Primjer 1 Zadata funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Napišimo jednačinu tangente na graf funkcije f(x) u tački grafika sa apscisom x 0 = 1.

Rješenje. Izvod funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Onda f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna jednadžba ima oblik:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Odgovori. y = 10x – 8.

Primjer 2 Zadata funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišimo jednačinu tangente na graf funkcije f(x), paralelno sa pravom y = 2x – 11.

Rješenje. Izvod funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Budući da je tangenta na graf funkcije f(x) u tački sa apscisom x 0 je paralelno sa pravom y = 2x– 11, tada je njegov nagib 2, tj. ( x 0) = 2. Nađi ovu apscisu iz uslova da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo za x 0 = 0 i x 0 = 2. Pošto je u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim prava linija y = 2x + b dodiruje graf funkcije ili u tački (0; 5) ili u tački (2; 5).

U prvom slučaju, numerička jednakost je tačna 5 = 2×0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju brojčana jednakost je tačna 5 = 2 × 2 + b, gdje b = 1.

Dakle, postoje dvije tangente y = 2x+ 5 i y = 2x+ 1 na graf funkcije f(x) paralelno sa pravom y = 2x – 11.

Odgovori. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Primjer 3 Zadata funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) prolazeći kroz tačku A (2; –5).

Rješenje. Jer f(2) –5, zatim tačka A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka x 0 - apscisa dodirne tačke.

Izvod funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

Onda f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentna jednadžba ima oblik:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Od tačke A pripada tangenti, tada je numerička jednakost tačna

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz tačku A moguće je nacrtati dvije tangente na graf funkcije f(x).

Ako x 0 = 0, tada tangentna jednadžba ima oblik y = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada tangentna jednačina ima oblik y = 2x – 9.

Odgovori. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Primjer 4 Zadane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 - 3. Napišimo jednačinu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.

Rješenje. Neka x 1 - apscisa tačke kontakta željene linije sa grafikom funkcije f(x), A x 2 - apscisa dodirne tačke iste prave sa grafikom funkcije g(x).

Izvod funkcije f(x) postoji za bilo koji x R . Hajde da ga pronađemo:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

Onda f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentna jednadžba ima oblik:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Nađimo derivaciju funkcije g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Razmotrite sljedeću sliku:

Prikazuje neku funkciju y = f(x) koja je diferencibilna u tački a. Označena tačka M sa koordinatama (a; f(a)). Kroz proizvoljnu tačku P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa povlači se sekansa MP.

Ako se sada tačka P pomeri duž grafika do tačke M, tada će prava linija MP rotirati oko tačke M. U ovom slučaju, ∆x će težiti nuli. Odavde možemo formulirati definiciju tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je granična pozicija sekansa kada inkrement argumenta teži nuli. Treba shvatiti da postojanje derivacije funkcije f u tački x0 znači da u ovoj tački grafa postoji tangenta za njega.

U ovom slučaju, nagib tangente će biti jednak derivaciji ove funkcije u ovoj tački f’(x0). Ovo je geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije f diferencibilne u tački x0 je neka prava linija koja prolazi kroz tačku (x0;f(x0)) i ima nagib f’(x0).

Tangentna jednadžba

Pokušajmo dobiti jednadžbu tangente na graf neke funkcije f u tački A(x0; f(x0)). Jednačina prave linije sa nagibom k ima sljedeći oblik:

Pošto je naš nagib jednak izvodu f'(x0), tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik: y = f'(x0)*x + b.

