من تاريخ حدوثها المعادلات التربيعية

نشأ الجبر فيما يتعلق بحل مشاكل مختلفة باستخدام المعادلات. عادة في المشاكل هو مطلوب للعثور على واحد أو عدة مجاهيل ، مع معرفة نتائج بعض الإجراءات التي يتم تنفيذها على الكميات المرغوبة والمحددة. يتم تقليل هذه المشكلات إلى حل واحد أو نظام من عدة معادلات ، لإيجاد المعادلات المرغوبة بمساعدة العمليات الجبرية على كميات معينة. دراسات الجبر الخصائص العامةالإجراءات على الكميات.

عُرفت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية منذ 4000 عام في بابل القديمة.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق الأرض وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك و الرياضيات نفسها. عرف البابليون كيفية حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif "width =" 93 "height =" 41 src = ">

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها. بالرغم من مستوى عالتطور الجبر في بابل ، والنصوص المسمارية تفتقر إلى المفهوم عدد السلبيو الطرق الشائعةحلول المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق وضع معادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 2. "ابحث عن رقمين ، مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

يجادل Diophantus على النحو التالي: يترتب على حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فإن منتجها لن يساوي 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهم ، أي .10 + س. الآخر أصغر ، أي 10 - س. الفرق بينهما هو 2x. ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10-س) = 96 ،

ومن ثم فإن x = 2. أحد الأرقام المرغوبة هو 12 ، والآخر هو 8. الحل x = - 2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المجهولة على أنه المجهول ، فيمكننا الوصول إلى حل المعادلة:

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة.

المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، شرح قاعدة عامةحلول المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل أساسي واحد:

الفأس 2 + ب س = ج ، أ>

في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "بما أن الشمس تشرق على النجوم بتألقها ، رجل عالمكسوف المجد في المحافل الشعبية ، وتقديم وحل المسائل الجبرية. غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif "width =" 12 "height =" 26 src = "> x2 - 64x = - 768

ولتكملة الجهه اليسرىمن هذه المعادلة حتى المربع ، نضيف 322 لكلا الجانبين ، ثم نحصل على:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

س 1 = 16 ، س 2 = 48.

معادلات الخوارزمي التربيعية

تعطي أطروحة الخوارزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax2 = bx.

2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي ax2 = c.

3) "الجذور تساوي العدد" أي فأس \ u003d ج.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax2 + c = bx.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي ax2 + bx = c.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + c == ax2.

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراره ، بالطبع ، لا يتوافق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول ، فإن الخوارزمي ، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الاعتبار الصفر. ربما لأنه في مهام عملية محددة ، لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة ، ثم البراهين الهندسية.

لنأخذ مثالا.

المسألة 4. "المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. أوجد الجذر "(جذر المعادلة x2 + 21 \ u003d 10x ضمني).

الحل: قسّم عدد الجذور إلى النصف ، تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ، اطرح 21 من الناتج ، يتبقى 4. خذ جذر 4 ، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3 ، هذا سيكون الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم تقديم تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم الصيغ لحلها.

المعادلات التربيعية في أوروباثاني عشر- السابع عشرالخامس.

تم وصف أشكال حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتب عام 1202. عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا.

ساهم هذا الكتاب في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم نقل العديد من المهام من هذا الكتاب إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. تمت صياغة القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية إلى شكل أساسي واحد x2 + bx = c مع جميع التوليفات الممكنة من العلامات والمعاملات b ، c ، وقد تمت صياغتها في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية في نظرة عامةفييت ، لكن فييت أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وآخرين طريقة العلماءيأخذ حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا.

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بالعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات ، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات ذات الطبيعة الرياضية ، التي تم حلها بواسطة أجهزة الكمبيوتر المصرية والسومرية والبابلية (القرنان السادس والعشرون قبل الميلاد) ، كان لها طبيعة محسوبة. ومع ذلك ، حتى ذلك الحين ، من وقت لآخر ، ظهرت مشاكل حيث تم تحديد القيمة المرغوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة ، مما يتطلب ، من وجهة نظرنا الحديثة ، صياغة معادلة أو نظام معادلات. في البداية ، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المشاكل. في وقت لاحق ، بدأت بدايات التمثيلات الجبرية في التكون. على سبيل المثال ، كانت الآلات الحاسبة البابلية قادرة على حل المسائل التي يمكن اختزالها من حيث التصنيف الحديثلمعادلات الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل مشاكل النص ، والتي استخدمت فيما بعد كأساس لإبراز المكون الجبري ودراسته المستقلة.

تم إجراء هذه الدراسة بالفعل في عصر آخر ، أولاً من قبل علماء الرياضيات العرب (القرنين السادس والعاشر بعد الميلاد) ، الذين حددوا الإجراءات المميزة التي تم بها اختزال المعادلات إلى طريقة العرض القياسيةتقليل المصطلحات المماثلة ، ونقل المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير العلامة. ثم قام علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة ، نتيجة بحث طويل ، بإنشاء لغة الجبر الحديثة ، واستخدام الحروف ، وإدخال الرموز للعمليات الحسابية ، والأقواس ، إلخ. في مطلع القرن السادس عشر- القرن السابع عشر. الجبر كجزء محدد من الرياضيات ، والذي له موضوعه وطريقته ومجالات تطبيقه ، قد تم تشكيله بالفعل. تمثّل تطويرها الإضافي ، حتى وقتنا هذا ، في تحسين الأساليب ، وتوسيع نطاق التطبيقات ، وتوضيح المفاهيم وعلاقاتها بمفاهيم فروع الرياضيات الأخرى.

لذلك ، نظرًا لأهمية واتساع المادة المرتبطة بمفهوم المعادلة ، فإن دراستها في المنهجية الحديثةترتبط الرياضيات بثلاثة مجالات رئيسية من أصلها وأدائها.

لحل أي معادلة من الدرجة الثانية ، عليك أن تعرف:

صيغة إيجاد المميز ؛

صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية ؛

· خوارزميات لحل المعادلات من هذا النوع.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ؛

حل المعادلات التربيعية الكاملة ؛

حل المعادلات التربيعية المعطاة ؛

البحث عن الأخطاء في المعادلات المحلولة وتصحيحها ؛

قم بفحص.

يتكون حل كل معادلة من جزأين رئيسيين:

تحويل هذه المعادلة إلى أبسطها ؛

حل المعادلات وفقًا لـ القواعد المعروفةأو الصيغ أو الخوارزميات.

يتم تعميم طرق نشاط الطلاب في حل المعادلات التربيعية بشكل تدريجي. يمكن تمييز المراحل التالية عند دراسة موضوع "المعادلات التربيعية":

المرحلة الأولى - "حل المعادلات التربيعية غير المكتملة".

المرحلة الثانية - "حل المعادلات التربيعية الكاملة".

المرحلة الثالثة - "حل المعادلات التربيعية المختصرة".

في المرحلة الأولى ، يتم النظر في المعادلات التربيعية غير المكتملة. منذ أن تعلم علماء الرياضيات في البداية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، لأنهم لم يضطروا ، كما يقولون ، إلى ابتكار أي شيء. هذه معادلات من الشكل: ax2 = 0 ، ax2 + c = 0 ، حيث c ≠ 0 ، ax2 + bx = 0 ، حيث b ≠ 0. ضع في اعتبارك حل العديد من هذه المعادلات:

1. إذا كان ax2 = 0. تم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) ابحث عن x2 ؛

2) ابحث عن x.

على سبيل المثال ، 5 × 2 = 0. بقسمة كلا طرفي المعادلة على 5 ، يتضح أن: x2 = 0 ، ومن ثم x = 0.

2. إذا كان ax2 + c = 0 ، c ≠ 0 يتم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) نقل الشروط إلى الجانب الأيمن ؛

2) أوجد جميع الأرقام التي تساوي مربعاتها الرقم c.

على سبيل المثال ، x2 - 5 = 0 ، هذه المعادلة تعادل المعادلة x2 = 5. لذلك ، تحتاج إلى إيجاد جميع الأرقام التي تكون مربعاتها مساوية للرقم 5..gif "width =" 16 "height =" 19 "> .. gif" width = "16" height = "19 src ="> وليس له جذور أخرى.

3. إذا كانت а2 + bх = 0 ، ب 0. يتم حل المعادلات من هذا النوع وفقًا للخوارزمية:

1) انقل العامل المشترك من الأقواس ؛

2) ابحث عن x1، x2.

على سبيل المثال ، x2 - 3x \ u003d 0. دعونا نعيد كتابة المعادلة x2 - 3x \ u003d 0 بالصيغة x (x - 3) \ u003d 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذور x1 \ u003d 0 ، x2 \ u003d 3. إنها ليس له جذور أخرى ، لأنه إذا استبدل أي رقم بخلاف الصفر و 3 بدلاً من x ، فعندئذٍ على الجانب الأيسر من المعادلة x (x - 3) \ u003d 0 تحصل على رقم لا يساوي الصفر.

لذلك ، توضح هذه الأمثلة كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة:

1) إذا كانت المعادلة على الشكل ax2 = 0 ، فإن لها جذر واحد x = 0 ؛

2) إذا كانت المعادلة على شكل ax2 + bx = 0 ، فسيتم استخدام طريقة التحليل: x (ax + b) = 0 ؛ لذلك إما x = 0 أو ax + b = 0..gif "width =" 16 "height =" 41 "> في حالة -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0 ، أي - = م ، حيث م> 0 ، فإن المعادلة س 2 = م لها جذرين

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif "width =" 29 "height =" 24 src = ">. gif" width = "29" height = "24 src =">، (في هذه الحالة ، يُسمح بالتدوين الأقصر =.

لذلك يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية غير المكتملة جذران ، جذر واحد ، بدون جذور.

في المرحلة الثانية ، يتم الانتقال إلى حل المعادلة التربيعية الكاملة. هذه معادلات من الشكل ax2 + bx + c = 0 ، حيث أ ، ب ، ج معطاة أرقام ، أ ≠ 0 ، س هي المجهول.

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية كاملة إلى النموذج ، من أجل تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية وإيجاد هذه الجذور. يتم النظر في الحالات التالية لحل المعادلات التربيعية الكاملة: د< 0, D = 0, D > 0.

1. إذا د< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

على سبيل المثال ، 2x2 + 4x + 7 = 0. الحل هنا أ = 2 ، ب = 4 ، ج = 7.

D \ u003d b2 - 4ac = 42-4 * 2 * 7 \ u003d 16-56 \ u003d - 40.

منذ د< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. إذا كانت D \ u003d 0 ، فإن المعادلة التربيعية ax2 + bx + c \ u003d 0 لها جذر واحد ، والذي تم العثور عليه بواسطة الصيغة.

على سبيل المثال ، 4x - 20x + 25 = 0. الحل: أ = 4 ، ب = - 20 ، ج = 25.

د \ u003d b2 - 4ac \ u003d (-20) 2-4 * 4 * 25 \ u003d 400-400 \ u003d 0.

بما أن D = 0 ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد. تم العثور على هذا الجذر باستخدام الصيغة ..gif "width =" 100 "height =" 45 ">. gif" width = "445" height = "45 src =">.

تم تجميع خوارزمية لحل معادلة النموذج ax2 + bx + c = 0.

1. احسب المميز D باستخدام الصيغة D = b2 - 4ac.

2. إذا د< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد يتم إيجاده بواسطة الصيغة

4..gif "العرض =" 101 "الارتفاع =" 45 ">.

هذه الخوارزمية عالمية ، وهي قابلة للتطبيق على كل من المعادلات التربيعية غير المكتملة والكاملة. ومع ذلك ، لا يتم عادةً حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بواسطة هذه الخوارزمية.

علماء الرياضيات أناس عمليون واقتصاديون ، لذا فهم يستخدمون الصيغة: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif "width =" 155 "height =" 53 ">. [4)

2..gif "width =" 96 "height =" 49 src = "> لها نفس علامة D..gif" width = "89" height = "49"> ثم المعادلة (3) لها جذران ؛

2) إذا كان للمعادلة جذران متطابقان ؛

3) إذا لم يكن للمعادلة جذور.

نقطة مهمة في دراسة المعادلات التربيعية هي النظر في نظرية فييتا ، التي تنص على وجود علاقة بين الجذور ومعاملات المعادلة التربيعية المختصرة.

نظرية فييتا. مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني المأخوذ من علامة المعاكس، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر.

بمعنى آخر ، إذا كانت x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0 ، إذن

تسمى هذه الصيغ بصيغ فييتا تكريما لعالم الرياضيات الفرنسي F. Vieta () ، الذي قدم نظامًا للرموز الجبرية ، طور أسس الجبر الأولي. كان من أوائل الذين بدأوا في تعيين الأرقام بالأحرف ، مما طور بشكل كبير نظرية المعادلات.

على سبيل المثال ، المعادلة أعلاه x2 - 7x +10 \ u003d 0 لها جذور 2 و 5. مجموع الجذور هو 7 ، والمنتج هو 10. يمكن ملاحظة أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ، مأخوذ بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر.

هناك أيضًا نظرية معاكسة لنظرية فييتا.

نظرية معكوسة لنظرية فييتا. إذا كانت الصيغ (5) صالحة للأرقام x1 ، x2 ، p ، q ، إذن x1 و x2 هي جذور المعادلة x2 + px + q = 0.

غالبًا ما تستخدم نظرية فييتا ونظريتها العكسية في حل المشكلات المختلفة.

على سبيل المثال. لنكتب المعادلة التربيعية الآتية ، وجذورها هي العددين 1 و -3.

وفقًا لصيغ فييتا

- ص = س 1 + س 2 = - 2 ،

لذلك ، فإن المعادلة المرغوبة لها الشكل x2 + 2x - 3 = 0.

يرتبط تعقيد إتقان نظرية فييتا بعدة ظروف. بادئ ذي بدء ، من الضروري مراعاة الفرق بين النظريات المباشرة والعكسية. في نظرية فييتا المباشرة ، يتم إعطاء معادلة تربيعية وجذورها ؛ يوجد في المعكوس رقمان فقط ، وتظهر المعادلة التربيعية في ختام النظرية. غالبًا ما يرتكب الطلاب خطأ إثبات تفكيرهم بإشارة غير صحيحة إلى نظرية فيتا المباشرة أو المعكوسة.

على سبيل المثال ، عند العثور على جذور المعادلة التربيعية عن طريق التحديد ، تحتاج إلى الرجوع إلى نظرية فيتا المعكوسة ، وليس إلى النظرية المباشرة ، كما يفعل الطلاب غالبًا. لتوسيع نظريات فييتا لتشمل حالة المميز الصفري ، علينا أن نتفق على أن المعادلة التربيعية في هذه الحالة لها جذران متساويان. تتجلى ملاءمة مثل هذه الاتفاقية في تحليل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل.

بحث

حول الموضوع

طرق حل المعادلات التربيعية

إجراء:
المجموعة 8 فئة "G"

مدير العمل:
بنكوفسكايا ماريا ميخائيلوفنا

أهداف وغايات المشروع.

1. أظهر أن الرياضيات ، مثل أي علم آخر ، لديها ما يكفي من الألغاز التي لم يتم حلها.
2. التأكيد على أن علماء الرياضيات يتميزون بالتفكير غير القياسي. وأحيانًا الفطنة والحدس عالم رياضيات جيدهي ببساطة مذهلة!
3. أظهر أن محاولة حل المعادلات التربيعية ساهمت في تطوير مفاهيم وأفكار جديدة في الرياضيات.
4. تعلم كيفية العمل مع مصادر مختلفة من المعلومات.
5. مواصلة العمل البحثي في الرياضيات

مراحل البحث

1. تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

2. تعريف المعادلة التربيعية وأنواعها.

3. حل المعادلات التربيعية باستخدام صيغة التمييز.

4. فرانسوا فيت ونظريته.

5. خواص المعاملات لإيجاد جذور المعادلة التربيعية بسرعة.

6. التوجه العملي.

من خلال المعادلات والنظريات

لقد قمت بحل الكثير من المشاكل.

(تشوسر ، شاعر إنجليزي، العصور الوسطى.)

منصة. تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية ، التي تعود إلى العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد المناطق قطع ارضوأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها.

كان البابليون قادرين على حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القواعد الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون لإيجاد القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

يحتوي "الحساب" لديوفانتوس على سلسلة منهجية من المسائل مصحوبة بتفسيرات وتحل بصياغة معادلات بدرجات مختلفة، لكنها تفتقر إلى شرح منهجي للجبر.

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحات الفلكية "Aryabhattiam" ، التي جمعت في عام 499. عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

تعطي أطروحة الخورزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. المؤلف لديه 6 أنواع من المعادلات. بالنسبة للخوارزمي ، الذي لم يكن يعرف الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل معادلة هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في الوقت نفسه ، لا يتم أخذ المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية في الاعتبار بشكل متعمد ؛ عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة ، لا يأخذ الخوارزمي ، مثل جميع العلماء قبل القرن السابع عشر ، في الاعتبار الحل الصفري.

إن أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم عرض تصنيف المعادلات التربيعية والصيغ لحلها بشكل منهجي.

تم وضع صيغ حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد ، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم باكتماله ووضوح عرضه. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأساليب الجبرية الجديدة لحل المشكلات ، وكان أول من اقترب من إدخال الأعداد السالبة في أوروبا. ساهم كتابه في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. مرت العديد من المشكلات من كتاب العداد إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر والثامن عشر جزئيًا.

قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية مختزلة إلى صيغة واحدة أساسية مع كل المجموعات الممكنة من العلامات المعاملات ب ، جتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون Tartaglia و Cardano و Bombelli من بين الأوائل في القرن السادس عشر الذين أخذوا في الاعتبار ليس فقط الجذور الإيجابية ، ولكن أيضًا الجذور السلبية. فقط في القرن السابع عشر ، وبفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، اتخذت طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا.

يتحول:

تم العثور على مشاكل في المعادلات التربيعية بالفعل في 499.

في الهند القديمةتم توزيع المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة - أولمبيادز .

© 2015-2019 الموقع
جميع الحقوق تنتمي إلى مؤلفيها. لا يدعي هذا الموقع حقوق التأليف ، ولكنه يوفر الاستخدام المجاني.
تاريخ إنشاء الصفحة: 2016-04-11

مقدمة

تأخذ المعادلات في دورة الجبر المدرسية مكانة رائدة. يتم تخصيص وقت أكبر لدراستهم أكثر من أي موضوع آخر في دورة الرياضيات المدرسية. تكمن قوة نظرية المعادلات في أنها لا تتمتع فقط بأهمية نظرية لمعرفة القوانين الطبيعية ، ولكنها تخدم أيضًا أغراضًا عملية محددة. معظم المشاكل المتعلقة بالأشكال المكانية والعلاقات الكمية العالم الحقيقييعود إلى قرار أنواع مختلفةالمعادلات. من خلال إتقان طرق حلها ، يجد الناس إجابات لها أسئلة مختلفةمن العلوم والتكنولوجيا (النقل ، زراعةوالصناعة والاتصالات وما إلى ذلك). أيضًا ، من أجل تكوين القدرة على حل المعادلات ، فإن عمل الطالب المستقل في تعلم حل المعادلات له أهمية كبيرة. عند دراسة أي موضوع ، يمكن استخدام المعادلات كوسيلة فعالة لتوحيد وتعميق وتكرار وتوسيع المعرفة النظرية ، لتطوير النشاط الرياضي الإبداعي للطلاب.

في العالم الحديث ، تُستخدم المعادلات على نطاق واسع في مختلف فروع الرياضيات ، في حل المشكلات التطبيقية المهمة. يتميز هذا الموضوع بعمق كبير في العرض وثراء الروابط التي أقيمت بمساعدته في التعلم ، والصلاحية المنطقية للعرض التقديمي. لذلك ، فإنها تحتل مكانة استثنائية في خط المعادلات. يبدأ الطلاب في دراسة موضوع "ثلاثية الحدود المربعة" بعد أن تراكمت لديهم بالفعل بعض الخبرة ، وامتلكوا مخزونًا كبيرًا من المفاهيم والمفاهيم والمهارات الرياضية الجبرية والعامة. إلى حد كبير ، يتعلق بمواد هذا الموضوع أنه من الضروري تجميع المواد المتعلقة بالمعادلات ، لتنفيذ مبادئ التاريخية وإمكانية الوصول.

ملاءمةالموضوع هو الحاجة إلى تطبيق مبادئ التاريخية وعدم وجود مادة لتنفيذ ذلك في موضوع "حل المعادلات التربيعية".

مشكلة بحث: تحديد مادة تاريخية لتعلم حل المعادلات التربيعية.

الهدف من العمل: تكوين أفكار حول العمل على المعادلات التربيعية في دروس الرياضيات ، واختيار مجموعة من الدروس مع عناصر تاريخية حول موضوع "المعادلات الرباعية".

موضوع الدراسة: حل المعادلات التربيعية في الصف الثامن باستخدام عناصر التاريخية.

موضوع الدراسة: المعادلات التربيعية وتطوير الدروس على تعلم حل المعادلات التربيعية باستخدام المواد التاريخية.

مهام:

إجراء تحليل للأدبيات العلمية والمنهجية حول مشكلة البحث ؛

تحليل الكتب المدرسية وإبراز مكان التعلم لحل المعادلات التربيعية فيها ؛

انتقاء مجموعة من الدروس حول حل المعادلات التربيعية باستخدام المواد التاريخية.

طرق البحث:

تحليل الأدب حول موضوع "حل المعادلات التربيعية" ؛

ملاحظة الطلاب خلال درس حول موضوع "حل المعادلات التربيعية" ؛

اختيار المواد: دروس حول موضوع "حل المعادلات التربيعية" باستخدام المرجع التاريخي.

§ 1. من تاريخ ظهور المعادلات التربيعية

نشأ الجبر فيما يتعلق بحل مشاكل مختلفة باستخدام المعادلات. عادة في المشاكل هو مطلوب للعثور على واحد أو عدة مجاهيل ، مع معرفة نتائج بعض الإجراءات التي يتم تنفيذها على الكميات المرغوبة والمحددة. يتم تقليل هذه المشكلات إلى حل واحد أو نظام من عدة معادلات ، لإيجاد المعادلات المرغوبة بمساعدة العمليات الجبرية على كميات معينة. يدرس الجبر الخصائص العامة للإجراءات على الكميات.

عُرفت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية منذ 4000 عام في بابل القديمة.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 2. "ابحث عن رقمين ، مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

يجادل Diophantus على النحو التالي: يترتب على حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فإن منتجها لن يساوي 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهم ، أي.
. الآخر أصغر ، أي.
. الفرق بينهما
. ومن هنا جاءت المعادلة:

من هنا
. أحد الأرقام المرغوبة هو 12 ، والآخر هو 8. الحل
بالنسبة إلى Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المجهولة على أنه المجهول ، فيمكننا الوصول إلى حل المعادلة:

المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

(1)

في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على المجد في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

يكتب باسكارا تحت ستار:

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة للمربع ، يضيف 322 إلى كلا الجانبين ، ثم يحصل على:

معادلات الخوارزمي التربيعية

لنأخذ مثالا.

المسألة 4. "المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر "(أي جذر المعادلة
).

المعادلات التربيعية في أوروباثاني عشر- السابع عشرالخامس.

ساهم هذا الكتاب في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم نقل العديد من المهام من هذا الكتاب إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية مختزلة إلى صيغة واحدة أساسية
مع جميع التوليفات الممكنة من العلامات والمعاملات b ، c ، تمت صياغتها في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تتخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا.

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات ، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات ذات الطبيعة الرياضية ، التي تم حلها بواسطة أجهزة الكمبيوتر المصرية والسومرية والبابلية (القرنان السادس والعشرون قبل الميلاد) ، كان لها طبيعة محسوبة. ومع ذلك ، حتى ذلك الحين ، من وقت لآخر ، ظهرت مشاكل حيث تم تحديد القيمة المرغوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة ، مما يتطلب ، من وجهة نظرنا الحديثة ، صياغة معادلة أو نظام معادلات. في البداية ، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المشاكل. في وقت لاحق ، بدأت بدايات التمثيلات الجبرية في التكون. على سبيل المثال ، استطاعت الآلات الحاسبة البابلية حل مسائل تم اختزالها ، من وجهة نظر التصنيف الحديث ، إلى معادلات من الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل مشاكل النص ، والتي استخدمت فيما بعد كأساس لإبراز المكون الجبري ودراسته المستقلة.

تم إجراء هذه الدراسة بالفعل في حقبة أخرى ، أولاً من قبل علماء الرياضيات العرب (القرنين السادس والعاشر الميلادي) ، الذين حددوا الإجراءات المميزة التي تم من خلالها اختزال المعادلات إلى شكل قياسي ، واختزال المصطلحات المماثلة ، ونقل المصطلحات من جزء واحد من معادلة لأخرى مع علامة التغيير. ثم قام علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة ، نتيجة بحث طويل ، بإنشاء لغة الجبر الحديثة ، واستخدام الحروف ، وإدخال الرموز للعمليات الحسابية ، والأقواس ، إلخ. في مطلع القرن السادس عشر- القرن السابع عشر. الجبر كجزء محدد من الرياضيات ، والذي له موضوعه وطريقته ومجالات تطبيقه ، قد تم تشكيله بالفعل. تمثّل تطويرها الإضافي ، حتى وقتنا هذا ، في تحسين الأساليب ، وتوسيع نطاق التطبيقات ، وتوضيح المفاهيم وعلاقاتها بمفاهيم فروع الرياضيات الأخرى.

لذلك ، في ضوء أهمية واتساع المادة المرتبطة بمفهوم المعادلة ، ترتبط دراستها في المنهجية الحديثة للرياضيات بثلاثة مجالات رئيسية لحدوثها وعملها.

الصفحة الرئيسية> تقرير

المدرسة الثانوية مذكرة التفاهم التي سميت على اسم الأبطال الاتحاد السوفياتي
سوتنيكوفا أ. و Shepeleva N.G.S Uritskoe

تقرير عن الموضوع:

"تاريخ الظهور

المعادلات التربيعية"

أُعدت بواسطة:إيزوتوفا جوليا
أمبليفا إلينا ،
شيبليف نيكولاي ،

دياتشينكو يوري.

يا رياضيات. لقرون ، أنت مغطى بالمجد ،

نجم كل النجوم الدنيوية.

أنت ملكة مهيبة

لا عجب في تعميد غاوس.

صارم ، منطقي ، مهيب ،

نحيلة في الرحلة ، مثل السهم ،

مجدك الأبدي

على مر العصور ، نالت الخلود.

نحمد العقل البشري

أفعاله الأيدي السحرية,

أمل هذا العصر

ملكة كل العلوم الأرضية.

نريد أن نخبرك اليوم

تاريخ الحدوث

ما يجب أن يعرفه كل طالب

تاريخ المعادلات التربيعية.

إقليدس في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. في "مبادئه" المكرس للجبر الهندسي الكتاب الثاني بأكمله ، والذي يحتوي على جميع المواد اللازمة لحل المعادلات التربيعية.

إقليدس (Eνκλειδηζ) ، عالم رياضيات يوناني قديم ، مؤلف أول رسالة نظرية في الرياضيات وصلت إلينا

المعلومات حول إقليدس نادرة للغاية. الشيء الوحيد الذي يمكن اعتباره موثوقًا هو ذلك النشاط العلميتدفقت في الإسكندرية في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. إقليدس هو أول عالم رياضيات في مدرسة الإسكندرية. له الوظيفة الرئيسية"البدايات" (في الشكل اللاتيني - "العناصر") تحتوي على عرض للقياسات والقياس الفراغي وعدد من القضايا في نظرية الأعداد ؛ في ذلك لخص التطور السابق للرياضيات اليونانية وخلق الأساس مزيد من التطويرالرياضيات. مالك الحزين - عالم رياضيات ومهندس يوناني لأول مرة في اليونان في القرن الأول الميلادي. يعطي طريقة جبرية بحتة لحل المعادلة التربيعية.

مالك الحزين الاسكندريه؛ قوى. ن. هـ ، ميكانيكي وعالم رياضيات يوناني. وقت حياته غير مؤكد ، ومن المعروف فقط أنه اقتبس من أرخميدس (الذي توفي عام 212 قبل الميلاد) ، وهو نفسه نقله بابوس (300 م). في الوقت الحاضر ، الرأي السائد هو أنه عاش في القرن الأول. ن. ه. درس الهندسة والميكانيكا والهيدروستاتيك والبصريات. اخترع النموذج الأولي للمحرك البخاري وأدوات التسوية الدقيقة. أشهر الآلات الآلية كانت المسارح الأوتوماتيكية والنوافير وغيرها.وصف G. المزواة ، بالاعتماد على قوانين الإحصائيات والحركية ، وقدم وصفًا للرافعة ، والكتلة ، والمروحة ، والمركبات العسكرية. في علم البصريات ، صاغ قوانين انعكاس الضوء في الرياضيات - طرق قياس أهمها الأشكال الهندسية. أعمال G. الرئيسية هي Etrika و Pneumatics و Autopoietics و Mechanics (بالفرنسية ؛ تم حفظ العمل بالكامل باللغة العربية) ، Catoptics (علم المرايا ؛ محفوظ فقط في الترجمة اللاتينية) وآخرون.استخدم G. إنجازات أسلافه: إقليدس ، أرخميدس ، ستراتو من لامبساك. أسلوبه بسيط وواضح ، رغم أنه في بعض الأحيان مقتضب للغاية أو غير منظم. نشأ الاهتمام في كتابات ج. في القرن الثالث. ن. ه. علق الطلاب اليونانيون ثم البيزنطيون والعربيون على أعماله وترجموها.

ديوفانتوس- قام عالم يوناني في القرن الثالث الميلادي ، دون اللجوء إلى الهندسة ، بحل بعض المعادلات التربيعية بطريقة جبرية بحتة ، وتمت كتابة المعادلة نفسها وحلها في شكل رمزي

"سأخبرك كيف قام عالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية. وهنا على سبيل المثال من مهامه:"أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

1. من حالة المشكلة يترتب على ذلك أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأن إذا كانتا متساويتين ، فلن يكون ناتجهما 96 بل 100.

2. هكذا. واحد منهم سيكون أكثر من نصف مجموعهم ، أي. 10 + س ، والآخر أقل ، أي 10 - س.

3. الفرق بينهما هو 2x.

4. ومن هنا جاءت المعادلة (10 + س) * (10 - س) = 96

100 - س 2 = 96 × 2-4 = 0

5. الإجابة س = 2. أحد الأرقام المرغوبة هو 12 ،
أخرى - 8. الحل x = - 2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن عرفت الرياضيات اليونانية الأرقام الموجبة فقط ". عرف Diophantus كيفية حل المعادلات المعقدة للغاية ، المستخدمة في المجهول تسميات الحروف، أدخل رمزًا خاصًا للحساب ، واختصارات الكلمات المستخدمة. بهاسكاري - عقارية- عالم رياضيات هندي في القرن الثاني عشر الميلادي. اكتشف طريقة عامة لحل المعادلات التربيعية.

دعنا نحلل إحدى مشاكل علماء الرياضيات الهنود ، على سبيل المثال ، مشكلة بهاسكارا:

"قطيع من القرود يستمتع بوقته: ثُمن العدد الإجمالي في مربع مرح في الغابة ، بينما يصرخ الاثنا عشر الباقي في أعلى التل. قل لي ، كم عدد القردة هناك؟ "

وتعليقًا على المشكلة ، أود أن أقول إن المعادلة (x / 8) 2 + 12 = x تتوافق مع المشكلة. يكتب Bhaskara كـ x 2 - 64x \ u003d - 768. بإضافة مربع 32 إلى كلا الجزأين ، ستأخذ المعادلة الشكل:

× 2 - 64 × + 32 2 = - 768 + 1024

(س - 32) 2 = 256

بعد استخراج الجذر التربيعي ، نحصل على: x - 32 = 16.

"في هذه القضية، يقول باسكارا ، - الوحدات السالبة للجزء الأول هي بحيث تكون وحدات الجزء الثاني أقل منها ، وبالتالي يمكن اعتبار الأخير موجبًا وسالبًا ، ونحصل على القيمة المزدوجة للمجهول: 48 و 16.

يجب أن نستنتج أن حل Bhaskara يشير إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

يقترح حل مشكلة باسكارا الهندية القديمة:

"مربع خُمس القرود ، الذي تم تقليصه بمقدار ثلاثة ، مختبئًا في الكهف ، تسلق أحد القرود شجرة ، وكان مرئيًا. كم عدد القرود هناك؟ وتجدر الإشارة إلى أن هذه المشكلة تم حلها أوليًا ، واختزلها إلى معادلة تربيعية.

الخورزمي - عالم عربي كتب كتاب الإصلاح والمعارضة عام 825 م. كان أول كتاب في الجبر في العالم. كما قدم ستة أنواع من المعادلات التربيعية ولكل من المعادلات الست التي صاغها في صيغة لفظية قاعدة خاصة لحلها. في الرسالة ، يسرد خورزمي ستة أنواع من المعادلات ، معبراً عنها على النحو التالي:

1. "المربعات تساوي الجذور" ، أي الفأس 2 = بوصة.

2. "المربعات تساوي العدد" ، أي الفأس 2 = ق.

3. "الجذور تساوي العدد" ، أي آه = ق.

4. "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي فأس 2 + ج \ u003d بوصة.

5. "المربعات والجذور تساوي العدد" ، أي الفأس 2 + في = s.

6. "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي في + c \ u003d ah 2.

لنحلل مشكلة الخوارزمي التي تختزل في حل معادلة تربيعية. "مربع ورقم يساوي الجذور." على سبيل المثال ، مربع واحد والرقم 21 يساوي 10 جذور لنفس المربع ، أي السؤال هو ، مما يتكون المربع ، والذي بعد إضافة 21 إليه ، يصبح مساويًا لـ 10 جذور لنفس المربع؟

و باستخدام الصيغة الرابعة للخوارزمي ، يجب على الطلاب كتابة: x 2 + 21 = 10x

فرانسوا فيت - عالم رياضيات فرنسي ، صاغ وأثبت النظرية حول مجموع وحاصل جذر المعادلة التربيعية المعطاة.

الفن الذي أقدمه جديدًا ، أو على الأقل تعرض للتلف بسبب تأثير البرابرة الذين رأيتهم مناسبًا لمنحه مظهرًا جديدًا تمامًا.

فرانسوا فيت

ومع ذلك ، وُلد فرانسوا (1540-13.12. 1603) في بلدة فونتيني لو كومت في مقاطعة بواتو ، بالقرب من قلعة لاروشيل الشهيرة. بعد حصوله على شهادة في القانون ، من سن التاسعة عشرة ، عمل بنجاح كمحام في مسقط رأس. كمحامية ، تمتعت فيت بالاحترام والمكانة بين السكان. كان شخصًا متعلمًا على نطاق واسع. عرف علم الفلك والرياضيات وكل شيء وقت فراغأعطت لهذه العلوم.

العاطفة الرئيسيةكانت فييتا رياضيات. درس بعمق أعمال كلاسيكيات أرخميدس وديوفانتوس ، أسلاف كاردانو وبومبيلي وستيفين وغيرهم. لم يكن فييتا معجبًا بهم فحسب ، بل رأى عيبًا كبيرًا فيها ، وهو صعوبة الفهم بسبب الرمزية اللفظية: تم تسجيل جميع الإجراءات والعلامات تقريبًا بالكلمات ، ولم يكن هناك أي تلميح لتلك القواعد المريحة شبه التلقائية التي نستخدمها الآن . كان من المستحيل التدوين ، وبالتالي البدء في شكل عام ، أو مقارنات جبرية أو أي تعبيرات جبرية أخرى. تم حل كل نوع من المعادلات ذات المعاملات العددية وفقًا لقاعدة خاصة. لذلك ، كان من الضروري إثبات وجود الإجراءات العامةعلى جميع الأرقام التي لا تعتمد على هذه الأرقام نفسها. أثبت فيت وأتباعه أنه لا يهم ما إذا كان الرقم المعني هو عدد الأشياء أو طول المقطع. الشيء الرئيسي هو أنه من الممكن إجراء عمليات جبرية بهذه الأرقام ، ونتيجة لذلك ، مرة أخرى الحصول على أرقام من نفس النوع. ومن ثم يمكن الإشارة إليها ببعض العلامات المجردة. فعل فييت ذلك بالضبط. لم يقدم حساب التفاضل والتكامل الخاص به فحسب ، بل قام باكتشاف جديد جوهريًا ، وحدد لنفسه هدفًا ألا وهو دراسة الأعداد وليس دراسة الأفعال عليها. سمحت طريقة الكتابة هذه لفييتا بإجراء اكتشافات مهمة في دراسة الخصائص العامة للمعادلات الجبرية. ليس من قبيل المصادفة أن يُطلق على فييتا لقب "أب" الجبر ، مؤسس رموز الحروف.

مصادر المعلومات:

http :// سوم. fio. en/ موارد/ كاربوهينا/2003/12/ مكتمل%20 عمل/ حفلة موسيقية/ فِهرِس1. هتم

http :// الصفحات. مارسو. en/ iac/ مدرسة/ س4/ صفحة74. لغة البرمجة

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي

مؤسسة تعليمية بلدية

"المدرسة الثانوية №22"

المعادلات التربيعية والعليا

مكتمل:

8 تلاميذ صف "ب"

كوزنتسوف يفغيني ورودي أليكسي

مشرف:

زينينا أليفتينا دميترييفنا

مدرس رياضيات

مقدمة

1.1 المعادلات في بابل القديمة

1.2 معادلات العرب

1.3 المعادلات في الهند

الفصل 2. نظرية المعادلات التربيعية والمعادلات من الرتب العليا

2.1 مفاهيم أساسية

2.2 معادلات المعامل الزوجية لـ x

2.3 نظرية فييتا

2.4 المعادلات التربيعية ذات الطبيعة الخاصة

2.5 نظرية فييتا لكثيرات الحدود (المعادلات) من الدرجات العليا

2.6 المعادلات القابلة للاختزال إلى المربعات (biquadratic)

2.7 دراسة المعادلات البيكودية

2.8 صيغ كوردانو

2.9 المعادلات المتماثلة من الدرجة الثالثة

2.10 معادلات الإرجاع

2.11 مخطط هورنر

خاتمة

فهرس

المرفق 1

الملحق 2

الملحق 3

مقدمة

تحتل المعادلات في مقرر الجبر مكانة رائدة. تستغرق الدراسة وقتًا أطول من أي موضوع آخر. في الواقع ، ليس للمعادلات أهمية نظرية مهمة فحسب ، بل تخدم أيضًا أغراضًا عملية بحتة. يتم تقليل الغالبية العظمى من المشكلات المتعلقة بالأشكال المكانية والعلاقات الكمية للعالم الحقيقي إلى حل أنواع مختلفة من المعادلات. إتقان طرق حلها ، نجد إجابات لأسئلة مختلفة من العلوم والتكنولوجيا (النقل ، الزراعة ، الصناعة ، الاتصالات ، إلخ).

في هذا المقال ، أود أن أعرض الصيغ والطرق لحل المعادلات المختلفة. لهذا ، يتم إعطاء المعادلات التي لم يتم دراستها في المناهج الدراسية. في الأساس ، هذه معادلات ذات طبيعة خاصة ومعادلات من درجات أعلى. للكشف عن هذا الموضوع ، يتم تقديم البراهين لهذه الصيغ.

أهداف ملخصنا:

تحسين مهارات حل المعادلات

تطوير طرق جديدة لحل المعادلات

تعلم بعض الطرق والصيغ الجديدة لحل هذه المعادلات.

موضوع الدراسة هو الجبر الابتدائي ، وموضوع الدراسة هو المعادلة. استند اختيار هذا الموضوع إلى حقيقة أن هناك معادلات في كل من البرنامج الأساسي وفي كل فئة لاحقة. مدارس التعليم العام، مدارس ثانوية ، كليات. يتم حل العديد من المشكلات الهندسية والمشاكل في الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا باستخدام المعادلات. تم حل المعادلات منذ خمسة وعشرين قرنا. لا يزال يتم إنشاؤها اليوم - كلاهما للاستخدام في العملية التعليميةوللامتحانات التنافسية في الجامعات للأولمبيات الأعلى مستوى.

الفصل الأول. تاريخ المعادلات التربيعية والمعادلات ذات الرتب الأعلى

1.1 المعادلات في بابل القديمة

نشأ الجبر فيما يتعلق بحل مشاكل مختلفة باستخدام المعادلات. عادة في المشاكل هو مطلوب للعثور على واحد أو عدة مجاهيل ، مع معرفة نتائج بعض الإجراءات التي يتم تنفيذها على الكميات المرغوبة والمحددة. يتم تقليل هذه المشكلات إلى حل واحد أو نظام من عدة معادلات ، لإيجاد المعادلات المرغوبة بمساعدة العمليات الجبرية على كميات معينة. يدرس الجبر الخصائص العامة للإجراءات على الكميات.

عُرفت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية منذ 4000 عام في بابل القديمة. كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق برية وأرضية ذات طبيعة عسكرية ، فضلاً عن تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. كما ذكرنا سابقًا ، عرف البابليون كيفية حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. باستخدام التدوين الجبري الحديث ، يمكن للمرء أن يقول أن كلا من المعادلات التربيعية غير المكتملة والكاملة تحدث في نصوصهم المسمارية.

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القواعد الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من المستوى العالي لتطور علم الجبر في بابل ، لا يوجد في النصوص المسمارية مفهوم للرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلة التربيعية.

1.2 معادلات العرب

اشتق العرب بعض طرق حل المعادلات التربيعية والمعادلات ذات الدرجات العليا. لذلك وصف عالم الرياضيات العربي الشهير الخوارزمي في كتابه "الجبار" عدة طرق لحل المعادلات المختلفة. كانت خصوصيتهم أن الخوارزمي استخدم الجذور المعقدة لإيجاد جذور (حلول) المعادلات. كانت هناك حاجة إلى الحاجة إلى حل مثل هذه المعادلات في الأسئلة المتعلقة بتقسيم الميراث.

1.3 المعادلات في الهند

تم أيضًا حل المعادلات التربيعية في الهند. تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في عام 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. وضع باحث هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل مخروطي واحد:

فأس² + ب س = ج ، حيث أ> 0

في هذه المعادلة ، يمكن أن تكون المعاملات ، باستثناء a ، سالبة أيضًا. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند القديمة ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة ما يلي حول مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على مجد آخر في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية". غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

تم حل المعادلات المختلفة ، من الدرجة الثانية والمعادلات ذات الدرجات الأعلى ، من قبل أسلافنا البعيدين. تم حل هذه المعادلات في أكثر البلدان اختلافًا وبُعدًا عن بعضها البعض. كانت الحاجة إلى المعادلات كبيرة. تم استخدام المعادلات في البناء والشؤون العسكرية وفي مواقف الحياة اليومية.

الفصل 2. من الدرجة الثانية والمعادلات من الدرجة العالية

2.1 مفاهيم أساسية

المعادلة التربيعية هي معادلة للصيغة

حيث المعامِلات a و b و c هي أي أعداد حقيقية و a 0.

تسمى المعادلة التربيعية مخفضة إذا كان معاملها الرئيسي هو 1.

مثال :

س 2 + 2 س + 6 = 0.

تسمى المعادلة التربيعية غير مختصرة إذا كان المعامل الرئيسي مختلفًا عن 1.

مثال :

2 س 2 + 8 س + 3 = 0.

المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة من الدرجة الثانية حيث توجد جميع المصطلحات الثلاثة ، بمعنى آخر ، هذه معادلة يكون فيها المعاملان b و c غير صفريين.

مثال :

3x2 + 4x + 2 = 0.

المعادلة التربيعية غير المكتملة هي معادلة من الدرجة الثانية يكون فيها معامل واحد على الأقل ب ، ج يساوي صفرًا.

وبالتالي ، هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

1) ax² = 0 (له جذران متطابقان x = 0).

2) الفأس² + ب س = 0 (له جذرين × 1 = 0 و × 2 = -)

مثال :

س 1 = 0 ، س 2 = -5.

إجابة: × 1 \ u003d 0 ، × 2 \ u003d -5.

لو -<0 - уравнение не имеет корней.

مثال :

إجابة: المعادلة ليس لها جذور.

إذا -> 0 ، إذن x 1.2 = ±

مثال :

إجابة: x 1.2 = ±

يمكن حل أي معادلة تربيعية من خلال المميز (ب² - 4 أ). عادةً ما يُشار إلى التعبير b² - 4ac بالحرف D ويسمى مميّز المعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 (أو مميّز المربع ثلاثة مصطلح ax² + bx + c)

مثال :

س 2 + 14 س - 23 = 0

د \ u003d ب 2-4ac \ u003d 144 + 92 \ u003d 256

× 2 =

إجابة: س 1 = 1 ، س 2 = - 15.

اعتمادًا على المميز ، قد يكون للمعادلة حل أو لا.

1) إذا د< 0, то не имеет решения.

2) إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة لها حلين متطابقين × 1،2 =

3) إذا كانت D> 0 ، فإن لها حلين تم العثور عليهما بواسطة الصيغة:

× 1.2 =

2.2 معادلات المعامل الزوجية لـ x

تعودنا على حقيقة أن جذور المعادلة التربيعية

تم العثور على ax² + bx + c = 0 بواسطة الصيغة

× 1.2 =

لكن علماء الرياضيات لن يفوتوا أبدًا الفرصة لجعل حساباتهم أسهل. ووجدوا أنه يمكن تبسيط هذه الصيغة عندما يكون المعامل b في الصورة b = 2k ، على وجه الخصوص ، إذا كان b عددًا زوجيًا.

في الواقع ، دع المعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 لها المعامل b بالصيغة b = 2k. بالتعويض عن الرقم 2k بدلاً من b في الصيغة ، نحصل على:

لذلك ، يمكن حساب جذور المعادلة التربيعية ax² + 2kx + c = 0 بالصيغة:

× 1.2 =

مثال :

5 س 2 - 2 س + 1 = 0

ميزة هذه الصيغة هي أنه ليس العدد b هو المربع ، ولكن نصفه ، ليس 4ac ، ولكن ببساطة يتم طرح ac من هذا المربع ، وأخيرًا ، لا يحتوي المقام على 2a ، ولكن ببساطة a.

إذا تم تقديم المعادلة التربيعية ، فستبدو الصيغة كما يلي:

مثال :

س 2 - 4 س + 3 = 0

إجابة: س 1 = 3 ، س 2 = 1.

2.3 نظرية فييتا

اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت خاصية غريبة جدًا لجذور المعادلة التربيعية. تسمى هذه الخاصية نظرية فييتا:

إذن ، فإن العددين x 1 و x 2 هما جذور المعادلة:

الفأس² + ب س + ج = 0

فمن الضروري والكافي أن المساواة

x 1 + x 2 = -b / a و x 1 x 2 = c / a

تسمح لك نظرية فييتا بالحكم على العلامات والقيمة المطلقة للمعادلة التربيعية

س² + ب س + ج = 0

1. إذا كانت b> 0 ، و c> 0 ، فإن كلا الجذور تكون سالبة.

2. إذا ب<0, c>0 ، إذن كلا الجذور موجبة.

3. إذا ب> 0 ، ج<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. إذا ب<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 المعادلات التربيعية ذات الطبيعة الخاصة

1) إذا كانت a + b + c = 0 في المعادلة ax² + bx + c = 0 ، إذن

× 1 \ u003d 1 ، و × 2 \ u003d.

دليل :

في المعادلة ax² + bx + c = 0 جذورها

× 1.2 = (1).

دعنا نمثل ب من المساواة أ + ب + ج = 0

نستبدل هذا التعبير في الصيغة (1):

إذا أخذنا في الاعتبار جذري المعادلة بشكل منفصل ، نحصل على:

1) × 1 =

2) × 2 =

يتبع من هذا: x 1 \ u003d 1 و x 2 \ u003d.

1. مثال :

2 س² - 3 س + 1 = 0

أ = 2 ، ب = -3 ، ج = 1.

أ + ب + ج = 0 ، وبالتالي

2. مثال :

418 ×² - 1254 × + 836 = 0

من الصعب جدًا حل هذا المثال من خلال المميز ، ولكن بمعرفة الصيغة أعلاه ، يمكن حلها بسهولة.

أ = 418 ، ب = -1254 ، ج = 836.

س 1 = 1 × 2 = 2

2) إذا كانت a - b + c = 0 ، في المعادلة ax² + bx + c = 0 ، إذن:

× 1 \ u003d -1 ، و 2 \ u003d -.

دليل :

ضع في اعتبارك المعادلة ax² + bx + c = 0 ، مما يعني أن:

× 1.2 = (2).

دعنا نمثل ب من المساواة أ - ب + ج = 0

ب = أ + ج ، استبدل بالصيغة (2):

نحصل على تعبيرين:

1) × 1 =

2) × 2 =

هذه الصيغة مشابهة للصيغة السابقة ، لكنها مهمة أيضًا ، لأن. غالبًا ما توجد أمثلة من هذا النوع.

1) مثال :

2 س² + 3 س + 1 = 0

أ = 2 ، ب = 3 ، ج = 1.

أ - ب + ج = 0 ، وبالتالي

2)مثال :

إجابة: × 1 \ u003d -1 ؛ × 2 = -

3) الطريقة " التحويلات ”

جذور المعادلات التربيعية y² + by + ac = 0 و ax² + bx + c = 0 مرتبطة بالعلاقات:

x 1 = و x 2 =

دليل :

أ) ضع في اعتبارك المعادلة ax² + bx + c = 0

× 1.2 = =

ب) ضع في اعتبارك المعادلة y² + by + ac = 0

ص 1،2 =

لاحظ أن مميزي كلا الحلين متساويان ، فلنقارن بين جذور هاتين المعادلتين. تختلف عن بعضها البعض بواسطة المعامل الرئيسي ، جذور المعادلة الأولى أقل من جذور الثانية بـ a. باستخدام نظرية فييتا والقاعدة أعلاه ، ليس من الصعب حل المعادلات المختلفة.

مثال :

لدينا معادلة تربيعية عشوائية

10x² - 11x + 3 = 0

نقوم بتحويل هذه المعادلة وفقًا للقاعدة أعلاه

ص² - 11 ص + 30 = 0

نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة ، والتي يمكن حلها بسهولة باستخدام نظرية فييتا.

لنفترض أن y 1 و y 2 هما جذور المعادلة y² - 11y + 30 = 0

ص 1 ص 2 = 30 ص 1 = 6

ص 1 + ص 2 = 11 ص 2 = 5

مع العلم أن جذور هذه المعادلات تختلف عن بعضها البعض ب a ، إذن

× 1 \ u003d 6/10 \ u003d 0.6

× 2 \ u003d 5/10 \ u003d 0.5

في بعض الحالات ، يكون من الملائم أولاً حل ليس المعادلة المعطاة ax² + bx + c = 0 ، ولكن المخفض y² + by + ac = 0 ، والذي يتم الحصول عليه من معامل "النقل" المحدد a ، ثم قسمة الموجود الجذور بواسطة a لإيجاد المعادلة الأصلية.

2.5 صيغة فييتا لكثيرات الحدود (المعادلات) من الدرجات العليا

الصيغ المشتقة من Vieta للمعادلات التربيعية صحيحة أيضًا مع كثير الحدود من الدرجات العليا.

دع كثير الحدود

الفوسفور (س) = أ 0 س ن + أ 1 س ن -1 + ... + أ ن

له جذور مميزة n x 1، x 2…، x n.

في هذه الحالة ، يكون لها عامل النموذج:

أ 0 س ن + أ 1 س ن -1 + ... + أ ن = أ 0 (س - س 1) (س - س 2) ... (س - س ن)

دعنا نقسم كلا الجزأين من هذه المساواة على 0 0 ونفك الأقواس في الجزء الأول. نحصل على المساواة:

x n + () x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n) x n - 2 +… + (- 1) n x 1 x 2 ... x n

لكن اثنين من كثيرات الحدود متساويان بشكل متماثل إذا وفقط إذا كانت المعاملات في نفس القوى متساوية. ويترتب على ذلك أن المساواة

x 1 + x 2 +… + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n =

× 1 × 2 ... × ن = (-1) ن

على سبيل المثال ، لكثيرات الحدود من الدرجة الثالثة

أ 0 س³ + أ 1 س² + أ 2 س + أ 3

لدينا هويات

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

× 1 × 2 × 3 = -

أما بالنسبة للمعادلات التربيعية ، فإن هذه الصيغة تسمى صيغ فييتا. الأجزاء اليسرى من هذه الصيغ عبارة عن كثيرات حدود متناظرة من الجذور x 1 ، x 2 ... ، x n من المعادلة المعطاة ، والأجزاء اليمنى معبر عنها من حيث معامل كثير الحدود.

2.6 المعادلات القابلة للاختزال إلى المربعات (biquadratic)

يتم تقليل معادلات الدرجة الرابعة إلى معادلات تربيعية:

الفأس 4 + bx 2 + c = 0 ،

يسمى biquadratic ، علاوة على ذلك ، ≠ 0.

يكفي وضع x 2 \ u003d y في هذه المعادلة ، لذلك

ay² + في + c = 0

أوجد جذور المعادلة التربيعية الناتجة

ص 1،2 =

لإيجاد الجذور x 1 و x 2 و x 3 و x 4 على الفور ، استبدل y بـ x واحصل على

x2 =

× 1،2،3،4 = .

إذا كانت معادلة الدرجة الرابعة x 1 ، فإن لها أيضًا جذر x 2 \ u003d -x 1 ،

إذا كان لديك x 3 ، ثم x 4 \ u003d - x 3. مجموع جذور هذه المعادلة هو صفر.

مثال :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

نستبدل المعادلة في صيغة جذور المعادلات البيكودية:

× 1،2،3،4 = ,

مع العلم أن x 1 \ u003d -x 2 و x 3 \ u003d -x 4 ، ثم:

× 3.4 =

إجابة: س 1.2 = ± 2 ؛ × 1.2 =

2.7 دراسة المعادلات البيكودية

لنأخذ المعادلة البيكودية

الفأس 4 + bx 2 + c = 0 ،

حيث a ، b ، c هي أرقام حقيقية ، و a> 0. من خلال تقديم مساعد غير معروف y = x² ، نقوم بفحص جذور هذه المعادلة ، وإدخال النتائج في جدول (انظر الملحق رقم 1)

2.8 صيغة كاردانو

إذا استخدمنا الرمزية الحديثة ، فيمكن أن يبدو اشتقاق صيغة كاردانو كما يلي:

س =

تحدد هذه الصيغة جذور المعادلة العامة للدرجة الثالثة:

الفأس 3 + 3 ب × 2 + 3 ج س + د = 0.

هذه الصيغة مرهقة ومعقدة للغاية (تحتوي على العديد من الجذور المعقدة). لا يتم تطبيقه دائمًا ، لأن. من الصعب جدًا إكماله.

2.9 المعادلات المتماثلة من الدرجة الثالثة

تسمى المعادلات المتماثلة من الدرجة الثالثة معادلات النموذج

ax³ + bx² + bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx - a = 0 ( 2 )

حيث أ و ب معطون رقمين ، و a¹0.

دعونا نظهر كيف المعادلة ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a (x³ + 1) + bx (x + 1) = a (x + 1) (x² - x + 1) + bx (x + 1) = (x + 1) (ax² + (ب - أ) س + أ).

نحصل على تلك المعادلة ( 1 ) يعادل المعادلة

(س + 1) (فأس² + (ب - أ) س + أ) = 0.

إذن ، ستكون جذوره هي جذور المعادلة

فأس² + (ب - أ) س + أ = 0

والعدد س = -1

المعادلة ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a (x³ - 1) + bx (x - 1) = a (x - 1) (x² + x + 1) + bx (x - 1) = (x - 1) (ax) 2 + فأس + أ + ب س) = (س - 1) (فأس² + (ب + أ) س + أ).

1) مثال :

2x³ + 3x² - 3x - 2 = 0

من الواضح أن x 1 = 1 و

x 2 و x 3 هما جذور المعادلة 2x² + 5x + 2 = 0 ،

دعنا نجدهم من خلال المميز:

× 1.2 =

× 2 \ u003d - ، × 3 \ u003d -2

2) مثال :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

من الواضح أن x 1 \ u003d -1 و

x 2 و x 3 هما جذور المعادلة 5x² + 26x + 5 = 0 ،

دعنا نجدهم من خلال المميز:

× 1.2 =

× 2 \ u003d -5 ، × 3 \ u003d -0.2.

2.10 معادلات الإرجاع

معادلة مقلوبة - معادلة جبرية

أ 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n - 1 x + a n \ u003d 0 ،

حيث k \ u003d a n - k ، حيث k \ u003d 0 ، 1 ، 2 ... n ، علاوة على ذلك ، a ≠ 0.

يتم تقليل مشكلة إيجاد جذور المعادلة المقلوبة إلى مشكلة إيجاد حلول لمعادلة جبرية من الدرجة الأقل. تم تقديم مصطلح المعادلات المتبادلة بواسطة L.Euler.

معادلة الدرجة الرابعة بالشكل:

الفأس 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0 ، (أ ≠ 0).

إحضار هذه المعادلة إلى النموذج

أ (س² + م² / س²) + ب (س + م / س) + ج = 0 ، ص = س + م / س و ص² - 2 م = س² + م² / س² ،

حيث يتم تقليل المعادلة إلى تربيعية

ay² + في + (c-2am) = 0.

3 س 4 + 5 س 3 - 14 س 2 - 10 س + 12 = 0

بقسمة ذلك على x 2 ، نحصل على المعادلة المكافئة

3x 2 + 5x - 14-5 × أو

أين و

3 (ص 2-4) + 5 ص - 14 = 0 ، من أين

ص 1 = ص 2 = -2 ، لذلك

و أين

الإجابة: × 1.2 = × 3.4 =.

المعادلات المتماثلة هي حالة خاصة من المعادلات المتبادلة. تحدثنا عن المعادلات المتماثلة من الدرجة الثالثة في وقت سابق ، لكن هناك معادلات متماثلة من الدرجة الرابعة.

المعادلات المتماثلة من الدرجة الرابعة.

1) إذا كانت m = 1 ، فهذه معادلة متماثلة من النوع الأول ، لها الصيغة

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 وحل بالتعويض الجديد

2) إذا كانت m = -1 ، فهذه معادلة متماثلة من النوع الثاني ، لها الصيغة

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 وحل بالتعويض الجديد

2.11 مخطط هورنر

لتقسيم كثيرات الحدود ، يتم تطبيق قاعدة "تقسيم الزاوية" أو مخطط هورنر . لهذا الغرض ، يتم ترتيب كثيرات الحدود بدرجات متناقصة Xوابحث عن الحد الأعلى للحاصل Q (x) من شرط أنه عندما يتم ضربه بالمصطلح الأول للمقسوم عليه D (x) ، يتم الحصول على المصطلح الأول من الأرباح P (x). يتم ضرب العضو الموجود في حاصل القسمة ، ثم بالمقسوم عليه وطرحه من المقسوم. يتم تحديد العضو الأقدم في حاصل القسمة من الشرط الذي ، عند ضربه بالعضو الأعلى في المقسوم عليه ، فإنه يعطي العضو الأكبر من فرق متعدد الحدود ، إلخ. وتستمر العملية حتى تصبح درجة الاختلاف أقل من درجة المقسوم عليه (انظر الملحق رقم 2).

في حالة المعادلات R = 0 ، يتم استبدال هذه الخوارزمية بمخطط هورنر.

مثال :

س 3 + 4 س 2 + س - 6 = 0

نجد قواسم المصطلح الحر ± 1 ؛ ± 2 ؛ ± 3 ؛ ± 6.

نشير إلى الجانب الأيسر من المعادلة بواسطة f (x). من الواضح أن f (1) = 0 ، x1 = 1. قسّم f (x) على x - 1. (انظر الملحق رقم 3)

x 3 + 4x 2 + x - 6 \ u003d (x - 1) (x 2 + 5x + 6)

سيتم الإشارة إلى العامل الأخير بواسطة Q (x). نحل المعادلة Q (x) = 0.

× 2.3 =

إجابة : 1; -2; -3.

في هذا الفصل ، قدمنا بعض الصيغ لحل المعادلات المختلفة. معظم هذه الصيغ هي حلول لمعادلات معينة. هذه الخصائص مريحة للغاية ، لأنه من الأسهل بكثير حل المعادلات باستخدام صيغة منفصلة لهذه المعادلة ، وليس وفقًا لمبدأ عام. لقد قدمنا دليلاً والعديد من الأمثلة لكل طريقة.

خاتمة

في الفصل الأول ، تم النظر في تاريخ ظهور المعادلات التربيعية والمعادلات ذات الرتب الأعلى. تم حل المعادلات المختلفة منذ أكثر من 25 قرنًا. تم إنشاء العديد من الطرق لحل مثل هذه المعادلات في بابل ، الهند. كانت الحاجة إلى المعادلات وستكون كذلك.

يقدم الفصل الثاني طرقًا مختلفة لحل (إيجاد الجذور) المعادلات التربيعية والمعادلات ذات الرتب الأعلى. في الأساس ، هذه طرق لحل المعادلات ذات الطبيعة الخاصة ، أي لكل مجموعة من المعادلات التي توحدها بعض الخصائص أو النوع المشترك ، يتم إعطاء قاعدة خاصة تنطبق فقط على هذه المجموعة من المعادلات. هذه الطريقة (اختيار المعادلة الخاصة بك لكل معادلة) أسهل بكثير من إيجاد الجذور من خلال المميز.

في هذا المقال ، تم تحقيق جميع الأهداف وتم الانتهاء من المهام الرئيسية ، وتم إثبات وتعلم الصيغ الجديدة غير المعروفة سابقًا. لقد عملنا من خلال العديد من المتغيرات من الأمثلة قبل وضعها في الملخص ، لذلك نحن نعرف بالفعل كيفية حل بعض المعادلات. سيكون كل حل مفيدًا لنا في مزيد من الدراسات. ساعد هذا المقال في تصنيف المعارف القديمة وتعلم معارف جديدة.

فهرس

1. Vilenkin N. Ya. "الجبر للصف الثامن" ، M. ، 1995.

2. جاليتسكي م. "مجموعة من المسائل في الجبر" ، م 2002.

3. Daan-Dalmediko D. "الطرق والمتاهات" ، M. ، 1986.

4. Zvavich L.I. "الجبر للصف الثامن" ، M. ، 2002.

5. كوشنير أ. "المعادلات" ، كييف 1996.

6. Savin Yu.P. "القاموس الموسوعي لعالم رياضيات شاب" ، M. ، 1985.

7. مردكوفيتش أ. "الجبر للصف الثامن" م ، 2003.

8. خضوبين أ. "مجموعة المسائل في الجبر" ، م ، 1973.

9. Sharygin I.F. "دورة اختيارية في الجبر" م ، 1989.

المرفق 1

دراسة المعادلات البيكودية

ج	ب		الاستنتاجات
ج	ب		على جذور المعادلة المساعدة ay² + by + c = 0	حول جذور هذه المعادلة أ (س²) ² + ب س² + ج = 0
ج< 0	ب- أي رقم حقيقي		ذ< 0 ; y > 0 1 2	س = ± Öy
ج> 0	ب<0	د> 0		س = ± Öy
		د = 0	ص> 0	س = ± Öy
		د< 0	لا جذور	لا جذور
	ب ≥ 0			لا جذور
			لا جذور	لا جذور
			ص> 0 ذ< 0 1 2	س = ± Öy
ج = 0	ب> 0		ص = 0	س = 0
	ب = 0		ص = 0	س = 0
	ب< 0		ص = 0	س = 0

الملحق 2

قسمة كثير الحدود على "ركن" متعدد الحدود

أ 0	أ 1	أ 2	...	أ	ج
+
ب 0 ج	ب 1 ج	…	ب ن -1 ج
ب 0	ب 1	ب 2	…	ب ن	= R (الباقي)

الملحق 3

مخطط هورنر

جذر
	1	4	1	-6	1
× 1 = 1
هدم	5	6	0
	1	1 × 1 + 4 = 5	5 × 1 + 1 = 6	6 × 1 - 6 = 0
جذر
× 1 = 1

§ 1. من تاريخ ظهور المعادلات التربيعية

2.11 مخطط هورنر

اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فيت خاصية غريبة جدًا لجذور المعادلة التربيعية. تسمى هذه الخاصية نظرية فييتا:

إذن ، فإن العددين x 1 و x 2 هما جذور المعادلة:

الفأس² + ب س + ج = 0

لدينا هويات

نستبدل المعادلة في صيغة جذور المعادلات البيكودية:

ج< 0

ذ< 0 ; y > 0

1 2

س = ± Öy

س = ± Öy

س = ± Öy

ص> 0 ذ< 0

1 2

س = ± Öy

ربما ستكون مهتمًا