Tema “Upisane i opisane kružnice u trouglovima” jedna je od najtežih u predmetu geometrije. Provodi vrlo malo vremena u nastavi.

Geometrijski zadaci ove teme uključeni su u drugi dio ispita Rad na Jedinstvenom državnom ispitu po kursu srednja škola. Za uspješan završetak ovih zadataka potrebno je dobro poznavanje osnovnih geometrijskih činjenica i određeno iskustvo u rješavanju geometrijskih problema.
Za svaki trougao postoji samo jedan opisani krug. Ovo je kružnica na kojoj leže sva tri vrha trougla sa datim parametrima. Pronalaženje njegovog polumjera može biti potrebno ne samo u lekciji geometrije. Dizajneri, rezači, mehaničari i predstavnici mnogih drugih profesija moraju se stalno baviti ovim. Da biste pronašli njegov polumjer, morate znati parametre trokuta i njegova svojstva. Središte opisane kružnice nalazi se u tački presjeka simetrala okomitog trougla.
Skrećem vam pažnju na sve formule za pronalaženje polumjera opisane kružnice, a ne samo trokuta. Formule za upisani krug se mogu vidjeti.

a, b. sa - strane trougla

α - suprotan ugaoa,
S-površina trougla,

p- polu-perimetar

Zatim da pronađemo poluprečnik ( R) opisanog kruga koristeći formule:

Zauzvrat, površina trokuta može se izračunati pomoću jedne od sljedećih formula:

Evo još nekoliko formula.

1. Polumjer opisane kružnice oko jednakostraničnog trougla. Ako a onda stranu trougla

2. Poluprečnik opisane kružnice oko jednakokračnog trougla. Neka a, b- stranice trougla, dakle

Trebaće ti

• Trougao sa datim parametrima
• Kompas
• Vladar
• Square
• Tabela sinusa i kosinusa
• Matematički koncepti
• Određivanje visine trougla
• Sinusne i kosinusne formule
• Formula površine trougla

Instrukcije

Nacrtajte trokut sa potrebnim parametrima. Trokut ima ili tri stranice, ili dvije stranice i ugao između njih, ili stranu i dva susjedna ugla. Označite vrhove trougla kao A, B i C, uglove kao α, β i γ, a stranice nasuprot vrhovima kao a, b i c.

Nacrtajte sve strane trougla i pronađite njihovu točku presjeka. Označite visine kao h sa odgovarajućim indeksima za stranice. Pronađite točku njihovog sjecišta i označite je sa O. To će biti centar kružnice. Dakle, radijusi ove kružnice će biti segmenti OA, OB i OS.

Pronađite radijus koristeći dvije formule. Kao prvo, morate prvo izračunati. Jednaka je svim stranicama trougla sa sinusom bilo kojeg od uglova podijeljenih sa 2.

U ovom slučaju, radijus opisane kružnice se izračunava po formuli

Za drugu je dovoljna dužina jedne od stranica i sinus suprotnog ugla.

Izračunajte polumjer i opišite obim trokuta.

Koristan savjet

Zapamtite koja je visina trougla. Ovo je okomito povučeno iz ugla na suprotnu stranu.

Površina trokuta se također može predstaviti kao proizvod kvadrata jedne od stranica i sinusa dva susjedna ugla, podijeljen sa dvostrukim sinusom zbira ovih uglova.
S=a2*sinβ*sinγ/2sinγ

Izvori:

• tabela sa radijusima opisanih krugova
• Poluprečnik kružnice opisane oko jednakostranice

Smatra se da je opisan oko poligona ako dodiruje sve njegove vrhove. Ono što je vrijedno pažnje je da je centar takvih krug poklapa se sa točkom presjeka okomica povučenih iz središta stranica poligona. Radijus opisano krug potpuno ovisi o poligonu oko kojeg je opisan.

Trebaće ti

• Znati stranice poligona i njegovu površinu/perimetar.

Instrukcije

Bilješka

Krug se može nacrtati oko poligona samo ako je pravilan, tj. sve su mu stranice jednake i svi uglovi su jednaki.
Za sve pravilne poligone vrijedi teza da je središte kružnice opisane oko poligona presjek njegovih okomitih simetrala.

