وظائف المتغير المركب.
التفريق بين وظائف المتغير المعقد.

تفتح هذه المقالة سلسلة من الدروس التي سأفكر فيها في المشكلات النموذجية المتعلقة بنظرية وظائف المتغير المعقد. لإتقان الأمثلة بنجاح ، يجب أن تكون لديك معرفة أساسية بالأرقام المركبة. من أجل توحيد المواد وتكرارها ، يكفي زيارة الصفحة. ستحتاج أيضًا إلى مهارات لتجدها مشتقات جزئية من الدرجة الثانية. ها هم ، هذه المشتقات الجزئية ... حتى الآن كنت مندهشًا بعض الشيء كم مرة تحدث ...

الموضوع الذي بدأنا في تحليله ليس صعبًا بشكل خاص ، وفي وظائف المتغير المعقد ، من حيث المبدأ ، كل شيء واضح ويمكن الوصول إليه. الشيء الرئيسي هو التمسك بالقاعدة الأساسية ، التي اشتقتها مني تجريبياً. واصل القراءة!

مفهوم دالة المتغير المعقد

أولاً ، لنحدد معرفتنا حول وظيفة المدرسة لمتغير واحد:

دالة لمتغير واحدهي قاعدة تتوافق بموجبها كل قيمة للمتغير المستقل (من مجال التعريف) مع قيمة واحدة فقط للوظيفة. بطبيعة الحال ، "س" و "ص" أرقام حقيقية.

في الحالة المعقدة ، يتم إعطاء الاعتماد الوظيفي بالمثل:

دالة أحادية القيمة لمتغير معقدهو حكم الجميع مدمجقيمة المتغير المستقل (من المجال) تتوافق مع واحد فقط شاملقيمة الوظيفة. من الناحية النظرية ، يتم أيضًا النظر في الوظائف متعددة القيم وبعض الأنواع الأخرى من الوظائف ، ولكن من أجل البساطة ، سأركز على تعريف واحد.

ما هي وظيفة المتغير المركب؟

الفرق الرئيسي هو أن الأرقام معقدة. أنا لا أكون ساخرًا. من مثل هذه الأسئلة ، غالبًا ما يقعون في ذهول ، في نهاية المقال سأروي قصة رائعة. في الدرس الأعداد المركبة للدمىاعتبرنا عددًا مركبًا في الصورة. منذ الآن أصبح الحرف "Z" عامل، ثم سنشير إليه على النحو التالي: ، في حين أن "x" و "y" يمكن أن تأخذ الأمر بشكل مختلف صالحقيم. بشكل تقريبي ، تعتمد وظيفة المتغير المعقد على المتغيرات والتي تأخذ القيم "المعتادة". من هذه الحقيقةالنقطة التالية تتبع منطقيًا:

يمكن كتابة وظيفة المتغير المعقد على النحو التالي:
، حيث و هما وظيفتان لاثنين صالحالمتغيرات.

الوظيفة تسمى جزء حقيقي المهام .
الوظيفة تسمى الجزء الخياليالمهام .

أي أن وظيفة المتغير المعقد تعتمد على وظيفتين حقيقيتين و. لتوضيح كل شيء أخيرًا ، دعنا نلقي نظرة على أمثلة عملية:

مثال 1

حل:المتغير المستقل "z" ، كما تتذكر ، مكتوب على النحو التالي:

(1) استبدلت بالوظيفة الأصلية.

(2) للمصطلح الأول ، تم استخدام معادلة الضرب المختصرة. في المصطلح ، تم فتح الأقواس.

(3) تربيع بعناية ، دون أن ننسى ذلك

(4) إعادة ترتيب المصطلحات: إعادة كتابة الشروط أولاً ، حيث لا توجد وحدة تخيلية(المجموعة الأولى) ، ثم المصطلحات ، حيث توجد (المجموعة الثانية). وتجدر الإشارة إلى أنه ليس من الضروري خلط الشروط و هذه المرحلةيمكن تخطي (فعل ذلك لفظيًا في الواقع).

(5) تؤخذ المجموعة الثانية من الأقواس.

