Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.
Формули площі трикутника
- Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти - Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
- Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола. де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,
Формули площі квадрата
- Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони. - Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.S = 1 2 2 де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.
Формула площі прямокутника
- Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.
Формули площі паралелограма
- Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма - Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.a · b · sin α
де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.
Формули площі ромба
- Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти. - Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба. - Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.
Формули площі трапеції
- Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,
Площа паралелограма
Теорема 1
Площа паралелограма визначається як добуток довжини його боку на висоту, проведену до неї.
де $a$ сторона паралелограма $h$ - висота, проведена до цієї сторони.
Доведення.
Нехай нам дано паралелограм $ABCD$, який має $AD=BC=a$. Проведемо висоти $DF$ та $AE$ (рис. 1).
Малюнок 1.
Очевидно, що фігура $ FDAE $ - Прямокутник.
\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 = (90) ^ 0- \ angle A = \ angle BAE \]
Отже, так як $ CD = AB, DF = AE = h $, за $ I $ ознакою рівності трикутників $ triangle BAE = triangle CDF $. Тоді
Значить по теоремі про площу прямокутника:
Теорему доведено.
Теорема 2
Площа паралелограма визначається як добуток довжини суміжних сторін, на синус кута між цими сторонами.
Математично це можна записати в такий спосіб
де $a, \ b $ сторони паралелограма, $ \ alpha $ - Кут між ними.
Доведення.
Нехай нам дано паралелограм $ABCD$, у якого $BC = a, CD = b, angle C = alpha $. Проведемо висоту $DF=h$ (рис. 2).
Малюнок 2.
За визначенням синуса, отримаємо
Отже
Отже, за теоремою $1$:
Теорему доведено.
Площа трикутника
Теорема 3
Площа трикутника окреслюється половина добутку довжини його боку, на висоту, проведену до неї.
Математично це можна записати в такий спосіб
де $a$ сторона трикутника $h$ - висота, проведена до цієї сторони.
Доведення.
Малюнок 3.
Значить за теоремою $1$:
Теорему доведено.
Теорема 4
Площа трикутника окреслюється половина добутку довжини його суміжних сторін, на синус кута між цими сторонами.
Математично це можна записати в такий спосіб
де $a, \ b $ сторони трикутника, $ \ alpha $ - Кут між ними.
Доведення.
Нехай нам дано трикутник $ABC$, який має $AB=a$. Проведемо висоту $CH=h$. Добудуємо його до паралелограма $ABCD$ (рис. 3).
Вочевидь, що за $I$ ознакою рівності трикутників $triangle ACB=triangle CDB$. Тоді
Значить за теоремою $1$:
Теорему доведено.
Площа трапеції
Теорема 5
Площа трапеції окреслюється половина добутку суми довжин його підстав, з його висоту.
Математично це можна записати в такий спосіб
Доведення.
Нехай нам дана трапеція $ABCK$, де $AK=a,\BC=b$. Проведемо у ній висоти $BM=h$ і $KP=h$, і навіть діагональ $BK$ (рис. 4).
Малюнок 4.
За теоремою $3$, отримаємо
Теорему доведено.
Приклад завдання
Приклад 1
Знайти площу рівностороннього трикутника, якщо довжина його сторони дорівнює $a.$
Рішення.
Оскільки трикутник рівносторонній, всі його кути дорівнюють $(60)^0$.
Тоді, за теоремою $4$, маємо
Відповідь:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.
Зауважимо, що результат цього завдання можна застосовувати під час знаходження площі будь-якого рівностороннього трикутника з даною стороною.
Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.
Вконтакте
Визначення паралелограма
Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.
Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.
Увага!Квадрат, ромб і прямокутник - це окремі випадки паралелограма.
Сторони та кути: особливості співвідношення
Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:
- Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
- Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.
Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).
Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.
Характеристики діагоналей фігури
Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.
Доказ: нехай т. е. - Це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.
AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.
За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.
Особливості суміжних кутів
У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 °, оскільки вони лежать по один бік паралельних ліній та січній. Для чотирикутника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Властивості бісектриси:
- опущені на один бік, є перпендикулярними;
- протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
- трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.
Визначення характерних рис паралелограма з теореми
Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить наступне: чотирикутник вважається паралелограмому тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.
Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.
Обчислення площі фігури
Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.
Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само, як і прямокутника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:
Інші способи знаходження площі
Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.
,
Sпр-ма – площа;
a та b - його сторони
α - кут між відрізками a та b.
Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого перебувають тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.
Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.
Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.
Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:
.
Застосування у векторній алгебрі
Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.
Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .
Формули для обчислення параметрів паралелограма
Тотожності наведені за таких умов:
- a і b, α - сторони та кут між ними;
- d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
- h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;
| Параметр | Формула |
| Знаходження сторін | |
| по діагоналях і косинус кута між ними | 
|
| по діагоналях та стороні | 
|
| через висоту та протилежну вершину | |
| Знаходження довжини діагоналей | |
| по сторонах та величині вершини між ними | |
| з боків та однієї з діагоналей | 
ВисновокПаралелограм як одна з ключових фігур геометрії знаходить застосування у житті, наприклад, у будівництві при підрахунку площі ділянки або інших вимірів. Тому знання про відмітні ознаки та способи обчислення різних його параметрів можуть стати в нагоді в будь-який момент життя. |
Паралелограм - геометрична фігура, що часто зустрічається в задачах курсу геометрії (розділ планіметрії). Ключовими ознаками даного чотирикутника є рівність кутів протилежних і наявність двох пар паралельних протилежних сторін. Окремі випадки паралелограма – ромб, прямокутник, квадрат.
Розрахунок площі даного виду багатокутника може бути здійснений декількома способами. Розглянемо кожен із них.
Знайти площу паралелограма, якщо відомі сторона та висота
Для обчислення площі паралелограма можна скористатися значеннями сторони, а також довжини висоти, опущеної на неї. При цьому отримані дані будуть достовірними як для випадку відомої сторони – підстави фігури, так і якщо у вашому розпорядженні бічна сторона фігури. У такому разі шукана величина буде отримана за формулою:
S = a * h (a) = b * h (b),
- S – площа, яку слід визначити,
- a, b – відома (або отримана шляхом обчислень) сторона,
- h – висота, опущена неї.
Приклад: значення основи паралелограма – 7 см, довжина перпендикуляра, опущеного на нього з протилежної вершини – 3 см.
Рішення: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Знайти площу паралелограма, якщо відомі 2 сторони та кут між ними
Розглянемо випадок, коли ви знаєте величини двох сторін фігури, а також градусний захід кута, який вони між собою утворюють. Наданими даними також можна скористатися для знаходження площі паралелограма. У цьому випадку вираз-формула матиме такий вигляд:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a – бічна сторона,
- с – відома (або отримана шляхом обчислень) підстава,
- α, β – кути між сторонами a та c.
Приклад: основа паралелограма – 10 см, його бічна сторона на 4 см менша. Тупий кут фігури становить 135 °.
Рішення: визначаємо значення другої сторони: 10 - 4 = 6 см.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135 ° = 60 * sin (90 ° + 45 °) = 60 * cos45 ° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Знайти площу паралелограма, якщо відомі діагоналі та кут між ними
Наявність відомих значень діагоналей даного багатокутника, а також кута, який вони утворюють в результаті перетину, дозволяє визначити величину площі фігури.
S = (d1 * d2) / 2 * sinγ,
S = (d1 * d2) / 2 * sinφ,
S – площа, яку слід визначити,
d1, d2 – відомі (або отримані шляхом обчислень) діагоналі,
γ, φ – кути між діагоналями d1 та d2.
Визначення паралелограма
Паралелограм- це чотирикутник, у якому протилежні сторони рівні та паралельні.
Онлайн-калькулятор
Паралелограм має деякі корисні властивості, які спрощують вирішення завдань, пов'язаних з цією фігурою. Наприклад, одна з властивостей у тому, що протилежні кути паралелограма рівні.
Розглянемо кілька способів і формул з наступним розв'язуванням простих прикладів.
Формула площі паралелограма на основі і висоті
Даний спосіб знаходження площі є, напевно, одним з основних і простих, оскільки він практично ідентичний формулі знаходження площі трикутника за невеликим винятком. Спочатку розберемо узагальнений випадок без використання чисел.
Нехай дано довільний паралелограм з основою a a a, бічною стороною b b bта заввишки h h h, проведеної до нашої основи. Тоді формула для площі цього паралелограма:
S = a ⋅ h S = a \ cdot h S =a ⋅h
A a a- основа;
h h h- Висота.
Розберемо одне легке завдання, щоб потренуватися у вирішенні типових завдань.
прикладЗнайти площу паралелограма, в якому відома основа, що дорівнює 10 (див.) і висота, що дорівнює 5 (див.).
Рішення
A = 10 a = 10 a =1
0
h = 5 h = 5 h =5
Підставляємо у нашу формулу. Отримуємо:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S = 10 5 = 50S =1
0
⋅
5
=
5
0
(Див. кв.)
Відповідь: 50 (див. кв)
Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
В цьому випадку шукана величина знаходиться так:
S = a ⋅ b ⋅ sin (α) S = a cdot b cdot sin ( alfa)S =a ⋅b ⋅sin (α)
A, b a, b a, b- Сторони паралелограма;
α \alpha α
- кут між сторонами a a aі b b b.
Тепер розв'яжемо інший приклад і скористаємося вищеописаною формулою.
прикладЗнайти площу паралелограма якщо відома сторона a a a, що є основою та з довжиною 20 (див.) і периметр p p p, чисельно рівний 100 (див.), кут між суміжними сторонами ( a a aі b b b) дорівнює 30 градусам.
Рішення
A = 20 a = 20 a =2
0
p = 100 p = 100 p =1
0
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Для знаходження відповіді нам невідома лише друга сторона цього чотирикутника. Знайдемо її. Периметр паралелограма надається формулою:
p=a+a+b+b p=a+a+b+b p =a +a +b +b
100 = 20 + 20 + b + b 100 = 20 +20 + b + b1
0
0
=
2
0
+
2
0
+
b +b
100 = 40 + 2 b 100 = 40 +2b 1
0
0
=
4
0
+
2 b
60 = 2 b 60 = 2b 6
0
=
2 b
b = 30 b = 30 b =3
0
Найскладніше позаду, залишилося тільки підставити наші значення для сторін та кута між ними:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S =2
0
⋅
3
0
⋅
sin (3 0
∘
)
=
3
0
0
(Див. кв.)
Відповідь: 300 (див. кв.)
Формула площі паралелограма за діагоналями та кутом між ними
S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S =2 1 ⋅ D ⋅d ⋅sin (α)
D D D- велика діагональ;
d d d- мала діагональ;
α \alpha α
- Гострий кут між діагоналями.
Дано діагоналі паралелограма, рівні 10 (див.) і 5 (див.). Кут між ними 30 градусів. Обчислити його площу.
Рішення
D = 10 D = 10 D =1
0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5S =2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (Див. кв.)
