Zone géométrique- une caractéristique numérique d'une figure géométrique indiquant la taille de cette figure (partie de la surface délimitée par un contour fermé de cette figure). La taille de la zone est exprimée par le nombre d'unités carrées qu'elle contient.

Formules de zone triangulaire

1. Formule de zone triangulaire pour le côté et la hauteur
   Aire d'un triangleégal à la moitié du produit de la longueur d'un côté d'un triangle par la longueur de la hauteur tirée de ce côté
   
2. La formule de l'aire d'un triangle étant donné trois côtés et le rayon du cercle circonscrit
   
3. La formule de l'aire d'un triangle étant donné trois côtés et le rayon d'un cercle inscrit
   Aire d'un triangle est égal au produit du demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit.
   
où S est l'aire du triangle,
- les longueurs des côtés du triangle,
- la hauteur du triangle,
- l'angle entre les côtés et,
- rayon du cercle inscrit,
R - rayon du cercle circonscrit,

Formules de surface carrée

1. La formule de l'aire d'un carré compte tenu de la longueur d'un côté
   zone carrée est égal au carré de la longueur de son côté.
2. La formule de l'aire d'un carré compte tenu de la longueur de la diagonale
   zone carréeégal à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

où S est l'aire du carré,
est la longueur du côté du carré,
est la longueur de la diagonale du carré.

Formule de zone rectangulaire

Zone rectangulaire est égal au produit des longueurs de ses deux côtés adjacents

où S est l'aire du rectangle,
sont les longueurs des côtés du rectangle.

Formules pour l'aire d'un parallélogramme

1. Formule de surface de parallélogramme pour la longueur et la hauteur des côtés
   Zone de parallélogramme
2. La formule de l'aire d'un parallélogramme étant donné deux côtés et l'angle entre eux
   Zone de parallélogramme est égal au produit des longueurs de ses côtés par le sinus de l'angle qui les sépare.
   

   a b sinα

où S est l'aire du parallélogramme,
sont les longueurs des côtés du parallélogramme,
est la hauteur du parallélogramme,
est l'angle formé par les côtés du parallélogramme.

Formules pour l'aire d'un losange

1. Formule de zone Rhombus compte tenu de la longueur et de la hauteur du côté
   Zone losange est égal au produit de la longueur de son côté par la longueur de la hauteur abaissée de ce côté.
2. La formule de l'aire d'un losange compte tenu de la longueur du côté et de l'angle
   Zone losange est égal au produit du carré de la longueur de son côté et du sinus de l'angle formé par les côtés du losange.
3. La formule de l'aire d'un losange à partir des longueurs de ses diagonales
   Zone losange est égal à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales.
où S est l'aire du losange,
- longueur du côté du losange,
- la longueur de la hauteur du losange,
- l'angle entre les côtés du losange,
1, 2 - les longueurs des diagonales.

Formules d'aire du trapèze

1. Formule de Heron pour un trapèze

   Où S est l'aire du trapèze,
   - la longueur des bases du trapèze,
   - la longueur des côtés du trapèze,
   

Zone de parallélogramme

Théorème 1

L'aire d'un parallélogramme est définie comme le produit de la longueur de son côté par la hauteur qui lui est tracée.

où $a$ est le côté du parallélogramme, $h$ est la hauteur tracée de ce côté.

Preuve.

Donnons-nous un parallélogramme $ABCD$ avec $AD=BC=a$. Dessinons les hauteurs $DF$ et $AE$ (Fig. 1).

Image 1.

Il est évident que la figure $FDAE$ est un rectangle.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Donc, puisque $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, par $I$ le test d'égalité du triangle. Alors

Donc d'après le théorème de l'aire du rectangle :

Le théorème a été démontré.

Théorème 2

L'aire d'un parallélogramme est définie comme le produit de la longueur de ses côtés adjacents par le sinus de l'angle entre ces côtés.

Mathématiquement, cela peut s'écrire comme suit

où $a,\ b$ sont les côtés du parallélogramme, $\alpha $ est l'angle entre eux.

Preuve.

Donnons-nous un parallélogramme $ABCD$ avec $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Dessinez la hauteur $DF=h$ (Fig. 2).

Figure 2.

Par définition du sinus, on obtient

Par conséquent

D'où, d'après le théorème $1$ :

Le théorème a été démontré.

Aire d'un triangle

Théorème 3

L'aire d'un triangle est définie comme la moitié du produit de la longueur de son côté et de la hauteur qui y est tracée.

Mathématiquement, cela peut s'écrire comme suit

où $a$ est le côté du triangle, $h$ est la hauteur tracée de ce côté.

Preuve.

figure 3

Donc d'après le théorème $1$ :

Le théorème a été démontré.

Théorème 4

L'aire d'un triangle est définie comme la moitié du produit de la longueur de ses côtés adjacents par le sinus de l'angle entre ces côtés.

Mathématiquement, cela peut s'écrire comme suit

où $a,\ b$ sont les côtés du triangle, $\alpha $ est l'angle entre eux.

Preuve.

Donnons-nous un triangle $ABC$ avec $AB=a$. Dessinez la hauteur $CH=h$. Construisons-le jusqu'au parallélogramme $ABCD$ (Fig. 3).

Évidemment, $\triangle ACB=\triangle CDB$ par $I$. Alors

Donc d'après le théorème $1$ :

Le théorème a été démontré.

Zone du trapèze

Théorème 5

L'aire d'un trapèze est définie comme la moitié du produit de la somme des longueurs de ses bases par sa hauteur.

Mathématiquement, cela peut s'écrire comme suit

Preuve.

Donnons-nous un trapèze $ABCK$, où $AK=a,\ BC=b$. Dessinons-y les hauteurs $BM=h$ et $KP=h$, ainsi que la diagonale $BK$ (Fig. 4).

Figure 4

Par le théorème $3$, on obtient

Le théorème a été démontré.

Exemple de tâche

Exemple 1

Trouver l'aire d'un triangle équilatéral si la longueur de son côté est $a.$

La solution.

Comme le triangle est équilatéral, tous ses angles sont égaux à $(60)^0$.

Alors, d'après le théorème $4$, on a

Réponse:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Notez que le résultat de ce problème peut être utilisé pour trouver l'aire de n'importe quel triangle équilatéral avec un côté donné.

Comme en géométrie euclidienne, le point et la droite sont les éléments principaux de la théorie des plans, ainsi le parallélogramme est l'une des figures clés des quadrilatères convexes. De lui, comme les fils d'une boule, découlent les concepts de "rectangle", "carré", "losange" et autres quantités géométriques.

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Définition d'un parallélogramme

quadrilatère convexe, composé de segments, dont chaque paire est parallèle, est connu en géométrie sous le nom de parallélogramme.

Un parallélogramme classique ressemble à un quadrilatère ABCD. Les côtés sont appelés les bases (AB, BC, CD et AD), la perpendiculaire tirée d'un sommet quelconque au côté opposé de ce sommet est appelée la hauteur (BE et BF), les droites AC et BD sont les diagonales.

Attention! Le carré, le losange et le rectangle sont des cas particuliers de parallélogramme.

Côtés et angles : caractéristiques de rapport

Propriétés clés, dans l'ensemble, prédéterminé par la désignation elle-même, ils sont démontrés par le théorème. Ces caractéristiques sont les suivantes :

1. Les côtés opposés sont identiques deux à deux.
2. Les angles opposés sont égaux deux à deux.

Preuve : considérons ∆ABC et ∆ADC, qui sont obtenus en divisant le quadrilatère ABCD par la droite AC. ∠BCA=∠CAD et ∠BAC=∠ACD, puisque AC leur est commun (angles verticaux pour BC||AD et AB||CD, respectivement). Il en résulte : ∆ABC = ∆ADC (le second critère d'égalité des triangles).

Les segments AB et BC dans ∆ABC correspondent deux à deux aux lignes CD et AD dans ∆ADC, ce qui signifie qu'elles sont identiques : AB = CD, BC = AD. Ainsi, ∠B correspond à ∠D et ils sont égaux. Puisque ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, qui sont également identiques deux à deux, alors ∠A = ∠C. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des diagonales de la figure

Caractéristique principale ces lignes de parallélogramme : le point d'intersection les coupe en leur milieu.

Preuve : soit m.E le point d'intersection des diagonales AC et BD de la figure ABCD. Ils forment deux triangles commensurables - ∆ABE et ∆CDE.

AB=CD puisqu'ils sont opposés. Selon les droites et les sécantes, ∠ABE = ∠CDE et ∠BAE = ∠DCE.

Selon le deuxième signe d'égalité, ∆ABE = ∆CDE. Cela signifie que les éléments ∆ABE et ∆CDE sont : AE = CE, BE = DE et, de plus, ils sont des parties commensurables de AC et BD. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des coins adjacents

Aux côtés adjacents, la somme des angles est de 180°, puisqu'ils se trouvent du même côté des parallèles et de la sécante. Pour le quadrilatère ABCD :

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propriétés bissectrices :

1. , a chuté d'un côté, sont perpendiculaires ;
2. les sommets opposés ont des bissectrices parallèles ;
3. le triangle obtenu en traçant la bissectrice sera isocèle.

Détermination des traits caractéristiques d'un parallélogramme par le théorème

Les caractéristiques de cette figure découlent de son théorème principal, qui se lit comme suit : le quadrilatère est considéré comme un parallélogramme dans le cas où ses diagonales se croisent, et ce point les divise en segments égaux.

Preuve : Soit les droites AC et BD du quadrilatère ABCD se coupent en t.E. Puisque ∠AED = ∠BEC, et AE+CE=AC BE+DE=BD, alors ∆AED = ∆BEC (par le premier signe d'égalité des triangles). Autrement dit, ∠EAD = ∠ECB. Ce sont aussi les angles intérieurs de croisement de la sécante AC pour les droites AD et BC. Ainsi, par définition du parallélisme - AD || AVANT JC. Une propriété similaire des lignes BC et CD est également dérivée. Le théorème a été prouvé.

Calcul de l'aire d'une figure

L'aire de cette figure trouvé de plusieurs manières l'une des plus simples : multiplier la hauteur et la base à laquelle on la dessine.

Preuve : Tracer les perpendiculaires BE et CF à partir des sommets B et C. ∆ABE et ∆DCF sont égaux puisque AB = CD et BE = CF. ABCD est égal au rectangle EBCF, puisqu'ils sont également constitués de chiffres proportionnels : S ABE et S EBCD, ainsi que S DCF et S EBCD. Il s'ensuit que l'aire de cette figure géométrique est la même que celle d'un rectangle :

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pour déterminer la formule générale de l'aire d'un parallélogramme, nous notons la hauteur comme hb, et le côté b. Respectivement:

Autres façons de trouver une zone

Calculs de surface passant par les côtés du parallélogramme et l'angle, qu'ils forment, est la deuxième méthode connue.

,

Spr-ma - zone;

a et b sont ses côtés

α - angle entre les segments a et b.

Cette méthode est pratiquement basée sur la première, mais au cas où elle serait inconnue. coupe toujours un triangle rectangle dont les paramètres sont trouvés par des identités trigonométriques, c'est-à-dire . En transformant le rapport, on obtient . Dans l'équation de la première méthode, on remplace la hauteur par ce produit et on obtient une preuve de la validité de cette formule.

Par les diagonales d'un parallélogramme et d'un angle, qu'ils créent lorsqu'ils se croisent, vous pouvez également trouver la zone.

Preuve : AC et BD se coupant forment quatre triangles : ABE, BEC, CDE et AED. Leur somme est égale à l'aire de ce quadrilatère.

L'aire de chacun de ces ∆ peut être trouvée à partir de l'expression , où a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Puisque , alors une seule valeur du sinus est utilisée dans les calculs. C'est-à-dire . Puisque AE+CE=AC= d 1 et BE+DE=BD= d 2 , la formule d'aire se réduit à :

.

Application en algèbre vectorielle

Les caractéristiques des parties constitutives de ce quadrangle ont trouvé application en algèbre vectorielle, à savoir : l'addition de deux vecteurs. La règle du parallélogramme stipule que si des vecteurs sont donnésetne passont colinéaires, alors leur somme sera égale à la diagonale de cette figure dont les bases correspondent à ces vecteurs.

Preuve: à partir d'un début arbitrairement choisi - c'est-à-dire. - on construit des vecteurs et . Ensuite, nous construisons un parallélogramme OASV, où les segments OA et OB sont des côtés. Ainsi, le système d'exploitation repose sur le vecteur ou la somme.

Formules de calcul des paramètres d'un parallélogramme

Les identités sont données sous les conditions suivantes :

1. a et b, α - côtés et l'angle entre eux;
2. d 1 et d 2 , γ - diagonales et au point de leur intersection;
3. h a et h b - hauteurs abaissées sur les côtés a et b;

Paramètre	Formule
Trouver des côtés
le long des diagonales et le cosinus de l'angle entre elles
en diagonale et latéralement
par la hauteur et le sommet opposé
Trouver la longueur des diagonales
sur les côtés et la taille du haut entre eux
le long des côtés et l'une des diagonales	 Conclusion Le parallélogramme, en tant que l'une des figures clés de la géométrie, est utilisé dans la vie, par exemple dans la construction lors du calcul de la superficie du site ou d'autres mesures. Par conséquent, la connaissance des caractéristiques distinctives et des méthodes de calcul de ses différents paramètres peut être utile à tout moment de la vie.

Parallélogramme - une figure géométrique, souvent trouvée dans les tâches du cours de géométrie (section planimétrie). Les principales caractéristiques de ce quadrilatère sont l'égalité des angles opposés et la présence de deux paires de côtés opposés parallèles. Les cas particuliers d'un parallélogramme sont un losange, un rectangle, un carré.

Le calcul de l'aire de ce type de polygone peut se faire de plusieurs manières. Considérons chacun d'eux.

Trouver l'aire d'un parallélogramme si le côté et la hauteur sont connus

Pour calculer l'aire d'un parallélogramme, vous pouvez utiliser les valeurs de son côté, ainsi que la longueur de la hauteur abaissée sur celui-ci. Dans ce cas, les données obtenues seront fiables à la fois pour le cas d'un côté connu - la base de la figure, et si vous avez le côté de la figure à votre disposition. Dans ce cas, la valeur souhaitée sera obtenue par la formule :

S = une * h(a) = b * h(b),

• S est la zone à déterminer,
• a, b - côté connu (ou calculé),
• h est la hauteur abaissée dessus.

Exemple : la valeur de la base du parallélogramme est de 7 cm, la longueur de la perpendiculaire qui lui tombe dessus depuis le sommet opposé est de 3 cm.

Solution : S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Trouver l'aire d'un parallélogramme si 2 côtés et l'angle entre eux sont connus

Considérez le cas où vous connaissez la grandeur des deux côtés de la figure, ainsi que la mesure en degrés de l'angle qu'ils forment l'un avec l'autre. Les données fournies peuvent également être utilisées pour trouver l'aire du parallélogramme. Dans ce cas, l'expression de la formule ressemblera à ceci :

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

• de côté,
• c est une base connue (ou calculée),
• α, β sont les angles entre les côtés a et c.

Exemple : la base d'un parallélogramme mesure 10 cm, son côté est plus petit de 4 cm. L'angle obtus de la figure est de 135°.

Solution : déterminez la valeur du deuxième côté : 10 - 4 \u003d 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Trouver l'aire d'un parallélogramme si les diagonales et l'angle entre elles sont connus

La présence de valeurs connues des diagonales d'un polygone donné, ainsi que l'angle qu'elles forment à la suite de leur intersection, permet de déterminer l'aire de la figure.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S est la zone à déterminer,
d1, d2 sont des diagonales connues (ou calculées),
γ, φ sont les angles entre les diagonales d1 et d2.

Entrez la longueur du côté et la hauteur du côté :

Définition d'un parallélogramme

Parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux et parallèles.

Calculatrice en ligne

Un parallélogramme possède des propriétés utiles qui facilitent la résolution des problèmes liés à cette figure. Par exemple, une propriété est que les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.

Considérez plusieurs méthodes et formules, suivies de la résolution d'exemples simples.

La formule de l'aire d'un parallélogramme par base et hauteur

Cette méthode pour trouver l'aire est probablement l'une des plus basiques et des plus simples, car elle est presque identique à la formule pour trouver l'aire d'un triangle, à quelques exceptions près. Commençons par un cas généralisé sans utiliser de chiffres.

Soit un parallélogramme arbitraire de base un un un, côté bb b et hauteur h h h attirés vers notre base. Alors la formule de l'aire de ce parallélogramme est :

S = une ⋅ h S=a\cdot h S=un ⋅h

Un un un- base;
h h h- la taille.

Jetons un coup d'œil à un problème facile pour nous entraîner à résoudre des problèmes typiques.

Exemple

Trouver l'aire d'un parallélogramme dans laquelle la base égale à 10 (cm) et la hauteur égale à 5 (cm) sont connues.

La solution

A=10 a=10 un =1 0
h=5 h=5 h =5

Substitut dans notre formule. On a:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (voir au carré)

Réponse : 50 (voir carré)

La formule de l'aire d'un parallélogramme étant donné deux côtés et l'angle entre eux

Dans ce cas, la valeur souhaitée est trouvée comme suit :

S = une ⋅ b ⋅ péché ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=un ⋅b ⋅sin(α)

A, b a, b un B- les côtés d'un parallélogramme ;
a\alpha α - angle entre les côtés un un un et bb b.

Résolvons maintenant un autre exemple et utilisons la formule ci-dessus.

Exemple

Trouver l'aire d'un parallélogramme si le côté est connu un un un, qui est la base et avec une longueur de 20 (voir) et un périmètre pp p, numériquement égal à 100 (voir), l'angle entre les côtés adjacents ( un un un et bb b) est égal à 30 degrés.

La solution

A=20 a=20 un =2 0
p=100 p=100 p=1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Pour trouver la réponse, nous ne connaissons pas seulement le deuxième côté de ce quadrilatère. Allons la trouver. Le périmètre d'un parallélogramme est donné par :
p = une + une + b + b p=a+a+b+b p=un +un +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b +b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60=2b 60=2b 6 0 = 2b
b=30 b=30 b=3 0

Le plus dur est passé, il ne reste plus qu'à substituer nos valeurs aux côtés et à l'angle entre eux :
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ péché(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (voir au carré)

Réponse : 300 (voir sq.)

La formule de l'aire d'un parallélogramme compte tenu des diagonales et de l'angle entre elles

S = 1 2 ⋅ ré ⋅ ré ⋅ péché ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D ⋅ré ⋅sin(α)

D D ré- grande diagonale ;
j j ré- petite diagonale ;
a\alpha α est un angle aigu entre les diagonales.

Exemple

Les diagonales du parallélogramme sont données, égales à 10 (voir) et 5 (voir). L'angle entre eux est de 30 degrés. Calculez son aire.

La solution

J=10 J=10 D=1 0
j=5 j=5 ré=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ péché(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (voir au carré)