Sada izračunajmo vrijednost b. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da funkcija prolazi kroz tačku A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odavde izražavamo b i dobijamo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Razmotrite sljedeći primjer: pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 u tački x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Zamijenite dobijene vrijednosti u tangentnu formulu, dobijamo: y = 1 + 4*(x - 2). Otvarajući zagrade i donoseći slične članove, dobijamo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Opća šema za sastavljanje tangentne jednačine na graf funkcije y = f(x):

1. Odrediti x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunajte f'(x)

On sadašnjoj fazi razvoj obrazovanja kao jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako se sistematski bave osnovama. istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne snage, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školskog predmeta matematike je od velikog značaja. U isto vrijeme, trebale bi biti punopravne vještine didaktičke svrhe ne pojedinačni zadaci, već pažljivo osmišljen sistem istih. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

Razmotrimo metodologiju za podučavanje učenika kako da sastave jednadžbu tangente na graf funkcije. U suštini, svi zadaci za pronalaženje jednačine tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snop, familija) linija izaberu one od njih koje zadovoljavaju određeni zahtjev – tangente su na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se specificirati na dva načina:

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme "Tangensa na graf funkcije" u cilju izolacije elemenata sistema, identificirali smo dvije vrste zadataka:

1) zadaci na tangentu zadanu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) zadaci na tangentu zadanu njenim nagibom.

Učenje rješavanja problema na tangenti provedeno je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), u vezi s tim jednadžba tangente ima oblik

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(uporedite sa y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ovo metodička tehnika, po našem mišljenju, omogućava studentima da brzo i lako shvate gde su u opštoj jednačini tangente upisane koordinate trenutne tačke, a gde dodirne tačke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Označite slovom a apscisu dodirne tačke.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a). opšta jednačina tangenta y = f (a) = f "(a) (x - a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog odabira operacija od strane učenika i redosleda njihovog izvođenja.

Praksa je pokazala da dosljedno rješavanje svakog od ključnih zadataka pomoću algoritma omogućava formiranje sposobnosti pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao jake tačke za radnje. . Ovaj pristup je u skladu sa teorijom fazno formiranje mentalne akcije koje je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
• tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Izjednačiti tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je dodirna tačka, pošto

1. a = 3 - apscisa dodirne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 je tangentna jednadžba.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, prolazeći kroz tačku M(- 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer je f(– 3) 6 (slika 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna jednadžba.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednadžba y = 4x + 18.

Ako je a \u003d - 2, tada tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci će biti sljedeći:

• tangenta je paralelna nekoj pravoj liniji (problem 3);
• tangenta prolazi pod nekim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

1. a - apscisa dodirne tačke.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uslov paralelizma). Dakle, moramo riješiti jednačinu 3a 2 - 6a = 9. Njeni korijeni a = 1, a = 3 (sl. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 je tangentna jednačina;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 je tangentna jednačina.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f "(a) = tg 45 ° nalazimo a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - apscisa dodirne tačke.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješenje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente seku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa dodirne tačke, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a \u003d 3 - apscisa dodirne točke jedne od strana pravog kuta.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednadžba prve tangente.

Neka je a nagib prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Pronađite

To znači da je nagib druge tangente .

Dalje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) tačka tangente druge linije

1. - apscisa druge dodirne tačke.
2.
3.
4.
je jednadžba druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Rješenje. Problem se svodi na pronalaženje apscisa zajedničkih tangentnih tačaka, odnosno na rješavanje ključnog problema 1 u opšti pogled, sastavljanje sistema jednačina i njegovo naknadno rješenje (slika 6).

1. Neka je a apscisa dodirne tačke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Pošto su tangente uobičajene, onda

Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedničke tangente.

Osnovni cilj razmatranih zadataka je priprema učenika za samoprepoznavanje tipa ključnog zadatka pri rješavanju složenijih zadataka koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, upoređivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Takvi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem ključni zadatak uključena kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) nalaženja funkcije iz porodice njenih tangenta.

3. Za koje su b i c linije y = x i y = - 2x tangente na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Neka je t apscisa tačke dodira prave y = x sa parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne tačke prave y = - 2x sa parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednačina tangente y = x poprimiti oblik y = (2t + b)x + c - t 2 , a jednačina tangente y = - 2x će imati oblik y = (2p + b)x + c - p 2 .

Sastavite i riješite sistem jednačina

odgovor:

Ovaj matematički program pronalazi jednadžbu tangente na graf funkcije \(f(x) \) u korisnički specificiranoj tački \(a \).

Program ne samo da prikazuje tangentnu jednačinu, već prikazuje i proces rješavanja problema.

