الظلهو خط مستقيم يمر عبر نقطة من المنحنى ويتزامن معها عند هذه النقطة حتى الدرجة الأولى (الشكل 1).
تعريف آخر: هذا هو الوضع المحدد للقاطع عند Δ x→0.
التفسير: خذ خطًا يتقاطع مع المنحنى عند نقطتين: أو ب(انظر الصورة). هذا قاطع. سنقوم بتدويره في اتجاه عقارب الساعة حتى يكون له نقطة مشتركة واحدة مع المنحنى. لذلك نحصل على ظل.
تعريف صارم للظل:
الظل لوظيفة الرسم البياني F، قابلة للتفاضل عند نقطة معينة xا، هو خط يمر بالنقطة ( xا; F(xا)) ولها منحدر F′( xا).
المنحدر خط مستقيم ص =kx +ب. معامل في الرياضيات او درجة كوهو عامل الانحدارهذا الخط المستقيم.
المعامل الزاوي يساوي ظل الزاوية الحادة المتكونة من هذا الخط المستقيم مع المحور x:
|
هنا الزاوية α هي الزاوية بين الخط ص =kx +بوالاتجاه الإيجابي (أي عكس اتجاه عقارب الساعة) للمحور السيني. تسمى زاوية الميل مستقيمة(الشكل 1 و 2). 
إذا كانت زاوية الميل مستقيمة ص =kx +بحاد ، ثم الميل هو رقم موجب. يزيد الرسم البياني (الشكل 1).
إذا كانت زاوية الميل مستقيمة ص =kx +بمنفرجة ، ثم المنحدر عدد السلبي. الرسم البياني يتناقص (الشكل 2).
إذا كان الخط موازٍ للمحور x ، فإن ميل الخط المستقيم يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، ميل الخط هو أيضًا صفر (لأن ظل الصفر يساوي صفرًا). ستبدو معادلة الخط المستقيم مثل y = b (الشكل 3).
إذا كانت زاوية ميل الخط المستقيم 90 درجة (/ 2) ، أي أنها عمودية على المحور السيني ، فإن الخط المستقيم يُعطى بالمساواة س =ج، أين ج- عدد حقيقي (الشكل 4).
معادلة المماس للرسم البياني للدالةذ = F(x) عند النقطة xا:
مثال: لنجد معادلة المماس للرسم البياني للدالة F(x) = x 3 – 2x 2 + 1 عند النقطة مع السبطانية 2.
حل .
نحن نتبع الخوارزمية.
1) نقطة اللمس xايساوي 2. احسب F(xا):
F(xا) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) البحث F′( x). للقيام بذلك ، نستخدم معادلات التفاضل الموضحة في القسم السابق. وفقًا لهذه الصيغ ، X 2 = 2X، أ X 3 = 3X 2. وسائل:
F′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
الآن ، باستخدام القيمة الناتجة F′( x) ، احسب F′( xا):
F′( xا) = F′ (2) = 3 2 2-4 2 = 12-8 = 4.
3) إذن لدينا جميع البيانات اللازمة: xا = 2, F(xا) = 1, F ′( xا) = 4. نعوض بهذه الأرقام في معادلة الظل ونجد الحل النهائي:
ص = F(xا) + F′( xا) (س - س س) \ u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \ u003d 1 + 4x - 8 \ u003d -7 + 4x \ u003d 4x - 7.
الجواب: ص \ u003d 4x - 7.
الظل هو خط مستقيم ، الذي يلامس الرسم البياني للدالة عند نقطة واحدة وجميع نقاطها تقع على أصغر مسافة من الرسم البياني للدالة. لذلك ، فإن الظل يمرر المماس إلى الرسم البياني للدالة بزاوية معينة ولا يمكن لعدة ظلات أن تمر عبر نقطة الظل بزوايا مختلفة. يتم تجميع معادلات الظل ومعادلات الخط العمودي للرسم البياني للدالة باستخدام المشتق.
يتم اشتقاق معادلة الظل من معادلة الخط المستقيم .
نشتق معادلة المماس ، ثم نشتق معادلة الخط العمودي لمنحنى الدالة.
ذ = ككس + ب .
فيه ك- معامل الزاوي.
من هنا نحصل على الإدخال التالي:
ذ - ذ 0 = ك(x - x 0 ) .
القيمة المشتقة F "(x 0 ) المهام ذ = F(x) في هذه النقطة x0 يساوي المنحدر ك= tg φ مماس للرسم البياني للدالة المرسومة من خلال نقطة م0 (x 0 , ذ 0 ) ، أين ذ0 = F(x 0 ) . هذا هو ما المعنى الهندسي للمشتق .
وبالتالي ، يمكننا استبدال كعلى F "(x 0 ) واحصل على ما يلي معادلة المماس للرسم البياني للدالة :
ذ - ذ 0 = F "(x 0 )(x - x 0 ) .
في مهام تجميع معادلة المماس للرسم البياني للدالة (وسننتقل إليها قريبًا) ، يلزم إحضار المعادلة التي تم الحصول عليها من الصيغة أعلاه إلى المعادلة العامة للخط المستقيم. للقيام بذلك ، تحتاج إلى نقل جميع الأحرف والأرقام إلى الجهه اليسرىالمعادلة واترك الصفر في الجانب الأيمن.
الآن عن المعادلة العادية. طبيعي هو خط مستقيم يمر عبر نقطة المماس على التمثيل البياني للدالة المتعامدة على المماس. معادلة عادية :
(x - x 0 ) + F "(x 0 )(ذ - ذ 0 ) = 0
لتسخين المثال الأول ، يُطلب منك حلها بنفسك ، ثم النظر إلى الحل. هناك كل الأسباب التي تجعلنا نأمل في ألا تكون هذه المهمة بمثابة "دش بارد" لقرائنا.
المثال 0.قم بتكوين معادلة الظل ومعادلة الخط العمودي للرسم البياني للدالة عند نقطة ما م (1, 1) .
مثال 1قم بتكوين معادلة الظل ومعادلة الخط العمودي للرسم البياني للدالة 
إذا كانت حدود نقطة الاتصال هي.
لنجد مشتق الدالة:
الآن لدينا كل ما يجب استبداله في الإدخال الوارد في المرجع النظري من أجل الحصول على معادلة الظل. نحن نحصل
في هذا المثال ، كنا محظوظين: اتضح أن الميل يساوي صفرًا ، لذا أحضر المعادلة إليه بشكل منفصل نظرة عامةلا تحتاج الى. الآن يمكننا كتابة المعادلة العادية:
في الشكل أدناه: رسم بياني لوظيفة اللون العنابي ، الظل لون أخضر، الطبيعي برتقالي.
المثال التالي ليس معقدًا أيضًا: الوظيفة ، كما في المثال السابق ، هي أيضًا متعددة الحدود ، لكن معامل الميل لن يكون مساويًا للصفر ، لذلك ستتم إضافة خطوة أخرى - إحضار المعادلة إلى شكل عام.
مثال 2
حل. لنجد إحداثي نقطة اللمس:
لنجد مشتق الدالة:
.
لنجد قيمة المشتق عند نقطة الاتصال ، أي ميل المماس:
نستبدل جميع البيانات التي تم الحصول عليها في "الصيغة الفارغة" ونحصل على معادلة الظل:
نحضر المعادلة إلى صيغة عامة (نجمع كل الحروف والأرقام بخلاف الصفر على الجانب الأيسر ، ونترك الصفر على الجانب الأيمن):
نؤلف معادلة العادي:
مثال 3قم بتكوين معادلة الظل ومعادلة الخط العمودي للرسم البياني للوظيفة إذا كان الحد الأقصى لنقطة الاتصال هو.
حل. لنجد إحداثي نقطة اللمس:
لنجد مشتق الدالة:
.
لنجد قيمة المشتق عند نقطة الاتصال ، أي ميل المماس:
.
نجد معادلة الظل:
قبل إحضار المعادلة إلى شكل عام ، تحتاج إلى "دمجها" قليلاً: اضرب مصطلحًا في حد في 4. نقوم بذلك ونجعل المعادلة في شكل عام:
نؤلف معادلة العادي:
مثال 4قم بتكوين معادلة الظل ومعادلة الخط العمودي للرسم البياني للوظيفة إذا كان الحد الأقصى لنقطة الاتصال هو.
حل. لنجد إحداثي نقطة اللمس:
.
لنجد مشتق الدالة:
لنجد قيمة المشتق عند نقطة الاتصال ، أي ميل المماس:
.
نحصل على معادلة الظل:
نأتي بالمعادلة إلى شكل عام:
نؤلف معادلة العادي:
الخطأ الشائع عند كتابة معادلات الظل والعادي هو عدم ملاحظة أن الوظيفة المعطاة في المثال معقدة وحساب مشتقها كمشتق لدالة بسيطة. الأمثلة التالية موجودة بالفعل وظائف معقدة(سيتم فتح الدرس المقابل في نافذة جديدة).
مثال 5قم بتكوين معادلة الظل ومعادلة الخط العمودي للرسم البياني للوظيفة إذا كان الحد الأقصى لنقطة الاتصال هو.
حل. لنجد إحداثي نقطة اللمس:
انتباه! هذه الوظيفة معقدة ، لأن سعة الظل (2 x) هي نفسها وظيفة. لذلك ، نجد مشتقة دالة كمشتق لدالة معقدة.
دعنا نعطي الدالة f ، والتي عند نقطة ما x 0 لها مشتق محدود f (x 0). ثم الخط المار بالنقطة (x 0 ؛ f (x 0)) ، الذي له ميل f '(x 0) ، يسمى المماس.
ولكن ماذا يحدث إذا كانت المشتقة عند النقطة x 0 غير موجودة؟ هناك خياران:
- ظل الرسم البياني غير موجود أيضًا. المثال الكلاسيكي هو الوظيفة y = | x | عند النقطة (0 ؛ 0).
- يصبح الظل عموديًا. هذا صحيح ، على سبيل المثال ، بالنسبة للدالة y = arcsin x عند النقطة (1 ؛ π / 2).
معادلة الظل
يتم الحصول على أي خط مستقيم غير عمودي بواسطة معادلة بالصيغة y = kx + b ، حيث k هو الميل. الظل ليس استثناءً ، ومن أجل تكوين معادلته عند نقطة ما × 0 ، يكفي معرفة قيمة الوظيفة والمشتق في هذه المرحلة.
لذلك ، دع الدالة تُعطى y \ u003d f (x) ، والتي لها مشتق y \ u003d f '(x) على المقطع. ثم في أي نقطة × 0 ∈ (أ ؛ ب) يمكن رسم الظل للرسم البياني لهذه الوظيفة ، والتي تعطى بالمعادلة:
y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
هنا f '(x 0) هي قيمة المشتق عند النقطة x 0 ، و f (x 0) هي قيمة الوظيفة نفسها.
مهمة. بالنظر إلى الدالة y = x 3. اكتب معادلة لمماس الرسم البياني لهذه الدالة عند النقطة x 0 = 2.
معادلة الظل: y \ u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). النقطة x 0 = 2 معطاة لنا ، لكن القيم f (x 0) و f '(x 0) يجب أن تحسب.
أولًا ، لنجد قيمة الدالة. كل شيء سهل هنا: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ؛
الآن دعنا نجد المشتق: f '(x) \ u003d (x 3)' \ u003d 3x 2 ؛
عوّض في المشتق x 0 = 2: f '(x 0) = f' (2) = 3 2 2 = 12؛
فنحصل على: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
هذه هي معادلة الظل.
مهمة. قم بتكوين معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة f (x) \ u003d 2sin x + 5 عند النقطة x 0 \ u003d π / 2.
هذه المرة لن نصف بالتفصيل كل إجراء - سنشير فقط إلى الخطوات الرئيسية. لدينا:
و (س 0) \ u003d و (/ 2) \ u003d 2 ثانية (π / 2) + 5 \ u003d 2 + 5 \ u003d 7 ؛
و '(x) \ u003d (2sin x + 5)' \ u003d 2cos x ؛
f '(x 0) \ u003d f' (π / 2) \ u003d 2cos (π / 2) \ u003d 0 ؛
معادلة الظل:
ص = 0 (س - π / 2) + 7 ص = 7
في الحالة الأخيرةتحول الخط المستقيم إلى أفقي ، لأن منحدره k = 0. لا حرج في ذلك - لقد عثرنا على نقطة قصوى.
يجد هذا البرنامج الرياضي معادلة الظل للرسم البياني للدالة \ (f (x) \) عند نقطة يحددها المستخدم \ (a \).
لا يعرض البرنامج معادلة الظل فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية حل المشكلة.
يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية مدارس التعليم العاماستعدادا ل مراقبة العملوالامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل الامتحان ، يتحكم الآباء في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد إنجازه في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلالرياضيات أم الجبر؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.
وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.
إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مشتق دالة ، فلدينا مهمة البحث عن المشتق لهذا الغرض.
إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الوظائف ، نوصيك بالتعرف عليها.
أدخل تعبير الوظيفة \ (f (x) \) والرقم \ (a \) ابحث عن معادلة الظل تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.
لأن هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، يتم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...
اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.
ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:
قليلا من النظرية.
منحدر خط مستقيم
أذكر أن الجدول الزمني دالة خطية\ (y = kx + b \) خط مستقيم. الرقم \ (k = tg \ alpha \) يسمى منحدر خط مستقيم، والزاوية \ (\ ألفا \) هي الزاوية بين هذا الخط ومحور الثور
إذا \ (ك> 0 \) ، ثم \ (0 إذا \ (ك معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة
إذا كانت النقطة M (a ؛ f (a)) تنتمي إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) وإذا كان من الممكن في هذه المرحلة رسم ظل للرسم البياني للوظيفة غير المتعامدة مع المحور السيني ، ثم من المعنى الهندسيويترتب على المشتق أن ميل المماس يساوي f "(a). بعد ذلك ، سنطور خوارزمية لتجميع معادلة المماس للرسم البياني لأي دالة.
دع الدالة y \ u003d f (x) والنقطة M (a ؛ f (a)) على الرسم البياني لهذه الوظيفة ؛ دعنا نعرف أن f "(a) موجود. دعونا نصوغ معادلة الظل للرسم البياني وظيفة معينةفي نقطة معينة. هذه المعادلة ، مثل معادلة أي خط مستقيم غير موازي للمحور y ، لها الصيغة y = kx + b ، لذا تكمن المشكلة في إيجاد قيم المعاملين k و b.
كل شيء واضح مع المنحدر k: من المعروف أن k \ u003d f "(a). لحساب قيمة b ، نستخدم حقيقة أن الخط المستقيم المطلوب يمر عبر النقطة M (a ؛ f (a)) هذا يعني أننا إذا استبدلنا إحداثيات النقطة M في معادلة الخط المستقيم ، فإننا نحصل على المساواة الصحيحة: \ (f (a) \ u003d ka + b \) ، أي \ (b \ u003d f (a). ) - كا \).
يبقى استبدال القيم الموجودة للمعاملات k و b في معادلة الخط المستقيم:
نحن تلقينا معادلة المماس للرسم البياني للدالة\ (y = f (x) \) عند النقطة \ (x = a \).
خوارزمية لإيجاد معادلة الظل للرسم البياني للدالة \ (y = f (x) \)
1. عيّن حدود نقطة الاتصال بالحرف \ (أ \)
2. احسب \ (f (a) \)
3. ابحث عن \ (f "(x) \) وحساب \ (f" (a) \)
4. استبدل الأرقام التي تم العثور عليها \ (a، f (a)، f "(a) \) في الصيغة \ (y \ u003d f (a) + f" (a) (x-a) \)
Y \ u003d f (x) وإذا كان من الممكن في هذه المرحلة رسم الظل إلى الرسم البياني للوظيفة غير العمودي على المحور x ، فإن ميل المماس هو f "(a). لقد استخدمنا هذا بالفعل عدة مرات. على سبيل المثال ، في الفقرة 33 ، تم التأكيد على أن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d sin x (sinusoid) في الأصل يشكل زاوية 45 درجة مع محور الإحداثي (بتعبير أدق ، المماس للرسم البياني عند الأصل يصنع زاوية 45 درجة مع الاتجاه الإيجابي للمحور x) ، وفي المثال ، تم العثور على 5 من § 33 نقطة في جدول معين المهام، حيث يكون المماس موازيًا لمحور x. في المثال 2 § 33 ، تم وضع معادلة للماس للرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 عند النقطة x \ u003d 1 (بتعبير أدق ، عند النقطة (1 ؛ 1) ، ولكن في كثير من الأحيان فقط يشار إلى قيمة الإحداثي ، بافتراض أنه إذا كانت قيمة الإحداثي معروفة ، فيمكن العثور على قيمة الإحداثي من المعادلة y = f (x)). في هذا القسم ، سنطور خوارزمية لتجميع معادلة المماس للرسم البياني لأي دالة.
دع الدالة y \ u003d f (x) والنقطة M (a ؛ f (a)) تُعطى ، ومن المعروف أيضًا أن f "(a) موجود. دعونا نؤلف معادلة الظل للرسم البياني لـ الدالة المعطاة عند نقطة معينة. هذه المعادلة تشبه معادلة أي خط مستقيم ، وليس موازيًا للمحور y ، على شكل y = kx + m ، لذا تكمن المشكلة في إيجاد قيم المعاملات k وم.
لا توجد مشاكل مع المنحدر k: نحن نعلم أن k \ u003d f "(a). لحساب قيمة m ، نستخدم حقيقة أن الخط المطلوب يمر عبر النقطة M (a ؛ f (a)). هذا يعني أننا إذا استبدلنا نقاط الإحداثيات M في معادلة الخط المستقيم ، فسنحصل على المساواة الصحيحة: f (a) \ u003d ka + m ، حيث نجد ذلك m \ u003d f (a) - ka.
يبقى استبدال القيم الموجودة لمعاملات الحوت في المعادلةمستقيم:
لقد حصلنا على معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند النقطة x \ u003d a.
إذا قل
الاستبدال في المعادلة (1) القيم الموجودة أ \ u003d 1 ، f (a) \ u003d 1 f "(a) \ u003d 2 ، نحصل على: y \ u003d 1 + 2 (x-f) ، أي y \ u003d 2x -1.
قارن هذه النتيجة بالنتيجة التي تم الحصول عليها في المثال 2 من الفقرة 33. وبطبيعة الحال ، حدث نفس الشيء.
دعونا نؤلف معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة y \ u003d tg x في الأصل. لدينا: 
ومن ثم cos x f "(0) = 1. استبدال القيم الموجودة a \ u003d 0، f (a) \ u003d 0، f" (a) \ u003d 1 في المعادلة (1) ، نحصل على: y \ u003d x .
هذا هو السبب في أننا رسمنا المماس في الفقرة 15 (انظر الشكل 62) من خلال أصل الإحداثيات بزاوية 45 درجة بالنسبة لمحور الإحداثي.
حل هذه يكفي أمثلة بسيطة، لقد استخدمنا بالفعل خوارزمية معينة ، والتي تم تضمينها في الصيغة (1). لنجعل هذه الخوارزمية صريحة.
الخوارزمية لتكوين معادلة دالة الظل إلى الرسم البياني y \ u003d f (x)
1) عيّن حدود نقطة الاتصال بالحرف أ.
2) احسب 1 (أ).
3) أوجد f "(x) واحسب f" (a).
4) استبدل الأرقام الموجودة أ ، و (أ) ، (أ) في الصيغة (1).
مثال 1اكتب معادلة لمماس الرسم البياني للدالة عند النقطة x = 1.
دعنا نستخدم الخوارزمية ، مع الأخذ في الاعتبار ذلك في هذا المثال
على التين. 126 يُظهر القطع الزائد ، الخط المستقيم y \ u003d 2x مبني.
يؤكد الرسم الحسابات المعطاة: في الواقع ، الخط y \ u003d 2-x يلمس القطع الزائد عند النقطة (1 ؛ 1).
إجابة:ص \ u003d 2-س.
مثال 2ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة بحيث يكون موازيًا للخط المستقيم y \ u003d 4x - 5.
دعونا نحسن صياغة المشكلة. عادة ما يعني مطلب "رسم الظل" "عمل معادلة للماس". هذا أمر منطقي ، لأنه إذا كان الشخص قادرًا على تكوين معادلة للماس ، فمن غير المرجح أن يواجه صعوبات في بناء خط مستقيم على المستوى الإحداثي وفقًا لمعادلته.
دعنا نستخدم الخوارزمية لتجميع معادلة الظل ، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال ، ولكن ، على عكس المثال السابق ، هناك غموض هنا: لم يتم الإشارة صراحة إلى حدودي نقطة الظل.
لنبدأ الحديث هكذا. يجب أن يكون الظل المطلوب موازٍ للخط المستقيم y \ u003d 4x-5. خطان متوازيان إذا وفقط إذا كان ميلهما متساويًا. هذا يعني أن ميل المماس يجب أن يكون مساويًا لميل الخط المستقيم المحدد: 
وبالتالي ، يمكننا إيجاد قيمة a من المعادلة f "(a) \ u003d 4.
لدينا: 
من المعادلة إذن ، يوجد ظلان يفيان بشروط المشكلة: أحدهما عند النقطة التي بها السداسية 2 ، والآخر عند النقطة مع الإحداثيات -2.
الآن يمكنك التصرف وفقًا للخوارزمية.
مثال 3من النقطة (0 ؛ 1) ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة
دعنا نستخدم الخوارزمية لتجميع معادلة الظل ، بالنظر إلى أنه في هذا المثال ، لاحظ أنه هنا ، كما في المثال 2 ، لا تتم الإشارة صراحة إلى حدودي نقطة الظل. ومع ذلك ، فإننا نتصرف وفقًا للخوارزمية.
حسب الشرط ، يمر الظل عبر النقطة (0 ؛ 1). بالتعويض في المعادلة (2) القيم س = 0 ، ص = 1 ، نحصل على: 
كما ترون ، في هذا المثال ، فقط في الخطوة الرابعة من الخوارزمية تمكنا من العثور على حدود نقطة اللمس. استبدال القيمة a \ u003d 4 في المعادلة (2) ، نحصل على:
على التين. يُظهر 127 توضيحًا هندسيًا للمثال المدروس: رسم بياني للوظيفة
في الفقرة 32 ، لاحظنا أنه بالنسبة للدالة y = f (x) ، التي لها مشتق عند نقطة ثابتة x ، فإن المساواة التقريبية تحمل:
لتسهيل المزيد من التفكير ، نغير الترميز: بدلاً من x سنكتب a ، بدلاً من ذلك سنكتب x ، وبناءً عليه سنكتب x-a بدلاً من ذلك. ثم تأخذ المساواة التقريبية المكتوبة أعلاه الشكل:
الآن نلقي نظرة على التين. 128. يتم رسم الظل على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند النقطة M (a ؛ f (a)). تم وضع علامة x على المحور x بالقرب من a. من الواضح أن f (x) هو إحداثيات الرسم البياني للدالة في نقطة محددة X. وما هو f (a) + f "(a) (x-a)؟ هذا هو إحداثيات الظل المقابل للنقطة نفسها x - انظر الصيغة (1). ما معنى المساواة التقريبية (3)؟ احسب القيمة التقريبية للدالة ، يتم أخذ قيمة إحداثيات الظل.
مثال 4أوجد القيمة التقريبية للتعبير العددي 1.02 7.
حولحول إيجاد قيمة الدالة y \ u003d x 7 عند النقطة x \ u003d 1.02. نستخدم الصيغة (3) مع مراعاة ذلك في هذا المثال
نتيجة لذلك ، نحصل على:
إذا استخدمنا آلة حاسبة ، فسنحصل على: 1.02 7 = 1.148685667 ...
كما ترى ، دقة التقريب مقبولة تمامًا.
إجابة: 1,02 7 =1,14.
اي جي. Mordkovich الجبر الصف 10
التقويم المواضيعي التخطيط في الرياضيات ، فيديوفي الرياضيات عبر الإنترنت ، تنزيل الرياضيات في المدرسة
محتوى الدرس ملخص الدرسدعم إطار عرض الدرس بأساليب متسارعة تقنيات تفاعلية يمارس مهام وتمارين امتحان ذاتي ورش عمل ، تدريبات ، حالات ، أسئلة ، واجبات منزلية ، أسئلة مناقشة أسئلة بلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية ، صور رسومات ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، نكت ، أمثال كاريكاتورية ، أقوال ، ألغاز كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولي والكتب المدرسية الأساسية والإضافية معجم مصطلحات أخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم للسنة القواعد الارشاديةبرامج المناقشة دروس متكاملة
