Vjerovatnoća. Zadaci profilnog ispita iz matematike.

Pripremio profesor matematike u MBOU "Licej br. 4", Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

Definicija vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaji A nazivaju omjer broja m povoljni ishodi za ovaj događaj ukupan broj n svi podjednako mogući nekompatibilni događaji koji se mogu dogoditi kao rezultat jednog testa ili promatranja:

m

n

Neka k - broj bacanja novčića, zatim broj mogućih ishoda: n=2 k .

Neka k - broj bacanja kockica, zatim broj mogućih ishoda: n=6 k .

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno jednom.

Rješenje.

Samo 4 opcije: about; oh oh; p p; p p; o .

Povoljno 2: about; R i R; o .

Vjerovatnoća je 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Odgovor: 0,5.

U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da dobijete ukupno 8 bodova. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Rješenje.

Kockice su kockice sa 6 strana. Prva kocka može baciti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6 poena. Svaka opcija bodovanja odgovara 6 opcija za bodovanje na drugom kocku.

One. Ukupno razne opcije 6x6=36.

Opcije (ishodi eksperimenta) će biti sljedeće:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

itd. ..............................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Izbrojimo broj ishoda (opcija) u kojima je zbir bodova dvije kocke 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Samo 5 opcija.

Nađimo vjerovatnoću: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Odgovor: 0,14.

U kolekciji bioloških karata nalazi se ukupno 55 ulaznica, od kojih 11 sadrži pitanje o botanici. Pronađite vjerovatnoću da će student dobiti pitanje o botanici u slučajno odabranoj ispitnoj listi.

Rješenje:

Vjerovatnoća da će student dobiti pitanje o botanici u slučajno odabranom ispitnom listiću je 11/55 = 1/5 = 0,2.

Odgovor: 0.2.

Na prvenstvu u gimnastici učestvuje 20 atletičara: 8 iz Rusije, 7 iz SAD, ostali iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je sportista koji se prvi takmiči iz Kine.

Rješenje.

Ukupno ima 20 sportista.

od kojih 20 - 8 - 7 = 5 sportista iz Kine.

Verovatnoća da će sportista koji se prvi takmiči biti iz Kine je 5/20 = 1/4 = 0,25.

Odgovor: 0,25.

Naučna konferencija se održava u 5 dana. Planirano je ukupno 75 izvještaja - prva tri dana po 17 izvještaja, ostali se ravnomjerno raspoređuju između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. biti zakazan za posljednji dan konferencije?

Rješenje:

Predviđen je posljednji dan konferencije

(75 - 17 × 3) : 2 = 12 izvještaja.

Verovatnoća da će izveštaj profesora M. biti zakazan za poslednji dan konferencije je 12/75 = 4/25 = 0,16.

Odgovor: 0,16.

Prije početka prve runde prvenstva u badmintonu, žrijebom se nasumično dijele učesnici u parove. Ukupno na prvenstvu učestvuje 26 badmintonista, uključujući 10 učesnika iz Rusije, među kojima je i Ruslan Orlov. Naći vjerovatnoću da će u prvom kolu Ruslan Orlov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije?

Rješenje:

Treba napomenuti da Ruslan Orlov mora igrati sa nekim badmintonistom iz Rusije. I sam Ruslan Orlov je takođe iz Rusije.

Verovatnoća da će u prvom kolu Ruslan Orlov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije je 9/25 = 36/100 = 0,36.

Odgovor: 0,36.

Dasha baca kockice dvaput. Postigla je ukupno 8 poena. Pronađite vjerovatnoću da dobijete 2 pri prvom bacanju.

Rješenje.

Ukupno, dvije kocke bi trebale baciti 8 poena. To je moguće ako postoje sljedeće kombinacije:

Samo 5 opcija. Izbrojimo broj ishoda (opcija) u kojima su 2 boda pala pri prvom bacanju.

Ova opcija je 1.

Pronađite vjerovatnoću: 1/5 = 0,2.

Odgovor: 0.2.

Na Svjetskom prvenstvu učestvuje 20 ekipa. Uz pomoć ždrijeba, potrebno ih je podijeliti u pet grupa od po četiri tima. U kutiji se nalaze mešovite karte sa brojevima grupa:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Kapiteni timova izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da će ruski tim biti u trećoj grupi.

Rješenje:

Ukupno ima 20 ekipa, 5 grupa.

Svaka grupa ima 4 ekipe.

Dakle, ukupno smo dobili 20 ishoda, trebalo nam je 4, što znači da je vjerovatnoća da željeni ishod ispadne 4/20 = 0,2.

Odgovor: 0.2.

Dvije fabrike proizvode isto staklo za farove za automobile. Prva fabrika proizvodi 45% ovih naočara, druga - 55%. Prva fabrika proizvodi 3% neispravnih stakala, a druga 1%. Pronađite vjerovatnoću da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno.

Rješenje:

Verovatnoća da je staklo kupljeno u prvoj fabrici i da je neispravno:

R 1 = 0,45 0,03 = 0,0135.

Verovatnoća da je staklo kupljeno u drugoj fabrici i da je neispravno:

R 2 = 0,55 0,01 = 0,0055.

Dakle, prema formuli puna vjerovatnoća jednaka je vjerovatnoća da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno

p = p 1 + str 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Odgovor: 0,019.

Ako velemajstor A. igra bijelog, tada pobjeđuje velemajstora B. sa vjerovatnoćom 0,52. Ako A. igra crno, onda A. pobjeđuje B. sa vjerovatnoćom od 0,3.

Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj igri mijenjaju boju figura. Pronađite vjerovatnoću da A. pobijedi oba puta.

Rješenje:

Šanse za pobjedu u prvoj i drugoj utakmici su nezavisne jedna od druge. Vjerovatnoća nastanka nezavisnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća:

p = 0,52 0,3 = 0,156.

Odgovor: 0,156.

Biatlonac gađa pet puta u mete. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Pronađite vjerovatnoću da je biatlonac prva tri puta pogodio mete, a posljednja dva promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Rješenje:

Rezultat svakog sljedećeg udarca ne zavisi od prethodnih. Dakle, događaji „pogodan prvi hitac“, „pogodan drugi hitac“ itd. nezavisni.

Vjerovatnoća svakog pogotka je 0,8. Dakle, vjerovatnoća promašaja je 1 - 0,8 = 0,2.

1 šut: 0,8

2 šut: 0,8

3 šut: 0,8

4 šut: 0,2

5 šut: 0,2

Prema formuli za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja, nalazimo da je željena vjerovatnoća jednaka:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Odgovor: 0,02.

Prodavnica ima dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan s vjerovatnoćom od 0,05, bez obzira na drugi automat. Pronađite vjerovatnoću da je barem jedan automat uslužan.

Rješenje:

Pronađite vjerovatnoću da su oba automata neispravna.

Ovi događaji su nezavisni, vjerovatnoća njihovog proizvoda jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

0,05 0,05 = 0,0025.

Događaj koji se sastoji u činjenici da je barem jedan automat uslužan je suprotan.

Stoga je njegova vjerovatnoća

1 − 0,0025 = 0,9975.

Odgovor: 0,9975.

Kauboj Džon pogodi muvu u zid sa verovatnoćom od 0,9 ako puca iz revolvera. Ako John ispali neustreljeni revolver, pogodi muvu s vjerovatnoćom od 0,2. Na stolu je 10 revolvera, od kojih su samo 4 upucana. Kauboj Džon ugleda muvu na zidu, nasumično zgrabi prvi revolver na koji naiđe i puca u muvu. Pronađite vjerovatnoću da John promaši.

Rješenje:

Vjerovatnoća da će John promašiti ako zgrabi revolver za metak je:

0,4 (1 - 0,9) = 0,04

Verovatnoća da će Džon promašiti ako zgrabi neustreljeni revolver je:

0,6 (1 - 0,2) = 0,48

Ovi događaji su nekompatibilni, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Odgovor: 0,52.

Tokom artiljerijske gađanja, automatski sistem gađa metu. Ako meta nije uništena, sistem ponovo puca. Pucnjevi se ponavljaju dok se meta ne uništi. Vjerovatnoća uništenja određene mete prvim hicem je 0,4, a svakim sljedećim 0,6. Koliko će hitaca biti potrebno da bi se osiguralo da je vjerovatnoća uništenja mete najmanje 0,98?

Rješenje:

Problem možete riješiti "djelima", računajući vjerovatnoću preživljavanja nakon niza uzastopnih promašaja:

P(1) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Zadnja vjerovatnoća je manja od 0,02, pa je dovoljno pet hitaca u metu.

Odgovor: 5.

U razredu je 26 ljudi, među njima i dva blizanca - Andrej i Sergej. Odeljenje je nasumično podijeljeno u dvije grupe od po 13 ljudi. Pronađite vjerovatnoću da će Andrej i Sergej biti u istoj grupi.

Rješenje:

Neka jedan od blizanaca bude u nekoj grupi.

Zajedno sa njim, u grupi će biti 12 ljudi od 25 preostalih drugova iz razreda.

Vjerovatnoća da će drugi blizanac biti među ovih 12 ljudi jednaka je

P=12:25=0,48.

Odgovor: 0,48.

Slika prikazuje lavirint. Pauk se uvlači u lavirint na tački "Ulaz". Pauk se ne može okrenuti i puzati nazad, stoga na svakom račvanju pauk bira jednu od staza kojom još nije puzao. Uz pretpostavku da je izbor daljeg puta čisto slučajan, odredite s kojom vjerovatnoćom će pauk doći na izlaz D.

Rješenje:

Na svakoj od četiri označene vile, pauk može izabrati ili put koji vodi do izlaza D ili drugu stazu sa vjerovatnoćom od 0,5. To su nezavisni događaji, vjerovatnoća njihovog proizvoda (pauk stiže do izlaza D) jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja. Stoga je vjerovatnoća da se dođe do izlaza D (0,5) 4 = 0,0625.

Lekcija-predavanje na temu "teorija vjerovatnoće"

Zadatak broj 4 sa ispita 2016.

nivo profila.

1 grupa: zadaci o upotrebi klasične formule vjerovatnoće.

• Vježba 1. Taksi kompanija ima 60 automobila; Njih 27 su crne boje sa žutim natpisima na bočnim stranama, ostali su žuta boja sa crnim slovima. Nađite vjerovatnoću da žuti automobil sa crnim natpisima stigne na slučajni poziv.

• Zadatak 2. Miša, Oleg, Nastja i Galja bacaju žreb - ko treba da počne igru. Pronađite vjerovatnoću da Galya neće započeti igru.

• Zadatak 3. U prosjeku, od 1.000 prodanih vrtnih pumpi, 7 curi. Pronađite vjerovatnoću da jedna nasumično odabrana pumpa ne propušta.

• Zadatak 4. U kolekciji karata iz hemije nalazi se samo 15 karata, u 6 njih je pitanje na temu "Kiseline". Pronađite vjerovatnoću da će student dobiti pitanje na temu "Kiseline" u listiću slučajno odabranom na ispitu.

