Pamokos tema

• Lygiagretainio įstrižainių savybės.

Pamokos tikslai

• Susipažinkite su naujais apibrėžimais ir prisiminkite kai kuriuos jau išnagrinėtus.
• Suformuluokite ir įrodykite lygiagretainio įstrižainių savybę.
• Išmoks taikyti formų savybes sprendžiant uždavinius.
• Lavinantis – ugdyti mokinių dėmesį, užsispyrimą, užsispyrimą, loginį mąstymą, matematinį kalbėjimą.
• Mokomoji – per pamoką ugdyti dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdyti gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą, savarankiškumą.

Pamokos tikslai

• Patikrinkite mokinių gebėjimą spręsti problemas.

Pamokos planas

1. Atidarymo kalba.
2. Anksčiau išmoktos medžiagos kartojimas.
3. Lygiagretainė, jos savybės ir ženklai.
4. Užduočių pavyzdžiai.
5. Pasitikrinti.

Įvadas

„Didysis mokslinis atradimas yra pagrindinės problemos sprendimas, tačiau bet kurios problemos sprendimas yra atradimų grūdelis“.

Lygiagretainio priešingų kraštinių savybės

Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios.

Įrodymas.

Tegu ABCD yra duotasis lygiagretainis. Ir tegul jos įstrižainės susikerta taške O.
Kadangi Δ AOB = Δ COD pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą (∠ AOB = ∠ COD, kaip vertikaliųjų, AO=OC, DO=OB, pagal lygiagretainių įstrižainių savybę), tai AB=CD. Panašiai iš trikampių BOC ir DOA lygybės išplaukia, kad BC=DA. Teorema įrodyta.

Lygiagretainio priešingų kampų savybė

Lygiagretainis turi priešingus kampus.

Įrodymas.

Tegu ABCD yra duotasis lygiagretainis. Ir tegul jos įstrižainės susikerta taške O.
Iš lygiagretainio priešingų kraštinių savybių, įrodytų teoremoje apie Δ ABC = Δ CDA iš trijų pusių (AB=CD, BC=DA iš įrodytosios, AC yra bendra). Iš trikampių lygybės išplaukia, kad ∠ABC = ∠CDA.
Taip pat įrodyta, kad ∠ DAB = ∠ BCD, kas išplaukia iš ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema įrodyta.

Lygiagretainio įstrižainių savybė

Lygiagretainio įstrižainės susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas į pusę.

Įrodymas.

Tegu ABCD yra duotasis lygiagretainis. Nubrėžkime įstrižainę AC. Ant jo pažymime vidurinį O. Atkarpos DO tęsinyje atidėjame atkarpą OB 1, lygią DO.
Pagal ankstesnę teoremą AB 1 CD yra lygiagretainis. Todėl tiesė AB 1 yra lygiagreti DC. Tačiau per tašką A lygiagrečiai DC gali būti nubrėžta tik viena linija. Vadinasi, tiesė AB 1 sutampa su tiese AB.
Taip pat įrodyta, kad BC 1 sutampa su BC. Taigi taškas C sutampa su C 1 . lygiagretainis ABCD sutampa su lygiagretainiu AB 1 CD. Todėl lygiagretainio įstrižainės susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas į pusę. Teorema įrodyta.

Paprastų mokyklų vadovėliuose (pavyzdžiui, Pogorelove) tai įrodoma taip: įstrižainės padalija lygiagretainį į 4 trikampius. Apsvarstykite vieną porą ir sužinokite - jos yra lygios: jų pagrindai yra priešingos pusės, atitinkami kampai, esantys greta jos, yra lygūs vertikaliems su lygiagrečiomis linijomis. Tai yra, įstrižainių atkarpos yra poromis lygios. Viskas.

Ar tai viskas?
Aukščiau buvo įrodyta, kad susikirtimo taškas dalija įstrižaines – jei toks yra. Minėti samprotavimai jokiu būdu neįrodo jo egzistavimo. Tai yra, teoremos dalis „lygiagretainės įstrižainės susikerta“ lieka neįrodyta.

Juokinga, kad šią dalį daug sunkiau įrodyti. Beje, tai išplaukia iš bendresnio rezultato: bet kurio išgaubto keturkampio įstrižainės susikirs, bet kurio neišgaubto – ne.

Apie trikampių lygybę išilgai kraštinės ir dviejų šalia jos esančių kampų (antrasis trikampių lygybės ženklas) ir kt.

Teorema apie dviejų trikampių lygybę išilgai šono ir dviejų šalia jos esančių kampų Thales rado svarbų praktinį pritaikymą. Mileto uoste buvo pastatytas nuotolio ieškiklis, kuris nustato atstumą iki laivo jūroje. Jį sudarė trys varomi kaiščiai A, B ir C (AB = BC) ir pažymėta tiesi linija SK, statmena CA. Kai laivas pasirodė tiesėje SC, buvo rastas taškas D, kad taškai D, .B ir E būtų toje pačioje tiesėje. Kaip matyti iš brėžinio, atstumas CD ant žemės yra norimas atstumas iki laivo.

Klausimai

1. Ar kvadrato įstrižainės dalijamos per susikirtimo tašką?
   
2. Ar lygiagretainio įstrižainės lygios?
3. Ar lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs?
4. Koks yra lygiagretainio apibrėžimas?
5. Kiek lygiagretainio požymių?
   
6. Ar rombas gali būti lygiagretainis?
   

Naudotų šaltinių sąrašas

1. Kuznecovas A. V., matematikos mokytojas (5-9 kl.), Kijevas
2. „Vieningas valstybinis egzaminas 2006. Matematika. Mokomoji ir mokomoji medžiaga studentų rengimui / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. „M. I. Scanavi redaguoto rinkinio pagrindinių matematikos konkurencinių problemų sprendimas“
4. L. S. Atanasyanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas, E. G. Poznyakas, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: vadovėlis švietimo įstaigoms"

Darbas prie pamokos

Kuznecovas A.V.

Poturnak S.A.

Jevgenijus Petrovas

Galite iškelti klausimą apie šiuolaikinį švietimą, išsakyti idėją ar išspręsti skubią problemą adresu Švietimo forumas kur tarptautiniu mastu susitinka šviežių minčių ir veiksmų švietimo taryba. Sukūrę dienoraštis, Jūs ne tik pagerinsite savo, kaip kompetentingo mokytojo, statusą, bet ir reikšmingai prisidėsite prie ateities mokyklos kūrimo. Švietimo lyderių gildija atveria duris aukščiausio rango specialistams ir kviečia bendradarbiauti kuriant geriausias pasaulio mokyklas.

Dalykai > Matematika > Matematika 8 klasė

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio kraštinės poromis lygiagrečios.

Šiame paveikslėlyje priešingos pusės ir kampai yra lygūs vienas kitam. Lygiagretainio įstrižainės susikerta viename taške ir padalija jį pusiau. Lygiagrečios srities formulės leidžia rasti vertę per šonus, aukštį ir įstrižaines. Lygiagretainis taip pat gali būti pavaizduotas ypatingais atvejais. Jie laikomi stačiakampiu, kvadratu ir rombu.
Pirmiausia panagrinėkime lygiagretainio ploto apskaičiavimo pagal aukštį ir pusę, į kurią jis nuleistas, pavyzdį.

Ši byla laikoma klasikine ir nereikalauja tolesnio tyrimo. Geriau atsižvelgti į formulę, kaip apskaičiuoti plotą per dvi puses ir kampą tarp jų. Skaičiuojant naudojamas tas pats metodas. Jei pateikiami šonai ir kampas tarp jų, tada plotas apskaičiuojamas taip:

Tarkime, kad mums duotas lygiagretainis, kurio kraštinės a = 4 cm, b = 6 cm. Kampas tarp jų α = 30°. Raskime sritį:

Lygiagretainio plotas, išreikštas įstrižainėmis

Lygiagretainio ploto formulė įstrižainėmis leidžia greitai rasti vertę.
Skaičiavimams reikia kampo, esančio tarp įstrižainių, vertės.

Apsvarstykite lygiagretainio ploto per įstrižaines apskaičiavimo pavyzdį. Pateikiame lygiagretainį, kurio įstrižainės D = 7 cm, d = 5 cm. Kampas tarp jų yra α = 30°. Pakeiskite duomenis formulėje:

Lygiagretainio ploto per įstrižainę apskaičiavimo pavyzdys davė puikų rezultatą - 8,75.

Žinodami lygiagretainio ploto formulę įstrižainės atžvilgiu, galite išspręsti daug įdomių problemų. Pažvelkime į vieną iš jų.

Užduotis: Duotas lygiagretainis, kurio plotas 92 kv. žr. taškas F yra jo šono BC viduryje. Raskime trapecijos ADFB plotą, kuris bus mūsų lygiagretainyje. Pirmiausia nupieškime viską, ką gavome pagal sąlygas.
Pereikime prie sprendimo:

Pagal mūsų sąlygas, ah \u003d 92, ir atitinkamai, jūsų trapecijos plotas bus lygus

Pa-ral-le-lo-gram-ma požymiai

1. Lygiagretainio apibrėžimas ir pagrindinės savybės

Pradėkime nuo to, kad prisimename pa-ral-le-lo-gram-ma apibrėžimą.

Apibrėžimas. Lygiagretainis- four-you-rekh-coal-nick, kažkas-ro-go turi dvi pro-ti-on-false pusės para-ral-lel-ny (žr. . vieną pav.).

Ryžiai. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Prisiminkite pagrindinės naujos pa-ral-le-lo-gram-ma savybės:

Kad galėtumėte naudotis visomis šiomis savybėmis, turite būti tikri, kad fi-gu-ra, o kas nors - Roy'us, - pa-ral-le-lo-gram. Tam reikia žinoti tokius faktus kaip pa-ral-le-lo-gram-ma požymius. Pirmuosius du iš jų šiandien apžvelgiame.

2. Pirmasis lygiagretainio ženklas

Teorema. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas. Jei keturių-jūs-rekh-coal-ni-ke dvi pro-ti-in-false pusės yra lygios ir par-ral-lel-na, tada ši keturių tu-rekh-coal- slapyvardis - lygiagretainis. .

Ryžiai. 2. Pirmasis pa-ral-le-lo-gram-ma požymis

Įrodymas. We-we-we-dem in four-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (žr. 2 pav.), ji padalijo jį į du trikampius-no-ka. Užrašykite, ką žinome apie šiuos trikampius:

pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą.

Iš nurodytų trikampių lygybės išplaukia, kad pagal tiesių linijų par-ral-lel-no-sti ženklą, kai iš naujo se- che-ni jų se-ku-schey. Turime tai:

Prieš-už-bet.

3. Antrasis lygiagretainio ženklas

Teorema. Antrasis spiečius yra pa-ral-le-lo-gram-ma ženklas. Jei keturių-jūs-rekh-coal-ni-ke, kiekviena dvi pro-ti-in-false pusės yra lygios, tada šis keturių tu-rekh-coal-nick - lygiagretainis. .

Ryžiai. 3. Antrasis spiečių ženklas pa-ral-le-lo-gram-ma

Įrodymas. We-we-we-dem į four-you-rekh-coal-ni-ke dia-go-nal (žr. 3 pav.), ji padalija jį į du trikampius-no-ka. Rašome tai, ką žinome apie šiuos trikampius, vadovaudamiesi for-mu-li-ditch-ki theo-re-we:

pagal trečiąjį trikampių lygybės ženklą.

Iš trikampių lygybės išplaukia, kad pagal tiesių linijų par-ral-lel-no-sti ženklą, kai jas per-se-che-se-ku-schey. By-lu-cha-eat:

pa-ral-le-lo-gram pagal apibrėžimą-de-le-ny. Q.E.D.

Prieš-už-bet.

4. Lygiagretainio pirmojo požymio panaudojimo pavyzdys

Ras-pažvelkite į pa-ral-le-lo-gram-ma ženklų taikymo pavyzdį.

1 pavyzdys. Skiltyje you-far-scrap-che-you-rex-coal-no-ke Raskite: a) keturių-tu-reksų-anglies-no-ka kampus; b) šimtaro šulinys.

Sprendimas. Vaizdas-ra-žiema pav. keturi.

pa-ral-le-lo-gram pagal pirmąjį ženklą-ku pa-ral-le-lo-gram-ma.

BET. pagal para-le-lo-gram-ma savybę apie pro-ti-in-klaidingus kampus, pagal para-le-lo-gram-ma savybę apie kampų sumą, atitinkančią vieną pusėje.

B. pro-ty-on-false pusių lygybės savybe.

re-at-sign pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Kartojimas: lygiagretainio apibrėžimas ir savybės

Priminus, kad lygiagretainis- tai yra keturių tu-rekh-coal-nickas, kažkas turi pro-ti-on-false puses poroje-bet-pa-ral-lel-na. Tai yra, jei - pa-ral-le-lo-gram, tada (Žr. 1 pav.).

Pa-ral-le-lo-gram turi daugybę savybių: pro-ti-in-false kampai yra lygūs (), pro-ti-on-false šimtas-ro -mes lygūs ( ). Be to, dia-go-on-ar par-ral-le-lo-gram-ma taške re-se-che-niya de-lyat-by-lam, kampų suma, at-le- pa-ral-le-lo-gram-ma, lygus bet kuriai pusei, lygus ir pan.

Tačiau norint pasinaudoti visomis šiomis savybėmis, reikia būti ab-so-lute-bet tikri-mes, kad lenktynės ri-va-e-my che-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le- lo-gramas. Tam yra par-ral-le-lo-gram-ma požymių: tai yra tie faktai, iš kurių galima padaryti vienareikšmę išvadą, kad che-you-rekh-coal-nick yav-la-et -sya pa-ral-le-lo-gram-mama. Ankstesnėje pamokoje mes jau svarstėme du ženklus. Šią valandą mes žiūrime į trečią.

6. Trečiasis lygiagretainio požymis ir jo įrodymas

Jei keturių tu-rekh-coal-ni-ke dia-go-na-li taške re-se-che-niya de-lyat-by-lam, tai keturi-you-reh-coal-nick yav-la-et-sya pa-ral-le-lo-gram-mama.

Duota:

Che-you-reh-coal-nick; ; .

Įrodykite:

Lygiagretainis.

Įrodymas:

Norint įrodyti šį faktą, būtina įrodyti pa-ral-le-lo-gram-ma kraštinių para-ral-lel-umą. O tiesių linijų paral-lel-lumas dažniausiai yra iki-ka-zy-va-et-sya per vidinių jų ir kryžminio gulėjimo kampų lygybę šiose tiesėse. . Tokiu būdu, na-pra-shi-va-et-sya next-du-u-sche būdas-ka-for-tel-stva iš trečiojo pa-ral ženklo -le-lo-gram- ma: per trikampių lygybę-ni-kov .

Palaukime šių trikampių lygybės. Iš tiesų, iš šios sąlygos seka:. Be to, kadangi kampai yra vertikalūs, jie yra lygūs. Tai yra:

(pirmasis lygybės ženklastrikampis-ni-kov- du šimtai rousų ir kampas tarp jų).

Iš trikampių lygybės: (kadangi vidiniai kampai ant kryžiaus yra lygūs ties šiomis tiesiomis linijomis ir se-ku-schey). Be to, iš trikampių lygybės išplaukia, kad. Tai reiškia, kad mes esame, pavyzdžiui, chi-li, kad keturių tu-rekh-coal-ni-ke dvi pusės yra lygios ir par-ral-lel-na. Pagal pirmąjį ženklą pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Prieš-už-bet.

7. Trečiojo lygiagretainio požymio uždavinio pavyzdys ir apibendrinimas

Ras-pažvelkite į trečiojo para-ral-le-lo-gram-ma ženklo taikymo pavyzdį.

1 pavyzdys

Duota:

- lygiagretainis; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (žr. 2 pav.).

Įrodykite:- pa-ral-le-lo-gram.

Įrodymas:

Taigi, „four-you-rekh-coal-no-ke dia-go-na-li“ taške re-se-che-niya de-lyat-sya-by-lam. Pagal trečiąjį ženklą, pa-ral-le-lo-gram-ma, iš to išplaukia, kad - pa-ral-le-lo-gram.

Prieš-už-bet.

Jei analizuosime trečiąjį pa-ral-le-lo-gram-ma ženklą, tai pastebėsime, kad šis ženklas yra co-ot-reply- turi par-ral-le-lo-gram-ma savybę. Tai yra, tai, kad dia-go-na-ar jie de-lyat-by-lam, is-la-et-sya yra ne tik pa-ral-le-lo-gram-ma savybė, o nuo -li-chi-tel-nym, ha-rak-te-ri-sti-che-sky nuosavybė, pasak kai kurių-ro-mu, ją galima išpilti iš daugybės che-you-reh-coal-no- kov.

ŠALTINIS

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Norint nustatyti, ar tam tikra figūra yra lygiagretainis, yra keletas ženklų. Apsvarstykite tris pagrindinius lygiagretainio požymius.

1 lygiagretainio ženklas

Jei dvi keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas:

Apsvarstykite keturkampį ABCD. Tegul kraštinės AB ir CD jame yra lygiagrečios. Ir tegul AB=CD. Nubrėžkime jame įstrižainę BD. Jis padalins nurodytą keturkampį į du vienodus trikampius: ABD ir CBD.

Šie trikampiai yra lygūs vienas kitam iš dviejų kraštinių ir kampo tarp jų (BD yra bendroji kraštinė, AB = CD pagal sąlygą, kampas1 = kampas2 kaip kryžminiai gulėjimo kampai lygiagrečių tiesių AB ir CD atkarpoje BD.), todėl kampas3 = kampas4.

Ir šie kampai bus kryžminiai tiesių BC ir AD susikirtimo taške BD. Iš to išplaukia, kad BC ir AD yra lygiagrečiai vienas kitam. Turime, kad keturkampyje ABCD priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios, taigi keturkampis ABCD yra lygiagretainis.

2 lygiagretainio ženklas

Jei priešingos keturkampio kraštinės poromis lygios, tai keturkampis yra lygiagretainis.

Įrodymas:

Apsvarstykite keturkampį ABCD. Nubrėžkime jame įstrižainę BD. Jis padalins nurodytą keturkampį į du vienodus trikampius: ABD ir CBD.

Šie du trikampiai bus lygūs vienas kitam iš trijų kraštinių (BD yra bendroji pusė, AB = CD ir BC = AD pagal sąlygą). Iš to galime daryti išvadą, kad kampas1 = kampas2. Iš to seka, kad AB lygiagreti CD. Ir kadangi AB \u003d CD ir AB yra lygiagrečiai CD, tada pagal pirmąjį lygiagretainio ženklą keturkampis ABCD bus lygiagretainis.

3 lygiagretainio ženklas

Jei keturkampyje įstrižainės susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas į pusę, tai šis keturkampis bus lygiagretainis.

Apsvarstykite keturkampį ABCD. Nubrėžkime jame dvi įstrižaines AC ir BD, kurios susikirs taške O ir padalins šį tašką pusiau.

Trikampiai AOB ir COD bus lygūs vienas kitam pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą. (AO = OC, BO = OD pagal susitarimą, kampas AOB = kampas COD kaip vertikalūs kampai.) Todėl AB = CD ir kampas1 = kampas 2. Iš kampų 1 ir 2 lygybės gauname, kad AB yra lygiagreti CD. Tada gauname, kad keturkampyje ABCD kraštinės AB yra lygios CD ir lygiagrečios, o pagal pirmąjį lygiagretainio kriterijų keturkampis ABCD bus lygiagretainis.

Įrodymas

Pirmiausia nubrėžkime įstrižainę AC. Gaunami du trikampiai: ABC ir ADC.

Kadangi ABCD yra lygiagretainis, tai tiesa:

AD || BC \Rightarrow \kampas 1 = \kampas 2 kaip gulėti skersai.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \kampas 4 kaip gulėti skersai.

Todėl \triangle ABC = \triangle ADC (antra savybė: ir AC yra įprasta).

Taigi \trikampis ABC = \trikampis ADC , tada AB = CD ir AD = BC .

Įrodyta!

2. Priešingi kampai yra identiški.

Įrodymas

Pagal įrodymą savybės 1 Mes tai žinome \kampas 1 = \kampas 2, \kampas 3 = \kampas 4. Taigi priešingų kampų suma yra: \kampas 1 + \kampas 3 = \kampas 2 + \kampas 4. Atsižvelgdami į tai, kad \triangle ABC = \triangle ADC gauname \angle A = \angle C , \angle B = \kampas D .

Įrodyta!

3. Įstrižainės dalinamos per susikirtimo tašką.

Įrodymas

Nubrėžkime dar vieną įstrižainę.

Autorius nuosavybė 1žinome, kad priešingos pusės yra identiškos: AB = CD . Dar kartą pažymime vienodus kampus, esančius skersai.

Taigi matyti, kad \trikampis AOB = \trikampis COD pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą (du kampai ir kraštinė tarp jų). Tai yra, BO = OD (priešais \kampas 2 ir \kampas 1 ) ir AO = OC (priešingas \kampas 3 ir \kampas 4).

Įrodyta!

Lygiagretainės savybės

Jei jūsų uždavinyje yra tik vienas ženklas, tada figūra yra lygiagretainis ir galite naudoti visas šios figūros savybes.

Norėdami geriau įsiminti, atkreipkite dėmesį, kad lygiagretainio ženklas atsakys į šį klausimą − "kaip sužinoti?". Tai yra, kaip sužinoti, kad tam tikra figūra yra lygiagretainis.

1. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygios ir lygiagrečios.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD yra lygiagretainis.

Įrodymas

Apsvarstykime išsamiau. Kodėl AD || BC?

\triangle ABC = \triangle ADC by nuosavybė 1: AB = CD, AC yra bendras ir \angle 1 = \angle 2 kaip skersai su AB ir CD lygiagrečiai ir sekantinei AC.

Bet jei \trikampis ABC = \trikampis ADC , tada \angle 3 = \kampas 4 (jie yra atitinkamai priešais AB ir CD). Ir todėl AD || BC (\kampas 3 ir \kampas 4 - gulėti skersai taip pat yra lygūs).

Pirmasis ženklas yra teisingas.

2. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygios.

AB = CD , AD = BC \Rodyklė dešinėn ABCD yra lygiagretainis.

Įrodymas

Panagrinėkime šią savybę. Vėl nubrėžkime įstrižainę AC.

Autorius nuosavybė 1\trikampis ABC = \trikampis ACD .

Tai seka: \kampas 1 = \kampas 2 \Rightarrow AD || pr. Kr ir \kampas 3 = \kampas 4 \Rightarrow AB || CD, tai yra, ABCD yra lygiagretainis.

Antrasis ženklas yra teisingas.

3. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingi kampai yra lygūs.

\kampas A = \kampas C , \kampas B = \kampas D \Rodyklė dešinėn ABCD- lygiagretainis.

Įrodymas

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(kadangi ABCD yra keturkampis, o \kampas A = \kampas C, \angle B = \kampas D pagal susitarimą).

Taigi \alpha + \beta = 180^(\circ) . Tačiau \alpha ir \beta yra vidinės vienpusės ties AB sekantu.

Ir tai, kad \alpha + \beta = 180^(\circ) taip pat reiškia, kad AD || pr. Kr.

Tuo pačiu metu \alpha ir \beta yra vidinės vienpusės su sekantu AD . O tai reiškia AB || CD.

Trečiasis ženklas yra teisingas.

4. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio įstrižainės yra padalintos per susikirtimo tašką.

AO=OC; BO = OD \Paralelograma į dešinę.

Įrodymas

BO=OD; AO = OC , \kampas 1 = \kampas 2 kaip vertikalus \Rodyklė dešinėn \trikampis AOB = \trikampis COD, \Rodyklė dešinėn \kampas 3 = \kampas 4, ir \Rightarrow AB || CD.

Panašiai BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \kampas 6 \Rodyklė dešinėn \trikampis AOD = \trikampis BOC \RightArrow \angle 7 = \kampas 8, ir \Rightarrow AD || pr. Kr.

Ketvirtasis ženklas yra teisingas.