Pavyzdys

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir kt.

Proporcingumo koeficientas

Proporcingų dydžių pastovus ryšys vadinamas proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno kiekio vienetų tenka kito vienetui.

Tiesioginis proporcingumas

Tiesioginis proporcingumas- funkcinė priklausomybė, kai tam tikras dydis priklauso nuo kito dydžio taip, kad jų santykis išlieka pastovus. Kitaip tariant, šie kintamieji keičiasi proporcingai, lygiomis dalimis, tai yra, jei argumentas pasikeičia du kartus bet kuria kryptimi, tada funkcija taip pat pasikeičia du kartus ta pačia kryptimi.

Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:

f(x) = ax,a = const

Atvirkštinis proporcingumas

Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.

Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašyta kaip formulė:

Funkcijos savybės:

Šaltiniai

Wikimedia fondas. 2010 m.

I. Tiesiogiai proporcingi dydžiai.

Tegul vertė y priklauso nuo dydžio X. Jei didinant X kelis kartus didesnis adresu padidėja tiek pat, tada tokios reikšmės X Ir adresu vadinami tiesiogiai proporcingais.

Pavyzdžiai.

1 . Perkamų prekių kiekis ir pirkimo kaina (su fiksuota vieno prekės vieneto kaina - 1 vnt. arba 1 kg ir pan.) Kiek kartų daugiau buvo nupirkta prekių, tiek kartų daugiau sumokėjo.

2 . Nuvažiuotas atstumas ir jame praleistas laikas (pastoviu greičiu). Kiek kartų ilgesnis kelias, kiek kartų daugiau laiko prireiks jam užbaigti.

3 . Kūno tūris ir masė. ( Jei vienas arbūzas yra 2 kartus didesnis už kitą, tada jo masė bus 2 kartus didesnė)

II. Tiesioginio dydžių proporcingumo savybė.

Jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.

1 užduotis. Dėl aviečių uogienė paėmė 12 kg aviečių ir 8 kg Sachara. Kiek cukraus jums reikės, jei jį paimsite? 9 kg aviečių?

Sprendimas.

Mes samprotaujame taip: tegul taip reikia x kg cukraus už 9 kg aviečių Aviečių masė ir cukraus masė yra tiesiogiai proporcingi dydžiai: kiek kartų mažiau aviečių, tiek kartų mažiau cukraus reikia. Todėl paimtų aviečių santykis (pagal svorį) ( 12:9 ) bus lygus paimto cukraus santykiui ( 8:x). Gauname proporciją:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Atsakymas:įjungta 9 kg aviečių reikia paimti 6 kg Sachara.

Problemos sprendimas Tai galima padaryti taip:

Leisk toliau 9 kg aviečių reikia paimti x kg Sachara.

(Paveikslėlyje esančios rodyklės nukreiptos viena kryptimi, o aukštyn ar žemyn nesvarbu. Reikšmė: kiek kartų skaičius 12 daugiau numerio 9 , tiek pat kartų 8 daugiau numerio X, t.y. čia yra tiesioginis ryšys).

Atsakymas:įjungta 9 kg Man reikia paimti aviečių 6 kg Sachara.

2 užduotis. Automobilis skirtas 3 valandos nukeliavo atstumą 264 km. Kiek laiko jam prireiks kelionės? 440 km, jei jis važiuoja tokiu pat greičiu?

Sprendimas.

Leisk už x valandos automobilis įveiks atstumą 440 km.

Atsakymas: automobilis pravažiuos 440 km per 5 val.

I. Tiesiogiai proporcingi dydžiai.

Tegul vertė y priklauso nuo dydžio X. Jei didinant X kelis kartus didesnis adresu padidėja tiek pat, tada tokios reikšmės X Ir adresu vadinami tiesiogiai proporcingais.

Pavyzdžiai.

1 . Perkamų prekių kiekis ir pirkimo kaina (su fiksuota vieno prekės vieneto kaina - 1 vnt. arba 1 kg ir pan.) Kiek kartų daugiau buvo nupirkta prekių, tiek kartų daugiau sumokėjo.

2 . Nuvažiuotas atstumas ir jame praleistas laikas (pastoviu greičiu). Kiek kartų ilgesnis kelias, kiek kartų daugiau laiko prireiks jam užbaigti.

3 . Kūno tūris ir masė. ( Jei vienas arbūzas yra 2 kartus didesnis už kitą, tada jo masė bus 2 kartus didesnė)

II. Tiesioginio dydžių proporcingumo savybė.

Jei du dydžiai yra tiesiogiai proporcingi, tada dviejų savavališkai paimtų pirmojo dydžio verčių santykis yra lygus dviejų atitinkamų antrojo dydžio verčių santykiui.

1 užduotis. Aviečių uogienei paėmėme 12 kg aviečių ir 8 kg Sachara. Kiek cukraus jums reikės, jei jį paimsite? 9 kg aviečių?

Sprendimas.

Mes samprotaujame taip: tegul taip reikia x kg cukraus už 9 kg aviečių Aviečių masė ir cukraus masė yra tiesiogiai proporcingi dydžiai: kiek kartų mažiau aviečių, tiek kartų mažiau cukraus reikia. Todėl paimtų aviečių santykis (pagal svorį) ( 12:9 ) bus lygus paimto cukraus santykiui ( 8:x). Gauname proporciją:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Atsakymas:įjungta 9 kg aviečių reikia paimti 6 kg Sachara.

Problemos sprendimas Tai galima padaryti taip:

Leisk toliau 9 kg aviečių reikia paimti x kg Sachara.

(Paveikslėlyje esančios rodyklės nukreiptos viena kryptimi, o aukštyn ar žemyn nesvarbu. Reikšmė: kiek kartų skaičius 12 daugiau numerio 9 , tiek pat kartų 8 daugiau numerio X, t.y. čia yra tiesioginis ryšys).

Atsakymas:įjungta 9 kg Man reikia paimti aviečių 6 kg Sachara.

2 užduotis. Automobilis skirtas 3 valandos nukeliavo atstumą 264 km. Kiek laiko jam prireiks kelionės? 440 km, jei jis važiuoja tokiu pat greičiu?

Sprendimas.

Leisk už x valandos automobilis įveiks atstumą 440 km.

Atsakymas: automobilis pravažiuos 440 km per 5 val.

3 užduotis. Vanduo iš vamzdžio teka į baseiną. Už nugaros 2 valandos ji užpildo 1/5 plaukiojimo baseinas Kurioje baseino dalyje yra vandens 5 valanda?

Sprendimas.

Atsakome į užduoties klausimą: už 5 valanda bus užpildytas 1/x baseino dalis. (Visas baseinas laikomas vienu visuma).

Šiandien pažiūrėsime, kokie dydžiai vadinami atvirkščiai proporcingais, kaip atrodo atvirkštinio proporcingumo grafikas ir kuo visa tai gali būti jums naudinga ne tik matematikos pamokose, bet ir už mokyklos ribų.

Tokios skirtingos proporcijos

Proporcingumasįvardykite du dydžius, kurie yra vienas nuo kito priklausomi.

Priklausomybė gali būti tiesioginė ir atvirkštinė. Vadinasi, dydžių santykiai apibūdinami tiesioginiu ir atvirkštiniu proporcingumu.

Tiesioginis proporcingumas– tai toks ryšys tarp dviejų dydžių, kai vieno iš jų padidėjimas arba sumažėjimas lemia kito padidėjimą arba sumažėjimą. Tie. jų požiūris nesikeičia.

Pavyzdžiui, kuo daugiau pastangų įdedate studijuodami egzaminams, tuo aukštesni jūsų pažymiai. Arba kuo daugiau daiktų pasiimsite su savimi į žygį, tuo sunkesnė bus jūsų kuprinė. Tie. Egzaminų ruošimosi pastangų kiekis yra tiesiogiai proporcingas gautiems pažymiams. O į kuprinę sukrautų daiktų skaičius yra tiesiogiai proporcingas jos svoriui.

Atvirkštinis proporcingumas– tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės sumažėjimas arba padidėjimas kelis kartus (tai vadinamas argumentu) sukelia proporcingą (t. y. tiek pat kartų) priklausomos reikšmės padidėjimą arba sumažėjimą (tai vadinama funkcija).

Iliustruojame paprastas pavyzdys. Norite nusipirkti obuolių turguje. Obuoliai ant prekystalio ir pinigų suma jūsų piniginėje yra atvirkščiai proporcinga. Tie. Kuo daugiau obuolių pirksite, tuo mažiau pinigų liks.

Funkcija ir jos grafikas

Atvirkštinio proporcingumo funkciją galima apibūdinti kaip y = k/x. Kuriame x≠ 0 ir k≠ 0.

Ši funkcija turi šias savybes:

1. Jo apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių, išskyrus x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Diapazonas yra visi realūs skaičiai, išskyrus y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Neturi didžiausių ar minimalių verčių.
4. Jis yra nelyginis, o jo grafikas yra simetriškas kilmei.
5. Neperiodinis.
6. Jo grafikas nekerta koordinačių ašių.
7. Neturi nulių.
8. Jeigu k> 0 (ty argumentas didėja), funkcija proporcingai mažėja kiekviename jos intervale. Jeigu k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Didėjant argumentui ( k> 0) neigiamos reikšmės funkcijos yra intervale (-∞; 0), o teigiamos yra (0; +∞). Kai argumentas sumažėja ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Atvirkštinės proporcingumo funkcijos grafikas vadinamas hiperbole. Rodoma taip:

Atvirkštinio proporcingumo problemos

Kad būtų aiškiau, pažvelkime į keletą užduočių. Jos nėra pernelyg sudėtingos, o jų sprendimas padės įsivaizduoti, kas yra atvirkštinis proporcingumas ir kuo šios žinios gali būti naudingos kasdieniame gyvenime.

Užduotis Nr.1. Automobilis važiuoja 60 km/h greičiu. Iki kelionės tikslo jam prireikė 6 valandų. Kiek laiko jam prireiks įveikti tą patį atstumą, jei judės dvigubai greičiau?

Pradėti galime užrašydami formulę, apibūdinančią laiko, atstumo ir greičio ryšį: t = S/V. Sutikite, tai mums labai primena atvirkštinio proporcingumo funkciją. Ir tai rodo, kad laikas, kurį automobilis praleidžia kelyje, ir jo judėjimo greitis yra atvirkščiai proporcingi.

Norėdami tai patikrinti, suraskime V 2, kuris pagal sąlygą yra 2 kartus didesnis: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Tada apskaičiuojame atstumą pagal formulę S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Dabar nesunku sužinoti laiką t 2, kurio mums reikia pagal uždavinio sąlygas: t 2 = 360/120 = 3 valandos.

Kaip matote, kelionės laikas ir greitis išties yra atvirkščiai proporcingi: važiuojant 2 kartus didesniu nei pradinis greitis, automobilis kelyje praleis 2 kartus mažiau laiko.

Šios problemos sprendimas taip pat gali būti parašytas kaip proporcija. Taigi pirmiausia sukurkime šią diagramą:

↓ 60 km/h – 6 val

↓120 km/h – x h

Rodyklės rodo atvirkščiai proporcingą ryšį. Jie taip pat siūlo, kad sudarant proporciją reikia apversti dešinę įrašo pusę: 60/120 = x/6. Iš kur gauname x = 60 * 6/120 = 3 valandos.

2 užduotis. Dirbtuvėse dirba 6 darbuotojai, kurie tam tikrą darbų kiekį gali atlikti per 4 valandas. Jei darbuotojų skaičius sumažės perpus, kiek laiko užtruks likę darbuotojai, kad atliktų tą patį darbų kiekį?

Užrašykime problemos sąlygas vaizdinės diagramos pavidalu:

↓ 6 darbuotojai – 4 val

↓ 3 darbuotojai – x val

Parašykime tai kaip proporciją: 6/3 = x/4. Ir gauname x = 6 * 4/3 = 8 val.Jei darbininkų bus 2 kartus mažiau, tai likę dirbdami visus darbus skirs 2 kartus daugiau laiko.

Užduotis Nr.3. Į baseiną veda du vamzdžiai. Vienu vamzdžiu vanduo teka 2 l/s greičiu ir pripildo baseiną per 45 minutes. Per kitą vamzdį baseinas prisipildys per 75 minutes. Kokiu greičiu šiuo vamzdžiu vanduo patenka į baseiną?

Pirmiausia sumažinkime visus mums duotus kiekius pagal problemos sąlygas iki tų pačių matavimo vienetų. Norėdami tai padaryti, išreiškiame baseino užpildymo greitį litrais per minutę: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Kadangi sąlyga reiškia, kad baseinas lėčiau prisipildo per antrąjį vamzdį, tai reiškia, kad vandens srautas yra mažesnis. Proporcingumas yra atvirkštinis. Išreikškime nežinomą greitį per x ir sudarykime tokią diagramą:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Ir tada mes sudarome proporciją: 120/x = 75/45, iš kur x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Uždavinyje baseino užpildymo greitis išreiškiamas litrais per sekundę, gautą atsakymą sumažinkime iki tokios pat formos: 72/60 = 1,2 l/s.

4 užduotis. Nedidelė privati ​​spaustuvė spausdina vizitines korteles. Spaustuvės darbuotojas dirba 42 vizitinių kortelių greičiu per valandą ir dirba visą dieną – 8 valandas. Jei jis dirbtų greičiau ir per valandą atspausdintų 48 vizitines korteles, kiek anksčiau jis galėtų grįžti namo?

Mes einame įrodytu keliu ir sudarome diagramą pagal problemos sąlygas, nurodydami norimą reikšmę kaip x:

↓ 42 vizitinės kortelės/val. – 8 val

↓ 48 vizitinės kortelės/val. – x val

Turime atvirkščiai proporcingą ryšį: kiek kartų daugiau vizitinių kortelių atspausdina spaustuvės darbuotojas per valandą, tiek kartų mažiau laiko jam prireiks tam pačiam darbui atlikti. Žinodami tai, sukurkime proporciją:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 valandos.

Taigi, darbus atlikęs per 7 valandas, spaustuvės darbuotojas namo galėjo vykti valanda anksčiau.

Išvada

Mums atrodo, kad šios atvirkštinio proporcingumo problemos yra tikrai paprastos. Tikimės, kad dabar jūs taip pat galvojate apie juos. Ir svarbiausia, kad žinios apie atvirkščiai proporcingą kiekių priklausomybę jums tikrai gali būti naudingos ne kartą.

Ne tik matematikos pamokose ir egzaminuose. Tačiau net tada, kai susiruoši į kelionę, apsipirkinėji, nusprendi per atostogas užsidirbti šiek tiek papildomų pinigų ir pan.

Papasakokite komentaruose, kokius atvirkštinių ir tiesioginių proporcingų santykių pavyzdžius pastebite aplink save. Tebūnie toks žaidimas. Pamatysite, kaip tai įdomu. Nepamirškite pasidalinti šiuo straipsniu socialiniuose tinkluose kad jūsų draugai ir klasės draugai taip pat galėtų žaisti.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Pavyzdys

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 ir kt.

Proporcingumo koeficientas

Proporcingų dydžių pastovus ryšys vadinamas proporcingumo koeficientas. Proporcingumo koeficientas parodo, kiek vieno kiekio vienetų tenka kito vienetui.

Tiesioginis proporcingumas

Tiesioginis proporcingumas- funkcinė priklausomybė, kai tam tikras dydis priklauso nuo kito dydžio taip, kad jų santykis išlieka pastovus. Kitaip tariant, šie kintamieji keičiasi proporcingai, lygiomis dalimis, tai yra, jei argumentas pasikeičia du kartus bet kuria kryptimi, tada funkcija taip pat pasikeičia du kartus ta pačia kryptimi.

Matematiškai tiesioginis proporcingumas parašytas kaip formulė:

f(x) = ax,a = const

Atvirkštinis proporcingumas

Atvirkštinis proporcingumas- tai funkcinė priklausomybė, kai nepriklausomos reikšmės padidėjimas (argumentas) sukelia proporcingą priklausomos reikšmės (funkcijos) sumažėjimą.

Matematiškai atvirkštinis proporcingumas parašytas kaip formulė:

Funkcijos savybės:

Šaltiniai

Wikimedia fondas. 2010 m.