Ovaj online kalkulator može biti koristan srednjoškolcima opšteobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je prije moguće? zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Ako trebate pronaći derivaciju funkcije, onda za to imamo zadatak Pronađi izvod.

Ako niste upoznati s pravilima za uvođenje funkcija, preporučujemo da se upoznate s njima.

Unesite izraz funkcije \(f(x)\) i broj \(a\)

f(x)=
a=

Pronađite jednadžbu tangente

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U vašem pretraživaču je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Nagib prave linije

Podsjetimo da je raspored linearna funkcija\(y=kx+b\) je prava linija. Poziva se broj \(k=tg \alpha \). nagib prave linije, a ugao \(\alpha \) je ugao između ove linije i Ox ose

Ako je \(k>0\), onda \(0 If \(kJednačina tangente na graf funkcije

Ako tačka M (a; f (a)) pripada grafu funkcije y \u003d f (x) i ako je u ovoj tački moguće nacrtati tangentu na graf funkcije koja nije okomita na x-osi, onda iz geometrijskog značenja derivacije proizlazi da je nagib tangente jednak f"(a). Zatim ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf bilo koje funkcije.

Neka su data funkcija y = f (x) i tačka M (a; f (a)) na grafu ove funkcije; neka bude poznato da f "(a) postoji. Formulirajmo jednačinu tangente na graf datu funkciju u datoj tački. Ova jednadžba, kao i jednadžba bilo koje prave linije koja nije paralelna y-osi, ima oblik y = kx + b, pa je problem pronaći vrijednosti koeficijenata k i b.

Sve je jasno sa nagibom k: poznato je da je k \u003d f "(a). Za izračunavanje vrijednosti b koristimo činjenicu da željena ravna linija prolazi kroz tačku M (a; f (a)) To znači da ako zamenimo koordinate tačke M u jednadžbu prave linije, dobićemo tačnu jednakost: \ (f (a) = ka + b \), tj. \ (b = f (a ) - ka \).

Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata k i b u jednadžbu prave linije:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

Primili smo jednadžba tangente na graf funkcije\(y = f(x) \) u tački \(x=a \).

Algoritam za pronalaženje jednačine tangente na graf funkcije \(y=f(x)\)
1. Označite apscisu dodirne točke slovom \ (a \)
2. Izračunajte \(f(a)\)
3. Pronađite \(f"(x) \) i izračunajte \(f"(a) \)
4. Zamijenite pronađene brojeve \ (a, f (a), f "(a) \) u formulu \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \)

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova na mreži Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Katalog škola u Rusiji Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog univerziteta u Rusiji Spisak zadataka Pronalaženje GCD i LCM Pojednostavljivanje polinoma (množenje polinoma)

U članku se detaljno objašnjavaju definicije, geometrijsko značenje izvedenice sa grafičkim oznakama. Jednadžba tangente će se razmatrati na primjerima, naći će se jednadžbe tangente na krivulje 2. reda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Ugao nagiba ravne linije y = k x + b naziva se kut α, koji se mjeri od pozitivnog smjera x-ose do prave linije y = k x + b u pozitivnom smjeru.

Na slici je smjer vola označen zelenom strelicom i zelenim lukom, a ugao nagiba crvenim lukom. Plava linija se odnosi na ravnu liniju.

Definicija 2

Nagib prave linije y = k x + b naziva se numerički koeficijent k.

Nagib je jednak nagibu prave, drugim riječima k = t g α .

• Nagib prave linije je 0 samo kada je o x paralelan, a nagib jednak nuli, jer je tangenta nule 0. Dakle, oblik jednačine će biti y = b.
• Ako je ugao nagiba prave linije y = k x + b oštar, tada su uslovi 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , a na grafu se povećava.
• Ako je α \u003d π 2, tada je lokacija linije okomita na x. Jednakost je određena jednakošću x = c pri čemu je vrijednost c realan broj.
• Ako je ugao nagiba prave linije y = k x + b tup, onda odgovara uslovima π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negativno značenje, a graf se smanjuje.