نتيجة لذلك ، تم تمثيل وظيفتنا في النموذج

إجابة:
هو الجزء الحقيقي من الوظيفة.
هو الجزء التخيلي من الوظيفة.

ما هي هذه الوظائف؟ الوظائف الأكثر شيوعًا لمتغيرين ، والتي يمكن للمرء أن يجدها شائعة المشتقات الجزئية. بدون رحمة - سنجد. لكن بعد ذلك بقليل.

باختصار ، يمكن كتابة خوارزمية المشكلة التي تم حلها على النحو التالي: نستبدل الوظيفة الأصلية ، وننفذ التبسيط ونقسم كل المصطلحات إلى مجموعتين - بدون وحدة تخيلية (جزء حقيقي) ووحدة تخيلية (جزء تخيلي).

مثال 2

أوجد الجزء الحقيقي والخيالي من الدالة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". قبل أن ترمي نفسك في المعركة على متن الطائرة المعقدة مع لعبة الداما عارية ، دعني أقدم لك أهم نصيحة حول هذا الموضوع:

احرص!يجب أن تكون حذرًا ، بالطبع ، في كل مكان ، ولكن في الأعداد المركبة يجب أن تكون حذرًا أكثر من أي وقت مضى! تذكر أنه ، قم بتوسيع الأقواس بعناية ، ولا تفقد أي شيء. وفقًا لملاحظاتي ، فإن الخطأ الأكثر شيوعًا هو فقدان الإشارة. لا تتسرع!

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

الآن مكعب. باستخدام صيغة الضرب المختصرة ، نشتق:
.

تعتبر الصيغ ملائمة جدًا للاستخدام في الممارسة العملية ، حيث إنها تسرع عملية الحل بشكل كبير.

التفريق بين وظائف المتغير المعقد.

لدي خبران: جيد وسيئ. سأبدأ بواحد جيد. بالنسبة لدالة المتغير المعقد ، فإن قواعد التفاضل وجدول مشتقات الدوال الأولية صحيحة. وبالتالي ، يتم أخذ المشتق بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة دالة متغير حقيقي.

النبأ السيئ هو أنه بالنسبة للعديد من وظائف المتغير المعقد ، لا توجد مشتقة على الإطلاق ، وعليك معرفة قابل للتفاضلوظيفة أو أخرى. و "اكتشاف" كيف يشعر قلبك مرتبط بمشاكل إضافية.

ضع في اعتبارك دالة لمتغير معقد. لكي تكون هذه الوظيفة قابلة للتفاضل ، من الضروري والكافي أن:

1) ليكون هناك مشتقات جزئية من الدرجة الأولى. انسَ أمر هذه الرموز على الفور ، لأنه في نظرية وظيفة المتغير المعقد ، يتم استخدام نسخة أخرى من التدوين تقليديًا: .

2) القيام بما يسمى شروط كوشي ريمان:

فقط في هذه الحالة سوف يوجد المشتق!

مثال 3

حلتتحلل إلى ثلاث مراحل متتالية:

1) ابحث عن الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة. تم تحليل هذه المهمة في الأمثلة السابقة ، لذلك سأقوم بتدوينها دون تعليق:

منذ ذلك الحين:

هكذا:

هو الجزء التخيلي من الوظيفة.

سوف أتطرق إلى نقطة فنية أخرى: بأي ترتيبكتابة المصطلحات بأجزاء حقيقية وخيالية؟ نعم ، لا يهم في الأساس. على سبيل المثال ، يمكن كتابة الجزء الحقيقي على النحو التالي: ، والخيالية - مثل هذا:.

2) دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. هناك اثنان منهم.

لنبدأ بالتحقق من الشرط. نجد المشتقات الجزئية:

وبالتالي ، يتم استيفاء الشرط.

مما لا شك فيه أن الخبر السار هو أن المشتقات الجزئية غالبًا ما تكون بسيطة جدًا.

نتحقق من استيفاء الشرط الثاني:

اتضح نفس الشيء ، ولكن مع علامات معاكسة، وهذا هو الشرط مستوفى أيضًا.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان ، وبالتالي ، فإن الوظيفة قابلة للتفاضل.

