تأمل في مثال: حل المتباينة (0.5) (7 - 3 * x)< 4.

لاحظ أن 4 = (0.5) 2. ثم تأخذ المتباينة الشكل (0.5) (7 - 3 * x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 أقل من واحدومن ثم فهو يتناقص. في هذه الحالة ، تحتاج إلى تغيير علامة عدم المساواة وعدم كتابة المؤشرات فقط.

نحصل على: 7 - 3 * x> -2.

من هنا: x<3.

الجواب: x<3.

إذا كانت القاعدة في المتباينة أكبر من واحد ، فعند التخلص من القاعدة ، لا يلزم تغيير علامة عدم المساواة.

المعادلات الأسية وعدم المساواة هي تلك المعادلات والمتباينات التي فيها المجهول موجود في الأس.

غالبًا ما ينتهي حل المعادلات الأسية إلى حل المعادلة أ س \ u003d أ ب ، حيث أ> 0 ، أ ≠ 1 ، س غير معروف. تحتوي هذه المعادلة على جذر واحد x \ u003d b ، حيث أن النظرية التالية صحيحة:

نظرية. إذا كانت a> 0 و a 1 و a x 1 = a x 2 ، فإن x 1 = x 2.

دعونا نبرر التأكيد المدروس.

افترض أن المساواة x 1 = x 2 غير راضية ، أي × 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 ، ثم الدالة الأسية y \ u003d a x تزيد وبالتالي المتباينة a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >أ × 2. في كلتا الحالتين ، حصلنا على تناقض مع الشرط أ س 1 = أ س 2.

لنأخذ في الاعتبار عدة مهام.

حل المعادلة ٤ ٢ س = ١.

حل.

نكتب المعادلة بالصيغة 2 2 ∙ 2 x = 2 0-2 x + 2 = 2 0 س = -2.

إجابة. س = -2.

حل المعادلة ٢ ٣ س ∙ ٣ س = ٥٧٦.

حل.

بما أن 2 3x \ u003d (2 3) x \ u003d 8 x، 576 \ u003d 24 2 ، يمكن كتابة المعادلة بالصيغة 8 x ∙ 3 x \ u003d 24 2 أو في الشكل 24 x \ u003d 24 2.

من هنا نحصل على x = 2.

إجابة. س = 2.

حل المعادلة 3 س + 1 - 2 ∙ 3 ​​س - 2 = 25.

حل.

عند وضع أقواس للعامل المشترك 3 × - 2 على الجانب الأيسر ، نحصل على 3 × - 2 ∙ (3 3-2) \ u003d 25-3 × - 2 25 \ u003d 25 ،

من أين 3 × - 2 = 1 ، أي س - 2 = 0 ، س = 2.

إجابة. س = 2.

حل المعادلة 3 س = 7 س.

حل.

بما أن 7 × 0 ، يمكن كتابة المعادلة على أنها 3 س / 7 س = 1 ، وبالتالي (3/7) س = 1 ، س = 0.

إجابة. س = 0.

حل المعادلة 9 س - 4 ∙ 3 س - 45 = 0.

حل.

بالتعويض عن 3 س = أ ، تقل هذه المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانيةو2-4 أ - 45 = 0.

لحل هذه المعادلة ، نجد جذورها: 1 \ u003d 9 ، و 2 \ u003d -5 ، من حيث 3 × \ u003d 9 ، 3 × \ u003d -5.

المعادلة 3 س \ u003d 9 لها جذر 2 ، والمعادلة 3 س \ u003d -5 ليس لها جذور ، لأن الدالة الأسية لا يمكن أن تأخذ قيمًا سالبة.

إجابة. س = 2.

غالبًا ما ينتهي حل المتباينات الأسية إلى حل المتباينات a x> a b أو a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

دعنا نفكر في بعض المهام.

حل المتباينة 3 س< 81.

حل.

نكتب المتباينة بالصورة 3 x< 3 4 . Так как 3 >1 ، ثم الوظيفة y \ u003d 3 x تتزايد.

لذلك ، بالنسبة إلى x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

وهكذا ، بالنسبة لـ x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 ×< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

إجابة. X< 4.

حل المتباينة 16 x +4 x - 2> 0.

حل.

أشر إلى 4 x = t ، ثم نحصل على المتباينة التربيعية t2 + t - 2> 0.

هذه المتباينة تنطبق على t< -2 и при t > 1.

بما أن t = 4 x ، فسنحصل على متباينتين 4 x< -2, 4 х > 1.

لا يوجد حل للمتباينة الأولى ، بما أن 4 x> 0 لجميع x ∈ R.

نكتب المتباينة الثانية بالصيغة 4 x> 4 0 ، حيث x> 0.

إجابة. x> 0.

حل المعادلة بيانياً (1/3) x = x - 2/3.

حل.

1) لنرسم الرسوم البيانية للوظائف y \ u003d (1/3) x و y \ u003d x - 2/3.

2) بناءً على الشكل الخاص بنا ، يمكننا أن نستنتج أن الرسوم البيانية للوظائف المدروسة تتقاطع عند نقطة مع الإحداثي x 1. يثبت التحقق أن

س \ u003d 1 - جذر هذه المعادلة:

(1/3) 1 = 1/3 و1-2/3 = 1/3.

بعبارة أخرى ، وجدنا أحد جذور المعادلة.

3) ابحث عن جذور أخرى أو أثبت عدم وجودها. تتناقص الدالة (1/3) x ، وتتزايد الدالة y \ u003d x - 2/3. لذلك ، بالنسبة إلى x> 1 ، تكون قيم الوظيفة الأولى أقل من 1/3 ، والثانية أكبر من 1/3 ؛ في x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 و x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

إجابة. س = 1.

لاحظ أنه من حل هذه المشكلة ، على وجه الخصوص ، ينتج عن ذلك أن المتباينة (1/3) x> x - 2/3 تتحقق من أجل x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

في هذا الدرس ، سننظر في مختلف المتباينات الأسية ونتعلم كيفية حلها بناءً على طريقة حل أبسط التفاوتات الأسية

1. تعريف وخصائص الدالة الأسية

تذكر التعريف والخصائص الرئيسية للدالة الأسية. يعتمد حل جميع المعادلات الأسية والمتباينات على الخصائص.

دالة أسيةهي دالة في النموذج ، حيث القاعدة هي الدرجة وهنا x متغير مستقل ، وسيطة ؛ y - المتغير التابع ، الوظيفة.

أرز. 1. رسم بياني للدالة الأسية

يُظهر الرسم البياني أسًا متزايدًا ومتناقصًا ، يوضح الدالة الأسية عند قاعدة أكبر من واحد وأقل من واحد ، ولكن أكبر من الصفر ، على التوالي.

يمر كلا المنحنيين عبر النقطة (0 ؛ 1)

خصائص الوظيفة الأسية:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الوظيفة رتيبة ، تزداد كما تنقص.

تأخذ الدالة الرتيبة كل قيمة من قيمها بقيمة واحدة للوسيطة.

عندما تزداد الوسيطة من سالب إلى زائد ما لا نهاية ، تزداد الوظيفة من صفر ، غير شامل ، إلى زائد ما لا نهاية ، أي بالنسبة لقيم معينة من الوسيطة ، لدينا دالة متزايدة بشكل رتيب (). على العكس من ذلك ، عندما تزداد الوسيطة من سالب إلى زائد ما لا نهاية ، تقل الوظيفة من اللانهاية إلى الصفر ، بما في ذلك ، أي بالنسبة لقيم معينة من الوسيطة ، لدينا وظيفة متناقصة بشكل رتيب ().

2. أبسط المتباينات الأسية ، أسلوب الحل ، مثال

بناءً على ما سبق ، نقدم طريقة لحل أبسط التفاوتات الأسية:

طريقة حل عدم المساواة:

معادلة قواعد الدرجات ؛

قارن المؤشرات بالحفظ أو التغيير إلى علامة المعاكسعدم المساواة.

يتمثل حل التفاوتات الأسية المعقدة ، كقاعدة عامة ، في تقليلها إلى أبسط التفاوتات الأسية.

قاعدة الدرجة أكبر من واحد ، مما يعني الحفاظ على علامة عدم المساواة:

لنحول الجانب الأيمن وفقًا لخصائص الدرجة:

قاعدة الدرجة أقل من واحد ، يجب عكس علامة عدم المساواة:

عن الحلول عدم المساواة التربيعيةحل المعادلة التربيعية المقابلة:

من خلال نظرية فييتا ، نجد الجذور:

يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى.

وبالتالي ، لدينا حل لعدم المساواة:

من السهل تخمين أن الجانب الأيمن يمكن تمثيله كقوة ذات أس صفري:

قاعدة الدرجة أكبر من واحد ، وعلامة عدم المساواة لا تتغير ، نحصل على:

استرجع الإجراء لحل مثل هذه التفاوتات.

ضع في اعتبارك دالة كسرية منطقية:

البحث عن مجال التعريف:

نجد جذور الدالة:

الوظيفة لها جذر واحد ،

نحدد فترات ثبات الإشارة ونحدد علامات الوظيفة في كل فترة:

أرز. 2. فترات ثبات الإشارة

لذلك حصلنا على الجواب.

إجابة:

3. حل المتباينات الأسية النموذجية

ضع في اعتبارك المتباينات التي لها نفس الأسس لكن قواعد مختلفة.

تتمثل إحدى خصائص الدالة الأسية في أنها تأخذ قيمًا موجبة تمامًا لأي قيم من الوسيطة ، مما يعني أنه يمكن تقسيمها إلى دالة أسية. دعونا نقسم المتباينة المعطاة على جانبها الأيمن:

قاعدة الدرجة أكبر من واحد ، يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة.

دعنا نوضح الحل:

يوضح الشكل 6.3 الرسوم البيانية للوظائف و. من الواضح أنه عندما تكون الوسيطة أكبر من الصفر ، يكون الرسم البياني للدالة أعلى ، وتكون هذه الوظيفة أكبر. عندما تكون قيم الوسيطة سالبة ، تمر الدالة أدناه ، فهي أقل. إذا كانت قيمة الوسيطة متساوية ، فإن النقطة المعطاة هي أيضًا حل للمتباينة المعطاة.

أرز. 3. التوضيح على سبيل المثال 4

نقوم بتحويل عدم المساواة المعطى وفقًا لخصائص الدرجة:

هنا أعضاء مشابهون:

دعنا نقسم كلا الجزأين إلى:

نواصل الآن الحل بشكل مشابه للمثال 4 ، نقسم كلا الجزأين على:

قاعدة الدرجة أكبر من واحد ، يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة:

4. حل رسومي لعدم المساواة الأسية

مثال 6 - حل المتباينة بيانياً:

ضع في اعتبارك الوظائف الموجودة على الجانبين الأيمن والأيسر وارسم كل منها.

الوظيفة هي الأس ، وهي تزداد على نطاق تعريفها بالكامل ، أي لجميع القيم الحقيقية للوسيطة.

الوظيفة خطية ، تتناقص على نطاق تعريفها بالكامل ، أي لجميع القيم الحقيقية للحجة.

إذا تقاطعت هذه الوظائف ، أي أن النظام لديه حل ، فإن هذا الحل فريد ويمكن تخمينه بسهولة. للقيام بذلك ، كرر على الأعداد الصحيحة ()

من السهل أن نرى أن جذر هذا النظام هو:

وبالتالي ، تتقاطع الرسوم البيانية للوظيفة عند نقطة ما مع وسيطة تساوي واحدًا.

الآن نحن بحاجة للحصول على إجابة. معنى عدم المساواة المعطى هو أن الأس يجب أن يكون أكبر من أو يساوي دالة خطية، أي أن تكون أعلى منه أو تتطابق معه. الجواب واضح: (الشكل 6.4)

أرز. 4. التوضيح على سبيل المثال 6

لذلك ، نظرنا في حل مختلف المتباينات الأسية النموذجية. بعد ذلك ، ننتقل إلى النظر في التفاوتات الأسية الأكثر تعقيدًا.

فهرس

مردكوفيتش A. G. الجبر وبدايات التحليل الرياضي. - م: Mnemosyne. Muravin G. K. ، Muravina O. V. الجبر وبدايات التحليل الرياضي. - م: الحبارى. Kolmogorov A. N. ، Abramov A. M. ، Dudnitsyn Yu. P. et al. الجبر وبدايات التحليل الرياضي. - م: التنوير.

رياضيات. م. التكرار الرياضيات. كوم. ديفور. كيمسو. ru.

العمل في المنزل

1. الجبر وبدايات التحليل ، الصفوف 10-11 (A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn) 1990، No. 472، 473؛

2. حل عدم المساواة:

3. حل المتباينة.