Pereinant šias nelygybes į ribą ties Δ x→ 0 ir atsižvelgiant į tai, kad išvestinė f "(x 0) egzistuoja, todėl riba kairėje nepriklauso nuo to, kaip Δ x→ 0, gauname: ties Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 a ties Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Kadangi f"(x 0) apibrėžia skaičių, tada šios dvi nelygybės yra suderinamos tik jei f"(x 0) = 0.

Įrodyta teorema teigia, kad didžiausią ir mažiausią tašką galima rasti tik tarp tų argumento reikšmių, kuriose išvestinė tampa lygi nuliu.

Mes nagrinėjome atvejį, kai funkcija turi išvestinę visuose tam tikros atkarpos taškuose. Kokia situacija yra tais atvejais, kai išvestinė priemonė neegzistuoja? Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Pavyzdžiai.

1. y=|x|.

   Funkcija taške neturi išvestinės x=0 (šiuo taške funkcijos grafikas neturi apibrėžtos liestinės), tačiau šioje vietoje funkcija turi minimumą, nes y(0) = 0 ir visiems x≠ 0y > 0.



Funkcija neturi išvestinės at x=0, nes jis eina į begalybę ties x=0. Tačiau šiuo metu funkcija turi maksimumą.



Funkcija neturi išvestinės at x=0, nuo adresu x→0. Šiuo metu funkcija neturi nei maksimumo, nei minimumo. tikrai, f(x)=0 ir at x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.



Taigi iš pateiktų pavyzdžių ir suformuluotos teoremos aišku, kad funkcija ekstremumą gali turėti tik dviem atvejais: 1) taškuose, kur išvestinė egzistuoja ir lygi nuliui; 2) taške, kur darinys neegzistuoja.

Tačiau jei tam tikru momentu x 0 mes tai žinome f "(x 0 ) =0, tada iš to negalima daryti išvados, kad taške x 0 funkcija turi ekstremumą.

Pavyzdžiui. .



Bet laikotarpis x=0 nėra ekstremumo taškas, nes šio taško kairėje funkcijos reikšmės yra žemiau ašies Jautis, o viršuje dešinėje.

Argumento reikšmės iš funkcijos srities, kurioje funkcijos išvestinė išnyksta arba neegzistuoja, vadinamos kritinius taškus.




Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad funkcijos ekstremalūs taškai yra tarp kritinių taškų, tačiau ne kiekvienas kritinis taškas yra ekstremumo taškas. Todėl, norėdami rasti funkcijos ekstremumą, turite rasti visus svarbiausius funkcijos taškus, o tada kiekvieną iš šių taškų atskirai išnagrinėti, kad būtų nustatytas maksimalus ir minimumas. Šiam tikslui pasitarnauja sekanti teorema.

2 teorema. (Pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti.) Tegul funkcija yra ištisinė tam tikrame intervale, kuriame yra kritinis taškas x 0, ir yra diferencijuojamas visuose šio intervalo taškuose (išskyrus, galbūt, patį tašką x 0). Jei, judant iš kairės į dešinę per šį tašką, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai taške x = x 0 funkcija turi maksimumą. Jei, pravažiuojant x 0 iš kairės į dešinę, išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, tada funkcija šiuo metu turi minimumą.

Taigi, jei

Įrodymas. Pirmiausia manykime, kad pravažiuojant x 0 išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, t.y. visų akivaizdoje x, arti taško x 0 f "(x)> 0 už x< x 0 , f "(x)< 0 už x>x 0 . Skirtumui pritaikykime Lagranžo teoremą f(x) – f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kur c yra tarp x Ir x 0 .

1. Leiskite x< x 0 . Tada c< x 0 ir f "(c)> 0. Štai kodėl f "(c)(x-x 0)< 0 ir todėl

   f(x) – f(x 0 )< 0, t.y. f(x)< f(x 0 ).

2. Leiskite x > x 0 . Tada c>x 0 ir f "(c)< 0. Reiškia f "(c)(x-x 0)< 0. Štai kodėl f(x) – f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Taigi visoms vertybėms x pakankamai arti x 0 f(x)< f(x 0 ) . Ir tai reiškia, kad taške x 0 funkcija turi maksimumą.

Antroji minimalios teoremos dalis įrodyta panašiai.



Iliustruojame šios teoremos reikšmę paveiksle. Leiskite f "(x 1 ) =0 ir bet kuriai x, pakankamai arti x 1, nelygybės tenkinamos

f "(x)< 0 val x< x 1 , f "(x)> 0 val x>x 1 .

Tada į kairę nuo taško x 1 funkcija dešinėje didėja ir mažėja, todėl kai x = x 1 funkcija pereina nuo didėjančios prie mažėjančios, tai yra, ji turi maksimumą.

Panašiai galime apsvarstyti taškus x 2 ir x 3 .


Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti schematiškai pavaizduota paveikslėlyje:

Ekstremumo funkcijos y=f(x) tyrimo taisyklė

1. Raskite funkcijos sritį f(x).
2. Raskite pirmąją funkcijos išvestinę f "(x).
3. Nustatykite kritinius taškus:
   1. rasti tikrąsias lygties šaknis f "(x)=0;
   2. rasti visas vertybes x kuriam išvestinė f "(x) neegzistuoja.
4. Nustatykite išvestinės kritinio taško kairėje ir dešinėje ženklą. Kadangi išvestinės ženklas išlieka pastovus tarp dviejų kritinių taškų, pakanka nustatyti išvestinės ženklą viename taške į kairę ir vienu tašku į dešinę nuo kritinio taško.
5. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ekstremaliuose taškuose.

Pavyzdžiai. Ištirkite minimalias ir maksimalias funkcijas.




DIDŽIAUSIOS IR MAŽIAUSIOS FUNKCIJOS segmente VERTĖS

Didžiausias funkcijos reikšmė intervale yra didžiausia iš visų jos verčių šiame intervale ir mažiausias– pati mažiausia iš visų savo vertybių.

Apsvarstykite funkciją Tegul funkcija ištisinis segmente [ a, b]. Kaip žinoma, tokia funkcija pasiekia didžiausias ir minimalias reikšmes arba ties atkarpos riba, arba jos viduje. Jei didžiausia arba mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama vidiniame atkarpos taške, tai ši reikšmė yra maksimali arba mažiausia funkcijos, tai yra, ji pasiekiama kritiniuose taškuose.

Taigi gauname štai ką taisyklė, kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente[ a, b] :

1. Raskite visus kritinius funkcijos taškus intervale ( a, b) ir apskaičiuokite funkcijų reikšmes šiuose taškuose.
2. Apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose, kai x = a, x = b.
3. Iš visų gautų verčių pasirinkite didžiausią ir mažiausią.

Funkcijos padidėjimas, sumažėjimas ir ekstremumai

Funkcijos didėjimo, mažėjimo ir ekstremalių intervalų nustatymas yra ir savarankiška užduotis, ir esminė kitų užduočių dalis, ypač pilnas funkcijų tyrimas. Pateikiama pradinė informacija apie funkcijos padidėjimą, sumažėjimą ir kraštutinumus teorinis skyrius apie išvestinę, kurią labai rekomenduoju išankstiniam tyrimui (arba kartojimas)– taip pat dėl ​​to, kad ši medžiaga yra pagrįsta pačia iš esmės išvestinė, yra harmoningas šio straipsnio tęsinys. Nors, jei laiko mažai, galima ir grynai formaliai praktikuoti pavyzdžius iš šios dienos pamokos.

Ir šiandien ore tvyro reto vieningumo dvasia, ir aš tiesiogiai jaučiu, kad visi esantys dega noru išmokti tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę. Todėl jūsų monitoriaus ekranuose iš karto atsiranda protinga, gera, amžina terminija.

Už ką? Viena iš priežasčių yra pati praktiškiausia: kad būtų aišku, ko iš jūsų paprastai reikalaujama atliekant tam tikrą užduotį!

Funkcijos monotoniškumas. Funkcijos ekstremumai ir ekstremumai

Panagrinėkime kai kurias funkcijas. Paprasčiau tariant, manome, kad ji tęstinis visoje skaičių eilutėje:

Tik tuo atveju iš karto atsikratykime galimų iliuzijų, ypač tiems skaitytojams, kurie neseniai susipažino funkcijos pastovaus ženklo intervalai. Dabar mes NEĮdomu, kaip funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu (viršuje, apačioje, kur ašis susikerta). Kad įtikintumėte, mintyse ištrinkite ašis ir palikite vieną grafiką. Nes čia ir slypi susidomėjimas.

