Feladat № 1 (1).
Feltétel:
1. lehetőség P 6 , P 8 , A 6 2 , A 8 5 , C 6 2 , C 8 5 .
Megoldás:
P6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 P 8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320
6 5 = 30 == 8 7 6 = 336
15 = = = 56
Feladat № 2 (2) .
Feltétel:
Egy dobozban véletlenszerűen 10 ing található, ebből 4 prémium. A vevő véletlenszerűen vesz belőle 3-at. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az ingek közül legalább 1 a legjobb minőségű.
Megoldás:
1. módszer:
A - 1 legmagasabb fokozatú ing felvétele
B - 2 legmagasabb fokozatú ing felvétele
C - 3 legmagasabb fokozatú ing felvétele
R - legalább egy legmagasabb fokozatú ing felvétele
P(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =
2 út:
A - legalább egy legmagasabb fokozatú ing felvétele
A legjobb minőségű ingek közül egyet sem vettek el
P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()
P() = = = P(A) = 1 - =
Feladat № 3 (1) .
Feltétel:
3 tétel van, egyenként 30 alkatrészből. A szabványos alkatrészek száma az első tételben 30, a másodikban - 20, a harmadik tételben - 15. A szabványosnak bizonyult alkatrészt véletlenszerűen eltávolítják egy véletlenszerűen kiválasztott tételből. A tétel visszakerül a kötegbe, és újra kikerül ugyanabból a tételből, ami szintén szabványosnak bizonyult. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az alkatrészeket a harmadik tételből vették.
Megoldás:
Az A a standard alkatrész-kivonási esemény mind a két tesztben
B 1 - az első tételből eltávolították az alkatrészeket
B 2 - részeket eltávolítottunk a második tételből
B 3 - a harmadik tételből eltávolították az alkatrészeket
Mivel az alkatrészeket véletlenszerűen kiválasztott tételből vettük, akkor P(B1) = P(B2) = P(B3) =
(A) \u003d 1 - a standard alkatrészek 1 tételből történő kinyerésének valószínűsége
(A) = = - a standard alkatrészek 2. tételből való kinyerésének valószínűsége
(A) = = - a standard alkatrészek 3. tételből való kinyerésének valószínűsége
P A (B 3) = == =
Feladat № 4 (3) .
Feltétel:
A műszaki ellenőrző részleg 1000 alkatrész szabványosságát ellenőrzi. Annak a valószínűsége, hogy az alkatrész szabványos, 0,9. Keresse meg 0,95-ös valószínűséggel azokat a határokat, amelyek tartalmazni fogják m standard alkatrészek a teszteltek között.
Megoldás:
P = 0,9 - annak a valószínűsége, hogy az alkatrész szabványos
q = 1-P = 0,1 - annak a valószínűsége, hogy az alkatrész nem szabványos
Annak a valószínűsége abszolút érték a standard részek relatív gyakoriságának eltérése a P számtól nem haladja meg a pozitív számot?, a megkétszerezett Laplace-képletből határozzuk meg:
F(105?) = 0,475
Az Ф(х) függvény értéktáblázata szerint azt találjuk, hogy x = 1,96. Honnan van a 105? = 1,96 átlag? ? 0,0186.
Így a határok, amelyeken belül lezárulnak m standard alkatrészek a teszteltek között, megfelel az egyenlőségnek:
0,0186 vagy 0,8814??0,9186
Ezért az 1000 tesztelt alkatrész közül a kívánt számú szabványos alkatrész Q = 0,95 valószínűséggel a határokon belül van
881?m?917
Feladat № 5 (4).
Feltétel:
A közgazdász úgy véli, hogy a cég részvényei értékének növekedésének valószínűsége következő év 0,8 lesz, ha az ország gazdasága felfutásban van, és 0,25, ha a gazdaság nem fejlődik sikeresen. Szakértők szerint a gazdaság fellendülésének valószínűsége 0,55. Mérje fel annak valószínűségét, hogy a vállalat részvényei jövőre emelkedni fognak.
Megoldás:
A - az az esemény, hogy a cég részvényei jövőre emelkedni fognak
H 1 - esemény, hogy az ország gazdasága felfelé ível
H 2 - esemény, hogy az ország gazdasága nem fog sikeresen fejlődni
A H 1 és H 2 események egy teljes eseménycsoportot alkotnak. Mert:
P(H 1) = 0,55 - annak a valószínűsége, hogy az ország gazdasága emelkedni fog
P(H 2) = 0,45 - annak a valószínűsége, hogy az ország gazdasága nem fejlődik sikeresen
0,8 - a részvények növekedésének valószínűsége az ország gazdaságának növekedésével
0,25 - a részvények növekedésének valószínűsége az ország gazdaságának sikertelen fejlődése esetén
A teljes valószínűségi képlet alapján a következőket kapjuk:
P(A) = P(H1) + P(H2) = 0,8 0,55 + 0,25 0,45 = 0,44 + 0,1125 = 0,5525
Feladat № 6 (5).
Feltétel:
Egy befektető két pénzügyi cég értékpapírjaiba fektetett be. Ugyanakkor az első cégtől 0,88-as, a másodiktól 0,85-ös valószínűséggel remél bevételhez jutni a megszabott idő alatt. Mindazonáltal fennáll a cégek egymástól függetlenül csődjének lehetősége, amit az első cégnél 0,16, a másodiknál 0,018 valószínűséggel becsülnek. Csőd esetén a befektető csak a befektetett tőkét kapja meg. Mekkora a valószínűsége a nyereségnek?