Definicija 3

Sekansa je prava linija koja prolazi kroz 2 tačke funkcije f (x). Drugim riječima, sekansa je prava linija koja prolazi kroz bilo koje dvije točke na grafu date funkcije.

Slika pokazuje da je A B sekansa, a f (x) je crna kriva, α je crveni luk, koji označava ugao nagiba sekansa.

Kada je nagib prave jednak tangenti ugla nagiba, jasno je da se tangenta iz pravouglog trougla A B C može naći u odnosu na suprotni krak susednom.

Definicija 4

Dobijamo formulu za pronalaženje sekante oblika:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , gdje su apscise tačaka A i B vrijednosti x A , x B i f (x A) , f (x B) su funkcije vrijednosti u ovim tačkama.

Očigledno, nagib sekante je definiran pomoću jednakosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A ili k = f (x A) - f (x B) x A - x B, a jednačina se mora napisati kao y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ili
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanta vizuelno deli graf na 3 dela: levo od tačke A, od A do B, desno od B. Slika ispod pokazuje da postoje tri sekante za koje se smatra da su iste, tj. postaviti pomoću slične jednadžbe.

Po definiciji je jasno da je linija i njena sekansa u ovaj slučaj podudaraju se.

Sekansa može više puta preseći graf date funkcije. Ako postoji jednadžba oblika y \u003d 0 za sekantu, tada je broj točaka presjeka sa sinusoidom beskonačan.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) u tački x 0 ; f (x 0) naziva se prava linija koja prolazi kroz datu tačku x 0; f (x 0) , uz prisustvo segmenta koji ima mnogo x vrijednosti blizu x 0 .

Primjer 1

Pogledajmo pobliže primjer u nastavku. Tada se može vidjeti da se prava koja je data funkcijom y = x + 1 smatra tangentom na y = 2 x u tački s koordinatama (1 ; 2). Radi jasnoće, potrebno je razmotriti grafove sa vrijednostima bliskim (1; 2). Funkcija y = 2 x je označena crnom bojom, plava linija je tangenta, crvena tačka je tačka preseka.

Očigledno, y = 2 x spaja se s linijom y = x + 1.

Da bi se odredila tangenta, treba razmotriti ponašanje tangente A B dok se tačka B beskonačno približava tački A. Radi jasnoće, predstavljamo sliku.

Sekansa A B, označena plavom linijom, teži položaju same tangente, a ugao nagiba sekante α počeće da se približava uglu nagiba same tangente α x.

Definicija 6

Tangenta na graf funkcije y \u003d f (x) u tački A je granični položaj sekante A B u B koja teži A, odnosno B → A.

Sada prelazimo na razmatranje geometrijskog značenja derivacije funkcije u tački.

Prijeđimo na razmatranje sekante A B za funkciju f (x), gdje su A i B sa koordinatama x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), i ∆ x se označava kao inkrement argumenta. Sada će funkcija imati oblik ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Radi jasnoće, uzmimo sliku kao primjer.

Razmotrite rezultat pravougaonog trougla A B C. Koristimo definiciju tangente za rješenje, odnosno dobijamo omjer ∆ y ∆ x = t g α . Iz definicije tangente slijedi da je lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Prema pravilu derivacije u tački, imamo da se izvod f (x) u tački x 0 naziva granicom omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta, gdje je ∆ x → 0, tada označeno kao f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Iz toga slijedi da je f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdje je k x označen kao nagib tangente.

To jest, dobijamo da f ' (x) može postojati u tački x 0 i, kao i tangenta na dati graf funkcije u tački kontakta jednaka x 0 , f 0 (x 0) , gdje je vrijednost nagiba tangente u tački jednaka je izvodu u tački x 0 . Tada dobijamo da je k x = f "(x 0) .

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački je da je dat koncept postojanja tangente na graf u istoj tački.

Za pisanje jednačine bilo koje prave linije u ravni potrebno je imati nagib sa tačkom kroz koju ona prolazi. Njegova oznaka se uzima kao x 0 na raskrsnici.

