Área geométrica- una característica numérica de una figura geométrica que muestra el tamaño de esta figura (parte de la superficie delimitada por un contorno cerrado de esta figura). El tamaño del área se expresa por el número de unidades cuadradas que contiene.

Fórmulas del área del triángulo

1. fórmula del área del triángulo para lado y altura
   Area de un triangulo igual a la mitad del producto de la longitud de un lado de un triángulo y la longitud de la altura trazada a este lado
   
2. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio del círculo circunscrito
   
3. La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio de un círculo inscrito
   Area de un triangulo es igual al producto del semiperímetro del triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
   
donde S es el área del triángulo,
- las longitudes de los lados del triángulo,
- la altura del triángulo,
- el ángulo entre los lados y,
- radio de la circunferencia inscrita,
R - radio del círculo circunscrito,

fórmulas de área cuadrada

1. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de un lado
   área cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado.
2. La formula del area de un cuadrado dada la longitud de la diagonal
   área cuadrada igual a la mitad del cuadrado de la longitud de su diagonal.
   

   S=	1	2
   	2

donde S es el área del cuadrado,
es la longitud del lado del cuadrado,
es la longitud de la diagonal del cuadrado.

fórmula del área del rectángulo

área del rectángulo es igual al producto de las longitudes de sus dos lados adyacentes

donde S es el área del rectángulo,
son las longitudes de los lados del rectángulo.

Fórmulas para el área de un paralelogramo

1. Fórmula del área del paralelogramo para la longitud y la altura del lado
   área del paralelogramo
2. La fórmula para el área de un paralelogramo dados dos lados y el ángulo entre ellos
   área del paralelogramo es igual al producto de las longitudes de sus lados por el seno del ángulo que los forma.
   

   a b sinα

donde S es el área del paralelogramo,
son las longitudes de los lados del paralelogramo,
es la altura del paralelogramo,
es el ángulo entre los lados del paralelogramo.

Formulas para el area de un rombo

1. Fórmula del área del rombo dada la longitud y la altura del lado
   área de rombo es igual al producto de la longitud de su lado por la longitud de la altura bajada a este lado.
2. La formula del area de un rombo dada la longitud del lado y el angulo
   área de rombo es igual al producto del cuadrado de la longitud de su lado por el seno del ángulo entre los lados del rombo.
3. La fórmula para el área de un rombo a partir de las longitudes de sus diagonales.
   área de rombo es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales.
donde S es el área del rombo,
- longitud del lado del rombo,
- la longitud de la altura del rombo,
- el ángulo entre los lados del rombo,
1, 2 - las longitudes de las diagonales.

Fórmulas del área del trapecio

1. Fórmula de Heron para un trapecio

   Donde S es el área del trapezoide,
   - la longitud de las bases del trapezoide,
   - la longitud de los lados del trapezoide,
   

área del paralelogramo

Teorema 1

El área de un paralelogramo se define como el producto de la longitud de su lado por la altura dibujada sobre él.

donde $a$ es el lado del paralelogramo, $h$ es la altura dibujada hacia este lado.

Prueba.

Tengamos un paralelogramo $ABCD$ con $AD=BC=a$. Dibujemos las alturas $DF$ y $AE$ (Fig. 1).

Foto 1.

Es obvio que la figura $FDAE$ es un rectángulo.

\[\ángulo BAE=(90)^0-\ángulo A,\ \] \[\ángulo CDF=\ángulo D-(90)^0=(180)^0-\ángulo A-(90)^0 =(90)^0-\ángulo A=\ángulo BAE\]

Por lo tanto, dado que $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, por $I$ la prueba de igualdad de triángulos. Después

Entonces, de acuerdo con el teorema del área del rectángulo:

El teorema ha sido probado.

Teorema 2

El área de un paralelogramo se define como el producto de la longitud de sus lados adyacentes por el seno del ángulo entre esos lados.

Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera

donde $a,\ b$ son los lados del paralelogramo, $\alpha $ es el ángulo entre ellos.

Prueba.

Tengamos un paralelogramo $ABCD$ con $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Dibujar la altura $DF=h$ (Fig. 2).

Figura 2.

Por definición del seno, obtenemos

Como consecuencia

Por lo tanto, por el Teorema $1$:

El teorema ha sido probado.

Area de un triangulo

Teorema 3

El área de un triángulo se define como la mitad del producto de la longitud de su lado por la altura dibujada sobre él.

Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera

donde $a$ es el lado del triángulo, $h$ es la altura dibujada hacia este lado.

Prueba.

figura 3

Entonces por el teorema $1$:

El teorema ha sido probado.

Teorema 4

El área de un triángulo se define como la mitad del producto de la longitud de sus lados adyacentes por el seno del ángulo entre esos lados.

Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera

donde $a,\ b$ son los lados del triángulo, $\alpha $ es el ángulo entre ellos.

Prueba.

Nos dan un triángulo $ABC$ con $AB=a$. Dibuja la altura $CH=h$. Construyámoslo hasta el paralelogramo $ABCD$ (Fig. 3).

Obviamente, $\triangle ACB=\triangle CDB$ por $I$. Después

Entonces por el teorema $1$:

El teorema ha sido probado.

Área del trapecio

Teorema 5

El área de un trapezoide se define como la mitad del producto de la suma de las longitudes de sus bases por su altura.

Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera

Prueba.

Tengamos un trapezoide $ABCK$, donde $AK=a,\BC=b$. Dibujemos en él las alturas $BM=h$ y $KP=h$, así como la diagonal $BK$ (Fig. 4).

Figura 4

Por el teorema $3$, obtenemos

El teorema ha sido probado.

Ejemplo de tarea

Ejemplo 1

Halla el área de un triángulo equilátero si la longitud de su lado es $a.$

Solución.

Dado que el triángulo es equilátero, todos sus ángulos son iguales a $(60)^0$.

Entonces, por el Teorema $4$, tenemos

Responder:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Tenga en cuenta que el resultado de este problema se puede utilizar para encontrar el área de cualquier triángulo equilátero con un lado dado.

Como en la geometría euclidiana, el punto y la línea son los elementos principales de la teoría de los planos, por lo que el paralelogramo es una de las figuras clave de los cuadriláteros convexos. De él, como hilos de una pelota, fluyen los conceptos de "rectángulo", "cuadrado", "rombo" y otras cantidades geométricas.

En contacto con

Definición de un paralelogramo

cuadrilátero convexo, formado por segmentos, cada par de los cuales es paralelo, se conoce en geometría como paralelogramo.

El aspecto de un paralelogramo clásico es un cuadrilátero ABCD. Los lados se llaman bases (AB, BC, CD y AD), la perpendicular trazada desde cualquier vértice al lado opuesto de este vértice se llama altura (BE y BF), las rectas AC y BD son las diagonales.

¡Atención! Cuadrado, rombo y rectángulo son casos especiales de paralelogramo.

Lados y ángulos: características de proporción

Propiedades clave, en general, predeterminado por la propia designación, se prueban por el teorema. Estas características son las siguientes:

1. Los lados que son opuestos son idénticos en pares.
2. Los ángulos que son opuestos entre sí son iguales en pares.

Prueba: considere ∆ABC y ∆ADC, que se obtienen dividiendo el cuadrilátero ABCD por la línea AC. ∠BCA=∠CAD y ∠BAC=∠ACD, ya que AC les es común (ángulos verticales para BC||AD y AB||CD, respectivamente). De esto se sigue: ∆ABC = ∆ADC (el segundo criterio para la igualdad de triángulos).

Los segmentos AB y BC en ∆ABC corresponden por pares a las rectas CD y AD en ∆ADC, lo que significa que son idénticas: AB = CD, BC = AD. Por lo tanto, ∠B corresponde a ∠D y son iguales. Dado que ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, que también son idénticos en pares, entonces ∠A = ∠C. La propiedad ha sido probada.

Características de las diagonales de la figura

Caracteristica principal estas líneas de paralelogramo: el punto de intersección las biseca.

Demostración: sea m.E el punto de intersección de las diagonales AC y BD de la figura ABCD. Forman dos triángulos proporcionales: ∆ABE y ∆CDE.

AB=CD ya que son opuestos. Según rectas y secantes, ∠ABE = ∠CDE y ∠BAE = ∠DCE.

Según el segundo signo de igualdad, ∆ABE = ∆CDE. Esto significa que los elementos ∆ABE y ∆CDE son: AE = CE, BE = DE y, además, son partes proporcionales de AC y BD. La propiedad ha sido probada.

Características de las esquinas adyacentes.

En los lados adyacentes, la suma de los ángulos es 180°, ya que se encuentran en el mismo lado de las rectas paralelas y la secante. Para el cuadrilátero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propiedades de la bisectriz:

1. , caídos a un lado, son perpendiculares;
2. los vértices opuestos tienen bisectrices paralelas;
3. el triángulo obtenido al dibujar la bisectriz será isósceles.

Determinación de los rasgos característicos de un paralelogramo por el teorema

Las características de esta figura se derivan de su teorema principal, que dice lo siguiente: cuadrilátero se considera un paralelogramo en el caso de que sus diagonales se corten, y este punto las divida en segmentos iguales.

Demostración: Deje que las líneas AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersequen en t.E. Como ∠AED = ∠BEC, y AE+CE=AC BE+DE=BD, entonces ∆AED = ∆BEC (por el primer signo de igualdad de triángulos). Es decir, ∠EAD = ∠ECB. También son los ángulos interiores de cruce de la secante AC para las rectas AD y BC. Así, por definición de paralelismo - AD || ANTES DE CRISTO. También se deriva una propiedad similar de las líneas BC y CD. El teorema ha sido probado.

Calcular el área de una figura

El área de esta figura. encontrado de varias maneras una de las más sencillas: multiplicar la altura por la base a la que se dibuja.

Prueba: Dibujar perpendiculares BE y CF desde los vértices B y C. ∆ABE y ∆DCF son iguales ya que AB = CD y BE = CF. ABCD es igual al rectángulo EBCF, ya que también se componen de cifras proporcionales: S ABE y S EBCD, así como S DCF y S EBCD. De ello se deduce que el área de esta figura geométrica es la misma que la de un rectángulo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Para determinar la fórmula general del área de un paralelogramo, denotamos la altura como media pensión, y el lado b. Respectivamente:

Otras formas de encontrar el área

Cálculos de área por los lados del paralelogramo y el ángulo, que forman, es el segundo método conocido.

,

Spr-ma - área;

a y b son sus lados

α - ángulo entre los segmentos a y b.

Este método está prácticamente basado en el primero, pero por si acaso se desconoce. siempre corta un triángulo rectángulo cuyos parámetros se encuentran por identidades trigonométricas, es decir, . Transformando la razón, obtenemos . En la ecuación del primer método, reemplazamos la altura con este producto y obtenemos una prueba de la validez de esta fórmula.

Por las diagonales de un paralelogramo y un ángulo, que crean cuando se cruzan, también puede encontrar el área.

Demostración: la intersección de AC y BD forma cuatro triángulos: ABE, BEC, CDE y AED. Su suma es igual al área de este cuadrilátero.

El área de cada uno de estos ∆ se puede encontrar a partir de la expresión , donde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dado que , se usa un solo valor del seno en los cálculos. Eso es . Dado que AE+CE=AC= d 1 y BE+DE=BD= d 2 , la fórmula del área se reduce a:

.

Aplicación en álgebra vectorial

Las características de las partes constituyentes de este cuadrilátero han encontrado aplicación en el álgebra vectorial, a saber: la suma de dos vectores. La regla del paralelogramo establece que Vectores de si dadoynoson colineales, entonces su suma será igual a la diagonal de esta figura, cuyas bases corresponden a estos vectores.

Prueba: desde un comienzo elegido arbitrariamente, eso es. - construimos vectores y . A continuación, construimos un paralelogramo OASV, donde los segmentos OA y OB son lados. Por lo tanto, el sistema operativo se encuentra en el vector o suma.

Fórmulas para calcular los parámetros de un paralelogramo

Las identidades se dan bajo las siguientes condiciones:

1. a y b, α - lados y el ángulo entre ellos;
2. d 1 y d 2 , γ - diagonales y en el punto de su intersección;
3. h a y h b - alturas rebajadas a los lados a y b;

Parámetro	Fórmula
Encontrar lados
a lo largo de las diagonales y el coseno del ángulo entre ellas
en diagonal y de lado
a través de la altura y el vértice opuesto
Hallar la longitud de las diagonales
en los lados y el tamaño de la parte superior entre ellos
a lo largo de los lados y una de las diagonales	 Conclusión El paralelogramo, como una de las figuras clave de la geometría, se usa en la vida, por ejemplo, en la construcción al calcular el área del sitio u otras medidas. Por lo tanto, el conocimiento sobre las características distintivas y los métodos para calcular sus diversos parámetros puede ser útil en cualquier momento de la vida.

Paralelogramo: una figura geométrica, que a menudo se encuentra en las tareas del curso de geometría (sección de planimetría). Las características clave de este cuadrilátero son la igualdad de ángulos opuestos y la presencia de dos pares de lados opuestos paralelos. Los casos especiales de un paralelogramo son un rombo, un rectángulo, un cuadrado.

El cálculo del área de este tipo de polígonos se puede realizar de varias formas. Consideremos cada uno de ellos.

Hallar el área de un paralelogramo si se conocen el lado y la altura

Para calcular el área de un paralelogramo, puede usar los valores de su lado, así como la longitud de la altura que baja sobre él. En este caso, los datos obtenidos serán confiables tanto para el caso de un lado conocido, la base de la figura, como si tiene a su disposición el lado de la figura. En este caso, el valor deseado se obtendrá mediante la fórmula:

S = un * h(a) = segundo * h(b),

• S es el área a determinar,
• a, b - lado conocido (o calculado),
• h es la altura que baja sobre él.

Ejemplo: el valor de la base de un paralelogramo es de 7 cm, la longitud de la perpendicular que cae sobre él desde el vértice opuesto es de 3 cm.

Solución: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Hallar el área de un paralelogramo si se conocen 2 lados y el ángulo entre ellos

Considere el caso cuando conoce la magnitud de los dos lados de la figura, así como la medida en grados del ángulo que forman entre sí. Los datos proporcionados también se pueden utilizar para encontrar el área del paralelogramo. En este caso, la expresión de la fórmula se verá así:

S = a * c * senα = a * c * senβ,

• un - lado,
• c es una base conocida (o calculada),
• α, β son los ángulos entre los lados a y c.

Ejemplo: la base de un paralelogramo mide 10 cm, su lado es 4 cm más pequeño. El ángulo obtuso de la figura es 135°.

Solución: determine el valor del segundo lado: 10 - 4 \u003d 6 cm.

S = a * c * senα = 10 * 6 * sen135° = 60 * sen(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Encuentra el área de un paralelogramo si se conocen las diagonales y el ángulo entre ellas

La presencia de valores conocidos de las diagonales de un polígono dado, así como el ángulo que forman como resultado de su intersección, le permite determinar el área de la figura.

S = (d1*d2)/2*senγ,
S = (d1*d2)/2*senφ,

S es el área a determinar,
d1, d2 son diagonales conocidas (o calculadas),
γ, φ son los ángulos entre las diagonales d1 y d2.

Ingrese la longitud del lado y la altura al lado:

Definición de un paralelogramo

Paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son iguales y paralelos.

Calculadora online

Un paralelogramo tiene algunas propiedades útiles que facilitan la resolución de problemas relacionados con esta figura. Por ejemplo, una propiedad es que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

Considere varios métodos y fórmulas, seguido de la resolución de ejemplos simples.

La fórmula para el área de un paralelogramo por base y altura

Este método para encontrar el área es probablemente uno de los más básicos y simples, ya que es casi idéntico a la fórmula para encontrar el área de un triángulo, con algunas excepciones. Comencemos con un caso generalizado sin usar números.

Sea un paralelogramo arbitrario de base un un a, lado cama y desayuno b y altura S.S h atraídos por nuestra base. Entonces la fórmula del área de este paralelogramo es:

S = un ⋅ h S=a\cdot h S=un ⋅h

un un a- base;
S.S h- altura.

Echemos un vistazo a un problema fácil para practicar la resolución de problemas típicos.

Ejemplo

Encuentra el área de un paralelogramo en el que se conocen la base igual a 10 (cm) y la altura igual a 5 (cm).

Solución

un=10 un=10 un =1 0
hora=5 hora=5 h =5

Sustituir en nuestra fórmula. Obtenemos:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (ver cuadrados)

Respuesta: 50 (ver cuadrado)

La fórmula para el área de un paralelogramo dados dos lados y el ángulo entre ellos

En este caso, el valor deseado se encuentra de la siguiente manera:

S = un ⋅ segundo ⋅ pecado ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=un ⋅segundo ⋅pecado(a)

un, b un, b un, b- lados de un paralelogramo;
α \ alfa α - ángulo entre los lados un un a y cama y desayuno b.

Ahora resolvamos otro ejemplo y usemos la fórmula anterior.

Ejemplo

Hallar el área de un paralelogramo si se conoce el lado un un a, que es la base y con una longitud de 20 (ver) y un perímetro páginas pags, numéricamente igual a 100 (ver), el ángulo entre lados adyacentes ( un un a y cama y desayuno b) es igual a 30 grados.

Solución

un=20 un=20 un =2 0
p=100 p=100 pag=1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Para encontrar la respuesta, no conocemos solo el segundo lado de este cuadrilátero. Encontrémosla. El perímetro de un paralelogramo viene dado por:
pags = a + a + b + b pags=a+a+b+b pag=un +un +b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60=2b 60=2b 6 0 = 2b
b=30 b=30 b=3 0

Ya pasó la parte más difícil, solo queda sustituir nuestros valores por los lados y el ángulo entre ellos:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ pecado ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ pecado(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (ver cuadrados)

Respuesta: 300 (ver cuadrados)

La fórmula para el área de un paralelogramo dadas las diagonales y el ángulo entre ellas

S = 1 2 ⋅ re ⋅ re ⋅ pecado ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D ⋅re ⋅pecado(a)

D D D- diagonal grande;
dd d- pequeña diagonal;
α \ alfa α es un ángulo agudo entre las diagonales.

Ejemplo

Se dan las diagonales del paralelogramo, igual a 10 (ver) y 5 (ver). El ángulo entre ellos es de 30 grados. Calcula su área.

Solución

D=10 D=10 re=1 0
re=5 re=5 re=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ pecado ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ pecado(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (ver cuadrados)