valószínűségi érték fokozat pontszám
Megoldás:
A - az az esemény, hogy a befektető nyereséget kap
B 1 - az első cég csődje
B 2 - a második cég csődje
C 1 \u003d B 1 - csak az első cég csődje
C 2 \u003d B 2 - csak a második cég csődje
C 3 \u003d B 1 B 2 - mindkét cég csődje
C 4 = - mindkét cég munkájának eseménye
Р(В 1) = 0,16 - az első cég csődjének valószínűsége
Р(В 2) = 0,018 - a második cég csődjének valószínűsége
P C1 (A) \u003d 0,85 - a nyereség valószínűsége, ha csak az első cég megy csődbe
Р С 2 (А) = 0,88 - a nyereség valószínűsége csak a második cég csődje esetén
P C 3 (A) \u003d 0 - a nyereség valószínűsége, ha mindkét cég csődbe megy
P C4 (A) \u003d 1 - a nyereség valószínűsége, ha mindkét cég dolgozik
Р(С 1) = 0,16 0,982 = 0,1571 - az első cég csődjének valószínűsége
Р(С 2) = 0,84 0,018 = 0,0151 - a második cég csődjének valószínűsége
Р(С 3) = 0,16 0,018 = 0,0029 - mindkét cég csődjének valószínűsége
Р(С 4) = 0,84 0,982 = 0,8223 - két cég működésének valószínűsége
Ekkor a teljes valószínűségi képlet szerint kapjuk:
P(A) = P C1 (A) P(C 1)+ P C2 (A) P(C 2)+ P C3 (A) P(C 3)+ P C4 (A) P(C 4) =
0.85 0.1571+0.88 0.0151+0 0.0029+1 0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691
Feladat № 7 (1).
Feltétel:
A nyerés valószínűsége sorsjegy egyenlő 0,04. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 15 megvásárolt jegyből 3 nyerő lesz?
Megoldás:
Meg kell találni az n=3 siker valószínűségét N=15 Bernoulli-próbából p=0,04 siker valószínűséggel. A Bernoulli-képlet szerint ez a valószínűség egyenlő:
P 15 (3) = = 0,04 3 0,96 12 = 455 0,000064 0,613 = 0,018
Feladat № 8 (6).
Feltétel:
A 9 cég egyikének csődjének valószínűsége év végére 0,24. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az év végéig legfeljebb 3 cég megy csődbe?
P(n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P 9 (0)+P 9 (1)+P 9 (2)+P 9 (3) =
1 0.0846+ 0.24 0.1113+ 0.0576 0.1465+ 0.138 0.01927 =
0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847
Feladat № 9 (1).
Feltétel:
Egy értékpapír aktuális ára egy normál eloszlású X érték, amelynek átlaga =55 és szórása D X =4. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy eszköz ára az X 1 =53 és X 2 =57 den közötti tartományba esik. egységek.
Megoldás:
M(X) óta? =55, ? = = 2, akkor
P(53 Feladat
№
1
0 (7).
Feltétel: 10 cég összbevétele átlagosan S=11000. Az esetek 80%-ában ez a bevétel legfeljebb ?S = 500-al tér el az átlagtól. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő havi bevétel 1000 és 10000 között lesz. Megoldás: A probléma feltétele szerint =P (10500 2=0.8, =0.4 akkor az Ф(х) függvény értéktáblázata szerint =1,28, ? = =390,625 P(1000 Algoritmus egy esemény valószínűségének meghatározására és a statisztikai elvárások teljesítésére. Valószínűségi változó lehetséges értékeinek és valószínűségeinek becslése. Matematikai elvárás, variancia és szórás számítása. A tulajdonság jellemzőinek elemzése. teszt, hozzáadva 2014.01.13 A valószínűség klasszikus definíciójának alkalmazása a gazdasági problémák megoldásában. A hibás és nem hibás alkatrészek szerelvénybe kerülésének valószínűségének meghatározása. Egy statisztika valószínűségének és mintaértékének kiszámítása a Bernoulli-képlet segítségével. teszt, hozzáadva: 2010.09.18 Az esemény valószínűségének klasszikus meghatározása. Egy várható esemény bekövetkezésének kiszámításának módszerei. Elosztási sokszög építése. Adott eloszlássűrűségű valószínűségi változók keresése. A valószínűségszámítás témaköréhez kapcsolódó feladatok megoldása. feladat, hozzáadva 2011.01.14 A valószínűség klasszikus definíciójának alkalmazása bizonyos számú rész között adott kombinációk megtalálására. Annak meghatározása, hogy egy utas mekkora valószínűséggel megy az első pénztárhoz. A helyi Moivre-Laplace tétel felhasználásával az eltérés becslése. teszt, hozzáadva 2014.11.23 A valószínűségszámítás mint tudomány megjelenése. A valószínűség klasszikus meghatározása. Az esemény gyakorisága. Műveletek eseményeken. Valószínűség összeadása és szorzása. Ismételt független tesztek sémája (Bernoulli rendszer). Teljes valószínűségi képlet. absztrakt, hozzáadva: 2013.12.22 Az elemi eredmények legegyszerűbb terének általános fogalma és jellemzői. Egy esemény valószínűségének számítási módszerei. Klasszikus valószínűségi modell, főbb tulajdonságai és bizonyításai. Valószínűségszámítás alapaxiómái, példák a problémamegoldásra. absztrakt, hozzáadva: 2009.04.24 Egyes események előfordulásának kiszámításának módjai. Valószínűségelmélethez kapcsolódó feladatok megoldása. A Laplace-függvénytáblázat segítségével meghatározzuk a normális eloszlás elméleti gyakoriságait. A korrigált minta szórásának meghatározása. teszt, hozzáadva 2015.03.14 Egy teljes eseménycsoport jellemzése a kísérlet összes lehetséges eredményének összességeként. Az események valószínűségének meghatározására szolgáló módszerek különböző irányú feladatokban. A nem szabványos alkatrészek számának valószínűségének meghatározása. Az elosztási függvény felépítése. feladat, hozzáadva 2011.03.19 Lényegének tanulmányozása és feltételezés megfogalmazása a kísérleti adatok valószínűségének eloszlásának törvényéről. Az aszimmetria fogalma és értékelése. Az eredmény valószínűségének eloszlási törvényének formájának eldöntése. Az átmenet véletlenszerű értékről nem véletlenszerű értékre. szakdolgozat, hozzáadva 2013.04.27 Egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségének meghatározása és becslése. Egy probléma megoldására szolgáló technika az összeadás-szorzás tétel, a teljes valószínűségi képlet vagy a Bayes segítségével. A Bernoulli-séma alkalmazása problémamegoldásban. A négyzetes eltérés kiszámítása. Valószínűségi elemzésünket gyakran előzetesen kezdjük, eleve a számunkra érdekes események valószínűségi értékei. Majd információforrásokból, például mintából, jelentésből, tapasztalatból stb. további információkat kapunk a számunkra érdekes eseményről. Ezzel az új információval finomíthatjuk, újraszámolhatjuk az a priori valószínűségek értékeit. Szűkebbek lesznek az új valószínűségek ugyanazon számunkra érdekes eseményekre. a posteriori(posztkísérleti) valószínűségek. Bayes tétele ad egy szabályt az ilyen valószínűségek kiszámítására. Legyen az esemény A csak az egyik eseménnyel történhet meg B 1 , B 2 , B 3 ,…, B n, teljes csoportot alkotva. Legyenek ismertek a valószínűségek P (B 1), P (B 2), P (B 3), ..., P (B n). Az események óta Az i alkoss egy teljes csoportot, majd . Az esemény feltételes valószínűsége is ismert A: P (A / B 1), P (A / B 2), ..., P (A / B i), ..., P (A / B n). Mivel nem tudni előre, hogy az események közül melyikkel Az i esemény fog történni A, majd az eseményeket Az i hipotéziseknek nevezzük. Meg kell határozni egy esemény valószínűségét Aés túlbecsülik az események valószínűségét Az i az eseménnyel kapcsolatos teljes körű tájékoztatást figyelembe véve A. Eseményvalószínűség A ként meghatározott: Ezt a valószínűséget ún teljes valószínűséggel. Ha az A esemény csak a B 1 , B 2 , B 3 ,…, B n események egyikével következhet be, ami az összeférhetetlen események teljes csoportját alkotja, amelyet hipotéziseknek nevezünk, akkor az A esemény valószínűsége egyenlő a B 1 , B 2 , B 3 ,…, B n események valószínűségeinek szorzatának összegével., az A esemény megfelelő feltételes valószínűségére. A hipotézisek feltételes valószínűségét a következő képlet számítja ki: Ezek a Bayes-képletek (a T. Bayes angol matematikusról kapta a nevét, aki 1764-ben publikálta őket), ahol a P(A) nevező a teljes valószínűség. 1. példa A közgazdász úgy véli, hogy az ország gazdaságának felfutása esetén 0,75 a valószínűsége annak, hogy a következő évben egy adott cég részvényei értéke emelkedik; és ugyanez a valószínűség 0,30, ha az ország gazdasága nem fejlődik sikeresen. Véleménye szerint a jövő évi gazdasági fellendülés valószínűsége 0,80. A közgazdász feltételezései alapján mennyire valószínű, hogy jövőre drágulnak a cég részvényei? Megoldás. Határozzuk meg az eseményeket: A"Jövőre drágulni fognak a cég részvényei." Esemény A- "jövőre drágulnak a cég részvényei" - csak az alábbi hipotézisek valamelyike esetén fordulhat elő: B1- az ország gazdasága felfutásban lesz és B2 Az ország gazdasága nem fog sikeresen fejlődni. Feltétel szerint a hipotézisek valószínűsége ismert: P(B1)=0,8; P(B2)=0,2 és az esemény feltételes valószínűségei A: P(A/B1)=0,75; P (A / B 2) \u003d 0,3. A hipotézisek egy teljes csoportot alkotnak, valószínűségeik összege 1. Tekintsük az eseményt A- ez (vagy B 1 A vagy B 2 A). Események B 1 AÉs B 2 A -B1És B2- összeférhetetlenek. Események B1És A, B 2És A- függő. A fentiek lehetővé teszik számunkra, hogy alkalmazzuk egy esemény kívánt valószínűségének meghatározását A teljes valószínűségi képlet: Válasz: 0,66. 2. példa A közgazdász úgy véli, hogy az aktív gazdasági növekedés időszakában az amerikai dollár 0,7-es valószínűséggel drágul; mérsékelt gazdasági növekedés időszakában a dollár 0,4-es valószínűséggel drágul; alacsony gazdasági növekedés mellett pedig 0,2 valószínűséggel drágul a dollár. Bármely időszak alatt az erős gazdasági növekedés valószínűsége 0,3, a mérsékelt gazdasági növekedés 0,5, az alacsony növekedés pedig 0,2. Tegyük fel, hogy a dollár erősödik a jelenlegi időszakban. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vizsgált időszak egybeesett egy aktív gazdasági növekedés időszakával? Megoldás. Határozzuk meg az eseményeket: A- A dollár emelkedik. Csak az alábbi hipotézisek egyikével együtt fordulhat elő: B1– „aktív gazdasági növekedés”; B2– „mérsékelt gazdasági növekedés”; B3- alacsony gazdasági növekedés. Feltétel alapján ismertek a hipotézisek kísérlet előtti (a priori) valószínűségei és az esemény feltételes valószínűségei A: P(B1)=0,3; P(B2)=0,5; P(B3)=0,2. P(A/B1)=0,7; P (A/B 2) \u003d 0,4; P (A / B 3) \u003d 0,2. A hipotézisek egy teljes csoportot alkotnak, valószínűségeik összege 1. 1. Esemény A- ez (vagy B 1 A, vagy B 2 A, vagy B 3 A). Események B 1 AÉs B 2 AÉs B 3 A - párban összeférhetetlen, hiszen az események B1, B2És B3– összeférhetetlen.Események B1És A, B 2És A, AÉs B2– függő.A feltételnek megfelelően meg kell találni az első hipotézis pontosított (utólagos kísérleti, a posteriori) valószínűségét, azaz. meg kell találni az aktív gazdasági növekedés valószínűségét, feltéve, hogy a dollár felértékelődik (az esemény A már megtörtént), vagyis P (B 1 / A) -? Az (5.2) Bayes-képlet felhasználásával és a megadott valószínűségek behelyettesítésével a következőt kapjuk: Várható megtérülés és szórás. Ez a példa lehetővé teszi, hogy gyakorlatilag kiszámítsa azt a teljesítményt, amelyet egy befektetési portfóliótól várhatunk. Adott kétféle részvény és három gazdasági állapot: Számítsa ki a szórást és a várható hozamot minden részvénytípusra. Portfólió kockázata és hozama. Térjünk vissza a 11.1. példához, és tegyük fel, hogy összesen 20 000 dollárja van. Ha 6000 dollárt fektet be részvényekbe A, a többi pedig benne B, mekkora lesz a portfóliójának várható hozama és szórása? Kockázat és megtérülés. Tegyük fel, hogy a következő helyzetre gondol: Ha a kockázatmentes ráta 8%, megfelelően árazzák ezeket az értékpapírokat? Mennyi lenne a kockázatmentes kamat, ha az értékpapírokat helyesen értékelnék? CAPM. Tegyük fel, hogy a kockázatmentes ráta 8%. A piacon várható hozam 14%. Ha egy adott típusú eszköznél (3 = 0,6), akkor mekkora az adott eszköz várható hozama CAPM? Ha egy másik eszköz várható hozama 20%, mi legyen a (3. együttható? Válaszok A várható hozamokat a lehetséges hozamok és azok valószínűségeinek szorzataként számítjuk ki: E( R A) = 0,1 x (-0,2) + 0,6 x (0,1) + 0,3 x (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 x (0,3) + 0,6 x (0,2) + 0,3 x (0,5) = 30% A volatilitást a várható hozamok eltérése és a valószínűségek négyzetének szorzataként számítjuk ki: Od \u003d 0,1 x (-0,2 - 0,25) 2 + 0,6 x (0,1 - 0,25) 2 + 0,3 x (0,7 - 0,25) 2 = \u003d 0,1 x (-0,45) 2 + 0,6 x (-0,45) 2 + 0,6 x (-0,45) 2 + 0,6 x (-0,45) 2 + 0,6 x 0,2 (0,2) 03d 0,1 x 0,2025 + 0,6 x 0,0225 + 0,3 x 0,2025 = 0,0945 a2, \u003d 0,1 x (0,3 - 0,3) 2 + 0,6 x (0,2 - 0,3) 2 + 0,3 x (0,5 - 0,3) 2 \u003d 0,1 x (0,0) 2 + 0,6 x (-0,1) 2 + 0,3 x (0,2) 2 = 0,1 x 0,0 + 0,6 x 0,01 + 0,3 x 0,04 = 0,0180 A standard eltérések a következők: aA = VO,0945 = 30,74% aB = VO,0180 = 13,42% Az egyes részvénytípusok súlya a portfólióban: 6 000 USD/20 000 = 0,3 és 14 000/20 000 = 0,7. A portfólió várható hozama ekkor: Szé/É = 0,3 x E (RA) + 0,7 x E (RB) = 0,3 x 25% + 0,7 x 30% \u003d 28,50% Akkor a portfólió hozama az E( Rp) = 0,1 x (0,15) + 0,6 x (0,17) - 0,3 x (0,56) = 28,50%. Ez ugyanaz az eredmény, amit korábban kaptunk. Számítsa ki a portfólió volatilitását Op = 0,1 x (0,15 - 0,285) 2 + 0,6 x (0,17 - 0,285) 2 + 0,3 x (0,56 - 0,285) 2 \u003d 0,03245 Ekkor a szórás 0,03245 négyzetgyöke, és egyenlő 18,01%-kal Ha az egyes vállalatok értékpapírjaira kiszámítjuk a kockázati megtérülési mutatót, akkor a Cooley esetében (19% - 8%)/1,6 = 6,875%, a Myer esetében pedig 6,67% lesz a végeredmény. Cooley esetében a Myer várható hozama túl alacsony, így az árfolyamai túl magasak. Ha mindkét cég papírjai helyesen vannak árazva, akkor azonos kockázati megtérülési arányt kell kínálniuk, így meg tudjuk fogalmazni az egyenletet (19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2 Kis algebrai transzformációk elvégzése után /? y \u003d 7% (19% - Rf) \u003d (16% - MÉREG 1,6 / 1,2) 19% - 16% x (4/3) \u003d Rf - Rf x (4/3) yu \u003d 7% Mivel a piaci elvárt hozam 14%, így a piaci kockázati prémium, illetve (14% - 8%) = 6% (a kockázatmentes ráta 8%) A második típusnál a kockázati prémium 20% - 8% = 12% Mivel ez pontosan kétszerese a piaci kockázati prémiumnak, ezért a p együtthatónak pontosan 2-nek kell lennie. Ezt az elmélet segítségével ellenőrizhetjük. CAPM 20% \u003d 8% + x p P, \u003d 12% / 6% \u003d 2,0 Kérdések és feladatok A portfólió várható hozama. Ha egy portfólió minden eszköztípusba pozitív befektetéseket tartalmaz, akkor egy ilyen portfólió várható hozama nagyobb lehet, mint a portfólió egyes eszközeinek hozama? Kevésbé? Ha az egyik vagy mindkét kérdésre igennel válaszolt, kérjük, adjon meg egy példát döntésének alátámasztására. Egyedi eszközök volatilitása és diverzifikációja. Igaz vagy hamis: Egy jól diverzifikált portfólió várható hozamának meghatározásánál a legfontosabb jellemző a portfólió egyes eszközeinek volatilitása. Magyarázd el. portfóliókockázat. Ha egy portfólió minden eszköztípusban pozitív befektetésekkel rendelkezik, akkor egy ilyen portfólió szórása kisebb lehet, mint az adott portfólió egyes eszközeinek szórása? Mit tud mondani egy ilyen portfólió b-ről? portfólióhozamok. Az előző, a részvénypiac történetéről szóló fejezet információit felhasználva, mekkora volt a megtérülése egy olyan portfóliónak, amely egyenlően oszlik meg a törzsrészvények és a hosszú lejáratú államkötvények között? Melyik egyenlően oszlik meg a kisrészvények és a kincstárjegyek között? CAPM. Használata CAPM, bizonyítsa be, hogy két eszköz kockázati prémium együtthatója megegyezik a p. A portfólió hozama és eltérései. A három értékpapírból álló portfólióról szóló alábbi információk alapján határozza meg: Ha 30%-ot fektetett be AÉs B, 40% in C Mennyi a portfólió várható hozama? Állandóság? Szórás? Ha a várható megtérülési ráta T bill 5,25%, mennyi a portfólió kockázati prémium? Ha a várható infláció 5%, mennyi a portfólió várható reálhozama? Mennyi a valós portfóliókockázati prémium? Portfólióelemzés. Olyan portfóliót szeretne létrehozni, amelynek kockázata megegyezik a tőzsde egészével. 200 000 dollárod van. Az alábbi adatokkal töltse ki a hiányzó pozíciókat: Portfólióelemzés. 100 000 dollárja van befektetni bármelyik értékpapírba, mint pl D, akár F-ben, akár kockázatmentes eszközben. Minden pénzét be kell fektetnie. Célja, hogy olyan portfóliót hozzon létre, amelynek várható hozama 10%, és csak 60% a kockázata a piac többi részéhez képest. Ha D 20% várható hozama és P = 1,50, F 15% és P = 1,15, a kockázatmentes ráta 5%, mennyi pénzt tesz F-be? Szisztematikus és nem szisztematikus kockázat. A következő információk birtokában vagy: A piaci kockázati prémium 8%, a kockázatmentes ráta 6%. Melyik értékpapírtípusnál a legmagasabb a szisztematikus kockázat? Melyik fajnál a legmagasabb a nem szisztémás kockázat? Melyik értékpapír a legkockázatosabb? Magyarázd el. Haladó kérdések Együtthatók b. Lehet-e egy kockázatos eszköz b = 0? Magyarázd el. A modell használata CAPM Mennyi a várható hozam egy ilyen eszköztől? Lehet egy kockázatos eszköznek negatív b együtthatója? Mi jósol CAPM egy ilyen eszköz várható megtérülési szintjéről? Meg tudnád pontosítani a válaszod? Tőzsdei állapotsor ( SML). Tegyük fel, hogy a következő helyzetre gondol: Tételezzük fel, hogy ezek az értékpapírok helyesen vannak értékelve. Alapján CAPM Mi a várható piaci hozam? Mi a kockázatmentes kamat? Vizsga CFA- pénzügyi elemzői bizonyítvány vizsga, amelyet az Egyesült Államokban a befektetések területén dolgozó szakemberek számára állítanak ki. Megoldás. Legyen az az esemény, hogy az automaták általános gyártásából véletlenszerűen vett rész szabványos. Ez az esemény az egyik hipotézissel összefüggésben következik be A hipotézisek egy teljes eseménycsoportot alkotnak, valószínűségeik összege 1. A minket érdeklő esemény feltételes valószínűségei a következők: Egy esemény kívánt valószínűségét a teljes valószínűségi képlet segítségével találjuk meg, amelyet esetünkben a következőképpen írunk le: Végre megkapjuk 2. feladat. A szedő 2 azonos méretű betűkészletet használ, ebből 1 80%-os, 2-70% pedig jó minőségű betűkészlet. Egy véletlenszerűen kiválasztott készletből véletlenszerűen kivont levél jó minőségűnek bizonyult. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ez a betű a 2. halmazból származik. Megoldás. Az esemény egy kiváló minőségű levél véletlenszerűen. Az előző feladathoz hasonlóan ez is az egyik hipotézissel együtt fordul elő Feltétel szerint Ahol Ebben az esetben A 3.1. A 20 kiválasztott alkatrészből 5 az 1. számú gépen, 10 a 2. számú gépen, a többi a 3. számú gépen készült. Az 1. számú gépen szabvány alkatrész gyártási valószínűsége 0,96, a 2-es gépen 0,98. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a 3. számú gépen szabványos alkatrészt gyártanak, ha annak valószínűsége, hogy a jelzett 20-ból standard alkatrészt kapunk véletlenszerű kiválasztással 0,98. A 3.2.Összeszereléshez 4 gép alkatrészeit szállítjuk. A második 40%-ot ad A 3.3. 20 lövőből 7 találta el a célt 0,6-os valószínűséggel; A 3.4. Három tétel alkatrész 1/2, 2/3 és 1/2 hibás. Minden tételből 1 részt vettek, és A 3.5. Egy 4 részes tételből véletlenszerűen vettek egyet, amiből kiderült A 3.6. A 6 tétel között a hibás tételek száma nem ismert előre, és a hibás tételek számára vonatkozó minden feltételezés egyformán valószínű. Egy véletlenszerűen vett termékről kiderült, hogy hibás. megtalálja A 3.7. 2 doboz egyenként 20 alkatrészt tartalmaz, ebből 12 az 1. dobozban, és 15 szabványos a 2. dobozban található. Az 1. dobozból egy darab kerül át a 2. dobozba. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a 2. dobozból véletlenszerűen kivont rész szabványos lesz. A 3.8. Az üzletbe két gyár által gyártott elektromos lámpák kerültek. Ezek 70%-át az 1. üzem gyártja, a többit pedig a 2. üzem. Ismeretes, hogy a gyári 1-es lámpák 3%-a, a gyári 2-es lámpák 5%-a nem felel meg a szabványnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lámpa szabványos lesz? A 3.9. 20 lövőből 7 találta el a célt 0,9-es valószínűséggel; A 3.10. Az állomás melletti megállóban áthaladnak a 2-es, 3-as, 10-es és 29-es járatok autóbuszok Az utas a 2-es vagy a 10-es buszra várja az utast. Az 50 közlekedő autóbusz közül 6 darab 2-es és 9-10-es busz közlekedik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az 1-es autóbusz várhatóan egy megállóhelyet megközelítő utas megállója lesz. A 3.11. 2 doboz termék van, és 1 dobozban minden A 3.12. Ugyanennyi mennyiséget tartalmazó edényből A 3.13. 2 doboz 20 alkatrészt tartalmaz, ebből A 3.14. Ismeretes, hogy az összes férfi 5%-a és a nők 25%-a színvak. A vizsgálatra azonos számú férfi és nő érkezett. Egy véletlenszerűen kiválasztott arc színvaknak bizonyult. A 3.15. 18 lövőből 5 találta el a célt 0,8-as valószínűséggel; 7 - 0,7 valószínűséggel; 4 - 0,6 valószínűséggel; 2 - 0,5 valószínűséggel. Egy véletlenszerűen kiválasztott lövő leadott egy lövést, de célt tévesztett. Melyik csoport tartozott nagy valószínűséggel ehhez a lövöldözőhöz? A 3.16. Ismeretes, hogy a gyártott termékek 96%-a megfelel a szabványoknak. Az egyszerűsített ellenőrzési sémát megfelelőnek ismerik el A 3.17. A készülék kiváló minőségben összeszerelhető A 3.18. Annak a valószínűsége, hogy a számítógép működése közben meghibásodik az aritmetikai egység, a RAM és a A 3.19. A valószínűségszámításból vizsgázni érkező és jegyet szerző tíz diák közül 2 30-ból 20 jegyet ismer, 1-nek csak 15 jegyet sikerült megismételnie, a többi hallgató mind a 30 jegyet ismeri. A felkészülésre szánt idő letelte után a vizsgáztató véletlenszerűen felhívja az egyik hallgatót, hogy válaszoljon. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hívott sikeres vizsgát tett, ha a jegy ismerete 0,85-ös valószínűséggel garantálja a sikeres vizsgát, és ha A 3.20. A valószínűségszámításból vizsgázni érkezett 25 fős csoportban 5 kiváló, 12 fő jól felkészült, 5 kielégítő és 3 fő gyengén felkészült tanuló van. A kiváló tanulók a program mind a 30 kérdését ismerik, jól felkészülten - 25, megfelelően felkészülten - 15, gyengén felkészülten csak 10 kérdést tudnak. Egy véletlenszerűen kiválasztott diák két kérdésre válaszolt. Határozza meg a következő események valószínűségét: a) a tanuló kiváló vagy jól felkészült; b) a tanuló megfelelően felkészült; c) a tanuló rosszul felkészült. A 3.21. 3 féle TV eladó. Termékek A 3.22. Vérátömlesztéskor figyelembe kell venni a donor és a beteg vércsoportját. A 4. vércsoportú személy bármely vércsoportba tartozó vérrel transzfundálható; a 2. vagy 3. vércsoportú személynek akár azonos, akár 1. vércsoportú vért lehet transzfundálni; A 3.23. Egy dobozban 20 teniszlabda található, ebből 15 új és 5 használt. A véletlenszerű játékhoz 2 labdát kell kiválasztani, amelyeket a játék után vissza kell adni. Ezután a második játszmára szintén véletlenszerűen húznak még 2 labdát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 2. meccset új labdákkal játsszák? A 3.24. A műhelyben televíziókhoz gyártanak kineszkópokat, és az összes kineszkóp 70%-a színes televíziókhoz, 30%-a fekete-fehérhez készült. Ismeretes, hogy az összes termék 50%-át exportálják, és a színes TV-khez szánt kineszkópok teljes számának 40%-át exportálják. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy fekete-fehér tévékészülékhez szánt, véletlenszerűen kiválasztott kineszkóp exportálásra kerül. A 3.25. Az azonos típusú termékekből 25 tétel van: 10 tétel 10 termékből, ebből 8 szabványos, 2 nem szabványos; 5 tétel 8 termékből, ebből 6 szabványos, 2 nem szabványos; 5 tétel 8 termékből, ebből 6 szabványos, 2 nem szabványos; 5 tétel 5 termékből, ebből 4 standard, 1 nem szabványos. Egy tétel eltávolításra kerül egy véletlenszerűen kiválasztott tételből. Mennyi a valószínűsége, hogy nem szabványos? A 3.26. Három gépíró újragépelte a kéziratot. Az 1. a teljes kézirat 1/3-át nyomtatta ki, a 2. - 1/4, a többi - a 3. Annak a valószínűsége, hogy az 1. gépíró hibázik, 0,15, a 2. - 0,1, a 3. - 0,1. Hiba történt az ellenőrzés során. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a hibát az 1. gépíró követte el! A 3.27. A hibás alkatrész gyártásának valószínűsége 0,05. A hiba megtalálásának valószínűsége 0,95, és annak a valószínűsége, hogy egy jó alkatrészt elutasítanak, 0,02. Határozza meg annak valószínűségét, hogy: a) az alkatrészt elfogadják; b) az átvett alkatrész hibás lesz; c) az át nem vett alkatrésznek nem lesz hibája. A 3.28. Előzetesen megállapították, hogy a hibás alkatrészek száma nem haladja meg a 3-at 100-hoz, és a hibások számának összes értéke (0, 1, 2, 3) A 3.29. A tanuló nem ismeri az összes vizsgajegyet. Melyik esetben nagyobb az esély a sikeres vizsgára: mikor veszi ki először a jegyet, vagy nem? A 3.30. Egy urnában egy ismeretlen színű golyó található – egyenlő valószínűséggel fehér vagy fekete. Az urnába 1 db fehér golyót ejtünk, majd alapos keverés után véletlenszerűen 1 db golyót húzunk. A 3.31. Az azonos típusú készülékeket három gyár gyártja 2:5:8 arányban, és ezeknél a gyárakban a visszautasítási valószínűség: A 3.32. A televízióstúdió raktárában fellelhető kineszkópok hetven százalékát az 1. számú, a többit a 2. számú üzem gyártotta. Annak a valószínűsége, hogy az 1. számú üzem kineszkópja kibírja a garanciális időszakot, 0,9, a 2. számú üzem esetében 0,8. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kineszkóp túléli a garanciális időszakot. A 3.33. Két doboz egyenként 20 alkatrészt tartalmaz, ebből az első doboz 16, a második doboz pedig 10 szabványos alkatrészt tartalmaz. Az egyik elemet eltávolítják az első dobozból, és áthelyezik a másodikba. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második dobozból véletlenszerűen kivont elem szabványos lesz? A 3.34. A 20 kiválasztott alkatrészből 5 az 1. gépen, 10 a 2. gépen, a többi a 3. gépen készült. A szabványos alkatrész gyártási valószínűsége az 1. gépen 0,96, a 2. gépen 0,98. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a harmadik gépen szabványos alkatrészt gyártunk, ha annak valószínűsége, hogy a jelzett 20-ból standard alkatrészt kapunk véletlenszerű kiválasztással 0,97. A 3.35. A radarállomás kezelője 0,8-as valószínűséggel rögzíti az ellenséges repülőgépet, és veszi a repülőgép számára az interferenciát A 3.36. A 20 lövő közül hét találta el a célt 0,6-os valószínűséggel; nyolc 0,5 és öt 0,7 valószínűséggel. A 3.37. A létesítmény építéséhez 4 cementgyár vasbeton tábláit szállítjuk 50, 10, 40 és 30 darabos mennyiségben. A 3.38. A közgazdász úgy véli, hogy a vállalati részesedés értékének növekedésének valószínűsége jövőre 0,75 lesz, ha az ország gazdasága felfutásban van, és 0,30, ha a gazdaság nem fejlődik sikeresen. Szakértők szerint a gazdaság fellendülésének valószínűsége 0,6. Mérje fel annak valószínűségét, hogy a vállalat részvényei jövőre emelkedni fognak. A 3,39. Egy befektető két pénzügyi cég értékpapírjaiba fektetett be. Ugyanakkor 0,9-es valószínűséggel reméli, hogy az első cégtől a megszabott idő alatt bevételhez jut; a másodiktól - 1-es valószínűséggel azonban fennáll a cégek egymástól függetlenül csődjének lehetősége, amelyet az első cégnél 0,1-es valószínűséggel becsülnek; a másodiknál - 0,02. A cég csődje esetén a befektető csak a befektetett tőkét kapja meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a befektető profitot termel? A 3.40. A kézműves boltban 3 iparos és 6 tanulójuk dolgozik. A mester 0,05 valószínűséggel elismeri a házasságot a termék gyártása során; tanuló - 0,15 valószínűséggel. A műhelyből kapott termék hibás volt. Mennyi a valószínűsége, hogy egy mester készítette? B blokk C 3a Az adószolgálat ellenőrei a vállalkozások tevékenységét ellenőrzik: az első szolgál A) egy véletlenszerűen kiválasztott vállalkozásnak nincsenek tartozásai; B) a tartozással nem rendelkező vállalkozást az első ellenőr ellenőrizte? Hasonló dokumentumok
. (5.1)
Értékpapír Beta Várható megtérülés
Cooley Inc. 1,6
19%
Moyer Co. 1,2
16%
Eszközök Befektetések, $ b
Kilátás A
1,20
Kilátás B
0,85
Kilátás C
??
1,40
Kockázatmentes eszköz ??
??
Vállalati értékpapírok b Várható megtérülés
Ábel Zrt. 1,15
18%
Baker Co. 0,80
15%
Meg kell adni és pontosan meg kell határozni hipotéziseketÉs záró esemény 
, jelzik a hipotézisek valószínűségét 
és az esemény feltételes valószínűségei az egyes hipotézisek előfordulásakor 
. Ebben az esetben a hipotézisek halmazának kell kialakulnia rendezvények teljes csoportja, így valószínűségeik összege 1: 
.
^
Tipikus feladatok megoldása
1. feladat. A szerelvény 3 automata gépből kap alkatrészeket, melyek teljesítménye 2:3:5 arányban áll egymással. Termékeikben a házasság rendre 2%, 1%, 3%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az automaták teljes gyártásából véletlenszerűen kiválasztott alkatrész szabványos. 
, amely abból áll, hogy a rész a én-a gép. Ezeknek a hipotéziseknek a valószínűsége a következő:
; 
; 
.
; 
; 
.
- levelet én-edik halmaz - melynek valószínűségei 
. Hipotézisek 
És 
egy teljes eseménycsoportot alkotnak.
, 
. Meg kell találnunk a valószínűséget 
, azaz túlbecsülni a hipotézis valószínűségét, feltéve, hogy az esemény már megtörtént. Használjuk Bayes képlet
,
– teljes valószínűségi képlet.
.
^
Feladatok a tanárnak szóló beszámolóhoz
A blokk
a harmadik pedig a szerelvénybe kerülő termékek 30%-a. Az első gép a házasság 0,125% -át, a második, harmadik és negyedik pedig 0,25% -át. A termék hány százaléka kerül a szerelvénybe a 4. gépből, ha a hibás alkatrészek szerelvénybe kerülésének valószínűsége 0,00225?
8 - 0,5 és 5 - 0,7 valószínűséggel. Egy véletlenszerűen kiválasztott lövő leadott egy lövést, és eltalálta a célt. Melyik csoport tartozott nagy valószínűséggel ehhez a lövöldözőhöz?
2 hibásnak talált. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy jóindulatú rész a 3. kötegbe tartozik.
jóindulatú. A jó minőségű alkatrészek száma egyaránt lehetséges. Mi a legvalószínűbb feltevés a hibás alkatrészek számáról, és mennyi a valószínűsége?
annak a valószínűsége, hogy: a) a hibás tételek száma 6; b) az átvett hibás termék az egyetlen.
8 - 0,5 és 5 - 0,6 valószínűséggel. Egy véletlenszerűen kiválasztott lövő leadott egy lövést, de célt tévesztett. Melyik csoport tartozott nagy valószínűséggel ehhez a lövöldözőhöz?
termékek jó minőségűek, és 2-ben csak a fele. A kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiszedett termék jó minőségűnek bizonyult. Mi a különbség annak valószínűsége között, hogy a termék az 1. és 2. dobozba tartozik, ha a dobozokban lévő termékek száma
ugyanaz?
4 vállalkozás részeit, egy részt vettek ellenőrzésre. Mennyi a valószínűsége a hibás termékek észlelésének, ha 2 vállalkozás termékei a hibás alkatrészek 3/4-ét tartalmazzák, és az összes
Más cégek termékei jó minőségűek?
1. doboz - 16, és a 2. - 10 szabvány. Az 1. dobozból 2 alkatrészt eltávolítunk és áthelyezünk a 2. dobozba. Határozza meg
annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kinyert részből
A 2. fiók alapfelszereltség lesz.
Mennyi a valószínűsége, hogy férfi?
standard termékek 0,98 valószínűséggel, nem szabványos termékek pedig 0,05 valószínűséggel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az egyszerűsített ellenőrzésen átesett termék megfelel a szabványoknak.
alkatrészekből és normál minőségű alkatrészekből. Az eszközök 40%-a kiváló minőségű alkatrészekből készül. Ha a készüléket jó minőségű alkatrészekből állítják össze, akkor annak megbízhatósága (a hibamentes működés valószínűsége az idő múlásával t) egyenlő 0,95-tel; ha a részletekből a megszokott
minőség, akkor 0,7. A műszert egy ideig tesztelték tÉs
hibátlanul működött. Határozza meg annak valószínűségét, hogy jó minőségű alkatrészekből állították össze.
a többi eszköz 3:2:5 arányban történik. Az aritmetikai egységben, a RAM-ban és más eszközökben bekövetkező hiba észlelésének valószínűsége 0,8; 0,9; 0.9. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a rendszer meghibásodást észlel a gépben.
a jegy tudatlansága csak 0,1-es valószínűséggel tud átmenni a vizsgán?
Az 1. gyárban a TV-k 20%-a rejtett hibákkal rendelkezik,
2. - 10% és 3. - 5%. Mekkora a valószínűsége annak, hogy működő tévét szerezzen, ha az áruház a tévék 30%-át az 1. üzemből, 20%-át a 2. és 50%-át a 3. üzemből kapta?
1. vércsoportú személy csak 1. vércsoportú vérrel transzfundálható. A lakosság 33,7%-a az első, 37,5%-a a második, 20,9%-a a harmadik és 7,9%-a a negyedik vércsoportú. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen vett páciens vérátömlesztésre kerülhet egy véletlenszerűen vett donor vérével.
részletek is lehetségesek. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az 1000 legyártott alkatrész között nincs hibás alkatrész, ha 100 vizsgálatra vitt alkatrészből nem volt hibás alkatrész?
Kiderült, hogy fehér. Mennyi a valószínűsége, hogy az urna tartalmaz
fehér golyó?
rendre egyenlők 0,05, 0,03, 0,02. A vásárolt készülék hibás volt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy elkészül
1. gyár?
valószínűsége 0,1. Az esetek 15%-ában a kezelő képernyője kap
akadály. Az üzemeltető döntést hozott a levegőben való jelenlétről
az ellenséges repülőgép tere. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a jel valóban érkezett a repülőgéptől.
Egy véletlenszerűen kiválasztott lövő leadott egy lövést, és eltalálta a célt. Melyik csoport tartozott nagy valószínűséggel ehhez a lövöldözőhöz?
illetőleg. Mindegyik gyár engedélyezi a házasságot (a GOST be nem tartása) a lemezek gyártása során, százalékban kifejezve 1, 5, 2 és 3. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lemez megfelel a GOST követelményeinek?
C blokk
Az első gépről összeszerelésre érkező alkatrészek közül 0,1% hibás, a másodikból - 0,2%, a harmadikból - 0,25%, a negyedikből - 0,5%. Előadásaik 4:3:2:1 arányban állnak egymással. Egy véletlenszerűen vett alkatrész szabványosnak bizonyult. Határozza meg annak valószínűségét, hogy: a) az elsőnél; b) a másodikon; c) a harmadikon; d) a negyedik gépen. Hogyan ellenőrizhető ezen valószínűségek számításainak helyessége?
Az első csoportból négy, a második csoportból hat diák, a harmadikból pedig öt diák került kiválasztásra a diák minősítő sportversenyeken. Annak a valószínűsége, hogy az első, második, harmadik csoportból kiválasztott hallgató bekerül az intézet csapatába, 0,5, 0,4 és 0,3. A verseny véletlenszerűen kiválasztott résztvevője bekerült a válogatottba. E három csoport közül melyikhez tartozik nagy valószínűséggel?
Öt puska van, ebből három teleszkópos irányzékkal. Az optikai irányzékkal ellátott puskából egy lövéssel célba találásának valószínűsége adott lövész esetén 0,95, optikai irányzék nélkül 0,8. Határozza meg annak valószínűségét, hogy eltalálja a célt, ha a lövő egy véletlenszerűen vett puskából ad le egy lövést.
Az első gépből 40% kerül az összeszerelésre, a másodikból - 30%, a harmadikból - 20%, a negyedikből - az összes alkatrész 10% -a. Az első gép alkatrészei közül 0,1% hibás, a második - 0,2%, a harmadik - 0,25%, a negyedik - 0,5%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeszerelésre kapott alkatrész hibás.
A rádiócsöveket két gyárban gyártják, amelyek közül az első az összes termelés 70% -át, a második pedig 30% -át adja. Az első gyár 100 lámpájából 80 szabványos, a második gyár 100 lámpájából csak 60 szabványos. Határozza meg a következő események valószínűségét: a) a vásárló szabványos lámpát kapott; b) a lámpát az első gyár gyártotta, ha ismert, hogy szabványosnak bizonyult.
Egyes iparágakban a termékek 30%-át az első gyárban, 25%-át a másodikban, a többit a harmadikban állítják elő. Az első gyárban a hiba az összes gyártott termék mennyiségének 1%-a, a másodikban - 1,5%, a harmadikban - 2%. A vásárló által vásárolt termék hibásnak bizonyult. Mennyi a valószínűsége, hogy az első gyárban gyártották?
Három egyforma kinézetű urna van. Az elsőben 3 fehér és 4 fekete, a másodikban 5 fehér és 7 fekete, a harmadikban pedig csak fehér golyó van. Egy urnából véletlenszerűen egy golyót húznak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy fehér.
Három lövő egyszerre lőtt a célpontra, aminek következtében egy lyuk keletkezett benne. Az első lövő eltalálásának valószínűsége 0,3, a második - 0,5, a harmadik - 0,8. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második lövő eltalálja a célt.
Három egyforma kinézetű urna van. Az elsőben 4 fehér és 6 fekete golyó van, a másodikban csupa fehér, a harmadikban csupa fekete golyó. Egy véletlenszerűen kiválasztott urnából egy labdát húznak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy: a) a golyó fekete; b) a labdát az első urnából húzták, ha az fehérnek bizonyult.
A diák a 30-ból 25 jegyre tudja a választ. Egy jegyet már kihúztak előtte. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a tanuló ismeri a jegyet, amit kapott?
20 lány és 10 fiú van a csoportban. A házi feladatot 4 lány és 3 fiú nem készítette el. Egy véletlenül felhívott diák felkészületlen volt. Mennyi a valószínűsége, hogy fiú?
vállalkozások, köztük 
%-nak nincs adóssága, a második 
vállalkozások, ebből 
% adósság nélkül. Mennyi a valószínűsége annak, hogy:
Szám
választási lehetőség
Kezdeti adatok
Szám
választási lehetőség
Kezdeti adatok
%
%
%
%
3.1-től
50
15
70
20
3.6-tól
55
20
75
40
3.2-től
70
25
80
30
3.7-től
85
35
95
15
3.3-tól
65
20
75
40
3.8-tól
90
25
70
30
3.4-től
80
25
100
40
3.9-től
80
20
55
45
3.5-től
70
30
90
20
3.10-től
60
30
90
50
