Sudėtingo kintamojo funkcijos.
Sudėtingo kintamojo funkcijų diferencijavimas.

Šis straipsnis pradeda pamokų seriją, kurioje apžvelgsiu tipines problemas, susijusias su sudėtingo kintamojo funkcijų teorija. Norėdami sėkmingai įvaldyti pavyzdžius, turite turėti pagrindinių žinių apie sudėtingus skaičius. Norėdami konsoliduoti ir pakartoti medžiagą, tiesiog apsilankykite puslapyje. Jums taip pat reikės įgūdžių, kad surastumėte antros eilės daliniai išvestiniai. Štai jie, šie daliniai dariniai... net ir dabar šiek tiek nustebau, kaip dažnai jie pasitaiko...

Tema, kurią pradedame nagrinėti, nekelia jokių ypatingų sunkumų, o sudėtingo kintamojo funkcijose iš esmės viskas yra aišku ir prieinama. Svarbiausia yra laikytis pagrindinės taisyklės, kurią išvedžiau eksperimentiniu būdu. Skaityk!

Sudėtingo kintamojo funkcijos samprata

Pirmiausia atnaujinkime žinias apie vieno kintamojo mokyklos funkciją:

Vieno kintamojo funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekviena nepriklausomo kintamojo reikšmė (iš apibrėžimo srities) atitinka vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę. Natūralu, kad „x“ ir „y“ yra tikrieji skaičiai.

Sudėtingu atveju funkcinė priklausomybė nurodoma panašiai:

Sudėtingo kintamojo vienareikšmė funkcija– tai taisyklė, pagal kurią visi visapusiškas nepriklausomo kintamojo reikšmė (iš apibrėžimo srities) atitinka vieną ir tik vieną visapusiškas funkcijos reikšmė. Teorija taip pat atsižvelgia į daugiareikšmes ir kai kurias kitas funkcijas, tačiau dėl paprastumo aš sutelksiu dėmesį į vieną apibrėžimą.

Kuo skiriasi sudėtinga kintamojo funkcija?

Pagrindinis skirtumas: kompleksiniai skaičiai. Aš ne ironizuoju. Tokie klausimai dažnai pribloškia žmones. Straipsnio pabaigoje papasakosiu juokingą istoriją. Pamokoje Sudėtingi skaičiai manekenams laikėme kompleksinį skaičių formoje . Nuo šiol raidė „z“ tapo kintamasis, tada žymėsime taip: , o „x“ ir „y“ gali skirtis galioja reikšmės. Grubiai tariant, kompleksinio kintamojo funkcija priklauso nuo kintamųjų ir , kurie įgauna „įprastas“ reikšmes. Nuo Šis faktas Logiškai išplaukia toks punktas:

Sudėtingo kintamojo funkciją galima parašyti taip:
, kur ir yra dvi funkcijos iš dviejų galioja kintamieji.

Funkcija vadinama tikroji dalis funkcijas
Funkcija vadinama įsivaizduojama dalis funkcijas

Tai yra, sudėtingo kintamojo funkcija priklauso nuo dviejų realių funkcijų ir . Norėdami galutinai viską išsiaiškinti, pažvelkime į praktinius pavyzdžius:

1 pavyzdys

Sprendimas: Nepriklausomas kintamasis „zet“, kaip prisimenate, yra parašytas forma , todėl:

(1) Mes pakeitėme .

(2) Pirmajam terminui buvo naudojama sutrumpinta daugybos formulė. Termino skliausteliuose buvo atidaryta.

(3) Atsargiai kvadratas, nepamirštant to

(4) Terminų pertvarkymas: pirmiausia perrašome terminus , kuriame nėra įsivaizduojamo vieneto(pirma grupė), tada terminai, kur yra (antra grupė). Reikėtų pažymėti, kad nebūtina maišyti terminų ir šis etapas gali būti praleistas (iš tikrųjų tai darant žodžiu).

(5) Antrajai grupei išimame jį iš skliaustų.

