نظام عدم المساواةمن المعتاد استدعاء أي مجموعة من اثنين أو أكثر من المتباينات التي تحتوي على كمية غير معروفة.

يتم توضيح هذه الصيغة بوضوح ، على سبيل المثال ، من خلال هذا أنظمة عدم المساواة:

حل نظام المتباينات - يعني العثور على جميع قيم المتغير المجهول الذي تتحقق من أجله كل متباينة في النظام ، أو لإثبات عدم وجود مثل هذا المتغير .

لذلك ، لكل فرد عدم المساواة في النظاماحسب المتغير المجهول. علاوة على ذلك ، من القيم الناتجة ، يختار فقط القيم الصحيحة لكل من التفاوتات الأولى والثانية. لذلك ، عند استبدال القيمة المختارة ، تصبح كلا التفاوتات في النظام صحيحة.

دعنا نحلل حل العديد من عدم المساواة:

ضع أحدهما تحت الزوج الآخر من خطوط الأرقام ؛ ضع القيمة في الأعلى x، والتي بموجبها أول عدم مساواة o ( x> 1) تصبح صحيحة ، وفي الأسفل ، القيمة X، وهي حل المتباينة الثانية ( X> 4).

بمقارنة البيانات الموجودة على خطوط الأرقام، لاحظ أن الحل لكليهما عدم المساواةسوف يكون X> 4. الإجابة ، X> 4.

مثال 2

حساب الأول عدم المساواةنحصل على -3 X< -6, или x> 2 ، الثانية - X> -8 أو X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения Xالذي تحته الأول عدم المساواة في النظام، وعلى خط الأعداد السفلي ، كل هذه القيم X، والتي بموجبها تتحقق عدم المساواة الثانية للنظام.

بمقارنة البيانات ، نجد كلاهما عدم المساواةسيتم تنفيذه لجميع القيم Xوضعت من 2 إلى 8. مجموعات من القيم Xدل عدم المساواة المزدوجة 2 < X< 8.

مثال 3لنجد

عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة هي واحدة من الموضوعات التي يتم تناولها في المدرسة الثانويةفي الجبر. من حيث الصعوبة ، فهي ليست الأصعب ، لأنها تحتوي على قواعد بسيطة (حولها بعد قليل). كقاعدة عامة ، يتعلم أطفال المدارس حل أنظمة عدم المساواة بسهولة تامة. ويرجع هذا أيضًا إلى حقيقة أن المعلمين ببساطة "يدربون" طلابهم على هذا الموضوع. ولا يسعهم إلا أن يفعلوا ذلك ، لأنه يتم دراسته في المستقبل باستخدام كميات رياضية أخرى ، ويتم فحصه أيضًا من أجل OGE وامتحان الدولة الموحد. في الكتب المدرسية ، يتم تناول موضوع عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة بتفصيل كبير ، لذلك إذا كنت ستدرسه ، فمن الأفضل اللجوء إليها. تعيد هذه المقالة سرد المواد الكبيرة فقط ، وقد يكون هناك بعض الإغفالات فيها.

مفهوم نظام عدم المساواة

إذا لجأنا إلى اللغة العلمية ، يمكننا تحديد مفهوم "نظام عدم المساواة". هذا نموذج رياضي يمثل العديد من عدم المساواة. هذا النموذج ، بالطبع ، يتطلب حلاً ، وسيكون الحل العام لجميع عدم المساواة في النظام المقترح في المهمة (عادةً ما يتم كتابته على هذا النحو ، على سبيل المثال: "حل نظام المتباينات 4 × + 1> 2 و 30 - x> 6 ... "). ومع ذلك ، قبل الانتقال إلى أنواع وطرق الحلول ، تحتاج إلى فهم شيء آخر.

نظم المتباينات وأنظمة المعادلات

في طور الدراسة موضوع جديدفي كثير من الأحيان هناك سوء تفاهم. من ناحية ، كل شيء واضح وأنا أفضل أن أبدأ في حل المهام ، ولكن من ناحية أخرى ، تبقى بعض اللحظات في "الظل" ، وهي غير مفهومة جيدًا. أيضًا ، يمكن أن تتشابك بعض عناصر المعرفة المكتسبة بالفعل مع عناصر جديدة. نتيجة لهذا "التراكب" أخطاء تحدث في كثير من الأحيان.

لذلك ، قبل الشروع في تحليل موضوعنا ، يجب أن نتذكر الاختلافات بين المعادلات وعدم المساواة وأنظمتها. للقيام بذلك ، عليك أن تشرح مرة أخرى ما هي هذه المفاهيم الرياضية. المعادلة هي دائمًا مساواة ، وهي دائمًا مساوية لشيء ما (في الرياضيات ، يتم الإشارة إلى هذه الكلمة بعلامة "="). عدم المساواة هو نموذج تكون فيه إحدى القيم إما أكبر أو أقل من أخرى ، أو تحتوي على التأكيد على أنها ليست متطابقة. وبالتالي ، في الحالة الأولى ، من المناسب التحدث عن المساواة ، وفي الحالة الثانية ، بغض النظر عن مدى وضوحها من الاسم نفسه ، حول عدم المساواة في البيانات الأولية. لا تختلف أنظمة المعادلات وعدم المساواة عمليا عن بعضها البعض وطرق حلها هي نفسها. الاختلاف الوحيد هو أن الأول يستخدم المساواة ، بينما يستخدم الأخير عدم المساواة.

