حالة مؤسسة تعليمية

وسط التعليم المهني

منطقة تولا

"كلية ألكسينسكي الهندسية"

رقمي

مجموعات

مصمم

معلم

الرياضيات

خريستوفوروفا م.

رقم - مبدأ اساسي يستعمل ل الخصائص والمقارنات وأجزائها. أحرف تعيين الأرقام ، إلى جانب رياضي .

نشأ مفهوم العدد في العصور القديمة من الاحتياجات العملية للناس وتطور في عملية التنمية البشرية. توسع مجال النشاط البشري ، وبالتالي زادت الحاجة إلى الوصف الكمي والبحث. في البداية ، تم تحديد مفهوم العدد من خلال احتياجات العد والقياس التي نشأت في الأنشطة العمليةالرجل ، يصبح أكثر وأكثر تعقيدًا. في وقت لاحق ، يصبح الرقم هو المفهوم الأساسي للرياضيات ، وتحدد احتياجات هذا العلم مزيد من التطويرهذا المفهوم.

المجموعات التي تكون عناصرها أرقام تسمى أرقامًا.

أمثلة على المجموعات الرقمية هي:

N = (1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ ... ؛ ن ؛ ...) - مجموعة من الأعداد الطبيعية ؛

Zo = (0؛ 1؛ 2؛ ...؛ n؛ ...) - مجموعة من الأعداد الصحيحة غير السالبة ؛

Z = (0 ؛ ± 1 ؛ ± 2 ؛ ... ؛ ± ن ؛ ...) - مجموعة من الأعداد الصحيحة ؛

س = (م / ن: م ض ، ن N) هي مجموعة الأرقام المنطقية.

R- مجموعة الأعداد الحقيقية.

بين هذه المجموعات هناك علاقة

ن زو ض س تم العثور على R.

اكتب الأرقامالعدد = (1 ، 2 ، 3 ، ....) اتصلطبيعي . ظهرت الأرقام الطبيعية فيما يتعلق بالحاجة إلى عد الأشياء.

أي ، أكبر من واحد ، يمكن تمثيلها كمنتج لقوى الأعداد الأولية ، و الطريقة الوحيدةحتى ترتيب العوامل. على سبيل المثال ، 121968 = 2 4 3 2 7 11 2

اذا كانم ، ن ، ك - الأعداد الطبيعية ، إذنم - ن = ك ويقولون انم - مخفض ، ن - مطروح ، ك - فرق ؛ فيم: ن = ك ويقولون انم - المقسوم ، ن - القاسم ، ك - حاصل القسمة ، رقمم أيضا يسمىمضاعف أعدادن، والرقمن - القاسم أعدادم إذا كان الرقمم- مضاعفاتن، ثم هناك عدد طبيعيك، مثل ذلكم = كن.

من الأرقام بمساعدة علامات العمليات الحسابية والأقواس ،التعبيرات الرقمية. إذا قمت بتنفيذ الإجراءات المشار إليها في تعبير رقمي ، مع مراعاة الترتيب المقبول ، فستحصل على رقم يسمىقيمة التعبير .

ترتيب العمليات الحسابية: يتم تنفيذ الإجراءات بين قوسين أولاً ؛ داخل أي قوسين ، قم أولاً بالضرب والقسمة ، ثم الجمع والطرح.

إذا كان عددًا طبيعيًام لا يقبل القسمة على عدد طبيعين، أولئك. لايوجد مثيلالعدد الطبيعي ك ، ماذا او مام = كن ، ثم النظرقسمة مع الباقي: m = np + r ، أينم - المقسوم ، ن - القاسم (م> ن) ، ف - حاصل القسمة ، ص - بقية .

إذا كان للرقم قاسمان فقط (الرقم نفسه وواحد) ، فسيتم استدعاؤهبسيط : إذا كان الرقم يحتوي على أكثر من قسومتين ، فسيتم تسميتهمركب.

يمكن أن يكون أي عدد طبيعي مركبحلل إلى عوامل ، وطريقة واحدة فقط. عند تحليل الأرقام إلى عوامل أولية ، استخدمعلامات القسمة .

أ وب يمكن ايجادهالقاسم المشترك الأكبر. يشار إليهربت). إذا كانت الأرقامأ وب من هذا القبيلد (أ ، ب) = 1 ، ثم الأرقامأ وب اتصلبشكل متبادل.

لأية أعداد طبيعية معينةأ وب يمكن ايجادهأقل مضاعف مشترك. يشار إليهك (أ ، ب). أي مضاعف مشترك للأرقامأ وب مقسومة علىك (أ ، ب).

إذا كانت الأرقامأ وب ، بمعنى آخر.د (أ ، ب) = 1 ، ومن بعدك (أ ، ب) = أب.

اكتب الأرقام:Z = (... -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ....) اتصل الأعداد الكلية , أولئك. الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية وأضداد الأعداد الطبيعية والرقم 0.

الأعداد الطبيعية 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 .... تسمى أيضًا الأعداد الصحيحة الموجبة. الأرقام -1 ، -2 ، -3 ، -4 ، -5 ، ... ، مقابل الأعداد الطبيعية ، تسمى الأعداد الصحيحة السالبة.

أعداد كبيرة تسمى الأرقام جميع أرقامها ، باستثناء الأصفار البادئة.

يتم استدعاء مجموعة من الأرقام المتكررة على التوالي بعد الفاصلة العشرية في التدوين العشري للرقمفترة، ويتم استدعاء كسر عشري لا نهائي له مثل هذه الفترة في تدوينهدورية . إذا بدأت الفترة مباشرة بعد العلامة العشرية ، فسيتم استدعاء الكسرنقية دورية ؛ إذا كانت هناك منازل عشرية أخرى بين الفاصلة والنقطة ، فسيتم استدعاء الكسردورية مختلطة .

يتم استدعاء الأعداد التي ليست كاملة أو كسريةغير منطقي .

يتم تمثيل كل رقم غير نسبي على أنه كسر عشري لا نهائي غير دوري.

تسمى مجموعة الكسور العشرية المنتهية واللانهائيةعديدة أرقام حقيقية : عقلاني وغير عقلاني.

مجموعة R من الأعداد الحقيقية لها الخصائص التالية.

1. مرتب: لأي رقمين مختلفين α و b ، أحدهما أ

2. المجموعة R كثيفة: بين أي اثنين أعداد مختلفةأ و ب تحتويان على مجموعة لا نهائية من الأعداد الحقيقية x ، أي الأعداد التي تحقق المتباينة أ<х

حتى إذا كان أ

(أ 2 أ< أ+ بأ+ ب<2b  2 أ أ<(a+b)/2

يمكن تمثيل الأرقام الحقيقية كنقاط على خط الأعداد. لتعيين خط الأرقام ، من الضروري تحديد نقطة على الخط المستقيم ، والتي تتوافق مع الرقم 0 - النقطة المرجعية ، ثم تحديد مقطع واحد والإشارة إلى الاتجاه الإيجابي.

تتوافق كل نقطة على خط الإحداثيات مع رقم يتم تعريفه على أنه طول المقطع من الأصل إلى النقطة المعنية ، بينما يتم أخذ مقطع واحد كوحدة قياس. هذا الرقم هو إحداثيات النقطة. إذا تم أخذ النقطة إلى يمين الأصل ، فسيكون إحداثيها موجبًا ، وإذا كانت إلى اليسار ، فإنها تكون سالبة. على سبيل المثال ، النقاط O و A لها إحداثيات 0 و 2 ، على التوالي ، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي: 0 (0) ، A (2).

من بين مجموعة واسعة من مجموعاتذات أهمية خاصة هي ما يسمى ب عدد مجموعات، أي المجموعات التي تكون عناصرها أرقامًا. من الواضح أنه من أجل العمل المريح معهم ، يجب أن تكون قادرًا على كتابتها. مع تدوين ومبادئ كتابة المجموعات العددية ، سنبدأ هذه المقالة. وبعد ذلك سننظر في كيفية تصوير المجموعات العددية على خط الإحداثيات.

التنقل في الصفحة.

كتابة مجموعات رقمية

لنبدأ بالتدوين المقبول. كما هو معروف ، يتم استخدام الأحرف الكبيرة من الأبجدية اللاتينية لتعيين المجموعات. المجموعات العددية ، كحالة خاصة للمجموعات ، يشار إليها أيضًا. على سبيل المثال ، يمكننا التحدث عن المجموعات العددية A و H و W وما إلى ذلك. تعتبر مجموعات الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والعقلانية ، والحقيقية ، والمركبة ، وما إلى ذلك ، ذات أهمية خاصة ، والتي تم اعتماد تسمياتها الخاصة بها:

• N هي مجموعة الأعداد الطبيعية ؛
• Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة ؛
• Q هي مجموعة الأرقام المنطقية ؛
• J هي مجموعة الأعداد غير المنطقية ؛
• R هي مجموعة الأعداد الحقيقية ؛
• C هي مجموعة الأعداد المركبة.

من هذا يتضح أنه ليس من الضروري الإشارة إلى مجموعة تتكون ، على سبيل المثال ، من رقمين 5 و 7 كـ Q ، سيكون هذا التعيين مضللاً ، لأن الحرف Q يشير عادةً إلى مجموعة جميع الأرقام المنطقية. لتعيين المجموعة العددية المحددة ، من الأفضل استخدام حرف "محايد" آخر ، على سبيل المثال ، A.

نظرًا لأننا نتحدث عن التدوين ، فإننا هنا أيضًا نتذكر تدوين المجموعة الفارغة ، أي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. يشار إليه بعلامة ∅.

دعونا نتذكر أيضًا تعيين العضوية وعدم العضوية في عنصر في مجموعة. للقيام بذلك ، استخدم العلامات ∈ - ينتمي و ∉ - لا ينتمي. على سبيل المثال ، الإدخال 5∈N يعني أن الرقم 5 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية ، و 5.7 Z - الكسر العشري 5.7 لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة.

لنتذكر أيضًا الترميز المعتمد لإدراج مجموعة واحدة في مجموعة أخرى. من الواضح أن جميع عناصر المجموعة N مدرجة في المجموعة Z ، لذلك يتم تضمين مجموعة الأرقام N في Z ، وهذا يُشار إليه على أنه N⊂Z. يمكنك أيضًا استخدام الرمز Z⊃N ، مما يعني أن مجموعة جميع الأعداد الصحيحة Z تتضمن المجموعة N. يتم الإشارة إلى العلاقات غير المدرجة وغير المدرجة بواسطة علامتي ⊄ و ، على التوالي. تُستخدم أيضًا علامات التضمين غير الصارمة للنموذج ⊆ و ، بمعنى تضمينها أو تطابقها على التوالي وتضمينها أو تطابقاتها.

تحدثنا عن التدوين ، دعنا ننتقل إلى وصف المجموعات العددية. في هذه الحالة ، سنتطرق فقط إلى الحالات الرئيسية التي يتم استخدامها غالبًا في الممارسة العملية.

لنبدأ بالمجموعات العددية التي تحتوي على عدد محدود وصغير من العناصر. يمكن وصف المجموعات العددية التي تتكون من عدد محدود من العناصر بشكل ملائم من خلال سرد جميع عناصرها. تتم كتابة جميع عناصر الأرقام مفصولة بفاصلات ومحاطة بداخلها ، وهو ما يتوافق مع العنصر المشترك تعيين قواعد الوصف. على سبيل المثال ، يمكن وصف المجموعة المكونة من ثلاثة أرقام 0 و 0.25 و 4/7 على أنها (0 ، −0.25 ، 4/7).

في بعض الأحيان ، عندما يكون عدد عناصر مجموعة عددية كبيرًا بدرجة كافية ، لكن العناصر تخضع لبعض الأنماط ، يتم استخدام علامة القطع للوصف. على سبيل المثال ، يمكن كتابة مجموعة جميع الأعداد الفردية من 3 إلى 99 بشكل شامل (3 ، 5 ، 7 ، ... ، 99).

لذلك اقتربنا بسلاسة من وصف المجموعات العددية ، التي يكون عدد عناصرها غير محدود. في بعض الأحيان يمكن وصفها باستخدام نفس علامات الحذف. على سبيل المثال ، دعنا نصف مجموعة جميع الأعداد الطبيعية: N = (1 ، 2. 3 ، ...).

يستخدمون أيضًا وصف المجموعات العددية بالإشارة إلى خصائص عناصرها. في هذه الحالة ، يتم استخدام الترميز (x | الخصائص). على سبيل المثال ، يُعرّف الترميز (n | 8 n + 3، n∈N) مجموعة هذه الأعداد الطبيعية التي ، عند قسمة 8 ، تعطي الباقي 3. يمكن وصف المجموعة نفسها بـ (11 ، 19 ، 27 ، ...).

في حالات خاصة ، تُعرف المجموعات العددية التي تحتوي على عدد لا حصر له من العناصر بالمجموعات N و Z و R وما إلى ذلك. أو عدد الفجوات. وبشكل عام ، يتم تمثيل المجموعات العددية على أنها جمعيةفترات عددية فردية تتكون منها ومجموعات عددية بعدد محدود من العناصر (التي تحدثنا عنها أعلى قليلاً).

دعنا نعرض مثالا. اجعل مجموعة الأرقام هي الأرقام −10 ، 9 ، 8.56 ، 0 ، جميع أرقام الفاصل الزمني [5 ، −1.3] وأرقام شعاع الرقم المفتوح (7 ، + ∞). بحكم تعريف اتحاد المجموعات ، يمكن كتابة المجموعة العددية المشار إليها كـ {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . يعني هذا الترميز في الواقع مجموعة تحتوي على جميع عناصر المجموعات (10 ، −9 ، −8.56 ، 0) ، [−5 ، −1.3] و (7 ، +).

وبالمثل ، من خلال الجمع بين النطاقات العددية المختلفة ومجموعات الأرقام الفردية ، يمكن وصف أي مجموعة أرقام (تتكون من أرقام حقيقية). يتضح هنا سبب إدخال مثل هذه الأنواع من الفواصل الرقمية مثل الفاصل الزمني ، والنصف الفاصل ، والجزء ، والشعاع العددي المفتوح والشعاع العددي: كلهم ​​، إلى جانب تدوين مجموعات من الأرقام الفردية ، يجعلون ذلك ممكنًا لوصف أي مجموعات عددية من خلال اتحادهم.

يرجى ملاحظة أنه عند كتابة مجموعة عددية ، يتم فرز الأرقام المكونة لها والفواصل العددية بترتيب تصاعدي. هذا ليس شرطًا إلزاميًا ، ولكنه مرغوب فيه ، نظرًا لأن المجموعة العددية المرتبة يسهل تمثيلها وتصويرها على خط إحداثي. لاحظ أيضًا أن هذه الإدخالات لا تستخدم نطاقات رقمية مع عناصر مشتركة ، حيث يمكن استبدال هذه الإدخالات باتحاد النطاقات الرقمية بدون عناصر مشتركة. على سبيل المثال ، اتحاد المجموعات العددية مع العناصر المشتركة [10 ، 0] و (5 ، 3) هو نصف فاصل [10 ، 3). الأمر نفسه ينطبق على اتحاد الفترات العددية التي لها نفس أرقام الحدود ، على سبيل المثال ، الاتحاد (3 ، 5] ∪ (5 ، 7] هو مجموعة (3 ، 7] ، سوف نتناول هذا بشكل منفصل عندما نتعلم أوجد تقاطع واتحاد المجموعات العددية.

صورة مجموعات الأرقام على خط الإحداثيات

من الناحية العملية ، من الملائم استخدام الصور الهندسية للمجموعات العددية - صورهم عليها. على سبيل المثال ، متى حل عدم المساواة، حيث من الضروري مراعاة ODZ ، من الضروري تصوير المجموعات العددية من أجل العثور على تقاطعها و / أو اتحادها. لذلك سيكون من المفيد أن نفهم جيدًا جميع الفروق الدقيقة في تمثيل المجموعات العددية على خط الإحداثيات.

من المعروف أن هناك تطابق واحد لواحد بين نقاط خط الإحداثيات والأرقام الحقيقية ، مما يعني أن خط الإحداثيات نفسه هو نموذج هندسي لمجموعة من جميع الأرقام الحقيقية R. وبالتالي ، من أجل تصوير مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ، من الضروري رسم خط إحداثي مع التظليل على طوله بالكامل:

وغالبًا لا يشيرون حتى إلى الأصل وشريحة واحدة:

الآن دعنا نتحدث عن صورة المجموعات العددية ، وهي عبارة عن عدد محدود من الأرقام الفردية. على سبيل المثال ، لنرسم مجموعة الأرقام (−2 ، −0.5 ، 1.2). الصورة الهندسية لهذه المجموعة ، المكونة من ثلاثة أرقام -2 ، -0.5 و 1.2 ستكون ثلاث نقاط من خط الإحداثيات مع الإحداثيات المقابلة:

لاحظ أنه عادة لا توجد حاجة لإجراء الرسم بدقة لاحتياجات الممارسة. غالبًا ما يكون الرسم التخطيطي كافيًا ، مما يعني مقياسًا اختياريًا ، بينما من المهم فقط الحفاظ على الموضع النسبي للنقاط بالنسبة لبعضها البعض: أي نقطة ذات إحداثيات أصغر يجب أن تكون على يسار نقطة ذات إحداثي أكبر. سيبدو الرسم السابق بشكل تخطيطي كما يلي:

بشكل منفصل ، من بين جميع المجموعات العددية الممكنة ، يتم تمييز الفواصل الرقمية (الفواصل الزمنية ، الفواصل النصفية ، الأشعة ، إلخ) ، والتي تمثل صورهم الهندسية ، قمنا بفحصها بالتفصيل في القسم. لن نكرر أنفسنا هنا.

ويبقى فقط التركيز على صورة المجموعات العددية ، والتي هي اتحاد عدة فواصل عددية ومجموعات تتكون من أرقام فردية. لا يوجد شيء صعب هنا: وفقًا لمعنى الاتحاد ، في هذه الحالات ، على خط الإحداثيات ، تحتاج إلى تصوير جميع مكونات مجموعة مجموعة عددية معينة. كمثال ، دعنا نعرض صورة مجموعة الأرقام (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (سجل 2 5 ، 5) ∪ (17 ، +):

ودعنا نتناول الحالات الشائعة جدًا عندما تكون المجموعة العددية المصورة هي المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية ، باستثناء نقطة واحدة أو أكثر. غالبًا ما يتم تحديد هذه المجموعات بشروط مثل x ≠ 5 أو x ≠ −1 و x ≠ 2 و x ≠ 3،7 وما إلى ذلك. في هذه الحالات ، يمثلون هندسيًا خط الإحداثيات بأكمله ، باستثناء النقاط المقابلة. بعبارة أخرى ، يجب "إخراج" هذه النقاط من خط الإحداثيات. تم تصويرهم على أنهم دوائر ذات مركز فارغ. من أجل الوضوح ، نصور مجموعة عددية تتوافق مع الشروط (هذه المجموعة أساسًا):

لخص. من الناحية المثالية ، يجب أن تشكل المعلومات الواردة في الفقرات السابقة نفس طريقة عرض التسجيل وتمثيل المجموعات العددية مثل عرض الفواصل الرقمية الفردية: يجب أن يعطي تسجيل مجموعة رقمية صورتها على الفور على خط الإحداثيات ، ومن الصورة على خط الإحداثيات ، يجب أن نكون مستعدين لوصف المجموعة العددية المقابلة بسهولة من خلال اتحاد الفجوات الفردية والمجموعات المكونة من أرقام فردية.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 9 الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13 ، الأب. - م: Mnemosyne، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.

الرقم هو تجريد يستخدم لتقدير الأشياء. نشأت الأرقام في المجتمع البدائي فيما يتعلق بحاجة الناس إلى عد الأشياء. بمرور الوقت ، مع تطور العلم ، أصبح الرقم هو المفهوم الرياضي الأكثر أهمية.

لحل المشاكل وإثبات النظريات المختلفة ، تحتاج إلى فهم أنواع الأعداد. تشمل الأنواع الرئيسية للأرقام: الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأرقام المنطقية ، والأرقام الحقيقية.

عدد صحيح- هذه هي الأرقام التي تم الحصول عليها من خلال العد الطبيعي للأشياء ، أو بالأحرى ، مع ترقيمها ("الأول" ، "الثاني" ، "الثالث" ...). يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني ن (يمكن تذكرها بناءً على الكلمة الإنجليزية طبيعية). يمكن قول ذلك ن ={1,2,3,....}

الأعداد الكليةهي أرقام من المجموعة (0 ، 1 ، -1 ، 2 ، -2 ، ....). تتكون هذه المجموعة من ثلاثة أجزاء - الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة السالبة (عكس الأعداد الطبيعية) والرقم 0 (صفر). يتم الإشارة إلى الأعداد الصحيحة بحرف لاتيني ض . يمكن قول ذلك ض ={1,2,3,....}.

أرقام نسبيةهي أرقام يمكن تمثيلها على شكل كسر ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. يستخدم الحرف اللاتيني للدلالة على الأرقام المنطقية س . جميع الأعداد الطبيعية والصحيحة منطقية. أيضًا ، كأمثلة على الأرقام المنطقية ، يمكنك إعطاء: ،.

أرقام حقيقية (حقيقية)هي أرقام تستخدم لقياس الكميات المستمرة. يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بالحرف اللاتيني R. تتضمن الأعداد الحقيقية أرقامًا منطقية وأرقامًا غير منطقية. الأرقام غير المنطقية هي الأرقام التي يتم الحصول عليها نتيجة إجراء عمليات مختلفة على أرقام منطقية (على سبيل المثال ، استخراج جذر ، وحساب اللوغاريتمات) ، ولكنها ليست منطقية في نفس الوقت. أمثلة على الأرقام غير المنطقية هي ،.

يمكن عرض أي رقم حقيقي على خط الأعداد:

بالنسبة لمجموعات الأرقام المذكورة أعلاه ، فإن العبارة التالية صحيحة:

أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية مدرجة في مجموعة الأعداد الصحيحة. يتم تضمين مجموعة الأعداد الصحيحة في مجموعة الأعداد المنطقية. ومجموعة الأعداد النسبية مدرجة في مجموعة الأعداد الحقيقية. يمكن توضيح هذا البيان باستخدام دوائر أويلر.

عدد صحيح

تسمى الأرقام المستخدمة في العد الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال ، 1،2،3 دولار وما إلى ذلك. تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة الأعداد الطبيعية التي يُرمز إليها بـ $ N $ ، وتأتي هذه التسمية من الكلمة اللاتينية ناتوراليس-طبيعي.

أرقام مقابل

التعريف 1

إذا اختلف رقمان فقط في العلامات ، فيتم استدعاؤهما في الرياضيات أرقام معاكسة.

على سبيل المثال ، الأرقام $ 5 و $ -5 $ أرقام متقابلة ، لأن تختلف فقط في العلامات.

ملاحظة 1

لأي رقم يوجد رقم معاكس ، بالإضافة إلى رقم واحد فقط.

ملاحظة 2

الصفر هو عكس نفسه.

الأعداد الكلية

التعريف 2

كاملالأعداد الطبيعية ، الأعداد المقابلة لها والصفر تسمى أرقامًا.

تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد الطبيعية وأضدادها.

تشير إلى الأعداد الصحيحة $ Z. $

الأعداد الكسرية

أرقام النموذج $ \ frac (m) (n) $ تسمى الكسور أو الأرقام الكسرية. أيضًا ، يمكن كتابة الأعداد الكسرية بالتدوين العشري ، أي في شكل كسور عشرية.

على سبيل المثال: $ \ \ frac (3) (5) $ ، 0.08 $ إلخ.

تمامًا مثل الأعداد الصحيحة ، يمكن أن تكون الأعداد الكسرية موجبة أو سالبة.

أرقام نسبية

التعريف 3

أرقام نسبيةهي مجموعة من الأرقام التي تحتوي على مجموعة من الأعداد الصحيحة والأرقام الكسرية.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي ، سواء أكان عددًا صحيحًا أم كسريًا ، ككسر $ \ frac (a) (b) $ ، حيث $ a $ عدد صحيح و $ b $ رقم طبيعي.

وبالتالي ، يمكن كتابة نفس العدد المنطقي بطرق مختلفة.

فمثلا،

يوضح هذا أنه يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر عشري محدد أو كسر دوري عشري لا نهائي.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام المنطقية بواسطة $ Q $.

نتيجة لإجراء أي عملية حسابية على أرقام منطقية ، ستكون الإجابة الناتجة عددًا منطقيًا. تم إثبات ذلك بسهولة ، نظرًا لحقيقة أنه عند جمع الكسور العادية وطرحها وضربها وتقسيمها ، تحصل على كسر عادي

أرقام غير منطقية

أثناء دراسة مقرر الرياضيات ، غالبًا ما يصادف المرء في حل الأرقام غير المنطقية.

على سبيل المثال ، للتحقق من وجود مجموعة من الأرقام غير المنطقية ، نقوم بحل المعادلة $ x ^ 2 = 6 $. جذور هذه المعادلة هي الأرقام $ \ surd 6 $ و - $ \ surd 6 $. هذه الأرقام لن تكون منطقية.

أيضًا ، عند إيجاد قطر مربع ضلع 3 $ ، بتطبيق نظرية فيثاغورس ، نحصل على أن القطر سيساوي $ \ surd 18 $. هذا الرقم ليس عقلانيًا أيضًا.

تسمى هذه الأرقام غير منطقي.

لذلك ، يسمى الرقم غير النسبي بكسر عشري لا نهائي.

أحد أكثر الأرقام غير المنطقية شيوعًا هو الرقم $ \ pi $

عند إجراء عمليات حسابية بأرقام غير منطقية ، قد يتبين أن النتيجة التي تم الحصول عليها هي رقم منطقي وغير منطقي.

سنثبت ذلك بمثال إيجاد حاصل ضرب الأعداد غير النسبية. لنجد:

$ \ \ sqrt (6) \ cdot \ sqrt (6) $

$ \ \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) $

قرار

$ \ \ sqrt (6) \ cdot \ sqrt (6) = 6 $

$ \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (6) $

يوضح هذا المثال أن النتيجة يمكن أن تكون إما عددًا منطقيًا أو عددًا غير منطقي.

إذا كانت الأرقام المنطقية وغير المنطقية متضمنة في العمليات الحسابية في نفس الوقت ، فستكون النتيجة عددًا غير نسبي (باستثناء ، بالطبع ، الضرب بـ $ 0).

الأعداد الحقيقية

مجموعة الأعداد الحقيقية هي المجموعة التي تحتوي على مجموعة الأعداد المنطقية وغير المنطقية.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام الحقيقية بواسطة $ R $. من الناحية الرمزية ، يمكن الإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ب $ (-؟؛ +؟). $

قلنا سابقًا أن الكسر العشري غير الدوري اللانهائي يسمى عددًا غير نسبي ، ويمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر عشري محدد أو كسر دوري عشري لانهائي ، لذا فإن أي كسر عشري محدود ولانهائي سيكون عددًا حقيقيًا.

عند إجراء العمليات الجبرية ، سيتم اتباع القواعد التالية

1. عند ضرب وقسمة الأرقام الموجبة ، سيكون الرقم الناتج موجبًا
2. عند ضرب وقسمة الأرقام السالبة ، سيكون الرقم الناتج موجبًا
3. عند ضرب وقسمة الأرقام السالبة والموجبة ، سيكون الرقم الناتج سالبًا

يمكن أيضًا مقارنة الأرقام الحقيقية مع بعضها البعض.

التحليل الرياضي هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع دراسة الوظائف بناءً على فكرة الوظيفة اللامتناهية في الصغر.

المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي هي كمية ، مجموعة ، دالة ، دالة متناهية الصغر ، حد ، مشتق ، تكامل.

قيمةكل ما يمكن قياسه والتعبير عنه برقم يسمى.

عديدةعبارة عن مجموعة من بعض العناصر التي توحدها بعض السمات المشتركة. يمكن أن تكون عناصر المجموعة أرقامًا وأرقامًا وأشياء ومفاهيم وما إلى ذلك.

يتم الإشارة إلى المجموعات بأحرف كبيرة ، وعناصر المجموعة بأحرف صغيرة. عناصر المجموعة محاطة بأقواس متعرجة.

إذا كان العنصر xينتمي إلى المجموعة X، ثم اكتب x∈X (∈ - ينتمي).
إذا كانت المجموعة أ جزءًا من المجموعة ب ، فاكتب أ ⊂ ب (⊂ - موجود).

يمكن تعريف المجموعة بإحدى طريقتين: بالسرد وبواسطة خاصية تعريف.

على سبيل المثال ، يحدد التعداد المجموعات التالية:

• أ = (1،2،3،5،7) - مجموعة من الأرقام
• Х = (x 1، x 2، ...، x n) هي مجموعة من العناصر x 1، x 2، ...، x n
• N = (1،2 ، ... ، ن) هي مجموعة الأعداد الطبيعية
• Z = (0، ± 1، ± 2، ...، ± n) هي مجموعة الأعداد الصحيحة

المجموعة (-∞ ؛ + ∞) تسمى رقم الخط، وأي رقم هو نقطة على هذا الخط. دع النقطة تكون عشوائية على الخط الحقيقي و رقم موجب. الفاصل الزمني (a-δ ؛ a + δ) يسمى δ- حي النقطة أ.

يتم تحديد المجموعة X من أعلى (من أسفل) إذا كان هناك رقم ج بحيث يتم تحقيق المتباينة x≤с (x≥c) لأي x ∈ X. الرقم ج في هذه الحالة يسمى الحافة العلوية (السفلية)مجموعات X. يتم استدعاء المجموعة المحددة أعلاه وتحت محدود. يتم استدعاء أصغر (أكبر) من الوجوه العلوية (السفلية) للمجموعة الوجه العلوي (السفلي) الدقيقهذه المجموعة.

المجموعات الرقمية الأساسية

ن	(1،2،3 ، ... ، ن) مجموعة الكل
ض	(0 ، ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ...) الأعداد الكلية.تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة الأعداد الطبيعية.
س	الكثير من أرقام نسبية. بالإضافة إلى الأعداد الصحيحة ، توجد أيضًا كسور. الكسر هو تعبير عن الشكل ، أين صهو عدد صحيح ، ف- طبيعي. يمكن أيضًا كتابة الكسور العشرية كـ. على سبيل المثال: 0.25 = 25/100 = 1/4. يمكن أيضًا كتابة الأعداد الصحيحة كـ. على سبيل المثال ، في شكل كسر مقامه "واحد": 2 = 2/1. وبالتالي ، يمكن كتابة أي رقم منطقي في صورة كسر عشري - دوري بشكل محدود أو لانهائي.
ص	كثير من الجميع أرقام حقيقية. الأعداد غير النسبية هي كسور لانهائية غير دورية. وتشمل هذه: تشكل مجموعتان (الأرقام المنطقية وغير المنطقية) معًا مجموعة الأرقام الحقيقية (أو الحقيقية).

إذا كانت المجموعة لا تحتوي على عناصر ، فسيتم استدعاؤها مجموعة فارغةومسجلة Ø .

عناصر الرمزية المنطقية

التدوين ∀x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

محدد الكم

عند كتابة التعبيرات الرياضية ، غالبًا ما تستخدم المحددات الكمية.

محدد الكميسمى الرمز المنطقي الذي يميز العناصر التي تتبعه من الناحية الكمية.

• ∀- محدد الكم العام، بدلاً من الكلمات "للجميع" ، "لأي شخص".
• ∃- الكمي الوجودي، بدلا من الكلمات "موجود" ، "لديه". يتم أيضًا استخدام مجموعة الرموز ∃! ، والتي تُقرأ نظرًا لوجود رمز واحد فقط.

العمليات في مجموعات

اثنين المجموعتان A و B متساويتان(أ = ب) إذا كانت تتكون من نفس العناصر.
على سبيل المثال ، إذا كان أ = (1،2،3،4) ، ب = (3،1،4،2) ثم أ = ب.

الاتحاد (المبلغ)المجموعة A و B تسمى المجموعة A ∪ B ، والتي تنتمي عناصرها إلى واحدة على الأقل من هذه المجموعات.
على سبيل المثال ، إذا كانت A = (1،2،4) ، B = (3،4،5،6) ، إذن A ∪ B = (1،2،3،4،5،6)

تقاطع (منتج)المجموعة A و B تسمى المجموعة A ∩ B ، التي تنتمي عناصرها إلى كل من المجموعة A والمجموعة B.
على سبيل المثال ، إذا كانت A = (1،2،4) ، ب = (3،4،5،2) ، إذن A ∩ B = (2،4)

فرقالمجموعة A و B تسمى المجموعة AB ، والتي تنتمي عناصرها إلى المجموعة A ، ولكنها لا تنتمي إلى المجموعة B.
على سبيل المثال ، إذا كان A = (1،2،3،4) ، B = (3،4،5) ، إذن AB = (1،2)

فرق متماثلالمجموعة A و B تسمى المجموعة A Δ B ، وهي اتحاد الاختلافات بين المجموعتين AB و BA ، أي A Δ B = (AB) ∪ (BA).
على سبيل المثال ، إذا كان A = (1،2،3،4) ، B = (3،4،5،6) ، إذن A Δ B = (1،2) ∪ (5،6) = (1،2 ، 5.6)

خصائص عمليات المجموعة

خصائص النفاذية

أ ∪ ب = ب ∪ أ
أ ∩ ب = ب ∩ أ

ملكية مشتركة

(أ ∪ ب) ∪ ج = أ ∪ (ب ، ج)
(أ ∩ ب) ∩ ج = أ ∩ (ب ، ج)

مجموعات معدودة وغير معدودة

من أجل مقارنة أي مجموعتين A و B ، يتم إنشاء تطابق بين عناصرهما.

إذا كانت هذه التطابق واحد لواحد ، فإن المجموعات تسمى مكافئة أو مكافئة ، أ ب أو ب أ.

مثال 1

مجموعة نقاط الضلع BC والوتر AC للمثلث ABC متساويان في القوة.