تمرير هذه المتباينات إلى النهاية كـ Δ x→ 0 مع مراعاة أن المشتق F "(x 0) موجود ، وبالتالي فإن الحد الموجود على اليسار لا يعتمد على كيفية Δ x→ 0 ، نحصل على: لـ Δ x → 0 – 0 F"(x 0) ≥ 0 وعند Δ x → 0 + 0 F"(x 0) ≤ 0. منذ F"(x 0) عددًا ، فإن هاتين المتراجحتين تتوافقان فقط إذا F"(x 0) = 0.

تنص النظرية التي تم إثباتها على أن الحد الأقصى والحد الأدنى للنقاط يمكن أن يكون فقط من بين قيم الحجة التي يختفي المشتق بسببها.

لقد درسنا الحالة عندما يكون للدالة مشتق في جميع نقاط جزء معين. ماذا يحدث عندما لا يوجد المشتق؟ ضع في اعتبارك الأمثلة.

أمثلة.

1. ذ=|x|.

   ليس للدالة مشتق عند نقطة ما x= 0 (في هذه المرحلة ، لا يحتوي الرسم البياني للوظيفة على ظل محدد) ، ولكن في هذه المرحلة يكون للوظيفة حد أدنى ، منذ ذلك الحين ذ(0) = 0 وللجميع x≠ 0ذ > 0.



الدالة ليس لها مشتق في x= 0 ، لأنه يذهب إلى اللانهاية متى x= 0. لكن في هذه المرحلة ، يكون للدالة حد أقصى.



الدالة ليس لها مشتق في x= 0 لأن في x→ 0. في هذه المرحلة ، ليس للوظيفة حد أقصى أو حد أدنى. حقًا، و (خ)= 0 وفي x<0و (خ)<0, а при x>0و (خ)>0.



وهكذا ، من الأمثلة المعطاة والنظرية المصاغة ، من الواضح أن الوظيفة يمكن أن يكون لها حد أقصى فقط في حالتين: 1) عند النقاط التي يوجد فيها المشتق ويساوي الصفر ؛ 2) عند النقطة التي لا يوجد فيها المشتق.

ومع ذلك ، إذا في مرحلة ما x 0 نحن نعلم ذلك و "(x 0 ) = 0 ، فلا يمكن استنتاج ذلك من هذا عند هذه النقطة x 0 الوظيفة لها حد أقصى.

فمثلا. .



لكن النقطة x= 0 ليست نقطة قصوى ، حيث توجد قيم الوظيفة على يسار هذه النقطة أسفل المحور ثوروما فوق على اليمين.

تسمى قيم الحجة من مجال الوظيفة ، والتي يختفي فيها مشتق الوظيفة أو لا يوجد لها ، نقاط حرجة.




يترتب على ما سبق أن النقاط القصوى لوظيفة ما هي من بين النقاط الحرجة ، ومع ذلك ، ليست كل نقطة حرجة هي النقطة القصوى. لذلك ، للعثور على الحد الأقصى للدالة ، تحتاج إلى إيجاد جميع النقاط الحرجة للدالة ، ثم فحص كل نقطة من هذه النقاط بشكل منفصل من أجل الحد الأقصى والحد الأدنى. لهذا ، تخدم النظرية التالية.

النظرية 2. (شرط كاف لوجود حد أقصى.)دع الوظيفة تكون مستمرة في بعض الفترات التي تحتوي على النقطة الحرجة x 0 ، ويمكن اشتقاقه في جميع نقاط هذه الفترة (باستثناء ، ربما ، النقطة نفسها x 0). إذا ، عند المرور من اليسار إلى اليمين عبر هذه النقطة ، يتغير المشتق من موجب إلى سالب ، ثم عند هذه النقطة x = x 0 الوظيفة لها حد أقصى. إذا ، عند المرور x 0 من اليسار إلى اليمين ، يتغير المشتق من سالب إلى موجب ، ثم يكون للدالة حد أدنى عند هذه النقطة.

وهكذا ، إذا

دليل - إثبات. دعونا نفترض أولاً ذلك عند المرور x 0 ، يتغير المشتق من زائد إلى ناقص ، أي للجميع xقريب من النقطة x 0 و "(خ)> 0 من أجل x< x 0 , و "(خ)< 0 من أجل x> x 0. دعونا نطبق نظرية لاغرانج على الفرق و (س) - و (س 0 ) = f "(c) (x- x 0) أين جيقع بين xو x 0 .

1. يترك x< x 0. ثم ج< x 0 و و "(ج)> 0. لهذا و "(ج) (x-x 0)< 0 وبالتالي ،

   و (س) - و (س 0 )< 0 ، أي و (خ)< f(x 0 ).

2. يترك x> x 0. ثم ج> س 0 و و "(ج)< 0. وسائل و "(ج) (x-x 0)< 0. لهذا و (س) - و (س 0 ) <0,т.е.و (خ)< و (x 0 ) .

وهكذا ، لجميع القيم xقريبة بما فيه الكفاية ل x 0 و (خ)< و (x 0 ) . وهذا يعني ذلك عند هذه النقطة x 0 الوظيفة لها حد أقصى.

تم إثبات الجزء الثاني من نظرية الحد الأدنى بالمثل.



دعونا نوضح معنى هذه النظرية في الشكل. يترك و "(x 1 ) = 0 ولأي س ،قريبة بما فيه الكفاية ل x 1 ، عدم المساواة

و "(خ)< 0 في x< x 1 , و "(خ)> 0 في x> x 1 .

ثم إلى يسار النقطة x 1 تتزايد الدالة وتتناقص على اليمين ، لذلك متى x = xتنتقل وظيفة 1 من الزيادة إلى النقصان ، أي أن لها حدًا أقصى.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن ينظر في النقاط x 2 و x 3 .


من الناحية التخطيطية ، يمكن تصوير كل ما سبق في الصورة:

قاعدة دراسة الدالة y = f (x) للنقطة القصوى

1. أوجد نطاق الدالة و (خ).
2. أوجد المشتق الأول للدالة و "(خ).
3. تحديد النقاط الحرجة لهذا:
   1. أوجد الجذور الحقيقية للمعادلة و "(خ)=0;
   2. تجد كل القيم xالذي تحته المشتق و "(خ)غير موجود.
4. أوجد إشارة المشتق إلى يسار ويمين النقطة الحرجة. نظرًا لأن علامة المشتق تظل ثابتة بين نقطتين حرجتين ، يكفي تحديد علامة المشتق في أي نقطة واحدة إلى اليسار وعند نقطة واحدة إلى يمين النقطة الحرجة.
5. احسب قيمة الدالة عند النقاط القصوى.

أمثلة. استكشف الوظائف للحد الأدنى والأقصى.




أعظم وأقل قيمة للوظيفة على التقاطع

الاكبرقيمة دالة في مقطع هي الأكبر بين جميع قيمها في هذا المقطع ، و الأقلهي أصغر قيمها.

ضع في اعتبارك الوظيفة ص = و (س)مستمر على القطعة [ أ ، ب]. كما هو معروف ، تصل هذه الوظيفة إلى قيمها القصوى والدنيا ، إما على حدود المقطع أو داخله. إذا تم الوصول إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة الوظيفة عند النقطة الداخلية للمقطع ، فإن هذه القيمة هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى للوظيفة ، أي يتم الوصول إليها في النقاط الحرجة.

وهكذا ، نحصل على ما يلي قاعدة البحث عن أكبر وأصغر قيم دالة في المقطع [ أ ، ب] :

1. أوجد جميع النقاط الحرجة للدالة في الفترة ( أ ، ب) وحساب قيم الدالة في هذه النقاط.
2. احسب قيم الدالة في نهايات المقطع من أجل س = أ ، س = ب.
3. من بين جميع القيم التي تم الحصول عليها ، اختر الأكبر والأصغر.

الزيادة والنقصان والدالة القصوى

يعد العثور على فترات الزيادة والنقصان والنقصان القصوى لوظيفة ما مهمة مستقلة وجزءًا مهمًا من المهام الأخرى ، على وجه الخصوص ، دراسة كاملة الوظائف. يتم تقديم المعلومات الأولية حول الزيادة والنقصان والنقصان الأقصى للوظيفة في الفصل النظري في المشتق، والتي أوصي بها بشدة للدراسة الأولية (أو التكرار)- أيضًا لسبب أن المادة التالية مبنية على للغاية جوهر المشتقكونه استمرارًا متناغمًا لهذه المقالة. على الرغم من أنه إذا كان الوقت ينفد ، فمن الممكن أيضًا العمل بشكل رسمي بحت من أمثلة درس اليوم.

واليوم هناك روح إجماع نادرة في الهواء ، ويمكنني أن أشعر بشكل مباشر أن كل الحاضرين يحترقون بالرغبة تعلم كيفية استكشاف دالة باستخدام مشتق. لذلك ، تظهر المصطلحات الأبدية الجيدة والمعقولة على الفور على شاشات أجهزة العرض الخاصة بك.

لاجل ماذا؟ أحد أكثر الأسباب العملية هو: لتوضيح ما هو مطلوب منك بشكل عام في مهمة معينة!

رتابة الوظيفة. نقاط Extremum والوظيفة القصوى

دعنا نفكر في بعض الوظائف. بشكل مبسط ، نحن نفترض ذلك مستمرعلى خط الأعداد بالكامل:

فقط في حالة ما ، سنتخلص فورًا من الأوهام المحتملة ، خاصةً لأولئك القراء الذين تعرفوا مؤخرًا فترات ثبات الإشارة للوظيفة. الآن نحن غير مهتم، كيف يقع الرسم البياني للوظيفة بالنسبة للمحور (أعلاه ، أدناه ، حيث يتقاطع مع المحور). للإقناع ، امسح المحاور ذهنيًا واترك رسمًا بيانيًا واحدًا. لأن المصلحة فيه.

دور يزيدفي فترة إذا كانت المتباينة صحيحة لأي نقطتين من هذه الفترة مرتبطة بالعلاقة. أي أن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة ، ويمتد الرسم البياني الخاص بها "من أسفل إلى أعلى". تنمو وظيفة العرض التوضيحي خلال الفترة الزمنية.

وبالمثل ، فإن الوظيفة تناقصفي فترة ما إذا كانت هناك نقطتان من هذه الفترة ، بحيث تكون المتباينة صحيحة. أي أن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أصغر للدالة ، ويمتد الرسم البياني الخاص بها "من أعلى إلى أسفل". الدالة تتناقص خلال الفترات .

إذا كانت الدالة تتزايد أو تتناقص خلال فترة ما ، فيتم استدعاؤها رتابة تمامافي هذه الفترة. ما هي الرتابة؟ خذها حرفيا - رتابة.

من الممكن أيضا تحديد غير متناقصالوظيفة (حالة استرخاء في التعريف الأول) و غير متزايدالوظيفة (الحالة المخففة في التعريف الثاني). تسمى الوظيفة غير المتناقصة أو غير المتزايدة على فترة زمنية بوظيفة رتيبة في فترة زمنية معينة (الرتابة الصارمة هي حالة خاصة من الرتابة "العادلة").

تنظر النظرية أيضًا في مناهج أخرى لتحديد الزيادة / النقصان في الوظيفة ، بما في ذلك على فترات نصفية ، ومقاطع ، ولكن من أجل عدم صب الزيت أو الزيت على رأسك ، فإننا نتفق على العمل بفواصل زمنية مفتوحة مع تعريفات قاطعة - هذا أوضح ، ولحل العديد من المشكلات العملية يكفي تمامًا.

في هذا الطريق، في مقالاتي ، ستختفي دائمًا عبارة "رتابة الوظيفة" فتراترتابة صارمة(زيادة صارمة أو نقصان صارم في الوظيفة).

حي بوينت. كلمات يتفرق بعدها الطلاب أينما استطاعوا ويختبئون في رعب في الزوايا. ... على الرغم من بعد آخر حدود كوشيربما لا يختبئون بعد الآن ، لكنهم يرتجفون قليلاً =) لا تقلق ، الآن لن تكون هناك أدلة على نظريات التحليل الرياضي - كنت بحاجة إلى الحي لصياغة التعريفات بشكل أكثر صرامة النقاط القصوى. نحن نتذكر:

نقطة الجوارقم بتسمية الفاصل الزمني الذي يحتوي على نقطة معينة ، بينما من أجل الراحة ، يُفترض غالبًا أن يكون الفاصل الزمني متماثلًا. على سبيل المثال ، نقطة وجوارها القياسي:

التعريفات الأساسية:

النقطة تسمى نقطة قصوى صارمة، إذا موجودحيها ، للجميعقيم منها ، باستثناء النقطة نفسها ، تتحقق عدم المساواة. في مثالنا الخاص ، هذه نقطة.

النقطة تسمى الحد الأدنى الصارم للنقطة، إذا موجودحيها ، للجميعقيم منها ، باستثناء النقطة نفسها ، تتحقق عدم المساواة. في الرسم - أشر "أ".

ملحوظة : اشتراط أن يكون الحي متماثلًا ليس ضروريًا على الإطلاق. بالإضافة إلى ذلك ، من المهم حقيقة الوجودالحي (وإن كان صغيرًا ، وحتى مجهريًا) يفي بالشروط المحددة

تسمى النقاط نقاط صارمة صارمةأو ببساطة النقاط القصوىالمهام. أي أنه مصطلح معمم للحد الأقصى من النقاط والحد الأدنى من النقاط.

كيف نفهم كلمة "المتطرفة"؟ نعم ، بشكل مباشر مثل الرتابة. النقاط المتطرفة للمركبة الدوارة.

كما في حالة الرتابة ، توجد في النظرية وحتى أكثر الافتراضات غير الصارمة شيوعًا (والتي بموجبها ، بالطبع ، تندرج القضايا الصارمة المدروسة!):

النقطة تسمى أقصى نقطة، إذا موجودمحيطها ، مثل هذا للجميع
النقطة تسمى الحد الأدنى من النقاط، إذا موجودمحيطها ، مثل هذا للجميعقيم هذا الحي ، تحمل عدم المساواة.

لاحظ أنه وفقًا للتعريفين الأخيرين ، فإن أي نقطة لدالة ثابتة (أو "منطقة مسطحة" لبعض الوظائف) تعتبر نقطة قصوى ونقطة دنيا! بالمناسبة ، الوظيفة غير متزايدة وغير متناقصة ، أي رتيبة. ومع ذلك ، نترك هذه الحجج للمنظرين ، حيث أننا في الممارسة تقريبًا نفكر في "التلال" و "الأجوف" التقليدية (انظر الرسم) مع "ملك التل" أو "أميرة المستنقعات" الفريد. كتنوع ، يحدث نقطة، موجهة لأعلى أو لأسفل ، على سبيل المثال ، الحد الأدنى من الوظيفة عند النقطة.

أوه ، والحديث عن الملوك:
- يسمى المعنى أقصىالمهام؛
- يسمى المعنى الحد الأدنىالمهام.

اسم شائع - المتطرفينالمهام.

من فضلك كن حذرا مع كلماتك!

النقاط القصوىهي قيم "س".
النهايات- قيم "اللعبة".

! ملحوظة : في بعض الأحيان تشير المصطلحات المدرجة إلى النقاط "x-y" التي تقع مباشرة على الرسم البياني للوظيفة.

كم عدد القيم القصوى التي يمكن أن تحتويها الوظيفة؟

لا شيء ، 1 ، 2 ، 3 ، ... إلخ. إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال ، يحتوي الجيب على عدد لا حصر له من القيم الدنيا والحد الأقصى.

مهم!مصطلح "الوظيفة القصوى" لم تكن متطابقةمصطلح "القيمة القصوى للدالة". من السهل أن نرى أن القيمة القصوى هي فقط في الجوار المحلي ، وهناك "رفاق أكثر فجأة" في أعلى اليسار. وبالمثل ، فإن "الحد الأدنى للدالة" ليس هو نفسه "الحد الأدنى لقيمة الوظيفة" ، وفي الرسم يمكننا أن نرى أن القيمة هي الحد الأدنى فقط في منطقة معينة. في هذا الصدد ، تسمى النقاط المتطرفة أيضًا نقاط الطرفية المحلية، والقيمة القصوى التطرف المحلي. يمشون ويتجولون و عالميالاخوة. إذن ، أي قطع مكافئ يقع في قمته الحد الأدنى العالميأو الحد الأقصى العالمي. علاوة على ذلك ، لن أفرق بين أنواع التطرف ، ويتم التعبير عن التفسير أكثر للأغراض التعليمية العامة - الصفات الإضافية "محلي" / "عالمي" لا ينبغي أن تؤخذ على حين غرة.

دعنا نلخص استطراغنا القصير في النظرية بلقطة تحكم: ما الذي تعنيه مهمة "إيجاد فترات من الرتابة والنقاط القصوى لوظيفة ما"؟

تطالب الصياغة بالعثور على:

- فترات الزيادة / النقصان في الوظيفة (تظهر غير متناقصة ، غير متزايدة في كثير من الأحيان أقل) ؛

- الحد الأقصى للنقاط و / أو الحد الأدنى من النقاط (إن وجد). حسنًا ، من الأفضل العثور على الحد الأدنى / الحد الأقصى بأنفسهم من الفشل ؛-)

كيف تحدد كل هذا؟بمساعدة دالة مشتقة!

كيفية إيجاد فترات الزيادة والنقصان
النقاط القصوى والدالة القصوى؟

العديد من القواعد ، في الواقع ، معروفة بالفعل ومفهومة من درس حول معنى المشتق.

مشتق الظل يحمل الخبر السار بأن الوظيفة تتزايد طوال الوقت المجالات.

مع ظل التمام ومشتقاته الوضع هو عكس ذلك تماما.

ينمو القوس على الفترة - المشتق موجب هنا: .
على سبيل المثال ، يتم تعريف الوظيفة ولكن لا يمكن تمييزها. ومع ذلك ، عند النقطة الحرجة ، يوجد مشتق يمين وظل يمين ، وعلى الحافة الأخرى ، يوجد نظائرهما اليسرى.

أعتقد أنه لن يكون من الصعب عليك تنفيذ تفكير مماثل لجيب التمام القوسي ومشتقاته.

كل هذه الحالات ، وكثير منها المشتقات المجدولة، أذكرك ، اتبع مباشرة من تعريفات المشتق.

لماذا نستكشف وظيفة بمشتق؟

للحصول على فكرة أفضل عن شكل الرسم البياني لهذه الوظيفة: حيث يذهب "من الأسفل إلى الأعلى" ، حيث يذهب "من الأعلى إلى الأسفل" ، حيث يصل إلى أدنى المستويات (على كل حال). ليست كل الوظائف بهذه البساطة - في معظم الحالات ، ليس لدينا عمومًا أدنى فكرة عن الرسم البياني لوظيفة معينة.

حان الوقت للانتقال إلى أمثلة أكثر أهمية والتفكير فيها خوارزمية لإيجاد فترات الرتابة والنهايات القصوى للدالة:

مثال 1

أوجد فترات الزيادة / النقصان والنقاط القصوى للدالة

المحلول:

1) الخطوة الأولى هي إيجاد نطاق الوظيفة، وكذلك لاحظ نقاط التوقف (إن وجدت). في هذه الحالة ، تكون الوظيفة مستمرة على الخط الحقيقي بأكمله ، وهذا الإجراء رسمي إلى حد ما. لكن في بعض الحالات ، تندلع هنا عواطف خطيرة ، لذلك دعونا نتعامل مع الفقرة دون إهمال.

2) النقطة الثانية من الخوارزمية مستحقة

شرط ضروري لأقصى حد:

إذا كان هناك حد أقصى عند هذه النقطة ، فإما أن القيمة غير موجودة.

حائر من النهاية؟ أقصى حد للوظيفة "modulo x" .

شرط ضروري ، ولكن ليس كافي، والعكس ليس صحيحًا دائمًا. لذلك ، لا يتبع المساواة بعد أن تصل الوظيفة إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى عند هذه النقطة. تم بالفعل إضاءة مثال كلاسيكي أعلاه - هذا قطع مكافئ مكعب ونقطته الحرجة.

ولكن مهما كان الأمر ، فإن الشرط الضروري للنقطة القصوى يملي الحاجة إلى العثور على النقاط المشبوهة. للقيام بذلك ، أوجد المشتق وحل المعادلة:

في بداية المقال الأول حول الرسوم البيانية للوظائفأخبرتك كيف تبني بسرعة القطع المكافئ باستخدام مثال : "... نأخذ المشتق الأول ونعادله بالصفر: ... إذن ، حل معادلتنا: - عند هذه النقطة يقع الجزء العلوي من القطع المكافئ ...". الآن ، أعتقد أن الجميع يفهم سبب وجود الجزء العلوي من القطع المكافئ بالضبط عند هذه النقطة =) بشكل عام ، يجب أن نبدأ بمثال مشابه هنا ، لكنه بسيط جدًا (حتى بالنسبة لإبريق الشاي). بالإضافة إلى ذلك ، يوجد تناظرية في نهاية الدرس حول دالة مشتقة. لذلك دعونا نرفع المستوى:

مثال 2

أوجد فترات الرتابة والنهايات القصوى للدالة

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". حل كامل وعينة تقريبية نهائية للمشكلة في نهاية الدرس.

لقد حان الوقت الذي طال انتظاره من الاجتماع مع الوظائف المنطقية الكسرية:

مثال 3

اكتشف دالة باستخدام المشتق الأول

انتبه إلى كيف يمكن إعادة صياغة نفس المهمة بشكل متنوع.

المحلول:

1) تعاني الوظيفة من فواصل لا نهائية عند النقاط.

2) نكتشف النقاط الحرجة. لنجد المشتق الأول ونعادله بالصفر:

لنحل المعادلة. الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا:

وهكذا نحصل على ثلاث نقاط حرجة:

3) ضع جانبا جميع النقاط المكتشفة على خط الأعداد و طريقة الفاصلتحديد علامات المشتقات:

أذكرك أنك بحاجة إلى أخذ نقطة معينة من الفترة ، وحساب قيمة المشتق فيها وتحديد علامته. من الأكثر ربحية عدم العد ، ولكن "التقدير" لفظيًا. خذ ، على سبيل المثال ، نقطة تنتمي إلى الفترة ، وقم بإجراء الاستبدال: .

اثنان "زائد" وواحد "ناقص" يعطي "سالب" ، مما يعني أن المشتقة سالبة في الفترة بأكملها.

يجب تنفيذ الإجراء ، كما تفهم ، لكل فترة من الفترات الست. بالمناسبة ، لاحظ أن عامل البسط والمقام موجبان تمامًا لأي نقطة في أي فترة ، مما يبسط المهمة إلى حد كبير.

لذلك ، أخبرنا المشتق أن الوظيفة نفسها تزيد بمقدار ويقل بنسبة. من الملائم ربط فترات زمنية من نفس النوع برمز الاتحاد.

عند النقطة تصل الوظيفة إلى الحد الأقصى:
عند هذه النقطة تصل الوظيفة إلى الحد الأدنى لها:

فكر في سبب عدم قدرتك على إعادة حساب القيمة الثانية ؛-)

عند المرور عبر نقطة ، لا يغير المشتق الإشارة ، وبالتالي فإن الوظيفة ليس لها حد كبير هناك - إنها تنخفض وتظل في تناقص.

! دعنا نكرر نقطة مهمة: النقاط لا تعتبر حرجة - لها وظيفة لم يحدد. تبعا لذلك ، هنا لا يمكن أن يكون الطرفان من حيث المبدأ(حتى لو تغير المشتق علامة).

إجابه: تزيد الوظيفة بمقدار ويقل عند النقطة التي يتم الوصول فيها إلى الحد الأقصى للوظيفة: ، وعند النقطة - الحد الأدنى:.

معرفة فترات الرتابة والنهايات القصوى ، إلى جانب المنشأة الخطوط المقاربةيعطي فكرة جيدة جدًا عن مظهر الرسم البياني للوظيفة. يمكن للشخص العادي أن يحدد شفهيًا أن الرسم البياني للوظيفة يحتوي على خطين مقاربين عموديين وخط مقارب مائل. هنا بطلنا:

حاول مرة أخرى ربط نتائج الدراسة بالرسم البياني لهذه الوظيفة.
لا يوجد حد أقصى في النقطة الحرجة ، ولكن هناك انعطاف منحنى(والذي ، كقاعدة عامة ، يحدث في حالات مماثلة).

مثال 4

أوجد القيمة القصوى لدالة

مثال 5

أوجد فترات الرتابة ، والحدود القصوى والدنيا للدالة

... مجرد نوع من عطلة X-in-a-cube تظهر اليوم ....
Soooo ، من هناك في المعرض عرض للشرب من أجل هذا؟ =)

كل مهمة لها الفروق الدقيقة الموضوعية والفنية الخاصة بها ، والتي يتم التعليق عليها في نهاية الدرس.

الوظائف ، ليس من الضروري على الإطلاق معرفة وجود المشتقات الأولى والثانية وفهم معناها المادي. تحتاج أولاً إلى فهم ما يلي:

• تعمل القيم القصوى للدالة على زيادة قيمة الوظيفة إلى الحد الأقصى أو ، على العكس من ذلك ، تقليلها في حي صغير عشوائيًا ؛
• عند النقطة القصوى لا ينبغي أن يكون هناك انقطاع في الوظيفة.

والآن نفس الشيء ، فقط بعبارات بسيطة. انظر إلى طرف قلم حبر جاف. إذا تم وضع القلم عموديًا ، مع نهاية الكتابة ، فسيكون منتصف الكرة هو أقصى نقطة - أعلى نقطة. في هذه الحالة نتحدث عن الحد الأقصى. الآن ، إذا قمت بقلب القلم بنهاية الكتابة لأسفل ، فسيكون هناك بالفعل حد أدنى من الوظيفة في منتصف الكرة. بمساعدة الشكل الموضح هنا ، يمكنك تخيل التلاعبات المدرجة في قلم رصاص القرطاسية. لذا ، فإن القيم القصوى للدالة هي دائمًا نقاط حرجة: الحد الأقصى أو الصغرى. يمكن أن يكون القسم المجاور من المخطط حادًا أو سلسًا بشكل تعسفي ، ولكن يجب أن يكون موجودًا على كلا الجانبين ، فقط في هذه الحالة تكون النقطة هي أقصى حد. إذا كان المخطط موجودًا على جانب واحد فقط ، فلن تكون هذه النقطة حدًا أقصى حتى إذا تم استيفاء الشروط القصوى على أحد جانبيها. الآن دعونا ندرس القيم القصوى للدالة من وجهة نظر علمية. من أجل اعتبار نقطة حدًا أقصى ، من الضروري والكافي أن:

• المشتق الأول كان يساوي صفرًا أو لم يكن موجودًا عند النقطة ؛
• أول علامة تغييرات مشتقة في هذه المرحلة.

يتم تفسير الشرط بشكل مختلف إلى حد ما عن وجهة نظر المشتقات ذات الرتبة الأعلى: بالنسبة لوظيفة قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، يكفي أن يكون هناك مشتق فردي لا يساوي الصفر ، في حين أن جميع المشتقات ذات الرتبة الأدنى يجب أن تكون موجودة وأن تكون يساوي الصفر. هذا هو أبسط تفسير للنظريات من الكتب المدرسية ، لكن بالنسبة لمعظم الناس العاديين ، يجدر شرح هذه النقطة بمثال. الأساس هو قطع مكافئ عادي. قم بإجراء حجز على الفور ، عند نقطة الصفر يكون الحد الأدنى. مجرد القليل من الرياضيات:

• المشتق الأول (X 2) | = 2X ، لصفر نقطة 2X = 0 ؛
• المشتق الثاني (2X) | = 2 ، لصفر نقطة 2 = 2.

بهذه الطريقة البسيطة ، يتم توضيح الشروط التي تحدد الحدود القصوى للدالة لكل من المشتقات من الدرجة الأولى والمشتقات عالية الرتبة. يمكن أن نضيف إلى هذا أن المشتق الثاني هو نفس مشتق ترتيب فردي ، غير مساوٍ للصفر ، والذي تم ذكره أعلى قليلاً. عندما يتعلق الأمر بالدالة القصوى لدالة متغيرين ، يجب استيفاء الشروط لكلا الوسيطتين. عندما يحدث التعميم ، فإن المشتقات الجزئية تدخل حيز التنفيذ. أي أنه من الضروري وجود حد أقصى عند نقطة يكون فيها كلا المشتقين من الدرجة الأولى مساوياً للصفر ، أو أن أحدهما على الأقل غير موجود. من أجل كفاية وجود الحد الأقصى ، يتم التحقق من التعبير ، وهو الفرق بين ناتج المشتقات من الدرجة الثانية ومربع المشتق المختلط من الدرجة الثانية للوظيفة. إذا كان هذا التعبير أكبر من الصفر ، فهناك حد أقصى ، وإذا كان هناك تساوي للصفر ، فسيظل السؤال مفتوحًا ، وهناك حاجة إلى مزيد من البحث.