Funkcija didėja intervale, jei bet kuriuose dviejuose šio intervalo taškuose, sujungtuose santykiu , nelygybė yra teisinga. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“. Per laikotarpį demonstravimo funkcija auga.

Taip pat ir funkcija mažėja apie intervalą, jei bet kurių dviejų taškų tam tikro intervalo toks, kad , Nelygybė yra tiesa. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš viršaus į apačią“. Mūsų funkcija mažėja intervalais .

Jei funkcija didėja arba mažėja per intervalą, tada ji vadinama griežtai monotoniškasšiuo intervalu. Kas yra monotonija? Supraskite tai pažodžiui – monotonija.

Taip pat galite apibrėžti nemažėjantis funkcija (atsipalaidavusi būsena pirmajame apibrėžime) ir nedidėjantis funkcija (suminkštinta sąlyga 2-oje apibrėžime). Nemažėjanti arba nedidėjanti intervalo funkcija vadinama monotonine tam tikro intervalo funkcija (griežtas monotoniškumas yra ypatingas „paprasčiausio“ monotoniškumo atvejis).

Teorija taip pat svarsto kitus funkcijos padidėjimo/sumažėjimo nustatymo būdus, įskaitant pusintervalus, segmentus, tačiau kad nepiltume ant galvos aliejus-alyva-alyva, sutiksime operuoti atvirais intervalais su kategoriškais apibrėžimais. - tai yra aiškiau ir gana daug praktinių problemų išspręsti.

Taigi, mano straipsniuose formuluotė „funkcijos monotoniškumas“ beveik visada bus paslėpta intervalais griežta monotonija(griežtai didėjanti arba griežtai mažėjanti funkcija).

Taško kaimynystė. Žodžiai, po kurių mokiniai bėga kur tik gali ir iš siaubo slepiasi kampuose. ...Nors po įrašo Cauchy ribos Tikriausiai jie jau nebeslepia, o tik šiek tiek dreba =) Nesijaudink, dabar nebus matematinės analizės teoremų įrodymų – reikėjo aplinkos, kad apibrėžimai būtų griežčiau suformuluoti ekstremalūs taškai. Prisiminkime:

Taško kaimynystė vadinamas intervalas, kuriame yra duotas taškas, o patogumo dėlei intervalas dažnai laikomas simetrišku. Pavyzdžiui, taškas ir jo standartinė kaimynystė:

Tiesą sakant, apibrėžimai:

Taškas vadinamas griežtas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Mūsų konkrečiame pavyzdyje tai yra taškas.

Taškas vadinamas griežtas minimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Brėžinyje yra taškas „a“.

Pastaba : kaimynystės simetrijos reikalavimas visai nebūtinas. Be to, svarbu pats egzistavimo faktas kaimynystė (maža ar mikroskopinė), atitinkanti nurodytas sąlygas

Taškai vadinami griežtai ekstremalūs taškai arba tiesiog ekstremalūs taškai funkcijas. Tai yra apibendrintas maksimalaus ir minimalaus balo terminas.

Kaip suprantame žodį „ekstremalus“? Taip, taip pat tiesiogiai kaip monotonija. Ekstremalūs kalnelių taškai.

Kaip ir monotoniškumo atveju, laisvi postulatai egzistuoja ir teoriškai yra dar labiau paplitę (kurios, žinoma, patenka į griežtus atvejus!):

Taškas vadinamas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiems
Taškas vadinamas minimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiemsšios kaimynystės vertybes, nelygybė galioja.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal paskutinius du apibrėžimus bet kuris pastovios funkcijos taškas (arba funkcijos „plokščia atkarpa“) laikomas ir maksimaliu, ir mažiausiu tašku! Funkcija, beje, yra ir nedidinanti, ir nemažinanti, tai yra monotoniška. Tačiau šiuos svarstymus paliksime teoretikams, nes praktiškai beveik visada kontempliuojame tradicines „kalvas“ ir „daubas“ (žr. brėžinį) su unikaliu „kalno karaliumi“ arba „pelkės princese“. Kaip įvairovė pasitaiko patarimas, nukreiptas aukštyn arba žemyn, pavyzdžiui, funkcijos minimumas taške.

O, o kalbant apie honorarą:
– vadinasi prasmė maksimalus funkcijos;
– vadinasi prasmė minimumas funkcijas.

Bendras pavadinimas - kraštutinumai funkcijas.

Būkite atsargūs su savo žodžiais!

Ekstremalūs taškai– tai yra „X“ reikšmės.
Kraštutinumai– „žaidimo“ reikšmės.

! Pastaba : kartais išvardyti terminai nurodo „X-Y“ taškus, kurie yra tiesiogiai PATSIOS funkcijos GRAFĖJE.

Kiek ekstremalių gali turėti funkcija?

Nėra, 1, 2, 3 ir tt ad begalybės. Pavyzdžiui, sinusas turi be galo daug minimumų ir maksimumų.

SVARBU! Terminas „maksimali funkcija“ ne tapatus terminas „didžiausia funkcijos reikšmė“. Nesunku pastebėti, kad vertė yra maksimali tik vietiniame rajone, o viršuje kairėje yra „šaltesni bendražygiai“. Taip pat „funkcijos minimumas“ nėra tas pats, kas „minimali funkcijos reikšmė“, o brėžinyje matome, kad reikšmė yra minimali tik tam tikroje srityje. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinami ekstremumo taškai vietiniai ekstremumo taškai o ekstremumai – vietiniai kraštutinumai. Jie vaikšto ir klaidžioja netoliese ir globalus broliai. Taigi, bet kuri parabolė turi savo viršūnę pasaulinis minimumas arba pasaulinis maksimumas. Be to, aš neskirsiu kraštutinumų tipų, o paaiškinimas išsakomas labiau bendrais ugdymo tikslais - papildomi būdvardžiai „vietinis“ / „pasaulinis“ neturėtų jus nustebinti.

Apibendrinkime trumpą teorijos apžvalgą bandomuoju šūviu: ką reiškia užduotis „rasti funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremalumo taškus“?

Formuluotė skatina jus rasti:

– didėjančios/mažėjančios funkcijos intervalai (nemažėjanti, nedidėjanti atsiranda daug rečiau);

– maksimalus ir (arba) minimalus balas (jei yra). Na, o kad nepasisektų, geriau susirasti minimumus/maksimumus patiems ;-)

Kaip visa tai nustatyti? Naudojant išvestinę funkciją!

Kaip rasti didėjimo, mažėjimo intervalus,
funkcijos ekstremumai ir ekstremumai?

Iš tikrųjų daugelis taisyklių jau žinomos ir suprantamos pamoka apie vedinio reikšmę.

Tangentinė išvestinė atneša linksmų naujienų, kad funkcija vis didėja apibrėžimo sritis.

Su kotangentu ir jo išvestine situacija yra visiškai priešinga.

Arsinusas didėja per intervalą - išvestinė čia yra teigiama: .
Kai funkcija apibrėžta, bet nediferencijuojama. Tačiau kritiniame taške yra dešinioji išvestinė ir dešinioji liestinė, o kitame krašte yra jų kairiarankiai atitikmenys.

Manau, jums nebus sunku atlikti panašius argumentus dėl lanko kosinuso ir jo išvestinės.

Visi pirmiau minėti atvejai, kurių daugelis yra lentelės vediniai, primenu, sekite tiesiai iš išvestiniai apibrėžimai.

Kodėl tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę?

Norėdami geriau suprasti, kaip atrodo šios funkcijos grafikas: kur eina „iš apačios į viršų“, kur „iš viršaus žemyn“, kur pasiekia minimumus ir maksimumus (jei išvis pasiekia). Ne visos funkcijos yra tokios paprastos – daugeliu atvejų mes visai neįsivaizduojame apie konkrečios funkcijos grafiką.

Atėjo laikas pereiti prie prasmingesnių pavyzdžių ir apsvarstyti funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalų paieškos algoritmas:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos padidėjimo/sumažėjimo intervalus ir kraštutinumus

Sprendimas:

1) Pirmas žingsnis yra rasti funkcijos sritis, taip pat atkreipkite dėmesį į lūžio taškus (jei jie yra). Šiuo atveju funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje ir šis veiksmas tam tikru mastu yra formalus. Tačiau daugeliu atvejų čia įsiplieskia rimtos aistros, todėl vertinkime pastraipą be panieka.