Dėl to mūsų funkcija pasirodė esanti formoje

Atsakymas:
– tikroji funkcijos dalis.
– įsivaizduojama funkcijos dalis.

Kokios tai buvo funkcijos? Įprastiausios dviejų kintamųjų funkcijos, iš kurių galite rasti tokių populiarių daliniai dariniai. Be pasigailėjimo rasime. Bet šiek tiek vėliau.

Trumpai išspręstos problemos algoritmą galima parašyti taip: pakeičiame , į pradinę funkciją, atliekame supaprastinimus ir visus terminus suskirstome į dvi grupes – be įsivaizduojamo vieneto (realioji dalis) ir su įsivaizduojamu vienetu (įsivaizduojama dalis) .

2 pavyzdys

Raskite tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Prieš skubėdami į mūšį sudėtingame lėktuve su nupieštais šaškėmis, leiskite man duoti jums svarbiausią patarimą šia tema:

BŪK ATSARGUS!Žinoma, visur reikia būti atsargiems, tačiau sudėtingais skaičiais turėtumėte būti atsargesni nei bet kada! Atminkite, kad atsargiai atidarykite skliaustus, nieko nepraraskite. Mano pastebėjimais, dažniausia klaida – ženklo pametimas. Neskubek!

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Dabar kubas. Naudodami sutrumpintą daugybos formulę gauname:
.

Formules labai patogu naudoti praktikoje, nes jos žymiai pagreitina sprendimo procesą.

Sudėtingo kintamojo funkcijų diferencijavimas.

Turiu dvi naujienas: gerą ir blogą. Pradėsiu nuo gero. Sudėtinio kintamojo funkcijai galioja diferenciacijos taisyklės ir elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė. Taigi išvestinė imama lygiai taip pat, kaip ir tikrojo kintamojo funkcijos atveju.

Blogos naujienos yra tai, kad daugeliui sudėtingų kintamųjų funkcijų išvestinės išvestinės iš viso nėra, ir jūs turite tai išsiaiškinti ar ji skiriasi viena ar kita funkcija. Ir „išsiaiškinti“, kaip jaučiasi jūsų širdis, yra susijęs su papildomomis problemomis.

Panagrinėkime kompleksinio kintamojo funkciją. Kad ši funkcija būtų diferencijuota, būtina ir pakanka:

1) Taigi, kad egzistuotų pirmosios eilės dalinės išvestinės. Iš karto pamirškite šiuos žymėjimus, nes sudėtingo kintamojo funkcijų teorijoje tradiciškai naudojamas kitoks žymėjimas: .

2) Išpildyti vadinamąjį Koši-Riemano sąlygos:

Tik šiuo atveju išvestinė bus!

3 pavyzdys

Sprendimas yra padalintas į tris nuoseklius etapus:

1) Raskime tikrosią ir menamąją funkcijos dalis. Ši užduotis buvo aptarta ankstesniuose pavyzdžiuose, todėl parašysiu ją be komentarų:

Nuo tada:

Taigi:

– įsivaizduojama funkcijos dalis.

Leiskite paliesti dar vieną techninį dalyką: kokia tvarka parašyti terminus realioje ir menamoje dalyse? Taip, iš principo tai nesvarbu. Pavyzdžiui, tikroji dalis gali būti parašyta taip: , o įsivaizduojamasis – taip: .

2) Patikrinkime Cauchy-Riemano sąlygų įvykdymą. Jų yra dvi.

Pradėkime nuo būklės patikrinimo. Mes randame daliniai dariniai:

Taigi sąlyga tenkinama.

Žinoma, gera žinia ta, kad daliniai išvestiniai produktai beveik visada yra labai paprasti.

Tikriname antrosios sąlygos įvykdymą:

Paaiškėjo tas pats, bet su priešingi ženklai, tai yra, sąlyga taip pat tenkinama.

Koši-Riemano sąlygos tenkinamos, todėl funkcija yra diferencijuojama.