أنواع عدم المساواة

هناك نوعان من المتباينات: عددية ومتغير غير معروف. النوع الأول هو القيم (الأرقام) غير المتكافئة مع بعضها البعض ، على سبيل المثال ، 8> 10. النوع الثاني هو عدم المساواة التي تحتوي على متغير غير معروف (يشار إليه بحرف ما الأبجدية اللاتينية، في أغلب الأحيان X). يجب العثور على هذا المتغير. اعتمادًا على عدد المتباينات الموجودة ، يميز النموذج الرياضي بين المتباينات بمتغير واحد (تشكل نظامًا من عدم المساواة بمتغير واحد) أو عدة متغيرات (تشكل نظامًا من عدم المساواة مع عدة متغيرات).

اثنين الأنواع الأخيرةوفقًا لدرجة بنائها ومستوى التعقيد ، تنقسم الحلول إلى بسيطة ومعقدة. تسمى المتباينات البسيطة أيضًا عدم المساواة الخطية. وهي بدورها مقسمة إلى صارمة وغير صارمة. "قل" بشكل صارم على وجه التحديد أن قيمة واحدة يجب أن تكون بالضرورة أقل أو أكثر ، لذلك هذا موجود في شكل نقيعدم المساواة. هناك عدة أمثلة: 8 × + 9> 2 ، 100 - 3 ×> 5 ، إلخ. تتضمن الأمثلة غير الصارمة أيضًا المساواة. بمعنى ، يمكن أن تكون إحدى القيم أكبر من أو تساوي قيمة أخرى (العلامة "≥") أو أقل من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≤"). حتى في المتباينات الخطية ، فإن المتغير لا يقف عند الجذر ، ولا يقبل القسمة على أي شيء ، ولهذا السبب يطلق عليهم اسم "بسيط". تتضمن المتغيرات المعقدة متغيرات غير معروفة ، يتطلب اكتشافها المزيد من العمليات الحسابية. غالبًا ما تكون في مربع أو مكعب أو تحت الجذر ، ويمكن أن تكون معيارية أو لوغاريتمية أو كسرية ، إلخ. ولكن نظرًا لأن مهمتنا هي فهم حل أنظمة عدم المساواة ، فسوف نتحدث عن نظام من المتباينات الخطية. ومع ذلك ، قبل ذلك ، ينبغي قول بضع كلمات عن خصائصها.

خصائص عدم المساواة

تشمل خصائص عدم المساواة الأحكام التالية:

1. تنعكس علامة عدم المساواة إذا تم تطبيق عملية تغيير تسلسل الأضلاع (على سبيل المثال ، إذا كانت t 1 ≤ t 2 ، ثم t 2 ≥ t 1).
2. كلا الجزأين من المتباينة يسمحان لك بإضافة نفس الرقم لنفسك (على سبيل المثال ، إذا كان t 1 ≤ t 2 ، ثم t 1 + رقم ≤ t 2 + رقم).
3. اثنين أو أكثر من المتباينات التي لها إشارة من نفس الاتجاه تسمح لك بجمع الجزأين الأيمن والأيسر (على سبيل المثال ، إذا كان t 1 ≥ t 2 ، t 3 t 4 ، ثم t 1 + t 3 t 2 + t 4 ).
4. يسمح كلا الجزأين من المتباينة بضربهما أو قسمة نفس العدد الموجب (على سبيل المثال ، إذا كان t 1 ≤ t 2 والعدد ≤ 0 ، فإن الرقم t 1 ≥ الرقم t 2).
5. اثنان أو أكثر من المتباينات التي لها حدود موجبة وإشارة من نفس الاتجاه تسمح بضربها في بعضها البعض (على سبيل المثال ، إذا كانت t 1 ≤ t 2، t 3 ≤ t 4، t 1، t 2، t 3، t 4 ≥ 0 ثم t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. كلا الجزأين من المتباينة يسمحان بضربهما أو قسمةهما على نفس الشيء رقم سالب، لكن علامة عدم المساواة تتغير (على سبيل المثال ، إذا كان t 1 ≤ t 2 ورقم ≤ 0 ، فإن الرقم t 1 ≥ رقم t 2).
7. جميع المتباينات لها خاصية العبور (على سبيل المثال ، إذا كان t 1 ≤ t 2 و t 2 t 3 ، ثم t 1 ≤ t 3).

الآن ، بعد دراسة الأحكام الرئيسية للنظرية المتعلقة بعدم المساواة ، يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى دراسة قواعد حل أنظمتها.

حل أنظمة عدم المساواة. معلومات عامة. حلول

كما ذكرنا أعلاه ، الحل هو قيم المتغير التي تناسب جميع المتباينات في النظام المحدد. حل أنظمة عدم المساواة هو التنفيذ عمليات رياضية، مما يؤدي في النهاية إلى حل النظام بأكمله أو إثبات عدم وجود حلول له. في هذه الحالة ، يُقال أن المتغير يشير إلى مجموعة رقمية فارغة (مكتوبة على النحو التالي: حرف يدل على متغير∈ (العلامة "تنتمي") ø (علامة "مجموعة فارغة") ، على سبيل المثال ، x ∈ ø (تقرأ: "المتغير" x "ينتمي إلى المجموعة الفارغة"). هناك عدة طرق لحل أنظمة عدم المساواة: الرسوم البيانية ، والجبرية ، وطريقة الاستبدال. وتجدر الإشارة إلى أنهم كذلك النماذج الرياضية، والتي لها العديد من المتغيرات غير المعروفة. في حالة وجود واحد فقط ، تكون طريقة الفاصل الزمني مناسبة.

طريقة رسومية

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة مع عدة مجاهيل (من اثنين أو أكثر). بفضل هذه الطريقة ، يتم حل نظام المتباينات الخطية بسهولة وبسرعة ، لذا فهي الطريقة الأكثر شيوعًا. وذلك لأن التخطيط يقلل من كمية كتابة العمليات الرياضية. يصبح من اللطيف بشكل خاص أن تأخذ استراحة صغيرة من القلم ، وتلتقط قلم رصاص بمسطرة والمضي قدمًا في إجراءات أخرى بمساعدتهم عندما يتم إنجاز الكثير من العمل وتريد القليل من التنوع. ومع ذلك ، يكره البعض هذه الطريقة نظرًا لحقيقة أنه يجب عليك الابتعاد عن المهمة وتبديل ملف نشاط عقلىللرسم. ومع ذلك ، فهي طريقة فعالة للغاية.

لحل نظام المتباينات باستخدام طريقة الرسم، من الضروري نقل جميع شروط كل عدم مساواة إلى الجهه اليسرى. سيتم عكس الإشارات ، وكتابة الصفر على اليمين ، ثم يجب كتابة كل متباينة على حدة. نتيجة لذلك ، سيتم الحصول على الوظائف من عدم المساواة. بعد ذلك ، يمكنك الحصول على قلم رصاص ومسطرة: الآن تحتاج إلى رسم رسم بياني لكل وظيفة تم الحصول عليها. ستكون مجموعة الأعداد الكاملة التي ستكون في فترة تقاطعها هي حل نظام المتباينات.

الطريقة الجبرية

يسمح لك بحل نظام من المتباينات بمتغيرين غير معروفين. أيضا ، يجب أن يكون لعدم المساواة نفس العلامةعدم المساواة (أي ، يجب أن تحتوي إما فقط على علامة "أكبر من" ، أو فقط علامة "أقل من" ، وما إلى ذلك) على الرغم من قيودها ، فإن هذه الطريقة أكثر تعقيدًا أيضًا. يتم تطبيقه على مرحلتين.

الأول يتضمن إجراءات التخلص من أحد المتغيرات غير المعروفة. تحتاج أولاً إلى تحديده ، ثم التحقق من وجود الأرقام أمام هذا المتغير. إذا لم يكن هناك أي شيء (سيبدو المتغير كحرف واحد) ، فلن نغير أي شيء ، إذا كان هناك (نوع المتغير سيكون ، على سبيل المثال ، 5y أو 12y) ، فمن الضروري التأكد أنه في كل متباينة يكون الرقم الموجود أمام المتغير المحدد هو نفسه. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب كل عنصر من المتباينات في عامل مشترك ، على سبيل المثال ، إذا تم كتابة 3y في المتباينة الأولى ، و 5y في المتباينة الثانية ، فأنت بحاجة إلى ضرب جميع أعضاء المتباينة الأولى في 5 ، والثاني بمقدار 3. وسيتحول إلى 15 عامًا و 15 عامًا على التوالي.

المرحلة الثانية من القرار. من الضروري نقل الطرف الأيسر من كل متباينة إلى جانبيها الأيمن مع تغيير إشارة كل حد إلى الجهة المقابلة ، اكتب صفرًا على اليمين. ثم يأتي الجزء الممتع: التخلص من المتغير المختار (المعروف أيضًا باسم "الاختزال") مع جمع المتباينات. سوف تحصل على متباينة مع متغير واحد يجب حله. بعد ذلك ، يجب أن تفعل الشيء نفسه ، فقط مع متغير آخر غير معروف. ستكون النتائج التي تم الحصول عليها هي الحل للنظام.

طريقة الاستبدال

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة عندما يكون من الممكن إدخال متغير جديد. عادةً ما يتم استخدام هذه الطريقة عندما يتم رفع المتغير المجهول في أحد حدود المتباينة إلى الأس الرابع ، وفي المصطلح الآخر يتم تربيعه. وبالتالي ، تهدف هذه الطريقة إلى تقليل درجة عدم المساواة في النظام. تم حل متباينة العينة x 4 - x 2-1 ≤ 0 بهذه الطريقة على النحو التالي. تم إدخال متغير جديد ، على سبيل المثال t. يكتبون: "دع t = x 2" ، ثم تتم إعادة كتابة النموذج في شكل جديد. في حالتنا ، نحصل على t 2 - t - 1 ≤0. يجب حل هذه المتباينة بطريقة الفترة (حولها بعد قليل) ، ثم العودة إلى المتغير X ، ثم افعل الشيء نفسه مع متباينة أخرى. الإجابات المستلمة ستكون قرار النظام.

طريقة التباعد

هذه هي أسهل طريقة لحل أنظمة عدم المساواة ، وهي في نفس الوقت عالمية وواسعة الانتشار. يتم استخدامه في المدرسة الثانوية ، وحتى في المدرسة الثانوية. يكمن جوهرها في حقيقة أن الطالب يبحث عن فترات من عدم المساواة على خط الأعداد ، والتي يتم رسمها في دفتر ملاحظات (هذا ليس رسمًا بيانيًا ، ولكنه مجرد خط مستقيم عادي به أرقام). عندما تتقاطع فترات عدم المساواة ، يتم إيجاد حل النظام. لاستخدام طريقة التباعد ، يجب اتباع الخطوات التالية:

1. يتم نقل جميع أعضاء كل متباينة إلى الطرف الأيسر مع تغيير إشارة إلى العكس (صفر مكتوب على اليمين).
2. يتم كتابة المتباينات بشكل منفصل ، ويتم تحديد حل كل منها.
3. تم العثور على تقاطعات عدم المساواة على الخط الحقيقي. سيكون الحل هو كل الأرقام الموجودة في هذه التقاطعات.

أي طريقة لاستخدام؟

من الواضح أنه الأكثر سهولة وملاءمة ، ولكن هناك أوقات تتطلب فيها المهام طريقة معينة. في أغلب الأحيان ، يقولون إنك تحتاج إلى حل إما باستخدام رسم بياني أو باستخدام طريقة الفاصل الزمني. يتم استخدام الطريقة الجبرية والاستبدال نادرًا جدًا أو لا يتم استخدامهما على الإطلاق ، نظرًا لأنها معقدة ومربكة للغاية ، بالإضافة إلى أنها تستخدم أكثر في حل أنظمة المعادلات بدلاً من عدم المساواة ، لذلك يجب اللجوء إلى رسم الرسوم البيانية والفواصل الزمنية. إنها تجلب الرؤية ، والتي لا يمكن إلا أن تساهم في إجراء العمليات الحسابية بكفاءة وسرعة.

إذا كان هناك شيء لا يعمل

أثناء دراسة موضوع معين في الجبر ، بالطبع ، قد تنشأ مشاكل في فهمه. وهذا أمر طبيعي ، لأن دماغنا مصمم بطريقة تجعله غير قادر على فهم المواد المعقدة دفعة واحدة. غالبًا ما تحتاج إلى إعادة قراءة فقرة أو الاستعانة بمعلم أو التدرب على حل المشكلات المعتادة. في حالتنا ، ينظرون ، على سبيل المثال ، على النحو التالي: "حل نظام المتباينات 3 x + 1 ≥ 0 و 2 x - 1> 3". وبالتالي ، فإن السعي الشخصي ومساعدة الأشخاص الآخرين والممارسة تساعد في فهم أي موضوع معقد.

Reshebnik؟

وكتاب الحل مناسب تمامًا أيضًا ، ولكن ليس للغش في الواجبات المنزلية ، ولكن للمساعدة الذاتية. في هذه الأنظمة ، يمكنك العثور على أنظمة من عدم المساواة مع حل ، والنظر إليها (كنماذج) ، ومحاولة فهم كيفية تعامل مؤلف الحل مع المهمة بالضبط ، ثم محاولة القيام بذلك بنفسك.

الاستنتاجات

الجبر من أصعب المواد في المدرسة. حسنا، ماذا يمكنك أن تفعل؟ لطالما كانت الرياضيات على هذا النحو: بالنسبة للبعض تأتي بسهولة ، وبالنسبة للآخرين فهي صعبة. ولكن على أي حال ، يجب أن نتذكر أن برنامج التعليم العام مصمم بطريقة يمكن لأي طالب التعامل معها. بالإضافة إلى ذلك ، عليك أن تضع في اعتبارك عددًا كبيرًا من المساعدين. تم ذكر بعضها أعلاه.

برنامج حل المتباينات الخطية والتربيعية والكسرية لا يعطي فقط إجابة للمسألة ، بل يعطي حلاً مفصلاً مع التفسيرات ، أي يعرض عملية الحل من أجل التحقق من معرفة الرياضيات و / أو الجبر.

علاوة على ذلك ، إذا كان من الضروري في عملية حل أحد عدم المساواة ، على سبيل المثال ، معادلة من الدرجة الثانية، ثم يتم عرض حلها التفصيلي أيضًا (يتم تضمينه في المفسد).

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية استعدادًا لـ مراقبة العمل، الآباء للسيطرة على حل عدم المساواة من قبل أطفالهم.

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية استعدادًا للاختبارات والامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحد ، للآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد إنجاز ذلك في أسرع وقت ممكن؟ واجب منزليالرياضيات أم الجبر؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

قواعد إدخال اللامساواة

يمكن لأي حرف لاتيني أن يعمل كمتغير.
على سبيل المثال: \ (x ، y ، z ، a ، b ، c ، o ، p ، q \) إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأعداد صحيحة أو كسور.
علاوة على ذلك، أعداد كسريةيمكن إدخالها ليس فقط ككسر عشري ، ولكن أيضًا ككسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية ، يمكن فصل الجزء الكسري من العدد الصحيح إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل هذا: 2.5x - 3.5x ^ 2

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
المدخلات: 3 & 1 / 3-5 & 6 / 5y + 1 / 7y ^ 2
النتيجة: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) y + \ frac (1) (7) y ^ 2 \)

يمكن استخدام الأقواس عند إدخال التعبيرات. في هذه الحالة ، عند حل المتباينة ، يتم تبسيط المقادير أولاً.
فمثلا: 5 (أ + 1) ^ 2 + 2 & 3/5 + أ> 0.6 (أ -2) (أ + 3)

يختار العلامة المطلوبةعدم المساواة وأدخل كثيرات الحدود في الحقول أدناه.

أول عدم مساواة في النظام.

انقر فوق الزر لتغيير نوع المتباينة الأولى.

> >= < <=

حل نظام المتباينات

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل JavaScript في المستعرض الخاص بك.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لان هناك الكثير من الأشخاص الذين يريدون حل المشكلة ، طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

نظم عدم المساواة مع واحد غير معروف. مسافات رقمية

لقد تعرفت على مفهوم النظام في الصف السابع وتعلمت كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية ذات مجهولين. بعد ذلك ، سيتم النظر في أنظمة المتباينات الخطية مع واحد غير معروف. يمكن كتابة مجموعات حل أنظمة المتباينات باستخدام فترات (فترات زمنية ، أنصاف فترات ، شرائح ، أشعة). سوف تتعلم أيضًا عن تدوين الفواصل العددية.

إذا كان في المتباينات \ (4x> 2000 \) و \ (5x \ leq 4000 \) الرقم المجهول x هو نفسه ، فإن هذه المتباينات تعتبر معًا ويقال إنها تشكل نظامًا من عدم المساواة: $$ \ left \ (\ start (array) (l) 4x> 2000 \\ 5x \ leq 4000 \ end (array) \ right. $$

يوضح القوس المتعرج أنك بحاجة إلى إيجاد قيم x التي من أجلها تتحول كلا المتباينات في النظام إلى متباينات عددية حقيقية. هذا النظام- مثال على نظام من المتباينات الخطية مع واحد غير معروف.

حل نظام من عدم المساواة مع واحد غير معروف هو قيمة المجهول حيث تتحول جميع المتباينات في النظام إلى متباينات عددية حقيقية. يعني حل نظام من عدم المساواة إيجاد جميع الحلول لهذا النظام أو إثبات عدم وجود أي منها.

يمكن كتابة المتباينات \ (x \ geq -2 \) و \ (x \ leq 3 \) كمتباينة مزدوجة: \ (- 2 \ leq x \ leq 3 \).

حلول لأنظمة عدم المساواة مع واحد غير معروف متنوعة عدد مجموعات. هذه المجموعات لها أسماء. لذلك ، على المحور الحقيقي ، يتم تمثيل مجموعة الأرقام x مثل \ (- 2 \ leq x \ leq 3 \) بواسطة مقطع ينتهي عند النقطتين -2 و 3.

-2

3

إذا كان \ (a مقطع ويشار إليه ب [أ ؛ ب]

إذا \ (فترة ويشار إليها ب (أ ؛ ب)

مجموعات من الأرقام \ (x \) التي تحقق المتباينات \ (a \ leq x بنصف فترات ويشار إليها بالرمز [أ ؛ ب) و (أ ؛ ب] على التوالي

يتم استدعاء المقاطع والفواصل الزمنية ونصف الفواصل والأشعة فترات عددية.

وبالتالي ، يمكن تحديد الفواصل العددية في شكل متباينات.

حل المتباينة ذات المجهولين هو زوج من الأعداد (س ؛ ص) يحول هذه المتباينة إلى متباينة عددية حقيقية. لحل متباينة يعني إيجاد مجموعة كل حلولها. لذا ، فإن حلول المتباينة x> y ستكون ، على سبيل المثال ، أزواج من الأرقام (5 ؛ 3) ، (-1 ؛ -1) ، منذ \ (5 \ geq 3 \) و \ (- 1 \ geq - 1 \)

حل أنظمة عدم المساواة

لقد تعلمت بالفعل كيفية حل المتباينات الخطية مع واحدة غير معروفة. اعرف ما هو نظام عدم المساواة وحل النظام. لذلك ، فإن عملية حل أنظمة عدم المساواة مع مجهول لن تسبب لك أي صعوبات.

ومع ذلك نتذكر: لحل نظام من المتباينات ، عليك حل كل متباينة على حدة ، ثم إيجاد تقاطع هذه الحلول.

على سبيل المثال ، تم تقليل النظام الأصلي لعدم المساواة إلى الشكل:
$$ \ يسار \ (\ يبدأ (مجموعة) (ل) س \ جيك -2 \ س \ ليك 3 \ نهاية (صفيف) \ يمين. $$

لحل نظام عدم المساواة هذا ، ضع علامة على حل كل متباينة على المحور الحقيقي وابحث عن تقاطعها:

-2

3

التقاطع هو المقطع [-2؛ 3] - هذا هو حل نظام المتباينات الأصلي.

في هذا المقال أجيب على سؤال آخر من المشتركين في قناتي. الأسئلة مختلفة. لم تتم صياغة كل منهم بشكل صحيح. وقد تمت صياغة بعضها بطريقة لا يمكن على الفور فهم ما يريد المؤلف سؤاله. لذلك ، من بين العدد الهائل من الأسئلة المرسلة ، يجب أن أختار "اللآلئ" المثيرة للاهتمام حقًا ، والإجابات عليها ليست مثيرة فحسب ، ولكنها مفيدة أيضًا ، كما يبدو لي ، لقرائي الآخرين. اليوم أجيب على أحد هذه الأسئلة. كيف نمثل مجموعة الحلول لنظام من عدم المساواة؟


إنها حقا سؤال جيد. لأن طريقة حل المشكلات الرسومية في الرياضيات هي طريقة قوية للغاية. يتم ترتيب الشخص بطريقة تجعله أكثر ملاءمة له لإدراك المعلومات بمساعدة المواد المرئية المختلفة. لذلك ، إذا كنت تتقن هذه الطريقة ، ثم صدقني ، فسيكون لا غنى عنها لكما عند حل المهام من اختبار الدولة الموحد ، وخاصة من الجزء الثاني ، والامتحانات الأخرى ، وعند حل مشاكل التحسين ، وما إلى ذلك.

لذا. كيف يمكننا الاجابة على هذا السؤال. لنبدأ ببساطة. دع نظام المتباينات يحتوي على متغير واحد فقط.

مثال 1. ارسم مجموعة الحلول لنظام المتباينات: Title = "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com">!}

لنبسط هذا النظام. للقيام بذلك ، نضيف 7 إلى كلا الجزأين من المتباينة الأولى ونقسم كلا الجزأين على 2 ، بدون تغيير علامة المتباينة ، لأن 2 عدد موجب. نضيف 4 إلى كلا جزأي المتباينة الثانية ، ونتيجة لذلك نحصل عليها النظام القادمعدم المساواة:

Title = "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com">!}

عادة ما تسمى هذه المشكلة أحادية البعد. لماذا ا؟ نعم ، لأنه من أجل تصوير مجموعة الحلول ، يكفي وجود خط مستقيم. خط الأعداد ، على وجه الدقة. لاحظ النقطتين 6 و 8 على خط الأعداد هذا. من الواضح أن النقطة 8 ستكون على يمين النقطة 6 ، لأنها على خط الأعداد أعداد كبيرةهي على يمين الأصغر. بالإضافة إلى ذلك ، ستظل النقطة 8 مظللة ، بما أنه وفقًا لتدوين المتباينة الأولى ، يتم تضمينها في حلها. على العكس من ذلك ، ستكون النقطة 6 غير مصبوغة ، لأنها غير مدرجة في حل المتباينة الثانية:

دعونا الآن نحدد بسهم من أعلى القيم التي تقل عن أو تساوي 8 ، كما هو مطلوب من قبل المتباينة الأولى للنظام ، وبسهم من أسفل ، القيم التي تكون أكبر من 6 ، مثل التي تتطلبها عدم المساواة الثانية للنظام:

يبقى الإجابة على السؤال ، أين توجد حلول نظام عدم المساواة على خط الأعداد. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد. تحل علامة النظام - القوس المجعد - في الرياضيات محل الاتحاد "و". بمعنى ، ترجمة لغة الصيغ إلى لغة بشرية ، يمكننا القول إننا مطالبون بالإشارة إلى قيم أكبر من 6 وأقل من أو تساوي 8. أي أن الفاصل الزمني المطلوب يقع عند التقاطع من الفترات المحددة:

لذلك قمنا بتصوير مجموعة الحلول لنظام المتباينات على الخط الحقيقي إذا كان نظام المتباينات يحتوي على متغير واحد فقط. تتضمن هذه الفترة المظللة جميع القيم التي تحققت من أجلها جميع المتباينات المكتوبة في النظام.

فكر الآن أكثر حالة صعبة. دع نظامنا يحتوي على متباينات ذات متغيرين و. في هذه الحالة ، لن يكون من الممكن إدارة خط مستقيم فقط لتمثيل حلول مثل هذا النظام. نتجاوز العالم أحادي البعد ونضيف إليه بعدًا آخر. هنا نحتاج إلى طائرة كاملة. ضع في اعتبارك الموقف في مثال محدد.

إذن ، كيف يمكن للمرء أن يصور مجموعة الحلول لنظام معين من المتباينات بمتغيرين في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى؟ لنبدأ بالأبسط. لنسأل أنفسنا ما مساحة هذا المستوى التي تحددها المتباينة. تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا يمر بشكل عمودي على المحور ثورمن خلال النقطة (0 ؛ 0). هذا هو ، في الواقع ، هذا الخط يتطابق مع المحور OY. حسنًا ، نظرًا لأننا مهتمون بقيم أكبر من أو تساوي 0 ، فإن نصف المستوى بأكمله الواقع على يمين الخط المستقيم سيفي بالغرض:

علاوة على ذلك ، كل النقاط التي تقع على المحور OY، هي أيضًا مناسبة لنا ، لأن عدم المساواة ليست صارمة.

لفهم المساحة التي تحدد المتباينة الثالثة على المستوى الإحداثي ، عليك رسم الدالة. هذا خط مستقيم يمر عبر الأصل والنقطة على سبيل المثال (1 ؛ 1). هذا ، في الواقع ، هو خط مستقيم يحتوي على منصف الزاوية التي تشكل ربع الإحداثيات الأول.

الآن دعونا نلقي نظرة على المتباينة الثالثة في النظام ونفكر فيها. ما المنطقة التي نحتاج إلى إيجادها؟ دعونا نرى: . علامة أكبر من أو يساوي. أي أن الوضع مشابه للوضع في المثال السابق. هنا فقط "المزيد" لا تعني "أكثر إلى اليمين" ، بل تعني "أعلى". لان OYهذا هو محورنا العمودي. أي أن المساحة المحددة على المستوى بواسطة المتباينة الثالثة هي مجموعة النقاط الموجودة أعلى أو على الخط:

مع أول عدم مساواة في النظام ، يكون أقل ملاءمة قليلاً. لكن بمجرد أن نكون قادرين على تحديد نطاق عدم المساواة الثالثة ، أعتقد أنه من الواضح كيفية المضي قدمًا.

من الضروري تمثيل هذه المتباينة بحيث يكون المتغير على اليسار فقط ، والمتغير على اليمين فقط. للقيام بذلك ، نطرح المتباينة من كلا الطرفين ونقسم كلا الطرفين على 2 دون تغيير علامة المتباينة ، لأن 2 عدد موجب. نتيجة لذلك ، نحصل على عدم المساواة التالية:

يبقى فقط رسم خط مستقيم يتقاطع مع المحور على مستوى الإحداثيات OYعند النقطة أ (0 ؛ 4) وخط مستقيم عند النقطة. لقد تعلمت الأخير من خلال مساواة الأجزاء الصحيحة من معادلات الخطوط والحصول على المعادلة. من هذه المعادلة ، تم العثور على إحداثيات نقطة التقاطع ، والإحداثيات ، أعتقد أنك خمنتها ، تساوي الإحداثي. بالنسبة لأولئك الذين ما زالوا لا يخمنون ، هذا لأن لدينا معادلة أحد الخطوط المتقاطعة :.

بمجرد رسم هذا الخط المستقيم ، يمكننا تحديد المنطقة المطلوبة على الفور. علامة عدم المساواة هنا "أقل من أو يساوي". هذا يعني أن المنطقة المرغوبة تقع أسفل أو مباشرة على الخط الموضح:

حسنًا ، السؤال الأخير. أين ، بعد كل شيء ، هي المنطقة المرغوبة التي تلبي جميع التفاوتات الثلاثة للنظام؟ من الواضح أنها تقع عند تقاطع جميع المناطق المحددة الثلاثة. عبور مرة أخرى! تذكر: علامة النظام في الرياضيات تعني التقاطع. ها هي هذه المنطقة:

حسنًا ، المثال الأخير. حتى أكثر عمومية. لنفترض الآن أنه ليس لدينا متغير واحد في النظام ولا متغيران ، بل ثلاثة متغير!

نظرًا لوجود ثلاثة متغيرات ، لتمثيل مجموعة الحلول لنظام من المتباينات ، نحتاج إلى بُعد ثالث بالإضافة إلى المتغيرين اللذين استخدمناهما في المثال السابق. أي أننا نخرج من الطائرة إلى الفضاء ونصور بالفعل نظام إحداثيات مكاني بثلاثة أبعاد: X, صو ض. الذي يتوافق مع الطول والعرض والارتفاع.

