Geometrijsko območje- numerična značilnost geometrijske figure, ki prikazuje velikost te figure (del površine, omejen z zaprto konturo te figure). Velikost površine je izražena s številom kvadratnih enot, ki jih vsebuje.
Formule ploščine trikotnika
- Formula za površino trikotnika za stranico in višino
Območje trikotnika enaka polovici zmnožka dolžine stranice trikotnika in dolžine nadmorske višine, narisane na to stran - Formula za površino trikotnika s tremi stranicami in polmerom opisanega kroga
- Formula za površino trikotnika s tremi stranicami in polmerom včrtanega kroga
Območje trikotnika je enak zmnožku polovice obsega trikotnika in polmera včrtanega kroga. kjer je S območje trikotnika,
- dolžine stranic trikotnika,
- višina trikotnika,
- kot med stranicama in,
- polmer včrtanega kroga,
R - polmer opisanega kroga,
Formule kvadratne površine
- Formula za površino kvadrata glede na dolžino stranice
kvadratna površina je enaka kvadratu njegove stranice. - Formula za površino kvadrata glede na dolžino diagonale
kvadratna površina enaka polovici kvadrata dolžine njegove diagonale.S= 1 2 2 kjer je S površina kvadrata,
je dolžina stranice kvadrata,
je dolžina diagonale kvadrata.
Formula za površino pravokotnika
- Območje pravokotnika je enak zmnožku dolžin njegovih dveh sosednjih stranic
kjer je S površina pravokotnika,
so dolžine stranic pravokotnika.
Formule za območje paralelograma
- Formula za površino paralelograma za dolžino in višino stranice
Območje paralelograma - Formula za površino paralelograma z dvema stranicama in kotom med njima
Območje paralelograma je enak produktu dolžin njegovih stranic, pomnoženih s sinusom kota med njima.a b sinα
kjer je S površina paralelograma,
so dolžine stranic paralelograma,
je višina paralelograma,
je kot med stranicama paralelograma.
Formule za območje romba
- Formula ploščine romba glede na dolžino in višino stranice
Območje romba je enak zmnožku dolžine njegove stranice in dolžine višine, spuščene na to stran. - Formula za površino romba glede na dolžino stranice in kota
Območje romba je enak zmnožku kvadrata dolžine njegove stranice in sinusa kota med stranicama romba. - Formula za območje romba iz dolžin njegovih diagonal
Območje romba je enaka polovici produkta dolžin njegovih diagonal. kjer je S območje romba,
- dolžina stranice romba,
- dolžina višine romba,
- kot med stranicama romba,
1, 2 - dolžine diagonal.
Formule površine trapeza
- Heronova formula za trapez
Kjer je S območje trapeza,
- dolžina osnov trapeza,
- dolžine stranic trapeza,
Območje paralelograma
1. izrek
Ploščina paralelograma je opredeljena kot zmnožek dolžine njegove stranice in višine, ki je nanjo narisana.
kjer je $a$ stranica paralelograma, $h$ je višina, narisana na to stran.
Dokaz.
Naj nam bo dan paralelogram $ABCD$ z $AD=BC=a$. Narišimo višini $DF$ in $AE$ (slika 1).
Slika 1.
Očitno je, da je lik $FDAE$ pravokotnik.
\[\kot BAE=(90)^0-\kot A,\ \] \[\kot CDF=\kot D-(90)^0=(180)^0-\kot A-(90)^0 =(90)^0-\kot A=\kot BAE\]
Ker je torej $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\trikotnik BAE=\trikotnik CDF$, $I$ test enakosti trikotnika. Potem
Torej glede na izrek o površini pravokotnika:
Izrek je dokazan.
2. izrek
Ploščina paralelograma je definirana kot produkt dolžine njegovih sosednjih stranic in sinusa kota med tema stranicama.
Matematično lahko to zapišemo na naslednji način
kjer sta $a,\ b$ stranici paralelograma, $\alpha $ je kot med njima.
Dokaz.
Naj nam bo dan paralelogram $ABCD$ z $BC=a,\ CD=b,\ \kot C=\alpha $. Narišimo višino $DF=h$ (slika 2).
Slika 2.
Po definiciji sinusa dobimo
Posledično
Zato po izreku $1$:
Izrek je dokazan.
Območje trikotnika
Izrek 3
Območje trikotnika je opredeljeno kot polovica produkta dolžine njegove stranice in višine, ki je nanjo narisana.
Matematično lahko to zapišemo na naslednji način
kjer je $a$ stranica trikotnika, $h$ je višina, narisana na to stran.
Dokaz.
Slika 3
Torej po teoremu $1$:
Izrek je dokazan.
Izrek 4
Ploščina trikotnika je definirana kot polovica produkta dolžine njegovih sosednjih stranic in sinusa kota med tema stranicama.
Matematično lahko to zapišemo na naslednji način
kjer sta $a,\ b$ stranici trikotnika, $\alpha $ je kot med njima.
Dokaz.
Naj nam bo dan trikotnik $ABC$ z $AB=a$. Nariši višino $CH=h$. Sestavimo ga do paralelograma $ABCD$ (slika 3).
Očitno je $\trikotnik ACB=\trikotnik CDB$ z $I$. Potem
Torej po teoremu $1$:
Izrek je dokazan.
Območje trapeza
Izrek 5
Ploščina trapeza je definirana kot polovica produkta vsote dolžin njegovih baz in njegove višine.
Matematično lahko to zapišemo na naslednji način
Dokaz.
Naj nam je dan trapez $ABCK$, kjer je $AK=a,\ BC=b$. Vanjo narišimo višini $BM=h$ in $KP=h$ ter diagonalo $BK$ (slika 4).
Slika 4
Po izreku $3$ dobimo
Izrek je dokazan.
Primer naloge
Primer 1
Poiščite ploščino enakostraničnega trikotnika, če je dolžina njegove stranice $a.$
Rešitev.
Ker je trikotnik enakostranični, so vsi njegovi koti enaki $(60)^0$.
Potem imamo po izreku $4$
odgovor:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.
Upoštevajte, da je rezultat te težave mogoče uporabiti za iskanje površine katerega koli enakostraničnega trikotnika z dano stranico.
Kot v evklidski geometriji sta točka in premica glavna elementa teorije ravnin, tako je paralelogram ena ključnih figur konveksnih štirikotnikov. Iz njega, kot niti iz kroglice, tečejo koncepti "pravokotnik", "kvadrat", "romb" in druge geometrijske količine.
V stiku z
Definicija paralelograma
konveksni štirikotnik, sestavljen iz segmentov, od katerih je vsak par vzporeden, je v geometriji znan kot paralelogram.
Klasičen paralelogram je videti kot štirikotnik ABCD. Stranice imenujemo osnovke (AB, BC, CD in AD), navpičnico, ki jo potegnemo iz poljubnega oglišča na nasprotno stranico tega oglišča, imenujemo višina (BE in BF), premici AC in BD sta diagonali.
Pozor! Kvadrat, romb in pravokotnik so posebni primeri paralelograma.
Stranice in koti: značilnosti razmerja
Ključne lastnosti na splošno vnaprej določeno s samo oznako, jih dokazuje izrek. Te značilnosti so naslednje:
- Strani, ki sta si nasproti, sta v parih enaki.
- Kota, ki sta si nasprotna, sta v parih enaka.
Dokaz: upoštevajte ∆ABC in ∆ADC, ki ju dobimo, če štirikotnik ABCD delimo s premico AC. ∠BCA=∠CAD in ∠BAC=∠ACD, saj jima je AC skupen (navpična kota za BC||AD oziroma AB||CD). Iz tega sledi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij za enakost trikotnikov).
Dolžici AB in BC v ∆ABC v paru ustrezata premici CD in AD v ∆ADC, kar pomeni, da sta enaki: AB = CD, BC = AD. Tako ∠B ustreza ∠D in sta enaka. Ker je ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ki sta si tudi v parih enaka, potem je ∠A = ∠C. Lastnost je dokazana.
Značilnosti diagonal figure
Glavna značilnost te paralelogramske premice: presečišče jih razpolovi.
Dokaz: naj bo m.E presečišče diagonal AC in BD lika ABCD. Tvorita dva sorazmerna trikotnika - ∆ABE in ∆CDE.
AB=CD, ker sta nasprotni. Glede na premice in sekante je ∠ABE = ∠CDE in ∠BAE = ∠DCE.
Po drugem znaku enakosti je ∆ABE = ∆CDE. To pomeni, da sta elementa ∆ABE in ∆CDE: AE = CE, BE = DE in sta poleg tega sorazmerna dela AC in BD. Lastnost je dokazana.
Značilnosti sosednjih vogalov
Na sosednjih stranicah je vsota kotov 180°, saj ležita na isti strani vzporednice in sekante. Za štirikotnik ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Lastnosti simetrale:
- , spuščeni na eno stran, so pravokotni;
- nasprotni oglišči imata vzporedne simetrale;
- trikotnik, ki ga dobimo, če narišemo simetralo, bo enakokrak.
Določanje značilnih lastnosti paralelograma z izrekom
Značilnosti te slike izhajajo iz njenega glavnega izreka, ki se glasi: štirikotnik se šteje za paralelogram v primeru, da se njegove diagonale sekajo in jih ta točka razdeli na enake segmente.
Dokaz: Naj se premici AC in BD štirikotnika ABCD sekata v t. E. Ker je ∠AED = ∠BEC in je AE+CE=AC BE+DE=BD, potem je ∆AED = ∆BEC (po prvem znaku enakosti trikotnikov). To je ∠EAD = ∠ECB. So tudi notranji križni koti sekante AC za premice AD in BC. Tako po definiciji paralelizma - AD || pr. n. št. Izvedena je tudi podobna lastnost premic BC in CD. Izrek je dokazan.
Izračun površine figure
Območje te figure našli na več načinov eden najpreprostejših: množenje višine in osnove, na katero je narisana.
Dokaz: Iz oglišč B in C nariši navpičnici BE in CF. ∆ABE in ∆DCF sta enaka, ker je AB = CD in BE = CF. ABCD je enak pravokotniku EBCF, saj sta sestavljena tudi iz sorazmernih likov: S ABE in S EBCD ter S DCF in S EBCD. Iz tega sledi, da je površina te geometrijske figure enaka površini pravokotnika:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Za določitev splošne formule za površino paralelograma označimo višino kot hb, in stran b. Oziroma:
Drugi načini za iskanje območja
Izračuni površin skozi stranice paralelograma in kot, ki ga tvorijo, je druga znana metoda.
,
Spr-ma - območje;
a in b sta njegovi stranici
α - kot med segmentoma a in b.
Ta metoda praktično temelji na prvi, vendar v primeru, da ni znana. vedno odreže pravokotni trikotnik, katerega parametre najdemo s trigonometričnimi identitetami, tj. S pretvorbo razmerja dobimo . V enačbi prve metode nadomestimo višino s tem produktom in dobimo dokaz o veljavnosti te formule.
Skozi diagonali paralelograma in kota, ki jih ustvarijo, ko se sekajo, lahko najdete tudi območje.
Dokaz: AC in BD sekata tvorita štiri trikotnike: ABE, BEC, CDE in AED. Njihova vsota je enaka površini tega štirikotnika.
Ploščino vsakega od teh ∆ je mogoče najti iz izraza , kjer je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Ker je , se v izračunih uporablja ena sama vrednost sinusa. To je . Ker je AE+CE=AC= d 1 in BE+DE=BD= d 2 , se formula ploščine zmanjša na:
.
Uporaba v vektorski algebri
Značilnosti sestavnih delov tega štirikotnika so našle uporabo v vektorski algebri, in sicer: seštevanje dveh vektorjev. Pravilo paralelograma pravi, da če so podani vektorjiinnekolinearni, potem bo njihova vsota enaka diagonali te figure, katere osnove ustrezajo tem vektorjem.
Dokaz: iz poljubno izbranega začetka – tj. - gradimo vektorje in . Nato sestavimo paralelogram OASV, kjer sta odseka OA in OB stranice. Tako OS leži na vektorju ali vsoti.
Formule za izračun parametrov paralelograma
Identitete so podane pod naslednjimi pogoji:
- a in b, α - stranice in kot med njimi;
- d 1 in d 2 , γ - diagonale in na točki njihovega presečišča;
- h a in h b - višine, spuščene na strani a in b;
| Parameter | Formula |
| Iskanje strani | |
| vzdolž diagonal in kosinus kota med njima | 
|
| diagonalno in bočno | 
|
| skozi višino in nasprotno oglišče | |
| Iskanje dolžin diagonal | |
| na straneh in velikost vrha med njimi | |
| vzdolž stranic in ene od diagonal | 
ZaključekParalelogram kot ena ključnih figur geometrije se uporablja v življenju, na primer v gradbeništvu pri izračunu površine mesta ali drugih meritvah. Zato je lahko znanje o značilnostih in metodah za izračun njegovih različnih parametrov koristno kadar koli v življenju. |
Paralelogram - geometrijska figura, ki jo pogosto najdemo v nalogah tečaja geometrije (oddelek planimetrije). Ključne značilnosti tega štirikotnika so enakost nasprotnih kotov in prisotnost dveh parov vzporednih nasprotnih strani. Posebni primeri paralelograma so romb, pravokotnik, kvadrat.
Izračun površine te vrste poligona se lahko izvede na več načinov. Razmislimo o vsakem od njih.
Poiščite ploščino paralelograma, če sta znani stranica in višina
Za izračun površine paralelograma lahko uporabite vrednosti njegove strani in dolžino višine, spuščeno nanjo. V tem primeru bodo dobljeni podatki zanesljivi tako v primeru znane strani - osnove figure, kot tudi če imate na razpolago stran figure. V tem primeru bo želena vrednost pridobljena s formulo:
S = a * h(a) = b * h(b),
- S območje, ki ga je treba določiti,
- a, b - znana (ali izračunana) stran,
- h je višina, spuščena na njem.
Primer: vrednost osnove paralelograma je 7 cm, dolžina navpičnice, spuščene nanj iz nasprotnega vrha, je 3 cm.
Rešitev: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Poiščite ploščino paralelograma, če sta znani 2 stranici in kot med njima
Razmislite o primeru, ko poznate velikost obeh strani figure, pa tudi stopinjsko mero kota, ki ga tvorita druga z drugo. Navedene podatke je mogoče uporabiti tudi za iskanje površine paralelograma. V tem primeru bo izraz formule videti takole:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a - stran,
- c je znana (ali izračunana) osnova,
- α, β sta kota med stranicama a in c.
Primer: osnova paralelograma je 10 cm, njegova stranica je 4 cm manjša. Topi kot figure je 135°.
Rešitev: določite vrednost druge strani: 10 - 4 \u003d 6 cm.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Poiščite površino paralelograma, če sta znani diagonali in kot med njimi
Prisotnost znanih vrednosti diagonal danega poligona, kot tudi kota, ki ga tvorijo zaradi njihovega presečišča, vam omogoča, da določite območje figure.
S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,
S območje, ki ga je treba določiti,
d1, d2 so znane (ali izračunane) diagonale,
γ, φ sta kota med diagonalama d1 in d2.
Definicija paralelograma
Paralelogram je štirikotnik, v katerem sta nasprotni stranici enaki in vzporedni.
Spletni kalkulator
Paralelogram ima nekaj uporabnih lastnosti, ki olajšajo reševanje problemov, povezanih s to figuro. Na primer, ena lastnost je, da so nasprotni koti paralelograma enaki.
Razmislite o več metodah in formulah, nato pa rešite preproste primere.
Formula za površino paralelograma glede na osnovo in višino
Ta način iskanja območja je verjetno eden najbolj osnovnih in preprostih, saj je skoraj enak formuli za iskanje območja trikotnika, z nekaj izjemami. Začnimo s posplošenim primerom brez uporabe številk.
Naj bo poljuben paralelogram z osnovo a a a, stran bb b in višina h h h pritegnili v našo bazo. Potem je formula za območje tega paralelograma:
S = a ⋅ h S=a\ctočka h S=a ⋅h
A a a- osnova;
h h h- višina.
Oglejmo si eno enostavno težavo, da bomo vadili reševanje tipičnih težav.
PrimerPoiščite ploščino paralelograma, v katerem je znana osnova enaka 10 (cm) in višina enaka 5 (cm).
Rešitev
A=10 a=10 a =1
0
h=5 h=5 h =5
Nadomestek v naši formuli. Dobimo:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1
0
⋅
5
=
5
0
(glej kvadrat)
Odgovor: 50 (glej kvadrat)
Formula za površino paralelograma z dvema stranicama in kotom med njima
V tem primeru se želena vrednost najde na naslednji način:
S = a ⋅ b ⋅ sin (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅sin(α)
A, b a, b a , b- stranice paralelograma;
α\alfa α
- kot med stranicama a a a in bb b.
Zdaj pa rešimo še en primer in uporabimo zgornjo formulo.
PrimerPoiščite površino paralelograma, če je stran znana a a a, ki je osnova in ima dolžino 20 (glej) in obseg str str, številčno enak 100 (glej), kot med sosednjima stranicama ( a a a in bb b) je enako 30 stopinj.
Rešitev
A=20 a=20 a =2
0
p=100 p=100 p=1
0
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Da bi našli odgovor, ne poznamo le druge stranice tega štirikotnika. Poiščimo jo. Obseg paralelograma je podan z:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=a +a +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1
0
0
=
2
0
+
2
0
+
b +b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1
0
0
=
4
0
+
2b
60=2b 60=2b 6
0
=
2b
b=30 b=30 b=3
0
Najtežjega dela je konec, ostane nam le še, da nadomestimo naše vrednosti za stranice in kot med njimi:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2
0
⋅
3
0
⋅
greh (3 0
∘
)
=
3
0
0
(glej kvadrat)
Odgovor: 300 (glej kv.)
Formula za površino paralelograma glede na diagonale in kot med njimi
S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D ⋅d ⋅sin(α)
D D D- velika diagonala;
d d d- majhna diagonala;
α\alfa α
je oster kot med diagonalama.
Podane so diagonale paralelograma, enake 10 (glej) in 5 (glej). Kot med njima je 30 stopinj. Izračunaj njegovo ploščino.
Rešitev
D=10 D=10 D=1
0
d=5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ greh (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (glej kvadrat)