3) Raskime funkcijos išvestinę. Išvestinė taip pat labai paprasta ir randama pagal normalios taisyklės:

Įsivaizduojamasis vienetas diferenciacijos metu laikomas konstanta.

Atsakymas: - tikroji dalis, – įsivaizduojama dalis.
Koši-Riemano sąlygos yra įvykdytos.

Yra dar du būdai, kaip rasti išvestinę, jie, žinoma, naudojami rečiau, tačiau informacija bus naudinga norint suprasti antrąją pamoką - Kaip rasti sudėtingo kintamojo funkciją?

Išvestinę galima rasti naudojant formulę:

IN tokiu atveju:

Taigi

Turime išspręsti atvirkštinę problemą – gautoje išraiškoje turime išskirti . Norint tai padaryti, sąlygose ir skliausteliuose būtina:

Atvirkštinį veiksmą, kaip daugelis pastebėjo, patikrinti yra šiek tiek sunkiau, visada geriau paimti išraišką ant juodraščio arba žodžiu atidaryti skliaustus, įsitikinant, kad rezultatas yra tikslus;

Veidrodinė formulė išvestinei rasti:

Tokiu atveju: , Štai kodėl:

4 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Jei įvykdytos Koši-Riemano sąlygos, raskite funkcijos išvestinę.

Greitas Sprendimas ir apytikslis galutinio projekto pavyzdys pamokos pabaigoje.

Ar visada tenkinamos Koši-Riemano sąlygos? Teoriškai jos išsipildo ne dažniau, nei išsipildo. Bet praktiniuose pavyzdžiuose neprisimenu atvejo, kai jie nebuvo įvykdyti =) Taigi, jei jūsų dalinės išvestinės „nesusilieja“, tada su labai didele tikimybe galite sakyti, kad kažkur suklydote.

Apsunkinkime savo funkcijas:

5 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Apskaičiuoti

Sprendimas: Sprendimo algoritmas yra visiškai išsaugotas, tačiau pabaigoje bus pridėtas naujas taškas: išvestinės radimas taške. Kubui reikalinga formulė jau buvo išvesta:

Apibrėžkime tikrąją ir įsivaizduojamą šios funkcijos dalis:

Dėmesio ir dar kartą dėmesio!

Nuo tada:


Taigi:
– tikroji funkcijos dalis;
– įsivaizduojama funkcijos dalis.

Antrosios sąlygos patikrinimas:

Rezultatas yra tas pats, bet su priešingais ženklais, tai yra, sąlyga taip pat įvykdyta.

Koši-Riemano sąlygos tenkinamos, todėl funkcija yra diferencijuojama:

Apskaičiuokime išvestinės išvestinės vertę reikiamame taške:

Atsakymas:, , įvykdytos Koši-Riemano sąlygos,

Funkcijos su kubeliais yra įprastos, todėl čia yra pavyzdys, kaip sustiprinti:

6 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Apskaičiuoti.

Pamokos pabaigoje užbaigimo sprendimas ir pavyzdys.

Kompleksinės analizės teorijoje apibrėžiamos ir kitos kompleksinio argumento funkcijos: eksponentas, sinusas, kosinusas ir kt. Šios funkcijos turi neįprastų ir net keistų savybių – ir tai tikrai įdomu! Aš tikrai noriu jums pasakyti, bet čia, kaip atsitinka, nėra žinynas ar vadovėlis, o sprendimų knyga, todėl nagrinėsiu tą pačią problemą su kai kuriomis bendromis funkcijomis.

Pirmiausia apie vadinamąjį Eilerio formulės:

Bet kam galioja skaičiai, galioja šios formulės:

Taip pat galite nukopijuoti jį į savo užrašų knygelę kaip informacinę medžiagą.

Griežtai tariant, yra tik viena formulė, tačiau patogumo dėlei jie dažniausiai rašo ypatinga byla su minusu indikatoriuje. Parametras nebūtinai turi būti viena raidė, tai gali būti sudėtinga išraiška arba funkcija galioja tik reikšmės. Tiesą sakant, dabar pamatysime tai:

7 pavyzdys

Raskite išvestinę.

