Geometrinis plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, apribota uždaru šios figūros kontūru). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.
Trikampio ploto formulės
- Trikampio ploto formulė kraštinei ir aukščiui
Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos - Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir apibrėžto apskritimo spindulys
- Trikampio ploto formulė, kurioje nurodytos trys kraštinės ir įbrėžto apskritimo spindulys
Trikampio plotas lygi trikampio pusės perimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai. kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,
Kvadratinių plotų formulės
- Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį
kvadratinis plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadratui. - Kvadrato ploto formulė atsižvelgiant į įstrižainės ilgį
kvadratinis plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.S = 1 2 2 kur S yra kvadrato plotas,
yra kvadrato kraštinės ilgis,
yra kvadrato įstrižainės ilgis.
Stačiakampio ploto formulė
- Stačiakampio plotas yra lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai
kur S yra stačiakampio plotas,
yra stačiakampio kraštinių ilgiai.
Lygiagretainio ploto formulės
- Lygiagretaus ploto formulė šonų ilgiui ir aukščiui
Lygiagretainis plotas - Lygiagretainio ploto formulė, nurodyta dviem kraštinėmis ir kampas tarp jų
Lygiagretainis plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.a b sinα
kur S yra lygiagretainio plotas,
yra lygiagretainio kraštinių ilgiai,
yra lygiagretainio aukštis,
yra kampas tarp lygiagretainio kraštinių.
Rombo ploto formulės
- Rombo ploto formulė, nurodyta kraštinės ilgiu ir aukščiu
Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai. - Rombo ploto formulė atsižvelgiant į kraštinės ilgį ir kampą
Rombo sritis yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai. - Rombo ploto formulė iš jo įstrižainių ilgių
Rombo sritis yra lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos. kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.
Trapecijos ploto formulės
- Garnio trapecijos formulė
kur S yra trapecijos plotas,
- trapecijos pagrindų ilgis,
- trapecijos kraštinių ilgis,
Lygiagretainis plotas
1 teorema
Lygiagretainio plotas apibrėžiamas kaip jo kraštinės ilgio sandauga su į ją nubrėžtu aukščiu.
kur $a$ yra lygiagretainio kraštinė, $h$ yra aukštis, nubrėžtas į šią pusę.
Įrodymas.
Pateikiame lygiagretainį $ABCD$ su $AD=BC=a$. Nubraižykime aukščius $DF$ ir $AE$ (1 pav.).
1 paveikslas.
Akivaizdu, kad figūra $FDAE$ yra stačiakampis.
\[\angle BAE=(90)^0-\kampas A,\ \] \[\angle CDF=\kampas D-(90)^0=(180)^0-\kampas A-(90)^0 =(90)^0-\kampas A=\kampas BAE\]
Todėl, kadangi $CD=AB,\DF=AE=h$, $\trikampis BAE=\trikampis CDF$, $I$ trikampio lygybės testas. Tada
Taigi pagal stačiakampio ploto teoremą:
Teorema įrodyta.
2 teorema
Lygiagretainio plotas apibrėžiamas kaip gretimų kraštinių ilgio sandauga, padauginta iš kampo tarp tų kraštinių sinuso.
Matematiškai tai galima parašyti taip
kur $a,\b$ yra lygiagretainio kraštinės, $\alpha $ yra kampas tarp jų.
Įrodymas.
Pateikiame lygiagretainį $ABCD$ su $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Nubraižykite aukštį $DF=h$ (2 pav.).
2 pav.
Pagal sinuso apibrėžimą gauname
Vadinasi
Taigi pagal teoremą $1$:
Teorema įrodyta.
Trikampio plotas
3 teorema
Trikampio plotas apibrėžiamas kaip pusė jo kraštinės ilgio ir į jį nubrėžto aukščio sandaugos.
Matematiškai tai galima parašyti taip
kur $a$ yra trikampio kraštinė, $h$ yra šios kraštinės aukštis.
Įrodymas.
3 pav
Taigi pagal teoremą $1$:
Teorema įrodyta.