Izvori:

• kako pronaći radijus poligona

Ako je moguće konstruirati opisanu kružnicu za poligon, tada je površina ovog poligona manja od površine opisane kružnice, ali više površine upisan krug. Za neke poligone, formule za pronalaženje radijus upisane i opisane kružnice.

Instrukcije

Krug upisan u poligon koji dodiruje sve strane poligona. Za trougao radijus kružnice: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, gdje je p poluperimetar; a, b, c - stranice trougla. Jer formula je pojednostavljena: r = a/(2*3^1/2), a je stranica trougla.

Krug opisan oko poligona je kružnica na kojoj leže svi vrhovi poligona. Za trokut, radijus se nalazi po formuli: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), gdje je p poluperimetar; a, b, c - stranice trougla. Za ispravnog je lakše: R = a/3^1/2.

Za poligone nije uvijek moguće pronaći omjer upisanih polumjera i dužina njegovih stranica. Češće su ograničeni na konstruisanje takvih krugova oko poligona, a zatim i fizičkih radijus kružnice koristeći mjerne instrumente ili vektorski prostor.
Za konstruiranje opisane kružnice konveksnog poligona, konstruiraju se simetrale njegovih dvaju ugla u njihovom sjecištu. Polumjer će biti udaljenost od točke presjeka simetrala do vrha bilo kojeg ugla poligona. Središte upisanog na presjeku okomica izgrađenih unutar poligona od centara stranica (ove okomice su srednje). Dovoljno je konstruisati dvije takve okomice. Polumjer upisane kružnice jednak je udaljenosti od točke presjeka srednjih okomita na stranu poligona.

Video na temu

Bilješka

Nemoguće je upisati krug u proizvoljno zadani poligon i opisati krug oko njega.

Koristan savjet

Krug se može upisati u četvorougao ako je a+c = b+d, gde su a, b, c, d stranice četvorougla po redu. Krug se može opisati oko četvorougla ako njegovi suprotni uglovi zajedno iznose 180 stepeni;

Za trougao takvi krugovi uvijek postoje.

Savjet 4: Kako pronaći površinu trokuta na osnovu tri strane

Pronalaženje površine trokuta jedan je od najčešćih problema u školskoj planimetriji. Poznavanje tri strane trokuta je dovoljno za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima jednakostraničnih trouglova, dovoljno je znati dužine dvije, odnosno jedne stranice.

Trebaće ti

• dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinusni teorem

Instrukcije

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako zapišemo poluperimetar p, dobijamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Možete izvesti formulu za površinu trokuta iz razmatranja, na primjer, primjenom teorema kosinusa.

Prema kosinusnom teoremu, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedene notacije, one se takođe mogu napisati u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dakle, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta se također nalazi po formuli S = a*c*sin(ABC)/2 kroz dvije stranice i ugao između njih. Sinus ugla ABC se može izraziti kroz njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Zamjenom sinusa u formulu za površinu i ispisivanjem , možete doći do formule za površinu trokuta ABC.

Video na temu

Tri tačke koje jedinstveno definišu trougao u Dekartovom koordinatnom sistemu su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osa, možete izračunati sve parametre ove ravne figure, uključujući one ograničene njenim perimetrom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

Instrukcije

Koristite Heronovu formulu za izračunavanje površine trougao. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa počnite svoje proračune sa . Dužina svake strane mora biti jednaka korijenu zbira kvadrata dužina njenih projekcija na koordinatne ose. Ako označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), dužine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Da biste pojednostavili proračune, uvedite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Iz činjenice da je ovo polovina zbira dužina svih stranica: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Izračunati kvadrat(S) koristeći Heronovu formulu - uzmite korijen proizvoda poluperimetra i razliku između njega i dužine svake strane. IN opšti pogled može se napisati na sljedeći način: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁) -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁- X₃) ² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Za praktične proračune zgodno je koristiti specijalizirane kalkulatore. Ovo su skripte hostovane na serverima nekih sajtova koje će sve uraditi potrebne kalkulacije na osnovu koordinata koje ste uneli u odgovarajući obrazac. Jedina takva usluga je da ne daje objašnjenja i opravdanja za svaki korak proračuna. Stoga, ako vas zanima samo konačni rezultat, a ne opći proračuni, idite, na primjer, na stranicu http://planetcalc.ru/218/.

U polja obrasca unesite svaku koordinatu svakog vrha trougao- oni su ovdje kao Ax, Ay, Az, itd. Ako je trokut određen dvodimenzionalnim koordinatama, upišite nulu u polja Az, Bz i Cz. U polju "Preciznost izračuna" postavite potreban broj decimalnih mjesta klikom na plus ili minus mišem. Nije potrebno pritisnuti narandžasto dugme „Izračunaj“ koje se nalazi ispod obrasca; Odgovor ćete pronaći pored natpisa „Oblast trougao" - nalazi se odmah ispod narandžastog dugmeta.

Izvori:

• pronađite površinu trokuta sa vrhovima u tačkama

Ponekad oko konveksnog poligona možete ga nacrtati na takav način da vrhovi svih uglova leže na njemu. Takav krug u odnosu na poligon treba nazvati opisanim. Ona centar ne mora biti unutar perimetra upisane figure, već koristeći svojstva opisanog krug, pronalaženje ove tačke obično nije teško.

Trebaće ti

• Ravnilo, olovka, kutomjer ili kvadrat, šestar.

Instrukcije

Ako je poligon oko kojeg trebate opisati krug nacrtan na papiru, pronaći centar a dovoljan je krug sa ravnalom, olovkom i kutomjerom ili kvadratom. Izmjerite dužinu bilo koje strane figure, odredite njenu sredinu i postavite pomoćnu tačku na ovo mjesto na crtežu. Koristeći kvadrat ili kutomjer, nacrtajte segment unutar poligona okomito na ovu stranu dok se ne siječe sa suprotnom stranom.

Uradite istu operaciju sa bilo kojom drugom stranom poligona. Presek dva konstruisana segmenta biće željena tačka. Ovo proizilazi iz glavnog svojstva opisanog krug- ona centar u konveksnom poligonu sa bilo kojom stranom uvijek leži u tački presjeka simetralnih okomica povučenih na ove

Vrlo često, kada rješavate geometrijske probleme, morate izvoditi radnje s pomoćnim figurama. Na primjer, pronalaženje polumjera upisane ili opisane kružnice, itd. Ovaj članak će vam pokazati kako pronaći polumjer kružnice opisane trokutom. Ili, drugim riječima, radijus kruga u koji je trokut upisan.

Kako pronaći polumjer kružnice opisane oko trokuta - opća formula

Opća formula je sljedeća: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), gdje je R polumjer opisane kružnice, p je obim trokuta podijeljen sa 2 (poluperimetar). a, b, c – stranice trougla.

Nađite poluprečnik kruga trougla ako je a = 3, b = 6, c = 7.

Dakle, na osnovu gornje formule izračunavamo poluperimetar:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Zamjenjujemo vrijednosti u formulu i dobijamo:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Odgovor: R = 126/16√5

Kako pronaći polumjer kružnice koja opisuje jednakostranični trokut

Da biste pronašli polumjer kružnice opisane oko jednakostranični trougao, postoji prilično jednostavna formula: R = a/√3, gdje je a veličina njegove stranice.

Primjer: Stranica jednakostraničnog trougla je 5. Nađite poluprečnik opisane kružnice.

Kako su sve stranice jednakostraničnog trokuta jednake, da biste riješili problem, potrebno je samo unijeti njegovu vrijednost u formulu. Dobijamo: R = 5/√3.

Odgovor: R = 5/√3.

Kako pronaći poluprečnik kružnice koja opisuje pravougli trokut

Formula je sljedeća: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, gdje su a i b katete, a c hipotenuza. Ako zbrojite kvadrate kateta u pravokutnom trokutu, dobit ćete kvadrat hipotenuze. Kao što se može vidjeti iz formule, ovaj izraz je ispod korijena. Izračunavanjem korijena kvadrata hipotenuze dobijamo samu dužinu. Množenjem rezultujućeg izraza sa 1/2 na kraju dolazimo do izraza 1/2 × c = c/2.

Primjer: Izračunajte polumjer opisane kružnice ako su kraci trokuta 3 i 4. Zamijenite vrijednosti u formulu. Dobijamo: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

U ovom izrazu, 5 je dužina hipotenuze.

Odgovor: R = 2,5.

Kako pronaći polumjer kružnice koja opisuje jednakokraki trokut

Formula je sljedeća: R = a²/√(4a² – b²), gdje je a dužina bedra trougla, a b dužina osnove.

Primjer: Izračunajte polumjer kružnice ako je njen bok = 7, a baza = 8.

Rješenje: Zamijenite ove vrijednosti u formulu i dobijete: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Odgovor se može napisati direktno ovako.

Odgovor: R = 49/√132

Online resursi za izračunavanje polumjera kružnice

Može se vrlo lako zbuniti u svim ovim formulama. Stoga, ako je potrebno, možete koristiti online kalkulatori, koji će vam pomoći u rješavanju problema nalaženja radijusa. Princip rada ovakvih mini programa je vrlo jednostavan. Zamijenite bočnu vrijednost u odgovarajuće polje i dobijte gotov odgovor. Možete odabrati nekoliko opcija za zaokruživanje odgovora: na decimale, stotinke, hiljadinke itd.

Prvi nivo

Opisani krug. Vizuelni vodič (2019)

Prvo pitanje koje se može postaviti je: šta je opisano – oko čega?

Pa, zapravo, ponekad se to dešava oko bilo čega, ali ćemo govoriti o krugu koji je opisan oko (ponekad kažu i „o“) trougla. Šta je?

I samo zamislite, dešava se neverovatna činjenica:

Zašto je ova činjenica iznenađujuća?

Ali trouglovi su različiti!

I za svakoga postoji krug kroz koji će proći preko sva tri vrha, odnosno opisani krug.

Dokaz za ovo neverovatna činjenica može se naći u sljedećim nivoima teorije, ali ovdje samo napominjemo da ako uzmemo, na primjer, četverougao, onda neće za svakoga postojati kružnica koja prolazi kroz četiri vrha. Na primjer, paralelogram je odličan četverougao, ali nema kružnice koja prolazi kroz sva njegova četiri vrha!

A postoji samo za pravougaonik:

Izvoli, i svaki trougao uvek ima svoj opisani krug! I čak je uvijek prilično lako pronaći centar ovog kruga.

Znate li šta je to okomita simetrala?

Pogledajmo sada šta će se dogoditi ako uzmemo u obzir čak tri okomite simetrale na stranice trougla.

Ispada (a to je upravo ono što treba dokazati, iako nećemo) da sve tri okomice seku se u jednoj tački. Pogledajte sliku - sve tri okomite simetrale se sijeku u jednoj tački.

Mislite li da središte opisane kružnice uvijek leži unutar trougla? Zamislite - ne uvek!

Ali ako oštrougao, zatim - iznutra:

Šta raditi sa pravouglim trouglom?

I uz dodatni bonus:

Pošto govorimo o poluprečniku opisane kružnice: čemu je on jednak za proizvoljan trougao? I na ovo pitanje postoji odgovor: tzv.

naime:

I naravno,

1. Postojanje i centar kruga

Ovdje se postavlja pitanje: postoji li takav krug za svaki trougao? Ispostavilo se da da, za sve. Štaviše, sada ćemo formulirati teoremu koja također odgovara na pitanje gdje se nalazi centar opisane kružnice.

Pogledaj, ovako:

Budimo hrabri i dokažimo ovu teoremu. Ako ste već pročitali temu "" i shvatili zašto se tri simetrale sijeku u jednoj tački, onda će vam biti lakše, ali ako je niste pročitali, ne brinite: sada ćemo to shvatiti.

Dokaz ćemo izvesti koristeći koncept lokusa tačaka (GMT).

Pa, na primjer, da li je skup loptica „geometrijski lokus“ okruglih objekata? Ne, naravno, jer postoje okrugle...lubenice. Da li je to skup ljudi, „geometrijsko mjesto“, koji mogu govoriti? Ne, takođe, jer postoje bebe koje ne govore. U životu je općenito teško pronaći primjer prave "geometrijske lokacije tačaka". Lakše je u geometriji. Evo, na primjer, upravo ono što nam treba:

Ovdje je skup okomita simetrala, a svojstvo “ ” je “da bude jednako udaljen (tačka) od krajeva segmenta.”

