يعد موضوع "الدوائر المحفورة والمحدودة في المثلثات" من أصعب الموضوعات في دورة الهندسة. تقضي القليل من الوقت في الفصل.

يتم تضمين المشاكل الهندسية لهذا الموضوع في الجزء الثاني من الامتحان استخدام العمللكل دورة المدرسة الثانوية. يتطلب إكمال هذه المهام بنجاح معرفة قوية بالحقائق الهندسية الأساسية وبعض الخبرة في حل المشكلات الهندسية.
لا يوجد سوى دائرة واحدة محددة لكل مثلث. هذه دائرة تقع عليها رؤوس المثلث الثلاثة بمعلمات معينة. قد تكون هناك حاجة للعثور على نصف قطرها ليس فقط في درس الهندسة. يتعين على المصممين والقواطع وصانعي الأقفال وممثلي العديد من المهن الأخرى التعامل باستمرار مع هذا الأمر. لإيجاد نصف قطره ، تحتاج إلى معرفة معلمات المثلث وخصائصه. يقع مركز الدائرة المقيدة عند نقطة تقاطع المنصفين المتعامدين للمثلث.
أوجه انتباهكم إلى جميع الصيغ الخاصة بإيجاد نصف قطر الدائرة المقيدة وليس فقط المثلث. يمكن عرض الصيغ الخاصة بالدائرة المنقوشة.

أ ، ب. مع -جوانب المثلث

α - زاوية الجانب المعاكسأ،
س-مساحة المثلث,

ص-نصف متر.

ثم للعثور على نصف القطر ( ص) للدائرة المقيدة استخدم الصيغ:

في المقابل ، يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام إحدى الصيغ التالية:

وهنا بعض الصيغ.

1. نصف قطر الدائرة حول مثلث منتظم. لو أجانب المثلث ، إذن

2. نصف قطر الدائرة المحصورة حول مثلث متساوي الساقين. يترك أ ، بهي أضلاع المثلث

سوف تحتاج

• مثلث مع معلمات معينة
• بوصلة
• مسطرة
• مربع
• جدول الجيب وجيب التمام
• مفاهيم رياضية
• تحديد ارتفاع المثلث
• الصيغ للجيب وجيب التمام
• صيغة منطقة المثلث

تعليمات

ارسم مثلثًا بالمعلمات المرغوبة. يكون المثلث إما على ثلاثة جوانب أو على جانبين وزاوية بينهما ، أو على جانب وزاويتين متجاورتين معه. قم بتسمية رؤوس المثلث على أنها A و B و C والزوايا α و و والأضلاع المقابلة للزوايا أ و ب و ج.

ارسم على جميع جوانب المثلث وابحث عن نقطة تقاطعها. حدد الارتفاعات كـ h مع المؤشرات المقابلة للأضلاع. ابحث عن نقطة تقاطعهم وحددها على أنها O. ستكون مركز الدائرة. وبالتالي ، سيكون نصف قطر هذه الدائرة عبارة عن مقاطع OA و OB و OS.

أوجد نصف القطر باستخدام صيغتين. لأحد ، عليك أن تحسب أولاً. إنها تساوي جميع جوانب المثلث مضروبًا في جيب أي من الزوايا مقسومًا على 2.

في هذه الحالة ، يتم حساب نصف قطر الدائرة المقيدة بالصيغة

بالنسبة للآخر ، يكفي طول أحد الجانبين وجيب الزاوية المقابلة.

احسب نصف القطر ووصف محيط المثلث.

نصائح مفيدة

تذكر ما هو ارتفاع المثلث. هذا عمودي مرسوم من الزاوية إلى الجانب المقابل.

يمكن أيضًا تمثيل مساحة المثلث على أنها حاصل ضرب مربع أحد الأضلاع وجيب زاويتين متجاورتين ، مقسومًا على ضعف جيب مجموع هذه الزوايا.
S = а2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

مصادر:

• الجدول مع نصف قطر الدائرة المقيدة
• يتم تحديد نصف قطر دائرة حول متساوي الأضلاع

يعتبر محصورًا حول مضلع إذا لامس جميع رؤوسه. اللافت أن مركز من هذا القبيل الدوائريتطابق مع نقطة تقاطع الخطوط العمودية المرسومة من نقاط المنتصف على جانبي المضلع. نصف القطروصفها الدوائريعتمد كليًا على المضلع الذي تم وصفه حوله.

سوف تحتاج

• تعرف على جوانب المضلع ومساحته / محيطه.

تعليمات

ملحوظة

لا يمكن حصر الدائرة حول المضلع إلا إذا كان منتظمًا ، أي كل جوانبها متساوية وكل زواياها متساوية.
إن الفرضية القائلة بأن مركز الدائرة المحدد حول مضلع هو تقاطع منصفاتها العمودية صحيحة بالنسبة لجميع المضلعات المنتظمة.

مصادر:

• كيفية إيجاد نصف قطر المضلع

إذا كان من الممكن إنشاء دائرة مقيدة لمضلع ، فإن مساحة هذا المضلع أقل من مساحة الدائرة المحددة ، ولكن مساحة أكبردائرة منقوشة. بالنسبة لبعض المضلعات ، تُعرف الصيغ بالبحث عنها نصف القطرالدوائر المنقوشة والمحددة.

تعليمات

دائرة منقوشة في مضلع تلامس جميع جوانب المضلع. للمثلث نصف القطرالدوائر: r = ((p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2 ، حيث p هي نصف المحيط ؛ أ ، ب ، ج - جوانب المثلث. للصيغة المبسطة: r \ u003d a / (2 * 3 ^ 1/2) ، وهو جانب المثلث.

الدائرة المحددة حول المضلع هي دائرة تقع عليها جميع رؤوس المضلع. بالنسبة للمثلث ، يتم العثور على نصف القطر بالصيغة: R \ u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2) ، حيث p هي نصف المحيط ؛ أ ، ب ، ج - جوانب المثلث. بالنسبة إلى الخيار الصحيح ، يكون أسهل: R = a / 3 ^ 1/2.

بالنسبة للمضلعات ، ليس من الممكن دائمًا معرفة نسبة نصف قطر المدوَّن وأطوال أضلاعه. غالبًا ما يقتصر الأمر على إنشاء مثل هذه الدوائر حول المضلع ، ثم المادي نصف القطرالدوائر باستخدام أدوات القياس أو الفضاء المتجه.
لإنشاء الدائرة المحددة لمضلع محدب ، يتم إنشاء منصف زاويتين ؛ يقع مركز الدائرة المحددة عند تقاطعهما. سيكون نصف القطر هو المسافة من نقطة تقاطع المنصفين إلى قمة أي ركن من أركان المضلع. مركز النقش عند تقاطع الخطوط المتعامدة المبنية داخل المضلع من مراكز الأضلاع (هذه الخطوط العمودية متوسطة). يكفي بناء عمودين من هذا القبيل. نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي المسافة من نقطة تقاطع الخط العمودي المتوسط ​​إلى جانب المضلع.

فيديوهات ذات علاقة

ملحوظة

من المستحيل كتابة دائرة في مضلع معين بشكل تعسفي ووصف دائرة حوله.

نصائح مفيدة

يمكن كتابة دائرة في شكل رباعي إذا كانت أ + ج = ب + د ، حيث أ ، ب ، ج ، د هي أضلاع الشكل الرباعي بالترتيب. يمكن حصر دائرة حول شكل رباعي إذا كان مجموع زواياه المقابلة 180 درجة ؛

بالنسبة للمثلث ، توجد مثل هذه الدوائر دائمًا.

النصيحة الرابعة: كيفية إيجاد مساحة المثلث بمعلومية الأضلاع الثلاثة

يعد العثور على منطقة المثلث أحد أكثر المهام شيوعًا في قياس مخطط المدرسة. معرفة الأضلاع الثلاثة للمثلث كافية لتحديد مساحة أي مثلث. في حالات خاصة ومثلثات متساوية الأضلاع ، يكفي معرفة أطوال ضلعين وضلع واحد على التوالي.

سوف تحتاج

• أطوال أضلاع المثلثات ، صيغة هيرون ، نظرية جيب التمام

تعليمات

صيغة مالك الحزين لمساحة المثلث هي كما يلي: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). إذا قمت بطلاء semiperimeter p ، فستحصل على: S = sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + c-a) / 2) ((a + c-b) / 2) ((a + b-c) / 2)) = (sqrt ((a + b + c) (a + b-c) (a + c-b) (b + c-a))) / 4.

يمكنك أيضًا اشتقاق معادلة لمساحة المثلث من الاعتبارات ، على سبيل المثال ، من خلال تطبيق نظرية جيب التمام.

وفقًا لقانون جيب التمام ، AC ^ 2 = (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). باستخدام الترميز المقدم ، يمكن أن تكون هذه أيضًا في الشكل: b ^ 2 = (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). ومن ثم ، cos (ABC) = ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

يمكن أيضًا العثور على مساحة المثلث من خلال الصيغة S = a * c * sin (ABC) / 2 عبر ضلعين والزاوية بينهما. يمكن التعبير عن جيب الزاوية ABC من حيث ذلك باستخدام المتطابق المثلثي الأساسي: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) استبدال الجيب في صيغة المنطقة ورسمها ، يمكنك تعال إلى صيغة مساحة المثلث ABC.

فيديوهات ذات علاقة

النقاط الثلاث التي تحدد المثلث بشكل فريد في نظام الإحداثيات الديكارتية هي رؤوسه. بمعرفة موضعها بالنسبة إلى كل من محاور الإحداثيات ، يمكنك حساب أي معلمات لهذا الشكل المسطح ، بما في ذلك المحدد المحدود بمحيطه مربع. ويمكن القيام بذلك بعدة طرق.

تعليمات

استخدم صيغة هيرون لحساب المساحة مثلث. إنها تتضمن أبعاد الجوانب الثلاثة للشكل ، لذا ابدأ الحسابات بها. يجب أن يكون طول كل جانب مساويًا لجذر مجموع مربعات أطوال إسقاطاته على محاور الإحداثيات. إذا أشرنا إلى الإحداثيات A (X₁ و Y₁ و Z₁) و B (X₂ و Y₂ و Z₂) و C (X₃ و Y₃ و Z₃) ، فيمكن التعبير عن أطوال جوانبها على النحو التالي: AB = √ ((X₁- X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) ، BC = √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) ، AC = √ ((( X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

لتبسيط العمليات الحسابية ، أدخل متغيرًا مساعدًا - شبه المحيط (P). من هذا هو نصف مجموع أطوال جميع الجوانب: P \ u003d ½ * (AB + BC + AC) \ u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁- Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

احسب مربع(S) بصيغة هيرون - خذ جذر حاصل ضرب نصف المحيط والفرق بينه وبين طول كل جانب. في نظرة عامةيمكن كتابتها على النحو التالي: S = √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) = √ (P * (P-√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²)) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²)) * (P-√ ((X₁- X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).

بالنسبة للحسابات العملية ، من الملائم استخدام الآلات الحاسبة المتخصصة. هذه نصوص برمجية مستضافة على خوادم بعض المواقع التي ستقوم بكل شيء الحسابات اللازمةبناءً على الإحداثيات التي أدخلتها في النموذج المقابل. الخدمة الوحيدة من هذا القبيل - لا تقدم تفسيرات ومبررات لكل خطوة من العمليات الحسابية. لذلك ، إذا كنت مهتمًا بالنتيجة النهائية فقط ، وليس في الحسابات العامة ، فانتقل ، على سبيل المثال ، إلى الصفحة http://planetcalc.ru/218/.

في حقول النموذج ، أدخل كل إحداثي لكل من الرؤوس مثلث- هم هنا مثل Ax ، Ay ، Az ، إلخ. إذا تم إعطاء المثلث بإحداثيات ثنائية الأبعاد ، في الحقول - Az و Bz و Cz - اكتب صفرًا. في حقل "دقة الحساب" ، عيِّن العدد المطلوب من المنازل العشرية بالنقر فوق علامة زائد أو ناقص الماوس. ليس من الضروري الضغط على الزر البرتقالي "احسب" الموجود أسفل النموذج ، سيتم إجراء الحسابات بدونه. ستجد الإجابة بجانب النقش "مربع مثلث"- يقع مباشرة أسفل الزر البرتقالي.

مصادر:

• أوجد مساحة المثلث الذي تكون رءوسه عند النقاط

في بعض الأحيان ، يمكن رسم مضلع محدب بحيث تقع رؤوس جميع الزوايا عليه. يجب أن تسمى هذه الدائرة فيما يتعلق بالمضلع مقيدة. ها مركزليس بالضرورة أن يكون داخل محيط الشكل المنقوش ، ولكن باستخدام خصائص الموصوفة الدوائر، عادة ما يكون العثور على هذه النقطة غير صعب للغاية.

سوف تحتاج

• مسطرة ، قلم رصاص ، منقلة أو مربعة ، بوصلات.