• Zadatak 5. Na prvenstvu u skokovima u vodu takmiči se 45 sportista, među kojima su 4 ronioca iz Španije i 9 ronilaca iz SAD. Redoslijed nastupa određuje se žrijebom. Nađite vjerovatnoću da će dvadeset četvrti skakač biti iz Sjedinjenih Država.

• Zadatak 6. Naučni skup se održava u 3 dana. Planirano je ukupno 40 prijava - 8 izvještaja prvog dana, ostatak se ravnomjerno raspoređuje između drugog i trećeg dana. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. biti zakazan za posljednji dan konferencije?

• Vježba 1. Prije početka prvog kola teniskog prvenstva, žrijebom se nasumično dijele učesnici u parove. Na prvenstvu učestvuje ukupno 26 tenisera, uključujući 9 učesnika iz Rusije, uključujući Timofeja Trubnikova. Pronađite vjerovatnoću da će u prvom kolu Timofey Trubnikov igrati sa bilo kojim teniserom iz Rusije.

• Zadatak 2. Prije početka prve runde prvenstva u badmintonu, žrijebom se nasumično dijele učesnici u parove. Ukupno, na prvenstvu učestvuje 76 badmintonista, uključujući 22 sportista iz Rusije, uključujući Viktora Poljakova. Pronađite vjerovatnoću da će u prvom kolu Viktor Poljakov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije.

• Zadatak 3. U razredu ima 16 učenika, među njima i dva druga - Oleg i Mihail. Razred je nasumično podijeljen u 4 jednake grupe. Pronađite vjerovatnoću da će Oleg i Mihail biti u istoj grupi.

• Zadatak 4. U razredu ima 33 učenika, među njima i dva druga - Andrej i Mihail. Učenici su nasumično podijeljeni u 3 jednake grupe. Pronađite vjerovatnoću da će Andrej i Mihail biti u istoj grupi.

• Vježba 1: U fabrici keramičkog posuđa 20% proizvedenih tanjira je neispravno. Prilikom kontrole kvaliteta proizvoda otkriva se 70% neispravnih ploča. Ostale ploče su na prodaju. Pronađite vjerovatnoću da ploča koja je nasumično odabrana u trenutku kupovine nema nedostataka. Zaokružite odgovor na najbližu stotu.

• Zadatak 2. U fabrici keramičkog posuđa 30% proizvedenih tanjira je neispravno. Prilikom kontrole kvaliteta proizvoda otkriva se 60% neispravnih ploča. Ostale ploče su na prodaju. Pronađite vjerovatnoću da je ploča koja je nasumično odabrana u trenutku kupovine neispravna. Zaokružite odgovor na najbližu stotu.

• Zadatak 3: Dvije fabrike proizvode isto staklo za farove za automobile. Prva fabrika proizvodi 30% ovih naočara, druga - 70%. Prva fabrika proizvodi 3% neispravnih stakala, a druga 4%. Pronađite vjerovatnoću da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno.

2 grupa: pronalaženje vjerovatnoće suprotnog događaja.

• Vježba 1. Vjerovatnoća pogađanja centra mete sa udaljenosti od 20 m za profesionalnog strijelca je 0,85. Pronađite vjerovatnoću da ne pogodite centar mete.

• Zadatak 2. Kod proizvodnje ležajeva prečnika 67 mm, verovatnoća da će se prečnik razlikovati od navedenog za manje od 0,01 mm je 0,965. Pronađite vjerovatnoću da će nasumični ležaj imati prečnik manji od 66,99 mm ili veći od 67,01 mm.

3 grupa: Pronalaženje vjerovatnoće pojave barem jednog od nekompatibilnih događaja. Formula za dodavanje vjerovatnoće.

• Vježba 1. Pronađite vjerovatnoću da će kocka baciti 5 ili 6.

• Zadatak 2. U urni se nalazi 30 kuglica: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Pronađite vjerovatnoću da izvučete kuglicu u boji.

• Zadatak 3. Strijelac puca u metu podijeljenu u 3 područja. Vjerovatnoća da se pogodi prvo područje je 0,45, drugo - 0,35. Pronađite vjerovatnoću da će strijelac jednim udarcem pogoditi bilo prvo ili drugo područje.

• Zadatak 4. Autobus saobraća svakodnevno od okružnog centra do sela. Vjerovatnoća da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 18 putnika je 0,95. Vjerovatnoća da će biti manje od 12 putnika je 0,6. Pronađite vjerovatnoću da će broj putnika biti između 12 i 17.

• Zadatak 5. Vjerovatnoća da je novo Kuhalo za vodu trajaće više od godinu dana, jednako 0,97. Vjerovatnoća da će trajati više od dvije godine je 0,89. Pronađite vjerovatnoću da će trajati manje od dvije godine, ali više od godinu dana.

• Zadatak 6. Verovatnoća da učenik U. tačno reši više od 9 zadataka na testu iz biologije je 0,61. Verovatnoća da U. tačno reši više od 8 zadataka je 0,73. Nađi vjerovatnoću da U. tačno riješi tačno 9 zadataka.

4 Grupa: Vjerovatnoća istovremene pojave nezavisnih događaja. Formula za množenje vjerovatnoće.

• Vježba 1. Prostorija je osvijetljena lanternom sa dvije lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u godini je 0,3. Nađite vjerovatnoću da barem jedna lampa ne pregori u toku jedne godine.

• Zadatak 2. Prostorija je osvetljena fenjerom sa tri lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u godini je 0,3. Nađite vjerovatnoću da barem jedna lampa ne pregori u toku jedne godine.

• Zadatak 3. U radnji su dva prodavca. Svaki od njih je zauzet klijentom sa vjerovatnoćom od 0,4. Pronađite vjerovatnoću da su u slučajnom trenutku oba prodavača zauzeta u isto vrijeme (pretpostavite da kupci ulaze nezavisno jedan od drugog).

• Zadatak 4. U radnji su tri prodavca. Svaki od njih je zauzet klijentom sa vjerovatnoćom od 0,2. Pronađite vjerovatnoću da su u slučajnom trenutku sva tri prodavača zauzeta u isto vrijeme (pretpostavite da kupci ulaze nezavisno jedan od drugog).

• Zadatak 5: Prema recenzijama kupaca, Mihail Mihajlovič je cijenio pouzdanost dvije online trgovine. Vjerovatnoća da će željeni proizvod biti isporučen iz trgovine A je 0,81. Vjerovatnoća da će ovaj proizvod biti isporučen iz trgovine B je 0,93. Mihail Mihajlovič je odmah naručio robu u obe prodavnice. Uz pretpostavku da online prodavnice rade nezavisno jedna od druge, pronađite verovatnoću da nijedna od prodavnica neće isporučiti robu.

• Zadatak 6: Ako velemajstor A. igra bijelog, tada pobjeđuje velemajstora B. sa vjerovatnoćom 0,6. Ako A. igra crno, onda A. pobjeđuje B. sa vjerovatnoćom od 0,4. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj igri mijenjaju boju figura. Pronađite vjerovatnoću da A. pobijedi oba puta.

5 Grupa: Zadaci za primjenu obje formule.

• Vježba 1: Svim pacijentima sa sumnjom na hepatitis rade se krvni testovi. Ako test otkrije hepatitis, tada se rezultat testa naziva pozitivnim. Kod pacijenata sa hepatitisom, analiza daje pozitivan rezultat sa vjerovatnoćom od 0,9. Ako pacijent nema hepatitis, tada test može dati lažno pozitivan rezultat s vjerovatnoćom od 0,02. Poznato je da 66% pacijenata primljenih sa sumnjom na hepatitis zaista ima hepatitis. Pronađite vjerovatnoću da će rezultat testa pacijenta primljenog u kliniku sa sumnjom na hepatitis biti pozitivan.

• Zadatak 2. Kauboj Džon pogodi muvu u zid sa verovatnoćom od 0,9 ako puca iz revolvera. Ako John ispali neviđeni revolver, pogodi muvu s vjerovatnoćom od 0,2. Na stolu je 10 revolvera, od kojih su samo 4 upucana. Kauboj Džon ugleda muvu na zidu, nasumično zgrabi prvi revolver na koji naiđe i puca u muvu. Pronađite vjerovatnoću da John promaši.

Zadatak 3:

U nekim oblastima, zapažanja su pokazala:

1. Ako je junsko jutro vedro, onda je vjerovatnoća kiše tog dana 0,1. 2. Ako je junsko jutro oblačno, onda je vjerovatnoća kiše tokom dana 0,4. 3. Vjerovatnoća oblačnog jutra u junu je 0,3.

Nađite vjerovatnoću da neće padati kiša slučajnog dana u junu.

Zadatak 4. Tokom artiljerijske gađanja, automatski sistem gađa metu. Ako meta nije uništena, sistem ponovo puca. Pucnjevi se ponavljaju dok se meta ne uništi. Vjerovatnoća uništenja određene mete prvim hicem je 0,3, a svakim sljedećim 0,9. Koliko će hitaca biti potrebno da bi se osiguralo da je vjerovatnoća uništenja mete najmanje 0,96?

AT tržni centar dva identična automata prodaju kafu. Automati se servisiraju u večernjim satima nakon zatvaranja centra. Poznato je da je vjerovatnoća događaja „Do večeri će prva mašina ostati bez kafe“ 0,25. Ista vjerovatnoća događaja "Do večeri će druga mašina ostati bez kafe." Vjerovatnoća da će oba automata ostati bez kafe do večeri je 0,15. Nađite vjerovatnoću da će do večeri dana ostati kafa u oba automata.

Rješenje.

Razmotrite događaje

A = kafa nestaje u prvoj mašini,

B = kafa će završiti u drugoj mašini.

A B = kafa nestaje u obe mašine,

A + B = najmanje jedna mašina će ostati bez kafe.

Po uslovu P(A) = P(B) = 0,25; P(A B) = 0,15.

Događaji A i B su zajednički, vjerovatnoća zbira dva zajednička događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja, umanjena za vjerovatnoću njihovog proizvoda:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Dakle, vjerovatnoća suprotnog događaja, da će kafa ostati u oba aparata, jednaka je 1 − 0,35 = 0,65.

Odgovor: 0,65.

Hajde da damo drugo rešenje.

Vjerovatnoća da će kafa ostati u prvoj mašini je 1 − 0,25 = 0,75. Vjerovatnoća da će kafa ostati u drugoj mašini je 1 − 0,25 = 0,75. Vjerovatnoća da će kafa ostati u prvom ili drugom automatu je 1 − 0,15 = 0,85. Kako je P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), imamo: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, odakle je tražena vjerovatnoća X = 0,65.

Bilješka.

Imajte na umu da događaji A i B nisu nezavisni. Zaista, vjerovatnoća nastanka nezavisnih događaja bila bi jednaka proizvodu vjerovatnoća ovih događaja: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, međutim, prema pretpostavci, ova vjerovatnoća je jednaka 0,15.