Jednadžba tangente na graf funkcije y = f (x) u tački x 0, f 0 (x 0) poprima oblik y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

To znači da konačna vrijednost derivacije f"(x 0) može odrediti položaj tangente, odnosno vertikalno pod uslovom lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ili odsustvo uopšte pod uslovom lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Lokacija tangente ovisi o vrijednosti njenog nagiba k x \u003d f "(x 0). Kada je paralelna s osom x, dobijamo da je k k = 0, kada je paralelna sa oko y - k x \u003d ∞, a oblik tangentne jednadžbe x = x 0 raste s k x > 0, smanjuje se kao k x< 0 .

Primjer 2

Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 u tački s koordinatama (1; 3) s definicijom ugla sklonost.

Rješenje

Po pretpostavci imamo da je funkcija definirana za sve realne brojeve. Dobijamo da je tačka sa koordinatama određenim uslovom (1 ; 3) tačka kontakta, tada je x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Potrebno je pronaći izvod u tački sa vrijednošću - 1 . Shvatili smo to

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrijednost f’ (x) u tački kontakta je nagib tangente, koji je jednak tangenti nagiba.

Tada je k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Iz toga slijedi da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

odgovor: tangentna jednačina poprima oblik

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Radi jasnoće dajemo primjer na grafičkoj ilustraciji.

Crna boja se koristi za dijagram originalne funkcije, Plava boja- slika tangente, crvena tačka - dodirna tačka. Slika desno prikazuje uvećani prikaz.

Primjer 3

Saznati postojanje tangente na graf date funkcije
y = 3 x - 1 5 + 1 u tački sa koordinatama (1 ; 1) . Napišite jednačinu i odredite ugao nagiba.

Rješenje

Pod pretpostavkom imamo da je domen date funkcije skup svih realnih brojeva.

Idemo dalje na pronalaženje derivata

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ako je x 0 = 1 , tada f ' (x) nije definirano, ali su granice zapisane kao lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , što znači postojanje vertikalne tangente na tačka (1 ; 1) .

odgovor: jednadžba će imati oblik x \u003d 1, gdje će kut nagiba biti jednak π 2.

Nacrtajmo to grafikonom radi jasnoće.

Primjer 4

Pronađite tačke grafa funkcija y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , gdje je

1. Tangenta ne postoji;
2. Tangenta je paralelna sa x;
3. Tangenta je paralelna pravoj y = 8 5 x + 4 .

Rješenje

Potrebno je obratiti pažnju na domen definicije. Po pretpostavci imamo da je funkcija definirana na skupu svih realnih brojeva. Proširiti modul i riješiti sistem s intervalima x ∈ - ∞ ; 2 i [ - 2 ; +∞) . Shvatili smo to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funkcija se mora razlikovati. Imamo to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Kada je x = - 2, onda izvod ne postoji jer jednostrane granice nisu jednake u toj tački:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunavamo vrijednost funkcije u tački x \u003d - 2, gdje to dobivamo

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, odnosno tangenta na tačka (- 2; - 2) neće postojati.
2. Tangenta je paralelna sa x kada je nagib nula. Tada je k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To jest, potrebno je pronaći vrijednosti takvog x kada ga derivacija funkcije pretvori u nulu. To jest, vrijednosti f ' (x) i bit će dodirne točke, gdje je tangenta paralelna oko x.

Kada je x ∈ - ∞ ; - 2 , zatim - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , a za x ∈ (- 2 ; + ∞) dobijamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Izračunavamo odgovarajuće vrijednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dakle - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 se smatraju željenim tačkama grafa funkcije.

Razmotrite grafički prikaz rješenja.

Crna linija je graf funkcije, a crvene tačke su dodirne tačke.

1. Kada su prave paralelne, nagibi su jednaki. Zatim je potrebno tražiti tačke grafa funkcije, gdje će nagib biti jednak vrijednosti 8 5 . Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu oblika y "(x) = 8 5. Tada, ako je x ∈ - ∞; - 2, dobijamo da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ako je x ∈ ( - 2 ; + ∞) , onda je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Prva jednadžba nema korijen jer je diskriminant manji od nule. Hajde da to zapišemo

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Dakle, druga jednadžba ima dva realna korijena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Idemo dalje na pronalaženje vrijednosti funkcije. Shvatili smo to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Bodovi sa vrijednostima - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 su tačke u kojima su tangente paralelne pravoj y = 8 5 x + 4 .

odgovor: crna linija - graf funkcije, crvena linija - graf y = 8 5 x + 4, plava linija - tangente u tačkama - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Moguće je postojanje beskonačnog broja tangenata za date funkcije.

Primjer 5

Napišite jednadžbe svih dostupnih tangenta funkcije y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , koje su okomite na pravu y = - 2 x + 1 2 .

Rješenje

Za sastavljanje jednačine tangente potrebno je pronaći koeficijent i koordinate dodirne tačke, na osnovu uslova okomitosti pravih. Definicija zvuči ovako: proizvod nagiba koji su okomiti na prave je jednak - 1, odnosno zapisuje se kao k x · k ⊥ = - 1. Iz uslova imamo da je nagib okomit na pravu i jednak k ⊥ = - 2, tada je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Sada moramo pronaći koordinate dodirnih tačaka. Potrebno je pronaći x, nakon čega je njegova vrijednost za datu funkciju. Imajte na umu da iz geometrijskog značenja derivacije u tački
x 0 dobijamo da je k x \u003d y "(x 0) . Iz ove jednakosti nalazimo x vrijednosti za dodirne tačke.

Shvatili smo to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 π 2 x 0 - 4 = - 1 9

Ova trigonometrijska jednačina će se koristiti za izračunavanje ordinata dodirnih tačaka.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ili x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je skup cijelih brojeva.

Pronađeno x dodirnih tačaka. Sada morate ići na pretragu za y vrijednosti:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ili y 0 = - 4 5 + 1 3

Odavde dobijamo da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 su dodirne tačke.

odgovor: potrebne jednačine će biti zapisane kao

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualni prikaz, razmotrite funkciju i tangentu na koordinatnoj liniji.

Slika pokazuje da je lokacija funkcije na intervalu [ - 10 ; 10 ] , gdje je crna linija grafik funkcije, plave linije su tangente koje su okomite na datu liniju oblika y = - 2 x + 1 2 . Crvene tačke su dodirne tačke.

Kanonske jednadžbe krivulja 2. reda nisu jednovrijedne funkcije. Tangentne jednadžbe za njih se sastavljaju prema dobro poznatim shemama.

Tangenta na kružnicu

Postaviti krug sa centrom u tački x c e n t e r ; y c e n t e r i radijus R, koristi se formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Ova jednakost se može napisati kao unija dvije funkcije:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prva funkcija je na vrhu, a druga na dnu, kao što je prikazano na slici.

Sastaviti jednadžbu kružnice u tački x 0 ; y 0 , koji se nalazi u gornjem ili donjem polukrugu, trebali biste pronaći jednadžbu grafa funkcije oblika y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ili y \u003d - R e 2 - x - x t + e r y c e n t e r na navedenoj tački.

Kada je u tačkama x c e n t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangente se mogu dati jednadžbama y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R , a u tačkama x c e n t e r + R ; y c e n t e r i
x c e n t e r - R ; y c e n t e r će biti paralelan oko y, tada ćemo dobiti jednačine oblika x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Tangenta na elipsu

Kada je centar elipse u x c e n t e r ; y c e n t e r sa poluosama a i b , onda se može dati pomoću jednačine x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elipsa i krug mogu se označiti kombinacijom dvije funkcije, odnosno gornje i donje poluelipse. Onda to shvatamo

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ako se tangente nalaze na vrhovima elipse, onda su paralelne oko x ili oko y. Radi jasnoće, razmotrite sliku ispod.

Primjer 6

Napišite jednadžbu tangente na elipsu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 u tačkama sa x vrijednostima jednakim x = 2 .