Sprendimas: Bendra vakarėlio linija išlieka nepajudinama – būtina atskirti tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis. Toliau pateiksiu išsamų sprendimą ir pakomentuosiu kiekvieną žingsnį:

Nuo tada:

(1) Vietoj to pakeiskite „z“.

(2) Po pakeitimo turite pasirinkti tikrąją ir įsivaizduojamą dalis pirmasis rodiklyje parodos dalyviai. Norėdami tai padaryti, atidarykite skliaustus.

(3) Sugrupuojame įsivaizduojamą indikatoriaus dalį, įsivaizduojamą vienetą išdėdami iš skliaustų.

(4) Mes naudojame mokyklos veiksmą su laipsniais.

(5) Daugikliui naudojame Eilerio formulę ir .

(6) Atidarykite skliaustus, todėl:

– tikroji funkcijos dalis;
– įsivaizduojama funkcijos dalis.

Tolesni veiksmai yra standartiniai, patikrinkime, ar laikomasi Cauchy-Rieman sąlygų:

9 pavyzdys

Nustatykite tikrosią ir įsivaizduojamą funkcijos dalis . Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą. Tebūnie taip, išvestinės nerasime.

Sprendimas: Sprendimo algoritmas yra labai panašus į du ankstesnius pavyzdžius, tačiau jų yra labai svarbius punktus, todėl žingsnis po žingsnio dar kartą pakomentuosiu pradinį etapą:

Nuo tada:

1) Vietoj to pakeiskite „z“.

(2) Pirmiausia pasirenkame tikrąją ir įsivaizduojamą dalis sinuso viduje. Šiems tikslams atidarome skliaustus.

(3) Mes naudojame formulę ir .

(4) Mes naudojame hiperbolinio kosinuso paritetas: Ir hiperbolinio sinuso keistumas: . Hiperbolikai, nors ir ne iš šio pasaulio, daugeliu atžvilgių primena panašias trigonometrines funkcijas.

Galiausiai:
– tikroji funkcijos dalis;
– įsivaizduojama funkcijos dalis.

Dėmesio! Minuso ženklas reiškia įsivaizduojamą dalį ir jokiu būdu neturėtume jos prarasti! Dėl vaizdinė iliustracija Aukščiau pateiktą rezultatą galima perrašyti taip:

Patikrinkime Cauchy-Riemano sąlygų įvykdymą:

Cauchy-Rieman sąlygos yra įvykdytos.

Atsakymas:, , Cauchy-Rieman sąlygos yra tenkinamos.

Ponios ir ponai, išsiaiškinkime patys:

10 pavyzdys

Nustatykite tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis. Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą.

Sąmoningai rinkausi sunkesnius pavyzdžius, nes atrodo, kad visi su kažkuo susidoroja, pavyzdžiui, su kevalais žemės riešutais. Tuo pačiu lavinsite dėmesį! Riešutukas pamokos pabaigoje.

Na, pabaigai apsvarstysiu dar vieną įdomus pavyzdys, kai sudėtingas argumentas yra vardiklyje. Praktikoje tai nutiko keletą kartų, pažvelkime į ką nors paprasto. Ech, aš senstu...

11 pavyzdys

Nustatykite tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis. Patikrinkite Cauchy-Riemann sąlygų įvykdymą.

Sprendimas: Vėlgi būtina atskirti tikrąją ir įsivaizduojamą funkcijos dalis.
Jei tada

Kyla klausimas, ką daryti, kai vardiklyje yra „Z“?

Viskas paprasta – standartinis padės skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguotos išraiškos metodas, jis jau buvo panaudotas pamokos pavyzdžiuose Sudėtingi skaičiai manekenams. Prisiminkime mokyklos formulę. Mes jau turime vardiklį, o tai reiškia, kad konjuguota išraiška bus . Taigi skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš: