Első szint

Aritmetikai progresszió. Részletes elmélet példákkal (2019)

Numerikus sorozat

Tehát üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:
Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit akar (esetünkben ezek). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Numerikus sorozat
Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy sorszámra vonatkozik. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a -edik szám) mindig ugyanaz.
A számot tartalmazó számot a sorozat -edik tagjának nevezzük.

Általában az egész sorozatot valamilyen betűnek hívjuk (például), és ennek a sorozatnak minden tagja - ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

Tegyük fel, hogy van egy numerikus sorozatunk, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.
Például:

stb.
Az ilyen numerikus sorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük.
A „progresszió” kifejezést Boethius római szerző már a 6. században bevezette, és tágabb értelemben egy végtelen számsorozatként értelmezték. Az "aritmetika" elnevezést a folytonos arányok elméletéből vették át, amellyel az ókori görögök foglalkoztak.

Ez egy numerikus sorozat, amelynek minden tagja megegyezik az előzővel, ugyanazzal a számmal hozzáadva. Ezt a számot egy aritmetikai sorozat különbségének nevezzük, és jelöljük.

Próbáld meg meghatározni, hogy mely számsorozatok aritmetikai sorozatok, és melyek nem:

a)
b)
c)
d)

Megvan? Hasonlítsa össze válaszainkat:
Is számtani progresszió - b, c.
Nem számtani progresszió - a, d.

Térjünk vissza az adott progresszióhoz () és próbáljuk meg megtalálni a th tagjának értékét. Létezik kettő megtalálásának módja.

1. Módszer

Addig adhatunk a progressziószám előző értékéhez, amíg el nem érjük a progresszió edik tagját. Még jó, hogy nincs sok összefoglalni valónk – csak három érték:

Tehát a leírt aritmetikai progresszió -edik tagja egyenlő.

2. Módszer

Mi van, ha meg kell találnunk a progresszió th tagjának értékét? Az összegzés több mint egy órát vett volna igénybe, és nem tény, hogy nem hibáztunk volna a számok összeadásakor.
Természetesen a matematikusok kitaláltak egy olyan módszert, amellyel nem kell a számtani sorozat különbségét hozzáadni az előző értékhez. Nézze meg alaposan a rajzolt képet... Biztosan észrevett már egy bizonyos mintát, nevezetesen:

Nézzük például, miből áll ennek az aritmetikai sorozatnak az értéke:


Más szavakkal:

Igyekezz önállóan megtalálni ezen a módon ennek az aritmetikai sorozatnak egy tagjának értékét.

Számított? Hasonlítsa össze bejegyzéseit a válasszal:

Ügyeljen arra, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor egy aritmetikai sorozat tagjait egymás után hozzáadtuk az előző értékhez.
Próbáljuk meg "személyteleníteni" ezt a képletet - általános formába hozzuk, és megkapjuk:

Aritmetikai progresszió egyenlete.

Az aritmetikai progresszió vagy nő, vagy csökken.

Növekvő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden következő értéke nagyobb, mint az előző.
Például:

Csökkenő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden további értéke kisebb, mint az előző.
Például:

A származtatott képletet egy aritmetikai sorozat növekvő és csökkenő tagjának számításakor használják.
Vizsgáljuk meg a gyakorlatban.
Adunk egy aritmetikai sorozatot, amely a következő számokból áll:

Azóta:

Így meg voltunk győződve arról, hogy a képlet mind csökkenő, mind pedig növekvő aritmetikai progresszióban működik.
Próbáld meg egyedül megkeresni ennek az aritmetikai sorozatnak a -edik és -edik tagját.

Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Aritmetikai progresszió tulajdonsága

Bonyolítsuk le a feladatot – származtatjuk az aritmetikai progresszió tulajdonságát.
Tegyük fel, hogy a következő feltételt kapjuk:
- aritmetikai progresszió, keresse meg az értéket.
Könnyű, mondja, és elkezd számolni a már ismert képlet szerint:

Legyen a, akkor:

Teljesen igaza van. Kiderült, hogy először megtaláljuk, majd hozzáadjuk az első számhoz, és megkapjuk, amit keresünk. Ha a progressziót kis értékek képviselik, akkor nincs benne semmi bonyolult, de mi van, ha a feltételben számokat adunk? Egyetértek azzal, hogy a számítások során hibákat követhetnek el.
Most gondolja át, meg lehet-e oldani ezt a problémát egy lépésben bármilyen képlet segítségével? Természetesen igen, és most megpróbáljuk elővenni.

Jelöljük az aritmetikai progresszió kívánt tagját úgy, hogy ismerjük a megtalálás képletét - ez ugyanaz a képlet, amelyet az elején levezettünk:
, Akkor:

• a progresszió előző tagja:
• a progresszió következő tagja:

Összegezzük a progresszió előző és következő tagjait:

Kiderül, hogy a progresszió előző és következő tagjának összege kétszerese a közöttük lévő progresszió tag értékének. Más szóval, ahhoz, hogy megtaláljuk egy ismert korábbi és egymást követő értékekkel rendelkező progressziós tag értékét, össze kell adni őket, és el kell osztani.

Így van, ugyanaz a számunk. Javítsuk meg az anyagot. Számolja ki maga a továbblépés értékét, mert ez egyáltalán nem nehéz.

Szép munka! Szinte mindent tudsz a fejlődésről! Már csak egy képletet kell kideríteni, amelyet a legenda szerint minden idők egyik legnagyobb matematikusa, a "matematikusok királya" - Karl Gauss - könnyen kikövetkeztetett magának ...

Amikor Carl Gauss 9 éves volt, a tanár más osztályok tanulóinak munkájának ellenőrzésével elfoglalva a következő feladatot tette fel az órán: "Számítsa ki az összes természetes szám összegét maximumtól (más források szerint legfeljebb) inkluzív értékig." Mi volt a tanár meglepetése, amikor az egyik tanítványa (Karl Gauss volt) egy perc múlva helyes választ adott a feladatra, míg a vakmerő osztálytársa hosszas számolás után rossz eredményt kapott...

A fiatal Carl Gauss észrevett egy mintát, amelyet könnyen észrevehet.
Tegyük fel, hogy van egy -ti tagokból álló számtani sorozatunk: Meg kell találnunk a számtani sorozat adott tagjainak összegét. Természetesen manuálisan is összegezhetjük az összes értéket, de mi van, ha meg kell találnunk a tagok összegét a feladatban, ahogyan azt Gauss kereste?

Ábrázoljuk a nekünk adott fejlődést. Nézze meg alaposan a kiemelt számokat, és próbáljon meg különféle matematikai műveleteket végrehajtani velük.


Megpróbálta? mit vettél észre? Jobb! Összegük egyenlő

Most válaszoljon, hány ilyen pár lesz a nekünk adott progresszióban? Természetesen az összes számnak pontosan a fele.
Abból a tényből kiindulva, hogy egy aritmetikai sorozat két tagjának összege egyenlő, és hasonló egyenlő párok összege, azt kapjuk, hogy a teljes összeg egyenlő:
.
Így bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegének képlete a következő lesz:

Egyes feladatokban nem ismerjük a th tagot, de ismerjük a progressziókülönbséget. Próbáld meg az összegképletben behelyettesíteni a th tag képletét.
Mit kaptál?

Szép munka! Most térjünk vissza a Carl Gaussnak adott feladathoz: számolja ki magának, mennyi a -ediktől kezdődő számok összege és a -ediktől kezdődő számok összege!

mennyit kaptál?
Gauss kiderült, hogy a tagok összege egyenlő, és a tagok összege. Így döntöttél?

Valójában az aritmetikai sorozat tagjainak összegének képletét az ókori görög tudós, Diophantosz bizonyította be a 3. században, és ez idő alatt a szellemes emberek az aritmetikai sorozat tulajdonságait erősen és fővel használták.
Képzeljük el például az ókori Egyiptomot és az akkori legnagyobb építkezést - egy piramis építését... Az ábra annak egyik oldalát mutatja.

Hol van itt a fejlődés, mondod? Nézze meg alaposan, és keresse meg a mintát a homoktömbök számában a piramisfal minden sorában.


Miért nem egy aritmetikai sorozat? Számolja meg, hány tömbre van szükség egy fal építéséhez, ha tömbtéglákat helyeznek az alapba. Remélem, nem úgy fog számolni, hogy az ujját a monitoron mozgatja. Emlékszel az utolsó képletre és mindarra, amit az aritmetikai progresszióról mondtunk?

Ebben az esetben a folyamat a következőképpen néz ki:
Aritmetikai progresszió különbség.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak száma.
Helyettesítsük be adatainkat az utolsó képletbe (a blokkok számát 2 módon számoljuk).

1. módszer.

2. módszer.

És most már a monitoron is számolhat: hasonlítsa össze a kapott értékeket a piramisunkban lévő blokkok számával. Megegyezett? Jól tetted, elsajátítottad egy aritmetikai sorozat th tagjának összegét.
Természetesen nem lehet piramist építeni a tövében lévő kockákból, de? Próbálja kiszámolni, hány homoktégla szükséges egy ilyen feltétellel rendelkező fal építéséhez.
Sikerült?
A helyes válasz a blokkok:

Kiképzés

Feladatok:

1. Masha formába lendül a nyárra. Minden nap növeli a guggolások számát. Hányszor fog Mása guggolni hetek alatt, ha már az első edzésen guggolt.
2. Mennyi a benne lévő páratlan számok összege.
3. A rönktároláskor a favágók úgy rakják egymásra azokat, hogy minden felső réteg eggyel kevesebb rönköt tartalmazzon, mint az előző. Hány rönk van egy falazatban, ha a falazat alapja rönk.

Válaszok:

1. Határozzuk meg az aritmetikai progresszió paramétereit. Ebben az esetben
   (hetek = napok).

   Válasz: Két hét múlva Masha-nak naponta egyszer guggolnia kell.

2. Első páratlan szám, utolsó szám.
   Aritmetikai progresszió különbség.
   A páratlan számok száma felében azonban ellenőrizze ezt a tényt az aritmetikai sorozat -edik tagjának megtalálására szolgáló képlettel:

   A számok páratlan számokat tartalmaznak.
   A rendelkezésre álló adatokat behelyettesítjük a képletbe:

   Válasz: A benne foglalt páratlan számok összege egyenlő.

3. Emlékezzünk vissza a piramisokkal kapcsolatos problémára. A mi esetünkben a , mivel minden felső réteg egy rönkvel lecsökken, csak egy csomó réteg van, azaz.
   Helyettesítse be az adatokat a képletben:

   Válasz: A falazatban rönkök vannak.

Összegezve

1. - olyan numerikus sorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő. Növekszik és csökken.
2. Képlet megtalálása egy aritmetikai sorozat edik tagját a - képlettel írjuk fel, ahol a számok száma a sorozatban.
3. Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága- - ahol - a számok száma a progresszióban.
4. Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege kétféleképpen lehet megtalálni:
   
   , ahol az értékek száma.

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. ÁTLAGOS SZINT

Numerikus sorozat

Üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit csak akar. De mindig meg lehet állapítani, hogy melyikük az első, melyik a második, és így tovább, vagyis meg tudjuk számozni őket. Ez egy példa egy számsorozatra.

Numerikus sorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Más szóval, minden szám társítható egy bizonyos természetes számhoz, és csak egy. És ezt a számot nem fogjuk hozzárendelni egyetlen másik számhoz sem ebből a készletből.

A számot tartalmazó számot a sorozat -edik tagjának nevezzük.

Általában az egész sorozatot valamilyen betűnek hívjuk (például), és ennek a sorozatnak minden tagja - ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

Nagyon kényelmes, ha a sorozat -edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például a képlet

beállítja a sorrendet:

A képlet pedig a következő sorrend:

Például egy aritmetikai sorozat egy sorozat (az első tag egyenlő, és a különbség). Vagy (, különbség).

n-edik tagképlet

Ismétlődőnek nevezzük azt a képletet, amelyben a -edik tag kiderítéséhez ismerni kell az előzőt vagy több korábbit:

Ahhoz, hogy egy ilyen képlet segítségével megtaláljuk például a progresszió th tagját, ki kell számítanunk az előző kilencet. Például hadd. Akkor:

Nos, most már világos, mi a képlet?

Minden sorban összeadjuk, megszorozzuk valamilyen számmal. Miért? Nagyon egyszerű: ez az aktuális tag száma mínusz:

Most sokkal kényelmesebb, igaz? Ellenőrizzük:

Döntsd el magad:

A számtani sorozatban keresse meg az n-edik tag képletét és keresse meg a századik tagot.

Megoldás:

Az első tag egyenlő. És mi a különbség? És itt van:

(végül is azért hívják különbségnek, mert egyenlő a progresszió egymást követő tagjainak különbségével).

Tehát a képlet:

Akkor a századik tag:

Mennyi az összes természetes szám összege től ig?

A legenda szerint a nagy matematikus, Carl Gauss, 9 éves fiú lévén, néhány perc alatt kiszámolta ezt az összeget. Észrevette, hogy az első és az utolsó szám összege egyenlő, a második és az utolsó előtti szám összege megegyezik, a harmadik és a 3. végösszege megegyezik, és így tovább. Hány ilyen pár van? Ez így van, pontosan fele az összes szám számának, vagyis. Így,

Az általános képlet bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegére a következő lesz:

Példa:
Keresse meg az összes kétjegyű többszörös összegét!

Megoldás:

Az első ilyen szám ez. Minden következőt úgy kapunk, hogy hozzáadunk egy számot az előzőhöz. Így a számunkra érdekes számok az első taggal és a különbséggel aritmetikai sorozatot alkotnak.

Ennek a haladásnak a képlete a következő:

Hány tag van a folyamatban, ha mindegyiknek két számjegyűnek kell lennie?

Nagyon könnyű: .

A progresszió utolsó tagja egyenlő lesz. Akkor az összeg:

Válasz: .

Most döntsd el magad:

1. A sportoló minden nap 1 méterrel többet fut, mint előző nap. Hány kilométert fog futni hetek múlva, ha km m-t futott az első napon?
2. Egy kerékpáros minden nap több mérföldet tesz meg, mint az előző. Az első napon km-t utazott. Hány napig kell autóval megtennie egy kilométert? Hány kilométert fog megtenni az utazás utolsó napján?
3. A hűtőszekrény ára a boltban minden évben ugyanennyivel csökken. Határozza meg, mennyivel csökkent minden évben egy hűtőszekrény ára, ha rubelért bocsátották el, hat évvel később pedig rubelért adták el.

Válaszok:

1. Itt a legfontosabb az aritmetikai progresszió felismerése és paramétereinek meghatározása. Ebben az esetben (hetek = napok). Meg kell határoznia ennek a haladásnak az első tagjainak összegét:
   .
   Válasz:
2. Itt van megadva:, meg kell találni.
   Nyilvánvalóan ugyanazt az összegképletet kell használnia, mint az előző feladatban:
   .
   Cserélje be az értékeket:

   A gyökér nyilván nem illik, szóval a válasz.
   Számítsuk ki az elmúlt nap során megtett távolságot a -edik tag képletével:
   (km).
   Válasz:

3. Adott: . Megtalálja: .
   Nem lesz könnyebb:
   (dörzsölés).
   Válasz:

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐRŐL

Ez egy numerikus sorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.

Az aritmetikai progresszió növekszik () és csökken ().

Például:

A számtani sorozat n-edik tagjának megtalálásának képlete

képletként van felírva, ahol a számok száma a folyamatban.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága

Könnyűvé teszi a progresszió egy tagjának megtalálását, ha a szomszédos tagjai ismertek – hol van a progresszióban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege

Kétféleképpen találhatja meg az összeget:

Hol van az értékek száma.

Hol van az értékek száma.

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyél?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

A második esetben adunk neked szimulátor "6000 feladat megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinthez." Határozottan elég, ha bármilyen témában hozzáfog a probléma megoldásához.

Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor – egy egész képzési program. Ha szükséges, INGYENESEN is használhatod.

Az oldal teljes élettartama alatt elérhető az összes szöveg és program.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

Mielőtt dönteni kezdenénk aritmetikai progressziós problémák, fontolja meg, mi az a számsorozat, mivel az aritmetikai sorozat a számsorozat speciális esete.

A numerikus sorozat egy numerikus halmaz, amelynek minden eleme saját sorozatszámmal rendelkezik. Ennek a halmaznak az elemeit a sorozat tagjainak nevezzük. A sorozatelemek sorszámát index jelzi:

A sorozat első eleme;

A sorozat ötödik eleme;

- a sorozat "n-edik" eleme, azaz. a "sorban álló" elem az n számon.

Egy sorozatelem értéke és sorszáma között függőség van. Ezért egy sorozatot tekinthetünk függvénynek, amelynek argumentuma a sorozat elemének sorszáma. Más szavakkal, mondhatjuk ezt a sorozat a természetes argumentum függvénye:

A sorrend háromféleképpen határozható meg:

1 . A sorrend táblázat segítségével adható meg. Ebben az esetben egyszerűen beállítjuk a sorozat minden tagjának értékét.

Például valaki úgy döntött, hogy személyes időgazdálkodást végez, és először kiszámolja, mennyi időt tölt a VKontakte-on a héten. Ha táblázatba írja az időt, akkor hét elemből álló sorozatot kap:

A táblázat első sora a hét napjának számát tartalmazza, a második - az időt percekben. Azt látjuk, hogy hétfőn Valaki 125 percet töltött a VKontakte-on, azaz csütörtökön - 248 percet, azaz pénteken csak 15 percet.

2 . A sorozat az n-edik tag képletével adható meg.

Ebben az esetben egy sorozatelem értékének a számától való függését közvetlenül egy képlet formájában fejezzük ki.

Például ha , akkor

Egy adott számú sorozatelem értékének meghatározásához az elemszámot behelyettesítjük az n-edik tag képletébe.

Ugyanezt tesszük, ha meg kell találnunk egy függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert. Helyettesítjük az argumentum értékét a függvény egyenletében:

Ha pl. , Azt

Még egyszer megjegyzem, hogy egy sorozatban, ellentétben egy tetszőleges numerikus függvénnyel, csak természetes szám lehet argumentum.

3 . A sorozat olyan képlettel adható meg, amely kifejezi az n számú sorozattag értékének az előző tagok értékétől való függését. Ebben az esetben nem elég, ha csak egy sorozattag számát ismerjük ahhoz, hogy megtaláljuk az értékét. Meg kell adnunk a sorozat első vagy első néhány tagját.

Vegyük például a sorrendet ,

Megtalálhatjuk egy sorozat tagjainak értékeit sorban, a harmadiktól kezdve:

Vagyis minden alkalommal, hogy megtaláljuk a sorozat n-edik tagjának értékét, visszatérünk az előző kettőhöz. A szekvenálásnak ezt a módját ún visszatérő, a latin szóból recurro- Gyere vissza.

Most már definiálhatunk egy aritmetikai progressziót. Az aritmetikai sorozat egy numerikus sorozat egyszerű speciális esete.

Aritmetikai progresszió numerikus sorozatnak nevezzük, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, ugyanazzal a számmal hozzáadva.

A számot hívják egy aritmetikai sorozat különbsége. Az aritmetikai sorozat különbsége lehet pozitív, negatív vagy nulla.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} növekvő.

Például 2; 5; 8; tizenegy;...

Ha , akkor az aritmetikai sorozat minden tagja kisebb, mint az előző, a progresszió pedig az fogyó.

Például 2; -1; -4; -7;...

Ha , akkor a progresszió minden tagja azonos számmal, és a progresszió az helyhez kötött.

Például 2;2;2;2;...

Az aritmetikai sorozat fő tulajdonsága:

Nézzük a képet.

Ezt látjuk

, és ugyanakkor

Ezt a két egyenlőséget összeadva a következőt kapjuk:

.

Osszuk el 2-vel az egyenlet mindkét oldalát:

Tehát a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő két szomszédos szám számtani középével:

Ráadásul mivel

, és ugyanakkor

, Azt

, és ezért

A title="k>l) kezdetű aritmetikai sorozat minden tagja">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

th tag formula.

Látjuk, hogy az aritmetikai progresszió tagjaira a következő összefüggések állnak fenn:

és végül

Kaptunk az n-edik tag képlete.

FONTOS! Egy aritmetikai sorozat bármely tagja kifejezhető és kifejezésekkel. Ismerve az első tagot és a számtani sorozat különbségét, bármelyik tagját megtalálhatja.

Egy aritmetikai sorozat n tagjának összege.

Egy tetszőleges aritmetikai progresszióban a szélsőségektől egyenlő távolságra lévő tagok összegei egyenlők egymással:

Tekintsünk egy n tagú aritmetikai sorozatot. Legyen ennek a haladásnak n tagjának összege egyenlő.

Rendezd a haladás feltételeit először növekvő számsorrendbe, majd csökkenő sorrendbe:

Párosítsuk össze:

A zárójelben szereplő összeg , a párok száma n.

Kapunk:

Így, egy aritmetikai sorozat n tagjának összegét a következő képletekkel találhatjuk meg:

Fontolgat számtani progressziós feladatok megoldása.

1 . A sorozatot az n-edik tag képlete adja meg: . Bizonyítsuk be, hogy ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség azonos számmal egyenlő.

Megállapítottuk, hogy a sorozat két szomszédos tagjának különbsége nem függ a számuktól, és állandó. Ezért definíció szerint ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

2 . Adott egy aritmetikai sorozat -31; -27;...

a) Keresse meg a progresszió 31 tagját!

b) Döntse el, hogy a 41-es szám szerepel-e ebben a haladásban!

A) Azt látjuk ;

Írjuk fel a haladásunk n-edik tagjának képletét.

Általában

A mi esetünkben , Ezért

Az aritmetikai progressziós problémák ősidők óta léteztek. Megjelentek és megoldást követeltek, mert gyakorlati igényük volt.

Tehát az ókori Egyiptom egyik papiruszában, amelynek matematikai tartalma van - a Rhind papiruszban (Kr. e. XIX. század) - a következő feladat található: osszon el tíz mérték kenyeret tíz emberre, feltéve, hogy a különbség köztük egy nyolcad mérték.

Az ókori görögök matematikai munkáiban pedig elegáns tételek találhatók az aritmetikai progresszióval kapcsolatban. Tehát Alexandriai Hypsicles (2. század, aki sok érdekes problémát állított össze, és a tizennegyedik könyvvel egészítette ki Euklidész „Elvek” című könyvét) megfogalmazta a gondolatot: „Páros számú tagú aritmetikai sorozatban a 2. fele tagjainak összege nagyobb, mint az 1. rész tagjainak összege az 1/2 tagok számának négyzetével.”

Az an sorozatot jelöljük. A sorozat számait tagjainak nevezik, és általában betűkkel jelölik, amelyek az adott tag sorszámát jelzik (a1, a2, a3 ... olvasható: „a 1.”, „a 2.”, „a 3.” és így tovább).

A sorozat lehet végtelen vagy véges.

Mi az aritmetikai progresszió? Ez úgy értendő, hogy az előző (n) tagot összeadjuk azonos d számmal, ami a progresszió különbsége.

Ha d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, akkor az ilyen előrehaladást növekvőnek tekintjük.

Egy aritmetikai progressziót végesnek mondunk, ha csak néhány első tagját vesszük figyelembe. Nagyon nagy létszám mellett ez már végtelen előrelépés.

Bármely aritmetikai progressziót a következő képlet adja meg:

an =kn+b, míg b és k néhány szám.

Az állítás, ami ennek az ellenkezője, teljesen igaz: ha a sorozatot hasonló képlettel adjuk meg, akkor ez pontosan egy aritmetikai sorozat, amelynek a következő tulajdonságai vannak:

1. A progresszió minden tagja az előző és a következő tag számtani átlaga.
2. Az ellenkezője: ha a 2.-tól kezdve minden tag az előző tag számtani közepe és a következő, azaz. ha a feltétel teljesül, akkor az adott sorozat egy aritmetikai sorozat. Ez az egyenlőség egyben a progresszió jele is, ezért szokás a progresszió jellegzetes tulajdonságának nevezni.
   Ugyanígy igaz az ezt a tulajdonságot tükröző tétel: egy sorozat csak akkor aritmetikai haladás, ha ez az egyenlőség a sorozat bármely tagjára igaz, a 2.-tól kezdve.

Egy aritmetikai sorozat tetszőleges négy számának jellemző tulajdonsága kifejezhető az an + am = ak + al képlettel, ha n + m = k + l (m, n, k a haladás számai).

Egy aritmetikai progresszióban bármely szükséges (N-edik) tag megtalálható a következő képlet alkalmazásával:

Például: az első tag (a1) egy aritmetikai sorozatban adott és egyenlő hárommal, a különbség (d) pedig négy. Meg kell találnia ennek a folyamatnak a negyvenötödik tagját. a45 = 1+4(45-1)=177

Az an = ak + d(n - k) képlet lehetővé teszi egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának meghatározását bármely k-edik tagon keresztül, feltéve, hogy ez ismert.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összegét (a végső progresszió 1. n tagját feltételezve) a következőképpen számítjuk ki:

Sn = (a1+an) n/2.

Ha az 1. tag is ismert, akkor egy másik képlet kényelmes a számításhoz:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Az n tagot tartalmazó aritmetikai progresszió összegét a következőképpen számítjuk ki:

A számítási képletek kiválasztása a feladatok feltételeitől és a kiindulási adatoktól függ.

Bármely szám természetes sorozata, például 1,2,3,...,n,... a számtani sorozat legegyszerűbb példája.

A számtani progresszió mellett létezik egy geometriai is, amelynek megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői.

Például a \(2\); \(5\); \(8\); \(tizenegy\); A \(14\)… egy aritmetikai sorozat, mert minden következő elem hárommal különbözik az előzőtől (három hozzáadásával kapható meg az előzőtől):

Ebben a progresszióban a \(d\) különbség pozitív (egyenlő \(3\)), ezért minden következő tag nagyobb, mint az előző. Az ilyen progressziókat ún növekvő.

A \(d\) azonban negatív szám is lehet. Például, aritmetikai sorozatban \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… a \(d\) progressziókülönbség mínusz hat.

És ebben az esetben minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Ezeket a progressziókat ún csökkenő.

Aritmetikai progressziós jelölés

A haladást kis latin betűvel jelöljük.

A progressziót alkotó számokat úgy nevezzük tagjai(vagy elemek).

Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint az aritmetikai progresszió, de numerikus indexük megegyezik az elemszámmal.

Például az \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetikai sorozat a \(a_1=2\) elemekből áll; \(a_2=5\); \(a_3=8\) és így tovább.

Más szavakkal, a \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Feladatok megoldása aritmetikai sorozaton

Elvileg a fenti információk már elégségesek ahhoz, hogy szinte minden problémát megoldjunk egy aritmetikai lépésben (beleértve az OGE-nél felkínáltakat is).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(b_1=7; d=4\) feltételek adják meg. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:

Válasz: \(b_5=23\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat első három tagja: \(62; 49; 36…\) Határozza meg a folyamat első negatív tagjának értékét.
Megoldás:

	Megadjuk a sorozat első elemeit, és tudjuk, hogy ez egy aritmetikai sorozat. Vagyis minden elem ugyanazzal a számmal különbözik szomszédjától. Állapítsa meg, melyiket, ha kivonja az előzőt a következő elemből: \(d=49-62=-13\).
	Most visszaállíthatjuk a haladást a kívánt (első negatív) elemre.
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(-3\)

Példa (OGE). Egy aritmetikai sorozat több egymást követő eleme adott: \(...5; x; 10; 12,5...\) Határozza meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!
Megoldás:

	Az \(x\) kereséséhez tudnunk kell, hogy a következő elem mennyiben tér el az előzőtől, más szóval a progresszió különbségétől. Keressük meg két ismert szomszédos elemből: \(d=12,5-10=2,5\).
	És most gond nélkül megtaláljuk, amit keresünk: \(x=5+2,5=7,5\).
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(7,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a következő feltételek adják meg: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Határozza meg a folyamat első hat tagjának összegét.
Megoldás:

	Meg kell találnunk a progresszió első hat tagjának összegét. De nem ismerjük a jelentésüket, csak az első elemet kapjuk. Ezért először sorra számoljuk ki az értékeket a nekünk megadottak alapján: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) És miután kiszámoltuk a hat elemet, amire szükségünk van, megtaláljuk az összegüket.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	A kért összeget megtaláltuk.

Válasz: \(S_6=9\).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszióban \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Keresse meg ennek a progressziónak a különbségét.
Megoldás:

Válasz: \(d=7\).

Fontos aritmetikai progressziós képletek

Amint látja, sok aritmetikai progressziós probléma megoldható egyszerűen a fő dolog megértésével - hogy az aritmetikai sorozat egy számok lánca, és a lánc minden következő elemét úgy kapjuk meg, hogy ugyanazt a számot hozzáadjuk az előzőhöz (a progresszió különbsége).

Néha azonban vannak olyan helyzetek, amikor nagyon kényelmetlen a "homlokon" megoldani. Képzeljük el például, hogy a legelső példában nem az ötödik \(b_5\) elemet kell megtalálnunk, hanem a háromszáznyolcvanhatodik \(b_(386)\). Mi az, \ (385 \)-szer hozzáadunk négyet? Vagy képzeld el, hogy az utolsó előtti példában meg kell találnod az első hetvenhárom elem összegét. A számolás zavaró...

Ezért ilyenkor nem „homlokon” oldanak meg, hanem speciális, számtani haladásra levezetett képleteket használnak. A főbbek pedig a progresszió n-edik tagjának képlete és az első tagok \(n\) összegének képlete.

A \(n\)-edik tag képlete: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ahol \(a_1\) a haladás első tagja;
\(n\) – a szükséges elem száma;
\(a_n\) a \(n\) számú progresszió tagja.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy gyorsan megtaláljuk legalább a háromszázadik, sőt a milliomod elemet is, csak az első és a progressziókülönbség ismeretében.

Példa. Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Keresse meg a \(b_(246)\).
Megoldás:

Válasz: \(b_(246)=1850\).

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ahol

\(a_n\) az utolsó összegzett tag;

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(a_n=3,4n-0,6\) feltételek adják meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(25\) tagjának összegét.
Megoldás:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Az első huszonöt elem összegének kiszámításához ismernünk kell az első és a huszonötödik tag értékét. Progressziónkat az n-edik tag képlete adja meg a számától függően (lásd a részleteket). Számítsuk ki az első elemet úgy, hogy \(n\)-t eggyel helyettesítjük.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Most keressük meg a huszonötödik tagot úgy, hogy \(n\) helyett huszonötöt helyettesítünk.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nos, most gond nélkül kiszámoljuk a szükséges mennyiséget.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(25)=1090\).

Az első tagok \(n\) összegére egy másik képletet is kaphat: csak \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) helyett \(a_n\) helyettesíti a képletet \(a_n=a_1) \(a_n=a_1). Kapunk:

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ahol

\(S_n\) – az első elemek szükséges összege \(n\);
\(a_1\) az első összeadandó tag;
\(d\) – progresszió különbség;
\(n\) - az összegben szereplő elemek száma.

Példa. Keresse meg az aritmetikai sorozat első \(33\)-ex tagjának összegét: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Megoldás:

Válasz: \(S_(33)=-231\).

Bonyolultabb aritmetikai progressziós feladatok

Mostantól minden olyan információ birtokában van, amelyre szüksége van szinte minden aritmetikai progressziós probléma megoldásához. Fejezzük be a témát azokkal a problémákkal, amelyekben nem csak képleteket kell alkalmazni, hanem egy kicsit gondolkodni is (matematikában ez hasznos lehet ☺)

Példa (OGE). Keresse meg a progresszió összes negatív tagjának összegét: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Megoldás:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A feladat nagyon hasonló az előzőhöz. Ugyanígy kezdjük a megoldást: először megkeressük a \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Most behelyettesítjük a \(d\)-t az összeg képletébe... és itt felbukkan egy kis árnyalat – nem tudjuk, hogy \(n\). Más szóval, nem tudjuk, hány kifejezést kell hozzáadni. Hogyan lehet megtudni? Gondolkozzunk. Ha az első pozitív elemhez érünk, akkor abbahagyjuk az elemek hozzáadását. Vagyis meg kell találnia ennek az elemnek a számát. Hogyan? Írjuk fel a képletet egy aritmetikai sorozat bármely elemének kiszámításához: \(a_n=a_1+(n-1)d\) esetünkben.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Szükségünk van arra, hogy \(a_n\) nagyobb legyen nullánál. Nézzük meg, mi \(n\) fog történni.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Mínusz egyet áthelyezünk, nem felejtve el táblát váltani
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Számítás...
\(n>65 333…\)		…és kiderül, hogy az első pozitív elem \(66\) lesz. Ennek megfelelően az utolsó negatív értéke \(n=65\). Minden esetre nézzük meg.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Így hozzá kell adnunk az első \(65\) elemeket.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(65)=-630,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Keresse meg a \(26\)-edik és \(42\) elem közötti összeget.
Megoldás:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Ebben a feladatban is meg kell találni az elemek összegét, de nem az elsőtől, hanem a \(26\)-ediktől kezdve. Erre nincs képletünk. Hogyan döntsünk? Egyszerű - a \(26\)-edik és a \(42\)-edik összeg eléréséhez először meg kell találni az \(1\)-edik és a \(42\)-edik összeget, majd ki kell vonni belőle az elsőtől a \(25\)-edikig terjedő összeget (lásd a képet).
	A \(a_1=-33\) progressziónkhoz és a \(d=4\) különbséghez (végül is négyet adunk az előző elemhez, hogy megtaláljuk a következőt). Ennek ismeretében megtaláljuk az első \(42\)-uh elemek összegét.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Most az első \(25\)-edik elem összege.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	És végül kiszámítjuk a választ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Válasz: \(S=1683\).

Az aritmetikai progresszióhoz számos további képlet van, amelyeket ebben a cikkben nem vettünk figyelembe, mivel alacsony gyakorlati hasznosságuk. Azonban könnyen megtalálhatja őket.

Vagy aritmetika - ez egyfajta rendezett numerikus sorozat, amelynek tulajdonságait iskolai algebrai tanfolyamon tanulmányozzák. Ez a cikk részletesen tárgyalja azt a kérdést, hogy hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét.

Mi ez a progresszió?

Mielőtt rátérnénk a kérdés megvitatására (hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét), érdemes megérteni, hogy miről lesz szó.

A valós számok bármely sorozatát, amelyet úgy kapunk, hogy minden előző számból hozzáadunk (kivonunk) valamilyen értéket, algebrai (aritmetikai) progressziónak nevezzük. Ez a definíció a matematika nyelvére lefordítva a következő formát ölti:

Itt az i az a i sorozat elemének sorszáma. Így egyetlen kezdő szám ismeretében könnyedén visszaállíthatja a teljes sorozatot. A képletben szereplő d paramétert progressziós különbségnek nevezzük.

Könnyen kimutatható, hogy a következő egyenlőség áll fenn a vizsgált számsorra:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Azaz az n-edik elem értékének sorrendben történő megtalálásához adjuk hozzá a d különbséget az első a elemhez 1 n-1-szer.

Mennyi egy számtani progresszió összege: képlet

Mielőtt megadná a képletet a feltüntetett mennyiségre, érdemes megfontolni egy egyszerű speciális esetet. Adott a természetes számok progressziója 1-től 10-ig, meg kell találnia az összegüket. Mivel kevés tag van a (10) progresszióban, lehetséges a probléma eleve megoldása, azaz az összes elem sorrendben történő összegzése.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Érdemes megfontolni egy érdekes dolgot: mivel minden tag ugyanazzal a d \u003d 1 értékkel különbözik a következőtől, akkor az első páronkénti összegzése a tizeddel, a második a kilenceddel és így tovább ugyanazt az eredményt adja. Igazán:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Amint látja, ebből az összegből csak 5 van, vagyis pontosan kétszer kevesebb, mint a sorozat elemeinek száma. Ezután megszorozva az összegek számát (5) az egyes összegek eredményével (11), akkor az első példában kapott eredményhez jutunk.

Ha ezeket az argumentumokat általánosítjuk, a következő kifejezést írhatjuk fel:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ez a kifejezés azt mutatja, hogy egyáltalán nem szükséges az összes elemet egy sorban összeadni, elég tudni az első a 1 és az utolsó a n értékét, valamint az n tagok számát.

Úgy gondolják, hogy Gauss akkor gondolt először erre az egyenlőségre, amikor az iskolai tanára által felállított problémára keresett megoldást: az első 100 egész szám összegzésére.

Elemek összege m-től n-ig: képlet

Az elõzõ bekezdésben megadott képlet választ ad arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg az elsõ elemek számtani sorozatának összegét, de a feladatokban gyakran szükséges egy számsort összegezni a haladás közepén. Hogyan kell csinálni?

A kérdés megválaszolásának legegyszerűbb módja a következő példa: legyen szükség az m-től az n-ig terjedő tagok összegének megkeresésére. A probléma megoldásához a progresszió egy adott m-től n-ig terjedő szakaszát új számsorként kell ábrázolni. Ebben az ábrázolásban az a m m-edik tag lesz az első, egy n pedig n-(m-1) lesz számozva. Ebben az esetben az összeg standard képletét alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Példa képletek használatára

Tudva, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat összegét, érdemes megfontolni egy egyszerű példát a fenti képletek használatára.

Az alábbiakban egy numerikus sorozat látható, amelynek tagjainak összegét kell megtalálnia, az 5-től kezdve a 12-ig:

A megadott számok azt jelzik, hogy a d különbség egyenlő 3-mal. Az n-edik elemre vonatkozó kifejezést használva megtalálhatja a progresszió 5. és 12. tagjának értékét. Kiderül:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 = a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Ismerve a vizsgált algebrai progresszió végén lévő számok értékét, és azt is, hogy a sorozat mely számait foglalják el, használhatja az előző bekezdésben kapott összeg képletét. Kap:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Érdemes megjegyezni, hogy ezt az értéket másképpen is megkaphatjuk: először keressük meg az első 12 elem összegét a standard képlet segítségével, majd számítsuk ki az első 4 elem összegét ugyanazzal a képlettel, majd vonjuk ki a másodikat az első összegből.