تعليمات

إذا كان المضلع الذي تريد وصف الدائرة حوله مرسومًا على الورق ، فابحث عنه مركزوالدائرة تكفي لمسطرة وقلم رصاص ومنقلة أو مربع. قم بقياس طول أي من جوانب الشكل ، وحدد وسطه وضع نقطة مساعدة في هذا المكان من الرسم. باستخدام مربع أو منقلة ، ارسم مقطعًا عموديًا على هذا الجانب داخل المضلع حتى يتقاطع مع الجانب المقابل.

قم بنفس العملية مع أي جانب آخر من المضلع. سيكون تقاطع المقطعين اللذين تم إنشاؤهما هو النقطة المرغوبة. هذا يتبع من الخاصية الرئيسية للوصف الدوائر- ها مركزفي مضلع محدب مع أي جانب يقع دائمًا عند نقطة تقاطع المنصفات العمودية المرسومة إلى هذه

في كثير من الأحيان ، عند حل المشكلات الهندسية ، يتعين عليك تنفيذ إجراءات بأشكال مساعدة. على سبيل المثال ، ابحث عن نصف قطر دائرة منقوشة أو مقيدة ، إلخ. ستوضح لك هذه المقالة كيفية العثور على نصف قطر دائرة تحيط بمثلث. أو بعبارة أخرى ، نصف قطر الدائرة المدرج فيها المثلث.

كيفية إيجاد نصف قطر دائرة حول مثلث - الصيغة العامة

الصيغة العامة هي كما يلي: R = abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c) ، حيث R هو نصف قطر الدائرة المحصورة ، p هو محيط المثلث مقسومًا على 2 (نصف محيط). أ ، ب ، ج هي أضلاع المثلث.

أوجد نصف قطر دائرة المثلث إذا كانت أ = 3 ، ب = 6 ، ج = 7.

وبالتالي ، بناءً على الصيغة أعلاه ، نحسب شبه المحيط:
ع = (أ + ب + ج) / 2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

استبدل القيم الموجودة في الصيغة واحصل على:
R = 3 × 6 × 7 / 4√8 (8-3) (8-6) (8-7) = 126/4 (8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

الجواب: R = 126 / 16-5

كيفية إيجاد نصف قطر دائرة حول مثلث متساوي الأضلاع

لإيجاد نصف قطر دائرة محصورة حولها مثلث متساوي الاضلاع، هناك صيغة بسيطة نوعًا ما: R = a / √3 ، حيث a هي قيمة جانبها.

مثال: ضلع مثلث متساوي الأضلاع هو 5. أوجد نصف قطر الدائرة المحصورة.

نظرًا لأن جميع جوانب المثلث متساوي الأضلاع متساوية ، لحل المشكلة ، ما عليك سوى إدخال قيمته في الصيغة. نحصل على: R = 5 / √3.

الجواب: R = 5 / √3.

كيفية إيجاد نصف قطر دائرة حول مثلث قائم الزاوية

تبدو الصيغة كما يلي: R = 1/2 × √ (a² + b²) = c / 2 ، حيث a و b ساقان و c هو الوتر. إذا أضفنا مربعات الأرجل في مثلث قائم الزاوية ، نحصل على مربع الوتر. كما يتضح من الصيغة ، هذا التعبير موجود تحت الجذر. بحساب جذر تربيع الوتر ، نحصل على الطول نفسه. يؤدي ضرب التعبير الناتج بمقدار 1/2 في النهاية إلى التعبير 1/2 × c = c / 2.

مثال: احسب نصف قطر الدائرة المقيدة إذا كانت أرجل المثلث 3 و 4. عوّض القيم في الصيغة. نحصل على: R = 1/2 × √ (3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

في هذا التعبير ، 5 هو طول الوتر.

الجواب: R = 2.5.

كيفية إيجاد نصف قطر دائرة حول مثلث متساوي الساقين

تبدو الصيغة كما يلي: R = a² / √ (4a² - b²) ، حيث a هو طول فخذ المثلث و b طول القاعدة.

مثال: احسب نصف قطر دائرة إذا كان وركها = 7 وقاعدتها = 8.

الحل: نحن نستبدل هذه القيم في الصيغة ونحصل على: R \ u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49 / √ (196-64) = 49 / √132. يمكن كتابة الجواب مباشرة مثل هذا.

الجواب: R = 49 / √132

الموارد عبر الإنترنت لحساب نصف قطر الدائرة

من السهل جدًا الخلط بين كل هذه الصيغ. لذلك ، إذا لزم الأمر ، يمكنك استخدام حاسبات على الإنترنت، مما سيساعدك في حل المشكلات المتعلقة بإيجاد نصف القطر. مبدأ تشغيل هذه البرامج الصغيرة بسيط للغاية. استبدل قيمة الضلع في الحقل المناسب واحصل على إجابة جاهزة. يمكنك اختيار عدة خيارات لتقريب الإجابة: إلى الكسور العشرية ، والمئات ، والألف ، إلخ.

مستوى اول

دائرة مقيدة. دليل مرئي (2019)

السؤال الأول الذي قد ينشأ هو: وصف - حول ماذا؟

حسنًا ، في الواقع ، يحدث هذا أحيانًا حول أي شيء ، وسنتحدث عن دائرة محددة حول (أحيانًا يقولون "حول") مثلث. ما هذا؟

والآن ، تخيل ، حقيقة مذهلة تحدث:

لماذا هذه الحقيقة مذهلة؟

لكن المثلثات مختلفة!

ولكل شخص دائرة ستمر من خلال جميع القمم الثلاث، أي الدائرة المقيدة.

دليل على ذلك حقيقة مذهلةيمكنك أن تجد في المستويات التالية من النظرية ، ولكن هنا نلاحظ فقط أنه إذا أخذنا ، على سبيل المثال ، رباعي الأضلاع ، فلن تكون هناك دائرة تمر عبر أربعة رؤوس لكل شخص. لنفترض هنا أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي ممتاز ، لكن الدائرة التي تمر عبر جميع رءوسه الأربعة ليست كذلك!

ويوجد فقط للمستطيل:

ها أنت ذا، ولكل مثلث دائرته المحددة دائمًا!ومن السهل دائمًا العثور على مركز هذه الدائرة.

هل تعرف ما هو منتصف عمودي?

لنرى الآن ما سيحدث إذا اعتبرنا ما يصل إلى ثلاثة مناصرات عمودية على جانبي المثلث.

اتضح (وهذا بالضبط ما يجب إثباته ، على الرغم من أننا لن نفعل ذلك) تتقاطع الخطوط العمودية الثلاثة عند نقطة واحدة.انظر إلى الصورة - تتقاطع جميع الخطوط العمودية الثلاثة في نقطة واحدة.

هل تعتقد أن مركز الدائرة المحددة يقع دائمًا داخل المثلث؟ تخيل - ليس دائمًا!

لكن اذا بزاوية حادة ، ثم - داخل:

ماذا تفعل بالمثلث القائم؟

وبمكافأة إضافية:

بما أننا نتحدث عن نصف قطر الدائرة المقيدة: ما الذي يساوي المثلث العشوائي؟ وهناك إجابة على هذا السؤال: ما يسمى ب.

يسمى:

وبالطبع،

1. وجود ومركز الدائرة المحصورة

هنا السؤال الذي يطرح نفسه: هل توجد مثل هذه الدائرة لأي مثلث؟ اتضح أن نعم ، للجميع. علاوة على ذلك ، سنقوم الآن بصياغة نظرية تجيب أيضًا على السؤال ، أين يقع مركز الدائرة المحددة.

يبدو مثل هذا:

دعونا نحشد الشجاعة ونثبت هذه النظرية. إذا كنت قد قرأت الموضوع "" بالفعل ، واكتشفت سبب تقاطع المنصفات الثلاثة عند نقطة واحدة ، فسيكون ذلك أسهل بالنسبة لك ، ولكن إذا لم تكن قد قرأته ، فلا داعي للقلق: الآن سنكتشف كل شيء خارج.

سنقوم بإجراء الإثبات باستخدام مفهوم موضع النقاط (LPT).

حسنًا ، على سبيل المثال ، هل مجموعة الكرات "مكان هندسي" للأجسام المستديرة؟ لا ، بالطبع ، لأن هناك بطيخ دائري. ولكن هل مجموعة من الناس ، "مكان هندسي" ، قادرة على الكلام؟ لا ، لأن هناك أطفالاً لا يستطيعون الكلام. في الحياة ، من الصعب عمومًا العثور على مثال حقيقي "لمكان هندسي للنقاط". الهندسة أسهل. هنا ، على سبيل المثال ، هو فقط ما نحتاجه:

هنا تكون المجموعة هي المنتصف عموديًا ، وتكون الخاصية "" هي "أن تكون على مسافة متساوية (نقطة) من نهايات المقطع."

