ज्यामितीय क्षेत्र- इस आकृति के आकार को दर्शाने वाली ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता (इस आकृति के एक बंद समोच्च से घिरा सतह का हिस्सा)। क्षेत्रफल का आकार इसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।
त्रिभुज क्षेत्र सूत्र
- भुजा और ऊँचाई के लिए त्रिभुज क्षेत्रफल सूत्र
त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर और इस भुजा पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई - त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है
- त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ और एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या दी गई है
त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज के अर्ध-परिधि और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है। जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
- त्रिभुज की ऊँचाई,
- पक्षों के बीच का कोण और,
- खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या,
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,
वर्ग क्षेत्र सूत्र
- एक भुजा की लंबाई दिए गए वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
वर्ग क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर है। - एक वर्ग के क्षेत्रफल के लिए सूत्र जिसे विकर्ण की लंबाई दी गई है
वर्ग क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर।एस = 1 2 2 जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
वर्ग की भुजा की लंबाई है,
वर्ग के विकर्ण की लंबाई है।
आयत क्षेत्र सूत्र
- आयत क्षेत्रइसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर है
जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
आयत की भुजाओं की लंबाई हैं।
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र
- पार्श्व लंबाई और ऊंचाई के लिए समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र
समांतर चतुर्भुज क्षेत्र - एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया हो
समांतर चतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजाओं की लंबाई को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करने पर गुणनफल के बराबर होता है।ए बी पाप
जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है,
समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण है।
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र
- समचतुर्भुज क्षेत्र सूत्र दिया गया भुजा की लंबाई और ऊंचाई
समचतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई और इस तरफ की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर है। - समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र, भुजा और कोण की लंबाई दिया गया है
समचतुर्भुज क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है। - एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र उसके विकर्णों की लंबाई से
समचतुर्भुज क्षेत्रइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर है। जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई,
- समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।
समलंब क्षेत्र सूत्र
- समलम्ब चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र
जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई,
- समलम्ब चतुर्भुज के किनारों की लंबाई,
समांतर चतुर्भुज क्षेत्र
प्रमेय 1
एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को उसकी भुजा की लंबाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उस पर खींची गई ऊंचाई से गुणा होता है।
जहाँ $a$ समांतर चतुर्भुज की भुजा है, $h$ इस तरफ खींची गई ऊँचाई है।
सबूत।
आइए हमें $AD=BC=a$ के साथ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया जाए। आइए ऊंचाई $DF$ और $AE$ (चित्र 1) बनाएं।
चित्र 1।
यह स्पष्ट है कि आकृति $FDAE$ एक आयत है।
\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]
इसलिए, चूंकि $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, $I$ से त्रिभुज समानता परीक्षण। फिर
तो आयत क्षेत्र प्रमेय के अनुसार:
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 2
एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र को उसके आसन्न पक्षों की लंबाई के गुणनफल के रूप में उन पक्षों के बीच के कोण की ज्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
जहाँ $a,\ b$ समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं, $\alpha $ उनके बीच का कोण है।
सबूत।
आइए हमें $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ के साथ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया जाए। ऊंचाई $DF=h$ ड्रा करें (चित्र 2)।
चित्र 2।
साइन की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं
फलस्वरूप
अत: प्रमेय के अनुसार $1$:
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
प्रमेय 3
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई और उससे खींची गई ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
जहां $a$ त्रिभुज की भुजा है, $h$ इस तरफ खींची गई ऊंचाई है।
सबूत।
चित्र तीन
तो प्रमेय द्वारा $1$:
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय 4
एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को उसकी आसन्न भुजाओं की लंबाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो उन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा होता है।
गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
जहाँ $a,\ b$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं, $\alpha $ उनके बीच का कोण है।
सबूत।
आइए हमें $AB=a$ के साथ एक त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। ऊंचाई $CH=h$ ड्रा करें। आइए इसे समांतर चतुर्भुज $ABCD$ (चित्र 3) तक बनाते हैं।
जाहिर है, $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$ से। फिर
तो प्रमेय द्वारा $1$:
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
समलंब क्षेत्र
प्रमेय 5
एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को उसके आधारों की लंबाई के योग के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
सबूत।
आइए हमें एक समलम्ब $ABCK$ दिया जाए, जहां $AK=a,\ BC=b$। आइए हम इसमें $BM=h$ और $KP=h$ की ऊँचाई, साथ ही विकर्ण $BK$ (चित्र 4) को ड्रा करें।
चित्र 4
प्रमेय $3$ से, हम प्राप्त करते हैं
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
कार्य उदाहरण
उदाहरण 1
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसकी भुजा की लंबाई $a.$ . है
समाधान।
चूँकि त्रिभुज समबाहु है, इसके सभी कोण $(60)^0$ के बराबर हैं।
फिर, प्रमेय $4$ से, हमारे पास है
उत्तर:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$।
ध्यान दें कि इस समस्या के परिणाम का उपयोग किसी दिए गए पक्ष के साथ किसी भी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
जैसा कि यूक्लिडियन ज्यामिति में, बिंदु और सीधी रेखा विमानों के सिद्धांत के मुख्य तत्व हैं, इसलिए समांतर चतुर्भुज उत्तल चतुर्भुज के प्रमुख आंकड़ों में से एक है। इसमें से, एक गेंद से धागे की तरह, "आयत", "वर्ग", "रोम्बस" और अन्य ज्यामितीय मात्राओं की अवधारणाएं प्रवाहित होती हैं।
संपर्क में
समांतर चतुर्भुज की परिभाषा
उत्तल चतुर्भुज,खंडों से मिलकर, जिनमें से प्रत्येक जोड़ी समानांतर है, ज्यामिति में समांतर चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है।
एक क्लासिक समांतर चतुर्भुज कैसा दिखता है एक चतुर्भुज ABCD है। भुजाओं को आधार (AB, BC, CD और AD) कहा जाता है, किसी भी शीर्ष से इस शीर्ष के विपरीत दिशा में खींचे गए लंबवत को ऊँचाई (BE और BF) कहा जाता है, रेखाएँ AC और BD विकर्ण हैं।
ध्यान!वर्ग, समचतुर्भुज और आयत समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं।
पक्ष और कोण: अनुपात विशेषताएं
प्रमुख गुण, कुल मिलाकर, पदनाम द्वारा ही पूर्वनिर्धारित, वे प्रमेय द्वारा सिद्ध होते हैं। ये विशेषताएं इस प्रकार हैं:
- विपरीत पक्ष जोड़े में समान होते हैं।
- एक दूसरे के सम्मुख कोण युग्मों में बराबर होते हैं।
उपपत्ति: ABC और ADC पर विचार कीजिए, जो चतुर्भुज ABCD को रेखा AC से भाग देने पर प्राप्त होते हैं। ∠BCA=∠CAD और ∠BAC=∠ACD, क्योंकि AC उनके लिए उभयनिष्ठ है (क्रमशः BC||AD और AB||CD के लिए लंबवत कोण)। यह इसका अनुसरण करता है: ∆ABC = ADC (त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरा मानदंड)।
ABC में खंड AB और BC, ADC में पंक्तियों CD और AD के जोड़े में संगत हैं, जिसका अर्थ है कि वे समान हैं: AB = CD, BC = AD। इस प्रकार, B, D के संगत है और वे बराबर हैं। चूंकि ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, जो जोड़े में भी समान हैं, फिर ∠A = C। संपत्ति साबित हुई है।
आकृति के विकर्णों के लक्षण
मुख्य विशेषताये समांतर चतुर्भुज रेखाएँ: प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति: मान लीजिए m. E आकृति ABCD के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। वे दो अनुरूप त्रिभुज बनाते हैं - ABE और CDE।
AB=CD क्योंकि वे विपरीत हैं। रेखाओं और छेदकों के अनुसार, ABE = CDE और BAE = DCE।
समानता के दूसरे चिन्ह के अनुसार ABE = CDE। इसका मतलब है कि ABE और ∆CDE तत्व हैं: AE = CE, BE = DE और, इसके अलावा, वे AC और BD के अनुरूप भाग हैं। संपत्ति साबित हुई है।
आसन्न कोनों की विशेषताएं
आसन्न भुजाओं पर, कोणों का योग 180° . होता है, क्योंकि वे समानांतर रेखाओं और छेदक के एक ही तरफ स्थित हैं। चतुर्भुज ABCD के लिए:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
द्विभाजक गुण:
- , एक तरफ गिराए गए, लंबवत हैं;
- विपरीत शीर्षों में समांतर समद्विभाजक होते हैं;
- समद्विभाजक खींचकर प्राप्त त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
प्रमेय द्वारा समांतर चतुर्भुज की विशिष्ट विशेषताओं का निर्धारण
इस आकृति की विशेषताएं इसके मुख्य प्रमेय से अनुसरण करती हैं, जो इस प्रकार है: चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज माना जाता हैइस घटना में कि इसके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, और यह बिंदु उन्हें समान खंडों में विभाजित करता है।
प्रमाण: माना चतुर्भुज ABCD की रेखाएँ AC और BD t. E में प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि AED = ∠BEC, और AE+CE=AC BE+DE=BD, तो ∆AED = ∆BEC (त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह से)। अर्थात् EAD = ECB। वे रेखा AD और BC के लिए छेदक AC के आंतरिक क्रॉसिंग कोण भी हैं। अत: समांतरता की परिभाषा के अनुसार - AD || ई.पू. BC और CD रेखाओं का एक समान गुणधर्म भी प्राप्त होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक आकृति के क्षेत्र की गणना
इस आकृति का क्षेत्रफल कई तरह से पाया जाता हैसबसे सरल में से एक: ऊंचाई और आधार को गुणा करना जिस पर इसे खींचा गया है।
उपपत्ति: शीर्ष B और C से लम्ब BE और CF खींचिए। ABE और DCF बराबर हैं क्योंकि AB = CD और BE = CF है। ABCD आयत EBCF के बराबर है, क्योंकि उनमें आनुपातिक आंकड़े भी होते हैं: S ABE और S EBCD, साथ ही S DCF और S EBCD। यह इस प्रकार है कि इस ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल आयत के समान है:
एस एबीसीडी = एस ईबीसीएफ = बीई×बीसी=बीई×एडी।
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र निर्धारित करने के लिए, हम ऊँचाई को इस प्रकार निरूपित करते हैं मॉडिफ़ाइड अमेरिकन प्लान, और पक्ष बी. क्रमश:
क्षेत्र खोजने के अन्य तरीके
क्षेत्र की गणना समांतर चतुर्भुज और कोण के पक्षों के माध्यम से, जो वे बनाते हैं, दूसरी ज्ञात विधि है।
,
स्प्र-मा - क्षेत्र;
ए और बी इसके पक्ष हैं
α - खंड a और b के बीच का कोण।
यह विधि व्यावहारिक रूप से पहले पर आधारित है, लेकिन मामले में यह अज्ञात है। हमेशा एक समकोण त्रिभुज को काटता है जिसके पैरामीटर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा पाए जाते हैं, अर्थात . अनुपात को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं। पहली विधि के समीकरण में, हम ऊंचाई को इस उत्पाद से बदलते हैं और इस सूत्र की वैधता का प्रमाण प्राप्त करते हैं।
एक समांतर चतुर्भुज और एक कोण के विकर्णों के माध्यम से,जो वे प्रतिच्छेद करते समय बनाते हैं, आप क्षेत्रफल भी ज्ञात कर सकते हैं।
प्रमाण: AC और BD प्रतिच्छेद करने से चार त्रिभुज बनते हैं: ABE, BEC, CDE और AED। इनका योग इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
इनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल व्यंजक से ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ a=BE, b=AE, =∠AEB। तब से, गणना में साइन के एक मान का उपयोग किया जाता है। वह है । चूँकि AE+CE=AC= d 1 और BE+DE=BD= d 2 , क्षेत्रफल सूत्र निम्न हो जाता है:
.
वेक्टर बीजगणित में आवेदन
इस चतुर्भुज के घटक भागों की विशेषताओं ने वेक्टर बीजगणित में आवेदन पाया है, अर्थात्: दो वैक्टरों का जोड़। समांतर चतुर्भुज नियम कहता है कि यदि वेक्टर दिया गया होतथानहींसंरेख हैं, तो उनका योग इस आकृति के विकर्ण के बराबर होगा, जिसके आधार इन सदिशों के अनुरूप होंगे।
सबूत: मनमाने ढंग से चुनी गई शुरुआत से - यानी। - हम वैक्टर बनाते हैं और . अगला, हम एक समांतर चतुर्भुज OASV बनाते हैं, जहाँ खंड OA और OB भुजाएँ हैं। इस प्रकार, ओएस वेक्टर या योग पर स्थित है।
समांतर चतुर्भुज के मापदंडों की गणना के लिए सूत्र
पहचान निम्नलिखित शर्तों के तहत दी गई है:
- ए और बी, α - पक्ष और उनके बीच का कोण;
- डी 1 और डी 2 , γ - विकर्ण और उनके चौराहे के बिंदु पर;
- एच ए और एच बी - ऊंचाई ए और बी पक्षों तक कम हो जाती है;
| पैरामीटर | सूत्र |
| पक्ष ढूँढना | |
| विकर्णों के अनुदिश और उनके बीच के कोण की कोज्या | 
|
| तिरछे और बग़ल में | 
|
| ऊंचाई और विपरीत शीर्ष के माध्यम से | |
| विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना | |
| पक्षों पर और उनके बीच शीर्ष का आकार | |
| पक्षों के साथ और विकर्णों में से एक | 
निष्कर्षसमांतर चतुर्भुज, ज्यामिति के प्रमुख आंकड़ों में से एक के रूप में, जीवन में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, निर्माण में साइट के क्षेत्र या अन्य मापों की गणना करते समय। इसलिए, इसके विभिन्न मापदंडों की गणना के लिए विशिष्ट विशेषताओं और विधियों के बारे में ज्ञान जीवन में किसी भी समय उपयोगी हो सकता है। |
समांतर चतुर्भुज - एक ज्यामितीय आकृति, जो अक्सर ज्यामिति पाठ्यक्रम (प्लानिमेट्री अनुभाग) के कार्यों में पाई जाती है। इस चतुर्भुज की प्रमुख विशेषताएं विपरीत कोणों की समानता और समानांतर विपरीत पक्षों के दो जोड़े की उपस्थिति हैं। समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले एक समचतुर्भुज, एक आयत, एक वर्ग हैं।
इस प्रकार के बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना कई प्रकार से की जा सकती है। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि भुजा और ऊँचाई ज्ञात हो
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आप इसके पक्ष के मूल्यों का उपयोग कर सकते हैं, साथ ही उस पर कम की गई ऊंचाई की लंबाई भी। इस मामले में, प्राप्त डेटा एक ज्ञात पक्ष के मामले में विश्वसनीय होगा - आकृति का आधार, और यदि आपके पास अपने निपटान में आकृति का पक्ष है। इस मामले में, वांछित मूल्य सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाएगा:
एस = ए * एच (ए) = बी * एच (बी),
- एस निर्धारित किया जाने वाला क्षेत्र है,
- ए, बी - ज्ञात (या गणना) पक्ष,
- h उस पर कम की गई ऊंचाई है।
उदाहरण: समांतर चतुर्भुज के आधार का मान 7 सेमी है, उस पर विपरीत शीर्ष से गिराए गए लंब की लंबाई 3 सेमी है।
हल: एस = ए * एच (ए) = 7 * 3 = 21।
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि 2 भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो
उस मामले पर विचार करें जब आप आकृति के दोनों पक्षों के परिमाण के साथ-साथ उस कोण की डिग्री माप को जानते हैं जो वे एक दूसरे के साथ बनाते हैं। प्रदान किए गए डेटा का उपयोग समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र को खोजने के लिए भी किया जा सकता है। इस मामले में, सूत्र अभिव्यक्ति इस तरह दिखेगी:
एस = ए * सी * sinα = ए * सी * sinβ,
- ए - साइड,
- c एक ज्ञात (या परिकलित) आधार है,
- α, β भुजाओं a और c के बीच के कोण हैं।
उदाहरण: एक समांतर चतुर्भुज का आधार 10 सेमी है, इसकी भुजा 4 सेमी छोटी है। आकृति का अधिक कोण 135° है।
समाधान: दूसरे पक्ष का मान निर्धारित करें: 10 - 4 \u003d 6 सेमी।
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2।
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि विकर्ण और उनके बीच का कोण ज्ञात हो
किसी दिए गए बहुभुज के विकर्णों के ज्ञात मूल्यों की उपस्थिति, साथ ही साथ उनके प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप जो कोण बनता है, वह आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करना संभव बनाता है।
एस = (डी1*डी2)/2*सिनγ,
एस = (डी1*डी2)/2*सिनφ,
एस निर्धारित किया जाने वाला क्षेत्र है,
d1, d2 ज्ञात (या परिकलित) विकर्ण हैं,
, विकर्ण d1 और d2 के बीच के कोण हैं।
समांतर चतुर्भुज की परिभाषा
चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर होती हैं।
ऑनलाइन कैलकुलेटर
समांतर चतुर्भुज में कुछ उपयोगी गुण होते हैं जो इस आकृति से संबंधित समस्याओं को हल करना आसान बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक गुण यह है कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
सरल उदाहरणों को हल करने के बाद कई विधियों और सूत्रों पर विचार करें।
आधार और ऊंचाई द्वारा समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
क्षेत्रफल ज्ञात करने की यह विधि शायद सबसे बुनियादी और सरल में से एक है, क्योंकि यह कुछ अपवादों के साथ, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र के लगभग समान है। आइए संख्याओं का उपयोग किए बिना सामान्यीकृत मामले से शुरू करें।
आधार के साथ एक मनमाना समांतर चतुर्भुज दें एक ए एक, पक्ष बी बी बीऔर ऊंचाई एच हो एचहमारे आधार पर खींचा गया। तब इस समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:
एस = एक ⋅ एच एस=a\cdot एच एस =एकएच
ए ए एक- आधार;
एच हो एच- कद।
आइए विशिष्ट समस्याओं को हल करने का अभ्यास करने के लिए एक आसान समस्या पर एक नज़र डालें।
उदाहरणएक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 10 (सेमी) के बराबर और ऊँचाई 5 (सेमी) के बराबर हो।
समाधान
ए = 10 ए = 10 ए =1
0
एच = 5 एच = 5 एच =5
हमारे सूत्र में स्थानापन्न करें। हम पाते हैं:
एस=10 5=50 एस=10\cdot 5=50एस =1
0
⋅
5
=
5
0
(वर्ग देखें)
उत्तर: 50 (वर्ग देखें)
एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया हो
इस मामले में, वांछित मूल्य निम्नानुसार पाया जाता है:
S = a b ⋅ sin (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)एस =एकबीपाप (α)
ए, बी ए, बी ए, बी- एक समांतर चतुर्भुज के किनारे;
α\alpha α
- भुजाओं के बीच का कोण एक ए एकतथा बी बी बी.
अब एक और उदाहरण हल करते हैं और उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हैं।
उदाहरणसमांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि भुजा ज्ञात हो एक ए एक, जो आधार है और जिसकी लंबाई 20 (देखें) और एक परिधि है पीपी पी, संख्यात्मक रूप से 100 के बराबर (देखें), आसन्न भुजाओं के बीच का कोण ( एक ए एकतथा बी बी बी) 30 डिग्री के बराबर है।
समाधान
ए=20 ए=20 ए =2
0
पी = 100 पी = 100 पी =1
0
0
α = 3 0 \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
इसका उत्तर खोजने के लिए, हम इस चतुर्भुज के केवल दूसरे पक्ष को नहीं जानते हैं। चलो उसे ढूंढते हैं। एक समांतर चतुर्भुज का परिमाप निम्न द्वारा दिया जाता है:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b पी =ए +ए +बी +बी
100 = 20 + 20 + ख + ख 100=20+20+बी+बी1
0
0
=
2
0
+
2
0
+
बी +बी
100 = 40 + 2बी 100=40+2बी 1
0
0
=
4
0
+
2 बी
60=2बी 60=2बी 6
0
=
2 बी
ख=30 ख=30 ख =3
0
सबसे कठिन हिस्सा खत्म हो गया है, यह केवल पक्षों और उनके बीच के कोण के लिए हमारे मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है:
एस = 20 ⋅ 30 ⋅ पाप (3 0 ) = 300 एस=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300एस =2
0
⋅
3
0
⋅
पाप(3 .) 0
∘
)
=
3
0
0
(वर्ग देखें)
उत्तर: 300 (देखें वर्ग।)
एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र दिया गया है जिसमें विकर्ण और उनके बीच का कोण दिया गया है
S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)एस =2 1 ⋅ डीडीपाप (α)
डी डी डी- बड़ा विकर्ण;
डी डी डी- छोटा विकर्ण;
α\alpha α
विकर्णों के बीच एक न्यून कोण है।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण 10 (देखें) और 5 (देखें) के बराबर दिए गए हैं। उनके बीच का कोण 30 डिग्री है। इसके क्षेत्रफल की गणना करें।
समाधान
डी = 10 डी = 10 डी =1
0
डी = 5 डी = 5 डी =5
α = 3 0 \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
एस = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ पाप (3 0 ) = 12.5 एस=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5एस =2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ पाप(3 .) 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (वर्ग देखें)