Elena Aleksandrovna Popova 10.10.2018 09:57

I, vanredni profesor, kandidat pedagoške nauke, smatram POTPUNOM GLUPOM I ZADIVLJUJUĆIM UKLJUČIVANJE ZADATAKA ZA ZAVISNE DOGAĐAJE ZA ŠKOLARSKE. Nastavnici NE POZNAJU ovu rubriku - Bio sam pozvan da predajem na TV-u na kursevima za obuku nastavnika. Ovaj odjeljak nije i ne može biti u programu. NIJE potrebno izmišljati metode bez opravdanja. ZADACI ove vrste su jednostavno isključeni. Ograničimo se na KLASIČNU DEFINICIJU VJEROJATNOSTI. Pa čak i tada, prethodno proučite školske udžbenike - pogledajte šta su autori pisali o tome. Pogledajte Zubareva 5. razred. Ona čak ne zna ni simbole i daje vjerovatnoću u postocima. Nakon učenja iz ovakvih udžbenika, učenici i dalje vjeruju da je vjerovatnoća postotak. Mnogo zanimljivih zadataka o klasičnoj definiciji vjerovatnoća. Treba ih pitati studentima. Ogorčenju univerzitetskih profesora VAŠIM glupostima na uvođenje ovakvih zadataka nema granice.

Pažnja podnosiocima prijava! Evo nekoliko rastavljenih KORISTITE zadatke. Ostali, zanimljiviji, nalaze se u našem besplatnom video materijalu. Gledajte i djelujte!

Počećemo sa jednostavni zadaci i osnovni koncepti teorije vjerovatnoće.
Slučajno Događajem se naziva događaj koji se ne može unaprijed točno predvidjeti. Može se desiti ili ne.
Dobili ste na lutriji - slučajni događaj. Pozvali ste prijatelje da proslave pobedu, a na putu do vas su se zaglavili u liftu - takođe slučajni događaj. Istina, majstor je bio u blizini i oslobodio je cijelo društvo za deset minuta - a to se može smatrati i sretnim slučajem...

Naš život je pun slučajnih događaja. Za svaki od njih može se reći da se dešava sa nekima vjerovatnoća. Najvjerovatnije ste intuitivno upoznati s ovim konceptom. Sada ćemo dati matematičku definiciju vjerovatnoće.

Počnimo od samog jednostavan primjer. Bacaš novčić. Pismo ili glava?

Takva akcija, koja može dovesti do jednog od nekoliko rezultata, naziva se u teoriji vjerovatnoće test.

Glava i rep - moguće dvije egzodus testovi.

Orao će ispasti u jednom slučaju od dva moguća. Kažu to vjerovatnoća da je novčić slijeće glave jednak .

Hajde da bacimo kocku. Kocka ima šest strana, tako da postoji šest mogućih ishoda.

Na primjer, pogodili ste da će tri boda ispasti. Ovo je jedan od šest mogućih ishoda. U teoriji vjerovatnoće, to će se zvati povoljan ishod.

Verovatnoća da dobijete trojku je (jedan povoljan ishod od šest mogućih).

Verovatnoća četvorke je takođe

Ali vjerovatnoća pojave sedmorice je nula. Na kraju krajeva, ne postoji lice sa sedam tačaka na kocki.

Vjerovatnoća događaja jednaka je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda.

Očigledno, vjerovatnoća ne može biti veća od jedan.

Evo još jednog primjera. U vrećici jabuka, od kojih su crvene, ostale zelene. Jabuke se ne razlikuju ni po obliku ni veličini. Stavite ruku u vreću i nasumce izvadite jabuku. Vjerovatnoća crtanja crvene jabuke je , a zelene je .

Verovatnoća da dobijete crvenilo ili zelena jabuka je jednako .

Analizirajmo probleme u teoriji vjerovatnoće uključene u zbirke za pripremu ispita.

. U taksi kompaniji ovog trenutka besplatni automobili: crveni, žuti i zeleni. Na poziv je otišao jedan od automobila, koji je bio najbliži mušteriji. Nađite vjerovatnoću da će doći žuti taksi.

Ukupno ima automobila, odnosno jedan od petnaest će doći do kupca. Ima devet žutih, što znači da je vjerovatnoća dolaska žutog automobila , tj.

. (Demo verzija) U kolekciji karata o biologiji svih ulaznica, u dvije se postavlja pitanje o gljivama. Na ispitu student dobija jednu nasumično odabranu kartu. Pronađite vjerovatnoću da ova karta ne uključuje pitanje o gljivama.

Očigledno, vjerovatnoća da ćete izvući kartu bez pitanja o gljivama je , tj.

. Odbor roditelja je kupio slagalice za maturske poklone za djecu školske godine, od čega sa slikama poznatih umjetnika i sa slikama životinja. Pokloni se dijele nasumično. Pronađite vjerovatnoću da će Vovočka dobiti slagalicu sa životinjama.

Zadatak se rješava na sličan način.

Odgovor: .

. Sportisti učestvuju na prvenstvu u gimnastici: iz Rusije, iz SAD-a, ostali - iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je posljednji sportista koji će se takmičiti iz Kine.

Zamislimo da su svi sportisti istovremeno prišli šeširu i iz njega izvukli papiriće sa brojevima. Neki od njih će dobiti dvadeseti broj. Verovatnoća da će ga kineski sportista izvući je jednaka (pošto su sportisti iz Kine). Odgovor: .

. Od učenika je zatraženo da navede broj od do . Kolika je vjerovatnoća da će imenovati broj koji je višestruki od pet?

Svaki peti broj iz datog skupa je djeljiv sa . Dakle, vjerovatnoća je .

Baca se kocka. Pronađite vjerovatnoću da dobijete neparan broj bodova.

Neparni brojevi; - čak. Vjerovatnoća neparnog broja bodova je .

Odgovor: .

. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerovatnoća dvije glave i jednog repa?

Imajte na umu da se problem može formulirati drugačije: tri novčića se bacaju u isto vrijeme. To neće uticati na odluku.

Šta mislite, koliko mogućih ishoda postoji?

Bacamo novčić. Ova akcija ima dva moguća ishoda: glave i repove

Dva novčića - već četiri ishoda:

Tri novčića? Tako je, ishodi, od .

Dvije glave i jedan rep pojavljuju se tri puta od osam.

Odgovor: .

. U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Nađite vjerovatnoću da će zbir opasti poene. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Bacanje prve kocke - šest ishoda. I za svaku od njih je moguće još šest - kada bacimo drugu kockicu.

Dobijamo da ova akcija ima bacanje dva kockice- svi mogući ishodi, od .

A sada dobre vijesti:

Vjerovatnoća dobivanja osam bodova je .

>. Strijelac pogađa metu sa vjerovatnoćom. Nađite vjerovatnoću da on pogodi metu četiri puta zaredom.

Ako je vjerovatnoća pogađanja jednaka, tada je vjerovatnoća promašaja . Argumentiramo na isti način kao u prethodnom problemu. Vjerovatnoća dva uzastopna pogotka je . I vjerovatnoća četiri uzastopna pogotka jednaka je .

Vjerovatnoća: logika grube sile.

Evo zadatka od dijagnostički radšto je mnogima bilo teško.

Petja je u džepu imao kovanice i kovanice rublje. Petya je, ne gledajući, prebacio novčiće u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.

Znamo da je vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda. Ali kako izračunati sve ove rezultate?

Možete, naravno, kovanice od pet rubalja označiti brojevima, a kovanice od deset rubalja brojevima - a zatim izračunati na koliko načina možete odabrati tri elementa iz skupa.

Međutim, postoji lakše rješenje:

Kovanice kodiramo brojevima:, (ovo su pet rubalja), (ovo su deset rubalja). Uslov problema se sada može formulirati na sljedeći način:

Postoji šest čipova numeriranih od do . Na koliko načina se mogu ravnomjerno rasporediti između dva džepa da žetoni sa brojevima i ne završe zajedno?

Hajde da zapišemo šta imamo u prvom džepu.

Da bismo to učinili, sastavit ćemo sve moguće kombinacije iz skupa. Skup od tri čipa će biti trocifreni broj. Očigledno je da su pod našim uslovima i isti skup tokena. Da ništa ne propustimo i da se ne ponavljamo, odgovarajuće trocifrene brojeve poredamo uzlaznim redom:

Sve! Isprobali smo sve moguće kombinacije počevši od . Nastavljamo:

ukupni mogući ishodi.

Imamo uslov - čipovi sa brojevima i ne bi trebalo da budu zajedno. To znači, na primjer, da nam kombinacija ne odgovara – znači da su čipovi i oboje završili ne u prvom, već u drugom džepu. Povoljni ishodi za nas su oni gde postoji ili samo , ili samo . Evo ih:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - ukupno povoljni ishodi.

Tada je tražena vjerovatnoća .

Koji zadaci vas očekuju na ispitu iz matematike?

Hajde da analiziramo jedan od najtežih problema u teoriji verovatnoće.

Da bi ušao u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog i stranog jezika. Da biste se upisali na specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka.

Verovatnoća da će kandidat Z. dobiti najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, na ruskom jeziku - 0,8, u strani jezik- 0,7 i na društvenim studijama - 0,5.
Naći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od dvije navedene specijalnosti.

Imajte na umu da problem ne postavlja pitanje da li će kandidat po imenu Z. istovremeno studirati i lingvistiku i trgovinu i dobiti dvije diplome. Ovdje treba pronaći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od ove dvije specijalnosti – odnosno osvojiti potreban broj bodova.
Da bi upisao barem jednu od dvije specijalnosti, Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova iz matematike. I to na ruskom. Pa ipak - društvene nauke ili strane.
Vjerovatnoća da dobije 70 bodova iz matematike za njega je 0,6.
Vjerovatnoća za bodovanje iz matematike i ruskog jezika je 0,6 0,8.

Bavimo se stranim i društvenim studijama. Nama su prikladne opcije kada je kandidat postigao bodove na društvenim studijama, na stranom jeziku ili na oba. Opcija nije prikladna kada nije osvojio bodove ni na jeziku ni u "društvu". To znači da je vjerovatnoća polaganja društvenih ili stranih studija za najmanje 70 bodova jednaka
1 – 0,5 0,3.
Kao rezultat toga, vjerovatnoća polaganja matematike, ruskih i društvenih studija ili stranih je jednaka
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Ovo je odgovor.

Teorija vjerovatnoće na ispitu iz matematike može se prikazati kako u obliku jednostavnih zadataka za klasičnu definiciju vjerovatnoće, tako iu obliku prilično složenih, za primjenu odgovarajućih teorema.

U ovom dijelu razmatramo probleme za koje je dovoljno koristiti definiciju vjerovatnoće. Ponekad ćemo ovdje primijeniti i formulu za izračunavanje vjerovatnoće suprotnog događaja. Iako se ovdje može izostaviti ova formula, ona će i dalje biti potrebna pri rješavanju sljedećih problema.

Teorijski dio

Slučajni događaj je događaj koji se može dogoditi ili ne mora (nemoguće je unaprijed predvidjeti) tokom posmatranja ili testa.

Pretpostavimo da su tokom testa (bacanje novčića ili kockice, izvlačenje ispitne karte, itd.) mogući jednako mogući ishodi. Na primjer, kada se baca novčić, broj svih ishoda je 2, jer ne može biti drugih ishoda osim gubitka "repova" ili "orlova". Prilikom bacanja kockice moguće je 6 ishoda, jer je na gornjoj strani kockice podjednako moguća pojava bilo kojeg od brojeva od 1 do 6. Neka ishodi favorizuju i neki događaj A.

Vjerovatnoća događaja A je omjer broja ishoda povoljnih za ovaj događaj i ukupnog broja jednako mogućih ishoda (ovo je klasična definicija vjerovatnoće). Mi pišemo

Na primjer, neka se događaj A sastoji od dobijanja neparnog broja bodova pri bacanju kocke. Ukupno ima 6 mogućih ishoda: 1, 2, 3, 4, 5, 6 na gornjoj strani kocke. Istovremeno, ishodi sa 1, 3, 5 bacanja su povoljni za događaj A. Dakle, .

Imajte na umu da dvostruka nejednakost uvijek vrijedi, tako da vjerovatnoća bilo kog događaja A leži na intervalu, tj . Ako vaš odgovor ima vjerovatnoću veću od jedan, onda ste negdje pogriješili i morate još jednom provjeriti rješenje.

Događaji A i B se nazivaju suprotno jedno drugom ako je bilo koji ishod povoljan za tačno jednog od njih.

Na primjer, kada bacate kockicu, događaj "bačen neparan broj" je suprotan događaju "bačen paran broj".

Događaj suprotan događaju A je označen. Iz definicije suprotnih događaja slijedi
, znači,
.

Problemi sa odabirom objekata iz skupa

Zadatak 1. Na Svjetskom prvenstvu učestvuju 24 reprezentacije. Žrijebom se moraju podijeliti u četiri grupe od po šest ekipa. U kutiji se nalaze mešovite karte sa brojevima grupa:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Kapiteni timova izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da će ruski tim biti u trećoj grupi?

Ukupan broj ishoda jednak je broju karata - ima ih 24. Povoljnih ishoda je 6 (pošto je broj 3 ispisan na šest kartica). Željena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,25.

Zadatak 2. Urna sadrži 14 crvenih, 9 žutih i 7 zelenih kuglica. Jedna lopta se nasumično izvlači iz urne. Kolika je vjerovatnoća da je ova lopta žuta?

Ukupan broj ishoda jednak je broju lopti: 14 + 9 + 7 = 30. Broj ishoda koji favorizuju ovaj događaj, jednako 9. Željena vjerovatnoća je jednaka .

Zadatak 3. Na tastaturi telefona ima 10 brojeva, od 0 do 9. Kolika je vjerovatnoća da će nasumično pritisnut broj biti paran i veći od 5?

Ishod ovdje je pritiskanje određene tipke, tako da je ukupno 10 jednako mogućih ishoda. Označeni događaj favoriziraju ishodi, što znači pritiskanje tipke 6 ili 8. Postoje dva takva ishoda. Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0.2.

Zadatak 4. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno odabrani prirodni broj od 4 do 23 djeljiv sa 3?

Na intervalu od 4 do 23 ima 23 - 4 + 1 = 20 prirodnih brojeva, što znači da je ukupno 20 mogućih ishoda. Na ovom segmentu sljedeći brojevi su višekratnici od tri: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Ukupno ima 6 takvih brojeva, tako da 6 ishoda favorizira predmetni događaj. Željena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0.3.

Zadatak 5. Od 20 ponuđenih listića na ispitu, student može odgovoriti na samo 17. Kolika je vjerovatnoća da student neće moći odgovoriti na slučajno odabranu kartu?

1. način.

Pošto učenik može odgovoriti na 17 listića, ne može odgovoriti na 3 listića. Vjerovatnoća dobivanja jedne od ovih karata je, po definiciji, .

2nd way.

Označite sa A događaj "učenik može odgovoriti na kartu". Onda . Vjerovatnoća suprotnog događaja je =1 - 0,85 = 0,15.

Odgovor: 0,15.

Zadatak 6. U prvenstvu ritmička gimnastika Učestvuje 20 sportista: 6 iz Rusije, 5 iz Nemačke, ostali iz Francuske. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je sedmi sportista iz Francuske.

Ukupno je 20 sportista, svi imaju jednake šanse da nastupe kao sedmi. Dakle, postoji 20 jednako vjerovatnih ishoda. Iz Francuske 20 - 6 - 5 = 9 sportista, tako da ima 9 povoljnih ishoda za ovaj događaj. Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0,45.

Zadatak 7. Naučna konferencija se održava u 5 dana. Planirano je ukupno 50 izvještaja - prva tri dana po 12 izvještaja, ostali se ravnomjerno raspoređuju između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora N. biti zakazan za posljednji dan konferencije?

Prvo, hajde da pronađemo koliko je izvještaja zakazano za zadnji dan. Izvještaji su zakazani za prva tri dana. Ostalo je još 50 - 36 = 14 izvještaja koji su ravnomjerno raspoređeni u preostala dva dana, tako da su izvještaji zakazani za zadnji dan.

Mi ćemo razmotriti ishod serijski broj Izveštaj profesora N. Takvih jednako mogućih ishoda je 50. 7 ishoda favorizuju navedeni događaj (poslednjih 7 brojeva u listi izveštaja). Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0,14.

Zadatak 8. U avionu se nalazi 10 sedišta pored izlaza u slučaju nužde i 15 sedišta iza pregrada koje razdvajaju kabine. Ostala sjedala su nezgodna za visoke putnike. Putnik K. je visok. Naći vjerovatnoću da će prilikom prijave, uz slučajni odabir sjedišta, putnik K. dobiti udobno mjesto ako u avionu ima 200 sjedišta.

Ishod ovog problema je izbor lokacije. Ukupno ima 200 jednako mogućih ishoda. Favorizirajte događaj "odabrano mjesto je zgodno" 15 + 10 = 25 ishoda. Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0,125.

Zadatak 9. Od 1000 mlinova za kafu sklopljenih u fabrici, 7 komada je neispravno. Stručnjak provjerava jedan nasumično odabrani mlin za kafu od ovih 1000. Pronađite vjerovatnoću da je mlin za kafu koji se provjerava neispravan.

Pri nasumičnom izboru mlinca za kafu moguće je 1000 ishoda, događaj A "odabrani mlin za kafu je neispravan" je povoljan za 7 ishoda. Po definiciji vjerovatnoće.

Odgovor: 0,007.

Zadatak 10. Fabrika proizvodi frižidere. U prosjeku, na svakih 100 visokokvalitetnih frižidera dolazi 15 frižidera sa skrivenim nedostacima. Pronađite vjerovatnoću da će kupljeni frižider biti visokog kvaliteta. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Ovaj zadatak je sličan prethodnom. Međutim, formulacija „na svakih 100 kvalitetnih frižidera dolazi 15 sa greškama“ nam govori da neispravnih 15 komada nije uključeno u kvalitetu 100. Dakle, ukupan broj ishoda je 100 + 15 = 115 (jednako ukupnom broju frižidera), povoljni ishodi su 100. Tražena verovatnoća je . Da biste izračunali približnu vrijednost razlomka, zgodno je koristiti dijeljenje uglom. Dobijamo 0,869 ... što je 0,87.

Odgovor: 0,87.

Zadatak 11. Prije početka prvog kola teniskog prvenstva, žrijebom se nasumično dijele učesnici u parove. Na prvenstvu učestvuje ukupno 16 tenisera, uključujući 7 učesnika iz Rusije, uključujući i Maksima Zajceva. Pronađite vjerovatnoću da će u prvom kolu Maxim Zaitsev igrati sa bilo kojim teniserom iz Rusije.

Kao iu prethodnom zadatku, potrebno je pažljivo pročitati uslov i razumjeti šta je ishod, a koji povoljan ishod (npr. nepromišljena primjena formule vjerovatnoće dovodi do pogrešnog odgovora).

Ovdje je ishod rival Maksima Zajceva. Pošto je tenisera ukupno 16, a Maksim ne može da igra sam sa sobom, postoji 16 - 1 = 15 podjednako verovatnih ishoda. Povoljan ishod je rival iz Rusije. Postoji 7 takvih povoljnih ishoda - 1 = 6 (isključujemo samog Maksima među Rusima). Tražena vjerovatnoća je .

Odgovor: 0.4.

Zadatak 12. Fudbalsku sekciju pohađa 33 osobe, među kojima su i dva brata - Anton i Dmitrij. Oni koji pohađaju sekciju su nasumično podijeljeni u tri tima od po 11 ljudi. Pronađite vjerovatnoću da će Anton i Dmitry biti u istom timu.

Formirajmo timove uzastopnim postavljanjem igrača na prazna mjesta, počevši od Antona i Dmitrija. Prvo postavimo Antona na nasumično odabrano mjesto od 33 slobodna mjesta, a sada Dmitrija stavimo na prazno mjesto (odbor mjesta za njega ćemo smatrati ishodom). Ima ih ukupno 32 slobodna mjesta a (jedan je već uzeo Anton), tako da su moguća ukupno 32 ishoda. U istom timu sa Antonom ostalo je još 10 slobodnih mjesta, tako da događaju "Anton i Dmitrij u istom timu" favorizuje 10 ishoda. Vjerovatnoća ovog događaja je .

Odgovor: 0,3125.

Zadatak 13. Mehanički sat sa dvanaestočasovnim brojčanikom se u jednom trenutku pokvario i prestao da radi. Nađite vjerovatnoću da je kazaljka za sat zamrznuta kada dostigne 11, ali ne dostigne 2 sata.

Uobičajeno, brojčanik se može podijeliti na 12 sektora koji se nalaze između oznaka susjednih brojeva (između 12 i 1, 1 i 2, 2 i 3, ..., 11 i 12). Kao rezultat ćemo smatrati zaustavljanje kazaljke sata u jednom od naznačenih sektora. Ukupno ima 12 jednako mogućih ishoda. Ovaj događaj favorizuju tri ishoda (sektori između 11 i 12, 12 i 1, 1 i 2). Željena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,25.

Sažmite

Nakon proučavanja gradiva o rješavanju jednostavnih zadataka u teoriji vjerojatnosti, preporučujem ispunjavanje zadataka za samostalno rješenje koje objavljujemo na naš Telegram kanal. Ispravnost njihove implementacije možete provjeriti i unosom Vašeg odgovore u predloženom obliku.

Hvala vam što ste podijelili članak na društvenim mrežama

Izvor “Priprema za ispit. Matematika.Teorija vjerovatnoće”. Uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov