valstybė švietimo įstaiga

vidutinis profesinį išsilavinimą

Tulos regionas

"Aleksino mechanikos inžinerijos koledžas"

Skaitmeninis

rinkiniai

Suprojektuotas

mokytojas

matematikai

Khristoforova M.Yu.

Skaičius - pagrindinė koncepcija , naudojama charakteristikos, palyginimai, ir jų dalys. Rašytiniai ženklai, žymintys skaičius, yra , ir matematinės .

Skaičiaus samprata atsirado senovėje iš praktinių žmonių poreikių ir vystėsi žmogaus vystymosi procese. Išplėtė žmogaus veiklos apimtys ir atitinkamai išaugo kiekybinio aprašymo ir tyrimų poreikis. Iš pradžių skaičiaus sampratą lėmė iškilę skaičiavimo ir matavimo poreikiai praktinė veikla asmuo tampa vis sudėtingesnis. Vėliau skaičius tampa pagrindine matematikos sąvoka, o šio mokslo poreikiai lemia tolimesnis vystymasši koncepcija.

Aibės, kurių elementai yra skaičiai, vadinamos skaitinėmis.

Skaičių rinkinių pavyzdžiai:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - natūraliųjų skaičių aibė;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - neneigiamų sveikųjų skaičių aibė;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - sveikųjų skaičių aibė;

Q=(m/n: m Z,n N) yra racionaliųjų skaičių aibė.

R realiųjų skaičių aibė.

Tarp šių rinkinių yra ryšys

N Zo Z K R.

Formos numeriaiN = (1, 2, 3, ....) yra vadinaminatūralus . Natūralūs skaičiai atsirado dėl būtinybės skaičiuoti objektus.

Bet koks , didesnis už vieną, gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių laipsnių sandauga ir vienintelis kelias iki veiksnių eilės. Pavyzdžiui, 121968=2 4 ·3 2 ·7 · 11 2

Jeigum, n, k - natūraliuosius skaičius, tada kadam - n = k jie tai sakom - minuend, n - subtrahend, k - skirtumas; adresum: n = k jie tai sakom - dividendas, n - daliklis, k - koeficientas, numerįm taip pat vadinamakartotiniai numeriain, ir numerįn – daliklis numeriaim, Jei numerism- skaičiaus kartotinisn, tada yra natūralusis skaičiusk, toks kadm = kn.

Iš skaičių, naudojant aritmetinius ženklus ir skliaustus, jie sudaromiskaitinės išraiškos. Jei nurodytus veiksmus atliksite skaitine išraiška, laikydamiesi priimtos tvarkos, gausite skambutįišraiškos vertė .

Aritmetinių operacijų tvarka: pirmiausia atliekami veiksmai skliausteliuose; Bet kokiuose skliausteliuose pirmiausia atliekama daugyba ir padalijimas, o tada sudėjimas ir atėmimas.

Jei natūralusis skaičiusm nėra dalijamasi iš natūraliojo skaičiausn, tie. Nėra tokio dalykonatūralusis skaičius k, Kąm = kn, tada jie svarstopadalijimas su liekana: m = np + r, Kurm - dividendas, n - daliklis (m>n), p - dalinys, r - priminimas .

Jei skaičius turi tik du daliklius (pats skaičius ir vienas), tada jis vadinamaspaprastas : jei skaičius turi daugiau nei du daliklius, tada jis vadinamassudėtinis.

Bet koks sudėtinis natūralusis skaičius gali būtifaktorizuoti , ir tik vienu būdu. Skaičiuodami skaičius į pirminius veiksnius, naudokitedalijimosi požymiai .

a Irb galima rastididžiausias bendras daliklis. Jis yra paskirtasD(a,b). Jei skaičiaia Irb yra tokieD(a,b) = 1, tada skaičiaia Irb yra vadinamiabipusiai paprastas.

Bet kokiems natūraliems skaičiamsa Irb galima rastimažiausias bendras kartotinis. Jis yra paskirtasK(a,b). Bet koks bendras skaičių kartotinisa Irb padalytąK(a,b).