3) أوجد مشتق التابع. المشتق أيضًا بسيط جدًا ويمكن العثور عليه من القواعد المعتادة:

تعتبر الوحدة التخيلية في التفاضل ثابتًا.

إجابة: - جزء حقيقي هو الجزء التخيلي.
تم استيفاء شروط كوشي ريمان.

هناك طريقتان أخريان للعثور على المشتق ، وهما بالطبع أقل استخدامًا ، لكن المعلومات ستكون مفيدة لفهم الدرس الثاني - كيف تجد وظيفة متغير معقد؟

يمكن إيجاد المشتق باستخدام الصيغة:

في هذه القضية:

هكذا

من الضروري حل المشكلة العكسية - في التعبير الناتج ، تحتاج إلى عزل. للقيام بذلك ، من الضروري من حيث المصطلحات وإخراج الأقواس:

الإجراء العكسي ، كما لاحظ الكثيرون ، أكثر صعوبة إلى حد ما في التنفيذ ، للتحقق من الأفضل دائمًا أخذ التعبير وعلى المسودة أو فتح الأقواس لفظيًا ، مع التأكد من أنها ستظهر تمامًا

صيغة المرآة لإيجاد المشتق:

في هذه الحالة: ، لهذا السبب:

مثال 4

حدد الجزأين الحقيقي والخيالي للدالة . تحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. إذا تم استيفاء شروط كوشي-ريمان ، فأوجد مشتق الدالة.

حل سريعوعينة تقريبية للانتهاء في نهاية الدرس.

هل شروط كوشي - ريمان مرضية دائمًا؟ من الناحية النظرية ، لا يتم الوفاء بها في كثير من الأحيان مما هي عليه. لكن في الأمثلة العملية ، لا أتذكر حالة لم يتم فيها تنفيذها =) وبالتالي ، إذا كانت مشتقاتك الجزئية "لم تتقارب" ، فعندئذٍ مع وجود احتمال كبير جدًا يمكننا القول أنك ارتكبت خطأ في مكان ما.

دعنا نعقد وظائفنا:

مثال 5

حدد الجزأين الحقيقي والخيالي للدالة . تحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. احسب

حل:تم الحفاظ على خوارزمية الحل تمامًا ، ولكن في النهاية تمت إضافة بدعة جديدة: إيجاد المشتق عند نقطة ما. بالنسبة للمكعب ، تم بالفعل اشتقاق الصيغة المطلوبة:

دعنا نحدد الأجزاء الحقيقية والخيالية لهذه الوظيفة:

الاهتمام والاهتمام مرة أخرى!

منذ ذلك الحين:


هكذا:
هو الجزء الحقيقي من الوظيفة ؛
هو الجزء التخيلي من الوظيفة.

التحقق من الشرط الثاني:

لقد اتضح نفس الشيء ، ولكن مع وجود علامات معاكسة ، أي أن الشرط قد تم الوفاء به أيضًا.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان ، وبالتالي ، فإن الوظيفة قابلة للتفاضل:

احسب قيمة المشتق عند النقطة المطلوبة:

إجابة:، شروط كوشي-ريمان راضية ،

الدوال مع المكعبات شائعة ، لذلك مثال للتوحيد:

مثال 6

حدد الجزأين الحقيقي والخيالي للدالة . تحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. احسب.

القرار وعينة التشطيب في نهاية الدرس.

في نظرية التحليل المعقد ، يتم أيضًا تعريف الوظائف الأخرى للحجة المعقدة: الأسي ، الجيب ، جيب التمام ، إلخ. هذه الوظائف لها خصائص غير عادية وحتى غريبة - وهي مثيرة للاهتمام حقًا! أريد حقًا أن أخبركم ، ولكن هنا ، حدث هذا تمامًا ، ليس كتابًا مرجعيًا أو كتابًا دراسيًا ، ولكن حلًا ، لذلك سأفكر في نفس المهمة مع بعض الوظائف المشتركة.