دعونا تحقق؟ لذلك ، عليك التأكد من أمرين:

1. أي نقطة تكون على مسافة متساوية من نهايات مقطع ما تقع على المنصف العمودي لها.

تواصل مع ومع. ثم الخط هو الوسيط والارتفاع في. لذلك ، - متساوي الساقين ، - تأكدنا من أن أي نقطة ملقاة على المنصف العمودي تكون بعيدة بنفس القدر عن النقاط و.

خذ - الوسط واتصل و. حصلت على الوسيط. لكن - متساوي الساقين حسب الشرط ، ليس فقط الوسيط ، ولكن أيضًا الارتفاع ، أي المتوسط ​​العمودي. هذا يعني أن النقطة تقع بالضبط على المنصف العمودي.

الجميع! لقد تحققنا بشكل كامل من حقيقة ذلك المنصف العمودي على مقطع ما هو موضع النقاط على مسافة متساوية من نهايات المقطع.

كل هذا جيد وجيد ، لكن هل نسينا الدائرة المقيدة؟ لا على الإطلاق ، لقد أعددنا أنفسنا للتو "رأس جسر للهجوم".

فكر في مثلث. لنرسم عمودين متوسطين ، ولنقل ، على المقاطع و. سوف يتقاطعون في مرحلة ما ، والتي سنسميها.

والآن الانتباه!

النقطة تقع على المنصف العمودي ؛
النقطة تقع على المنصف العمودي.
وهذا يعني و.

عدة أشياء تتبع من هذا:

أولاً ، يجب أن تقع النقطة على المنصف العمودي الثالث ، على القطعة.

وهذا يعني أن المنصف العمودي يجب أن يمر أيضًا بالنقطة ، وتتقاطع جميع المنصات الثلاثة المتعامدة عند نقطة واحدة.

ثانيًا: إذا رسمنا دائرة بها مركز عند نقطة ونصف قطر ، فستمر هذه الدائرة أيضًا بنقطة وعبر نقطة ، أي ستكون دائرة محددة. هذا يعني أنه موجود بالفعل أن تقاطع المنصفات الثلاثة المتعامدة هو مركز الدائرة المقيدة لأي مثلث.

وآخر شيء: عن التفرد. من الواضح (تقريبًا) أنه يمكن الحصول على النقطة بطريقة فريدة ، وبالتالي فإن الدائرة فريدة. حسنًا ، "تقريبًا" - سنترك الأمر لك. هنا أثبتنا النظرية. يمكنك أن تصرخ "مرحى!".

وإذا كانت المشكلة هي السؤال "أوجد نصف قطر الدائرة المحددة"؟ أو بالعكس ، نصف القطر مُعطى ، لكنك تريد أن تجد شيئًا آخر؟ هل هناك معادلة تربط نصف قطر الدائرة المحددة بعناصر أخرى في المثلث؟

لاحظ أن نظرية الجيب تقول ذلك من أجل إيجاد نصف قطر الدائرة المقيدة ، تحتاج إلى جانب واحد (أي!) والزاوية المقابلة له. وهذا كل شيء!

3. مركز الدائرة - داخل أو خارج

والسؤال الآن هو: هل يمكن أن يقع مركز الدائرة المقيدة خارج المثلث.
الجواب: قدر المستطاع. علاوة على ذلك ، هذا هو الحال دائمًا في المثلث المنفرج.

وبشكل عام:

الدائرة. باختصار حول الرئيسي

1. دائرة محصورة حول مثلث

هذه دائرة تمر عبر جميع رءوس هذا المثلث الثلاثة.

2. وجود ومركز الدائرة المحصورة

حسنًا ، لقد انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت رائع جدًا.

لأن 5٪ فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بمفردهم. وإذا كنت قد قرأت حتى النهاية ، فأنت في الـ 5٪!

الآن أهم شيء.

لقد اكتشفت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر ، إنه ... إنه رائع فقط! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة أن هذا قد لا يكون كافيا ...

لماذا؟

ل تسليم ناجحامتحان الدولة الموحد ، للقبول في المعهد على الميزانية ، والأهم من ذلك ، مدى الحياة.

لن أقنعك بأي شيء ، سأقول شيئًا واحدًا ...

الأشخاص الذين حصلوا على تعليم جيد يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس هو الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن المزيد من الفرص تفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف ...

لكن فكر بنفسك ...

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أن تكون أفضل من الآخرين في الامتحان وأن تكون في النهاية ... أكثر سعادة؟

املأ يدك وحل المشكلات الواردة في هذا الموضوع.

في الامتحان ، لن يطلب منك النظرية.

سوف تحتاج حل المشاكل في الوقت المحدد.

وإذا لم تحلها (الكثير!) ، فإنك بالتأكيد سترتكب خطأ غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن ترتكبها في الوقت المناسب.

إنه مثل الرياضة - تحتاج إلى التكرار عدة مرات للفوز بالتأكيد.

ابحث عن مجموعة في أي مكان تريده بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر ، تقرر ، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (ليست ضرورية) ونحن بالتأكيد نوصي بها.

من أجل الحصول على يد المساعدة في مهامنا ، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع المقالات البالغ عددها 99 في البرنامج التعليمي - 999 فرك.

نعم ، لدينا 99 مقالًا من هذا القبيل في الكتاب المدرسي ويمكن الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها يمكن فتحها على الفور.

في الحالة الثانية سنقدم لكمجهاز محاكاة "6000 مهمة مع حلول وإجابات ، لكل موضوع ، لجميع مستويات التعقيد." يكفي بالتأكيد أن تحصل على يدك في حل المشكلات في أي موضوع.

في الواقع ، هذا أكثر بكثير من مجرد جهاز محاكاة - برنامج تدريبي كامل. إذا لزم الأمر ، يمكنك أيضًا استخدامه مجانًا.

يتم توفير الوصول إلى جميع النصوص والبرامج طوال عمر الموقع بالكامل.

ختاماً...

إذا كنت لا تحب مهامنا ، فابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عن النظرية.

"فهمت" و "أعرف كيف أحل" مهارات مختلفة تمامًا. أنت بحاجة لكليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

البراهين على النظريات على خصائص الدائرة حول مثلث

عمودي متوسط ​​على القطعة

التعريف 1. عمودي متوسط ​​على القطعةيسمى ، وهو خط مستقيم عمودي على هذا الجزء ويمر من وسطه (الشكل 1).

نظرية 1. كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة هي على نفس المسافة من النهايات هذا الجزء.

دليل . ضع في اعتبارك نقطة عشوائية D ملقاة على المنصف العمودي للمقطع AB (الشكل 2) ، وأثبت أن المثلثين ADC و BDC متساويان.

في الواقع ، هذه المثلثات عبارة عن مثلثات قائمة الزاوية وأرجلها AC و BC متساوية ، بينما الأرجل DC شائعة. من المساواة بين المثلثات ADC و BDC ، تتبع المساواة بين المقاطع AD و DB. تم إثبات النظرية 1.

النظرية 2 (عكس النظرية 1). إذا كانت نقطة على نفس المسافة من نهايات مقطع ما ، فإنها تقع على المنصف العمودي لهذا المقطع.

دليل . دعونا نثبت النظرية 2 بالطريقة "بالتناقض". تحقيقا لهذه الغاية ، افترض أن نقطة ما على نفس المسافة من نهايات المقطع ، لكنها لا تقع على المنصف العمودي لهذا الجزء. دعونا نجلب هذا الافتراض إلى التناقض. ضع في اعتبارك أولاً الحالة عندما تقع النقطتان E و A جوانب مختلفةمن العمودي الوسيط (الشكل 3). في هذه الحالة ، يتقاطع الجزء EA مع المنصف العمودي عند نقطة ما ، والذي سنشير إليه بالحرف D.

دعنا نثبت أن الجزء AE أطول من الجزء EB. حقًا،

وهكذا ، في حالة وجود النقطتين E و A على جانبي المنصف العمودي ، فقد حصلنا على تناقض.

فكر الآن في الحالة التي تقع فيها النقطتان E و A على نفس الجانب من المنصف العمودي (الشكل 4). دعنا نثبت أن الجزء EB أطول من المقطع AE. حقًا،

التناقض الناتج يكمل إثبات النظرية 2

دائرة تحيط بالمثلث

التعريف 2. دائرة تحيط بالمثلث، نسمي الدائرة التي تمر عبر جميع الرؤوس الثلاثة للمثلث (الشكل 5). في هذه الحالة يسمى المثلث مثلث منقوش في دائرةأو مثلث منقوش.

خصائص الدائرة المحددة حول مثلث. نظرية الجيب

شكل	رسم	ملكية
الخطوط العمودية المتوسطة على جانبي المثلث		تتقاطع عند نقطة واحدة .
مركز محصور حول مثلث حاد لدائرة		وصف مركز حول بزاوية حادة داخل مثلث.
مركز دائرة محصورة حول مثلث قائم الزاوية		مركز وصف حول مستطيلي منتصف الوتر .
مركز محصور حول مثلث منفرج من دائرة		وصف مركز حول منفرج الزاوية مثلث الدائرة يكمن الخارج مثلث.
		,
مربع مثلث		S = 2ص 2 خطيئة أالخطيئة بالخطيئة ج ,
نصف قطر الدائرة المقيدة		بالنسبة لأي مثلث ، المساواة صحيحة:

الخطوط العمودية المتوسطة على جوانب المثلث

جميع المنصات العمودية مرسومة على جانبي مثلث اعتباطي ، تتقاطع عند نقطة واحدة .

دائرة تحيط بالمثلث

يمكن تحديد أي مثلث بدائرة. . مركز الدائرة المحيط بالمثلث هو النقطة التي تتقاطع عندها كل المنصفات العمودية المرسومة على جانبي المثلث.

مركز دائرة محصور حول مثلث حاد

وصف مركز حول بزاوية حادة مثلث الدائرة يكمن داخل مثلث.

مركز دائرة محصور حول مثلث قائم الزاوية

مركز وصف حول مستطيلي مثلث الدائرة هو منتصف الوتر .

مركز دائرة محاط بمثلث منفرج

وصف مركز حول منفرج الزاوية مثلث الدائرة يكمن الخارج مثلث.

بالنسبة لأي مثلث ، تكون المساواة صحيحة (نظرية الجيب): , حيث أ ، ب ، ج هي أضلاع المثلث ، أ ، ب ، ج هي زوايا المثلث ، ص هي نصف قطر الدائرة المحصورة.

مساحة المثلث

بالنسبة لأي مثلث ، المساواة صحيحة: S = 2ص 2 خطيئة أالخطيئة بالخطيئة ج , حيث A ، B ، C هي زوايا المثلث ، S هي مساحة المثلث ، R هي نصف قطر الدائرة المحددة.

نصف قطر الدائرة المقيدة

بالنسبة لأي مثلث ، المساواة صحيحة: حيث a ، b ، c هي أضلاع المثلث ، S هي مساحة المثلث ، R هي نصف قطر الدائرة المحصورة.

البراهين على النظريات على خصائص الدائرة حول مثلث

نظرية 3. تتقاطع جميع الخطوط العمودية المتوسطة المرسومة على جوانب مثلث عشوائي عند نقطة واحدة.

دليل . اعتبر منصفين عموديين مرسومين على الجانبين AC و AB للمثلث ABC ، ​​ودلنا على نقطة تقاطعهما مع الحرف O (الشكل 6).

نظرًا لأن النقطة O تقع على المنصف العمودي للجزء AC ، إذن ، بموجب النظرية 1 ، فإن المساواة التالية تحمل:

نظرًا لأن النقطة O تقع على المنصف العمودي للجزء AB ، إذن ، بموجب النظرية 1 ، فإن المساواة التالية تحمل:

لذلك فإن المساواة صحيحة:

ومن هنا ، باستخدام النظرية 2 ، نستنتج أن النقطة O تقع على المنصف العمودي للقطعة BC. وهكذا ، تمر جميع المنصات الثلاثة العمودية من خلال نفس النقطة ، والتي كان من المقرر إثباتها.

عاقبة. يمكن تحديد أي مثلث بدائرة. . مركز الدائرة المحيط بالمثلث هو النقطة التي تتقاطع عندها كل المنصفات العمودية المرسومة على جانبي المثلث.

دليل . لننظر إلى النقطة O ، حيث تتقاطع جميع المنصات العمودية المرسومة على جانبي المثلث ABC (الشكل 6).

عند إثبات النظرية 3 ، تم الحصول على المساواة التالية:

ويترتب على ذلك أن الدائرة المتمركزة عند النقطة O ونصف القطر OA و OB و OC تمر عبر جميع الرؤوس الثلاثة للمثلث ABC ، ​​والذي كان من المقرر إثباته.