4 teorema
Trikampio plotas apibrėžiamas kaip pusė jo gretimų kraštinių ilgio sandaugos, padaugintos iš kampo tarp tų kraštinių sinuso.
Matematiškai tai galima parašyti taip
kur $a,\b$ yra trikampio kraštinės, $\alpha $ yra kampas tarp jų.
Įrodymas.
Pateikiame trikampį $ABC$ su $AB=a$. Nubrėžkite aukštį $CH=h$. Sukurkime jį iki lygiagretainio $ABCD$ (3 pav.).
Akivaizdu, kad $\triangle ACB=\triangle CDB$ pagal $I$. Tada
Taigi pagal teoremą $1$:
Teorema įrodyta.
Trapecijos plotas
5 teorema
Trapecijos plotas apibrėžiamas kaip pusė jos pagrindų ilgių sumos sandaugos iš jos aukščio.
Matematiškai tai galima parašyti taip
Įrodymas.
Pateikiame trapeciją $ABCK$, kur $AK=a,\ BC=b$. Jame nubrėžkime aukščius $BM=h$ ir $KP=h$ bei įstrižainę $BK$ (4 pav.).
4 pav
Pagal teoremą $3$ gauname
Teorema įrodyta.
Užduoties pavyzdys
1 pavyzdys
Raskite lygiakraščio trikampio plotą, jei jo kraštinės ilgis yra $a.$
Sprendimas.
Kadangi trikampis yra lygiakraštis, visi jo kampai lygūs $(60)^0$.
Tada pagal teoremą $4$ turime
Atsakymas:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.
Atkreipkite dėmesį, kad šios problemos rezultatas gali būti naudojamas norint rasti bet kurio lygiakraščio trikampio, turinčio nurodytą kraštinę, plotą.
Kaip ir Euklido geometrijoje, taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra viena iš pagrindinių išgaubtų keturkampių figūrų. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.
Susisiekus su
Lygiagretainio apibrėžimas
išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.
Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, yra keturkampis ABCD. Kraštinės vadinamos pagrindais (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šios viršūnės pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.
Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.
Šonai ir kampai: santykio ypatybės
Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:
- Priešingos pusės poromis yra identiškos.
- Kampai, kurie yra priešingi vienas kitam, yra lygūs poromis.
Įrodymas: apsvarstykite ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami keturkampį ABCD padalijus tiese AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės kriterijus).
Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, o tai reiškia, kad jie yra identiški: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat yra identiškos poromis, tai ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.
Figūros įstrižainių charakteristikos
Pagrindinis bruožasšios lygiagretainės tiesės: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.
Įrodymas: tegul m. E yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.
AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantus ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.
Pagal antrąjį lygybės ženklą ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE yra: AE = CE, BE = DE ir, be to, jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.
Gretimų kampų ypatybės
Gretimose pusėse kampų suma yra 180°, nes jie yra toje pačioje lygiagrečių linijų ir sekanto pusėje. Keturkampiui ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Bisektoriaus savybės:
- , nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
- priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
- trikampis, gautas nubrėžus pusiausvyrą, bus lygiašonis.
Lygiagretainio charakteristikų nustatymas teorema
Šios figūros ypatybės išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri skamba taip: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.
Įrodymas: Tegul keturkampio ABCD linijos AC ir BD susikerta t. E. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pirmuoju trikampių lygybės ženklu). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai sekanto AC susikirtimo kampai linijoms AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || pr. Kr. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.
Figūros ploto apskaičiavimas
Šios figūros plotas rasti keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.
Įrodymas: Iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenus BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD yra lygus stačiakampiui EBCF, nes jie taip pat susideda iš proporcingų skaičių: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad šios geometrinės figūros plotas yra toks pat kaip ir stačiakampio:
S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.
Norėdami nustatyti bendrą lygiagretainio ploto formulę, pažymime aukštį kaip hb, ir šoną b. Atitinkamai:
Kiti būdai rasti plotą
Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.
,
Spr-ma – plotas;
a ir b yra jos kraštinės
α - kampas tarp atkarpų a ir b.
Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nupjauna statųjį trikampį, kurio parametrus randa trigonometrinės tapatybės, t.y. Pavertę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.
Per lygiagretainio ir kampo įstrižaines, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.
Įrodymas: AC ir BD susikerta sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.
Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti iš išraiškos , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Kadangi , tada skaičiavimuose naudojama viena sinuso reikšmė. Tai yra . Kadangi AE+CE=AC= d 1 ir BE+DE=BD= d 2 , ploto formulė sumažinama iki:
.
Taikymas vektorinėje algebroje
Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent: dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiirneyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.
Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – tai yra. - kuriame vektorius ir . Toliau statome lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.
Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės
Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:
- a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
- d 1 ir d 2 , γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
- h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;
| Parametras | Formulė |
| Šalių paieška | |
| išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso | 
|
| įstrižai ir į šonus | 
|
| per aukštį ir priešingą viršūnę | |
| Įstrižainių ilgio radimas | |
| šonuose ir viršaus dydis tarp jų | |
| išilgai šonų ir viena iš įstrižainių | 
IšvadaLygiagretainis, kaip vienas iš pagrindinių geometrijos figūrų, naudojamas gyvenime, pavyzdžiui, statybose apskaičiuojant sklypo plotą ar atliekant kitus matavimus. Todėl žinios apie skiriamuosius požymius ir įvairių jo parametrų skaičiavimo metodus gali būti naudingos bet kuriuo gyvenimo metu. |
Lygiagretainė – geometrinė figūra, dažnai randama geometrijos kurso (planimetrijos skyriaus) užduotyse. Pagrindiniai šio keturkampio bruožai yra priešingų kampų lygybė ir dviejų lygiagrečių priešingų kraštinių porų buvimas. Ypatingi lygiagretainio atvejai yra rombas, stačiakampis, kvadratas.
Šio tipo daugiakampio plotą galima apskaičiuoti keliais būdais. Panagrinėkime kiekvieną iš jų.
Raskite lygiagretainio plotą, jei žinoma kraštinė ir aukštis
Norėdami apskaičiuoti lygiagretainio plotą, galite naudoti jo kraštinės reikšmes, taip pat ant jo nuleisto aukščio ilgį. Tokiu atveju gauti duomenys bus patikimi tiek apie žinomą pusę – figūros pagrindą, tiek jei turite figūros pusę. Tokiu atveju norima vertė bus gauta pagal formulę:
S = a * h(a) = b * h(b),
- S yra sritis, kurią reikia nustatyti,
- a, b - žinoma (arba apskaičiuota) pusė,
- h yra nuleistas ant jo aukštis.
Pavyzdys: lygiagretainio pagrindo reikšmė yra 7 cm, statmeno, nuleisto į jį iš priešingos viršūnės, ilgis yra 3 cm.
Sprendimas: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Raskite lygiagretainio plotą, jei žinomos 2 kraštinės ir kampas tarp jų
Apsvarstykite atvejį, kai žinote dviejų figūros pusių dydį ir kampo, kurį jie sudaro vienas su kitu, laipsnį. Pateikti duomenys taip pat gali būti naudojami lygiagretainio plotui rasti. Šiuo atveju formulės išraiška atrodys taip:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a - pusė,
- c yra žinoma (arba apskaičiuota) bazė,
- α, β yra kampai tarp kraštinių a ir c.
Pavyzdys: lygiagretainio pagrindas yra 10 cm, jo kraštinė yra 4 cm mažesnė. Bukas figūros kampas yra 135°.
Sprendimas: nustatykite antrosios pusės vertę: 10 - 4 \u003d 6 cm.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Raskite lygiagretainio plotą, jei žinomos įstrižainės ir kampas tarp jų
Žinomų tam tikro daugiakampio įstrižainių verčių buvimas, taip pat kampas, kurį jos susidaro dėl jų susikirtimo, leidžia nustatyti figūros plotą.
S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,
S yra sritis, kurią reikia nustatyti,
d1, d2 yra žinomos (arba apskaičiuotos) įstrižainės,
γ, φ yra kampai tarp įstrižainių d1 ir d2.
Lygiagretainio apibrėžimas
Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios.
Internetinis skaičiuotuvas
Lygiagretainis turi keletą naudingų savybių, kurios palengvina su šiuo paveikslu susijusių problemų sprendimą. Pavyzdžiui, viena savybė yra ta, kad lygiagretainio priešingi kampai yra lygūs.
Apsvarstykite keletą metodų ir formulių, tada spręskite paprastus pavyzdžius.
Lygiagretainio ploto pagal pagrindą ir aukštį formulė
Šis ploto nustatymo būdas tikriausiai yra vienas iš paprasčiausių ir paprasčiausių, nes jis beveik identiškas trikampio ploto nustatymo formulei, išskyrus keletą išimčių. Pradėkime nuo apibendrinto atvejo nenaudodami skaičių.
Tegul savavališkas lygiagretainis su pagrindu a a a, pusė bb b ir aukštis h val h patraukė į mūsų bazę. Tada šio lygiagretainio ploto formulė yra tokia:
S = a ⋅ h S = a\cdot h S =a ⋅h
A a a- bazė;
h val h- aukštis.
Pažvelkime į vieną nesudėtingą problemą, kad galėtume praktiškai išspręsti tipines problemas.
PavyzdysRaskite lygiagretainio plotą, kurio pagrindas lygus 10 (cm) ir aukštis lygus 5 (cm).
Sprendimas
A=10 a=10 a =1
0
h=5 h=5 h =5
Pakeiskite mūsų formulėje. Mes gauname:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S =1
0
⋅
5
=
5
0
(žr. kv.)
Atsakymas: 50 (žr. kvadratą)
Lygiagretainio ploto formulė, nurodyta dviem kraštinėmis ir kampas tarp jų
Tokiu atveju norima vertė randama taip:
S = a ⋅ b ⋅ sin (α) S = a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S =a ⋅b ⋅nuodėmė (α)
A, b a, b a, b- lygiagretainio kraštinės;
α\alfa α
- kampas tarp šonų a a a ir bb b.
Dabar išspręskime kitą pavyzdį ir naudokime aukščiau pateiktą formulę.
PavyzdysRaskite lygiagretainio plotą, jei žinoma kraštinė a a a, kuris yra pagrindas ir kurio ilgis yra 20 (žr.) ir perimetras p p, skaičiai lygus 100 (žr.), kampas tarp gretimų kraštų ( a a a ir bb b) yra lygus 30 laipsnių.
Sprendimas
A=20 a=20 a =2
0
p=100 p=100 p=1
0
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Norėdami rasti atsakymą, nežinome tik antrosios šio keturkampio pusės. Suraskime ją. Lygiagretainio perimetras apskaičiuojamas taip:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=++b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100 = 20 + 20 + b + b1
0
0
=
2
0
+
2
0
+
b +b
100 = 40 + 2b 100 = 40 + 2b 1
0
0
=
4
0
+
2b
60=2b 60=2b 6
0
=
2b
b=30 b=30 b=3
0
Sunkiausia dalis baigėsi, belieka pakeisti mūsų vertybes kraštines ir kampą tarp jų:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin (3 0 ∘) = 300 S = 20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ)) = 300S =2
0
⋅
3
0
⋅
nuodėmė (3 0
∘
)
=
3
0
0
(žr. kv.)
Atsakymas: 300 (žr. kv.)
Lygiagretainio ploto formulė, atsižvelgiant į įstrižaines ir kampą tarp jų
S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S =2 1 ⋅ D ⋅d ⋅nuodėmė (α)
D D D- didelė įstrižainė;
d d d- maža įstrižainė;
α\alfa α
yra smailusis kampas tarp įstrižainių.
Duotos lygiagretainio įstrižainės, lygios 10 (žr.) ir 5 (žr.). Kampas tarp jų yra 30 laipsnių. Apskaičiuokite jo plotą.
Sprendimas
D=10 D=10 D=1
0
d=5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S =2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ nuodėmė (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (žr. kv.)
