Egy szám abszolút értéke a az origó és a pont távolsága DE(a).

A definíció megértéséhez változó helyett helyettesítjük a tetszőleges szám, például 3, és próbálja meg újra elolvasni:

Egy szám abszolút értéke 3 az origó és a pont távolsága DE(3 ).

Világossá válik, hogy a modul nem más, mint a szokásos távolság. Próbáljuk megnézni az origó és az A pont távolságát( 3 )

A koordináták kezdőpontja és az A( 3 ) egyenlő 3-mal (három egység vagy három lépés).

Egy szám modulusát két függőleges vonal jelzi, például:

A 3-as szám modulusát a következőképpen jelöljük: |3|

A 4-es szám modulusát a következőképpen jelöljük: |4|

Az 5-ös szám modulusát a következőképpen jelöljük: |5|

Megkerestük a 3-as szám modulusát, és megállapítottuk, hogy egyenlő 3-mal.

Így hangzik: "A három modulusa három"

Most próbáljuk meg megtalálni a -3 szám modulusát. Ismét visszatérünk a definícióhoz, és behelyettesítjük a -3 számmal. Csak pont helyett A használjon új pontot B. pont A az első példában már használtuk.

A szám modulusa az 3 nevezzük az origó és a pont távolságát B(—3 ).

Az egyik pont és a másik közötti távolság nem lehet negatív. Ezért bármely negatív szám modulusa, mivel távolság, szintén nem lesz negatív. A -3 szám modulja a 3 lesz. Az origótól a B(-3) pontig mért távolság szintén három egységgel egyenlő:

Így hangzik: "Egy szám mínusz három modulusa három"

A 0 szám modulusa 0, hiszen a 0 koordinátájú pont egybeesik az origóval, azaz. távolság a kiindulási ponttól a pontig O(0) egyenlő nullával:

"A nulla modulusa nulla"

Következtetéseket vonunk le:

• Egy szám modulusa nem lehet negatív;
• Pozitív szám és nulla esetén a modulus magával a számmal, negatív esetén pedig az ellenkező számmal egyenlő;
• Az ellentétes számoknak azonos moduljai vannak.

Ellentétes számok

Azokat a számokat nevezzük, amelyek csak előjelekben különböznek egymástól szemben. Például a −2 és 2 számok ellentétesek. Csak jelekben különböznek egymástól. A −2 számnak mínusz, a 2-nek plusz jele van, de nem látjuk, mert a pluszt, ahogy korábban mondtuk, hagyományosan nem írják.

További példák ellentétes számokra:

Az ellentétes számoknak azonos moduljai vannak. Például keressünk modulokat a −2 és 2 számára

Az ábra azt mutatja, hogy az origó és a pontok távolsága A(−2)és B(2) egyenlő két lépéssel.

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új Vkontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről

A tanulók számára az egyik legnehezebb téma a modulusjel alatt változót tartalmazó egyenletek megoldása. Kezdésnek lássuk, mihez kapcsolódik? Miért kattog a legtöbb gyerek például a másodfokú egyenleteken, de egy olyan távolról sem a legbonyolultabb fogalommal, mint egy modul, annyi probléma van?

Véleményem szerint mindezen nehézségek a modulusos egyenletek megoldására vonatkozó világosan megfogalmazott szabályok hiányával járnak. Tehát egy másodfokú egyenlet megoldása során a tanuló pontosan tudja, hogy először a diszkrimináns formulát, majd a másodfokú egyenlet gyökeinek képleteit kell alkalmaznia. De mi van akkor, ha egy modul találkozik az egyenletben? Megpróbáljuk világosan leírni a szükséges intézkedési tervet arra az esetre, ha az egyenlet a modulusjel alatt ismeretlent tartalmaz. Minden esetre több példát adunk.

De először emlékezzünk modul meghatározása. Tehát a szám modulusa a magát a számot hívják, ha a nem negatív és -a ha a szám a nullánál kisebb. Így írhatod:

|a| = a, ha a ≥ 0 és |a| = -a ha a< 0

Ha a modul geometriai jelentéséről beszélünk, ne feledjük, hogy minden valós szám a számtengely egy bizonyos pontjának felel meg. koordináta. Tehát egy szám modulja vagy abszolút értéke az ettől a ponttól a numerikus tengely kezdőpontja közötti távolság. A távolságot mindig pozitív számként adjuk meg. Így bármely negatív szám modulusa pozitív szám. Mellesleg, még ebben a szakaszban is sok diák kezd összezavarodni. Bármilyen szám lehet a modulban, de a modul alkalmazásának eredménye mindig pozitív szám.

Most térjünk át az egyenletek megoldására.

1. Tekintsünk egy |x| alakú egyenletet = c, ahol c egy valós szám. Ez az egyenlet a modulus definíciójával megoldható.

Minden valós számot három csoportra osztunk: a nullánál nagyobbak, nullánál kisebbek, a harmadik csoport pedig a 0. A megoldást diagram formájában írjuk fel:

(±c, ha c > 0

Ha |x| = c, akkor x = (0, ha c = 0

(nincs gyökér, ha együtt< 0

1) |x| = 5, mert 5 > 0, akkor x = ±5;

2) |x| = -5, mert -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, majd x = 0.

2. |f(x)| alakú egyenlet = b, ahol b > 0. Ennek az egyenletnek a megoldásához meg kell szabadulni a modulustól. Ezt így csináljuk: f(x) = b vagy f(x) = -b. Most minden kapott egyenletet külön kell megoldani. Ha az eredeti egyenletben b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, mert 4 > 0, akkor

x + 2 = 4 vagy x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, mert 11 > 0, akkor

x 2 - 5 = 11 vagy x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 nincs gyök

3) |x 2 – 5x| = -8 , mert -nyolc< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| alakú egyenlet = g(x). A modul jelentése szerint egy ilyen egyenletnek akkor lesz megoldása, ha a jobb oldala nagyobb vagy egyenlő nullánál, azaz. g(x) ≥ 0. Akkor van:

f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Ennek az egyenletnek akkor lesz gyöke, ha 5x - 10 ≥ 0. Itt kezdődik az ilyen egyenletek megoldása.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Megoldás:

2x - 1 = 5x - 10 vagy 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Kombinálja az O.D.Z. és a megoldást kapjuk:

Az x gyökér \u003d 11/7 nem illeszkedik az O.D.Z. szerint, kisebb, mint 2, és x \u003d 3 teljesíti ezt a feltételt.

Válasz: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Oldjuk meg ezt az egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Megoldás:

x - 1 \u003d 1 - x 2 vagy x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 vagy x = 1 x = 0 vagy x = 1

3. Keverje össze az oldatot és az O.D.Z.-t:

Csak az x = 1 és x = 0 gyök alkalmas.

Válasz: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| alakú egyenlet = |g(x)|. Egy ilyen egyenlet ekvivalens a következő két egyenlettel: f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Ez az egyenlet a következő kettővel ekvivalens:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 vagy x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 vagy x = 4 x = 2 vagy x = 1

Válasz: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Behelyettesítési módszerrel (változóváltás) megoldott egyenletek. Ezt a megoldási módot egy konkrét példával lehet a legkönnyebben megmagyarázni. Tehát legyen adott egy modulusos másodfokú egyenlet:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. A modul tulajdonsága szerint x 2 = |x| 2, így az egyenlet a következőképpen írható át:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Változtassuk meg |x|-t = t ≥ 0, akkor lesz:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t \u003d 1 vagy t \u003d 5. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = 1 vagy |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Válasz: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Nézzünk egy másik példát:

x 2 + |x| – 2 = 0. A modul tulajdonsága szerint x 2 = |x| 2, szóval

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Változtassuk meg |x|-t = t ≥ 0, akkor:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t \u003d -2 vagy t \u003d 1. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = -2 vagy |x| = 1

Nincs gyök x = ± 1

Válasz: x = -1, x = 1.

6. Az egyenletek másik típusa az „összetett” modulusú egyenletek. Az ilyen egyenletek magukban foglalják azokat az egyenleteket, amelyek "modulokat tartalmaznak egy modulon belül". Az ilyen típusú egyenletek a modul tulajdonságaival oldhatók meg.

1) |3 – |x|| = 4. Ugyanúgy járunk el, mint a második típusú egyenleteknél. Mert 4 > 0, akkor két egyenletet kapunk:

3 – |x| = 4 vagy 3 – |x| = -4.

Most fejezzük ki az x modult minden egyenletben, majd |x|-t = -1 vagy |x| = 7.

Minden kapott egyenletet megoldunk. Az első egyenletben nincsenek gyökök, mert -egy< 0, а во втором x = ±7.

Válasz x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ezt az egyenletet hasonló módon oldjuk meg:

3 + |x + 1| = 5 vagy 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 vagy x + 1 = -2. Nincsenek gyökerek.

Válasz: x = -3, x = 1.

Létezik egy univerzális módszer is a modulusos egyenletek megoldására. Ez a távolsági módszer. De tovább fogjuk gondolni.

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Utasítás

Ha a modulus folytonos függvényként van ábrázolva, akkor argumentumának értéke lehet pozitív vagy negatív: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Könnyen belátható, hogy a komplex számok összeadása és kivonása ugyanazt a szabályt követi, mint az összeadás és a kivonás.

Két komplex szám szorzata:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Mivel i^2 = -1, a végeredmény a következő:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

A komplex számok hatványra emelésének és gyökének kinyerésének műveleteit ugyanúgy definiáljuk, mint a valós számoknál. A komplex tartományban azonban bármely számhoz pontosan n olyan b szám van, amelyre b^n = a, azaz n n-edik fokú gyöke.

Ez konkrétan azt jelenti, hogy bármely n-edik fokú algebrai egyenletnek egy változóban pontosan n összetett gyöke van, amelyek közül néhány lehet és.

Kapcsolódó videók

Források:

• „Komplex számok” előadás 2019-ben

A gyökér egy ikon, amely egy ilyen szám megtalálásának matematikai műveletét jelöli, amelynek a gyökérjel előtt jelzett fokozatra való emelése pontosan ez a jel alatt jelzett számot adja. Gyakran olyan problémák megoldásához, amelyeknek gyökerei vannak, nem elegendő az érték kiszámítása. További műveleteket kell végrehajtanunk, amelyek közül az egyik egy szám, változó vagy kifejezés bevezetése a gyökérjel alá.

Utasítás

Határozza meg a gyökér kitevőjét! Az indikátor egy egész szám, amely azt a hatványt jelöli, amelyre a gyökér kiszámításának eredményét fel kell emelni ahhoz, hogy gyökös kifejezést kapjunk (az a szám, amelyből ez a gyök kinyerhető). A gyökér kitevője, felső indexként a gyökér ikon előtt megadva. Ha ez az egy nincs megadva, akkor ez egy négyzetgyök, amelynek hatványa kettő. Például a √3 kitevője kettő, a ³√3 kitevője három, a ⁴√3 kitevője négy, és így tovább.

Emelje fel a gyökérjel alá hozzáadni kívánt számot a gyökér hatványára, amelyet az előző lépésben határoztunk meg. Például, ha az 5-ös számot a ⁴√3 gyök jele alá kell beírni, akkor a gyök kitevője négy, és az 5-öt a negyedik hatványra emelni kell, 5⁴=625. Ezt az Ön számára kényelmes módon megteheti - gondolatban, egy számológép vagy a megfelelő szolgáltatások segítségével.

Írja be az előző lépésben kapott értéket a gyökjel alá a gyök kifejezés szorzójaként. Az előző lépésben használt példában a ⁴√3 5 (5*⁴√3) gyökér alá történő hozzáadásával ez a művelet a következőképpen hajtható végre: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Leegyszerűsítse a kapott gyök kifejezést, ha lehetséges. Az előző lépések példájában ez az, hogy csak meg kell szoroznia a gyökjel alatti számokat: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ezzel befejeződik a gyökér alatti szám hozzáadásának művelete.

Ha a feladatban ismeretlen változók vannak, akkor a fent leírt lépéseket általánosan megtehetjük. Például, ha egy ismeretlen x változót szeretnénk bevezetni a negyedik fokú gyök alá, és a gyökérkifejezés 5/x³, akkor a teljes műveletsor a következőképpen írható fel: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Források:

• hogy hívják a gyökérjelet

A valós számok nem elegendőek bármely másodfokú egyenlet megoldásához. A legegyszerűbb másodfokú egyenlet, amelynek nincs gyöke a valós számok között, az x^2+1=0. Megoldásánál kiderül, hogy x=±sqrt(-1), és az elemi algebra törvényei szerint a páros fok gyökét vonjuk ki a negatívból számok ez tiltott.

Az A kiszámítása a következő szabályok szerint történik:

A rövidség kedvéért használja |a|. Így |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 stb.

Bármely méret x elég pontos értéknek felel meg | x|. És az azt jelenti identitás nál nél= |x| megállapítja nál nél mint egyesek argumentumfüggvény x.

Menetrend ez funkciókat alább bemutatjuk.

Mert x > 0 |x| = x, és számára x< 0 |x|= -x; ezzel a sorral kapcsolatban y = | x| nál nél x> 0 a vonalhoz igazodik y=x(az első koordinátaszög felezője), és mikor x< 0 - с прямой y = -x(a második koordinátaszög felezője).

Különálló egyenletek Ismeretleneket foglaljon a jel alá modult.

Önkényes példák az ilyen egyenletekre - | x— 1| = 2, |6 — 2x| =3x+ 1 stb.

Egyenletek megoldása Az ismeretlent a modul jele alatt tartalmazó, azon alapul, hogy ha az ismeretlen x szám abszolút értéke egyenlő az a pozitív számmal, akkor ez az x szám maga vagy a vagy -a.

Például: ha | x| = 10, akkor vagy x=10, vagy x = -10.

Fontolgat egyedi egyenletek megoldása.

Elemezzük a | egyenlet megoldását x- 1| = 2.

Nyissuk meg a modult akkor a különbség x- 1 lehet + 2 vagy - 2. Ha x - 1 = 2, akkor x= 3; ha x- 1 = - 2, akkor x= - 1. Behelyettesítést végzünk, és azt kapjuk, hogy mindkét érték kielégíti az egyenletet.

Válasz. Ennek az egyenletnek két gyökere van: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Elemezzük az egyenlet megoldása | 6 — 2x| = 3x+ 1.

Után modulbővítés kapunk: vagy 6-2 x= 3x+ 1 vagy 6 - 2 x= - (3x+ 1).

Az első esetben x= 1, és a másodikban x= - 7.

Vizsgálat. Nál nél x= 1 |6 — 2x| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; a bíróságból következik x = 1 - gyökér b adott egyenletek.

Nál nél x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = -20; 20 ≠ -20 óta, akkor x= - 7 nem ennek az egyenletnek a gyöke.

Válasz. Nál nél az egyenleteknek csak egy gyöke van: x = 1.

Az ilyen típusú egyenletek képesek megoldani és grafikusan.

Szóval döntsük el például, grafikus egyenlet | X- 1| = 2.

Először építsünk függvénygrafikon nál nél = |x— 1|. Először rajzoljuk meg a függvény grafikonját. nál nél=X- 1:

Az a része grafika, amely a tengely felett helyezkedik el x nem fogunk változni. Neki x- 1 > 0 és ezért | x-1|=x-1.

A grafikonnak az a része, amely a tengely alatt található x, ábrázolja szimmetrikusan erről a tengelyről. Mert erre a részre x - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - egy). Ennek eredményeként alakult ki vonal(folytonos vonal) és akarat függvénygrafikon y = | x—1|.

Ez a vonal metszi egymást egyenes nál nél= 2 két ponton: M 1 -1 abszcissza és M 2 3 abszcissza. És ennek megfelelően az egyenlet | x- 1| =2-nek két gyökere lesz: x 1 = - 1, x 2 = 3.

A tanulók számára az egyik legnehezebb téma a modulusjel alatt változót tartalmazó egyenletek megoldása. Kezdésnek lássuk, mihez kapcsolódik? Miért kattog a legtöbb gyerek például a másodfokú egyenleteken, de egy olyan távolról sem a legbonyolultabb fogalommal, mint egy modul, annyi probléma van?

Véleményem szerint mindezen nehézségek a modulusos egyenletek megoldására vonatkozó világosan megfogalmazott szabályok hiányával járnak. Tehát egy másodfokú egyenlet megoldása során a tanuló pontosan tudja, hogy először a diszkrimináns formulát, majd a másodfokú egyenlet gyökeinek képleteit kell alkalmaznia. De mi van akkor, ha egy modul találkozik az egyenletben? Megpróbáljuk világosan leírni a szükséges intézkedési tervet arra az esetre, ha az egyenlet a modulusjel alatt ismeretlent tartalmaz. Minden esetre több példát adunk.

De először emlékezzünk modul meghatározása. Tehát a szám modulusa a magát a számot hívják, ha a nem negatív és -a ha a szám a nullánál kisebb. Így írhatod:

|a| = a, ha a ≥ 0 és |a| = -a ha a< 0

Ha a modul geometriai jelentéséről beszélünk, ne feledjük, hogy minden valós szám a számtengely egy bizonyos pontjának felel meg. koordináta. Tehát egy szám modulja vagy abszolút értéke az ettől a ponttól a numerikus tengely kezdőpontja közötti távolság. A távolságot mindig pozitív számként adjuk meg. Így bármely negatív szám modulusa pozitív szám. Mellesleg, még ebben a szakaszban is sok diák kezd összezavarodni. Bármilyen szám lehet a modulban, de a modul alkalmazásának eredménye mindig pozitív szám.

Most térjünk át az egyenletek megoldására.

1. Tekintsünk egy |x| alakú egyenletet = c, ahol c egy valós szám. Ez az egyenlet a modulus definíciójával megoldható.

Minden valós számot három csoportra osztunk: a nullánál nagyobbak, nullánál kisebbek, a harmadik csoport pedig a 0. A megoldást diagram formájában írjuk fel:

(±c, ha c > 0

Ha |x| = c, akkor x = (0, ha c = 0

(nincs gyökér, ha együtt< 0

1) |x| = 5, mert 5 > 0, akkor x = ±5;

2) |x| = -5, mert -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, majd x = 0.

2. |f(x)| alakú egyenlet = b, ahol b > 0. Ennek az egyenletnek a megoldásához meg kell szabadulni a modulustól. Ezt így csináljuk: f(x) = b vagy f(x) = -b. Most minden kapott egyenletet külön kell megoldani. Ha az eredeti egyenletben b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, mert 4 > 0, akkor

x + 2 = 4 vagy x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, mert 11 > 0, akkor

x 2 - 5 = 11 vagy x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 nincs gyök

3) |x 2 – 5x| = -8 , mert -nyolc< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| alakú egyenlet = g(x). A modul jelentése szerint egy ilyen egyenletnek akkor lesz megoldása, ha a jobb oldala nagyobb vagy egyenlő nullánál, azaz. g(x) ≥ 0. Akkor van:

f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Ennek az egyenletnek akkor lesz gyöke, ha 5x - 10 ≥ 0. Itt kezdődik az ilyen egyenletek megoldása.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Megoldás:

2x - 1 = 5x - 10 vagy 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Kombinálja az O.D.Z. és a megoldást kapjuk:

Az x gyökér \u003d 11/7 nem illeszkedik az O.D.Z. szerint, kisebb, mint 2, és x \u003d 3 teljesíti ezt a feltételt.

Válasz: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Oldjuk meg ezt az egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Megoldás:

x - 1 \u003d 1 - x 2 vagy x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 vagy x = 1 x = 0 vagy x = 1

3. Keverje össze az oldatot és az O.D.Z.-t:

Csak az x = 1 és x = 0 gyök alkalmas.

Válasz: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| alakú egyenlet = |g(x)|. Egy ilyen egyenlet ekvivalens a következő két egyenlettel: f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Ez az egyenlet a következő kettővel ekvivalens:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 vagy x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 vagy x = 4 x = 2 vagy x = 1

Válasz: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Behelyettesítési módszerrel (változóváltás) megoldott egyenletek. Ezt a megoldási módot egy konkrét példával lehet a legkönnyebben megmagyarázni. Tehát legyen adott egy modulusos másodfokú egyenlet:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. A modul tulajdonsága szerint x 2 = |x| 2, így az egyenlet a következőképpen írható át:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Változtassuk meg |x|-t = t ≥ 0, akkor lesz:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t \u003d 1 vagy t \u003d 5. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = 1 vagy |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Válasz: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Nézzünk egy másik példát:

x 2 + |x| – 2 = 0. A modul tulajdonsága szerint x 2 = |x| 2, szóval

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Változtassuk meg |x|-t = t ≥ 0, akkor:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t \u003d -2 vagy t \u003d 1. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = -2 vagy |x| = 1

Nincs gyök x = ± 1

Válasz: x = -1, x = 1.

6. Az egyenletek másik típusa az „összetett” modulusú egyenletek. Az ilyen egyenletek magukban foglalják azokat az egyenleteket, amelyek "modulokat tartalmaznak egy modulon belül". Az ilyen típusú egyenletek a modul tulajdonságaival oldhatók meg.

1) |3 – |x|| = 4. Ugyanúgy járunk el, mint a második típusú egyenleteknél. Mert 4 > 0, akkor két egyenletet kapunk:

3 – |x| = 4 vagy 3 – |x| = -4.

Most fejezzük ki az x modult minden egyenletben, majd |x|-t = -1 vagy |x| = 7.

Minden kapott egyenletet megoldunk. Az első egyenletben nincsenek gyökök, mert -egy< 0, а во втором x = ±7.

Válasz x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ezt az egyenletet hasonló módon oldjuk meg:

3 + |x + 1| = 5 vagy 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 vagy x + 1 = -2. Nincsenek gyökerek.

Válasz: x = -3, x = 1.

Létezik egy univerzális módszer is a modulusos egyenletek megoldására. Ez a távolsági módszer. De tovább fogjuk gondolni.

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.