدث. نظرًا لأنه لا يمكننا أن نأخذ في الاعتبار حسابيًا مثل هذه المعلمات مثل التحفيز ونبرة اللعبة ، فسنستخدم نموذجًا مبسطًا ونستخدم فقط إحصائيات الاجتماعات السابقة. لحساب الاحتمال الإحصائي لنتيجة ما ، نستخدم الصيغة:

صو\ u003d (UM / M) * 100٪ ،

أينصو- احتمالية وقوع الحدث حسب اللاعب ؛

UM - عدد المباريات الناجحة التي حدث فيها مثل هذا الحدث ؛

M هو العدد الإجمالي للمباريات.

لتوضيح الأمر ، دعنا نعطي أمثلة. خاض آندي موراي ورافائيل نادال 14 مباراة. في 6 منها ، تم تسجيل ما مجموعه أقل من 21 مباراة ، في 8 - أكثر من المجموع. من الضروري معرفة احتمال أن يتم لعب المباراة التالية بإجمالي أكثر: (8/14) * 100 = 57٪. لعب فالنسيا 74 مباراة على ملعب ميستايا ضد أتلتيكو ، حيث سجل 29 انتصارًا. احتمال فوز فالنسيا: (29/74) * 100٪ = 39٪.

وكلنا نعرف هذا فقط بفضل إحصائيات الألعاب السابقة! بطبيعة الحال ، لا يمكن حساب مثل هذا الاحتمال لبعض الفريق أو اللاعب الجديد ، لذا فإن استراتيجية الرهان هذه مناسبة فقط للمباريات التي يلتقي فيها الخصوم أكثر من مرة. الآن نحن نعرف كيفية تحديد الرهان والاحتمالات الخاصة بالنتائج ، ولدينا كل المعرفة للانتقال إلى الخطوة الأخيرة.

تحديد قيمة الرهان

ترتبط قيمة (قابلية التقييم) للرهان وقابلية المرور ارتباطًا مباشرًا: كلما ارتفع التقييم ، زادت فرصة النجاح. يتم حساب القيمة على النحو التالي:

الخامس =صو* K-100٪ ،

حيث V هي القيمة ؛

P I - احتمال نتيجة وفقًا للأفضل ؛

ك - احتمالات المراهنات على النتيجة.

لنفترض أننا نريد المراهنة على ميلان للفوز بالمباراة ضد روما وقد حسبنا أن احتمال فوز الحمر والسود هو 45٪. تقدم لنا شركة المراهنات معامل 2.5 لهذه النتيجة. هل مثل هذا الرهان سيكون ذا قيمة؟ نجري الحسابات: V \ u003d 45٪ * 2.5-100٪ \ u003d 12.5٪. رائع ، لدينا رهان قيم وفرص جيدة للنجاح.

لنأخذ حالة أخرى. ماريا شارابوفا تلعب ضد بيترا كفيتوفا. نريد أن نجعل صفقة تفوز ماريا ، والتي ، وفقًا لحساباتنا ، لديها احتمال 60٪. تقدم المراهنات مضاعفًا قدره 1.5 لهذه النتيجة. حدد القيمة: V = 60٪ * 1.5-100 = -10٪. كما ترى ، هذا الرهان ليس له قيمة ويجب الامتناع عنه.

مع العلم أن الاحتمال يمكن قياسه ، فلنحاول التعبير عنه بالأرقام. هناك ثلاثة مسارات ممكنة.

أرز. 1.1 قياس الاحتمالية

الاحتمال الذي تحدده التماثل

هناك مواقف تكون فيها النتائج المحتملة متساوية في الاحتمال. على سبيل المثال ، عند رمي قطعة نقود مرة واحدة ، إذا كانت العملة قياسية ، فإن احتمال الحصول على صورة أو ذيول هو نفسه ، أي P (الرؤوس) = P (ذيول). نظرًا لإمكانية وجود نتيجتين فقط ، فإن P (رؤوس) + P (ذيول) = 1 ، وبالتالي P (رؤوس) = P (ذيول) = 0.5.

في التجارب التي يكون للنتائج فيها فرص متساوية في الحدوث ، يكون احتمال وقوع الحدث E ، P (E) هو:

المثال 1.1. تم رمي العملة ثلاث مرات. ما هو احتمال رأسين وذيل واحد؟

في البداية ، دعنا نعثر على جميع النتائج المحتملة: للتأكد من أننا وجدنا جميع الخيارات الممكنة ، سنستخدم مخططًا شجريًا (انظر الفصل 1 ، القسم 1.3.1).

لذلك ، هناك 8 نتائج متساوية الاحتمال ، وبالتالي ، فإن احتمالها هو 1/8. الحدث E - اثنان من "النسور" و "ذيول" - كان هناك ثلاثة. لهذا:

مثال 1.2. يتم دحرجة قالب قياسي مرتين. ما هو احتمال أن يكون مجموع النقاط 9 أو أكثر؟

لنجد كل النتائج الممكنة.

الجدول 1.2. العدد الإجمالي للنقاط التي تم الحصول عليها من خلال دحرجة النرد مرتين

إذن ، في 10 من أصل 36 نتيجة محتملة ، يكون مجموع النقاط 9 ، أو بالتالي:

تحديد الاحتمال بشكل تجريبي

مثال بعملة من الجدول. 1.1 يوضح بوضوح آلية تحديد الاحتمالات.

مع العدد الإجمالي للتجارب الناجحة منها ، يتم حساب احتمال النتيجة المرجوة على النحو التالي:

النسبة هي التكرار النسبي لحدوث نتيجة معينة في تجربة طويلة بما فيه الكفاية. يتم حساب الاحتمال إما على أساس بيانات التجربة ، على أساس البيانات السابقة.

مثال 1.3. من بين 500 مصباح كهربائي تم اختبارها ، عملت 415 لأكثر من 1000 ساعة. بناءً على بيانات هذه التجربة ، يمكن الاستنتاج أن احتمال التشغيل العادي لمصباح من هذا النوع لأكثر من 1000 ساعة هو:

ملحوظة. عنصر التحكم مدمر ، لذلك لا يمكن اختبار جميع المصابيح. إذا تم اختبار مصباح واحد فقط ، فسيكون الاحتمال 1 أو 0 (أي هل سيكون قادرًا على العمل 1000 ساعة أم لا). ومن هنا تأتي الحاجة إلى تكرار التجربة.

مثال 1.4. في الجدول. 1.3 يوضح بيانات عن تجربة الرجال العاملين في الشركة:

الجدول 1.3. خبرة عمل الذكور

ما هو احتمال أن يعمل الشخص التالي الذي عينته الشركة لمدة عامين على الأقل؟

المحلول.

يوضح الجدول أن 38 من أصل 100 موظف يعملون في الشركة منذ أكثر من عامين. الاحتمال التجريبي لبقاء الموظف التالي في الشركة لأكثر من عامين هو:

في الوقت نفسه ، نفترض أن الموظف الجديد "نموذجي ، وأن ظروف العمل لم تتغير.

التقييم الموضوعي للاحتمال

في مجال الأعمال ، غالبًا ما توجد مواقف لا يوجد فيها تناظر ، ولا توجد بيانات تجريبية أيضًا. لذلك ، فإن تحديد احتمال نتيجة إيجابية تحت تأثير آراء وخبرة الباحث أمر شخصي.

مثال 1.5.

1. يعتقد خبير الاستثمار أن احتمال تحقيق ربح خلال العامين الأولين هو 0.6.

2. توقعات مدير التسويق: احتمال بيع 1000 وحدة من المنتج في الشهر الأول بعد طرحه في السوق هو 0.4.

• الاحتمالية - الدرجة (المقياس النسبي ، التقييم الكمي) لإمكانية حدوث حدث ما. عندما تفوق أسباب حدوث بعض الأحداث المحتملة فعليًا الأسباب المعاكسة ، يُطلق على هذا الحدث اسم محتمل ، وإلا فهو غير محتمل أو غير محتمل. يمكن أن تكون غلبة الأسباب الإيجابية على الأسباب السلبية ، والعكس بالعكس ، بدرجات متفاوتة ، ونتيجة لذلك يكون الاحتمال (وعدم الاحتمالية) أكبر أو أقل. لذلك ، غالبًا ما يتم تقدير الاحتمالية على مستوى نوعي ، خاصة في الحالات التي يكون فيها التقييم الكمي الدقيق إلى حد ما مستحيلًا أو صعبًا للغاية. التدرجات المختلفة "لمستويات" الاحتمال ممكنة.

  تعتبر دراسة الاحتمالات من وجهة نظر رياضية تخصصًا خاصًا - نظرية الاحتمالات. في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي ، يتم إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمال كسمة عددية لحدث - مقياس احتمالي (أو قيمته) - مقياس على مجموعة من الأحداث (مجموعات فرعية من مجموعة من الأحداث الأولية) ، مع أخذ القيم من

  (displaystyle 0)

  (displaystyle 1)

  المعنى

  (displaystyle 1)

  يتوافق مع حدث صالح. حدث مستحيل له احتمال 0 (العكس ليس صحيحًا دائمًا). إذا كان احتمال وقوع حدث

  (displaystyle p)

  ثم احتمال عدم حدوثه يساوي

  (displaystyle 1-p)

  على وجه الخصوص ، الاحتمال

  (displaystyle 1/2)

  تعني احتمالية متساوية لوقوع الحدث وعدم حدوثه.

  يعتمد التعريف الكلاسيكي للاحتمالية على مفهوم قابلية النتائج. الاحتمال هو نسبة عدد النتائج التي تفضل حدثًا معينًا إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة المتساوية. على سبيل المثال ، احتمالية الحصول على صور أو ذيول عند رمي عملة عشوائية هي 1/2 إذا كان من المفترض حدوث هذين الاحتمالين فقط وهما احتمالان متساويان. يمكن تعميم هذا "التعريف" الكلاسيكي للاحتمالية على حالة عدد لا حصر له من القيم المحتملة - على سبيل المثال ، إذا كان من الممكن حدوث حدث مع احتمال متساوٍ في أي نقطة (عدد النقاط غير محدود) في منطقة محدودة من الفضاء (المستوى) ، فإن احتمال حدوثه في جزء ما من هذه المنطقة المسموح بها يساوي نسبة حجم (مساحة) هذا الجزء إلى حجم (منطقة) مساحة جميع النقاط الممكنة .

  يرتبط "التعريف" التجريبي للاحتمال بتكرار حدوث حدث ما ، بناءً على حقيقة أنه مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من المحاكمات ، يجب أن يميل التكرار إلى الدرجة الموضوعية لإمكانية حدوث هذا الحدث. في العرض الحديث لنظرية الاحتمال ، يتم تعريف الاحتمال بشكل بديهي ، كحالة خاصة للنظرية المجردة لقياس مجموعة. ومع ذلك ، فإن الرابط بين المقياس المجرد والاحتمال ، الذي يعبر عن درجة احتمال وقوع حدث ، هو على وجه التحديد تواتر ملاحظته.

  أصبح الوصف الاحتمالي لظواهر معينة منتشرًا في العلوم الحديثة ، ولا سيما في الاقتصاد القياسي ، والفيزياء الإحصائية للأنظمة العيانية (الديناميكية الحرارية) ، حيث حتى في حالة الوصف الحتمي الكلاسيكي لحركة الجسيمات ، وصف حتمي للنظام بأكمله من الجسيمات غير ممكن عمليًا ومناسب. في فيزياء الكم ، العمليات الموصوفة نفسها ذات طبيعة احتمالية.

في الاقتصاد ، وكذلك في مجالات أخرى من النشاط البشري أو في الطبيعة ، علينا باستمرار التعامل مع الأحداث التي لا يمكن التنبؤ بها بدقة. وبالتالي ، فإن حجم مبيعات البضائع يعتمد على الطلب ، والذي يمكن أن يختلف بشكل كبير ، وعلى عدد من العوامل الأخرى التي يكاد يكون من المستحيل أخذها في الاعتبار. لذلك ، عند تنظيم الإنتاج والمبيعات ، يتعين على المرء أن يتنبأ بنتيجة هذه الأنشطة إما على أساس الخبرة السابقة للفرد ، أو على الخبرة المماثلة لأشخاص آخرين ، أو على الحدس ، والذي يعتمد أيضًا إلى حد كبير على البيانات التجريبية.

لتقييم الحدث قيد النظر بطريقة أو بأخرى ، من الضروري مراعاة الظروف التي يتم فيها تسجيل هذا الحدث أو تنظيمها بشكل خاص.

يتم استدعاء تنفيذ شروط أو إجراءات معينة لتحديد الحدث المعني خبرةأو تجربة.

يسمى الحدث عشوائيإذا ، نتيجة للتجربة ، قد يحدث أو لا يحدث.

يسمى الحدث موثوق بها، إذا ظهر بالضرورة نتيجة لهذه التجربة ، و غير ممكنإذا لم تظهر في هذه التجربة.