Hoćemo li provjeriti? Dakle, morate biti sigurni u dvije stvari:

1. Svaka tačka koja je jednako udaljena od krajeva segmenta nalazi se na okomitoj simetrali na nju.

Spojimo c i c. Tada je prava medijana i visina b. To znači - jednakokraki - pobrinuli smo se da bilo koja tačka koja leži na simetrali okomice bude jednako udaljena od tačaka i.

Uzmimo sredinu i spojimo i. Rezultat je medijana. Ali prema uslovu, nije samo medijana jednakokračna, već i visina, odnosno simetrala okomita. To znači da tačka tačno leži na simetrali okomice.

Sve! To smo u potpunosti potvrdili Okomita simetrala segmenta je mjesto tačaka jednako udaljenih od krajeva segmenta.

Sve je to dobro, ali jesmo li zaboravili na opisani krug? Nikako, upravo smo sebi pripremili „odskočnu dasku za napad“.

Zamislite trougao. Nacrtajmo dvije simetralne okomice i, recimo, na segmente i. Oni će se ukrštati u nekom trenutku, koji ćemo nazvati.

Sada, obratite pažnju!

Tačka leži na okomitoj simetrali;
tačka leži na okomitoj simetrali.
A to znači i.

Iz ovoga slijedi nekoliko stvari:

Prvo, tačka mora ležati na trećoj simetrali okomito na segment.

To jest, simetrala okomice također mora proći kroz tačku, a sve tri okomite simetrale se sijeku u jednoj tački.

Drugo: ako nacrtamo kružnicu sa centrom u tački i poluprečnikom, onda će i ta kružnica proći i kroz tačku i kroz tačku, odnosno biće opisana kružnica. To znači da već postoji da je presjek tri okomite simetrale centar opisane kružnice za bilo koji trokut.

I poslednja stvar: o jedinstvenosti. Jasno je (skoro) da se tačka može dobiti na jedinstven način, stoga je krug jedinstven. Pa, ostavićemo "skoro" za vaše razmišljanje. Tako smo dokazali teoremu. Možete viknuti "Ura!"

Šta ako problem traži "nađi polumjer opisane kružnice"? Ili obrnuto, radijus je dat, ali trebate pronaći nešto drugo? Postoji li formula koja povezuje polumjer opisane kružnice sa ostalim elementima trokuta?

Napomena: teorema sinusa to kaže da biste pronašli poluprečnik opisane kružnice, potrebna vam je jedna strana (bilo koja!) i ugao nasuprot njoj. To je sve!

3. Centar kruga - iznutra ili izvana

Sada se postavlja pitanje: može li središte opisane kružnice ležati izvan trougla?
Odgovor: koliko god je to moguće. Štaviše, to se uvijek događa u tupouglu.

I generalno govoreći:

CIRCULAR CIRCLE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

1. Krug opisan oko trougla

Ovo je kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha ovog trougla.

2. Postojanje i centar kruga

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste jako cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 999 rub.

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator “6000 zadataka sa rješenjima i odgovorima, za svaku temu, na svim nivoima složenosti.” Definitivno će biti dovoljno da se uhvatite u koštac sa rješavanjem problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je mnogo više od samo simulatora - cijeli program obuke. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima je omogućen za CIJELI period postojanja sajta.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Dokaz teorema o svojstvima opisane kružnice trougla

Okomita simetrala na segment

Definicija 1. Okomita simetrala na segment naziva se prava linija koja je okomita na ovaj segment i prolazi kroz njegovu sredinu (slika 1).

Teorema 1. Svaka tačka simetrale okomite na segment je locirana na istoj udaljenosti od krajeva ovom segmentu.

Dokaz. Razmotrimo proizvoljnu tačku D koja leži na simetrali okomice na segment AB (slika 2) i dokažimo da su trouglovi ADC i BDC jednaki.

Zaista, ovi trouglovi su pravokutni trouglovi u kojima su kraci AC i BC jednaki, a krak DC je uobičajen. Jednakost trouglova ADC i BDC implicira jednakost segmenata AD i DB. Teorema 1 je dokazana.

Teorema 2 (konverzno sa teoremom 1). Ako je tačka na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, onda ona leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

Dokaz. Dokažimo teoremu 2 kontradikcijom. U tu svrhu pretpostavimo da je neka tačka E na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, ali ne leži na simetrali okomite na ovaj segment. Dovedemo ovu pretpostavku u kontradikciju. Razmotrimo prvo slučaj kada tačke E i A leže duž različite strane od srednje okomice (sl. 3). U ovom slučaju, segment EA siječe simetralu okomice u nekoj tački, koju ćemo označiti slovom D.

Dokažimo da je segment AE duži od segmenta EB. stvarno,

Dakle, u slučaju kada tačke E i A leže na suprotnim stranama simetrale okomice, imamo kontradikciju.

Sada razmotrimo slučaj kada tačke E i A leže na istoj strani simetrale okomice (slika 4). Dokažimo da je segment EB duži od segmenta AE. stvarno,

Dobivena kontradikcija dovršava dokaz teoreme 2

Krug opisan oko trougla

Definicija 2. Krug opisan oko trougla, naziva se kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trougla (slika 5). U ovom slučaju trokut se zove trougao upisan u krug ili upisani trougao.

Svojstva opisane kružnice trougla. Teorema sinusa

Slika	Crtanje	Nekretnina
Okomite simetrale na stranice trougla		seku u jednoj tački .
Centar krug opisan oko oštrog trougla		Centar opisano o oštrougao unutra trougao.
Centar krug opisan oko pravouglog trougla		Centar opisan oko pravougaona sredina hipotenuze .
Centar krug opisan oko tupouglog trougla		Centar opisano o tupougla trokut krug leži vani trougao.
		,
Square trougao		S= 2R 2 sin A grijeh B grijeh C ,
Circumradius		Za bilo koji trokut jednakost je tačna:

Okomite simetrale na stranice trougla

Sve okomite simetrale , povučen na stranice proizvoljnog trokuta, seku u jednoj tački .

Krug opisan oko trougla

Svaki trougao može biti okružen krugom . Središte kružnice opisane oko trougla je tačka u kojoj se sijeku sve okomite simetrale povučene na stranice trougla.

Centar opisane kružnice oštrog trougla

Centar opisano o oštrougao trokut krug leži unutra trougao.

Centar opisane kružnice pravokutnog trougla

Centar opisan oko pravougaona trokut krug je sredina hipotenuze .

Centar opisane kružnice tupouglog trougla

Centar opisano o tupougla trokut krug leži vani trougao.

Za bilo koji trougao su tačne sljedeće jednakosti (sinusna teorema): , gdje su a, b, c stranice trougla, A, B, C su uglovi trougla, R je poluprečnik opisane kružnice.

Površina trougla

Za bilo koji trokut jednakost je tačna: S= 2R 2 sin A grijeh B grijeh C , gdje su A, B, C uglovi trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Circumradius

Za bilo koji trokut jednakost je tačna: gdje su a, b, c stranice trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Dokaz teorema o svojstvima opisane kružnice trougla

Teorema 3. Sve okomite simetrale povučene na stranice proizvoljnog trougla seku se u jednoj tački.

Dokaz. Razmotrimo dvije okomite simetrale povučene na stranice AC i AB trougla ABC i označimo njihovu presječnu tačku slovom O (slika 6).

Kako tačka O leži na okomitoj simetrali na odsječak AC, onda na osnovu teoreme 1 vrijedi sljedeća jednakost:

Kako tačka O leži na okomitoj simetrali na segment AB, onda na osnovu teoreme 1 vrijedi sljedeća jednakost:

Dakle, jednakost je tačna:

odakle, koristeći teoremu 2, zaključujemo da tačka O leži na okomitoj simetrali na segment BC. Dakle, sve tri okomite simetrale prolaze kroz istu tačku, kao što je potrebno dokazati.

Posljedica. Svaki trougao može biti okružen krugom . Središte kružnice opisane oko trougla je tačka u kojoj se sijeku sve okomite simetrale povučene na stranice trougla.

Dokaz. Razmotrimo tačku O, u kojoj se sijeku sve simetrale povučene na stranice trougla ABC (slika 6).

Prilikom dokazivanja teoreme 3 dobijena je sljedeća jednakost:

iz čega sledi da kružnica sa centrom u tački O i poluprečnikima OA, OB, OC prolazi kroz sva tri vrha trougla ABC, što je i trebalo dokazati.