لنبدأ بتصوير السطح المعطى بالمعادلة في نظام الإحداثيات هذا. في الشكل ، يشبه إلى حد كبير معادلة الدائرة على المستوى ، تتم إضافة مصطلح واحد فقط مع متغير. من السهل تخمين أن هذه هي معادلة الكرة المتمركزة عند النقطة (1 ؛ 3 ؛ 2) ، مربع نصف قطرها هو 4. أي نصف القطر نفسه هو 2.

ثم سؤال. وماذا بعد ذلك يحدد عدم المساواة نفسها؟ بالنسبة لأولئك الذين تحيرهم هذا السؤال ، أقترح التفكير على النحو التالي. عند ترجمة لغة الصيغ إلى الإنسان ، يمكننا القول أنه يلزم الإشارة إلى جميع المجالات التي تتمحور حول النقطة (1 ؛ 3 ؛ 2) ، التي يكون نصف قطرها أقل من أو يساوي 2. ولكن بعد ذلك ستكون كل هذه المجالات داخل يصور المجال! هذا هو ، في الواقع ، هذه اللامساواة تحدد الكل المنطقة الداخليةالكرة المصورة. إذا كنت ترغب في ذلك ، يتم إعطاء كرة ، يحدها الكرة المصورة:

السطح المعطى بالمعادلة x + y + z = 4 هو مستوى يتقاطع مع محاور الإحداثيات عند النقاط (0 ؛ 0 ؛ 4) و (0 ؛ 4 ؛ 0) و (4 ؛ 0 ؛ 0). حسنًا ، من الواضح أنه كلما زاد الرقم الموجود على يمين علامة التساوي ، كلما كانت هناك نقاط تقاطع بين هذا المستوى مع محاور الإحداثيات عن مركز الإحداثيات. أي أن المتباينة الثانية تحدد نصف مسافة تقع "فوق" المستوى المحدد. باستخدام المصطلح الشرطي "أعلى" ، أعني كذلك في اتجاه زيادة قيم الإحداثيات على طول المحاور.

هذه الطائرة تتقاطع مع الكرة المصورة. في هذه الحالة ، المقطع العرضي عبارة عن دائرة. يمكنك حتى حساب المسافة بين مركز هذه الدائرة من مركز نظام الإحداثيات. بالمناسبة ، من يخمن كيفية القيام بذلك ، اكتب الحلول والإجابات في التعليقات. وبالتالي ، فإن النظام الأصلي لعدم المساواة يحدد منطقة من الفضاء أبعد عن هذا المستوى في اتجاه إحداثيات متزايدة ، ولكنها محاطة في الكرة المصورة:

هذه هي الطريقة التي يتم بها وصف مجموعة الحلول لنظام عدم المساواة. إذا كان هناك أكثر من 3 متغيرات في النظام (على سبيل المثال ، 4) ، فلن يكون من الممكن تصوير مجموعة الحلول بشكل مرئي. لأن ذلك سيتطلب نظام إحداثيات رباعي الأبعاد. ولكن شخص طبيعيغير قادر على تخيل كيف يمكن تحديد موقع 4 محاور إحداثيات متعامدة بشكل متبادل. على الرغم من أن لدي صديق يدعي أنه يمكنه فعل ذلك ، وبكل سهولة. لا أعرف ما إذا كان يقول الحقيقة ، ربما الحقيقة. لكن مع ذلك ، فإن الخيال البشري الطبيعي لا يسمح بذلك.

أتمنى أن تكون قد وجدت درس اليوم مفيدًا. للتحقق من مدى تعلمك لها ، قم بالواجب المنزلي أدناه.

ارسم مجموعة الحلول لنظام عدم المساواة:

ql-right-eqno "> title =" (! LANG: تم تقديمها بواسطة QuickLaTeX.com">!}

من إعداد سيرجي فاليريفيتش

درس وعرض حول موضوع: "أنظمة عدم المساواة. أمثلة على الحلول"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف التاسع
دليل الدراسة التفاعلية للصف التاسع "قواعد وتمارين في الهندسة"
كتاب إلكتروني "هندسة مفهومة" للصفوف 7-9

نظام عدم المساواة

يا رفاق ، لقد درست الخطي و مربع عدم المساواةتعلمت كيفية حل المشاكل في هذه المواضيع. الآن دعنا ننتقل إلى مفهوم جديد في الرياضيات - نظام عدم المساواة. نظام عدم المساواة يشبه نظام المعادلات. هل تتذكر أنظمة المعادلات؟ لقد درست أنظمة المعادلات في الصف السابع ، حاول أن تتذكر كيف قمت بحلها.

دعونا نقدم تعريف نظام عدم المساواة.
العديد من المتباينات مع بعض المتغيرات x تشكل نظامًا من المتباينات إذا كنت بحاجة إلى إيجاد جميع قيم x التي تشكل كل من المتباينات تعبيرًا رقميًا حقيقيًا لها.

أي قيمة لـ x يتم تقييمها لكل متباينة لتعبير رقمي صحيح هي حل للمتباينة. يمكن أن يطلق عليه أيضًا حل خاص.
ما هو القرار الخاص؟ على سبيل المثال ، في الإجابة تلقينا التعبير x> 7. إذن ، x = 8 ، أو x = 123 ، أو أي رقم آخر أكبر من سبعة هو حل معين ، والتعبير x> 7 هو حل عام. الحل العام يتكون من مجموعة من الحلول الخاصة.

كيف جمعنا نظام المعادلات؟ هذا صحيح ، قوس مجعد ، لذا يفعلون الشيء نفسه مع المتباينات. لنلقِ نظرة على مثال لنظام المتباينات: $ \ start (الحالات) x + 7> 5 \ x-3
إذا كان نظام المتباينات يتكون من تعبيرات متطابقة ، على سبيل المثال ، $ \ start (الحالات) x + 7> 5 \\ x + 7
إذن ، ماذا يعني إيجاد حل لنظام عدم المساواة؟
حل عدم المساواة هو مجموعة من الحلول الجزئية لعدم المساواة التي ترضي كلا التفاوتات في النظام مرة واحدة.

نكتب الشكل العام لنظام عدم المساواة على النحو التالي $ \ start (cases) f (x)> 0 \\ g (x)> 0 \ end (cases) $

لنفترض أن $ X_1 $ يشير إلى الحل العام للمتباينة f (x)> 0.
$ X_2 $ هو الحل العام للمتباينة g (x)> 0.
$ X_1 $ و $ X_2 $ هما مجموعة الحلول الخاصة.
سيكون حل نظام عدم المساواة هو الأرقام التي تنتمي إلى كل من $ X_1 $ و $ X_2 $.
دعونا نلقي نظرة على العمليات على المجموعات. كيف يمكننا إيجاد عناصر المجموعة التي تنتمي إلى كلتا المجموعتين في وقت واحد؟ هذا صحيح ، هناك عملية تقاطع لهذا الغرض. إذن ، سيكون حل المتباينة هو المجموعة $ A = X_1∩ X_2 $.

أمثلة على حلول لأنظمة عدم المساواة

دعونا نرى أمثلة لحل أنظمة المتباينات.

حل نظام المتباينات.
أ) $ \ start (الحالات) 3x-1> 2 \\ 5x-10 b) $ \ begin (cases) 2x-4≤6 \\ - x-4
المحلول.
أ) حل كل متباينة على حدة.
3 × 1 دولار> 2 ؛ \ ؛ 3x> 3 ؛ \ ؛ x> 1 دولار.
5x-10 دولارات
نحتفل بالفواصل الزمنية على خط إحداثيات واحد.

سيكون حل النظام هو قطعة تقاطع فتراتنا. المتباينة صارمة ، ثم الجزء سيكون مفتوحًا.
الجواب: (1 ؛ 3).

ب) نحل أيضًا كل متباينة على حدة.
2x-4≤6 دولارات أمريكية ؛ 2x≤ 10 ؛ x ≤ 5 دولارات.
$ -x-4 -5 دولار.


سيكون حل النظام هو قطعة تقاطع فتراتنا. المتباينة الثانية صارمة ، ثم المقطع سيكون مفتوحًا على اليسار.
الجواب: (-5 ؛ 5].

دعونا نلخص ما تعلمناه.
لنفترض أننا بحاجة إلى حل نظام من عدم المساواة: $ \ start (cases) f_1 (x)> f_2 (x) \\ g_1 (x)> g_2 (x) \ end (cases) $.
إذن ، الفاصل الزمني ($ x_1؛ x_2 $) هو حل المتباينة الأولى.
الفترة ($ y_1؛ y_2 $) هي حل المتباينة الثانية.
حل نظام عدم المساواة هو تقاطع حلول كل متباينة.

يمكن أن تتكون أنظمة عدم المساواة من عدم المساواة ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من أي أنواع أخرى من عدم المساواة.

قواعد مهمة لحل أنظمة عدم المساواة.
إذا لم يكن لإحدى المتباينات في النظام حلول ، فلن يكون لدى النظام بأكمله حلول.
إذا تحققت إحدى المتباينات لأي من قيم المتغير ، فسيكون حل النظام هو حل المتباينة الأخرى.

أمثلة.
حل نظام عدم المساواة: $ \ start (cases) x ^ 2-16> 0 \\ x ^ 2-8x + 12≤0 \ end (cases) $
المحلول.
لنحل كل متباينة على حدة.
$ x ^ 2-16> 0 دولار.
$ (x-4) (x + 4)> 0 دولار.

لنحل المتباينة الثانية.
$ x ^ 2-8x + 12≤0 $.
$ (x-6) (x-2) ≤0 دولار.

حل اللامساواة هو فجوة.
لنرسم كلا الفترتين على خط مستقيم ونجد التقاطع.
تقاطع الفواصل الزمنية هو المقطع (4 ؛ 6].
الجواب: (4 ؛ 6].

حل نظام المتباينات.
أ) $ \ start (الحالات) 3x + 3> 6 \\ 2x ^ 2 + 4x + 4 b) $ \ begin (cases) 3x + 3> 6 \\ 2x ^ 2 + 4x + 4> 0 \ end (الحالات) ) $.

المحلول.
أ) حل المتباينة الأولى هو x> 1.
لنجد المميز للمتباينة الثانية.
د = 16-4 * 2 * 4 = -16 دولار. استرجع القاعدة ، عندما لا توجد حلول لإحدى المتباينات ، فلا توجد حلول للنظام بأكمله.
الجواب: لا توجد حلول.

ب) حل المتباينة الأولى س> 1.
المتباينة الثانية أكبر من صفر لجميع س. ثم يتزامن حل النظام مع حل المتباينة الأولى.
الجواب: x> 1.

مشاكل أنظمة عدم المساواة من أجل حل مستقل

حل أنظمة عدم المساواة:
أ) $ \ start (الحالات) 4x-5> 11 \\ 2x-12 b) $ \ begin (cases) -3x + 1> 5 \\ 3x-11 c) $ \ begin (cases) x ^ 2-25 د) $ \ begin (الحالات) x ^ 2-16x + 55> 0 \\ x ^ 2-17x + 60≥0 \ end (الحالات) $
هـ) $ \ start (الحالات) x ^ 2 + 36