2) Antrasis algoritmo taškas yra dėl

būtina ekstremumo sąlyga:

Jei taške yra ekstremumas, tada reikšmė arba neegzistuoja.

Supainioti dėl pabaigos? „X modulio“ funkcijos ekstremumas .

Sąlyga būtina, bet neužtenka, ir atvirkščiai ne visada tiesa. Taigi iš lygybės dar neišplaukia, kad funkcija taške pasiekia maksimumą ar minimumą. Klasikinis pavyzdys jau buvo pabrėžtas aukščiau - tai kubinė parabolė ir jos kritinis taškas.

Bet kaip ten bebūtų, būtina ekstremumo sąlyga diktuoja poreikį rasti įtartinus taškus. Norėdami tai padaryti, raskite išvestinę ir išspręskite lygtį:

Pirmojo straipsnio pradžioje apie funkcijų grafikus Aš jums pasakiau, kaip greitai sukurti parabolę naudojant pavyzdį : „...paimame pirmąją išvestinę ir prilyginame ją nuliui: ...Taigi, mūsų lygties sprendimas: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė...“. Dabar, manau, visi supranta, kodėl parabolės viršūnė yra būtent šiame taške =) Apskritai čia reikėtų pradėti nuo panašaus pavyzdžio, bet jis per paprastas (net arbatinukui). Be to, pačioje pamokos pabaigoje yra analogas apie funkcijos išvestinė. Todėl padidinkime laipsnį:

2 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalus

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir apytikslis galutinis problemos pavyzdys pamokos pabaigoje.

Atėjo ilgai lauktas susitikimo su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis momentas:

3 pavyzdys

Išnagrinėkite funkciją naudodami pirmąją išvestinę

Atkreipkite dėmesį, kaip įvairiai tą pačią užduotį galima suformuluoti iš naujo.

Sprendimas:

1) Funkcija taškuose patiria begalinius netolydumus.

2) Mes nustatome kritinius taškus. Raskime pirmąją išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

Išspręskime lygtį. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis yra nulis:

Taigi gauname tris svarbius taškus:

3) Nubraižome VISUS aptiktus taškus skaičių tiesėje ir intervalo metodas mes apibrėžiame IŠVEDINĖS požymius:

Primenu, kad reikia paimti tam tikrą intervalo tašką ir jame apskaičiuoti išvestinės vertę ir nustatyti jo ženklą. Pelningiau net neskaičiuoti, o „įvertinti“ žodžiu. Paimkime, pavyzdžiui, tašką, priklausantį intervalui, ir atliksime keitimą: .

Du „pliusai“ ir vienas „minusas“ suteikia „minusą“, vadinasi, išvestinė yra neigiama per visą intervalą.

Veiksmas, kaip suprantate, turi būti atliktas kiekvienam iš šešių intervalų. Beje, atkreipkite dėmesį, kad skaitiklio koeficientas ir vardiklis yra griežtai teigiami bet kuriame bet kurio intervalo taške, o tai labai supaprastina užduotį.

Taigi, išvestinė mums pasakė, kad PATI FUNKCIJA padidėja ir sumažėja . To paties tipo intervalus patogu sujungti sujungimo piktograma.

Kai funkcija pasiekia maksimumą:
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą:

Pagalvokite, kodėl jums nereikia perskaičiuoti antrosios vertės ;-)

Einant per tašką, išvestinė ženklo nekeičia, todėl funkcija ten NE EKSTREMUMO - ir sumažėjo, ir liko mažėjanti.

! Pakartokime svarbų dalyką: taškai nelaikomi kritiniais – juose yra funkcija neapibrėžtas. Atitinkamai, čia Iš principo negali būti kraštutinumų(net jei išvestinė keičia ženklą).

Atsakymas: funkcija padidėja ir mažėja Kai pasiekiamas funkcijos maksimumas: , o taške – minimumas: .

Žinios apie monotoniškumo intervalus ir ekstremumus, kartu su nustatytais asimptotų jau suteikia labai gerą supratimą apie funkcijų grafiko išvaizdą. Vidutinio pasirengimo žmogus gali žodžiu nustatyti, kad funkcijos grafikas turi du vertikalius asimptotus ir įstrižą asimptotą. Štai mūsų herojus:

Pabandykite dar kartą susieti tyrimo rezultatus su šios funkcijos grafiku.
Kritiniame taške ekstremumo nėra, bet yra vingio taškas(kas, kaip taisyklė, nutinka panašiais atvejais).