Jei skaičiaia Irb santykinai svarbiausias , t.y.D(a,b) = 1, TaiK(a,b) = ab .

Formos numeriai:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) yra vadinami sveikieji skaičiai , tie. Sveikieji skaičiai yra natūralieji skaičiai, priešingi natūraliems skaičiams, ir skaičius 0.

Natūralūs skaičiai 1, 2, 3, 4, 5.... dar vadinami teigiamais sveikaisiais skaičiais. Skaičiai -1, -2, -3, -4, -5, ..., priešingi natūraliems skaičiams, vadinami neigiamais sveikaisiais skaičiais.

Reikšmingi skaičiai skaičius yra visi jo skaitmenys, išskyrus pirmuosius nulius.

Paeiliui pasikartojančių skaitmenų grupė po kablelio skaičiaus dešimtainėje žymėjime vadinamalaikotarpį, ir vadinama begalinė dešimtainė trupmena, turinti tokį taškąperiodiškai . Jei taškas prasideda iškart po kablelio, tada iškviečiama trupmenagrynas periodinis ; jei tarp kablelio ir taško yra kitų skaitmenų po kablelio, tada vadinama trupmenamišrus periodinis .

Vadinami skaičiai, kurie nėra sveikieji skaičiai ar trupmenosneracionalus .

Kiekvienas neracionalus skaičius vaizduojamas kaip neperiodinė begalinė dešimtainė trupmena.

Visų baigtinių ir begalinių dešimtainių trupmenų aibė vadinamadaug realūs skaičiai : racionalus ir neracionalus.

Realiųjų skaičių aibė R turi tokias savybes.

1. Ji išdėstyta taip: bet kokiems dviem skirtingiems skaičiams α ir b galioja vienas iš dviejų ryšių: a

2. Aibė R yra tanki: tarp bet kurių dviejų skirtingi skaičiai a ir b turi begalinę realiųjų skaičių x aibę, ty skaičių, tenkinančių nelygybę a<х

Taigi, jei a

(a 2a< A+bA+b<2b  2 A A<(a+b)/2

Tikrieji skaičiai gali būti pavaizduoti kaip taškai skaičių eilutėje. Norint apibrėžti skaičių tiesę, reikia pažymėti tiesėje tašką, kuris atitiks skaičių 0 – kilmę, o tada pasirinkti vieneto segmentą ir nurodyti teigiamą kryptį.

Kiekvienas koordinačių linijos taškas atitinka skaičių, kuris apibrėžiamas kaip atkarpos ilgis nuo pradžios iki atitinkamo taško, o matavimo vienetu laikomas vienetinis segmentas. Šis skaičius yra taško koordinatė. Jei taškas paimtas į dešinę nuo pradžios, tai jo koordinatė yra teigiama, o jei į kairę – neigiama. Pavyzdžiui, taškai O ir A turi atitinkamai 0 ir 2 koordinates, kurias galima užrašyti taip: 0(0), A(2).

Iš didžiulės įvairiausių rūšių rinkiniai Ypač įdomūs yra vadinamieji skaičių rinkiniai, tai yra aibės, kurių elementai yra skaičiai. Akivaizdu, kad norint patogiai su jais dirbti, reikia mokėti juos užsirašyti. Šį straipsnį pradėsime nuo skaitinių aibių užrašymo ir principų. Toliau pažiūrėkime, kaip skaitinės aibės vaizduojamos koordinačių tiesėje.

Puslapio naršymas.

Skaitinių aibių rašymas

Pradėkime nuo priimto užrašo. Kaip žinote, aibėms žymėti naudojamos lotyniškos abėcėlės didžiosios raidės. Skaitiniai rinkiniai, kaip ypatingas aibių atvejis, taip pat nurodomi. Pavyzdžiui, galime kalbėti apie skaičių aibes A, H, W ir kt. Ypatingą reikšmę turi natūraliųjų, sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų, kompleksinių skaičių ir tt aibės.

