उदाहरण

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 आदि।

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक मात्राओं के अचर अनुपात को कहते हैं आनुपातिकता का गुणांक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरी मात्रा की एक इकाई पर पड़ती हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें कुछ मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते हैं अनुपात में, बराबर शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदल गया है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एकएक्स,एक = सीहेएनएसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

उलटा अनुपात- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि निर्भर मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी का कारण बनती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

समारोह गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

I. सीधे आनुपातिक मूल्य।

मान दें आपआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परएक ही कारक से बढ़ता है, तो ऐसे मूल्य एक्सतथा परसीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण।

1 . खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद की लागत (माल की एक इकाई की निश्चित कीमत पर - 1 टुकड़ा या 1 किलो, आदि) कितनी गुना ज्यादा माल खरीदा, कितनी गुना ज्यादा और भुगतान किया।

2 . तय की गई दूरी और उस पर बिताया गया समय (स्थिर गति से)। कितना गुना लंबा रास्ता हम उस पर और कितना समय बिताएंगे।

3 . किसी पिंड का आयतन और उसका द्रव्यमान। ( अगर एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो इसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय. मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाना मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।

कार्य 1।रास्पबेरी जैम के लिए 12 किलोरसभरी और 8 किलोसहारा। कितनी चीनी लेनी पड़ेगी 9 किग्रारसभरी?

समाधान।

हम इस तरह तर्क देते हैं: इसे आवश्यक होने दें एक्स किलोचीनी पर 9 किग्रारसभरी रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे समानुपाती होता है: कितनी बार कम रसभरी, उतनी ही मात्रा में चीनी की आवश्यकता होती है। इसलिए, लिया (वजन के अनुसार) रसभरी का अनुपात ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8:x) हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: एक्स;

एक्स = 9 · 8: 12;

एक्स = 6। उत्तर:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

समस्या का समाधानइस तरह किया जा सकता था:

पर चलो 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए एक्स किलोसहारा।

(आकृति में तीर एक दिशा में निर्देशित हैं, और यह ऊपर या नीचे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: कितनी बार संख्या 12 अधिक संख्या 9 , वही संख्या 8 अधिक संख्या एक्स, यानी, यहाँ प्रत्यक्ष निर्भरता है)।

उत्तर:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

कार्य 2.कार के लिए 3 घंटेयात्रा की दूरी 264 किमी. उसे कितना समय लगेगा 440 किमीअगर यह एक ही गति से यात्रा करता है?

समाधान।

चलो x घंटेकार दूरी तय करेगी 440 किमी.

उत्तर:कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी.

I. सीधे आनुपातिक मूल्य।

मान दें आपआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परएक ही कारक से बढ़ता है, तो ऐसे मूल्य एक्सतथा परसीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण।

1 . खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद की लागत (माल की एक इकाई की निश्चित कीमत पर - 1 टुकड़ा या 1 किलो, आदि) कितनी गुना ज्यादा माल खरीदा, कितनी गुना ज्यादा और भुगतान किया।

2 . तय की गई दूरी और उस पर बिताया गया समय (स्थिर गति से)। कितना गुना लंबा रास्ता हम उस पर और कितना समय बिताएंगे।

3 . किसी पिंड का आयतन और उसका द्रव्यमान। ( अगर एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो इसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय. मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाना मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।

कार्य 1।रास्पबेरी जैम के लिए 12 किलोरसभरी और 8 किलोसहारा। कितनी चीनी लेनी पड़ेगी 9 किग्रारसभरी?

समाधान।

हम इस तरह तर्क देते हैं: इसे आवश्यक होने दें एक्स किलोचीनी पर 9 किग्रारसभरी रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे समानुपाती होता है: कितनी बार कम रसभरी, उतनी ही मात्रा में चीनी की आवश्यकता होती है। इसलिए, लिया (वजन के अनुसार) रसभरी का अनुपात ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8:x) हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: एक्स;

एक्स = 9 · 8: 12;

एक्स = 6। उत्तर:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

समस्या का समाधानइस तरह किया जा सकता था:

पर चलो 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए एक्स किलोसहारा।

(आकृति में तीर एक दिशा में निर्देशित हैं, और यह ऊपर या नीचे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: कितनी बार संख्या 12 अधिक संख्या 9 , वही संख्या 8 अधिक संख्या एक्स, यानी, यहाँ प्रत्यक्ष निर्भरता है)।

उत्तर:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

कार्य 2.कार के लिए 3 घंटेयात्रा की दूरी 264 किमी. उसे कितना समय लगेगा 440 किमीअगर यह एक ही गति से यात्रा करता है?

समाधान।

चलो x घंटेकार दूरी तय करेगी 440 किमी.

उत्तर:कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी.

कार्य 3.पानी पाइप से पूल में प्रवेश करता है। प्रति 2 घंटेवह भरती है 1/5 पोखर। पूल के किस हिस्से में पानी भरा है पांच बजे?

समाधान।

हम कार्य के प्रश्न का उत्तर देते हैं: के लिए पांच बजेभर ले 1/xपूल का हिस्सा। (पूरे पूल को एक पूरे के रूप में लिया जाता है)।

आज हम देखेंगे कि किन राशियों को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, व्युत्क्रम आनुपातिकता का ग्राफ कैसा दिखता है, और यह सब न केवल गणित के पाठों में, बल्कि स्कूल की दीवारों के बाहर भी आपके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है।

इस तरह के विभिन्न अनुपात

समानतादो राशियों के नाम लिखिए जो परस्पर एक दूसरे पर निर्भर हैं।

निर्भरता प्रत्यक्ष और विपरीत हो सकती है। इसलिए, मात्राओं के बीच संबंध प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता का वर्णन करता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- यह दो राशियों के बीच एक ऐसा संबंध है, जिसमें उनमें से एक में वृद्धि या कमी दूसरे में वृद्धि या कमी की ओर ले जाती है। वे। उनका रवैया नहीं बदलता है।

उदाहरण के लिए, आप परीक्षा की तैयारी में जितना अधिक प्रयास करेंगे, आपके ग्रेड उतने ही अधिक होंगे। या जितनी अधिक चीजें आप अपने साथ हाइक पर ले जाते हैं, उतना ही मुश्किल होता है कि आप अपना बैकपैक ले जाएं। वे। परीक्षा की तैयारी पर खर्च किए गए प्रयास की राशि सीधे प्राप्त ग्रेड के समानुपाती होती है। और बैकपैक में पैक की गई चीजों की संख्या सीधे उसके वजन के समानुपाती होती है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है जिसमें एक स्वतंत्र मूल्य के कई गुना कमी या वृद्धि (इसे एक तर्क कहा जाता है) एक आनुपातिक (यानी, एक ही राशि से) एक आश्रित मूल्य में वृद्धि या कमी का कारण बनता है (इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है) )

आइए एक सरल उदाहरण के साथ स्पष्ट करते हैं। आप बाजार में सेब खरीदना चाहते हैं। काउंटर पर सेब और आपके बटुए में पैसे की मात्रा विपरीत रूप से संबंधित हैं। वे। आप जितने अधिक सेब खरीदेंगे, आपके पास उतने ही कम पैसे बचे होंगे।

फलन और उसका ग्राफ

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है वाई = के / एक्स. जिसमें एक्स 0 और क≠ 0.

इस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1. इसकी परिभाषा का क्षेत्र . को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है एक्स = 0. डी(आप): (-∞; 0) यू (0; +∞).
2. श्रेणी को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं आप= 0. ई (वाई): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. इसका कोई अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
4. विषम है और इसका ग्राफ मूल के बारे में सममित है।
5. गैर-आवधिक।
6. इसका ग्राफ निर्देशांक अक्षों को नहीं काटता है।
7. कोई शून्य नहीं है।
8. यदि एक क> 0 (अर्थात तर्क बढ़ता है), फलन अपने प्रत्येक अंतराल पर आनुपातिक रूप से घटता है। यदि एक क< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. जैसे-जैसे तर्क बढ़ता है ( क> 0) फ़ंक्शन के नकारात्मक मान अंतराल (-∞; 0) में हैं, और सकारात्मक मान अंतराल (0; +∞) में हैं। जब तर्क कम हो रहा है ( क< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

प्रतिलोम आनुपातिकता फलन के ग्राफ को अतिपरवलय कहते हैं। इस प्रकार दर्शाया गया है:

व्युत्क्रम आनुपातिक समस्याएं

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ कार्यों को देखें। वे बहुत जटिल नहीं हैं, और उनका समाधान आपको यह कल्पना करने में मदद करेगा कि उलटा अनुपात क्या है और यह ज्ञान आपके दैनिक जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है।

टास्क नंबर 1. कार 60 किमी/घंटा की रफ्तार से आगे बढ़ रही है। उसे अपने गंतव्य तक पहुंचने में 6 घंटे लगे। यदि वह दुगनी गति से चलता है तो उसे उतनी ही दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हम एक सूत्र लिखकर शुरू कर सकते हैं जो समय, दूरी और गति के संबंध का वर्णन करता है: टी = एस / वी। सहमत हूँ, यह हमें व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन की बहुत याद दिलाता है। और यह इंगित करता है कि कार सड़क पर जितना समय बिताती है, और जिस गति से चलती है, वह व्युत्क्रमानुपाती होती है।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए V 2 खोजें, जो कि शर्त से 2 गुना अधिक है: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 किमी / घंटा। फिर हम सूत्र S = V * t = 60 * 6 = 360 किमी का उपयोग करके दूरी की गणना करते हैं। अब समस्या की स्थिति के अनुसार हमें जो समय t 2 की आवश्यकता है, उसका पता लगाना मुश्किल नहीं है: t 2 = 360/120 = 3 घंटे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यात्रा का समय और गति वास्तव में व्युत्क्रमानुपाती हैं: मूल गति से 2 गुना अधिक गति के साथ, कार सड़क पर 2 गुना कम समय बिताएगी।

इस समस्या का समाधान अनुपात के रूप में भी लिखा जा सकता है। हम इस तरह का आरेख क्यों बनाते हैं:

↓ 60 किमी/घंटा - 6 घंटे

↓120 किमी/घंटा - x घंटा

तीर एक व्युत्क्रम संबंध का संकेत देते हैं। और वे यह भी सुझाव देते हैं कि अनुपात बनाते समय, रिकॉर्ड के दाहिने हिस्से को पलटना चाहिए: 60/120 \u003d x / 6. हमें x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 घंटे कहाँ मिलते हैं।

टास्क नंबर 2. कार्यशाला में 6 कर्मचारी कार्यरत हैं जो 4 घंटे में दिए गए कार्य को पूरा करते हैं। यदि श्रमिकों की संख्या आधी कर दी जाए, तो शेष श्रमिकों को समान कार्य को पूरा करने में कितना समय लगेगा?

हम समस्या की स्थितियों को एक दृश्य आरेख के रूप में लिखते हैं:

6 कर्मचारी - 4 घंटे

3 कार्यकर्ता - एक्स एच

आइए इसे अनुपात के रूप में लिखें: 6/3 = x/4। और हमें x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 घंटे मिलते हैं। यदि 2 गुना कम कर्मचारी हैं, तो बाकी सभी काम पूरा करने के लिए 2 गुना अधिक समय व्यतीत करेंगे।

टास्क नंबर 3. दो पाइप पूल की ओर ले जाते हैं। एक पाइप से पानी 2 l/s की दर से प्रवेश करता है और पूल को 45 मिनट में भर देता है। एक अन्य पाइप के माध्यम से, पूल 75 मिनट में भर जाएगा। इस पाइप से पानी कितनी तेजी से पूल में प्रवेश करता है?

आरंभ करने के लिए, हम समस्या की स्थिति के अनुसार हमें दी गई सभी मात्राओं को माप की समान इकाइयों में लाएंगे। ऐसा करने के लिए, हम पूल की भरने की दर को लीटर प्रति मिनट में व्यक्त करते हैं: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / मिनट।

चूंकि यह इस शर्त से अनुसरण करता है कि पूल दूसरे पाइप के माध्यम से अधिक धीरे-धीरे भर जाता है, इसका मतलब है कि पानी के प्रवाह की दर कम है। विपरीत अनुपात के चेहरे पर। आइए हम अज्ञात गति को x के रूप में व्यक्त करें और निम्नलिखित योजना बनाएं:

↓ 120 लीटर/मिनट - 45 मिनट

एक्स एल/मिनट - 75 मिनट

और फिर हम एक अनुपात बनाएंगे: 120 / x \u003d 75/45, जहां से x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / मिनट।

समस्या में, पूल की भरने की दर लीटर प्रति सेकंड में व्यक्त की जाती है, आइए अपने उत्तर को उसी रूप में लाएं: 72/60 = 1.2 l/s।

टास्क नंबर 4. बिजनेस कार्ड एक छोटे से निजी प्रिंटिंग हाउस में प्रिंट किए जाते हैं। प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी प्रति घंटे 42 बिजनेस कार्ड की गति से काम करता है और पूरे समय - 8 घंटे काम करता है। यदि वह तेजी से काम करता और प्रति घंटे 48 बिजनेस कार्ड प्रिंट करता, तो वह कितनी जल्दी घर जा सकता था?

हम एक सिद्ध तरीके से जाते हैं और समस्या की स्थिति के अनुसार एक योजना तैयार करते हैं, वांछित मान को x के रूप में दर्शाते हैं:

↓ 42 बिजनेस कार्ड/एच – 8 घंटे

48 बिजनेस कार्ड/एच - xh

हमारे सामने एक व्युत्क्रमानुपाती संबंध है: एक प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी प्रति घंटे कितनी बार अधिक व्यवसाय कार्ड प्रिंट करता है, उसी कार्य को पूरा करने में उसे उतना ही समय लगेगा। यह जानने के बाद, हम अनुपात निर्धारित कर सकते हैं:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 घंटे।

इस प्रकार, 7 घंटे में काम पूरा करने के बाद, प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी एक घंटे पहले घर जा सकता था।

निष्कर्ष

हमें ऐसा लगता है कि ये व्युत्क्रम आनुपातिकता की समस्याएं वास्तव में सरल हैं। हम आशा करते हैं कि अब आप भी उन्हें ऐसा ही मानेंगे। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मात्राओं की व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता का ज्ञान वास्तव में आपके लिए एक से अधिक बार उपयोगी हो सकता है।

सिर्फ गणित की कक्षाओं और परीक्षाओं में ही नहीं। लेकिन फिर भी, जब आप किसी यात्रा पर जा रहे हों, खरीदारी करने जाएं, छुट्टियों के दौरान कुछ पैसे कमाने का फैसला करें, आदि।

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उदाहरण

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 आदि।

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक मात्राओं के अचर अनुपात को कहते हैं आनुपातिकता का गुणांक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरी मात्रा की एक इकाई पर पड़ती हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें कुछ मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते हैं अनुपात में, बराबर शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदल गया है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एकएक्स,एक = सीहेएनएसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

उलटा अनुपात- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि निर्भर मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी का कारण बनती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

समारोह गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.