Ako je svaki prirodan broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da je dato numerički niz :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 pozvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treće i tako dalje. Broj a n pozvao n-ti član sekvence , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susedna člana a n i a n +1 sekvence članova a n +1 pozvao naknadno (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste specificirali niz, morate specificirati metodu koja vam omogućava da pronađete član niza s bilo kojim brojem.

Često je niz dat sa formule n-tog člana , odnosno formula koja vam omogućava da odredite član niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i redoslijed naizmjeničnog 1 i -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti ponavljajuća formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jedan ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mogu biti final i beskrajno .

Slijed se zove krajnji ako ima konačan broj članova. Slijed se zove beskrajno ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvocifrenih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Redoslijed prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajno. ◄

Slijed se zove povećanje , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Slijed se zove opadanje , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja, ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monotoni niz .

Monotoni nizovi, posebno, su rastuće sekvence i opadajuće sekvence.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija poziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između narednih i prethodnih članova date aritmetičke progresije je uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d pozvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalaze na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d ona n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronađite trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očigledno

a n=	a n-1 + a n+1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Koristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

shodno tome,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Zapiši to n -ti član aritmetičke progresije može se naći ne samo kroz a 1 , ali i bilo koji prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očigledno

a n=	a n-k + a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovini zbroja članova ove aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju, jednakost je tačna:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvo n članovi aritmetičke progresije jednak je proizvodu polovine zbira ekstremnih članova sa brojem članova:

Iz ovoga, posebno, proizilazi da ako je potrebno zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je data aritmetička progresija, onda su količine a 1 , a n, d, n iS n povezane sa dve formule:

Dakle, ako su date vrijednosti tri od ovih veličina, onda se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombinovanih u sistem od dvije jednadžbe sa dvije nepoznate.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• ako d > 0 , onda se povećava;
• ako d < 0 , tada se smanjuje;
• ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije u odnosu na prethodni je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q pozvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i imenilac.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalaze na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i imenilac q ona n -ti pojam se može naći po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronađite sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očigledno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i narednih članova.

Pošto je i obrnuto tačno, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak proizvodu druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da je niz dat formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Koristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

shodno tome,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Zapiši to n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i bilo koji prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očigledno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je proizvodu članova ove progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvo n članovi geometrijske progresije sa nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je data geometrijska progresija, onda su količine b 1 , b n, q, n i S n povezane sa dve formule:

Dakle, ako su date vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombinovanih u sistem od dvije jednadžbe s dvije nepoznate.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i imenilac q odvijaju se sljedeće svojstva monotonosti :

• napredovanje se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako a q< 0 , tada je geometrijska progresija znak naizmjenična: njeni neparni članovi imaju isti predznak kao i prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da naizmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n uslovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija možda nije opadajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

Sa takvim nazivnikom, niz je predznak alternativan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj na koji je zbir prvog n uslovi progresije uz neograničeno povećanje broja n . Ovaj broj je uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Razmotrimo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom q , onda

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrite šta je niz brojeva, budući da je aritmetička progresija poseban slučaj numerički niz.

Brojčani niz je set brojeva, čiji svaki element ima svoje serijski broj . Elementi ovog skupa nazivaju se članovima niza. Redni broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- "n-ti" element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji zavisnost između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga, možemo smatrati niz kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, to se može reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može odrediti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tabele. U ovom slučaju, jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, neko je odlučio upravljati osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tokom sedmice. Upisivanjem vremena u tabelu, dobiće niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi red tabele sadrži broj dana u sedmici, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedeljak Neko proveo 125 minuta na VKontakteu, odnosno u četvrtak - 248 minuta, a u petak samo 15.

2 . Slijed se može specificirati korištenjem formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza od njegovog broja izražava se direktno kao formula.

Na primjer, ako , onda

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa datim brojem, zamjenjujemo broj elementa u formulu za n-ti član.

Isto radimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Umjesto toga zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbi funkcije:

ako npr. , onda

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, samo prirodni broj može biti argument.

3 . Niz se može specificirati pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza sa brojem n o vrijednosti prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvog člana ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ovaj način sekvenciranja se zove ponavljajuća, od latinska reč recurro- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj numeričkog niza.

Aritmetička progresija naziva se numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodanom istim brojem.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili nula.

Ako title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećanje.

Na primjer, 2; 5; osam; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je opadanje.

Na primjer, 2; -jedan; -četiri; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarno.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, i istovremeno

Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo:

.

Podijelite obje strane jednačine sa 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štaviše, pošto

, i istovremeno

, onda

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije počinje sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula th člana.

Vidimo da za članove aritmetičke progresije vrijede sljedeće relacije:

i na kraju

Imamo formula n-tog člana.

BITAN! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti u terminima i . Znajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbir n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji, sumi članova koji su jednako udaljeni od ekstremnih jednaki su jedni drugima:

Razmotrimo aritmetičku progresiju sa n članova. Neka je zbir n članova ove progresije jednak .

Rasporedite pojmove progresije prvo rastućim redoslijedom brojeva, a zatim opadajućim redoslijedom:

Hajde da ga uparimo:

Zbir u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobijamo:

dakle, zbir n članova aritmetičke progresije može se naći pomoću formula:

Razmislite rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dat formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Dobili smo da razlika dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Stoga je po definiciji ovaj niz aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 termin progresije.

b) Odredite da li je broj 41 uključen u ovu progresiju.

a) Vidimo to;

Zapišimo formulu za n-ti član za našu progresiju.

Uglavnom

U našem slučaju , zbog toga

Dobijamo:

b) Pretpostavimo da je broj 41 član niza. Hajde da nađemo njegov broj. Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:

Dobili smo prirodnu vrijednost n, dakle, da, broj 41 je član progresije. Ako pronađena vrijednost n nije prirodan broj, onda bismo odgovorili da broj 41 NIJE član progresije.

3 . a) Između brojeva 2 i 8 ubaciti 4 broja tako da oni zajedno sa datim brojevima čine aritmetičku progresiju.

b) Naći zbir članova rezultirajuće progresije.

a) Ubacimo četiri broja između brojeva 2 i 8:

Dobili smo aritmetičku progresiju u kojoj ima 6 članova.

Hajde da pronađemo razliku ove progresije. Da bismo to učinili, koristimo formulu za n-ti član:

Sada je lako pronaći vrijednosti brojeva:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Odgovor: a) da; b) 30

4. Kamion prevozi seriju lomljenog kamena težine 240 tona, svakodnevno povećavajući brzinu transporta za isti broj tona. Poznato je da je prvog dana prevezeno 2 tone šuta. Odredite koliko je tona lomljenog kamena prevezeno dvanaestog dana ako su svi radovi završeni za 15 dana.

U skladu sa stanjem problema, količina lomljenog kamena koju kamion prevozi svakim danom raste za isti broj. Dakle, imamo posla sa aritmetičkom progresijom.

Ovaj problem formulišemo u terminima aritmetičke progresije.

Tokom prvog dana prevezeno je 2 tone lomljenog kamena: a_1=2.

Svi radovi završeni za 15 dana: .

Kamion prevozi seriju lomljenog kamena težine 240 tona:

Moramo pronaći.

Prvo, pronađimo razliku u progresiji. Koristimo formulu za zbir n članova progresije.

u našem slučaju:

Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(osam\); \(jedanaest\); \(14\)… je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):

U ovoj progresiji, razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), i stoga je svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećanje.

Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(deset\); \(četiri\); \(-2\); \(-8\)… razlika u progresiji \(d\) je jednaka minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Zapis aritmetičke progresije

Progresija se označava malim latiničnim slovom.

Zovu se brojevi koji formiraju progresiju članovi(ili elemenata).

Označeni su istim slovom kao i aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) se sastoji od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\)

Rješavanje zadataka u aritmetičkoj progresiji

U principu, gore navedene informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema u aritmetičkoj progresiji (uključujući i one koje nudi OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Rješenje:

odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Prva tri člana aritmetičke progresije su data: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Rješenje:

	Dati su nam prvi elementi niza i znamo da je to aritmetička progresija. Odnosno, svaki element se razlikuje od susjednog za isti broj. Saznajte koji oduzimanjem prethodnog od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\).
	Sada možemo vratiti naš napredak na željeni (prvi negativni) element.
	Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dato je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Rješenje:

	Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razlika u progresiji. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\).
	I sada bez problema nalazimo ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\).
	Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Zadana aritmetička progresija sledećim uslovima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Rješenje:

	Moramo pronaći zbir prvih šest članova progresije. Ali ne znamo njihova značenja, dat nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti ​​​​, koristeći dato nam: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) I nakon što smo izračunali šest elemenata koji su nam potrebni, nalazimo njihov zbir.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Traženi iznos je pronađen.

odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Rješenje:

odgovor: \(d=7\).

Važne formule aritmetičke progresije

Kao što vidite, mnogi problemi aritmetičke progresije mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom (razlika progresije).

Međutim, ponekad postoje situacije kada je vrlo nezgodno riješiti "na čelo". Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već trista osamdeset šesti \(b_(386)\). Šta je to, mi \ (385 \) puta da saberemo četiri? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Brojanje je zbunjujuće...

Stoga se u takvim slučajevima ne rješavaju "na čelo", već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbir \(n\) prvih članova.

Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj potrebnog elementa;
\(a_n\) je član progresije s brojem \(n\).

Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo najmanje tristoti, čak i milioniti element, znajući samo prvi i progresivnu razliku.

Primjer. Aritmetička progresija je data uslovima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Rješenje:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbir prvih n članova je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je

\(a_n\) je posljednji zbrojeni pojam;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima \(a_n=3.4n-0.6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Rješenje:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Da bismo izračunali zbir prvih dvadeset pet elemenata, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. Naša progresija je data formulom n-og člana u zavisnosti od njegovog broja (vidi detalje). Izračunajmo prvi element zamjenom \(n\) sa jedan.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Sada pronađimo dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Pa, sada bez problema izračunavamo potrebnu količinu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbir \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobijamo:

Formula za zbir prvih n članova je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je

\(S_n\) – traženi zbir \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) je prvi pojam koji se zbraja;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) - broj elemenata u zbroju.

Primjer. Pronađite zbir prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(četrnaest\)…
Rješenje:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve informacije koje su vam potrebne da riješite gotovo svaki problem aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem problema u kojima ne samo da treba primijeniti formule, već i malo razmisliti (u matematici ovo može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Pronađite zbir svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Rješenje:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati na isti način: prvo pronađemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Sada bismo zamijenili \(d\) u formulu za zbir ... i ovdje se pojavljuje mala nijansa - ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko termina treba dodati. Kako to saznati? Hajde da razmislimo. Prestat ćemo sa dodavanjem elemenata kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. Odnosno, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračunavanje bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Trebamo da \(a_n\) bude veći od nule. Hajde da saznamo zbog čega će se to \(n\) dogoditi.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obje strane nejednakosti dijelimo sa \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenosimo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Računanje...
\(n>65,333…\)		…i ispostavilo se da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Prema tome, posljednji negativ ima \(n=65\). Za svaki slučaj, hajde da proverimo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Dakle, moramo dodati prve \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pronađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključujući.
Rješenje:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	U ovom zadatku također morate pronaći zbir elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Nemamo formulu za ovo. Kako odlučiti? Lako - da biste dobili zbir od \(26\) do \(42\), prvo morate pronaći zbir od \(1\) do \(42\), a zatim od njega oduzeti zbroj od \(42\) prvi do \ (25 \) th (vidi sliku).
	Za našu progresiju \(a_1=-33\), i razliku \(d=4\) (na kraju krajeva, prethodnom elementu dodajemo četiri da pronađemo sljedeći). Znajući ovo, nalazimo zbir prvih \(42\)-uh elemenata.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sada zbir prvih \(25\)-tih elemenata.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	I konačno, izračunavamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmotrili u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Ili aritmetika - ovo je vrsta uređenog numeričkog niza, čija se svojstva proučavaju u školskom kursu algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije.

Šta je ovo napredovanje?

Prije nego što pređemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbir aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, lako možete vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da sljedeća jednakost vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Što je zbir aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, morate pronaći njihov zbir. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno sabrati sve elemente po redu.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedi razmisliti o jednom zanimljiva stvar: budući da se svaki pojam razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d \u003d 1, tada će parno zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat. stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, ovih suma je samo 5, odnosno tačno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim pomnožite broj zbroja (5) sa rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generalizujemo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n , a također ukupan broj termini n.

Vjeruje se da je Gauss prvi pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji mu je postavio učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbir elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom pasusu odgovara na pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije (prvih elemenata), ali je često u zadacima potrebno sabrati niz brojeva u sredini progresije. Kako uraditi?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbir članova od m-tog do n-og. Da bi se riješio problem, dati segment od m do n progresije treba predstaviti kao novi brojevni niz. U takvoj prezentaciji mth termin a m će biti prvo, a n će biti označeno brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za sumu, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbir njegovih članova, počevši od 5. i završavajući sa 12.:

Dati brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 = 29.

Znajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, kao i znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom paragrafu. Nabavite:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbir prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbir prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .

Zbir aritmetičke progresije.

Zbir aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, hajde da se pozabavimo značenjem i formulom sume. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje sume je jednostavno kao spuštanje. Da biste pronašli zbir aritmetičke progresije, potrebno je samo pažljivo sabrati sve njene članove. Ako je ovih pojmova malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodatak je neugodan.) U ovom slučaju formula štedi.

Formula sume je jednostavna:

Hajde da shvatimo kakva su slova uključena u formulu. Ovo će razjasniti mnogo toga.

S n je zbir aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svečlanovi, sa prvo on zadnji. Važno je. Tačno zbrojite svečlanovi u nizu, bez razmaka i skokova. I, tačno, počevši od prvo. U zagonetkama, kao što je pronalaženje zbira trećeg i osmog člana, ili zbira članova od petog do dvadesetog - direktnu primjenu formule su razočaravajuće.)

a 1 - prvičlan progresije. Ovde je sve jasno, jednostavno prvo broj reda.

a n- zadnjičlan progresije. Poslednji broj u redu. Ime nije baš poznato, ali kada se primeni na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n je broj posljednjeg člana. Važno je shvatiti da je u formuli ovaj broj poklapa se sa brojem dodatih članova.

Hajde da definišemo koncept zadnjičlan a n. Popunjavajuće pitanje: kakav će član posljednje, ako je dato beskrajno aritmetička progresija?

Za pouzdan odgovor, morate razumjeti osnovno značenje aritmetičke progresije i ... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbira aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje posljednji član (direktno ili indirektno), koje bi trebalo ograničiti. Inače, konačan, specifičan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije bitno kakva je progresija data: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je dat: nizom brojeva ili formulom n-tog člana.

Najvažnije je shvatiti da formula funkcionira od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, tj. n, određen je isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali ništa, u primjerima ispod ćemo otkriti ove tajne.)

Primjeri zadataka za zbir aritmetičke progresije.

Primarno, korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima za zbir aritmetičke progresije je ispravno određivanje elemenata formule.

Autori zadataka šifriraju upravo ove elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je samo dešifrirati. Pogledajmo nekoliko primjera u detalje. Počnimo sa zadatkom zasnovanim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija je data uslovom: a n = 2n-3.5. Pronađite zbir prvih 10 članova.

Dobar posao. Lako.) Šta treba da znamo da bismo odredili količinu prema formuli? Prvi član a 1, prošli mandat a n, da broj posljednjeg termina n.

Gdje dobiti posljednji članski broj n? Da, na istom mestu, u stanju! Piše pronađite sumu prvih 10 članova. Pa, koji će to biti broj posljednje, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo u formulu a 10, ali umjesto toga n- deset. Opet, broj posljednjeg člana je isti kao i broj članova.

Ostaje da se utvrdi a 1 i a 10. To se lako izračunava formulom n-tog člana, koja je data u opisu problema. Ne znate kako to učiniti? Posjetite prethodnu lekciju, bez ovoga - ništa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbir aritmetičke progresije. Ostaje ih zamijeniti i računati:

To je sve. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak baziran na GIA. Malo komplikovanije:

2. Zadata je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 \u003d 2.3. Pronađite zbir prvih 15 članova.

Odmah pišemo formulu sume:

Ova formula nam omogućava da pronađemo vrijednost bilo kojeg člana po njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli za zbir aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako u formuli zbira umjesto a n samo zamijenimo formulu n-tog člana, dobićemo:

Dajemo slične, dobijamo novu formulu za zbir članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, nema potrebe n-ti član a n. U nekim zadacima ova formula puno pomaže, da... Možete zapamtiti ovu formulu. I moguće je u pravi trenutak lako ga je izneti, kao ovde. Na kraju krajeva, formula za zbir i formula za n-ti član moraju se pamtiti na svaki način.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Nađite zbir svih pozitivnih dvocifrenih brojeva koji su višestruki od tri.

Kako! Nema prvog člana, nema poslednjeg, nema napredovanja uopšte... Kako živjeti!?

Morat ćete razmišljati svojom glavom i izvući iz stanja sve elemente zbira aritmetičke progresije. Šta su dvocifreni brojevi - znamo. Sastoje se od dva broja.) Koji će dvocifreni broj prvo? 10, vjerovatno.) poslednja stvar dvocifreni broj? 99, naravno! Trocifrene će ga pratiti...

Višestruki od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su jednako djeljivi sa tri, evo! Deset nije deljivo sa tri, 11 nije deljivo... 12... je deljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete napisati niz prema stanju problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ova serija biti aritmetička progresija? Naravno! Svaki termin se razlikuje od prethodnog striktno za tri. Ako se terminu doda 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više neće biti podijeljen sa 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije do hrpe: d = 3. Korisno!)

Dakle, možemo sigurno zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj n zadnji član? Ko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi - uvijek idu redom, a naši članovi preskaču prva tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan od načina je za super vrijedne. Možete oslikati progresiju, cijeli niz brojeva i prebrojati broj pojmova prstom.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako se formula primijeni na naš problem, dobijamo da je 99 trideseti član progresije. One. n = 30.

Gledamo formulu za zbir aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje količine iz stanja problema:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ono što ostaje je elementarna aritmetika. Zamijenite brojeve u formuli i izračunajte:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularnih zagonetki:

4. Zadana je aritmetička progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nađite zbir pojmova od dvadesetog do trideset četvrtog.

Gledamo formulu zbira i ... uznemireni smo.) Formula, da vas podsjetim, izračunava zbir od prvečlan. A u zadatku morate izračunati sumu od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, oslikati cijelu progresiju u nizu, i staviti članove od 20 do 34. Ali ... nekako ispadne glupo i dugo, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbir članova prvog dijela S 1-19, dodajmo je zbiru članova drugog dijela S 20-34, dobijamo zbir progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Volim ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ovo pokazuje da se nalazi zbir S 20-34 može se uraditi jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

U obzir se uzimaju oba suma na desnoj strani od prvečlan, tj. standardna formula sume je prilično primjenjiva na njih. Počinjemo li?

Izvlačimo parametre progresije iz uslova zadatka:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbir prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Računamo ih prema formuli n-tog člana, kao u zadatku 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ništa više nije ostalo. Oduzmite zbir 19 članova od zbira 34 člana:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262.5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo korisna funkcija u rješavanju ovog problema. Umjesto direktnog obračuna šta ti treba (S 20-34), brojali smo ono što, čini se, nije potrebno - S 1-19. A onda su odlučili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz punog rezultata. Takva "finta s ušima" često štedi u zlim zagonetkama.)

U ovoj lekciji smo ispitali probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbira aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

praktični saveti:

Kada rješavate bilo koji zadatak za zbir aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula n-tog člana:

Ove formule će vam odmah reći šta da tražite, u kom pravcu da razmišljate kako biste rešili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Pronađite zbir svih dvocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa tri.

Cool?) Nagoveštaj je skriven u napomeni za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija je data uslovom: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite zbir prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takve se zagonetke često nalaze u GIA-i.

7. Vasya je uštedio novac za praznik. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam da najvoljenijoj osobi (sebi) poklonim nekoliko dana sreće). Živite lijepo, ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više nego prethodnog! Dok novac ne ponestane. Koliko je dana sreće imao Vasja?

Je li teško?) Dodatna formula iz zadatka 2 će pomoći.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.