• N – visų natūraliųjų skaičių aibė;
• Z – sveikųjų skaičių aibė;
• Q – racionaliųjų skaičių aibė;
• J – iracionaliųjų skaičių aibė;
• R – realiųjų skaičių aibė;
• C yra kompleksinių skaičių aibė.

Iš čia aišku, kad rinkinio, kurį sudaro, pavyzdžiui, du skaičiai 5 ir –7, neturėtumėte žymėti kaip Q, šis žymėjimas bus klaidinantis, nes raidė Q paprastai žymi visų racionalių skaičių aibę. Norint pažymėti nurodytą skaičių rinkinį, geriau naudoti kokią nors kitą „neutralią“ raidę, pavyzdžiui, A.

Kadangi kalbame apie žymėjimą, čia taip pat prisiminkime tuščios aibės žymėjimą, tai yra aibės, kurioje nėra elementų. Jis žymimas ženklu ∅.

Taip pat prisiminkime, ar elementas priklauso aibei, ar nepriklauso. Norėdami tai padaryti, naudokite ženklus ∈ – priklauso ir ∉ – nepriklauso. Pavyzdžiui, žymėjimas 5∈N reiškia, kad skaičius 5 priklauso natūraliųjų skaičių aibei, o 5,7∉Z – dešimtainė trupmena 5,7 nepriklauso sveikųjų skaičių aibei.

Taip pat prisiminkime žymėjimą, priimtą įtraukiant vieną rinkinį į kitą. Aišku, kad visi aibės N elementai yra įtraukti į aibę Z, taigi skaičių aibė N įtraukta į Z, tai žymima N⊂Z. Taip pat galite naudoti žymėjimą Z⊃N, o tai reiškia, kad į visų sveikųjų skaičių aibę Z įtraukta aibė N. Neįtraukti ir neįtraukti santykiai atitinkamai pažymėti ⊄ ir . Taip pat vartojami ⊆ ir ⊇ formos negriežtieji įtraukimo ženklai, reiškiantys atitinkamai įtraukiami arba sutampa ir apima arba sutampa.

Mes kalbėjome apie žymėjimą, pereikime prie skaitinių aibių aprašymo. Šiuo atveju paliesime tik pagrindinius atvejus, kurie dažniausiai naudojami praktikoje.

Pradėkime nuo skaitinių aibių, kuriose yra baigtinis ir mažas elementų skaičius. Skaitines aibes, susidedančias iš baigtinio elementų skaičiaus, patogu apibūdinti išvardijant visus jų elementus. Visi skaičių elementai rašomi atskirti kableliais ir įterpiami į , o tai atitinka bendrą aibių aprašymo taisyklės. Pavyzdžiui, aibė, susidedanti iš trijų skaičių 0, -0,25 ir 4/7, gali būti apibūdinta kaip (0, -0,25, 4/7).

Kartais, kai skaitinės aibės elementų skaičius yra gana didelis, bet elementai paklūsta tam tikram modeliui, apibūdinimui naudojama elipsė. Pavyzdžiui, visų nelyginių skaičių nuo 3 iki 99 imtinai aibę galima parašyti kaip (3, 5, 7, ..., 99).

Taigi sklandžiai priėjome prie skaitinių aibių, kurių elementų skaičius yra begalinis, aprašymo. Kartais jas galima apibūdinti naudojant visas tas pačias elipses. Pavyzdžiui, apibūdinkime visų natūraliųjų skaičių aibę: N=(1, 2. 3, …) .

Jie taip pat naudoja skaitinių aibių aprašymą, nurodydami jo elementų savybes. Šiuo atveju naudojamas žymėjimas (x| savybės). Pavyzdžiui, žymėjimas (n| 8·n+3, n∈N) nurodo natūraliųjų skaičių aibę, kurią padalijus iš 8, lieka 3. Tą patį rinkinį galima apibūdinti kaip (11,19, 27, ...).

Ypatingais atvejais skaitinės aibės su begaliniu elementų skaičiumi yra žinomos aibės N, Z, R ir kt. arba skaičių intervalus. Iš esmės skaitinės aibės vaizduojamos kaip sąjunga juos sudarantys atskiri skaitiniai intervalai ir skaitinės aibės su baigtiniu elementų skaičiumi (apie kuriuos kalbėjome kiek aukščiau).

Parodykime pavyzdį. Tegul skaičių aibę sudaro skaičiai −10, −9, −8,56, 0, visi atkarpos [−5, −1,3] skaičiai ir atviros skaičių eilutės (7, +∞) skaičiai. Dėl aibių sąjungos apibrėžimo nurodyta skaitinė aibė gali būti užrašoma kaip {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Šis žymėjimas iš tikrųjų reiškia aibę, kurioje yra visi aibių elementai (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] ir (7, +∞).

Panašiai, derinant skirtingus skaičių intervalus ir atskirų skaičių aibes, galima aprašyti bet kurią skaičių rinkinį (sudarytą iš realių skaičių). Čia tampa aišku, kodėl buvo pradėti naudoti tokie skaitinių intervalų tipai kaip intervalas, pusintervalas, segmentas, atvirasis skaitinis spindulys ir skaitinis spindulys: visi jie kartu su atskirų skaičių aibių žymėjimais leidžia apibūdinti bet kokias skaitines aibes. jų sąjunga.

Atkreipkite dėmesį, kad rašant skaičių aibę, ją sudarantys skaičiai ir skaitiniai intervalai išdėstomi didėjančia tvarka. Tai nėra būtina, bet pageidautina sąlyga, nes sutvarkytą skaičių rinkinį lengviau įsivaizduoti ir pavaizduoti koordinačių tiesėje. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokiuose įrašuose nenaudojami skaitiniai intervalai su bendrais elementais, nes tokius įrašus galima pakeisti derinant skaitinius intervalus be bendrų elementų. Pavyzdžiui, skaitinių aibių su bendrais elementais [−10, 0] ir (−5, 3) sąjunga yra pusintervalas [−10, 3) . Tas pats pasakytina ir apie skaitinių intervalų su tais pačiais kraštiniais skaičiais sąjungą, pavyzdžiui, sąjunga (3, 5]∪(5, 7] yra aibė (3, 7]), apie tai pakalbėsime atskirai, kai išmoksime rasti skaičių aibių sankirtą ir sąjungą

Skaičių aibių vaizdavimas koordinačių tiesėje

Praktiškai patogu naudoti geometrinius skaitinių rinkinių vaizdus - jų atvaizdus. Pavyzdžiui, kada sprendžiant nelygybes, kuriame būtina atsižvelgti į ODZ, būtina pavaizduoti skaitines aibes, kad būtų galima rasti jų sankirtą ir (arba) jungtį. Taigi bus naudinga gerai suprasti visus skaičių aibių vaizdavimo koordinačių tiesėje niuansus.

Yra žinoma, kad tarp koordinačių linijos taškų ir realių skaičių yra vienas su vienu atitikimas, o tai reiškia, kad pati koordinačių linija yra visų realiųjų skaičių R aibės geometrinis modelis. Taigi, norėdami pavaizduoti visų realiųjų skaičių aibę, turite nubrėžti koordinačių liniją su šešėliu per visą jos ilgį:

Ir dažnai jie net nenurodo kilmės ir vieneto segmento:

Dabar pakalbėkime apie skaitinių aibių, kurios reiškia tam tikrą baigtinį skaičių atskirų skaičių, vaizdą. Pavyzdžiui, pavaizduokime skaičių aibę (-2, -0.5, 1.2) . Šios aibės geometrinis vaizdas, susidedantis iš trijų skaičių –2, –0,5 ir 1,2, bus trys koordinačių linijos taškai su atitinkamomis koordinatėmis:

Atkreipkite dėmesį, kad paprastai praktiniais tikslais nereikia tiksliai piešti. Dažnai pakanka scheminio brėžinio, o tai reiškia, kad šiuo atveju nereikia išlaikyti mastelio, svarbu tik išlaikyti santykinę taškų padėtį vienas kito atžvilgiu: bet kuris taškas su mažesne koordinate turi būti į kairėje nuo taško, kurio koordinatė yra didesnė. Ankstesnis brėžinys schematiškai atrodys taip:

Atskirai iš visų skaitinių aibių išskiriami skaitiniai intervalai (intervalai, pusintervalai, spinduliai ir kt.), kurie atvaizduoja jų geometrinius vaizdus, ​​juos detaliai išnagrinėjome skyriuje. Mes čia nesikartosime.

Ir belieka tik pasilikti ties skaitinių aibių, kurios yra kelių skaitinių intervalų ir aibių, susidedančių iš atskirų skaičių sąjunga, vaizdo. Čia nėra nieko sudėtingo: pagal sąjungos reikšmę šiais atvejais koordinačių tiesėje reikia pavaizduoti visus tam tikros skaitinės aibės aibės komponentus. Kaip pavyzdį parodykime skaičių rinkinio vaizdą (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Ir apsistokime prie gana dažnų atvejų, kai pavaizduota skaitinė aibė reiškia visą realiųjų skaičių aibę, išskyrus vieną ar kelis taškus. Tokie rinkiniai dažnai nurodomi tokiomis sąlygomis kaip x≠5 arba x≠−1, x≠2, x≠3,7 ir kt. Tokiais atvejais geometriškai jie vaizduoja visą koordinačių liniją, išskyrus atitinkamus taškus. Kitaip tariant, šiuos taškus reikia „ištraukti“ iš koordinačių linijos. Jie vaizduojami kaip apskritimai su tuščiu centru. Aiškumo dėlei pavaizduokime sąlygas atitinkančią skaičių rinkinį (šis rinkinys iš esmės egzistuoja):

Apibendrinti. Idealiu atveju informacija iš ankstesnių pastraipų sudarytų tokį patį skaičių rinkinių įrašymo ir vaizdavimo vaizdą, kaip ir atskirų skaitinių intervalų vaizdas: įrašant skaičių aibę, jos vaizdas turėtų būti nedelsiant pateiktas koordinačių linijoje, o iš vaizdo koordinačių liniją turėtume būti pasirengę lengvai apibūdinti atitinkamą skaičių aibę per atskirų intervalų ir aibių, susidedančių iš atskirų skaičių, sąjungą.

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. 2 dalyse 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Skaičius yra abstrakcija, naudojama objektams kiekybiškai įvertinti. Primityvioje visuomenėje skaičiai atsirado dėl žmonių poreikio skaičiuoti daiktus. Laikui bėgant, vystantis mokslui, skaičius tapo svarbiausia matematine sąvoka.

Norėdami išspręsti problemas ir įrodyti įvairias teoremas, turite suprasti, kokie yra skaičių tipai. Pagrindiniai skaičių tipai yra: natūralieji skaičiai, sveikieji skaičiai, racionalieji skaičiai, realieji skaičiai.

Sveikieji skaičiai- tai skaičiai, gauti natūraliai skaičiuojant objektus, tiksliau juos sunumeravus („pirmas“, „antras“, „trečias“...). Natūraliųjų skaičių rinkinys žymimas lotyniška raide N (galima prisiminti pagal anglišką žodį natural). Galima sakyti, kad N ={1,2,3,....}

Sveiki skaičiai- tai skaičiai iš aibės (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ši aibė susideda iš trijų dalių – natūraliųjų skaičių, neigiamų sveikųjų skaičių (natūraliųjų skaičių priešingybė) ir skaičiaus 0 (nulio). Sveikieji skaičiai žymimi lotyniška raide Z . Galima sakyti, kad Z ={1,2,3,....}.

Racionalūs numeriai yra skaičiai, pateikiami kaip trupmena, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Lotyniška raidė naudojama racionaliems skaičiams žymėti K . Visi natūralūs skaičiai ir sveikieji skaičiai yra racionalūs. Taip pat racionalių skaičių pavyzdžiai yra: ,,.

Realūs skaičiai- tai skaičiai, naudojami nuolatiniams dydžiams matuoti. Realiųjų skaičių aibė žymima lotyniška raide R. Realieji skaičiai apima racionalius ir neracionalius skaičius. Iracionalieji skaičiai – tai skaičiai, kurie gaunami atliekant įvairias operacijas su racionaliaisiais skaičiais (pvz., imant šaknis, skaičiuojant logaritmus), tačiau nėra racionalūs. Iracionaliųjų skaičių pavyzdžiai yra,,.

Bet koks tikrasis skaičius gali būti rodomas skaičių eilutėje:

Aukščiau išvardytų skaičių rinkinių atveju teisingas šis teiginys:

Tai yra, natūraliųjų skaičių aibė yra įtraukta į sveikųjų skaičių aibę. Sveikųjų skaičių aibė įtraukta į racionaliųjų skaičių aibę. O racionaliųjų skaičių aibė įeina į realiųjų skaičių aibę. Šį teiginį galima iliustruoti naudojant Eilerio apskritimus.

Sveikieji skaičiai

Skaičiuojant naudojami skaičiai vadinami natūraliaisiais skaičiais. Pavyzdžiui, $1,2,3$ ir t.t. Natūralūs skaičiai sudaro natūraliųjų skaičių rinkinį, kuris žymimas $N$. Šis pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio naturalis- natūralus.

Priešingi skaičiai

1 apibrėžimas

Jei du skaičiai skiriasi tik ženklais, jie vadinami matematikoje priešingi skaičiai.

Pavyzdžiui, skaičiai $5$ ir $-5$ yra priešingi skaičiai, nes Jie skiriasi tik ženklais.

1 pastaba

Bet kuriam skaičiui yra priešingas skaičius ir tik vienas.

Užrašas 2

Skaičius nulis yra priešingas pats sau.

Sveiki skaičiai

2 apibrėžimas

Visas skaičiai yra natūralieji skaičiai, jų priešingybės ir nulis.

Į sveikųjų skaičių aibę įeina natūraliųjų skaičių ir jų priešingybių aibė.

Pažymėkite sveikuosius skaičius $Z.$

Trupmeniniai skaičiai

Formos $\frac(m)(n)$ skaičiai vadinami trupmenomis arba trupmeniniais skaičiais. Trupmeninius skaičius galima rašyti ir dešimtaine forma, t.y. dešimtainių trupmenų pavidalu.

Pavyzdžiui: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ ir kt.

Kaip ir sveikieji skaičiai, trupmeniniai skaičiai gali būti teigiami arba neigiami.

Racionalūs numeriai

3 apibrėžimas

Racionalūs numeriai yra skaičių rinkinys, kuriame yra daug sveikųjų ir trupmeninių skaičių.

Bet koks racionalusis skaičius, tiek sveikasis, tiek trupmeninis skaičius, gali būti pavaizduotas kaip trupmena $\frac(a)(b)$, kur $a$ yra sveikas skaičius, o $b$ yra natūralusis skaičius.

Taigi tą patį racionalųjį skaičių galima parašyti įvairiais būdais.

Pavyzdžiui,

Tai rodo, kad bet kurį racionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip baigtinę dešimtainę trupmeną arba begalinę dešimtainę periodinę trupmeną.

Racionaliųjų skaičių aibė žymima $Q$.

Atlikus bet kokią aritmetinę operaciją su racionaliaisiais skaičiais, gautas atsakymas bus racionalus skaičius. Tai nesunkiai įrodoma dėl to, kad sudėjus, atimant, dauginant ir dalijant paprastąsias trupmenas, gaunama paprastoji trupmena

Neracionalūs skaičiai

Studijuojant matematikos kursą dažnai tenka susidurti su skaičiais, kurie nėra racionalūs.

Pavyzdžiui, norėdami patikrinti, ar egzistuoja ne racionalieji, o kitų skaičių rinkinys, išspręskime lygtį $x^2=6$. Šios lygties šaknys bus skaičiai $\surd 6$ ir -$\surd 6$. . Šie skaičiai nebus racionalūs.

Taip pat, kai randame kvadrato, kurio kraštinė yra $3$, įstrižainę, taikome Pitagoro teoremą ir nustatome, kad įstrižainė bus lygi $\surd 18$. Šis skaičius taip pat nėra racionalus.

Tokie skaičiai vadinami neracionalus.

Taigi neracionalusis skaičius yra begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena.

Vienas iš dažniausiai pasitaikančių neracionalių skaičių yra skaičius $\pi $

Atliekant aritmetinius veiksmus su neracionaliais skaičiais, gaunamas rezultatas gali būti racionalusis arba neracionalusis skaičius.

Įrodykime tai naudodami iracionaliųjų skaičių sandaugos radimo pavyzdį. Raskime:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Sprendimu

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6 $

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Šis pavyzdys rodo, kad rezultatas gali būti racionalus arba neracionalus skaičius.

Jei aritmetinėse operacijose tuo pačiu metu dalyvauja racionalieji ir neracionalieji skaičiai, tada rezultatas bus neracionalus skaičius (žinoma, išskyrus dauginimą iš 0 $).

Realūs skaičiai

Realiųjų skaičių aibė yra aibė, kurioje yra racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibė.

Realiųjų skaičių aibė žymima $R$. Simboliškai realiųjų skaičių aibė gali būti žymima $(-?;+?).$

Anksčiau sakėme, kad neracionalusis skaičius yra begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena, o bet koks racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip baigtinė dešimtainė trupmena arba begalinė dešimtainė periodinė trupmena, todėl bet kokia baigtinė ir begalinė dešimtainė trupmena bus tikrasis skaičius.

Atliekant algebrines operacijas, bus laikomasi šių taisyklių:

1. Dauginant ir dalijant teigiamus skaičius, gautas skaičius bus teigiamas
2. Dauginant ir dalijant neigiamus skaičius, gautas skaičius bus teigiamas
3. Dauginant ir dalijant neigiamus ir teigiamus skaičius, gautas skaičius bus neigiamas

Tikruosius skaičius taip pat galima palyginti tarpusavyje.

Matematinė analizė yra matematikos šaka, nagrinėjanti funkcijas, pagrįstas be galo mažos funkcijos idėja.

Pagrindinės matematinės analizės sąvokos yra kiekis, aibė, funkcija, be galo maža funkcija, riba, išvestinė, integralas.

Dydis Viskas, ką galima išmatuoti ir išreikšti skaičiais, vadinama.

Daug yra kai kurių elementų, kuriuos vienija koks nors bendras bruožas, rinkinys. Aibės elementai gali būti skaičiai, figūros, objektai, sąvokos ir kt.

Aibės žymimos didžiosiomis raidėmis, o rinkinio elementai – mažosiomis raidėmis. Rinkinių elementai įsegami į garbanotas petnešas.

Jei elementas x priklauso rinkiniui X, tada rašyk x∈X (∈ - priklauso).
Jei rinkinys A yra aibės B dalis, tada parašykite A ⊂ B (⊂ - yra).

Aibę galima apibrėžti vienu iš dviejų būdų: išvardijant ir naudojant apibrėžiančią ypatybę.

Pavyzdžiui, šie rinkiniai yra nurodyti išvardijant:

• A=(1,2,3,5,7) – skaičių rinkinys
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — kai kurių elementų rinkinys x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) — natūraliųjų skaičių aibė
• Z=(0,±1,±2,...,±n) — sveikųjų skaičių aibė

Iškviečiama aibė (-∞;+∞). skaičių eilutė, o bet kuris skaičius yra šios linijos taškas. Tegul a yra savavališkas skaičių linijos taškas, o δ yra teigiamas skaičius. Intervalas (a-δ; a+δ) vadinamas δ – taško a kaimynystė.

