„Trupinių racionaliųjų lygčių sprendimas“

Pamokos tikslai:

Mokomoji medžiaga:

trupmeninių racionaliųjų lygčių sampratos formavimas; svarstyti įvairius trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdus; apsvarstykite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą, įskaitant sąlygą, kad trupmena lygi nuliui; išmokyti spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis pagal algoritmą; temos įsisavinimo lygio patikrinimas atliekant kontrolinį darbą.

Kuriama:

ugdyti gebėjimą teisingai operuoti su įgytomis žiniomis, logiškai mąstyti; intelektinių įgūdžių ir protinių operacijų ugdymas – analizė, sintezė, palyginimas ir apibendrinimas; ugdyti iniciatyvą, gebėjimą priimti sprendimus, nesustoti; kritinio mąstymo ugdymas; tiriamųjų įgūdžių ugdymas.

Auklėjimas:

pažintinio susidomėjimo dalyku ugdymas; savarankiškumo ugdymas sprendžiant ugdymo problemas; valios ir užsispyrimo, siekiant galutinių rezultatų, ugdymas.

Pamokos tipas: pamoka - naujos medžiagos paaiškinimas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Sveiki bičiuliai! Lygtys užrašytos lentoje, atidžiai jas pažiūrėkite. Ar galite išspręsti visas šias lygtis? Kurie ne ir kodėl?

Lygtys, kuriose kairė ir dešinė pusės yra trupmeninės racionalios išraiškos, vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis. Kaip manote, ką mes šiandien mokysime pamokoje? Suformuluokite pamokos temą. Taigi, atsiverčiame sąsiuvinius ir užrašome pamokos temą „Trupinių racionaliųjų lygčių sprendimas“.

2. Žinių aktualizavimas. Frontalinė apklausa, darbas žodžiu su klase.

O dabar pakartosime pagrindinę teorinę medžiagą, kurios mums reikia norint studijuoti naują temą. Prašome atsakyti į šiuos klausimus:

1. Kas yra lygtis? ( Lygybė su kintamuoju ar kintamaisiais.)

2. Kaip vadinama 1 lygtis? ( Linijinis.) Tiesinių lygčių sprendimo būdas. ( Viską su nežinomuoju perkelkite į kairę lygties pusę, visus skaičius į dešinę. Pateikite panašias sąlygas. Raskite nežinomą daugiklį).

3. Kaip vadinama 3 lygtis? ( Kvadratas.) Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. ( Viso kvadrato parinkimas pagal formules, naudojant Vieta teoremą ir jos pasekmes.)

4. Kas yra proporcija? ( Dviejų santykių lygybė.) Pagrindinė proporcijos savybė. ( Jei proporcija teisinga, tada jos kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.)

5. Kokios savybės naudojamos sprendžiant lygtis? ( 1. Jei lygtyje terminą perkelsime iš vienos dalies į kitą, keisdami jo ženklą, tai gautume lygtį, lygiavertę duotajai. 2. Jei abi lygties dalys yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, tada bus gauta lygtis, kuri yra lygiavertė duotajam.)

6. Kada trupmena lygi nuliui? ( Trupmena yra lygi nuliui, kai skaitiklis yra nulis, o vardiklis nėra nulis.)

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskite sąsiuviniuose ir lentoje lygtį Nr.

Atsakymas: 10.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite pabandyti išspręsti naudodami pagrindinę proporcijos savybę? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Išspręskite lygtį Nr. 4 sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 1,5.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti padauginę abi lygties puses iš vardiklio? (Nr. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Atsakymas: 3;4.

Dabar pabandykite išspręsti 7 lygtį vienu iš būdų.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5) (x+5) = 0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Atsakymas: 0;5;-2.			Atsakymas: 5;-2.

Paaiškinkite, kodėl taip atsitiko? Kodėl vienu atveju yra trys šaknys, o kitu – dvi? Kokie skaičiai yra šios trupmeninės racionalios lygties šaknys?

Iki šiol studentai nebuvo sutikę pašalinės šaknies sąvokos, jiems tikrai labai sunku suprasti, kodėl taip atsitiko. Jei klasėje niekas negali aiškiai paaiškinti šios situacijos, mokytojas užduoda pagrindinius klausimus.

Kuo lygtys Nr. 2 ir 4 skiriasi nuo lygčių Nr. 5,6,7? ( 2 ir 4 lygtyse skaičiaus vardiklyje, 5-7 - reiškiniai su kintamuoju.) Kokia yra lygties šaknis? ( Kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa tikrąja lygybe.) Kaip sužinoti, ar skaičius yra lygties šaknis? ( Padarykite čekį.)

Kai kurie mokiniai, atlikdami testą, pastebi, kad turi dalytis iš nulio. Jie daro išvadą, kad skaičiai 0 ir 5 nėra šios lygties šaknys. Kyla klausimas: ar yra būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, kurios pašalintų šią klaidą? Taip, šis metodas pagrįstas sąlyga, kad trupmena lygi nuliui.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jei x=5, tai x(x-5)=0, taigi 5 yra pašalinė šaknis.

Jei x=-2, tai x(x-5)≠0.

Atsakymas: -2.

Pabandykime tokiu būdu suformuluoti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą. Vaikai patys suformuluoja algoritmą.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Viską perkelkite į kairę pusę.

2. Suveskite trupmenas į bendrą vardiklį.

3. Sudarykite sistemą: trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui.

4. Išspręskite lygtį.

5. Patikrinkite nelygybę, kad neįtrauktumėte pašalinių šaknų.

6. Užsirašykite atsakymą.

Diskusija: kaip formalizuoti sprendimą, jei naudojama pagrindinė proporcijos savybė ir abiejų lygties pusių dauginimas iš bendro vardiklio. (Papildykite sprendimą: iš jo šaknų išbraukite tuos, kurie bendrą vardiklį paverčia nuliu).

4. Pirminis naujos medžiagos suvokimas.

Dirbti porose. Studentai patys pasirenka, kaip išspręsti lygtį, atsižvelgdami į lygties tipą. Užduotys iš vadovėlio „Algebra 8“, 2007: Nr.000 (b, c, i); Nr. 000(a, e, g). Mokytojas kontroliuoja užduoties atlikimą, atsako į iškilusius klausimus, teikia pagalbą prastai besiverčiantiems mokiniams. Savikontrolė: atsakymai užrašomi lentoje.

b) 2 yra pašalinė šaknis. Atsakymas: 3.

c) 2 yra pašalinė šaknis. Atsakymas: 1.5.

a) Atsakymas: -12.5.

g) Atsakymas: 1; 1.5.

5. Namų darbų pareiškimas.

2. Išmokti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą.

3. Spręsti sąsiuviniuose Nr.000 (a, d, e); Nr. 000(g, h).

4. Pabandykite išspręsti Nr. 000(a) (neprivaloma).

6. Kontrolinės užduoties studijuojama tema įvykdymas.

Darbai atliekami ant lakštų.

Darbo pavyzdys:

A) Kurios iš lygčių yra trupmeninės racionalios?

B) Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis yra ______________________, o vardiklis yra ___________________________.

K) Ar skaičius -3 yra 6 lygties šaknis?

D) Išspręskite lygtį Nr.

Užduočių vertinimo kriterijai:

„5“ suteikiama, jei mokinys teisingai atliko daugiau nei 90% užduoties. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" skiriama mokiniui, kuris atliko mažiau nei 50% užduoties. 2 pažymys į žurnalą neįrašomos, 3 neprivaloma.

7. Refleksija.

Ant lankstinukų su savarankišku darbu uždėkite:

1 - jei pamoka jums buvo įdomi ir suprantama; 2 - įdomu, bet neaišku; 3 – neįdomu, bet suprantama; 4 – neįdomu, neaišku.

8. Pamokos apibendrinimas.

Taigi, šiandien pamokoje susipažinome su trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, mokėmės įvairiai spręsti šias lygtis, pasitikrinome žinias ugdomojo savarankiško darbo pagalba. Savarankiško darbo rezultatus sužinosite kitoje pamokoje, namuose turėsite galimybę įgytas žinias įtvirtinti.

Koks trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdas, jūsų nuomone, yra lengvesnis, prieinamesnis, racionalesnis? Nepriklausomai nuo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo metodo, ko nereikėtų pamiršti? Kas yra trupmeninių racionalių lygčių „gudrumas“?

Ačiū visiems, pamoka baigėsi.

Susipažinkime su racionaliosiomis ir trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, pateikime jų apibrėžimą, pateiksime pavyzdžių, taip pat išanalizuokime dažniausiai pasitaikančias problemų rūšis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalioji lygtis: apibrėžimas ir pavyzdžiai

Pažintis su racionaliais posakiais prasideda 8-oje mokyklos klasėje. Šiuo metu algebros pamokose mokiniai vis dažniau pradeda atlikti užduotis su lygtimis, kurių užrašuose yra racionalių išraiškų. Atnaujinkime savo atmintį, kas tai yra.

1 apibrėžimas

racionalioji lygtis yra lygtis, kurios abiejose pusėse yra racionalių išraiškų.

Įvairiuose vadovuose galite rasti kitą formuluotę.

2 apibrėžimas

racionalioji lygtis- tai lygtis, kurios kairiosios pusės įraše yra racionali išraiška, o dešinėje - nulis.

Apibrėžimai, kuriuos pateikėme racionaliosioms lygtims, yra lygiaverčiai, nes jie reiškia tą patį. Mūsų žodžių teisingumą patvirtina tai, kad bet kokiems racionaliems posakiams P ir K lygtys P=Q ir P − Q = 0 bus lygiavertės išraiškos.

Dabar pereikime prie pavyzdžių.

1 pavyzdys

Racionalios lygtys:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionaliosiose lygtyse, kaip ir kitų tipų lygtyse, gali būti bet koks kintamųjų skaičius nuo 1 iki kelių. Pirmiausia pažvelgsime į paprastus pavyzdžius, kuriuose lygtyse bus tik vienas kintamasis. Ir tada mes pradedame palaipsniui apsunkinti užduotį.

Racionaliosios lygtys skirstomos į dvi dideles grupes: sveikąsias ir trupmenines. Pažiūrėkime, kurios lygtys bus taikomos kiekvienai grupei.

3 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus sveikasis skaičius, jei kairiosios ir dešiniosios jos dalių įraše yra visos racionalios išraiškos.

4 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus trupmeninė, jei vienoje ar abiejose jos dalyse yra trupmena.

Trupmeninės racionalios lygtys būtinai turi dalijimąsi iš kintamojo arba kintamasis yra vardiklyje. Rašant sveikųjų skaičių lygtis tokio padalijimo nėra.

2 pavyzdys

3 x + 2 = 0 ir (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0, 5 yra ištisos racionalios lygtys. Čia abi lygties dalys vaizduojamos sveikųjų skaičių išraiškomis.

1 x - 1 = x 3 ir x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 yra trupmeninės racionalios lygtys.

Visos racionalios lygtys apima tiesines ir kvadratines lygtis.

Sveikųjų skaičių lygčių sprendimas

Tokių lygčių sprendimas paprastai redukuojasi iki jų transformacijos į lygiavertes algebrines lygtis. Tai galima pasiekti atlikus lygiavertes lygčių transformacijas pagal šį algoritmą:

• pirmiausia gauname nulį dešinėje lygties pusėje, tam reikia perkelti išraišką, esančią dešinėje lygties pusėje, į kairę ir pakeisti ženklą;
• tada kairėje lygties pusėje esančią išraišką transformuojame į standartinės formos daugianarį.

Turime gauti algebrinę lygtį. Ši lygtis bus lygiavertė pradinei lygčiai. Paprasti atvejai leidžia išspręsti problemą sumažinant visą lygtį į tiesinę arba kvadratinę. Bendruoju atveju išsprendžiame algebrinę laipsnio lygtį n.

3 pavyzdys

Būtina rasti visos lygties šaknis 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Sprendimas

Transformuokime pradinę išraišką, kad gautume jai lygiavertę algebrinę lygtį. Norėdami tai padaryti, dešinėje lygties pusėje esančią išraišką perkelsime į kairę ir pakeisime ženklą į priešingą. Dėl to gauname: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Dabar kairėje pusėje esančią išraišką transformuosime į standartinės formos daugianarį ir atliksime reikiamus veiksmus su šiuo polinomu:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Pradinės lygties sprendinį pavyko redukuoti iki formos kvadratinės lygties sprendinio x 2 − 5 x − 6 = 0. Šios lygties diskriminantas yra teigiamas: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tai reiškia, kad bus dvi tikros šaknys. Raskime juos naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 arba x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 arba x 2 = - 1

Patikrinkime lygties šaknų teisingumą, kurią radome sprendimo eigoje. Šį skaičių, kurį gavome, pakeičiame į pradinę lygtį: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 ir 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Pirmuoju atveju 63 = 63 , antrajame 0 = 0 . Šaknys x=6 ir x = −1 iš tikrųjų yra lygties, pateiktos pavyzdinėje sąlygoje, šaknys.

Atsakymas: 6 , − 1 .

Pažiūrėkime, ką reiškia „visos lygties galia“. Mes dažnai susidursime su šiuo terminu tais atvejais, kai turime pavaizduoti visą lygtį algebrinės formos pavidalu. Apibrėžkime sąvoką.

5 apibrėžimas

Sveikojo skaičiaus lygties laipsnis yra algebrinės lygties laipsnis, lygiavertis pradinei visai lygčiai.

Jei pažvelgsite į lygtis iš aukščiau pateikto pavyzdžio, galite nustatyti: visos šios lygties laipsnis yra antrasis.

Jei mūsų kursas apsiribotų antrojo laipsnio lygčių sprendimu, tai temos svarstymas galėtų būti baigtas čia. Tačiau viskas nėra taip paprasta. Trečiojo laipsnio lygčių sprendimas yra kupinas sunkumų. O lygtims, viršijančioms ketvirtąjį laipsnį, apskritai nėra bendrųjų šaknų formulių. Šiuo atžvilgiu norint išspręsti visas trečiojo, ketvirtojo ir kitų laipsnių lygtis, reikia naudoti daugybę kitų metodų ir metodų.

Dažniausiai naudojamas ištisų racionaliųjų lygčių sprendimo būdas yra pagrįstas faktorizavimo metodu. Veiksmų algoritmas šiuo atveju yra toks:

• išraišką perkeliame iš dešinės pusės į kairę, kad įrašo dešinėje liktų nulis;
• kairėje pusėje esančią išraišką pavaizduojame kaip veiksnių sandaugą, o tada pereiname prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

4 pavyzdys

Raskite lygties (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) sprendinį.

Sprendimas

Perkeliame išraišką iš dešinės įrašo pusės į kairę pusę su priešingu ženklu: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Konvertuoti kairę pusę į standartinės formos daugianarį yra nepraktiška, nes taip gausime ketvirtojo laipsnio algebrinę lygtį: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Transformacijos paprastumas nepateisina visų sunkumų sprendžiant tokią lygtį.

Daug lengviau eiti kitu keliu: išimame bendrą faktorių x 2 – 10 x + 13 . Taip gauname formos lygtį (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Dabar gautą lygtį pakeičiame dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 – 10 x + 13 = 0 ir x 2 − 2 x − 1 = 0 ir raskite jų šaknis per diskriminantą: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Atsakymas: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Panašiai galime naudoti ir naujo kintamojo įvedimo metodą. Šis metodas leidžia pereiti prie lygiaverčių lygčių, kurių galios yra mažesnės nei pradinėje visoje lygtyje.

5 pavyzdys

Ar lygtis turi šaknis? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Sprendimas

Jei dabar bandysime visą racionalią lygtį redukuoti į algebrinę, gausime 4 laipsnio lygtį, kuri neturi racionalių šaknų. Todėl mums bus lengviau eiti kitu keliu: įvesti naują kintamąjį y, kuris pakeis išraišką lygtyje x 2 + 3 x.

Dabar dirbsime su visa lygtimi (y + 1) 2 + 10 = – 2 (y – 4). Dešinę lygties pusę perkeliame į kairę pusę su priešingu ženklu ir atliekame reikiamas transformacijas. Mes gauname: y 2 + 4 y + 3 = 0. Raskime kvadratinės lygties šaknis: y = – 1 ir y = – 3.

Dabar atlikime atvirkštinį pakeitimą. Gauname dvi lygtis x 2 + 3 x = – 1 ir x 2 + 3 x = - 3 . Perrašykime juos į x 2 + 3 x + 1 = 0 ir x 2 + 3 x + 3 = 0. Norėdami rasti pirmosios gautos lygties šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę: - 3 ± 5 2 . Antrosios lygties diskriminantas yra neigiamas. Tai reiškia, kad antroji lygtis neturi realių šaknų.

Atsakymas:- 3 ± 5 2

Aukštų laipsnių sveikųjų skaičių lygtys gana dažnai susiduria su problemomis. Nereikia jų bijoti. Turite būti pasirengę taikyti nestandartinį jų sprendimo būdą, įskaitant daugybę dirbtinių transformacijų.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Šios potemės svarstymą pradedame nuo p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmo, kur p(x) ir q(x) yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos. Kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendimas visada gali būti redukuojamas į nurodytos formos lygčių sprendinį.

Dažniausiai naudojamas lygčių p (x) q (x) = 0 sprendimo metodas yra pagrįstas tokiu teiginiu: skaitinė trupmena u v, kur v yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, lygus nuliui tik tais atvejais, kai trupmenos skaitiklis lygus nuliui. Vadovaudamiesi aukščiau pateikto teiginio logika, galime teigti, kad lygties p (x) q (x) = 0 sprendimas gali būti redukuotas iki dviejų sąlygų įvykdymo: p(x)=0 ir q(x) ≠ 0. Remiantis tuo, sudaromas p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

• randame visos racionalios lygties sprendinį p(x)=0;
• patikriname, ar tenkinama sąlyga sprendimo metu rastoms šaknims q(x) ≠ 0.

Jei ši sąlyga yra įvykdyta, tada rasta šaknis, o jei ne, tada šaknis nėra problemos sprendimas.

6 pavyzdys

Raskite lygties 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 šaknis.

Sprendimas

Turime reikalą su trupmenine racionalia lygtimi, kurios forma yra p (x) q (x) = 0 , kurioje p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Pradėkime spręsti tiesinę lygtį 3 x - 2 = 0. Šios lygties šaknis bus x = 2 3.

Patikrinkime rastą šaknį, ar ji atitinka sąlygą 5 x 2 - 2 ≠ 0. Norėdami tai padaryti, išraiškoje pakeiskite skaitinę reikšmę. Gauname: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Sąlyga įvykdyta. Tai reiškia kad x = 2 3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: 2 3 .

Yra dar vienas trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo variantas p (x) q (x) = 0 . Prisiminkite, kad ši lygtis yra lygiavertė visai lygčiai p(x)=0 pradinės lygties kintamojo x leistinų verčių diapazone. Tai leidžia mums naudoti šį algoritmą sprendžiant lygtis p(x) q(x) = 0:

• išspręskite lygtį p(x)=0;
• raskite priimtinų kintamojo x reikšmių diapazoną;
• imame šaknis, esančias kintamojo x leistinų verčių srityje, kaip norimas pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis.

7 pavyzdys

Išspręskite lygtį x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Sprendimas

Pirmiausia išspręskime kvadratinę lygtį x 2 − 2 x − 11 = 0. Norėdami apskaičiuoti jo šaknis, naudojame lyginio antrojo koeficiento šaknies formulę. Mes gauname D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ir x = 1 ± 2 3 .

Dabar galime rasti pradinės lygties x ODV. Tai visi skaičiai, kuriems x 2 + 3 x ≠ 0. Tai tas pats kaip x (x + 3) ≠ 0, iš kur x ≠ 0, x ≠ − 3 .

Dabar patikrinkime, ar šaknys x = 1 ± 2 3, gautos pirmajame sprendimo etape, yra priimtinų kintamojo x verčių diapazone. Mes matome, kas ateina. Tai reiškia, kad pradinė trupmeninė racionalioji lygtis turi dvi šaknis x = 1 ± 2 3 .

Atsakymas: x = 1 ± 2 3

Antrasis aprašytas sprendimo būdas yra paprastesnis nei pirmasis tais atvejais, kai lengvai randamas kintamojo x leistinų reikšmių plotas ir lygties šaknys p(x)=0 neracionalus. Pavyzdžiui, 7 ± 4 26 9 . Šaknys gali būti racionalios, bet su dideliu skaitikliu arba vardikliu. Pavyzdžiui, 127 1101 ir − 31 59 . Taip sutaupoma laiko būklei patikrinti. q(x) ≠ 0: pagal ODZ daug lengviau pašalinti netelpančias šaknis.

Kai lygties šaknys p(x)=0 yra sveikieji skaičiai, p (x) q (x) = 0 formos lygtims spręsti tikslingiau naudoti pirmąjį iš aprašytų algoritmų. Greitesnis visos lygties šaknų radimas p(x)=0, tada patikrinkite, ar tenkinama sąlyga q(x) ≠ 0, ir nerasti ODZ, o tada išspręsti lygtį p(x)=0šiame ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais paprastai lengviau patikrinti, nei rasti ODZ.

8 pavyzdys

Raskite lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 šaknis = 0.

Sprendimas

Pradedame nuo visos lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ir surasti jo šaknis. Norėdami tai padaryti, taikome lygčių sprendimo metodą faktorizuojant. Pasirodo, pradinė lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, iš kurių trys yra tiesinės ir vienas kvadratinis. Mes randame šaknis: iš pirmosios lygties x = 12, nuo antrojo x=6, nuo trečio - x \u003d 7, x \u003d - 2, iš ketvirto - x = −1.

Patikrinkime gautas šaknis. Šiuo atveju mums sunku nustatyti ODZ, nes tam turėsime išspręsti penktojo laipsnio algebrinę lygtį. Bus lengviau patikrinti sąlygą, pagal kurią trupmenos vardiklis, esantis kairėje lygties pusėje, neturėtų išnykti.

Savo ruožtu, reiškinyje vietoj kintamojo x pakeiskite šaknis x 5 – 15 x 4 + 57 x 3 – 13 x 2 + 26 x + 112 ir apskaičiuokite jo vertę:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Atliktas patikrinimas leidžia nustatyti, kad pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys yra 1 2 , 6 ir − 2 .

Atsakymas: 1 2 , 6 , - 2

9 pavyzdys

Raskite trupmeninės racionalios lygties 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 šaknis.

Sprendimas

Pradėkime nuo lygties (5 x 2 – 7 x – 1) (x – 2) = 0. Raskime jo šaknis. Mums lengviau šią lygtį pavaizduoti kaip kvadratinių ir tiesinių lygčių derinį 5 x 2 – 7 x – 1 = 0 ir x − 2 = 0.

Norėdami rasti šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę. Iš pirmosios lygties gauname dvi šaknis x = 7 ± 69 10, o iš antrosios x=2.

Pakeisti šaknų reikšmę į pradinę lygtį, kad patikrintume sąlygas, mums bus gana sunku. Bus lengviau nustatyti kintamojo x LPV. Šiuo atveju kintamojo x DPV yra visi skaičiai, išskyrus tuos, kurių sąlyga yra įvykdyta x 2 + 5 x - 14 = 0. Gauname: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Dabar patikrinkime, ar rastos šaknys priklauso priimtinų x kintamojo verčių diapazonui.

Šaknys x = 7 ± 69 10 - priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys ir x=2- nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: x = 7 ± 69 10 .

Atskirai panagrinėkime atvejus, kai p (x) q (x) = 0 formos trupmeninės racionalios lygties skaitiklyje yra skaičius. Tokiais atvejais, jei skaitiklyje yra ne nulis, o kitas skaičius, lygtis neturės šaknų. Jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis bus bet koks skaičius iš ODZ.

10 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Sprendimas

Ši lygtis neturės šaknų, nes trupmenos skaitiklyje iš kairės lygties pusės yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad bet kurioms x reikšmėms problemos sąlygoje pateiktos trupmenos reikšmė nebus lygi nuliui.

Atsakymas: jokių šaknų.

11 pavyzdys

Išspręskite lygtį 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Sprendimas

Kadangi trupmenos skaitiklis yra nulis, lygties sprendimas bus bet kokia x reikšmė iš ODZ kintamojo x.

Dabar apibrėžkime ODZ. Jame bus visos x reikšmės, kurioms x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Lygčių sprendiniai x 4 + 5 x 3 = 0 yra 0 ir − 5 , nes ši lygtis yra lygiavertė lygčiai x 3 (x + 5) = 0, o ji savo ruožtu yra lygi dviejų lygčių aibei x 3 = 0 ir x + 5 = 0 kur šios šaknys matomos. Darome išvadą, kad norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet koks x , išskyrus x=0 ir x = -5.

Pasirodo, trupmeninėje racionaliojoje lygtyje 0 x 4 + 5 x 3 = 0 yra begalinis skaičius sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir -5.

Atsakymas: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Dabar pakalbėkime apie savavališkos formos trupmenines racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Jie gali būti parašyti kaip r(x) = s(x), kur r(x) ir s(x) yra racionalios išraiškos ir bent viena iš jų yra trupmeninė. Tokių lygčių sprendimas redukuojamas į p (x) q (x) = 0 formos lygčių sprendinį.

Jau žinome, kad lygiavertę lygtį galime gauti perkeldami išraišką iš dešinės lygties pusės į kairę pusę su priešingu ženklu. Tai reiškia, kad lygtis r(x) = s(x) yra lygiavertis lygčiai r (x) − s (x) = 0. Taip pat jau aptarėme, kaip racionalią išraišką paversti racionalia trupmena. Dėl to lygtį galime lengvai transformuoti r (x) − s (x) = 0į savo identišką formos p (x) q (x) racionaliąją trupmeną.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x) = s(x)į p (x) q (x) = 0 formos lygtį, kurią jau išmokome išspręsti.

Reikėtų pažymėti, kad atliekant perėjimus iš r (x) − s (x) = 0į p (x) q (x) = 0 ir tada į p(x)=0 galime neatsižvelgti į kintamojo x galiojančių verčių diapazono išplėtimą.

Tai gana realu, kad pradinė lygtis r(x) = s(x) ir lygtis p(x)=0 dėl transformacijų jie nustos būti lygiaverčiai. Tada lygties sprendimas p(x)=0 gali suteikti mums šaknų, kurios bus svetimos r(x) = s(x). Šiuo atžvilgiu kiekvienu atveju būtina atlikti patikrinimą bet kuriuo iš aukščiau aprašytų metodų.

Kad jums būtų lengviau studijuoti temą, mes apibendriname visą informaciją į algoritmą, skirtą išspręsti trupmeninę racionaliąją formos lygtį r(x) = s(x):

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu, o dešinėje gauname nulį;
• pradinę išraišką paverčiame racionalia trupmena p (x) q (x), nuosekliai atlikdami veiksmus su trupmenomis ir daugianariais;
• išspręskite lygtį p(x)=0;
• pašalines šaknis atskleidžiame patikrindami jų priklausymą ODZ arba pakeisdami į pradinę lygtį.

Vizualiai veiksmų grandinė atrodys taip:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → iškritimo r o n d e r o o n s

12 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį x x + 1 = 1 x + 1 .

Sprendimas

Pereikime prie lygties x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Kairėje lygties pusėje esančią trupmeninę racionaliąją išraišką transformuokime į formą p (x) q (x) .

Norėdami tai padaryti, turime sumažinti racionaliąsias trupmenas iki bendro vardiklio ir supaprastinti išraišką:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = – 2 x – 1 x (x + 1)

Norėdami rasti lygties šaknis - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, turime išspręsti lygtį − 2 x − 1 = 0. Mes gauname vieną šaknį x = - 1 2.

Mums belieka atlikti patikrinimą bet kuriuo iš būdų. Apsvarstykime juos abu.

Pakeiskite gautą reikšmę į pradinę lygtį. Gauname - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Mes priėjome prie teisingos skaitinės lygybės − 1 = − 1 . Tai reiškia kad x = −1 2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar patikrinsime per ODZ. Nustatykime kintamojo x priimtinų reikšmių sritį. Tai bus visa skaičių rinkinys, išskyrus −1 ir 0 (kai x = −1 ir x = 0, trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis, kurį gavome x = −1 2 priklauso ODZ. Tai reiškia, kad tai yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: − 1 2 .

13 pavyzdys

Raskite lygties x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x šaknis.

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmenine racionalia lygtimi. Todėl veiksime pagal algoritmą.

Perkelkime išraišką iš dešinės pusės į kairę pusę su priešingu ženklu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Atlikime reikiamas transformacijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Prieiname prie lygties x=0. Šios lygties šaknis lygi nuliui.

Patikrinkime, ar ši šaknis yra svetima pradinei lygčiai. Pakeiskite reikšmę pradinėje lygtyje: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kaip matote, gauta lygtis neturi prasmės. Tai reiškia, kad 0 yra pašalinė šaknis, o pradinė trupmeninė racionali lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: jokių šaknų.

Jei į algoritmą neįtraukėme kitų lygiaverčių transformacijų, tai visiškai nereiškia, kad jų negalima naudoti. Algoritmas yra universalus, tačiau jis skirtas padėti, o ne riboti.

14 pavyzdys

Išspręskite lygtį 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Sprendimas

Lengviausias būdas yra išspręsti pateiktą trupmeninę racionaliąją lygtį pagal algoritmą. Tačiau yra ir kitas būdas. Pasvarstykime.

Atimkite iš dešinės ir kairės dalių 7, gausime: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Iš to galime daryti išvadą, kad kairiosios pusės vardiklyje esanti išraiška turi būti lygi skaičiaus iš dešinės pusės atvirkštiniam skaičiui, tai yra, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Iš abiejų dalių atimkite 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Pagal analogiją 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, iš kur 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ir toliau 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Patikrinkime, norėdami nustatyti, ar rastos šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Atsakymas: x = ± 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Iki šiol mes sprendėme tik sveikųjų skaičių lygtis nežinomojo atžvilgiu, tai yra lygtis, kurių vardikliuose (jei yra) nežinomo nebuvo.

Dažnai tenka spręsti lygtis, kurių vardikliuose yra nežinomasis: tokios lygtys vadinamos trupmeninėmis.

Norėdami išspręsti šią lygtį, padauginame abi jos puses iš daugianario, kuriame yra nežinomasis. Ar nauja lygtis bus lygiavertė pateiktajai? Norėdami atsakyti į klausimą, išspręskime šią lygtį.

Abi jo puses padauginus iš , gauname:

Išspręsdami šią pirmojo laipsnio lygtį, randame:

Taigi (2) lygtis turi vieną šaknį

Pakeitę jį į (1) lygtį, gauname:

Vadinasi, yra ir (1) lygties šaknis.

(1) lygtis neturi kitų šaknų. Mūsų pavyzdyje tai matyti, pavyzdžiui, iš to, kad (1) lygtyje

Kaip nežinomasis daliklis turi būti lygus dividendui 1, padalintam iš dalinio 2, t.y.

Taigi (1) ir (2) lygtys turi vieną šaknį, todėl jos yra lygiavertės.

2. Dabar išsprendžiame šią lygtį:

Paprasčiausias bendras vardiklis: ; padauginkite iš jo visus lygties narius:

Po sumažinimo gauname:

Išplėskime skliaustus:

Atsižvelgiant į panašias sąlygas, turime:

Išspręsdami šią lygtį, randame:

Pakeitę į (1) lygtį, gauname:

Kairėje pusėje gavome prasmės neturinčius posakius.

Vadinasi, (1) lygties šaknis nėra. Tai reiškia, kad (1) ir lygtys nėra lygiavertės.

Šiuo atveju sakome, kad (1) lygtis įgijo pašalinę šaknį.

Palyginkime (1) lygties sprendinį su anksčiau nagrinėtų lygčių sprendiniu (žr. § 51). Spręsdami šią lygtį, turėjome atlikti dvi tokias operacijas, kurių anksčiau nematėme: pirma, padauginome abi lygties puses iš išraiškos, kurioje yra nežinomasis (bendrasis vardiklis), ir, antra, sumažinome algebrines trupmenas faktoriais, kuriuose yra nežinomasis.

Lyginant (1) lygtį su (2) lygtimi, matome, kad ne visos x reikšmės, galiojančios (2) lygčiai, galioja (1) lygčiai.

Būtent skaičiai 1 ir 3 nėra leistinos nežinomojo reikšmės (1) lygčiai, o dėl transformacijos jie tapo priimtini (2) lygčiai. Vienas iš šių skaičių pasirodė esąs (2) lygties sprendimas, bet, žinoma, jis negali būti (1) lygties sprendimas. (1) lygtis neturi sprendinių.

Šis pavyzdys rodo, kad padauginus abi lygties dalis iš koeficiento, kuriame yra nežinomasis, ir redukuojant algebrines trupmenas, galima gauti lygtį, kuri nėra lygiavertė duotajai, būtent: gali atsirasti pašalinių šaknų.

Todėl darome tokią išvadą. Sprendžiant lygtį, kurios vardiklyje yra nežinomasis, gautos šaknys turi būti patikrintos pakeičiant pradinę lygtį. Pašalinės šaknys turi būti išmestos.

„Racionalios lygtys su daugianariais“ yra viena iš dažniausiai pasitaikančių temų USE testuose matematikoje. Dėl šios priežasties jų kartojimui reikėtų skirti ypatingą dėmesį. Daugelis studentų susiduria su problema rasti diskriminantą, perkelti rodiklius iš dešinės pusės į kairę ir suvesti lygtį į bendrą vardiklį, todėl sunku atlikti tokias užduotis. Racionalių lygčių sprendimas ruošiantis egzaminui mūsų svetainėje padės greitai susidoroti su bet kokio sudėtingumo užduotimis ir puikiai išlaikyti testą.

Norėdami sėkmingai pasiruošti vieningam matematikos egzaminui, rinkitės edukacinį portalą „Shkolkovo“!

Norėdami sužinoti nežinomųjų skaičiavimo taisykles ir lengvai gauti teisingus rezultatus, naudokite mūsų internetinę paslaugą. Shkolkovo portalas yra unikali platforma, kurioje renkama medžiaga, reikalinga pasiruošimui egzaminui. Mūsų mokytojai susistemino ir suprantama forma pateikė visas matematines taisykles. Be to, kviečiame moksleivius išbandyti savo jėgas sprendžiant tipines racionaliąsias lygtis, kurių pagrindas nuolat atnaujinamas ir papildomas.

Norint efektyviau pasiruošti testavimui, rekomenduojame vadovautis mūsų specialiu metodu ir pradėti nuo taisyklių kartojimo bei paprastų problemų sprendimo, palaipsniui pereinant prie sudėtingesnių. Taigi abiturientas galės išryškinti pačias sunkiausias temas ir susitelkti į jų studijas.

Pradėkite ruoštis galutiniam bandymui su „Shkolkovo“ šiandien, o rezultatas neprivers jūsų laukti! Pasirinkite lengviausią pavyzdį iš pateiktų. Jei greitai įvaldėte posakį, pereikite prie sunkesnės užduoties. Taigi galite patobulinti savo žinias iki USE matematikos užduočių sprendimo profilio lygiu.

Išsilavinimą gali gauti ne tik absolventai iš Maskvos, bet ir kitų miestų moksleiviai. Pavyzdžiui, skirkite porą valandų per dieną studijuodami mūsų portale ir labai greitai galėsite susidoroti su bet kokio sudėtingumo lygtimis!