4 pavyzdys

Raskite funkcijos kraštutinumą

5 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus, maksimumus ir minimumus

...tai beveik kaip kokia „X kube“ šventė šiandien...
Soooo, kas galerijoje už tai pasiūlė išgerti? =)

Kiekviena užduotis turi savo esminius niuansus ir technines subtilybes, kurios pakomentuojamos pamokos pabaigoje.

Funkcijos, visai nebūtina žinoti apie pirmojo ir antrojo darinių buvimą ir suprasti jų fizinę reikšmę. Pirmiausia turite suprasti šiuos dalykus:

• funkcijos ekstremumai padidina arba, atvirkščiai, sumažina funkcijos reikšmę savavališkai mažoje kaimynystėje;
• Ekstremaliame taške neturėtų būti funkcijos nutrūkimų.

O dabar tas pats, tik paprasta kalba. Pažiūrėkite į tušinuko galiuką. Jei rašiklis pastatytas vertikaliai, rašomasis galas į viršų, tada pats rutulio vidurys bus ekstremumas – aukščiausias taškas. Šiuo atveju kalbame apie maksimumą. Dabar, jei pasuksi rašiklį rašymo galu žemyn, tada rutulio viduryje jau bus minimali funkcija. Naudodami čia pateiktą paveikslą, galite įsivaizduoti išvardytas raštinės reikmenų pieštuko manipuliacijas. Taigi funkcijos ekstremumai visada yra kritiniai taškai: jos maksimumas arba minimumas. Gretima grafiko atkarpa gali būti kiek norima aštri arba lygi, tačiau ji turi egzistuoti iš abiejų pusių, tik šiuo atveju taškas yra ekstremumas. Jei grafikas yra tik vienoje pusėje, šis taškas nebus ekstremumas, net jei vienoje pusėje bus įvykdytos ekstremumo sąlygos. Dabar panagrinėkime funkcijos kraštutinumus moksliniu požiūriu. Kad taškas būtų laikomas ekstremumu, būtina ir pakanka, kad:

• pirmoji išvestinė taške buvo lygi nuliui arba neegzistavo;
• pirmasis vedinys šioje vietoje pakeitė savo ženklą.

Sąlyga aiškinama šiek tiek kitaip aukštesnės eilės išvestinių požiūriu: funkcijai, kuri yra diferencijuojama taške, pakanka, kad būtų nelyginės eilės išvestinė, kuri nėra lygi nuliui, o visos žemesnės eilės išvestinės turi egzistuoti. ir būti lygus nuliui. Tai paprasčiausias teoremų aiškinimas iš vadovėlių, tačiau paprastiems žmonėms verta paaiškinti šį klausimą pavyzdžiu. Pagrindas yra įprasta parabolė. Iš karto padarykime rezervaciją: nuliniame taške jis turi minimumą. Šiek tiek matematikos:

• pirmoji išvestinė (X 2) | = 2X, nuliniam taškui 2X = 0;
• antra išvestinė (2X) | = 2, nuliniam taškui 2 = 2.

Šiuo paprastu būdu iliustruojamos sąlygos, lemiančios funkcijos ekstremalumą tiek pirmosios, tiek aukštesnės eilės išvestinėms. Prie to galime pridurti, kad antroji išvestinė yra lygiai tokia pati nelyginės eilės išvestinė, kuri nėra lygi nuliui, kas buvo aptarta aukščiau. Kai kalbama apie dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus, abiem argumentams turi būti įvykdytos sąlygos. Kai įvyksta apibendrinimas, naudojami daliniai išvestiniai. Tai yra, kad taške būtų ekstremumas, būtina, kad abi pirmosios eilės išvestinės būtų lygios nuliui arba bent vienos iš jų nėra. Siekiant užtikrinti, kad pakaktų ekstremumo buvimo, tiriama išraiška, kuri yra skirtumas tarp funkcijos antros eilės išvestinių sandaugos ir mišrios antros eilės išvestinės kvadrato. Jei ši išraiška didesnė už nulį, tada yra ekstremumas, o jei jis lygus nuliui, klausimas lieka atviras ir reikia atlikti papildomus tyrimus.