Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskim postupcima, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Sažetak lekcije

„Metode rješavanja ir racionalne jednačine»

11. razred fizičko-matematičkog profila.

Zelenodolsky opštinski okrug RT"

Valieva S.Z.

Tema lekcije: Metode rješavanja iracionalnih jednačina

Svrha lekcije: 1. Istražite razne načine rješenja iracionalnih jednačina.

1. 
   Razviti sposobnost generalizacije, pravilnog odabira metoda za rješavanje iracionalnih jednačina.
2. 
   Razvijati samostalnost, obrazovati govornu pismenost

Vrsta lekcije: seminar.
Plan lekcije:

1. 
   Organiziranje vremena
2. 
   Učenje novog gradiva
3. 
   Sidrenje
4. 
   Zadaća
5. 
   Sažetak lekcije

Tokom nastave
I. Vrijeme organizacije: poruka teme lekcije, svrha lekcije.

U prethodnoj lekciji razmatrali smo rješavanje iracionalnih jednadžbi koje sadrže kvadratne korijene njihovim kvadriranjem. U ovom slučaju dobijamo jednačinu posledice, koja ponekad dovodi do pojave stranih korena. A onda je obavezan dio rješavanja jednadžbe provjera korijena. Razmotrili smo i rješavanje jednadžbi koristeći definiciju kvadratnog korijena. U ovom slučaju, provjera se može izostaviti. Međutim, prilikom rješavanja jednačina nije uvijek potrebno odmah prijeći na „slijepu“ primjenu algoritama za rješavanje jednačine. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita postoji dosta jednadžbi, pri rješavanju kojih je potrebno odabrati metodu rješenja koja vam omogućava da lakše, brže rješavate jednadžbe. Stoga je neophodno poznavati i druge metode rješavanja iracionalnih jednačina, sa kojima ćemo se danas upoznati. Prethodno je odeljenje bilo podeljeno u 8 kreativnih grupa, koje su podeljene konkretnim primjerima otkriti suštinu ove ili one metode. Dajemo im riječ.

II. Učenje novog gradiva.

Iz svake grupe 1 učenik objašnjava djeci kako se rješavaju iracionalne jednačine. Cijeli razred sluša i bilježi svoju priču.

1 način. Uvođenje nove varijable.

Riješite jednačinu: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Odgovor: -3; 5.

2 way. ODZ istraživanja.

riješiti jednačinu

ODZ:


x = 2. Provjerom se uvjeravamo da je x = 2 korijen jednadžbe.

3 way. Množenje obje strane jednačine konjugiranim faktorom.

+
(pomnožite obje strane sa -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, dakle x=1. Provjerom smo uvjereni da je x \u003d 1 korijen ove jednadžbe.

4 way. Redukcija jednadžbe na sistem uvođenjem varijable.

riješiti jednačinu

Neka je = u,
=v.

Dobijamo sistem:

Rešimo metodom zamene. Dobijamo u = 2, v = 2. Dakle,

dobijamo x = 1.

Odgovor: x = 1.

5 način. Odabir punog kvadrata.

riješiti jednačinu

Otvorimo module. Jer -1≤cos0.5x≤1, zatim -4≤cos0.5x-3≤-2, dakle . Isto tako,

Tada dobijamo jednačinu

x = 4πn, nZ.

Odgovor: 4πn, nZ.

6 način. Metoda ocjenjivanja

riješiti jednačinu

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, po definiciji, desna strana -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

dobijamo
one. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Rješavajući jednačinu faktoringom, dobijamo x = 2, x = -2

Metoda 7: Korištenje svojstava monotonosti funkcija.

Riješite jednačinu. Funkcije se striktno povećavaju. Zbir rastućih funkcija raste i ova jednadžba ima najviše jedan korijen. Odabirom nalazimo x = 1.

8 način. Upotreba vektora.

Riješite jednačinu. ODZ: -1≤h≤3.

Neka vektor
. Skalarni proizvod vektori - da lijeva strana. Nađimo proizvod njihovih dužina. Ovo je prava strana. Imam
, tj. vektori a i b su kolinearni. Odavde
. Kvadratirajmo obje strane. Rješavajući jednadžbu, dobivamo x = 1 i x =
.

1. 
   Konsolidacija.(svaki učenik dobija nastavni listić)

Prednji usmeni rad

Pronađite ideju za rješavanje jednačina (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(zamjena)

4. (izbor punog kvadrata)

5.
(Svođenje jednačine na sistem uvođenjem varijable.)

6.
(množenjem sa spojnim izrazom)

7.
jer
. Ova jednadžba nema korijen.

8. Jer svaki član nije negativan, izjednačavamo ih sa nulom i rješavamo sistem.

9. 3

10. Pronađite korijen jednačine (ili proizvod korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbe.

Napisano samostalan rad nakon čega slijedi verifikacija

riješiti jednačine pod brojevima 11,13,17,19

Riješite jednačine:

12. (x + 6) 2 -

14.

Metoda ocjenjivanja

Korištenje svojstava monotonosti funkcija.

Upotreba vektora.

1. 
   Koja od ovih metoda se koristi za rješavanje drugih vrsta jednačina?
2. 
   Koja od ovih metoda vam se najviše dopala i zašto?

1. 
   Domaći zadatak: Riješiti preostale jednačine.

Bibliografija:

1. 
   Algebra i početak matematičke analize: udžbenik. za 11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. M: Prosvetljenje, 2009

1. 
   Didaktički materijali iz algebre i principi analize za 11. razred /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. – M.: Prosvjeta, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10 - 11 ćelija: Zadatak za opšte obrazovanje. institucije. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A. P., Goloborodko V. V. Nezavisni i test papiri iz algebre i počeci analize za 10-11 razred. – M.: Ileksa, 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010

6. Algebarski simulator. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Priručnik za školarce i polaznike. Moskva.: "Ileksa" 2001.
7. Jednačine i nejednačine. Nestandardne metode rješenja. edukativni - Toolkit. 10 - 11 časova. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P. I. Pasichenko. Moskva. "Drofa". 2001

Metode rješavanja iracionalnih jednačina.

Preliminarne pripreme za nastavu: učenici bi trebali biti sposobni rješavati iracionalne jednačine na različite načine.

Tri sedmice prije ove sesije, učenici dobijaju domaći zadatak broj 1: riješiti različite iracionalne jednačine. (Učenici samostalno pronalaze 6 različitih iracionalnih jednačina i rješavaju ih u parovima.)

Nedelju dana pre ove lekcije, učenici dobijaju domaći zadatak #2, koji rade pojedinačno.

1. Riješite jednačinuRazličiti putevi.

2. Procijenite prednosti i nedostatke svake metode.

3. Zabilježite zaključke u obliku tabele.

№ p/n	Way	Prednosti	Nedostaci

Ciljevi lekcije:

edukativni:generalizacija znanja učenika o ovoj temi, demonstracija razne metode rješavanje iracionalnih jednačina, sposobnost učenika da pristupe rješavanju jednačina sa istraživačkog stanovišta.

edukativni:obrazovanje samostalnosti, sposobnost slušanja drugih i grupne komunikacije, povećanje interesovanja za predmet.

u razvoju:razvoj logičko razmišljanje, algoritamska kultura, samoobrazovanje, samoorganizacija, rad u paru pri izradi domaćih zadataka, sposobnost analize, upoređivanja, generalizacije, donošenja zaključaka.

Oprema: kompjuter, projektor, platno, tabela "Pravila za rješavanje iracionalnih jednačina", poster sa citatom M.V. Lomonosov „Matematiku treba kasnije učiti da ona dovodi um u red“, kartice.

Pravila za rješavanje iracionalnih jednačina.

Vrsta lekcije: čas-seminar (rad u grupama od 5-6 ljudi, svaka grupa mora imati jake učenike).

Tokom nastave

I . Organiziranje vremena

(Poruka teme i ciljeva lekcije)

II . Prezentacija istraživački rad"Metode za rješavanje iracionalnih jednačina"

(Rad predstavlja učenik koji ga je izvodio.)

III . Analiza metoda za rješavanje domaćih zadataka

(Jedan učenik iz svake grupe zapisuje na tabli svoja predložena rješenja. Svaka grupa analizira jedno od rješenja, procjenjuje prednosti i nedostatke, donosi zaključke. Učenici grupe po potrebi dopunjuju. Analiza i zaključci grupe su evaluirano. Odgovori moraju biti jasni i potpuni.)

Prvi način: podizanje obje strane jednačine na isti stepen, nakon čega slijedi provjera.

Rješenje.

Ponovo kvadrirajmo obje strane jednačine:

Odavde

pregled:

1. Akox=42 onda, što znači broj42 nije korijen jednačine.

2. Akox=2, onda, što znači broj2 je korijen jednadžbe.

odgovor:2.

№ p/n	Way	Prednosti	Nedostaci
	Podizanje obje strane jednadžbe na isti stepen	1. Razumijem. 2. Dostupno.	1. Verbalni unos. 2. Komplikovana provjera.

Zaključak. Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina dizanjem oba dijela jednačine na isti stepen, potrebno je voditi verbalni zapis, što rješenje čini razumljivim i dostupnim. Međutim, obavezna verifikacija je ponekad složena i dugotrajna. Ova metoda se može koristiti za rješavanje jednostavnih iracionalnih jednadžbi koje sadrže 1-2 radikala.

Drugi način: ekvivalentne transformacije.

Rješenje:Kvadirajmo obje strane jednadžbe:

odgovor:2.

№ p/n	Way	Prednosti	Nedostaci
	Ekvivalentne transformacije	1. Nedostatak verbalnog opisa. 2. Nema verifikacije. 3. Jasna logička notacija. 4. Niz ekvivalentnih prijelaza.	1. Glomazan rekord. 2. Možete pogriješiti kada kombinujete znakove sistema i agregata.

Zaključak. Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina metodom ekvivalentnih prijelaza, potrebno je jasno znati kada staviti predznak sistema, a kada - agregat. Glomazna notacija, razne kombinacije znakova sistema i totaliteta često dovode do grešaka. Međutim, niz ekvivalentnih prijelaza, jasan logički zapis bez verbalnog opisa koji ne zahtijeva provjeru, neosporne su prednosti. ovu metodu.

Treći način: funkcionalno-grafički.

Rješenje.

Razmotrite funkcijei.

1. Funkcijasnaga; raste, jer eksponent je pozitivan (ne cijeli) broj.

D(f).

Hajde da napravimo tabelu vrednostixif( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funkcijasnaga; se smanjuje.

Pronađite domenu funkcijeD( g).

Hajde da napravimo tabelu vrednostixig( x).

g(x)

Napravimo ove grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu.

Grafovi funkcija seku se u tački sa apscisomJer funkcijaf( x) povećava, a funkcijag( x) opada, tada postoji samo jedno rješenje jednačine.

odgovor: 2.

№p/n	Way	Prednosti	Nedostaci
	Funkcionalno-grafički	1. Vidljivost. 2. Nema potrebe da radite složene algebarske transformacije i pratite ODD. 3. Omogućava vam da pronađete broj rješenja.	1. verbalna notacija. 2. Nije uvijek moguće pronaći tačan odgovor, a ako je odgovor tačan, potrebna je provjera.

Zaključak. Funkcionalno-grafička metoda je ilustrativna, omogućava vam da pronađete broj rješenja, ali je bolje koristiti je kada možete lako izgraditi grafove razmatranih funkcija i dobiti tačan odgovor. Ako je odgovor približan, onda je bolje koristiti drugu metodu.

Četvrti način: uvođenje nove varijable.

Rješenje.Uvodimo nove varijable, označavajućiDobijamo prvu jednačinu sistema

Sastavimo drugu jednačinu sistema.

Za varijablu:

Za varijablu

Zbog toga

Dobijamo sistem od dvije racionalne jednačine, s obzirom nai

Vraćanje na varijablu, dobijamo

Uvođenje nove varijable

Pojednostavljenje - dobijanje sistema jednačina koje ne sadrže radikale

1. Potreba za praćenjem LPV-a novih varijabli

2. Potreba za povratkom na originalnu varijablu

Zaključak. Ova metoda se najbolje koristi za iracionalne jednadžbe koje sadrže radikale raznih stepeni, ili identični polinomi ispod predznaka korijena i iza predznaka korijena, ili međusobno inverzni izrazi ispod predznaka korijena.

- Dakle, ljudi, za svaku iracionalnu jednačinu morate odabrati najprikladniji način da je riješite: razumljiv. Pristupačno, logično i dobro osmišljeno. Podignite ruku, ko bi od vas dao prednost rješavanju ove jednadžbe:

1) način podizanja oba dela jednačine na isti stepen uz proveru;

2) metod ekvivalentnih transformacija;

3) funkcionalno-grafička metoda;

4) način uvođenja nove varijable.

IV . Praktični dio

(Grupni rad. Svaka grupa učenika dobija karticu sa jednačinom i rešava je u sveskama. U ovom trenutku jedan predstavnik iz grupe rešava primer na tabli. Učenici svake grupe rešavaju isti primer kao član svoje grupe i prati ispravno izvršavanje zadataka na tabli. Ako osoba koja odgovara za tablom napravi greške, onda onaj ko ih primijeti diže ruku i pomaže u ispravljanju. U toku časa svaki učenik, pored primjera koji rješava njegova grupa , moraju zapisati u bilježnicu i ostale predložene grupama i riješiti ih kod kuće.)

Grupa 1.

Grupa 2

Grupa 3.

V . Samostalan rad

(U grupama se prvo vodi diskusija, a zatim učenici počinju da izvršavaju zadatak. Na ekranu se prikazuje tačno rešenje koje je pripremio nastavnik.)

VI . Sumiranje lekcije

Sada znate da rješavanje iracionalnih jednadžbi zahtijeva dobro teorijsko znanje, sposobnost primjene u praksi, pažnju, marljivost, brzu pamet.

Zadaća

Rešite jednačine predložene grupama tokom lekcije.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

iracionalna jednačina je svaka jednadžba koja sadrži funkciju pod predznakom korijena. Na primjer:

Takve jednadžbe se uvijek rješavaju u 3 koraka:

1. Odvojite korijen. Drugim riječima, ako postoje drugi brojevi ili funkcije lijevo od znaka jednakosti pored korijena, sve se to mora pomaknuti udesno promjenom predznaka. Istovremeno, samo radikal bi trebao ostati na lijevoj strani - bez ikakvih koeficijenata.
2. 2. Kvadratiziramo obje strane jednačine. U isto vrijeme, zapamtite da su raspon korijena svi nenegativni brojevi. Otuda funkcija na desnoj strani iracionalna jednačina također mora biti nenegativna: g (x) ≥ 0.
3. Treći korak logično slijedi iz drugog: potrebno je izvršiti provjeru. Činjenica je da bismo u drugom koraku mogli imati dodatne korijene. A da bismo ih odsjekli, potrebno je rezultirajuće brojeve kandidata zamijeniti u originalnu jednačinu i provjeriti: da li se zaista dobija ispravna brojčana jednakost?

Rješavanje iracionalne jednadžbe

Hajde da se pozabavimo našom iracionalnom jednačinom datom na samom početku lekcije. Ovdje je korijen već osamljen: lijevo od znaka jednakosti nema ničega osim korijena. Kvadratirajmo obje strane:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Rezultujuću kvadratnu jednačinu rešavamo preko diskriminanta:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Ostaje samo zamijeniti ove brojeve u originalnoj jednadžbi, tj. izvršite provjeru. Ali čak i ovdje možete učiniti pravu stvar da pojednostavite konačnu odluku.

Kako pojednostaviti odluku

Razmislimo: zašto uopće provjeravamo na kraju rješavanja iracionalne jednačine? Želimo da budemo sigurni da pri zamjeni naših korijena toga neće biti negativan broj. Uostalom, već sigurno znamo da je to nenegativan broj na lijevoj strani, jer aritmetički kvadratni korijen (zbog čega se naša jednadžba naziva iracionalnom) po definiciji ne može biti manji od nule.

Dakle, sve što trebamo provjeriti je da funkcija g ( x ) = 5 − x , koja se nalazi desno od znaka jednakosti, nije negativna:

g(x) ≥ 0

Zamjenjujemo naše korijene u ovu funkciju i dobivamo:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Iz dobivenih vrijednosti slijedi da nam korijen x 1 = 6 ne odgovara, jer pri zamjeni u desnu stranu izvorne jednadžbe dobijamo negativan broj. Ali korijen x 2 \u003d −2 je sasvim prikladan za nas, jer:

1. Ovaj korijen je rješenje kvadratna jednačina dobijena kao rezultat gradnje s obje strane iracionalna jednačina u kvadrat.
2. Desna strana originalne iracionalne jednadžbe, kada se zamijeni korijen x 2 = −2, pretvara se u pozitivan broj, tj. raspon aritmetičkog korijena nije narušen.

To je ceo algoritam! Kao što vidite, rješavanje jednačina s radikalima nije tako teško. Glavna stvar je da ne zaboravite provjeriti primljene korijene, inače je vrlo vjerojatno da ćete dobiti dodatne odgovore.