1 pavyzdys. Suteikta funkcija f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Parašykime funkcijos grafiko liestinės lygtį f(x) grafiko taške su abscisėmis x 0 = 1.
Sprendimas. Funkcijos išvestinė f(x) egzistuoja bet kuriam x R . Suraskime ją:
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Tada f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentinės lygties forma:
y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Atsakymas. y = 10x – 8.
2 pavyzdys. Suteikta funkcija f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Parašykime funkcijos grafiko liestinės lygtį f(x), lygiagrečiai linijai y = 2x – 11.
Sprendimas. Funkcijos išvestinė f(x) egzistuoja bet kuriam x R . Suraskime ją:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Kadangi funkcijos grafiko liestinė f(x) abscisių taške x 0 yra lygiagreti tiesei y = 2x– 11, tada jo nuolydis lygus 2, t.y. ( x 0) = 2. Raskime šią abscisę iš sąlygos, kad 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ši lygybė galioja tik tada, kai x 0 = 0 ir at x 0 = 2. Kadangi abiem atvejais f(x 0) = 5, tada tiesiai y = 2x + b paliečia funkcijos grafiką arba taške (0; 5), arba taške (2; 5).
Pirmuoju atveju skaitinė lygybė 5 = 2×0 + yra teisinga b, kur b= 5, o antruoju atveju skaitinė lygybė 5 = 2×2 + yra teisinga b, kur b = 1.
Taigi yra dvi liestinės y = 2x+ 5 ir y = 2x+ 1 funkcijos grafikui f(x), lygiagrečiai linijai y = 2x – 11.
Atsakymas. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
3 pavyzdys. Suteikta funkcija f(x) = x 2 – 6x+ 7. Parašykime funkcijos grafiko liestinės lygtį f(x), einantis per tašką A (2; –5).
Sprendimas. Nes f(2) –5, tada taškas A nepriklauso funkcijos grafikui f(x). Leisti x 0 – liestinės taško abscisė.
Funkcijos išvestinė f(x) egzistuoja bet kuriam x R . Suraskime ją:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Tada f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Tangentinės lygties forma:
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Nuo taško A priklauso liestinei, tada skaitinė lygybė yra teisinga
–5 = (2x 0–6) × 2– x+ 7,
kur x 0 = 0 arba x 0 = 4. Tai reiškia, kad per tašką A galite nubrėžti dvi funkcijos grafiko liestines f(x).
Jeigu x 0 = 0, tada liestinės lygtis turi formą y = –6x+ 7. Jei x 0 = 4, tada liestinės lygtis turi formą y = 2x – 9.
Atsakymas. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
4 pavyzdys. Suteiktos funkcijos f(x) = x 2 – 2x+ 2 ir g(x) = –x 2 – 3. Parašykime šių funkcijų grafikų bendrosios liestinės lygtį.
Sprendimas. Leisti x 1 - norimos linijos lietimo taško su funkcijos grafiku abscisė f(x), A x 2 - tos pačios linijos lietimo taško su funkcijos grafiku abscisė g(x).
Funkcijos išvestinė f(x) egzistuoja bet kuriam x R . Suraskime ją:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Tada f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Tangentinės lygties forma:
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Raskime funkcijos išvestinę g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Apsvarstykite šį paveikslą:
Jis vaizduoja tam tikrą funkciją y = f(x), kuri yra diferencijuota taške a. Pažymėtas taškas M su koordinatėmis (a; f(a)). Per savavališką grafiko tašką P(a + ∆x; f(a + ∆x)) nubrėžiamas sekantinis MR.
Jei dabar taškas P perkeltas išilgai grafiko į tašką M, tai tiesė MR pasisuks aplink tašką M. Šiuo atveju ∆x bus linkęs į nulį. Iš čia galime suformuluoti funkcijos grafiko liestinės apibrėžimą.
Funkcijos grafiko liestinė
Funkcijos grafiko liestinė yra sekanto ribinė padėtis, nes argumento prieaugis linkęs į nulį. Reikėtų suprasti, kad funkcijos f išvestinės egzistavimas taške x0 reiškia, kad šiame grafiko taške yra liestinė jam.
Šiuo atveju liestinės kampinis koeficientas bus lygus šios funkcijos išvestinei šiame taške f’(x0). Tai geometrinė išvestinės reikšmė. Funkcijos f, kuri skiriasi taške x0, grafiko liestinė yra tam tikra tiesė, einanti per tašką (x0;f(x0)) ir turinti kampinį koeficientą f’(x0).
Tangento lygtis
Pabandykime gauti kokios nors funkcijos f grafiko liestinės lygtį taške A(x0; f(x0)). Tiesios linijos su nuolydžiu k lygtis yra tokia:
Kadangi mūsų nuolydžio koeficientas lygus išvestinei f'(x0), tada lygtis bus tokia: y = f'(x0)*x + b.
Dabar apskaičiuokime b reikšmę. Norėdami tai padaryti, naudojame faktą, kad funkcija eina per tašką A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, iš čia išreiškiame b ir gauname b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Gautą reikšmę pakeičiame į liestinės lygtį:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Apsvarstykite tokį pavyzdį: raskite funkcijos f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 grafiko liestinės lygtį taške x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 – 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Pakeiskite gautas reikšmes į liestinės formulę, gausime: y = 1 + 4*(x - 2). Atidarę skliaustus ir suvedę panašius terminus, gauname: y = 4*x - 7.
Atsakymas: y = 4*x - 7.
Bendra liestinės lygties sudarymo schemaį funkcijos y = f(x) grafiką:
1. Nustatykite x0.
2. Apskaičiuokite f(x0).
3. Apskaičiuokite f’(x)
Įjungta moderni scena ugdymo ugdymas, vienas pagrindinių jo uždavinių – kūrybiškai mąstančios asmenybės formavimas. Mokinių kūrybiškumo gebėjimai gali būti ugdomi tik tuo atveju, jei juos sistemingai traukia pagrindai mokslinę veiklą. Pagrindas mokiniams panaudoti savo kūrybines galias, gebėjimus ir talentus – visavertės žinios ir gebėjimai. Šiuo atžvilgiu nemažą reikšmę turi pagrindinių žinių ir įgūdžių sistemos formavimo kiekvienai mokyklinio matematikos kurso temai problema. Tuo pačiu metu turi būti visaverčių įgūdžių didaktinis tikslas ne individualios užduotys, o kruopščiai apgalvota jų sistema. Plačiąja prasme sistema suprantama kaip visuma tarpusavyje susijusių sąveikaujančių elementų, kurie turi vientisumą ir stabilią struktūrą.
Panagrinėkime metodą, kaip mokyti studentus, kaip parašyti funkcijos grafiko liestinės lygtį. Iš esmės visos liestinės lygties radimo problemos kyla dėl būtinybės iš eilučių rinkinio (ryšulio, šeimos) pasirinkti tas, kurios tenkina tam tikrą reikalavimą – jos yra liestinės su tam tikros funkcijos grafiku. Šiuo atveju eilučių rinkinį, iš kurio atliekamas pasirinkimas, galima nurodyti dviem būdais:
a) taškas, esantis xOy plokštumoje (centrinis linijų pieštukas);
b) kampo koeficientas (lygiagretusis tiesių pluoštas).
Šiuo atžvilgiu, tirdami temą „Funkcijos grafiko liestinė“, siekdami išskirti sistemos elementus, nustatėme dviejų tipų problemas:
1) liestinės, pateiktos taško, per kurį ji eina, uždaviniai;
2) jos nuolydžio pateiktos liestinės uždaviniai.
Tangentinių uždavinių sprendimo mokymai buvo vykdomi naudojant A.G. pasiūlytą algoritmą. Mordkovičius. Esminis jos skirtumas nuo jau žinomų yra tas, kad liestinės taško abscisė žymima raide a (vietoj x0), todėl liestinės lygtis įgauna formą
y = f(a) + f "(a)(x – a)
(palyginkite su y = f(x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). metodinė technika, mūsų nuomone, leidžia mokiniams greitai ir lengvai suprasti, kur bendrojoje liestinės lygtyje parašytos esamo taško koordinatės, o kur – liestinės taškai.
Funkcijos y = f(x) grafiko liestinės lygties sudarymo algoritmas
1. Pažymėkite liestinės taško abscisę raide a.
2. Raskite f(a).
3. Raskite f "(x) ir f "(a).
4. Pakeiskite rastus skaičius a, f(a), f "(a) į bendroji lygtis liestinė y = f(a) = f "(a)(x – a).
Šis algoritmas gali būti sudarytas remiantis studentų savarankišku operacijų identifikavimu ir jų įgyvendinimo seka.
Praktika parodė, kad nuoseklus kiekvienos pagrindinės problemos sprendimas naudojant algoritmą leidžia lavinti funkcijos grafiko liestinės lygties rašymo etapais įgūdžius, o algoritmo žingsniai yra veiksmų atskaitos taškai. . Šis požiūris atitinka teoriją laipsniškas formavimas psichiniai veiksmai, sukurti P.Ya. Galperinas ir N.F. Talyzina.
Pirmojo tipo užduotyse buvo nustatytos dvi pagrindinės užduotys:
- liestinė eina per tašką, esantį kreivėje (1 uždavinys);
- liestinė eina per tašką, esantį ne ant kreivės (2 uždavinys).
Užduotis 1. Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį 
taške M(3; – 2).
Sprendimas. Taškas M(3; – 2) yra liestinės taškas, nes
1. a = 3 – liestinės taško abscisė.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – liestinės lygtis.
2 uždavinys. Užrašykite funkcijos y = – x 2 – 4x + 2, einančios per tašką M(– 3; 6), grafiko visų liestinių lygtis.
Sprendimas. Taškas M(– 3; 6) nėra liestinės taškas, nes f(– 3) 6 (2 pav.).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – liestinės lygtis.
Liestinė eina per tašką M(– 3; 6), todėl jos koordinatės tenkina liestinės lygtį.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.
Jei a = – 4, tada liestinės lygtis yra y = 4x + 18.
Jei a = – 2, tai liestinės lygtis yra y = 6.
Antrojo tipo pagrindinės užduotys bus šios:
- liestinė lygiagreti kokiai nors tiesei (3 uždavinys);
- liestinė eina tam tikru kampu į duotąją tiesę (4 uždavinys).
3 uždavinys. Užrašykite visų funkcijos y = x 3 – 3x 2 + 3, lygiagrečios tiesei y = 9x + 1, grafiko liestinių lygtis.
1. a – liestinės taško abscisė.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.
Bet, kita vertus, f "(a) = 9 (lygiagretumo sąlyga). Tai reiškia, kad turime išspręsti lygtį 3a 2 – 6a = 9. Jos šaknys yra a = – 1, a = 3 (3 pav.). ).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – liestinės lygtis;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);
y = 9x – 24 – liestinės lygtis.
4 uždavinys. Užrašykite funkcijos y = 0,5x 2 – 3x + 1, 45° kampu einančios į tiesę y = 0, grafiko liestinės lygtį (4 pav.).
Sprendimas. Iš sąlygos f "(a) = tan 45° randame a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – liestinės taško abscisė.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – liestinės lygtis.
Nesunku parodyti, kad bet kurios kitos problemos sprendimas priklauso nuo vienos ar kelių pagrindinių problemų sprendimo. Apsvarstykite toliau pateiktas dvi problemas kaip pavyzdį.
1. Parašykite parabolės y = 2x 2 – 5x – 2 liestinių lygtis, jei liestinės susikerta stačiu kampu ir viena iš jų liečia parabolę taške su abscise 3 (5 pav.).
Sprendimas. Kadangi duota liestinės taško abscisė, pirmoji sprendimo dalis redukuojama į 1 pagrindinę problemą.
1. a = 3 – vienos iš stačiojo kampo kraštinių lietimo taško abscisė.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – pirmosios liestinės lygtis.
Tegu a yra pirmosios liestinės polinkio kampas. Kadangi liestinės yra statmenos, tai yra antrosios liestinės pasvirimo kampas. Iš pirmosios liestinės lygties y = 7x – 20 gauname tg a = 7. Raskime
Tai reiškia, kad antrosios liestinės nuolydis yra lygus .
Tolesnis sprendimas pereina prie pagrindinės 3 užduoties.
Tada tegul B(c; f(c)) yra antrosios eilutės liesties taškas
1. – antrojo liesties taško abscisė.
2. 
3. 
4. 
– antrosios liestinės lygtis.
Pastaba. Liestinės kampinį koeficientą lengviau rasti, jei mokiniai žino statmenų tiesių koeficientų santykį k 1 k 2 = – 1.
2. Užrašykite visų bendrųjų liestinių lygtis į funkcijų grafikus
Sprendimas. Problema kyla ieškant bendrųjų liestinių taškų abscisių, tai yra, norint išspręsti 1 pagrindinę problemą. bendras vaizdas, parengiant lygčių sistemą ir vėlesnį jos sprendimą (6 pav.).
1. Funkcijos y = x 2 + x + 1 grafike esančio liestinės taško abscisė tebūna a.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .
1. Funkcijos grafike esančio liestinės taško abscisė tegul c 
2. 
3. f "(c) = c.
4.
Kadangi liestinės yra bendrosios, tada
Taigi y = x + 1 ir y = – 3x – 3 yra bendrosios liestinės.
Pagrindinis nagrinėjamų užduočių tikslas – parengti studentus savarankiškai atpažinti esminės problemos tipą sprendžiant sudėtingesnes problemas, reikalaujančias tam tikrų tyrimo įgūdžių (gebėjimo analizuoti, lyginti, apibendrinti, kelti hipotezę ir kt.). Tokios užduotys apima bet kokią užduotį, kurioje pagrindinė užduotisįtrauktas kaip komponentas. Panagrinėkime kaip pavyzdį funkciją (atvirkščiai 1 uždaviniui) rasti funkciją iš jos liestinių šeimos.
3. Kam b ir c yra funkcijos y = x 2 + bx + c grafiko liestinės y = x ir y = – 2x?
Tegul t yra tiesės y = x, kurios parabolė y = x 2 + bx + c, liesties taško abscisė; p yra tiesės y = – 2x, kai parabolė y = x 2 + bx + c, liesties taško abscisė. Tada liestinės lygtis y = x įgaus formą y = (2t + b)x + c – t 2 , o liestinės lygtis y = – 2x – y = (2p + b)x + c – p 2 .
Sudarykime ir išspręskime lygčių sistemą
Atsakymas: 
Ši matematinė programa suranda funkcijos \(f(x)\) grafiko liestinės lygtį vartotojo nurodytame taške \(a\).
Programa ne tik parodo liestinės lygtį, bet ir parodo problemos sprendimo procesą.
Šis internetinis skaičiuotuvas gali būti naudingas aukštųjų mokyklų studentams vidurinės mokyklos ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.
Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.
Jei reikia rasti funkcijos išvestinę, tai turime užduotį Rasti išvestinę.
Jei nesate susipažinę su funkcijų įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.
Įveskite funkcijos išraišką \(f(x)\) ir skaičių \(a\) Raskite liestinės lygtį Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...
Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.
Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:
Šiek tiek teorijos.
Tiesioginis nuolydis
Prisiminkime, kad tvarkaraštis tiesinė funkcija\(y=kx+b\) yra tiesi linija. Iškviečiamas skaičius \(k=tg \alpha \). tiesios linijos nuolydis, o kampas \(\alpha \) yra kampas tarp šios linijos ir Ox ašies
Jei \(k>0\), tada \(0 If \(kFunkcijos grafiko liestinės lygtis
Jei taškas M(a; f(a)) priklauso funkcijos y = f(x) grafikui ir jei šiame taške į funkcijos grafiką galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena x ašiai, tada iš išvestinės geometrinės reikšmės išplaukia, kad liestinės kampinis koeficientas lygus f "(a). Toliau sukursime bet kurios funkcijos grafiko liestinės lygties sudarymo algoritmą.
Tegul šios funkcijos grafike yra funkcija y = f(x) ir taškas M(a; f(a)); tegul yra žinoma, kad f"(a) egzistuoja. Sukurkime grafiko liestinės lygtį suteikta funkcija tam tikrame taške. Ši lygtis, kaip ir bet kurios tiesės, kuri nėra lygiagreti ordinačių ašiai, lygtis turi formą y = kx + b, todėl užduotis yra rasti koeficientų k ir b reikšmes.
Viskas aišku su kampiniu koeficientu k: žinoma, kad k = f"(a). Norėdami apskaičiuoti b reikšmę, naudojame tai, kad norima tiesė eina per tašką M(a; f(a)) Tai reiškia, kad jei taško M koordinates pakeisime tiesės lygtimi, gausime teisingą lygybę: \(f(a)=ka+b\), t.y. \(b = f(a) - ka\).
Belieka rastąsias koeficientų k ir b vertes pakeisti tiesės lygtimi:
Mes gavom funkcijos grafiko liestinės lygtis\(y = f(x) \) taške \(x=a \).
Funkcijos \(y=f(x)\) grafiko liestinės lygties radimo algoritmas
1. Pažymėkite liestinės taško abscisę raide \(a\)
2. Apskaičiuokite \(f(a)\)
3. Raskite \(f"(x)\) ir apskaičiuokite \(f"(a)\)
4. Pakeiskite rastus skaičius \(a, f(a), f"(a) \) į formulę \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
Straipsnyje išsamiai paaiškinami apibrėžimai, geometrinė vedinio reikšmė su grafiniais užrašais. Pavyzdžiais bus nagrinėjama liestinės linijos lygtis, rastos 2 eilės kreivių liestinės lygtys.
Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas
Tiesės y = k x + b polinkio kampas vadinamas kampu α, kuris matuojamas nuo teigiamos x ašies krypties iki tiesės y = k x + b teigiama kryptimi.
Paveiksle x kryptis pažymėta žalia rodykle ir žalia lanku, o polinkio kampas – raudonu lanku. Mėlyna linija reiškia tiesią liniją.
2 apibrėžimas
Tiesės y = k x + b nuolydis vadinamas skaitiniu koeficientu k.
Kampinis koeficientas lygus tiesės liestinei, kitaip tariant k = t g α.
- Tiesės polinkio kampas lygus 0 tik tada, kai ji lygiagreti x, o nuolydis lygus nuliui, nes nulio liestinė lygi 0. Tai reiškia, kad lygties forma bus y = b.
- Jei tiesės y = k x + b pasvirimo kampas yra smailus, tada tenkinamos sąlygos 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, o grafike yra padidėjimas.
- Jei α = π 2, tai tiesės vieta yra statmena x. Lygybė nurodoma x = c, kai reikšmė c yra tikrasis skaičius.
- Jei tiesės y = k x + b pasvirimo kampas yra bukas, tai jis atitinka sąlygas π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает neigiama prasmė, o grafikas mažėja.
Sekantas yra tiesė, einanti per 2 funkcijos f (x) taškus. Kitaip tariant, sekantas yra tiesi linija, nubrėžta per bet kuriuos du tam tikros funkcijos grafiko taškus.
Paveikslėlyje parodyta, kad A B yra sekantas, o f (x) yra juoda kreivė, α yra raudonas lankas, nurodantis sekanto pasvirimo kampą.
Kai tiesės kampinis koeficientas lygus polinkio kampo liestinei, aišku, kad stačiojo trikampio A B C liestinę galima rasti pagal priešingos kraštinės santykį su gretima.
4 apibrėžimas
Gauname formulę formos sekantui rasti:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kur taškų A ir B abscisės yra x A, x B ir f (x A), f (x) reikšmės B) yra reikšmių funkcijos šiuose taškuose.
Akivaizdu, kad sekanto kampinis koeficientas nustatomas naudojant lygybę k = f (x B) - f (x A) x B - x A arba k = f (x A) - f (x B) x A - x B , o lygtis turi būti parašyta taip y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) arba
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
Sekantas vizualiai padalija grafiką į 3 dalis: į kairę nuo taško A, nuo A iki B, į dešinę nuo B. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta, kad yra trys sekantai, kurie laikomi sutampančiomis, tai yra, jie nustatomi naudojant panaši lygtis.
Pagal apibrėžimą aišku, kad tiesi linija ir jos sekantas tokiu atveju susilyginti.
Sekantas gali kelis kartus kirsti tam tikros funkcijos grafiką. Jei sekantei yra y = 0 formos lygtis, tai susikirtimo su sinusoidu taškų skaičius yra begalinis.
5 apibrėžimas
Funkcijos f (x) grafiko liestinė taške x 0 ; f (x 0) yra tiesė, einanti per nurodytą tašką x 0; f (x 0), kai yra segmentas, turintis daug x reikšmių, artimų x 0.
1 pavyzdys
Pažvelkime į toliau pateiktą pavyzdį atidžiau. Tada aišku, kad funkcija y = x + 1 apibrėžta tiesė laikoma liestine y = 2 x taške su koordinatėmis (1; 2). Siekiant aiškumo, reikia atsižvelgti į grafikus, kurių reikšmės yra artimos (1; 2). Funkcija y = 2 x rodoma juoda spalva, mėlyna linija yra liestinė, o raudonas taškas yra susikirtimo taškas.
Akivaizdu, kad y = 2 x susilieja su linija y = x + 1.
Norėdami nustatyti liestinę, turėtume atsižvelgti į liestinės A B elgesį, kai taškas B be galo artėja prie taško A. Aiškumo dėlei pateikiame brėžinį.
Sekantas A B, pažymėtas mėlyna linija, yra linkęs į pačios liestinės padėtį, o sekanto pasvirimo kampas α pradės linkti į pačios liestinės polinkio kampą α x.
6 apibrėžimas
Funkcijos y = f (x) grafiko liestinė taške A laikoma sekanto A B ribine padėtimi, nes B linksta į A, tai yra, B → A.
Dabar pereikime prie funkcijos išvestinės taške geometrinės reikšmės.
Pereikime prie funkcijos f (x) sekanto A B, kur A ir B su koordinatėmis x 0, f (x 0) ir x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ir ∆ x yra žymimas kaip argumento padidėjimas . Dabar funkcija įgaus formą ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Aiškumo dėlei pateiksime piešinio pavyzdį.
Apsvarstykime rezultatą taisyklingas trikampis A B C. Spręsdami naudojame liestinės apibrėžimą, tai yra, gauname ryšį ∆ y ∆ x = t g α . Iš liestinės apibrėžimo išplaukia, kad lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Pagal išvestinės taške taisyklę gauname, kad išvestinė f (x) taške x 0 vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kur ∆ x → 0 , tada pažymime kaip f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Iš to seka, kad f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kur k x žymimas liestinės nuolydžiu.
Tai yra, mes nustatome, kad f ' (x) gali egzistuoti taške x 0 ir kaip nurodytos funkcijos grafiko liestinė taške, lygiame x 0, f 0 (x 0), kur liestinės nuolydis taške lygus išvestinei taške x 0 . Tada gauname, kad k x = f " (x 0) .
Funkcijos išvestinės taške geometrinė reikšmė yra ta, kad ji suteikia grafiko liestinės egzistavimo sampratą tame pačiame taške.
Norint parašyti bet kurios tiesės lygtį plokštumoje, būtina turėti kampo koeficientą su tašku, per kurį ji eina. Jo žymėjimas sankryžoje laikomas x 0.
Funkcijos y = f (x) grafiko liestinės lygtis taške x 0, f 0 (x 0) yra y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).
Tai reiškia, kad galutinė išvestinės f "(x 0) reikšmė gali nustatyti liestinės padėtį, tai yra vertikaliai, jei lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ ir lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ arba visai nebuvimas su sąlyga lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
Liestinės vieta priklauso nuo jos kampinio koeficiento k x = f "(x 0) reikšmės. Kai lygiagreti o x ašiai, gauname, kad k k = 0, kai lygiagreti o y - k x = ∞, ir formos liestinės lygtis x = x 0 didėja, kai k x > 0, mažėja kaip k x< 0 .
2 pavyzdys
Sudarykite funkcijos y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 grafiko liestinės lygtį taške su koordinatėmis (1; 3) ir nustatykite pasvirimo kampą.
Sprendimas
Pagal sąlygą turime, kad funkcija apibrėžta visiems realiesiems skaičiams. Nustatome, kad taškas su koordinatėmis, nurodytomis sąlyga (1; 3), yra liesties taškas, tada x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.
Būtina rasti išvestinę taške, kurio reikšmė - 1. Mes tai gauname
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
F' (x) reikšmė liestinės taške yra liestinės nuolydis, lygus nuolydžio liestine.
Tada k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Iš to seka, kad α x = a r c t g 3 3 = π 6
Atsakymas: liestinės lygtis įgauna formą
y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Aiškumo dėlei pateikiame pavyzdį grafinėje iliustracijoje.
Pradinės funkcijos grafikui naudojama juoda spalva, Mėlyna spalva– liestinės vaizdas, raudonas taškas – lietimo taškas. Paveikslėlis dešinėje rodo padidintą vaizdą.
3 pavyzdys
Nustatykite, ar yra duotosios funkcijos grafiko liestinė
y = 3 · x - 1 5 + 1 taške su koordinatėmis (1 ; 1) . Parašykite lygtį ir nustatykite pasvirimo kampą.
Sprendimas
Pagal sąlygą turime, kad tam tikros funkcijos apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.
Pereikime prie išvestinės paieškos
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Jei x 0 = 1, tai f' (x) neapibrėžtas, bet ribos rašomos kaip lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ir lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , o tai reiškia taške (1; 1) yra vertikali liestinė.
Atsakymas: lygtis bus x = 1, kur pasvirimo kampas bus lygus π 2.
Kad būtų aiškumo, pavaizduokime jį grafiškai.
4 pavyzdys
Raskite funkcijos y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 grafiko taškus, kur
- Nėra liestinės;
- Liestinė lygiagreti x;
- Liestinė lygiagreti tiesei y = 8 5 x + 4.
Sprendimas
Būtina atkreipti dėmesį į apibrėžimo apimtį. Pagal sąlygą turime, kad funkcija apibrėžta visų realiųjų skaičių aibėje. Išplečiame modulį ir sprendžiame sistemą intervalais x ∈ - ∞ ; 2 ir [-2; + ∞) . Mes tai gauname
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Būtina atskirti funkciją. Mes tai turime
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Kai x = − 2, tada išvestinė neegzistuoja, nes tame taške vienpusės ribos nėra lygios:
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Apskaičiuojame funkcijos reikšmę taške x = - 2, kur tai gauname
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tai yra, liestinė taške ( - 2; - 2) nebus.
- Liestinė yra lygiagreti x, kai nuolydis lygus nuliui. Tada k x = t g α x = f "(x 0). Tai yra, reikia rasti tokio x reikšmes, kai funkcijos išvestinė paverčia ją nuliu. Tai yra f ' reikšmės. (x) bus lietimo taškai, kur liestinė lygiagreti x .
Kai x ∈ - ∞ ; - 2, tada - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, o x ∈ (- 2; + ∞) gauname 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = -12 + 4 2 = -5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Apskaičiuokite atitinkamas funkcijų reikšmes
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Vadinasi - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 laikomi reikiamais funkcijos grafiko taškais.
Pažiūrėkime į grafinį sprendimo vaizdą.
Juoda linija yra funkcijos grafikas, raudoni taškai yra lietimo taškai.
- Kai tiesės lygiagrečios, kampiniai koeficientai yra lygūs. Tada funkcijos grafike reikia ieškoti taškų, kuriuose nuolydis bus lygus reikšmei 8 5. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti y formos lygtį "(x) = 8 5. Tada, jei x ∈ - ∞; - 2, gauname, kad - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, o jei x ∈ ( - 2 ; + ∞), tai 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.
Pirmoji lygtis neturi šaknų, nes diskriminantas yra mažesnis už nulį. Užsirašykime tai
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
Kita lygtis turi dvi realias šaknis
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Pereikime prie funkcijos reikšmių paieškos. Mes tai gauname
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Taškai su reikšmėmis - 1; 4 15, 5; 8 3 yra taškai, kuriuose liestinės yra lygiagrečios tiesei y = 8 5 x + 4.
Atsakymas: juoda linija – funkcijos grafikas, raudona linija – y = 8 grafikas 5 x + 4, mėlyna linija – liestinės taškuose - 1; 4 15, 5; 8 3.
Tam tikroms funkcijoms gali būti begalinis liestinių skaičius.
5 pavyzdys
Parašykite visų galimų funkcijos y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 liestinių lygtis, kurios yra statmenos tiesei y = - 2 x + 1 2.
Sprendimas
Norint sudaryti liestinės lygtį, reikia rasti liestinės taško koeficientą ir koordinates, remiantis tiesių statmenumo sąlyga. Apibrėžimas yra toks: kampinių koeficientų, kurie yra statmeni tiesėms, sandauga yra lygi - 1, tai yra, parašyta kaip k x · k ⊥ = - 1. Iš sąlygos gauname, kad kampinis koeficientas yra statmenai tiesei ir yra lygus k ⊥ = - 2, tada k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.
Dabar reikia rasti kontaktinių taškų koordinates. Turite rasti x ir tada jo reikšmę duotai funkcijai. Atkreipkite dėmesį, kad iš geometrinės išvestinės reikšmės taške
x 0 gauname, kad k x = y "(x 0). Iš šios lygybės randame sąlyčio taškų x reikšmes.
Mes tai gauname
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Ši trigonometrinė lygtis bus naudojama liestinių taškų ordinatėms apskaičiuoti.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk arba 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk arba 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk arba x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z yra sveikųjų skaičių aibė.
rasta x sąlyčio taškų. Dabar reikia pereiti prie y reikšmių paieškos:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 arba y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 arba y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 arba y 0 = - 4 5 + 1 3
Iš to gauname, kad 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 yra lietimo taškai.
Atsakymas: reikalingos lygtys bus parašytos kaip
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Norėdami vizualiai pavaizduoti, apsvarstykite funkciją ir liestinę koordinačių tiesėje.
Paveikslėlyje parodyta, kad funkcija yra intervale [-10; 10 ], kur juoda linija yra funkcijos grafikas, mėlynos linijos yra liestinės, kurios yra statmenos duotai y = - 2 x + 1 2 formos linijai. Raudoni taškai yra prisilietimo taškai.
2 eilės kreivių kanoninės lygtys nėra vienareikšmės funkcijos. Jų liestinės lygtys sudaromos pagal žinomas schemas.
Apskritimo liestinė
Apibrėžti apskritimą, kurio centras yra taške x c e n t e r ; y c e n t e r ir spindulį R, taikykite formulę x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .
Šią lygybę galima parašyti kaip dviejų funkcijų sąjungą:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Pirmoji funkcija yra viršuje, o antroji – apačioje, kaip parodyta paveikslėlyje.
Sudaryti apskritimo lygtį taške x 0; y 0 , kuris yra viršutiniame arba apatiniame puslankiu, turėtumėte rasti y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r arba y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + formos funkcijos grafiko lygtį. y c e n t e r nurodytame taške.
Kai taškuose x c e n t e r ; y c e n t e r + R ir x c e n t e r ; y c e n t e r - R liestinės gali būti pateiktos lygtimis y = y c e n t e r + R ir y = y c e n t e r - R , o taškuose x c e n t e r + R ; y c e n t e r ir
x c e n t e r - R ; y c e n t e r bus lygiagreti o y, tada gauname x = x c e n t e r + R ir x = x c e n t e r - R formos lygtis.
Elipsės liestinė
Kai elipsė turi centrą x c e n t e r ; y c e n t e r su pusiau ašimis a ir b, tada ją galima nurodyti naudojant lygtį x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.
Elipsė ir apskritimas gali būti žymimi sujungiant dvi funkcijas, būtent viršutinę ir apatinę puselipsę. Tada mes tai gauname
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Jei liestinės yra elipsės viršūnėse, tada jos yra lygiagrečios apie x arba apie y. Žemiau, kad būtų aiškumo, apsvarstykite paveikslą.
6 pavyzdys
Parašykite elipsės liestinės x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 lygtį taškuose, kurių x reikšmės yra lygios x = 2.
Sprendimas
Būtina rasti liestinės taškus, atitinkančius reikšmę x = 2. Mes pakeičiame esamą elipsės lygtį ir randame
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Tada 2; 5 3 2 + 5 ir 2; - 5 3 2 + 5 yra liestinės taškai, priklausantys viršutinei ir apatinei puselipsei.
Pereikime prie elipsės lygties y atžvilgiu radimo ir sprendimo. Mes tai gauname
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 m - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Akivaizdu, kad viršutinė puselipsė nurodoma naudojant y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 formos funkciją, o apatinė puselipsė y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.
Taikykime standartinį algoritmą, kad sukurtume funkcijos grafiko liestinės taške lygtį. Parašykime, kad pirmosios liestinės lygtis taške 2; 5 3 2 + 5 atrodys taip
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Mes nustatome, kad antrosios liestinės su reikšme taške lygtis
2 ; - 5 3 2 + 5 įgauna formą
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Grafiškai liestinės žymimos taip:
Hiperbolės liestinė
Kai hiperbolė turi centrą x c e n t e r ; y c e n t e r ir viršūnės x c e n t e r + α ; y c e n t e r ir x c e n t e r - α ; y c e n t e r , vyksta nelygybė x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, jei su viršūnėmis x c e n t e r ; y c e n t e r + b ir x c e n t e r ; y c e n t e r - b , tada nurodoma naudojant nelygybę x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
Hiperbolė gali būti pavaizduota kaip dvi kombinuotos formos funkcijos
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r arba y = b a · (x - x t e r e n) y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
Pirmuoju atveju liestinės yra lygiagrečios y, o antruoju - x.
Iš to seka, kad norint rasti hiperbolės liestinės lygtį, reikia išsiaiškinti, kuriai funkcijai priklauso liesties taškas. Norint tai nustatyti, būtina pakeisti lygtis ir patikrinti tapatybę.
7 pavyzdys
Parašykite lygtį hiperbolės liestinės x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 taške 7; - 3 3 - 3 .
Sprendimas
Norint rasti hiperbolę, reikia transformuoti sprendimo įrašą naudojant 2 funkcijas. Mes tai gauname
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ir y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Būtina nustatyti, kuriai funkcijai priklauso duotas taškas su koordinatėmis 7; - 3 3 - 3 .
Akivaizdu, kad norint patikrinti pirmąją funkciją, reikia y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tada taškas nepriklauso grafikui, nes lygybė negalioja.
Antrajai funkcijai turime, kad y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, tai reiškia, kad taškas priklauso duotam grafikui. Iš čia turėtumėte rasti šlaitą.
Mes tai gauname
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Atsakymas: liestinės lygtis gali būti pavaizduota kaip
y = – 3 x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 x + 4 3 – 3
Tai aiškiai pavaizduota taip:
Parabolės liestinė
Norėdami sukurti parabolės y = a x 2 + b x + c liestinės lygtį taške x 0, y (x 0), turite naudoti standartinį algoritmą, tada lygtis bus y = y "(x) 0) x - x 0 + y ( x 0).Tokia liestinė viršūnėje lygiagreti x.
Turėtumėte apibrėžti parabolę x = a y 2 + b y + c kaip dviejų funkcijų sąjungą. Todėl turime išspręsti y lygtį. Mes tai gauname
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Grafiškai pavaizduota taip:
Norėdami sužinoti, ar taškas x 0, y (x 0) priklauso funkcijai, švelniai elkitės pagal standartinį algoritmą. Tokia liestinė bus lygiagreti o y parabolės atžvilgiu.
8 pavyzdys
Parašykite grafiko x - 2 y 2 - 5 y + 3 liestinės lygtį, kai liestinės kampas yra 150 °.
Sprendimas
Sprendimą pradedame pavaizduodami parabolę kaip dvi funkcijas. Mes tai gauname
2 m. 2 - 5 m + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
Nuolydžio reikšmė lygi išvestinės reikšmei šios funkcijos taške x 0 ir lygi pasvirimo kampo liestinei.
Mes gauname:
k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
Iš čia nustatome sąlyčio taškų x reikšmę.
Pirmoji funkcija bus parašyta kaip
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Akivaizdu, kad tikrų šaknų nėra, nes gavome neigiamą reikšmę. Darome išvadą, kad tokiai funkcijai nėra liestinės su 150° kampu.
Antroji funkcija bus parašyta kaip
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Turime, kad sąlyčio taškai yra 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Atsakymas: liestinės lygtis įgauna formą
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Pavaizduokime jį grafiškai taip:
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