Rješenje

Potrebno je pronaći dodirne tačke koje odgovaraju vrijednosti x = 2. Napravimo zamjenu u postojećoj jednadžbi elipse i dobijemo je

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Tada je 2 ; 5 3 2 + 5 i 2 ; - 5 3 2 + 5 su tangente koje pripadaju gornjoj i donjoj poluelipsi.

Pređimo na pronalaženje i rješavanje jednadžbe elipse u odnosu na y. Shvatili smo to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očigledno je da je gornja poluelipsa specificirana pomoću funkcije oblika y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , a donja y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Primjenjujemo standardni algoritam kako bismo formulirali jednadžbu tangente na graf funkcije u tački. Pišemo da je jednačina za prvu tangentu u tački 2; 5 3 2 + 5 će izgledati

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dobijamo da je jednačina druge tangente sa vrijednošću u tački
2; - 5 3 2 + 5 postaje

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafički, tangente se označavaju na sljedeći način:

Tangenta na hiperbolu

Kada hiperbola ima centar u tački x c e n t e r ; y c e n t e r i vrhovi x c e n t e r + α ; y c e n t e r i x c e n t e r - α ; y c e n t e r , nejednakost x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 je data ako je sa vrhovima x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r ; y c e n t e r - b je tada zadan nejednakošću x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola se može predstaviti kao dvije kombinovane funkcije oblika

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ili y = b a (x - x c t e r) (x - x c t e r) ) 2 + a 2 + y c e n t e r

U prvom slučaju imamo da su tangente paralelne sa y, au drugom paralelne sa x.

Iz toga slijedi da je za pronalaženje jednadžbe tangente na hiperbolu potrebno saznati kojoj funkciji pripada tačka tangente. Da bi se to utvrdilo, potrebno je izvršiti zamjenu u jednadžbi i provjeriti njihovu identičnost.

Primjer 7

Napišite jednačinu tangente na hiperbolu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 u tački 7; - 3 3 - 3 .

Rješenje

Potrebno je transformirati zapis rješenja nalaženja hiperbole pomoću 2 funkcije. Shvatili smo to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ili y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Potrebno je saznati kojoj funkciji pripada data tačka sa koordinatama 7; - 3 3 - 3 .

Očigledno, da biste provjerili prvu funkciju, trebate y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , tada tačka ne pripada grafu, jer jednakost nije zadovoljena.

Za drugu funkciju imamo da je y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , što znači da tačka pripada datom grafu. Odavde biste trebali pronaći koeficijent nagiba.

Shvatili smo to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odgovor: tangentna jednačina se može predstaviti kao

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Vizuelizira se na sljedeći način:

Tangenta na parabolu

Da biste sastavili jednadžbu tangente na parabolu y \u003d a x 2 + b x + c u tački x 0, y (x 0) , morate koristiti standardni algoritam, tada će jednadžba poprimiti oblik y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takva tangenta na vrhu je paralelna sa x.

Parabolu x = a y 2 + b y + c treba definirati kao uniju dvije funkcije. Stoga moramo riješiti jednačinu za y. Shvatili smo to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Hajde da to grafički prikažemo kao:

Da biste saznali da li tačka x 0 , y (x 0) pripada funkciji, pažljivo pratite standardni algoritam. Takva tangenta će biti paralelna sa y u odnosu na parabolu.

Primjer 8

Napišite jednadžbu tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 kada imamo nagib tangente od 150°.

Rješenje

Rješenje započinjemo predstavljanjem parabole kao dvije funkcije. Shvatili smo to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrijednost nagiba jednaka je vrijednosti derivacije u tački x 0 ove funkcije i jednaka je tangenti nagiba.

Dobijamo:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° = - 1 3

Odavde određujemo vrijednost x za dodirne tačke.

Prva funkcija će biti napisana kao

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očigledno, nema pravih korijena, jer smo dobili negativnu vrijednost. Zaključujemo da za takvu funkciju ne postoji tangenta sa uglom od 150°.

Druga funkcija će biti napisana kao

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo da dodirne tačke - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odgovor: tangentna jednačina poprima oblik

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Hajde da to grafički prikažemo ovako:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter