A derékszögű háromszögek témakörének tanulmányozása után a tanulók gyakran kidobják a fejükből az összes információt a róluk. Beleértve azt is, hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt, nem beszélve arról, hogy mi az.

És hiába. Mert a jövőben a téglalap átlója éppen ez a hipotenusz lesz, és ezt meg kell találni. Vagy a kör átmérője egybeesik a háromszög legnagyobb oldalával, amelynek egyik szöge derékszögű. És e tudás nélkül lehetetlen megtalálni.

A háromszög befogópontját többféleképpen is meg lehet találni. A módszer megválasztása a mennyiségi probléma kezdeti adathalmazától függ.

1. módszer: mindkét láb adott

Ez a legemlékezetesebb módszer, mert a Pitagorasz-tételt használja. Csak néha a tanulók elfelejtik, hogy ez a képlet a hipotenusz négyzete. Tehát magának az oldalnak a megtalálásához négyzetgyököt kell vennie. Ezért a hipotenúza képlete, amelyet általában "c" betűvel jelölnek, így fog kinézni:

c = √ (a 2 + a 2), ahol az "a" és "b" betűket egy derékszögű háromszög mindkét lábára írjuk.

2. számú módszer: ismert a lábszár és a vele szomszédos szög

Annak érdekében, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni a hipotenuszt, emlékeznie kell a trigonometrikus függvényekre. Mégpedig koszinusz. A kényelem kedvéért feltételezzük, hogy az "a" láb és a vele szomszédos α szög adott.

Most emlékeznünk kell arra, hogy egy derékszögű háromszög szögének koszinusza egyenlő a két oldal arányával. A számláló a láb értéke, a nevező pedig a hipotenusz lesz. Ebből az következik, hogy ez utóbbi a következő képlettel számítható ki:

c = a / cos α.

3. módszer: adott a láb és a vele szemben fekvő szög

Annak érdekében, hogy ne tévesszen meg a képletekben, bevezetjük ennek a szögnek a jelölését - β, és az oldalt "a"-ként hagyjuk. Ebben az esetben egy másik trigonometrikus függvényre van szükség - a szinuszra.

Az előző példához hasonlóan a szinusz egyenlő a láb és a hipotenusz arányával. A módszer képlete így néz ki:

c \u003d a / sin β.

Hogy ne keveredjen össze a trigonometrikus függvényekben, emlékezzen egy egyszerű mnemonikai szabályra: ha a probléma kb. ról ről szemközti sarokban, akkor kell használni és nous if - oh pr és hazudni, akkor ahhoz ról ről sinus. Ügyeljen a kulcsszavak első magánhangzóira. Párokat alkotnak ja és vagy és róla.

4. számú módszer: a körülírt kör sugara mentén

Most, hogy megtudja, hogyan találja meg a hipotenuszt, emlékeznie kell a kör tulajdonságára, amelyet egy derékszögű háromszög körül írnak le. Ez így szól. A kör középpontja egybeesik a hipotenusz felezőpontjával. Más szóval, a derékszögű háromszög leghosszabb oldala egyenlő a kör átlójával. Vagyis dupla sugár. A feladat képlete a következőképpen nézne ki:

c = 2 * r, ahol r az ismert sugarat jelöli.

Ezek mind lehetséges módszerek egy derékszögű háromszög befogójának megtalálására. Minden konkrét feladatnál azt a módszert kell alkalmazni, amelyik jobban megfelel az adathalmaznak.

Példa az 1. feladatra

Feltétel: derékszögű háromszögben a mediánok mindkét szárra vannak húzva. A nagyobb oldalra húzott hossza √52. A másik medián hossza √73. Ki kell számolnia a hipotenúzát.

Mivel a mediánok háromszögben vannak megrajzolva, a lábakat két egyenlő szegmensre osztják. Az érvelés megkönnyítése és a hipotenusz megtalálásának megkönnyítése érdekében több jelölést kell bevezetnie. A nagyobb láb mindkét felét jelölje „x”, a másikat „y” betűvel.

Most két derékszögű háromszöget kell figyelembe vennünk, amelyek hipotenuszai ismert mediánok. Számukra kétszer le kell írnia a Pitagorasz-tétel képletét:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Ez a két egyenlet egy rendszert alkot két ismeretlennel. Ezek megoldása után könnyű lesz megtalálni belőlük az eredeti háromszög lábait és annak hipotenuszát.

Először mindent a második fokra kell emelnie. Kiderül:

4 év 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

A második egyenletből látható, hogy y 2 \u003d 73 - 4x 2. Ezt a kifejezést be kell cserélni az elsőre, és ki kell számítani az "x"-et:

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Az átalakítás után:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 vagy 15 x 2 = 240.

Az utolsó kifejezésből x = √16 = 4.

Most kiszámolhatja az "y"-t:

y 2 = 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

A feltételnek megfelelően kiderül, hogy az eredeti háromszög lábai 6 és 8. Tehát használhatja az első módszer képletét, és megtalálhatja a hipotenúzust:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Válasz: a hipotenúza 10.

2. feladatpélda

Feltétel: számítsa ki a téglalapba húzott átlót, amelynek kisebb oldala egyenlő 41-gyel. Ha ismert, hogy a szöget olyanokra osztja, amelyek 2-1-hez kapcsolódnak.

Ebben a feladatban a téglalap átlója a 90º-os háromszög leghosszabb oldala. Tehát minden azon múlik, hogyan találjuk meg a hipotenuszt.

A probléma a sarkokkal van. Ez azt jelenti, hogy olyan képleteket kell használnia, amelyekben trigonometrikus függvények találhatók. És először meg kell határoznia az egyik hegyesszög értékét.

A feltételben hivatkozott szögek közül a kisebbet jelöljük α-val. Ekkor a derékszög, amelyet az átlóval osztunk, egyenlő lesz 3α-val. Ennek a matematikai jelölése így néz ki:

Ebből az egyenletből könnyen meghatározható α. 30º lesz. Ezenkívül a téglalap kisebbik oldalával szemben fog feküdni. Ezért a 3. módszerben leírt képletre lesz szükség.

A hipotenusz egyenlő a láb és az ellenkező szög szinuszának arányával, azaz:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Válasz: A hipotenúza 82.

„És azt mondják nekünk, hogy a láb rövidebb, mint a hipotenusz…” A „The Adventures of Electronics” című játékfilmben hangzott híres dalból ezek a sorok valóban helyesek Eukleidész geometriáját tekintve. Végül is a lábak két oldal, amelyek szöget alkotnak, amelynek fokmérője 90 fok. És a hipotenusz a leghosszabb "nyújtott" oldal, amely két egymásra merőleges lábat köt össze, és a derékszöggel szemben fekszik. Ezért a lábak mentén csak derékszögű háromszögben lehet megtalálni a befogót, és ha a láb hosszabb lenne, mint a befogó, akkor nem létezne ilyen háromszög.

Hogyan találjuk meg a hipotenuszt a Pitagorasz-tétel segítségével, ha mindkét láb ismert

A tétel azt mondja, hogy a hipotenusz négyzete nem más, mint a lábak négyzeteinek összege: x^2+y^2=z^2, ahol:

• x - az első láb;
• y - második láb;
• z a hipotenusz.

De csak a hipotenuszt kell megtalálni, nem a négyzetét. Ehhez bontsa ki a gyökeret.

A hipotenusz megtalálásának algoritmusa két ismert láb segítségével:

• Jelölje ki magának, hol vannak a lábak, és hol a hypotenusa.
• Az első láb négyzet alakú.
• A második láb négyzet alakú.
• Adja össze a kapott értékeket.
• Vegye ki a 4. lépésben kapott szám gyökerét.

Hogyan találjuk meg a hypotenusát a szinuszon keresztül, ha ismert a láb és a vele szemben fekvő hegyesszög

Az ismert láb és a vele szemben fekvő hegyesszög aránya megegyezik a hipotenúza értékével: a/sin A = c. Ez a szinusz definíciójának következménye:

Az ellenkező láb és a hipotenusz aránya: sin A \u003d a / c, ahol:

• a - az első láb;
• A a lábbal ellentétes hegyesszög;
• c a hipotenusz.

A hipotenusz megtalálásának algoritmusa a szinusztétel segítségével:

• Jelölje ki magának az ismert lábat és a vele ellentétes szöget.
• Ossza el a lábát az ellenkező sarokhoz.
• Szerezd meg a hipotenuszt.

Hogyan találjuk meg a hipotenuszt a koszinuszon keresztül, ha ismert a láb és a vele szomszédos hegyesszög

Az ismert láb és a hegyes bezárt szög aránya megegyezik a hypotenus a/cos B = c értékével. Ez a koszinusz meghatározásának következménye: a szomszédos láb és a hipotenusz aránya: cos B \u003d a / s, ahol:

• a - a második láb;
• B a második szárral szomszédos hegyesszög;
• c a hipotenusz.

A hipotenusz megtalálásának algoritmusa a koszinusztétel segítségével:

• Jelölje ki magának az ismert lábat és a vele szomszédos szöget.
• Ossza el a lábát egy szomszédos szögbe.
• Szerezd meg a hipotenuszt.

Hogyan találjuk meg a hipotenuszt az "egyiptomi háromszög" segítségével

Az "egyiptomi háromszög" egy számhármas, amelyek ismeretében időt takaríthat meg a hipotenusz vagy akár egy másik ismeretlen láb megtalálásához. A háromszögnek ilyen neve van, mivel Egyiptomban néhány szám az isteneket szimbolizálta, és a piramisok és más különféle építmények építésének alapja volt.

• Az első számhármas: 3-4-5. A lábak itt egyenlők 3-mal és 4-gyel. Ekkor a hipotenúza szükségszerűen egyenlő lesz 5-tel. Ellenőrizze: (9 + 16 = 25).
• A második számhármas: 5-12-13. Itt is a lábak 5-ös és 12-esek. Ezért a hypotenusa 13-as lesz. Ellenőrizze: (25+144=169).

Az ilyen számok akkor is segítenek, ha elosztjuk vagy szorozzuk őket valamilyen egyetlen számmal. Ha a lábak 3 és 4, akkor a hipotenusz 5 lesz. Ha ezeket a számokat megszorozzuk 2-vel, akkor a hipotenuszt megszorozzuk 2-vel. Például a 6-8-10 számok hármasa is illeszkedik a Pitagorasz-tételhez és nem tudod kiszámítani a hipotenúzust, ha megjegyzi ezeket a számhármasokat.



Így 4 módja van a hipotenusz megtalálásának ismert lábak segítségével. A legjobb megoldás a Pitagorasz-tétel, de nem ártana megjegyezni az „egyiptomi háromszöget” alkotó számhármasokat sem, mert sok időt spórolhatunk meg, ha ilyen értékekkel találkozunk.

A legelején felidézzük, hogy a háromszög olyan poliéder, amelynek 3 szöge van. Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög befogóját, ha a háromszög más méretei is ismertek?

Utasítás

1. A lábak hossza ismert. Ebben az esetben a hipotenúza a Pitagorasz-tétel segítségével számítható ki. Ez a tétel így hangzik: a lábak négyzeteinek összege egyenlő a befogó négyzetével. Ebből az következik, hogy a hipotenusz hosszának kiszámításához az egyes lábak értékét egymás után négyzetre kell emelni. Ezután adja össze a kapott számokat, és vegye ki a négyzetgyököt a teljes eredményből.
2. Hogyan lehet megtalálni a hipotenúzust a KFB háromszögben, ha ismert a láb (VC) és a vele szomszédos szög? Az ismert szöget α-val jelöljük. A derékszögű háromszög egyik tulajdonsága a következő: a derékszögű háromszög szárának és a befogó hosszának aránya megegyezik a befogó és a szár közötti szög koszinuszával. Ezt a következőképpen írhatjuk fel: FB=BK*cos(α).
3. Egy másik láb (KF) ismert, és ugyanaz az α szög, most ez ellentétes lesz. A hipotenúzust a derékszögű háromszög azonos tulajdonságainak alkalmazásával is megtalálhatjuk. Itt azt kapjuk, hogy a derékszögű háromszög szárának hosszának és a befogójának hosszának aránya megegyezik a szárral szemközti szög szinuszával. Felírjuk: FB=KF*sin(α).
4. Hogyan találjuk meg egy háromszög befogóját, ha körülötte egy kör van leírva, amelynek sugara ismert. A derékszögű háromszög köré körülírt kör tulajdonságaiból ismert, hogy egy ilyen körnek van egy középpontja, amely egybeesik a hipotenuzusponttal, amely kettéosztja azt. Más szavakkal, a sugár egyenlő a hipotenusz felével. Ez pedig azt jelenti, hogy két sugár alkotja a hipotenúzust: FB=2*R.

Ismerve a derékszögű háromszög tulajdonságait és a Pitagorasz-tételt, nagyon könnyű kiszámítani a befogó hosszát. Ha továbbra is nehezen emlékezik az összes tulajdonságra, akkor csak tanuljon meg kész képleteket, amelyekbe nagyon könnyű az ismert értékeket helyettesíteni a hipotenusz hosszának kiszámításához.

Utasítás

Ha a Pitagorasz-tétel szerint kell számolnia, használja a következő algoritmust: - Határozza meg a háromszögben, hogy melyik oldalak a lábak, és melyek a hipotenusz! A kilencven fokos szöget bezáró két oldal a lábak, a fennmaradó harmad a hipotenusz. (cm) - Emelje fel a második hatványra ennek a háromszögnek minden lábát, azaz szorozza meg önmagával. 1. példa: Szükséges legyen a befogó kiszámítása, ha egy háromszögben az egyik láb 12 cm, a másik pedig 5 cm. Először is a lábak négyzetei: 12 * 12 = 144 cm és 5 * 5 = 25 cm. - Ezután határozza meg a lábak négyzeteinek összegét. Egy bizonyos szám az átfogó, meg kell szabadulnia a szám második hatványától, hogy megtalálja hossz a háromszög ezen oldala. Ehhez vegyük ki a négyzetgyök alól a lábak négyzeteinek összegének értékét. Példa 1. 144+25=169. A 169 négyzetgyöke 13 lesz. Ezért ennek a hossza átfogó egyenlő 13 cm-rel.

A hossz kiszámításának másik módja átfogó a háromszög szinuszának és szögeinek terminológiájában rejlik. Definíció szerint: a hipotenusszal szemközti láb alfa szögének szinusza. Vagyis, ha az ábrát nézzük, bűn a \u003d CB / AB. Ezért az AB \u003d CB / sin a. Példa 2. Legyen a szög 30 fok, és a szemközti láb - 4 cm. Meg kell találni a hipotenuszt. Megoldás: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Válasz: hossz átfogó egyenlő 8 cm-rel.

Hasonló módon lehet megtalálni átfogó szög koszinuszának definíciójából. A szög koszinusza a vele szomszédos szár aránya és átfogó. Vagyis cos a \u003d AC / AB, tehát AB \u003d AC / cos a. Példa 3. Az ABC háromszögben AB a befogó, a BAC szög 60 fok, az AC szár 2 cm. Keresse meg az AB-t.
Megoldás: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm. Válasz: a hypotenus 4 cm hosszú.

Hasznos tanácsok

Egy szög szinuszának vagy koszinuszának értékének meghatározásához használja a szinuszok és koszinuszok táblázatát, vagy a Bradis táblát.

2. tipp: Hogyan találjuk meg a befogó hosszát derékszögű háromszögben

A befogót a derékszögű háromszög leghosszabb oldalának nevezik, így nem meglepő, hogy ezt a szót görögül „nyújtottnak” fordítják. Ez az oldal mindig a 90°-os szöggel szemben fekszik, és az ezt a szöget alkotó oldalakat lábaknak nevezzük. Ismerve ezen oldalak hosszát és a hegyesszögek nagyságát ezeknek az értékeknek a különböző kombinációiban, kiszámítható a hipotenúza hossza is.

Utasítás

Ha mindkét háromszög (A és B) hossza ismert, akkor használja a hipotenusz (C) hosszát, amely talán a legismertebb matematikai posztulátum - a Pitagorasz-tétel. Azt mondja, hogy a befogó hosszának négyzete a lábak hosszának négyzeteinek összege, amiből az következik, hogy ki kell számítani a két oldal négyzetes hosszának összegének gyökerét: C \u003d √ (A² + B²). Például, ha az egyik láb hossza 15 és -10 centiméter, akkor a hipotenusz hossza körülbelül 18,0277564 centiméter, mivel √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) √ (225 + 100) √ (225 + 100) √ 215 ∉ 740 \u003d . .

Ha egy derékszögű háromszögben csak az egyik lábnak (A) a hossza ismert, valamint a vele szemközti szög értéke (α), akkor a befogó (C) hosszát meg lehet adni valamelyik trigonometrikus függvények - a szinusz. Ehhez el kell osztani az ismert oldal hosszát az ismert szög szinuszával: C=A/sin(α). Például, ha az egyik láb hossza 15 centiméter, és a háromszög ellentétes csúcsánál bezárt szög 30 °, akkor a hipotenusz hossza 30 centiméter, mivel 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Ha egy derékszögű háromszögben ismert az egyik hegyesszög értéke (α) és a vele szomszédos szár hossza (B), akkor egy másik trigonometrikus függvény, a koszinusz használható a hipotenusz hosszának kiszámításához (C ). Az ismert láb hosszát el kell osztani az ismert szög koszinuszával: С=В/ cos(α). Például, ha ennek a lábnak a hossza 15 centiméter, és a mellette lévő hegyesszög értéke 30 °, akkor a hipotenusz hossza körülbelül 17,3205081 centiméter, mivel 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0,5 * √3)=30/√3≈17,3205081.

A hosszúság egy szakasz két pontja közötti távolság. Lehet egyenes, törött vagy zárt vonal. A hosszt meglehetősen egyszerűen kiszámíthatja, ha ismeri a szegmens egyéb mutatóit.

Utasítás

Ha meg kell találnia egy négyzet oldalának hosszát, akkor ez nem lesz így, ha ismeri a területét S. Mivel a négyzet minden oldalán van , a képlet segítségével kiszámíthatja az egyik oldalának értékét. : a = √S.

Mint tudják, a geometria nehéz tudomány, amely különleges pontosságot és pontosságot igényel a problémák megoldásában. Sok olyan kifejezést és képletet, amelyeket később bonyolultabb számításoknál használunk, a 6-7. osztályos matematika tankönyvek tartalmazzák. Annak érdekében, hogy a trigonometrikus függvények tanulási folyamatát könnyebbé és élvezetesebbé tegyük, ebben a cikkben megvizsgálunk néhány rövid módszert a derékszögű háromszög befogójának kiszámítására.

Hogyan lehet megtalálni a hypotenusát a lábakon?

Emlékezzünk egy kis elméletre: a derékszögű háromszög egy lapos alak, amelynek három sarka van. Az egyik értéke 90º, oldalait lábnak és hipotenúzának nevezik. A derékszöggel ellentétes oldal a hipotenusz, a másik kettő pedig a szomszédos lábak. A felek fő játéka a Pitagorasz-tételben nyilvánul meg, amely szerint a hipotenusz egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Ez azonban csak zavarónak tűnik, mert valójában minden sokkal egyszerűbb.

Geometriai alakzat tulajdonságai

Mielőtt megtalálná a háromszög hipotenuszát, ki kell találnia, hogy milyen jellemzői vannak ennek az ábrának. Tekintsük a főbbeket:

1. Egy derékszögű háromszögben mindkét hegyesszög 90°-ot tesz ki.
2. A 30°-os szöggel szemben fekvő láb a hipotenusz felével egyenlő.
3. Ha a láb egyenlő a hipotenúza értékének ½-ével, akkor a második szögnek ugyanaz az értéke - 30º.

A derékszögű háromszögben többféleképpen lehet megtalálni a hipotenuszt. A legegyszerűbb megoldás a lábakon keresztül történő számítás. Tegyük fel, hogy ismeri az A és B oldalak szárainak értékét. Ekkor a Pitagorasz-tétel jön a segítségünkre, amely azt mondja, hogy ha az egyes lábak értékét négyzetre emeljük és a kapott adatokat összegezzük, akkor megtudjuk, hogy mekkora a hipotenusz. van. Így csak a négyzetgyök értéket kell kivonnunk:

Például, ha az A láb = 3 cm és a B láb = 4 cm, akkor a számítás így néz ki:

Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt egy szögben?

Egy másik módja annak, hogy megtudja, mekkora a derékszögű háromszög befogója, ha egy adott szöget átszámítunk. Ehhez le kell vezetnünk az értéket a szinusz-képlettel. Tegyük fel, hogy ismerjük a láb értékét (A) és az ellentétes szög értékét (α). Ekkor az egész megoldás egy képletben van: С=А/sin(α).

Például, ha a láb hossza 40 cm, a szöge pedig 45°, akkor a hipotenúza hossza a következőképpen származtatható:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

A kívánt értéket egy adott szög koszinuszán keresztül is meghatározhatja. Tegyük fel, hogy ismerjük egy láb (B) és egy hegyes bezárt szög (α) értékét. Ekkor egy képlet szükséges a feladat megoldásához: С=В/ cos(α).

Például, ha a láb hossza 50 cm, a szög pedig 45°, akkor a hipotenúza a következőképpen számítható ki:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Így megvizsgáltuk a háromszögben lévő hipotenúza kiderítésének fő módjait. A feladat megoldása során fontos a rendelkezésre álló adatokra koncentrálni, akkor az ismeretlen érték megtalálása meglehetősen egyszerű lesz. Csak néhány képletet kell ismernie, és a problémamegoldás folyamata egyszerűvé és élvezetessé válik.