أولا حول ما يسمى ب صيغ أويلر:

لأي احد صالحالأرقام ، الصيغ التالية صالحة:

يمكنك أيضًا نسخه في دفتر ملاحظاتك كمرجع.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، هناك صيغة واحدة فقط ، ولكن عادة ما يكتبون أيضًا للراحة حالة خاصةبمؤشر سالب. لا يجب أن تكون المعلمة حرفًا واحدًا ، يمكن أن تكون تعبيرًا معقدًا ، وظيفة ، من المهم فقط أن تأخذها صالحة فقطقيم. في الواقع ، سنراه الآن:

مثال 7

أوجد المشتق.

حل:يظل الخط العام للحزب ثابتًا - من الضروري تحديد الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة. سأقدم حلاً مفصلاً ، وأعلق على كل خطوة أدناه:

منذ ذلك الحين:

(1) استبدل بـ "z".

(2) بعد الاستبدال ، من الضروري فصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية الأول في الأسالعارضين. للقيام بذلك ، افتح الأقواس.

(3) نقوم بتجميع الجزء التخيلي من المؤشر ، ووضع الوحدة التخيلية خارج الأقواس.

(4) استخدام العمل المدرسي مع السلطات.

(5) بالنسبة للمضاعف ، نستخدم صيغة أويلر ، بينما.

(6) نفتح الأقواس نتيجة لذلك:

هو الجزء الحقيقي من الوظيفة ؛
هو الجزء التخيلي من الوظيفة.

إجراءات أخرى قياسية ، دعنا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

المثال 9

حدد الجزأين الحقيقي والخيالي للدالة . تحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. فليكن ، فلن نجد المشتقة.

حل:تشبه خوارزمية الحل إلى حد كبير المثالين السابقين ، ولكن هناك الكثير نقاط مهمة، لذلك سأعلق مرة أخرى على المرحلة الأولية خطوة بخطوة:

منذ ذلك الحين:

1) نستبدل بـ "z".

(2) أولاً ، حدد الأجزاء الحقيقية والخيالية داخل الجيوب الأنفية. لهذا الغرض ، افتح الأقواس.

(3) نستخدم الصيغة ، بينما .

(4) الاستخدام التكافؤ في جيب التمام الزائدي: و غرابة الجيب الزائدية:. الزائدية ، على الرغم من أنها ليست من هذا العالم ، ولكن من نواح كثيرة تشبه الدوال المثلثية المتشابهة.

مؤخراً:
هو الجزء الحقيقي من الوظيفة ؛
هو الجزء التخيلي من الوظيفة.

انتباه!تشير علامة الطرح إلى الجزء الخيالي ، ولا يجب أن نفقده بأي حال من الأحوال! ل التوضيح المرئييمكن إعادة كتابة النتيجة أعلاه على النحو التالي:

دعنا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

إجابة:، ، شروط كوشي-ريمان راضية.

مع جيب التمام ، سيداتي وسادتي ، نفهم بأنفسنا:

المثال 10

حدد الجزأين الحقيقي والخيالي للدالة. تحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان.

اخترت عمدًا أمثلة أكثر تعقيدًا ، لأن كل شخص يمكنه التعامل مع شيء مثل الفول السوداني المقشر. في نفس الوقت ، درب انتباهك! كسارة البندق في نهاية الدرس.

حسنًا ، في الختام ، سأفكر في واحدة أخرى مثال مثير للاهتمامعندما تكون الحجة المركبة في المقام. التقينا عدة مرات في الممارسة العملية ، دعونا نحلل شيئًا بسيطًا. أوه ، أنا أتقدم في السن ...

المثال 11

حدد الجزأين الحقيقي والخيالي للدالة. تحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان.

حل:مرة أخرى ، من الضروري فصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية للوظيفة.
اذا ثم

السؤال الذي يطرح نفسه ، ماذا تفعل عندما يكون "Z" في المقام؟

كل شيء بسيط - المعيار سيساعد طريقة ضرب البسط والمقام بالتعبير المترافق، فقد تم استخدامه بالفعل في أمثلة الدرس الأعداد المركبة للدمى. دعونا نتذكر صيغة المدرسة. لدينا في المقام بالفعل ، لذا سيكون المقدار المرافق. وبالتالي ، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في: