Išstudijavę stačiųjų trikampių temą, mokiniai dažnai išmeta iš galvos visą informaciją apie juos. Įskaitant tai, kaip rasti hipotenuzą, jau nekalbant apie tai, kas tai yra.

Ir veltui. Nes ateityje stačiakampio įstrižainė pasirodys būtent ši hipotenuzė, ir ją reikia rasti. Arba apskritimo skersmuo sutampa su didžiausia trikampio kraštine, kurios vienas iš kampų yra tiesus. Ir be šių žinių jo neįmanoma rasti.

Yra keletas būdų, kaip rasti trikampio hipotenuzę. Metodo pasirinkimas priklauso nuo pradinių duomenų rinkinio kiekių uždavinyje.

1 metodas: suteikiamos abi kojos

Šis metodas yra įsimintiniausias, nes jame naudojama Pitagoro teorema. Tik kartais mokiniai pamiršta, kad ši formulė yra hipotenuzės kvadratas. Taigi, norėdami rasti pačią pusę, turėsite paimti kvadratinę šaknį. Todėl hipotenuzės formulė, kuri paprastai žymima raide „c“, atrodys taip:

c = √ (a 2 + a 2), kur raidės "a" ir "b" parašytos abi stačiojo trikampio kojos.

2 metodas: žinoma kojelė ir kampas, esantis šalia jos

Norėdami sužinoti, kaip rasti hipotenuzą, turite atsiminti trigonometrines funkcijas. Būtent kosinusas. Patogumui manysime, kad kojelė "a" ir greta jos esantis kampas α yra pateikti.

Dabar turime prisiminti, kad stačiojo trikampio kampo kosinusas yra lygus abiejų kraštinių santykiui. Skaitiklis bus kojos reikšmė, o vardiklis bus hipotenuzė. Iš to išplaukia, kad pastarąjį galima apskaičiuoti pagal formulę:

c = a / cos α.

3 metodas: atsižvelgiant į koją ir kampą, esantį priešais ją

Kad nesusipainiotumėte formulėse, įvedame šio kampo žymėjimą - β, o šoną paliekame kaip "a". Šiuo atveju reikalinga kita trigonometrinė funkcija – sinusas.

Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, sinusas yra lygus kojos ir hipotenuzės santykiui. Šio metodo formulė atrodo taip:

c \u003d a / sin β.

Kad nesusipainiotumėte trigonometrinėse funkcijose, galite prisiminti paprastą mnemoninę taisyklę: jei iškilo problema klausime o pr apie priešingame kampe, tuomet reikia naudoti su ir nous if - oh pr ir meluoti, tada į apie sinusas. Atkreipkite dėmesį į pirmąsias balses raktinius žodžius. Jie sudaro poras oi ir arba ir apie.

4 metodas: išilgai apibrėžto apskritimo spindulio

Dabar, norėdami sužinoti, kaip rasti hipotenuzą, turite prisiminti apskritimo savybę, kuri aprašyta aplink stačiakampį trikampį. Jis rašomas taip. Apskritimo centras sutampa su hipotenuzės vidurio tašku. Kitaip tariant, ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė yra lygi apskritimo įstrižai. Tai yra dvigubas spindulys. Šios užduoties formulė atrodytų taip:

c = 2 * r, kur r žymi žinomą spindulį.

Tai viskas galimi būdai kaip rasti stačiojo trikampio hipotenuzę. Kiekvienoje konkrečioje užduotyje turite naudoti metodą, kuris labiau tinka duomenų rinkiniui.

1 užduoties pavyzdys

Būklė: in taisyklingas trikampis buvo nubrėžtos abiejų kojų medianos. Nutraukto ilgis didesnė pusė, yra lygus √52. Kitos medianos ilgis yra √73. Turite apskaičiuoti hipotenuzę.

Kadangi medianos nubrėžtos trikampyje, jos padalija kojeles į du lygius segmentus. Kad būtų patogiau samprotauti ir sužinoti, kaip rasti hipotenuzą, turite įvesti keletą žymėjimų. Tegul abi didesnės kojos pusės būna pažymėtos raide „x“, o kita – „y“.

Dabar turime apsvarstyti du stačiakampius trikampius, kurių hipotenzės yra žinomos medianos. Jiems reikia du kartus užrašyti Pitagoro teoremos formulę:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Šios dvi lygtys sudaro sistemą su dviem nežinomaisiais. Jas išsprendus, iš jų bus nesunku rasti pradinio trikampio kojeles ir jo hipotenuzę.

Pirmiausia reikia viską pakelti į antrą laipsnį. Paaiškėja:

4 m. 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Iš antrosios lygties matyti, kad y 2 \u003d 73 - 4x 2. Ši išraiška turi būti pakeista į pirmąją ir apskaičiuoti "x":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Po konvertavimo:

292 – 16 x 2 + x 2 \u003d 52 arba 15 x 2 = 240.

Iš paskutinės išraiškos x = √16 = 4.

Dabar galite apskaičiuoti "y":

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 = 73 - 64 \u003d 9.

Pagal sąlygą paaiškėja, kad pradinio trikampio kojos yra 6 ir 8. Taigi, galite naudoti pirmojo metodo formulę ir rasti hipotenuzę:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Atsakymas: hipotenuzė yra 10.

2 užduoties pavyzdys

Sąlyga: apskaičiuokite įstrižainę, nubrėžtą stačiakampyje, kurio mažesnė kraštinė lygi 41. Jei žinoma, kad ji padalija kampą į tuos, kurie yra susiję kaip 2 su 1.

Šiame uždavinyje stačiakampio įstrižainė yra ilgiausia 90º trikampio kraštinė. Taigi viskas priklauso nuo to, kaip rasti hipotenuzą.

Problema yra dėl kampų. Tai reiškia, kad turėsite naudoti vieną iš formulių, kuriose yra trigonometrinių funkcijų. Ir pirmiausia turite nustatyti vieno iš aštrių kampų vertę.

Tegu mažesnisis iš sąlygoje nurodytų kampų pažymimas α. Tada stačias kampas, padalintas iš įstrižainės, bus lygus 3α. Matematinė žyma atrodo taip:

Iš šios lygties nesunku nustatyti α. Jis bus lygus 30º. Be to, jis bus priešais mažesnę stačiakampio pusę. Todėl reikės formulės, aprašytos metode Nr.3.

Hipotenuzė yra lygi kojos ir priešingo kampo sinuso santykiui, tai yra:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Atsakymas: hipotenuzė yra 82.

„Ir jie mums sako, kad koja trumpesnė už hipotenuzą...“ Šios eilutės yra iš garsios dainos, skambėjusios vaidybinis filmas„Elektronikos nuotykiai“ iš tikrųjų yra teisingi Euklido geometrijoje. Galų gale, kojos yra dvi pusės, kurios sudaro kampą, kurio laipsnio matas yra 90 laipsnių. O hipotenuzė yra ilgiausia „ištempta“ pusė, jungianti dvi kojas statmenai viena kitai, ir yra priešais stačią kampą. Štai kodėl hipotenuzą išilgai kojų galima rasti tik stačiakampiame trikampyje, o jei koja būtų ilgesnė už hipotenuzą, tada tokio trikampio nebūtų.

Kaip rasti hipotenuzą naudojant Pitagoro teoremą, jei žinomos abi kojos

Teorema sako, kad hipotenuzės kvadratas yra ne kas kita, kaip kojų kvadratų suma: x^2+y^2=z^2, kur:

• x - pirmoji koja;
• y - antra koja;
• z yra hipotenuzė.

Bet jums tereikia rasti hipotenuzą, o ne jos kvadratą. Norėdami tai padaryti, ištraukite šaknį.

Hipotenuzės radimo pagal dvi žinomas kojeles algoritmas:

• Nurodykite sau, kur yra kojos, o kur hipotenuzė.
• Pirmosios kojos kvadratas.
• Antrą koją kvadratu.
• Sudėkite gautas vertes.
• Paimkite 4 veiksme gauto skaičiaus šaknį.

Kaip rasti hipotenuzą per sinusą, jei žinoma koja ir smailusis kampas, esantis prieš ją

Požiūris garsioji kojaį smailų kampą, esantį priešais jį, yra lygus hipotenuzės vertei: a / sin A \u003d c. Tai yra sinuso apibrėžimo pasekmė:

Priešingos kojos ir hipotenuzės santykis: sin A \u003d a / c, kur:

• a - pirmoji koja;
• A yra smailusis kampas, priešingas kojai;
• c yra hipotenuzė.

Hipotenuzės suradimo algoritmas naudojant sinuso teoremą:

• Pažymėkite žinomą koją ir priešingą kampą.
• Padalinkite koją į priešingą kampą.
• Gaukite hipotenuzę.

Kaip rasti hipotenuzą per kosinusą, jei žinoma koja ir šalia jos esantis smailusis kampas

Žinomos kojos ir ūmaus įtraukimo kampo santykis yra lygus hipotenuzės a/cos B = c reikšmei. Tai yra kosinuso apibrėžimo pasekmė: gretimos kojos ir hipotenuzės santykis: cos B \u003d a / s, kur:

• a - antroji koja;
• B yra smailusis kampas, esantis greta antrosios kojos;
• c yra hipotenuzė.

Hipotenuzės suradimo algoritmas naudojant kosinuso teoremą:

• Pažymėkite žinomą koją ir kampą šalia jos.
• Padalinkite koją į gretimą kampą.
• Gaukite hipotenuzę.

Kaip rasti hipotenuzą naudojant „Egipto trikampį“

„Egipto trikampis“ – tai skaičių trijulė, kurią žinant galima sutaupyti laiko, ieškant hipotenuzos ar net kitos nežinomos kojos. Trikampis turi tokį pavadinimą, nes Egipte kai kurie skaičiai simbolizavo dievus ir buvo piramidžių bei kitų įvairių konstrukcijų statybos pagrindas.

• Pirmoji skaičių trijulė: 3-4-5. Kojos čia lygios 3 ir 4. Tada hipotenuzė būtinai bus lygi 5. Patikrinkite: (9 + 16 = 25).
• Antrasis skaičių trigubas: 5-12-13. Čia taip pat kojos yra 5 ir 12. Todėl hipotenuzė bus 13. Patikrinkite: (25+144=169).

Tokie skaičiai padeda net tada, kai jie dalinami arba padauginami iš kokio nors vieno skaičiaus. Jei kojos yra 3 ir 4, tada hipotenuzė bus 5. Jei padauginsite šiuos skaičius iš 2, hipotenuzė bus padauginta iš 2. Pavyzdžiui, skaičių trigubas 6-8-10 tiks ir Pitagoro teoremai. ir jūs negalite apskaičiuoti hipotenuzės, jei įsimenate šiuos skaičių tripletus.



Taigi yra 4 būdai, kaip rasti hipotenuzą naudojant žinomas kojas. daugiausia geriausias variantas yra Pitagoro teorema, tačiau taip pat nepakenktų prisiminti skaičių trejetus, sudarančius „Egipto trikampį“, nes susidūrę su tokiomis reikšmėmis galite sutaupyti daug laiko.

Pačioje pradžioje primename, kad trikampis yra daugiakampis, turintis 3 kampus. Kaip rasti stačiojo trikampio hipotenuzę, jei žinomi kiti trikampio matmenys?

Instrukcija

1. Kojų ilgiai žinomi. AT Ši byla, hipotenuzė gali būti apskaičiuota naudojant Pitagoro teoremą. Ši teorema skamba taip: kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui. Iš to išplaukia, kad norint apskaičiuoti hipotenuzės ilgį, reikia paeiliui kvadratuoti kiekvienos kojos vertę. Tada pridėkite gautus skaičius ir iš bendras rezultatas jau ištraukite kvadratinę šaknį.
2. Kaip rasti hipotenuzą trikampyje KFB, jei žinoma kojelė (VC) ir kampas, esantis šalia jos? Žinomą kampą žymime α. Viena iš stačiojo trikampio savybių yra tokia: stačiojo trikampio kojos ilgio ir hipotenuzės ilgio santykis yra lygus kampo tarp hipotenuzės ir šios kojos kosinusui. Tai galima parašyti taip: FB=BK*cos(α).
3. Kita kojelė (KF) žinoma ir tas pats kampas α, dabar jis bus priešingas. Hipotenuzę taip pat galima rasti taikant tas pačias stačiojo trikampio savybes. Čia gauname, kad stačiojo trikampio kojos ilgio ir jo hipotenuzės ilgio santykis yra lygus kampo, esančio priešais koją, sinusui. Užrašome: FB=KF*sin(α).
4. Kaip rasti trikampio hipotenuzę, jei aplink jį aprašytas apskritimas, kurio spindulys žinomas. Iš apskritimo, kuris yra apibrėžtas aplink stačiakampį trikampį, savybių žinoma, kad tokio apskritimo centras sutampa su hipotenuzės tašku, kuris dalija jį pusiau. Kitaip tariant, spindulys yra lygus pusei hipotenuzės. O tai reiškia, kad hipotenuzą sudaro du spinduliai: FB=2*R.

Žinant stačiojo trikampio savybes ir Pitagoro teoremą, labai lengva apskaičiuoti hipotenuzės ilgį. Jei vis tiek sunku atsiminti visas savybes, tiesiog išmokite paruoštų formulių, kurias labai lengva pakeisti žinomos vertės hipotenuzės ilgiui apskaičiuoti.

Instrukcija

Jei reikia skaičiuoti pagal Pitagoro teoremą, naudokite tokį algoritmą: - Trikampyje nustatykite, kurios kraštinės yra kojos, o kurios - hipotenuzė. Dvi pusės, sudarančios devyniasdešimties laipsnių kampą, yra kojos, likęs trečdalis yra hipotenuzė. (cm) - Pakelkite kiekvieną šio trikampio koją į antrą laipsnį, tai yra, padauginkite iš savęs. Pavyzdys 1. Tegul reikia apskaičiuoti hipotenuzą, jei viena trikampio kojelė yra 12 cm, o kita - 5 cm. Pirma, kojų kvadratai yra: 12 * 12 = 144 cm ir 5 * 5 = 25 cm. - Tada nustatykite kojelių kvadratų sumą. Tam tikras skaičius yra hipotenuzė, jums reikia atsikratyti antrosios skaičiaus laipsnio, kad rastumėte ilgioši trikampio pusė. Norėdami tai padaryti, iš po kvadratinės šaknies ištraukite kojų kvadratų sumos vertę. 1 pavyzdys. 144+25=169. 169 kvadratinė šaknis bus 13. Todėl šio ilgis hipotenuzė lygus 13 cm.

Kitas būdas apskaičiuoti ilgį hipotenuzė slypi trikampio sinuso ir kampų terminologijoje. Pagal apibrėžimą: priešingos kojos kampo alfa sinusas su hipotenuze. Tai yra, pažvelgus į paveikslą, nuodėmės \u003d CB / AB. Vadinasi, hipotenuzė AB \u003d CB / sin a. 2 pavyzdys Tegul kampas yra 30 laipsnių, o priešinga koja - 4 cm. Reikia rasti hipotenuzą. Sprendimas: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Atsakymas: ilgis hipotenuzė lygus 8 cm.

Panašus būdas rasti hipotenuzė nuo kampo kosinuso apibrėžimo. Kampo kosinusas yra šalia jo esančios kojos santykis ir hipotenuzė. Tai yra, cos a \u003d AC / AB, taigi AB \u003d AC / cos a. 3 pavyzdys Trikampyje ABC AB yra hipotenuzė, kampas BAC yra 60 laipsnių, kojelė AC yra 2 cm Raskite AB.
Sprendimas: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm Atsakymas: hipotenuzė yra 4 cm ilgio.

Naudingi patarimai

Surasdami kampo sinuso arba kosinuso reikšmę, naudokite sinusų ir kosinusų lentelę arba Bradis lentelę.

2 patarimas: kaip rasti hipotenuzės ilgį stačiakampiame trikampyje

Hipotenuzė vadinama ilgiausia iš stačiojo trikampio kraštinių, todėl nenuostabu, kad su graikųŠis žodis išverstas kaip „ištemptas“. Ši pusė visada yra priešais 90° kampą, o pusės, sudarančios šį kampą, vadinamos kojomis. Žinant šių kraštinių ilgius ir smailiųjų kampų dydžius įvairiose šių reikšmių kombinacijose, galima apskaičiuoti ir hipotenuzės ilgį.

Instrukcija

Jei žinomi abiejų trikampių (A ir B) ilgiai, naudokite hipotenuzės (C) ilgius, bene žinomiausią matematinį postulatą – Pitagoro teoremą. Jame sakoma, kad hipotenuzės ilgio kvadratas yra kojų ilgių kvadratų suma, iš kurios išplaukia, kad turėtumėte apskaičiuoti dviejų kraštinių kvadratų ilgių sumos šaknį: C \u003d √ (A² + B²). Pavyzdžiui, jei vienos kojos ilgis yra 15 ir - 10 centimetrų, hipotenuzės ilgis bus maždaug 18,0277564 centimetro, nes √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) √ (225 + 100) √ (225 + 100) √ 215 ∉ 740 \u003d . .

Jei žinomas tik vienos iš stačiakampio kojelių (A) ilgis, taip pat kampo, esančio priešais jį, reikšmė (α), tada hipotenuzės ilgį (C) galima nustatyti naudojant vieną iš trigonometrinių funkcijos – sinusas. Norėdami tai padaryti, žinomos kraštinės ilgį padalinkite iš žinomo kampo sinuso: C=A/sin(α). Pavyzdžiui, jei vienos iš kojų ilgis yra 15 centimetrų, o kampas priešingoje trikampio viršūnėje yra 30 °, tada hipotenuzės ilgis bus 30 centimetrų, nes 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Jei stačiakampiame trikampyje žinoma vieno iš smailiųjų kampų reikšmė (α) ir gretimos kojos ilgis (B), tai hipotenuzės ilgiui apskaičiuoti galima naudoti kitą trigonometrinę funkciją – kosinusą. ). Žinomos kojos ilgį reikia padalyti iš žinomo kampo kosinuso: С=В/ cos(α). Pavyzdžiui, jei šios kojos ilgis yra 15 centimetrų, o greta jos esančio smailiojo kampo vertė yra 30 °, hipotenuzės ilgis bus maždaug 17,3205081 centimetro, nes 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0,5 * √3)=30/√3≈17,3205081.

Ilgis yra atstumas tarp dviejų taškų atkarpoje. Tai gali būti tiesi, laužyta arba uždara linija. Ilgį galite apskaičiuoti gana paprastai, jei žinote kitus segmento rodiklius.

Instrukcija

Jei reikia rasti kvadrato kraštinės ilgį, tai to nebus, jei žinosite jo plotą S. Kadangi visos kvadrato kraštinės turi , vienos iš jų vertę galite apskaičiuoti naudodami formulę : a = √S.

Kaip žinote, geometrija yra sudėtingas mokslas, reikalaujantis ypatingo tikslumo ir tikslumo sprendžiant problemas. Daugelis posakių ir formulių, kuriuos vėliau naudojame sudėtingesniuose skaičiavimuose, yra išdėstyti 6–7 klasių matematikos vadovėliuose. Kad trigonometrinių funkcijų mokymosi procesas būtų lengvesnis ir malonesnis, šiame straipsnyje apžvelgsime kelis trumpus stačiojo trikampio hipotenuzės skaičiavimo būdus.

Kaip rasti hipotenuzę ant kojų?

Prisiminkime nedidelę teoriją: stačiakampis trikampis yra plokščia figūra, turinti tris kampus. Vieno iš jų vertė yra 90º, o šonai vadinami kojomis ir hipotenuze. Pusė, kuri yra priešinga stačiu kampu, yra hipotenuzė, o kitos dvi yra gretimos kojos. Pagrindinis šalių žaidimas pasireiškia Pitagoro teorema, pagal kurią hipotenuzė yra lygi kojų kvadratų sumai. Tačiau tai atrodo tik painu, nes iš tikrųjų viskas yra daug paprasčiau.

Geometrinės figūros savybės

Prieš surasdami trikampio hipotenuzę, turite išsiaiškinti, kokias savybes turi ši figūra. Panagrinėkime pagrindinius:

1. Stačiakampiame trikampyje abu smailieji kampai sudaro 90º.
2. Koja, esanti priešais 30º kampą, bus lygi ½ hipotenuzės.
3. Jei kojelė yra lygi ½ hipotenuzės vertės, tada antrasis kampas turės tokią pačią reikšmę - 30º.

Yra keletas būdų, kaip rasti hipotenuzą stačiakampiame trikampyje. daugiausia paprastas sprendimas yra skaičiavimas per kojas. Tarkime, kad žinote kraštinių A ir B kojelių reikšmes. Tada į pagalbą ateina Pitagoro teorema, kuri sako, kad jei kiekvieną kojos reikšmę padėsime kvadratu ir susumasime gautus duomenis, išsiaiškinsime, kokia yra hipotenuzė. yra. Taigi, mums tereikia išgauti kvadratinės šaknies reikšmę:

Pavyzdžiui, jei koja A = 3 cm, o koja B = 4 cm, tada skaičiavimas atrodytų taip:

Kaip rasti hipotenuzę per kampą?

Kitas būdas išsiaiškinti, kam lygi stačiojo trikampio hipotenuzė, yra apskaičiuoti per nurodytą kampą. Norėdami tai padaryti, turime išvesti vertę pagal sinuso formulę. Tarkime, žinome kojos reikšmę (A) ir priešingo kampo reikšmę (α). Tada visas sprendimas yra vienoje formulėje: С=А/sin(α).

Pavyzdžiui, jei kojos ilgis yra 40 cm, o kampas yra 45°, tada hipotenuzės ilgį galima nustatyti taip:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Taip pat galite nustatyti norimą vertę per tam tikro kampo kosinusą. Tarkime, kad žinome vienos kojos (B) ir smailiojo įtraukimo kampo (α) reikšmę. Tada uždaviniui išspręsti reikia vienos formulės: С=В/ cos(α).

Pavyzdžiui, jei kojos ilgis yra 50 cm, o kampas yra 45 °, hipotenuzą galima apskaičiuoti taip:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Taigi, mes išnagrinėjome pagrindinius būdus, kaip sužinoti hipotenuzą trikampyje. Sprendžiant užduotį svarbu sutelkti dėmesį į turimus duomenis, tada rasti nežinomą reikšmę bus gana paprasta. Reikia žinoti vos porą formulių ir problemų sprendimo procesas taps paprastas ir malonus.