Óra témája

• A paralelogramma átlóinak tulajdonságai.

Az óra céljai

• Ismerkedjen meg új definíciókkal, és idézzen fel néhányat, amelyet már tanulmányozott.
• Fogalmazza meg és igazolja a paralelogramma átlóinak tulajdonságát!
• Tanuld meg alkalmazni az alakzatok tulajdonságait a feladatok megoldásában.
• Fejlesztő - a tanulók figyelmének, kitartásának, kitartásának, logikus gondolkodásának, matematikai beszédkészségének fejlesztésére.
• Oktatási - a leckén keresztül az egymás iránti figyelmes hozzáállás kialakítása, az elvtársak meghallgatásának képessége, a kölcsönös segítségnyújtás, a függetlenség.

Az óra céljai

• Ellenőrizze a tanulók problémamegoldó képességét.

Tanterv

1. Nyitóbeszéd.
2. Korábban tanult anyag ismétlése.
3. A paralelogramma, tulajdonságai és jelei.
4. Feladatpéldák.
5. Önellenőrzés.

Bevezetés

"Egy nagy tudományos felfedezés megoldást ad egy nagy problémára, de minden probléma megoldásában van egy szemcsés felfedezés."

A paralelogramma szemközti oldalainak tulajdonságai

Egy paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.

Bizonyíték.

Legyen ABCD egy adott paralelogramma. És átlói metssék egymást az O pontban.
Mivel a háromszögek egyenlőségének első jelével Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, mint függőlegesek, AO=OC, DO=OB, a paralelogramma átlók tulajdonsága szerint), akkor AB=CD. Hasonlóképpen a BOC és DOA háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy BC=DA. A tétel bizonyítást nyert.

A paralelogramma ellentétes szögeinek tulajdonsága

A paralelogrammának vannak ellentétes szögei.

Bizonyíték.

Legyen ABCD egy adott paralelogramma. És átlói metssék egymást az O pontban.
A tételben bizonyított paralelogramma ellentétes oldalainak tulajdonságaiból Δ ABC = Δ CDA három oldalon (AB=CD, BC=DA a bizonyítottból AC általános). A háromszögek egyenlőségéből következik, hogy ∠ABC = ∠CDA.
Az is bebizonyosodott, hogy ∠ DAB = ∠ BCD, ami abból következik, hogy ∠ ABD = ∠ CDB. A tétel bizonyítást nyert.

A paralelogramma átlóinak tulajdonsága

A paralelogramma átlói metszik egymást, a metszéspontot pedig felezzük.

Bizonyíték.

Legyen ABCD egy adott paralelogramma. Rajzoljuk meg az AC átlót. Jelöljük rajta a középső O-t A DO szakasz folytatásán félretesszük a DO-val egyenlő OB 1 szakaszt.
Az előző tétel szerint AB 1 CD paralelogramma. Ezért az AB 1 egyenes párhuzamos a DC-vel. De az A ponton keresztül csak egy egyenes húzható párhuzamosan a DC-vel. Ezért az AB 1 egyenes egybeesik az AB egyenessel.
Az is bebizonyosodott, hogy Kr.e. 1 egybeesik Kr. e. Tehát a C pont egybeesik C 1 -gyel. Az ABCD paralelogramma egybeesik az AB 1 CD paralelogrammával. Ezért a paralelogramma átlói metszik egymást, a metszéspont pedig feleződik. A tétel bizonyítást nyert.

A közönséges iskolák tankönyveiben (például Pogorelovban) a következőképpen bizonyítják: az átlók a paralelogrammát 4 háromszögre osztják. Tekintsünk egy párat, és derítsük ki - egyenlőek: alapjaik ellentétes oldalak, a mellette lévő megfelelő szögek egyenlőek, mint függőlegesek párhuzamos vonalakkal. Vagyis az átlók szakaszai páronként egyenlőek. Minden.

Ez minden?
Fentebb bebizonyítottuk, hogy a metszéspont felezi az átlókat – ha létezik. A fenti okfejtés semmilyen módon nem bizonyítja a létezését. Vagyis a "párhuzamos átlók metszik egymást" tétel bizonyítatlan része.

Vicces, hogy ezt a részt sokkal nehezebb bizonyítani. Ez egyébként egy általánosabb eredményből következik: bármely konvex négyszögnél az átlók metszik egymást, a nem konvexnél nem.

Az oldal mentén lévő háromszögek egyenlőségéről és a vele szomszédos két szögről (a háromszögek egyenlőségének második jele) és mások.

A két oldal mentén lévő háromszög és a vele szomszédos két szög egyenlőségére vonatkozó tétel Thalész fontos gyakorlati alkalmazást talált. Milétosz kikötőjében egy távolságmérőt építettek, amely meghatározza a hajó távolságát a tengeren. Három meghajtott csapból A, B és C (AB = BC) és egy CA-ra merőleges, jelölt SK egyenesből állt. Amikor a hajó megjelent az SC egyenesen, egy D pontot találtunk úgy, hogy a D, .B és E pontok ugyanazon az egyenesen voltak. Amint az a rajzon látható, a talajon lévő távolság CD a kívánt távolság a hajótól.

Kérdések

1. Egy négyzet átlóit kettévágja a metszéspont?
   
2. Egy paralelogramma átlói egyenlők?
3. Egy paralelogramma ellentétes szögei egyenlők?
4. Mi a paralelogramma definíciója?
5. Hány jellemzője van egy paralelogrammának?
   
6. Lehet-e a rombusz paralelogramma?
   

A felhasznált források listája

1. Kuznyecov A. V., matematika tanár (5-9. osztály), Kijev
2. „Egységes államvizsga 2006. Matematika. Oktatási és képzési anyagok a diákok felkészítéséhez / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "A M. I. Scanavi által szerkesztett gyűjtemény matematikai főbb versenyfeladatainak megoldása"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7-9: tankönyv oktatási intézmények számára"

Dolgozunk a leckén

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Jevgenyij Petrov

Felvethet egy kérdést a modern oktatással kapcsolatban, megfogalmazhat egy ötletet vagy megoldhat egy sürgős problémát a címen Oktatási Fórum ahol a friss gondolatok és cselekvések oktatási tanácsa találkozik nemzetközi szinten. Miután létrehozta blog, Nemcsak hozzáértő tanári státuszát javítja, hanem jelentős mértékben hozzájárul a jövő iskolájának fejlődéséhez is. Oktatási Vezetők Céhe megnyitja az ajtót a legkiválóbb szakemberek előtt, és együttműködésre hívja Önt a világ legjobb iskoláinak létrehozása érdekében.

Tantárgyak > Matematika > Matematika 8. évfolyam

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek oldalai páronként párhuzamosak.

Ezen az ábrán a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek egymással. A paralelogramma átlói egy pontban metszik egymást, és felezik azt. A paralelogramma terület képletek lehetővé teszik az érték megtalálását az oldalakon, a magasságon és az átlókon keresztül. A paralelogramma speciális esetekben is ábrázolható. Téglalapnak, négyzetnek és rombusznak tekintik őket.
Először nézzünk meg egy példát a paralelogramma területének kiszámítására a magasság és az oldal alapján, amelyre le van engedve.

Ez az eset klasszikusnak számít, és nem igényel további vizsgálatot. Jobb, ha figyelembe vesszük a két oldal területének és a köztük lévő szög kiszámításának képletét. A számítás során ugyanezt a módszert alkalmazzuk. Ha az oldalak és a köztük lévő szög adottak, akkor a területet a következőképpen számítjuk ki:

Tegyük fel, hogy kapunk egy paralelogrammát, amelynek oldalai a = 4 cm, b = 6 cm, és a köztük lévő szög α = 30°. Keressük meg a területet:

A paralelogramma területe átlókban kifejezve

A paralelogramma területének képlete az átlók tekintetében lehetővé teszi az érték gyors megtalálását.
A számításokhoz szükség van az átlók közötti szög értékére.

Vegyünk egy példát a paralelogramma területének átlókon keresztül történő kiszámítására. Adjunk meg egy paralelogrammát D = 7 cm, d = 5 cm átlókkal, amelyek szöge α = 30°. Helyettesítse be az adatokat a képletben:

Egy példa a paralelogramma területének egy átlón keresztül történő kiszámítására kiváló eredményt adott - 8,75.

Ismerve a paralelogramma területének képletét az átló szempontjából, sok érdekes problémát megoldhat. Nézzük meg az egyiket.

Egy feladat: Adott egy 92 négyzetméter területű paralelogramma. lásd az F pont a BC oldalának közepén található. Keressük meg az ADFB trapéz területét, amely a paralelogrammánkban lesz. Kezdésként rajzoljunk le mindent, amit a feltételeknek megfelelően kaptunk.
Térjünk rá a megoldásra:

Feltételeink szerint ah \u003d 92, és ennek megfelelően a trapéz területe egyenlő lesz

A pa-ral-le-lo-gram-ma jelei

1. A paralelogramma definíciója és alapvető tulajdonságai

Kezdjük azzal, hogy emlékszünk a pa-ral-le-lo-gram-ma definíciójára.

Meghatározás. Paralelogramma- four-you-rekh-coal-nick, valaki-ro-go a para-ral-lel-ny két pro-ti-on-false oldalával rendelkezik (lásd az 1. ábrát).

Rizs. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Visszahívás a pa-ral-le-lo-gram-ma alapvető új tulajdonságai:

Ahhoz, hogy ezeket a tulajdonságokat használni tudja, biztosnak kell lennie abban, hogy fi-gu-ra, ó, valaki -Roy kérdéses, - pa-ral-le-lo-gram. Ehhez ismerni kell az ilyen tényeket, mint a pa-ral-le-lo-gram-ma jeleit. Ezek közül az első kettőt nézzük ma.

2. A paralelogramma első jele

Tétel. A pa-ral-le-lo-gram-ma első jele. Ha a four-you-rekh-coal-ni-ke-ben két pro-ti-in-false oldal egyenlő és par-ral-lel-na, akkor ez a négy-te-rekh-coal- becenév - paralelogramma. .

Rizs. 2. A pa-ral-le-lo-gram-ma első jele

Bizonyíték. We-we-we-dem négy-rekh-coal-ni-ke dia-go-nalban (lásd 2. ábra), két háromszögre osztotta-no-ka. Írd le, mit tudunk ezekről a háromszögekről:

a háromszögek egyenlőségének első jele szerint.

A jelzett háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy az egyenesek par-ral-lel-no-sti jele szerint, amikor újra-se-che-ni a se-ku-schey-jukat. Nálunk ez van:

Előtte-for-de.

3. A paralelogramma második jele

Tétel. A második raj a pa-ral-le-lo-gram-ma jele. Ha a négy-te-rekh-szén-ni-ke-ben minden két pro-ti-in-hamis oldal egyenlő, akkor ez a négy-te-rekh-szén-nick - paralelogramma. .

Rizs. 3. Második rajjel pa-ral-le-lo-gram-ma

Bizonyíték. We-we-we-dem négy-you-rekh-coal-ni-ke dia-go-nalban (lásd a 3. ábrát), két háromszögre osztja-no-ka. Leírjuk, amit tudunk ezekről a háromszögekről, a for-mu-li-ditch-ki theo-re-we-ből kiindulva:

a háromszögek egyenlőségének harmadik jele szerint.

A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy az egyenes vonalak par-ral-lel-no-sti jele szerint, amikor újra-se-che-ing őket se-ku-schey. By-lu-cha-eat:

pa-ral-le-lo-gram definíció szerint-de-le-ny. Q.E.D.

Előtte-for-de.

4. Példa a paralelogramma első jellemzőjének használatára

Ras-nézz egy példát a pa-ral-le-lo-gram-ma jelek alkalmazására.

1. példa: A you-far-scrap-che-you-rex-coal-no-ke Keresse meg: a) négy-you-rex-coal-no-ka sarkait; b) százro-kút.

Megoldás. Kép-ra-tél Fig. négy.

pa-ral-le-lo-gram az első jel-ku pa-ral-le-lo-gram-ma szerint.

DE. a para-le-lo-gram-ma tulajdonsága szerint a pro-ti-in-hamis-szögekről, a para-le-lo-gram-ma tulajdonsága szerint a szögek összegéről, egynek megfelelő oldal.

B. a pro-ty-in-false oldalak egyenlőségének tulajdonsága által.

re-at-sign pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Ismétlés: a paralelogramma meghatározása és tulajdonságai

Emlékeztetőül erre paralelogramma- ez egy négy-you-rekh-coal-nick, valakinek van egy pro-ti-on-false oldala egy párban, de-pa-ral-lel-na. Vagyis ha - pa-ral-le-lo-gram, akkor (Lásd 1. ábra).

A Pa-ral-le-lo-gramnak számos tulajdonsága van: a pro-ti-in-hamis szögek egyenlőek (), a pro-ti-on-hamis száz-ro - egyenlőek vagyunk ( ). Ezen kívül dia-go-on-hether par-ral-le-lo-gram-ma a re-se-che-niya de-lyat-by-lam pontban, a szögek összege, at-le- pa-ral-le-lo-gram-ma, bármely oldallal egyenlő, egyenlő stb.

De ahhoz, hogy ezeket a tulajdonságokat használjuk, ab-so-lant-de biztosnak kell lennünk abban, hogy a versenyek ri-va-e-my che-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le- lo-gram. Erre a par-ral-le-lo-gram-ma jelei vannak: vagyis azok a tények, amelyekből egyértékű következtetést lehet levonni, hogy che-you-rekh-coal-nick yav-la-et -sya pa-ral-le-lo-gram-mom. Az előző leckében már két jelet is figyelembe vettünk. Ebben az órában a harmadikat nézzük.

6. A paralelogramma harmadik jellemzője és bizonyítása

Ha négy-you-rekh-coal-ni-ke dia-go-na-li-ben a re-se-che-niya de-lyat-by-lam pontnál, akkor ez a négy-you-reh-coal-nick yav-la-et-sya pa-ral-le-lo-gram-mom.

Adott:

Che-you-reh-coal-nick; ; .

Bizonyít:

Paralelogramma.

Bizonyíték:

Ennek bizonyításához szükséges a pa-ral-le-lo-gram-ma oldalainak para-ral-lel-sége bizonyítása. És az egyenesek par-ral-lel-sége leggyakrabban a ka-zy-va-et-sya-ig, az ezeknél az egyeneseknél a belső-keresztfekvési szögek egyenlősége révén. . Ily módon, na-pra-shi-va-et-sya a next-du-u-sche módja-ka-for-tel-stva a harmadik jele-pa-ral -le-lo-gram- ma: a háromszögek egyenlőségén keresztül-ni-kov .

Várjuk meg e háromszögek egyenlőségét. Valóban, a feltételből a következő:. Ezenkívül, mivel a szögek függőlegesek, egyenlőek. Azaz:

(az egyenlőség első jeleháromszög-ni-kov- kétszáz rous és a köztük lévő szög).

A háromszögek egyenlőségéből: (mivel a kereszt belső szögei egyenlőek ezeknél az egyeneseknél és se-ku-schey). Ráadásul a háromszögek egyenlőségéből az következik. Ez azt jelenti, hogy olyanok vagyunk, mint a chi-li, hogy a négy-te-rekh-szén-ni-ke-ben két oldal egyenlő és par-ral-lel-na. Az első jel szerint pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Előtte-for-de.

7. Példa egy feladatra a paralelogramma és az általánosítás harmadik jellemzőjére

Ras-nézz egy példát a para-ral-le-lo-gram-ma harmadik jelének alkalmazására.

1. példa

Adott:

- paralelogramma; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (lásd 2. ábra).

Bizonyít:- pa-ral-le-lo-gram.

Bizonyíték:

Tehát négy-you-rekh-coal-no-ke dia-go-na-li-ben a re-se-che-niya de-lyat-sya-by-lam pontján. A harmadik jel, a pa-ral-le-lo-gram-ma szerint ebből az következik, hogy - pa-ral-le-lo-gram.

Előtte-for-de.

Ha elemezzük a pa-ral-le-lo-gram-ma harmadik jelét, akkor észrevehetjük, hogy ez a jel co-ot-reply- par-ral-le-lo-gram-ma tulajdonsággal rendelkezik. Vagyis az a tény, hogy a dia-go-na-akár de-lyat-by-lam, is-la-et-sya nem csak a pa-ral-le-lo-gram-ma tulajdonsága, hanem -li-chi-tel-nym, ha-rak-te-ri-sti-che-sky ingatlan, egyes-ro-mu szerint sokaságból kiönthető che-you-reh-coal-no- kov.

FORRÁS

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Annak meghatározására, hogy egy adott ábra paralelogramma-e, számos előjel létezik. Tekintsük a paralelogramma három fő jellemzőjét.

1 paralelogramma jellemző

Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték:

Tekintsük az ABCD négyszöget. Legyen benne párhuzamos az AB és a CD oldal. És legyen AB=CD. Rajzoljunk bele egy átlós BD-t. Az adott négyszöget két egyenlő háromszögre osztja: ABD és CBD.

Ezek a háromszögek két oldalán egyenlők egymással és a köztük lévő szöggel (BD közös oldal, AB = feltétel szerint CD, szög1 = szög2, mint keresztben fekvő szögek az AB és CD párhuzamos egyenesek BD metszőjében.), és ezért szög3 = szög4.

És ezek a szögek keresztben fekszenek a BC és AD egyenesek metszéspontjában a BD szekánssal. Ebből következik, hogy BC és AD párhuzamosak egymással. Megvan, hogy az ABCD négyszögben az ellentétes oldalak páronként párhuzamosak, ezért az ABCD négyszög paralelogramma.

2 paralelogramma jel

Ha egy négyszög szemközti oldalai páronként egyenlőek, akkor a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték:

Tekintsük az ABCD négyszöget. Rajzoljunk bele egy átlós BD-t. Az adott négyszöget két egyenlő háromszögre osztja: ABD és CBD.

Ez a két háromszög három oldalán egyenlő lesz egymással (BD a közös oldal, AB = CD és BC = AD feltétel szerint). Ebből arra következtethetünk, hogy szög1 = szög2. Ebből következik, hogy AB párhuzamos CD-vel. És mivel AB \u003d CD és AB párhuzamos CD-vel, akkor a paralelogramma első jelével az ABCD négyszög paralelogramma lesz.

paralelogramma 3 jele

Ha egy négyszögben az átlók metszik egymást, és a metszéspontot felezzük, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz.

Tekintsük az ABCD négyszöget. Rajzoljunk bele két AC és BD átlót, amelyek az O pontban metszik egymást és felezik ezt a pontot.

Az AOB és a COD háromszögek egyenlőek lesznek egymással, a háromszögek egyenlőségének első jele szerint. (AO = OC, BO = OD megegyezés szerint, AOB szög = COD szög, mint függőleges szögek.) Ezért AB = CD és szög1 = szög 2. Az 1 és 2 szögek egyenlőségéből azt kapjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel. Ekkor azt kapjuk, hogy az ABCD négyszögben az AB oldalak egyenlők CD-vel és párhuzamosak, és a paralelogramma első kritériuma szerint az ABCD négyszög paralelogramma lesz.

Bizonyíték

Először rajzoljuk meg az AC átlót. Két háromszöget kapunk: ABC és ADC.

Mivel az ABCD egy paralelogramma, a következő igaz:

AD || BC \Jobbra \angle 1 = \angle 2 mint átfeküdni.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 mint átfeküdni.

Ezért \triangle ABC = \triangle ADC (a második jellemző szerint: és az AC közös).

Ezért \háromszög ABC = \háromszög ADC , majd AB = CD és AD = BC .

Igazolt!

2. Az ellentétes szögek azonosak.

Bizonyíték

A bizonyíték szerint tulajdonságok 1 Tudjuk \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Tehát az ellentétes szögek összege: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Figyelembe véve, hogy \háromszög ABC = \háromszög ADC, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Igazolt!

3. Az átlókat a metszéspont felezi.

Bizonyíték

Rajzoljunk még egy átlót.

Által tulajdonság 1 tudjuk, hogy a szemközti oldalak azonosak: AB = CD . Még egyszer megjegyezzük a keresztben fekvő egyenlő szögeket.

Így látható, hogy \triangle AOB = \triangle COD a háromszögek (két szög és egy oldal között) egyenlőség második jelével. Vagyis BO = OD (szemben a \angle 2 és \angle 1 ) és AO = OC (szemben a \angle 3 és \angle 4 rendre).

Igazolt!

A párhuzamos diagram jellemzői

Ha csak egy jel van jelen a feladatban, akkor az ábra paralelogramma, és ennek az ábra összes tulajdonságát használhatja.

A jobb memorizálás érdekében vegye figyelembe, hogy a paralelogramma jel választ ad a következő kérdésre − "hogyan lehet megtudni?". Vagyis hogyan lehet kideríteni, hogy egy adott ábra paralelogramma.

1. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két oldala egyenlő és párhuzamos.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD egy paralelogramma.

Bizonyíték

Vizsgáljuk meg részletesebben. Miért AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT?

\triangle ABC = \triangle ADC by tulajdonság 1: AB = CD , AC közös és \angle 1 = \angle 2 keresztben AB és CD párhuzamos és szekáns AC .

De ha \háromszög ABC = \háromszög ADC , akkor \angle 3 = \angle 4 (az AB-vel és a CD-vel szemben helyezkednek el). És ezért AD || BC (\angle 3 és \angle 4 - a keresztben fekvő szintén egyenlő).

Az első jel helyes.

2. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai egyenlőek.

AB = CD , AD = BC \Jobbra Az ABCD egy paralelogramma.

Bizonyíték

Tekintsük ezt a funkciót. Rajzoljuk meg újra az AC átlót.

Által tulajdonság 1\triangle ABC = \háromszög ACD .

Ebből következik, hogy: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || időszámításunk előttés \angle 3 = \angle 4 \Jobbra AB || CD, vagyis az ABCD paralelogramma.

A második jel helyes.

3. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti szögei egyenlőek.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Jobbra ABCD- paralelogramma.

Bizonyíték

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(mivel az ABCD négyszög, és megegyezés szerint \angle A = \angle C , \angle B = \angle D).

Tehát \alpha + \beta = 180^(\circ) . De az \alpha és \beta belső egyoldalúak az AB szekánsnál.

És az a tény, hogy \alpha + \beta = 180^(\circ) azt is jelenti, hogy AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.

Ugyanakkor az \alpha és a \beta belső egyoldali, szekáns AD-vel. És ez azt jelenti, hogy AB || CD.

A harmadik jel helyes.

4. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek átlóit a metszéspont felezi.

AO=OC; BO = OD \jobbra mutató paralelogramma.

Bizonyíték

BO=OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 mint függőleges \Jobbra \triangle AOB = \háromszög COD, \Jobbra \angle 3 = \angle 4, és \Rightarrow AB || CD.

Hasonlóan BO = OD ; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \háromszög BOC \Jobbra \angle 7 = \angle 8, és \Rightarrow AD || IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.

A negyedik jel helyes.