Aibė X yra apribota iš viršaus (iš apačios), jei yra toks skaičius c, kad bet kuriam x ∈ X galioja nelygybė x≤с (x≥c). Šiuo atveju vadinamas skaičius c viršutinis (apatinis) kraštas aibė X. Vadinama aibė, apribota ir aukščiau, ir žemiau ribotas. Mažiausias (didžiausias) iš viršutinių (apatinių) aibės paviršių vadinamas tikslus viršutinis (apatinis) kraštasšios daugybės.

Pagrindiniai skaičių rinkiniai

N	(1,2,3,...,n) Visų rinkinys
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Nustatyti sveikieji skaičiai. Sveikųjų skaičių aibė apima natūraliųjų skaičių aibę.
K	Krūva racionalūs numeriai. Be sveikųjų skaičių, yra ir trupmenos. Trupmena yra formos kur išraiška p- sveikasis skaičius, q- natūralus. Dešimtainės trupmenos taip pat gali būti parašytos kaip . Pavyzdžiui: 0,25 = 25/100 = 1/4. Sveikieji skaičiai taip pat gali būti parašyti kaip . Pavyzdžiui, trupmenos forma su vardikliu „vienas“: 2 = 2/1. Taigi bet kurį racionalųjį skaičių galima užrašyti kaip dešimtainę trupmeną – baigtinę arba be galo periodinę.
R	Daug kas realūs skaičiai. Iracionalieji skaičiai yra begalinės neperiodinės trupmenos. Jie apima: Kartu dvi aibės (racionalieji ir neracionalieji skaičiai) sudaro realiųjų (arba realiųjų) skaičių aibę.

Jei aibėje nėra vieno elemento, tada ji vadinama tuščias rinkinys ir yra įrašytas Ø .

Loginės simbolizmo elementai

Žymėjimas ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kiekintojas

Rašant matematines išraiškas dažnai naudojami kvantoriai.

Kiekintojas vadinamas loginiu simboliu, kuris kiekybiškai apibūdina po jo einančius elementus.

• ∀- bendras kvantorius, vartojamas vietoj žodžių „visiems“, „bet kam“.
• ∃- egzistavimo kvantorius, naudojamas vietoj žodžių „egzistuoja“, „yra prieinamas“. Taip pat naudojamas simbolių derinys ∃, kuris skaitomas taip, lyg būtų tik vienas.

Nustatyti operacijas

Du aibės A ir B yra lygios(A=B), jei jie susideda iš tų pačių elementų.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), tada A=B.

Pagal sąjungą (suma) aibės A ir B yra aibė A ∪ B, kurios elementai priklauso bent vienai iš šių aibių.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), tada A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Pagal sankryžą (produktas) aibės A ir B vadinamos aibe A ∩ B, kurios elementai priklauso ir aibei A, ir aibei B.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), tada A ∩ B = (2,4)

Pagal skirtumą Aibės A ir B vadinamos aibe AB, kurios elementai priklauso aibei A, bet nepriklauso aibei B.
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), tada AB = (1,2)

Simetrinis skirtumas aibės A ir B vadinamos aibe A Δ B, kuri yra aibių AB ir BA skirtumų sąjunga, tai yra A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Pavyzdžiui, jei A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), tai A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Aibinių operacijų savybės

Keičiamumo savybės

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Atitinkamas turtas

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Suskaičiuojami ir nesuskaičiuojami rinkiniai

Norint palyginti bet kurias dvi aibes A ir B, nustatoma jų elementų atitiktis.

Jei šis atitikimas yra vienas su vienu, tada rinkiniai vadinami lygiaverčiais arba vienodai galingais, A B arba B A.

1 pavyzdys

Taškų aibė ant kojos BC ir trikampio ABC hipotenuzė AC yra vienodos galios.