على سبيل المثال ، يعتبر تساقط الثلوج في موسكو يوم 30 نوفمبر حدثًا عشوائيًا. يمكن اعتبار شروق الشمس اليومي حدثًا معينًا. يمكن اعتبار تساقط الثلوج عند خط الاستواء حدثًا مستحيلًا.

إحدى المشاكل الرئيسية في نظرية الاحتمالات هي مشكلة تحديد مقياس كمي لاحتمال وقوع حدث ما.

جبر الأحداث

تسمى الأحداث غير متوافقة إذا كان لا يمكن ملاحظتها معًا في نفس التجربة. وبالتالي ، فإن وجود سيارتين وثلاث سيارات في متجر واحد للبيع في نفس الوقت هو حدثان غير متوافقين.

مجموعالأحداث هي حدث يتكون من وقوع واحد على الأقل من هذه الأحداث

مثال على مجموع الأحداث هو وجود منتج واحد على الأقل من منتجين في متجر.

الشغلتسمى الأحداث حدثًا يتألف من حدوث متزامن لجميع هذه الأحداث

الحدث الذي يتكون من ظهور سلعتين في نفس الوقت في المتجر هو نتاج أحداث: - ظهور منتج واحد ، - ظهور منتج آخر.

تشكل الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث إذا حدث واحد منها على الأقل بالضرورة في التجربة.

مثال.يوجد بالميناء رصيفان للسفن. يمكن النظر في ثلاثة أحداث: - عدم وجود سفن في الأرصفة ، - وجود سفينة واحدة في أحد الأرصفة ، - وجود سفينتين على رصيفين. هذه الأحداث الثلاثة تشكل مجموعة كاملة من الأحداث.

عكسيتم استدعاء حدثين فريدين محتملين يشكلان مجموعة كاملة.

إذا تم الإشارة إلى أحد الأحداث المعاكسة بواسطة ، فعادة ما يتم الإشارة إلى الحدث المعاكس بواسطة.

التعاريف الكلاسيكية والإحصائية لاحتمال وقوع حدث

تسمى كل نتيجة من نتائج الاختبار الممكنة (التجارب) بالنتيجة الأولية. عادة ما يتم الإشارة إليها بالحروف. على سبيل المثال ، يتم إلقاء النرد. يمكن أن يكون هناك ست نتائج أولية وفقًا لعدد النقاط على الجانبين.

من النتائج الأولية ، يمكنك إنشاء حدث أكثر تعقيدًا. لذلك ، يتم تحديد حدث عدد زوجي من النقاط من خلال ثلاث نتائج: 2 ، 4 ، 6.

مقياس كمي لإمكانية حدوث الحدث قيد النظر هو الاحتمال.

يتم استخدام تعريفين لاحتمال وقوع حدث على نطاق واسع: كلاسيكيو إحصائية.

يرتبط التعريف الكلاسيكي للاحتمالية بمفهوم النتيجة الإيجابية.

يسمى الخروج ملائمهذا الحدث ، إذا كان وقوعه يستلزم وقوع هذا الحدث.

في المثال الموضح ، الحدث قيد النظر هو عدد زوجي من النقاط على الحافة المسقطة ، وله ثلاث نتائج إيجابية. في هذه الحالة العامة
عدد النتائج المحتملة. لذلك ، يمكنك هنا استخدام التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث.

التعريف الكلاسيكييساوي نسبة عدد النتائج المفضلة إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة

أين هو احتمال الحدث ، هو عدد النتائج المفضلة للحدث ، هو العدد الإجمالي للنتائج المحتملة.

في المثال المدروس

يرتبط التعريف الإحصائي للاحتمال بمفهوم التكرار النسبي لحدوث حدث في التجارب.

يتم حساب التكرار النسبي لحدوث حدث من خلال الصيغة

أين هو عدد حدوث حدث في سلسلة من التجارب (الاختبارات).

التعريف الإحصائي. احتمالية وقوع حدث ما هي الرقم المتعلق باستقرار (تأسيس) التردد النسبي مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب.

في المشكلات العملية ، يتم أخذ التردد النسبي لعدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب على أنه احتمال وقوع حدث.

من هذه التعريفات لاحتمالية حدث ما ، يمكن ملاحظة أن المتباينة ثابتة دائمًا

لتحديد احتمالية حدث ما بناءً على الصيغة (1.1) ، غالبًا ما تُستخدم الصيغ التوافقية لإيجاد عدد النتائج المفضلة والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة.