Geometriai terület- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. Háromszög terület képlete az oldalra és a magasságra
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
   
2. A háromszög területének képlete három oldallal és a körülírt kör sugarával
   
3. A képlet egy háromszög területének három oldalával és egy beírt kör sugarával
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete egy oldal hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az oldalhosszának négyzetével.
2. A négyzet területének képlete az átló hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
a négyzet oldalának hossza,
a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Téglalap terület egyenlő a két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
a téglalap oldalainak hossza.

A paralelogramma területének képletei

1. Párhuzamos terület képlete az oldal hosszára és magasságára
   Párhuzamos terület
2. A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög
   Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
   

   a b sinα

ahol S a paralelogramma területe,
a paralelogramma oldalainak hossza,
a paralelogramma magassága,
a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz terület képlete adott oldalhossz és magasság
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hosszából
   Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,
   

Párhuzamos terület

1. tétel

A paralelogramma területét úgy határozzuk meg, mint az oldala hosszának és a hozzá húzott magasságnak a szorzata.

ahol $a$ a paralelogramma oldala, $h$ az erre az oldalra húzott magasság.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ paralelogrammát, ahol $AD=BC=a$. Rajzoljuk meg a $DF$ és $AE$ magasságokat (1. ábra).

1. kép

Nyilvánvaló, hogy az $FDAE$ ábra egy téglalap.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Ezért, mivel $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, $I$-al a háromszög egyenlőségi teszt. Akkor

Tehát a téglalap terület tétele szerint:

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel

A paralelogramma területét a szomszédos oldalak hosszának és az oldalak közötti szög szinuszának szorzataként határozzuk meg.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a,\ b$ a paralelogramma oldalai, $\alpha $ a köztük lévő szög.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ paralelogrammát, amelynek $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Rajzolja meg a $DF=h$ magasságot (2. ábra).

2. ábra.

A szinusz definíciója szerint azt kapjuk

Következésképpen

Ezért a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

Egy háromszög területe

3. tétel

A háromszög területe az oldala hosszának és a hozzá húzott magasságának a fele.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a$ a háromszög oldala, $h$ az ehhez az oldalhoz húzott magasság.

Bizonyíték.

3. ábra

Tehát a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

4. tétel

A háromszög területét úgy határozzuk meg, mint a szomszédos oldalai hosszának a fele, szorozva az oldalak közötti szög szinuszával.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

ahol $a,\ b$ a háromszög oldalai, $\alpha $ a köztük lévő szög.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABC$ háromszöget, ahol $AB=a$. Rajzolja meg a $CH=h$ magasságot. Építsük fel az $ABCD$ paralelogrammára (3. ábra).

Nyilvánvaló, hogy $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$-tal. Akkor

Tehát a $1$ tétel alapján:

A tétel bizonyítást nyert.

Trapéz terület

5. tétel

A trapéz területét úgy határozzuk meg, mint az alapjai hossza és a magassága összegének fele.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

Bizonyíték.

Adjunk egy $ABCK$ trapézt, ahol $AK=a,\ BC=b$. Rajzoljuk meg benne a $BM=h$ és $KP=h$ magasságokat, valamint a $BK$ átlót (4. ábra).

4. ábra

A $3$ tétel alapján azt kapjuk, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

Feladat példa

1. példa

Határozzuk meg egy egyenlő oldalú háromszög területét, ha az oldalának hossza $a.$

Megoldás.

Mivel a háromszög egyenlő oldalú, minden szöge egyenlő $(60)^0$.

Akkor a $4$ tétel alapján megvan

Válasz:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Vegye figyelembe, hogy ennek a feladatnak az eredménye felhasználható bármely, adott oldallal rendelkező egyenlő oldalú háromszög területének meghatározására.

Az euklideszi geometriához hasonlóan a síkelmélet fő elemei a pont és az egyenes, így a paralelogramma a konvex négyszögek egyik kulcsfigurája. Belőle, mint a szálak a labdából, a "téglalap", a "négyzet", a "rombusz" és más geometriai mennyiségek fogalmai folynak.

Kapcsolatban áll

A paralelogramma definíciója

konvex négyszög, szakaszokból áll, amelyek párja párhuzamos, a geometriában paralelogrammaként ismert.

Így néz ki egy klasszikus paralelogramma, az ABCD négyszög. Az oldalakat alapoknak (AB, BC, CD és AD) nevezzük, a tetszőleges csúcsból ennek a csúcsnak ellentétes oldalára húzott merőlegest magasságnak (BE és BF), az AC és BD egyeneseket az átlóknak.

Figyelem! A négyzet, a rombusz és a téglalap a paralelogramma speciális esetei.

Oldalak és szögek: arány jellemzők

Összességében a legfontosabb tulajdonságok, maga a megnevezés határozza meg, azokat a tétel bizonyítja. Ezek a jellemzők a következők:

1. Az egymással szemben lévő oldalak páronként azonosak.
2. Az egymással ellentétes szögek páronként egyenlőek.

Bizonyítás: tekintsük ∆ABC és ∆ADC, amelyeket az ABCD négyszög AC egyenessel való osztásával kapunk. ∠BCA=∠CAD és ∠BAC=∠ACD, mivel az AC közös bennük (a BC||AD és AB||CD függőleges szögei). Ebből következik: ∆ABC = ∆ADC (a háromszögek egyenlőségének második kritériuma).

Az ∆ABC AB és BC szakaszai páronként megfelelnek az ∆ADC CD és AD egyeneseinek, ami azt jelenti, hogy azonosak: AB = CD, BC = AD. Így ∠B ∠D-nek felel meg, és egyenlők. Mivel ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, amelyek párban szintén azonosak, akkor ∠A = ∠C. Az ingatlan bizonyított.

A figura átlóinak jellemzői

Fő jellemzője ezek a paralelogramma egyenesek: a metszéspont kettévágja őket.

Bizonyítás: legyen m. E az ABCD ábra AC és BD átlóinak metszéspontja. Két arányos háromszöget alkotnak - ∆ABE és ∆CDE.

AB=CD, mivel ellentétesek. A vonalak és szekánsok szerint ∠ABE = ∠CDE és ∠BAE = ∠DCE.

Az egyenlőség második jele szerint ∆ABE = ∆CDE. Ez azt jelenti, hogy az ∆ABE és ∆CDE elemek a következők: AE = CE, BE = DE, és ráadásul az AC és BD arányos részei. Az ingatlan bizonyított.

A szomszédos sarkok jellemzői

A szomszédos oldalakon a szögek összege 180°, mivel a párhuzamos egyenesek és a szekáns ugyanazon az oldalán fekszenek. ABCD négyszög esetén:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Felező tulajdonságok:

1. , egyik oldalra ejtve, merőlegesek;
2. az ellentétes csúcsoknak párhuzamos felezői vannak;
3. a felezővonal megrajzolásával kapott háromszög egyenlő szárú lesz.

A paralelogramma jellemző tulajdonságainak meghatározása a tétel segítségével

Ennek az ábrának a jellemzői a fő tételből következnek, amely így hangzik: négyszöget paralelogrammának tekintjük abban az esetben, ha átlói metszik egymást, és ez a pont egyenlő szegmensekre osztja őket.

Bizonyítás: Az ABCD négyszög AC és BD egyenesei metszik egymást t. E-ben. Mivel ∠AED = ∠BEC, és AE+CE=AC BE+DE=BD, akkor ∆AED = ∆BEC (a háromszögek egyenlőségének első jele szerint). Vagyis ∠EAD = ∠ECB. Ezek egyben az AD és BC vonalak AC szekánsának belső keresztezési szögei is. Így a párhuzamosság definíciója szerint - AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. A BC és CD sorok hasonló tulajdonságát is levezetjük. A tétel bizonyítást nyert.

Egy ábra területének kiszámítása

Ennek az ábrának a területe többféleképpen is megtalálható az egyik legegyszerűbb: megszorozzuk a magasságot és a bázist, amelyhez húzzuk.

Bizonyítás: Rajzoljunk BE és CF merőlegeseket a B és C csúcsokból. ∆ABE és ∆DCF egyenlő, mivel AB = CD és BE = CF. Az ABCD egyenlő az EBCF téglalappal, mivel ezek is arányos számokból állnak: S ABE és S EBCD, valamint S DCF és S EBCD. Ebből következik, hogy ennek a geometriai alaknak a területe megegyezik egy téglalap területével:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

A paralelogramma területének általános képletének meghatározásához a magasságot jelöljük hb, és az oldalsó b. Illetőleg:

A terület megtalálásának egyéb módjai

Területszámítások a paralelogramma oldalain és a szögön keresztül, amelyet alkotnak, a második ismert módszer.

,

Spr-ma - terület;

a és b az oldalai

α - az a és b szakaszok közötti szög.

Ez a módszer gyakorlatilag az elsőn alapul, de abban az esetben, ha nem ismert. mindig levág egy derékszögű háromszöget, amelynek paramétereit trigonometrikus azonosságok találják meg, azaz. Az arányt átalakítva azt kapjuk, hogy . Az első módszer egyenletében a magasságot ezzel a szorzattal helyettesítjük, és bizonyítjuk ennek a képletnek az érvényességét.

Egy paralelogramma és egy szög átlóin keresztül, amelyeket kereszteződésükkor létrehoznak, akkor a területet is megtalálhatja.

Bizonyítás: AC és BD metszéspontja négy háromszöget alkot: ABE, BEC, CDE és AED. Összegük egyenlő ennek a négyszögnek a területével.

Mindegyik ∆ területe megtalálható a kifejezésből, ahol a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Mivel , akkor a szinusz egyetlen értékét használjuk a számításokhoz. Azaz . Mivel AE+CE=AC= d 1 és BE+DE=BD= d 2 , a területképlet a következőre redukálódik:

.

Alkalmazás vektoralgebrában

E négyszög alkotórészeinek jellemzői alkalmazásra találtak a vektoralgebrában, nevezetesen: két vektor összeadása. A paralelogramma szabály azt mondja ki ha adott vektorokésnemkollineárisak, akkor összegük egyenlő lesz ennek az ábrának az átlójával, amelynek alapjai ezeknek a vektoroknak felelnek meg.

Bizonyítás: önkényesen választott kezdetből - vagyis. - vektorokat építünk és . Ezután készítünk egy OASV paralelogrammát, ahol az OA és OB szakaszok oldalak. Így az operációs rendszer a vektoron vagy az összegen fekszik.

Képletek a paralelogramma paramétereinek kiszámításához

A személyazonosságokat a következő feltételekkel adják meg:

1. a és b, α - oldalak és a köztük lévő szög;
2. d 1 és d 2, γ - átlók és metszéspontjuk;
3. h a és h b - a és b oldalra süllyesztett magasságok;

Paraméter	Képlet
Oldalak megtalálása
az átlók és a köztük lévő szög koszinusza mentén
átlósan és oldalra
magasságon és ellentétes csúcson keresztül
Az átlók hosszának meghatározása
az oldalakon és a köztük lévő felső méretével
az oldalak mentén és az egyik átló mentén	 Következtetés A paralelogrammát, mint a geometria egyik kulcsfiguráját, az életben használják, például az építőiparban a helyszín területének kiszámításakor vagy más mérések során. Ezért a megkülönböztető jellemzőkről és a különféle paraméterek kiszámításának módszereiről szóló ismeretek bármikor hasznosak lehetnek az életben.

Paralelogramma - geometriai ábra, gyakran megtalálható a geometria tanfolyam feladataiban (planimetriai szakasz). Ennek a négyszögnek a legfontosabb jellemzői az ellentétes szögek egyenlősége és két pár párhuzamos szemközti oldal jelenléte. A paralelogramma speciális esetei rombusz, téglalap, négyzet.

Az ilyen típusú sokszög területének kiszámítása többféleképpen is elvégezhető. Tekintsük mindegyiket.

Keresse meg a paralelogramma területét, ha ismert az oldala és a magassága

A paralelogramma területének kiszámításához használhatja oldalának értékeit, valamint a ráeresztett magasság hosszát. Ebben az esetben a kapott adatok megbízhatóak lesznek mind egy ismert oldal - az ábra alapja - esetén, mind akkor, ha az ábra oldala a rendelkezésére áll. Ebben az esetben a kívánt értéket a következő képlettel kapjuk meg:

S = a * h(a) = b * h(b),

• S a meghatározandó terület,
• a, b - ismert (vagy számított) oldal,
• h a rajta süllyesztett magasság.

Példa: a paralelogramma alapjának értéke 7 cm, a szemközti csúcsból ráesett merőleges hossza 3 cm.

Megoldás: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Határozzuk meg a paralelogramma területét, ha ismert a két oldala és a köztük lévő szög

Tekintsük azt az esetet, amikor ismerjük az ábra két oldalának nagyságát, valamint az egymással bezárt szög mértékét. A megadott adatok felhasználhatók a paralelogramma területének meghatározására is. Ebben az esetben a képlet kifejezése így fog kinézni:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

• a - oldal,
• c egy ismert (vagy számított) bázis,
• α, β az a és c oldalak közötti szögek.

Példa: egy paralelogramma alapja 10 cm, oldala 4 cm-rel kisebb. Az ábra tompaszöge 135°.

Megoldás: határozza meg a második oldal értékét: 10 - 4 \u003d 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Határozzuk meg a paralelogramma területét, ha ismertek az átlók és a köztük lévő szög

Egy adott sokszög átlóinak ismert értékeinek jelenléte, valamint az a szög, amelyet metszéspontjuk eredményeképpen alkotnak, lehetővé teszi az ábra területének meghatározását.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S a meghatározandó terület,
d1, d2 ismert (vagy számított) átlók,
γ, φ a d1 és d2 átlók közötti szögek.

Adja meg az oldal hosszát és magasságát:

A paralelogramma definíciója

Paralelogramma olyan négyszög, amelyben a szemközti oldalak egyenlőek és párhuzamosak.

Online számológép

A paralelogrammának van néhány hasznos tulajdonsága, amelyek megkönnyítik az ábrával kapcsolatos problémák megoldását. Például az egyik tulajdonság az, hogy a paralelogramma szemközti szögei egyenlőek.

Tekintsünk több módszert és képletet, majd egyszerű példák megoldását.

A paralelogramma területének képlete alap és magasság szerint

Ez a területmeghatározási módszer valószínűleg az egyik legalapvetőbb és legegyszerűbb, mivel néhány kivételtől eltekintve szinte megegyezik a háromszög területének meghatározására szolgáló képlettel. Kezdjük egy általánosított esettel, számok használata nélkül.

Legyen tetszőleges bázisú paralelogramma a a a, oldal bb bés magasság h h h bázisunkra vonzzák. Ekkor a paralelogramma területének képlete:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- alap;
h h h- magasság.

Nézzünk meg egy egyszerű problémát a tipikus problémák megoldásának gyakorlásához.

Példa

Keresse meg a paralelogramma területét, amelynek alapja 10 (cm) és magassága 5 (cm) ismert.

Megoldás

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Helyettesítse képletünkben. Kapunk:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (lásd négyzet)

Válasz: 50 (lásd a négyzetet)

A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög

Ebben az esetben a kívánt értéket a következőképpen találja meg:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅bűn(α)

A, b a, b a, b- paralelogramma oldalai;
α\alpha α - az oldalak közötti szög a a aés bb b.

Most oldjunk meg egy másik példát, és használjuk a fenti képletet.

Példa

Keresse meg a paralelogramma területét, ha ismert az oldala a a a, amely az alap és 20 hosszúságú (lásd) és kerülete pp p, számszerűen 100 (lásd), a szomszédos oldalak közötti szög ( a a aés bb b) egyenlő 30 fokkal.

Megoldás

A=20 a=20 a =2 0
p=100 p=100 p=1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Ahhoz, hogy megtaláljuk a választ, ennek a négyszögnek nem csak a második oldalát ismerjük. Keressük meg őt. A paralelogramma kerületét a következő képlet adja meg:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=egy +egy +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100 = 20 + 20 + b + b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b +b
100 = 40 + 2b 100 = 40 + 2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60=2b 60=2b 6 0 = 2b
b=30 b=30 b=3 0

A legnehezebb része véget ért, már csak az oldalakat és a köztük lévő szöget értékeinkkel helyettesítjük:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S = 20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ)) = 300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ bűn (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (lásd négyzet)

Válasz: 300 (lásd négyzetméter)

A paralelogramma területének képlete az átlók és a köztük lévő szög alapján

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D ⋅d ⋅bűn(α)

D D D- nagy átlós;
d d d- kis átlós;
α\alpha α az átlók közötti hegyesszög.

Példa

A paralelogramma átlói adottak: 10 (lásd) és 5 (lásd). A köztük lévő szög 30 fok. Számítsa ki a területét.

Megoldás

D=10 D=10 D=1 0
d=5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ bűn (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (lásd négyzet)