Állapot oktatási intézmény

középső szakképzés

Tula régió

"Alekszinszkij Mérnöki Főiskola"

Numerikus

készletek

Tervezett

tanár

matematika

Khristoforova M.Yu.

Szám - alapkoncepció használt jellemzők, összehasonlítások, és azok részei. A számok kijelölésére szolgáló betűk a következők , és matematikai .

A szám fogalma az ókorban az emberek gyakorlati szükségleteiből alakult ki, és az emberi fejlődés folyamatában fejlődött ki. Bővült az emberi tevékenység területe, ennek megfelelően megnőtt a kvantitatív leírás és kutatás igénye. A szám fogalmát eleinte a ben felmerült számolási és mérési igények határozták meg gyakorlati tevékenységek ember, egyre összetettebbé válik. Később a szám a matematika alapfogalmává válik, és ennek a tudománynak az igényei határozzák meg további fejlődés ezt a koncepciót.

Azokat a halmazokat, amelyek elemei számok, számoknak nevezzük.

Példák a numerikus halmazokra:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - természetes számok halmaza;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - nemnegatív egész számok halmaza;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - egész számok halmaza;

Q=(m/n: m Z,n N) a racionális számok halmaza.

Valós számok R-halmaza.

E halmazok között kapcsolat van

N Zo Z K R.

Írja be a számokatN = (1, 2, 3, ....) hívotttermészetes . A természetes számok a tárgyak megszámlálásának szükségessége kapcsán jelentek meg.

Bármi , egynél nagyobb, prímszámok hatványainak szorzataként ábrázolható, és az egyetlen módja a tényezők sorrendjéig. Például 121968=2 4 3 2 7 11 2

Ham, n, k - akkor a természetes számokm - n = k azt mondjákm - redukált, n - kivont, k - különbség; nál nélm:n=k azt mondjákm - osztalék, n - osztó, k - hányados, számm más néventöbbszörös számokn, és a számn - osztó számokm, Ha számm- többszörösen, akkor van egy természetes számk, oly módon, hogym = kn.

Számokból aritmetikai műveletek előjelei és zárójelek segítségével,numerikus kifejezések. Ha a jelzett műveleteket numerikus kifejezésben, az elfogadott sorrendet betartva hajtja végre, akkor egy számot kap, amelyet ún.kifejezés értéke .

Az aritmetikai műveletek sorrendje: először a zárójelben szereplő műveleteket hajtják végre; minden zárójelben először hajtsa végre a szorzást és az osztást, majd az összeadást és a kivonást.

Ha természetes számm nem osztható természetes számmaln, azok. nincs ilyenk természetes szám, Mitm=kn, akkor fontolja megosztás maradékkal: m = np + r, Aholm - osztalék, n - osztó (m>n), p - hányados, r - maradék .

Ha egy számnak csak két osztója van (magának a számnak és egynek), akkor hívjákegyszerű : ha egy számnak kettőnél több osztója van, akkor hívjákösszetett.

Bármilyen összetett természetes szám lehettényezőkre bont , és csak egy módon. Amikor a számokat prímtényezőkre bontja, használjaaz oszthatóság jelei .

a Ésb találhatólegnagyobb közös osztó. Meg van jelölveHangyányi). Ha számoka Ésb olyanok, hogyD(a, b) = 1, majd a számokata Ésb hívottkölcsönösen egyszerű.

Bármely adott természetes számraa Ésb találhatólegkisebb közös többszörös. Meg van jelölveK(a,b). A számok bármely közös többszörösea Ésb osztvaK(a,b).

Ha számoka Ésb koprime , azazD(a, b) = 1, HogyK(a,b) = ab .

Típusszámok:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) hívott egész számok , azok. Az egész számok a természetes számok, a természetes számok ellentétei és a 0 szám.

Az 1, 2, 3, 4, 5.... természetes számokat pozitív egész számoknak is nevezik. A természetes számokkal ellentétes -1, -2, -3, -4, -5, ... számokat negatív egész számoknak nevezzük.

Jelentős számok számokat az összes számjegynek nevezzük, kivéve a kezdő nullákat.

Egy szám tizedesjegyében a tizedespont után egymást követő ismétlődő számjegycsoportot nevezzük.időszak, és egy végtelen tizedes törtet, amelynek a jelölésében ilyen pont szerepel, nevezzükidőszakos . Ha a pont közvetlenül a tizedesvessző után kezdődik, akkor a tört meghívásra kerültiszta periodikus ; ha a vessző és a pont között más tizedesjegyek is vannak, akkor a tört kerül hívásravegyes periodikus .

A nem egész vagy tört számokat hívjukirracionális .

Minden irracionális szám nem periodikus végtelen tizedes törtként van ábrázolva.

Az összes véges és végtelen tizedes tört halmazát nevezzüksok valós számok : racionális és irracionális.

A valós számok R halmaza a következő tulajdonságokkal rendelkezik.

1. Rendezett: bármely két különböző α és b szám esetén az a két reláció egyike

2. Az R halmaz sűrű: bármelyik kettő között különféle számok a és b egy végtelen x valós számhalmazt tartalmaznak, azaz olyan számokat, amelyek kielégítik az a egyenlőtlenséget<х

Tehát ha a

(a 2a< A+bA+b<2b  2 A A<(a+b)/2

A valós számok egy számegyenes pontjaiként ábrázolhatók. Számegyenes beállításához meg kell jelölni egy pontot az egyenesen, amely megfelel a 0 számnak - a referenciapontnak, majd ki kell választani egy szegmenst, és jelezni kell a pozitív irányt.

A koordinátavonal minden pontja egy számnak felel meg, amelyet az origótól a kérdéses pontig tartó szakasz hosszaként definiálunk, míg a mérési egység egyetlen szakaszt vesz fel. Ez a szám a pont koordinátája. Ha a pontot az origótól jobbra vesszük, akkor a koordinátája pozitív, ha pedig balra, akkor negatív. Például az O és A pont koordinátái 0, illetve 2, amelyek a következőképpen írhatók fel: 0 (0), A (2).

A sokféleségből készletek különösen érdekesek az ún számkészletek, azaz olyan halmazok, amelyek elemei számok. Nyilvánvaló, hogy a velük való kényelmes munkához le kell tudni írni őket. A numerikus halmazok írásának jelölésével és elveivel kezdjük ezt a cikket. Ezután megvizsgáljuk, hogyan ábrázolják a numerikus halmazokat a koordinátavonalon.

Oldalnavigáció.

Numerikus halmazok írása

Kezdjük az elfogadott jelöléssel. Mint ismeretes, a latin ábécé nagybetűi a halmazok jelölésére szolgálnak. A numerikus halmazokat, mint a halmazok speciális esetét is jelöljük. Például beszélhetünk A , H , W numerikus halmazokról stb. Különösen fontosak a természetes, egész, racionális, valós, komplex számok stb. halmazai, amelyekre saját elnevezést alkalmaztak:

• N az összes természetes szám halmaza;
• Z az egész számok halmaza;
• Q a racionális számok halmaza;
• J az irracionális számok halmaza;
• R a valós számok halmaza;
• C a komplex számok halmaza.

Ebből világosan látszik, hogy nem szükséges egy például két 5-ből és -7-ből álló halmazt Q-ként jelölni, ez a megjelölés félrevezető lesz, mivel a Q betű általában az összes racionális szám halmazát jelöli. A megadott számkészlet megjelöléséhez jobb, ha más „semleges” betűt használunk, például A.

Mivel jelölésről beszélünk, itt felidézzük az üres halmaz jelölését is, vagyis egy olyan halmazt, amely nem tartalmaz elemeket. ∅ jellel jelöljük.

Emlékezzünk vissza egy halmazbeli elem tagságának és nem tagságának megjelölésére is. Ehhez használja a ∈ - tartozik és ∉ - nem tartozik jeleket. Például az 5∈N bejegyzés azt jelenti, hogy az 5 a természetes számok halmazához tartozik, és az 5,7∉Z - az 5,7 tizedes tört nem tartozik az egész számok halmazához.

Emlékezzünk vissza arra a jelölésre is, amelyet az egyik halmaznak a másikba foglalására alkalmaztunk. Jól látható, hogy az N halmaz minden eleme benne van a Z halmazban, tehát az N számhalmaz benne van a Z-ben, ezt N⊂Z-ként jelöljük. Használhatja a Z⊃N jelölést is, ami azt jelenti, hogy az összes Z egész szám halmaza tartalmazza az N halmazt. A nem szerepeltetett és nem szereplő kapcsolatokat a ⊄ és a jelek jelölik. A ⊆ és ⊇ formájú nem szigorú befoglaló jelek is használatosak, jelentése rendre szerepel vagy egyezik és tartalmazza vagy egyezik.

Beszéltünk a jelölésről, térjünk át a numerikus halmazok leírására. Ebben az esetben csak a gyakorlatban leggyakrabban használt fő eseteket érintjük.

Kezdjük a véges és kis számú elemet tartalmazó numerikus halmazokkal. A véges számú elemből álló numerikus halmazok kényelmesen leírhatók az összes elemük felsorolásával. Az összes számelemet vesszővel elválasztva írjuk, és zárjuk közé, ami összhangban van a közös értékkel állítsa be a leírási szabályokat. Például egy három számból (0 , -0,25 és 4/7) álló halmaz leírható a következővel: (0, -0,25, 4/7).

Néha, amikor egy numerikus halmaz elemeinek száma elég nagy, de az elemek engedelmeskednek valamilyen mintának, ellipszist használnak a leírásra. Például a 3-tól 99-ig terjedő páratlan számok halmaza felírható így (3, 5, 7, ..., 99).

Így simán megközelítettük a numerikus halmazok leírását, amelyek elemszáma végtelen. Néha ugyanazzal az ellipszissel írhatók le. Például írjuk le az összes természetes szám halmazát: N=(1, 2. 3, …) .

A numerikus halmazok leírását is használják elemeinek tulajdonságainak feltüntetésével. Ebben az esetben az (x| tulajdonságok) jelölést használjuk. Például az (n| 8 n+3, n∈N) jelölés olyan természetes számok halmazát határozza meg, amelyek 8-cal osztva 3 maradékot adnak. Ugyanez a halmaz így írható le (11,19, 27, ...) .

Speciális esetekben a végtelen számú elemű numerikus halmazok ismert halmazok N , Z , R stb. vagy számhézagok. És általában a numerikus halmazokat a következőképpen ábrázoljuk Unió az ezeket alkotó egyes numerikus intervallumok és véges elemszámú numerikus halmazok (amiről kicsit magasabbról beszéltünk).

Mutassunk egy példát. Legyen a számhalmaz a −10 , −9 , −8.56 , 0 számok, a [−5, −1.3] intervallum összes száma és a nyitott számsugár (7, +∞) számai. A halmazok uniójának definíciója értelmében a jelzett numerikus halmaz így írható fel {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Egy ilyen jelölés valójában egy olyan halmazt jelent, amely tartalmazza a (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] és (7, +∞) halmazok összes elemét.

Hasonlóképpen, különféle numerikus tartományok és egyedi számhalmazok kombinálásával bármely (valós számokból álló) számhalmaz leírható. Itt világossá válik, hogy miért kerültek bevezetésre az olyan típusú numerikus intervallumok, mint az intervallum, a félintervallum, a szegmens, a nyitott numerikus sugár és a numerikus sugár: mindegyik az egyes számhalmazok jelölésével együtt lehetővé teszi bármilyen numerikus halmaz leírását az egyesülésükön keresztül.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy egy numerikus halmaz írásakor az alkotószámok és a numerikus intervallumok növekvő sorrendben vannak rendezve. Ez nem kötelező, de kívánatos feltétel, hiszen egy rendezett numerikus halmaz könnyebben ábrázolható és ábrázolható koordinátaegyenesen. Vegye figyelembe azt is, hogy az ilyen bejegyzések nem használnak közös elemeket tartalmazó numerikus tartományokat, mivel az ilyen bejegyzések helyettesíthetők a közös elemek nélküli numerikus tartományok uniójával. Például a [−10, 0] és (−5, 3) közös elemekkel rendelkező numerikus halmazok uniója egy félintervallum [−10, 3) . Ugyanez vonatkozik az azonos határszámú numerikus intervallumok uniójára is, például a (3, 5]∪(5, 7]) unió egy halmaz (3, 7] ), erre külön kitérünk, amikor megtanuljuk megtalálni a numerikus halmazok metszetét és unióját.

Számhalmazok képe a koordinátavonalon

A gyakorlatban kényelmes a numerikus halmazok geometriai képeinek használata - ezek képei a -n. Például mikor egyenlőtlenségek megoldása, amelyben figyelembe kell venni az ODZ-t, meg kell ábrázolni a numerikus halmazokat, hogy megtaláljuk metszéspontjukat és / vagy egyesülésüket. Tehát hasznos lesz jól megérteni a numerikus halmazok koordinátaegyenesen történő ábrázolásának minden árnyalatát.

Ismeretes, hogy a koordinátaegyenes pontjai és a valós számok között egy az egyhez egyezés van, ami azt jelenti, hogy maga a koordinátaegyenes az összes R valós szám halmazának geometriai modellje. Így az összes valós szám halmazának ábrázolásához egy koordinátavonalat kell rajzolni a teljes hosszában sraffozással:

És gyakran nem is jelzik az eredetet és egyetlen szegmenst sem:

Most beszéljünk a numerikus halmazok képéről, amelyek néhány véges számú egyedi szám. Például rajzoljuk meg a számhalmazt (−2, −0.5, 1.2) . A három -2, -0,5 és 1,2 számból álló halmaz geometriai képe a koordinátavonal három pontja lesz a megfelelő koordinátákkal:

Vegye figyelembe, hogy általában a gyakorlati igényekhez nincs szükség a rajz pontos végrehajtására. Sokszor elegendő egy sematikus rajz, ami egy opcionális léptéket is jelent, miközben csak az a fontos, hogy a pontok egymáshoz viszonyított helyzetét megtartsuk: minden kisebb koordinátájú pontnak balra kell lennie egy nagyobb koordinátájú ponttól. Az előző rajz sematikusan így fog kinézni:

Külön-külön az összes lehetséges numerikus halmaz közül megkülönböztetünk numerikus intervallumokat (intervallumokat, félintervallumokat, sugarakat stb.), amelyek azok geometriai képét reprezentálják, a részben részletesen megvizsgáltuk. Itt nem ismételjük magunkat.

És már csak a numerikus halmazok képén kell elidőzni, amelyek több numerikus intervallum és egyedi számokból álló halmaz egyesülése. Nincs itt semmi trükkös: az unió jelentése szerint ezekben az esetekben a koordináta egyenesen egy adott numerikus halmaz halmazának összes összetevőjét kell ábrázolni. Példaként mutassuk meg egy számkészlet képét (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

És térjünk ki az elég gyakori esetekre, amikor az ábrázolt numerikus halmaz a valós számok teljes halmaza, egy vagy több pont kivételével. Az ilyen halmazokat gyakran olyan feltételek határozzák meg, mint az x≠5 vagy x≠−1, x≠2, x≠3,7 stb. Ezekben az esetekben geometriailag a teljes koordináta egyenest reprezentálják, kivéve a megfelelő pontokat. Más szavakkal, ezeket a pontokat „ki kell lyukasztani” a koordinátavonalból. Üres középpontú körökként vannak ábrázolva. Az érthetőség kedvéért a feltételeknek megfelelő numerikus halmazt ábrázolunk (ez a készlet lényegében a következő):

Összesít. Ideális esetben az előző bekezdések információi ugyanazt a nézetet alkotják a numerikus halmazok rögzítéséről és ábrázolásáról, mint az egyes numerikus intervallumok nézetéről: egy numerikus halmaz rögzítése azonnal adja meg a képét a koordinátaegyenesben, a koordinátaegyenesben lévő képről pedig készen kell állnunk arra, hogy az egyes intervallumok és egyedi számokból álló halmazok egyesítése révén könnyen leírjuk a megfelelő numerikus halmazt.

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. évfolyam 14 órakor 1. rész. Tankönyv oktatási intézmények hallgatói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. kiadás, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

A szám az objektumok számszerűsítésére használt absztrakció. A számok a primitív társadalomban azzal kapcsolatban merültek fel, hogy az embereknek meg kellett számolniuk a tárgyakat. Idővel a tudomány fejlődésével a szám a legfontosabb matematikai fogalommá vált.

A problémák megoldásához és a különféle tételek bizonyításához meg kell értenie, hogy milyen típusú számok vannak. A számok fő típusai a következők: természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok.

Egész számok- ezek a számok az objektumok természetes számlálásával, vagy inkább számozásukkal ("első", "második", "harmadik" ...). A természetes számok halmazát latin betűvel jelöljük N (az angol natural szó alapján megjegyezhető). Azt lehet mondani N ={1,2,3,....}

Egész számok számok a halmazból (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ez a halmaz három részből áll - természetes számokból, negatív egész számokból (a természetes számok ellentéte) és a 0-ból (nulla). Az egész számokat latin betűvel jelöljük Z . Azt lehet mondani Z ={1,2,3,....}.

Racionális számok törtként ábrázolható számok, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. A latin betű a racionális számok jelölésére szolgál K . Minden természetes és egész szám racionális. A racionális számokra példaként megadhatja: ,,.

Valós (valós) számok olyan számok, amelyek folyamatos mennyiségek mérésére szolgálnak. A valós számok halmazát a latin R betű jelöli. A valós számok racionális számokat és irracionális számokat tartalmaznak. Az irracionális számok olyan számok, amelyeket a racionális számokkal végzett különféle műveletek (például gyök kinyerése, logaritmusok kiszámítása) eredményeként kapunk, de ugyanakkor nem racionálisak. Az irracionális számok példái a ,,.

Bármely valós szám megjeleníthető a számsorban:

A fent felsorolt ​​számkészletekre a következő állítás igaz:

Vagyis a természetes számok halmaza benne van az egész számok halmazában. Az egész számok halmaza benne van a racionális számok halmazában. A racionális számok halmaza pedig benne van a valós számok halmazában. Ez az állítás Euler-körök segítségével szemléltethető.

Egész számok

A számolás során használt számokat természetes számoknak nevezzük. Például $1,2,3$ stb. A természetes számok alkotják a természetes számok halmazát, amelyet $N$ jelöl. Ez a jelölés a latin szóból származik naturalis- természetes.

Ellentétes számok

1. definíció

Ha két szám csak előjelekben különbözik, akkor matematikában hívják őket ellentétes számok.

Például az $5$ és a $-5$ számok ellentétes számok, mert csak jelekben különböznek egymástól.

Megjegyzés 1

Bármely számhoz van ellentétes szám, sőt, csak egy.

2. megjegyzés

A nulla önmagának az ellentéte.

Egész számok

2. definíció

egész a természetes számokat, az ellentétes számokat és a nullát számoknak nevezzük.

Az egész számok halmaza magában foglalja a természetes számok halmazát és ellentéteiket.

Jelölje a $Z.$ egész számokat

Törtszámok

A $\frac(m)(n)$ alakú számokat törtszámoknak vagy törtszámoknak nevezzük. A törtszámok is felírhatók decimális jelöléssel, pl. tizedesjegyek formájában.

Például: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ stb.

Az egész számokhoz hasonlóan a törtszámok is lehetnek pozitívak vagy negatívak.

Racionális számok

3. definíció

Racionális számok számok halmaza, amely egész számokat és törtszámokat tartalmaz.

Bármely racionális szám, akár egész, akár tört, ábrázolható törtként $\frac(a)(b)$, ahol $a$ egy egész szám, $b$ pedig természetes szám.

Így ugyanaz a racionális szám különböző módon írható fel.

Például,

Ez azt mutatja, hogy bármely racionális szám ábrázolható véges tizedes törtként vagy végtelen tizedes törtként.

A racionális számok halmazát $Q$ jelöli.

A racionális számokon végzett bármilyen aritmetikai művelet eredményeként a kapott válasz egy racionális szám lesz. Ez könnyen bebizonyítható, mivel a közönséges törtek összeadásakor, kivonásakor, szorzásakor és osztásakor közönséges törtet kapunk

Irracionális számok

A matematika tantárgy tanulása során gyakran találkozunk nem racionális számok megoldásával.

Például a nem racionális számok halmazának igazolására megoldjuk a $x^2=6$ egyenletet, melynek gyökerei a $\surd 6$ és a -$\surd 6$ számok. Ezek a számok nem lesznek racionálisak.

Továbbá, ha egy $3$ oldalú négyzet átlóját találjuk, a Pitagorasz-tételt alkalmazva azt kapjuk, hogy az átló egyenlő lesz: $\surd 18$. Ez a szám szintén nem racionális.

Az ilyen számokat hívják irracionális.

Tehát egy irracionális számot végtelen tizedes nem periodikus törtnek nevezünk.

Az egyik leggyakoribb irracionális szám a $\pi $

Irracionális számokkal végzett aritmetikai műveletek során a kapott eredmény racionális és irracionális szám is lehet.

Ezt az irracionális számok szorzatának megtalálásának példájával bizonyítjuk. Keressük meg:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Döntés

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6 $

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Ez a példa azt mutatja, hogy az eredmény lehet racionális vagy irracionális szám.

Ha a racionális és irracionális számok egyidejűleg vesznek részt az aritmetikai műveletekben, akkor az eredmény irracionális szám lesz (kivéve természetesen a 0$-ral való szorzást).

Valós számok

A valós számok halmaza a racionális és irracionális számok halmazát tartalmazza.

A valós számok halmazát $R$ jelöli. Szimbolikusan a valós számok halmaza jelölhető $(-?;+?).$

Korábban azt mondtuk, hogy a végtelen tizedes nem periodikus törtet irracionális számnak nevezzük, és bármely racionális szám ábrázolható véges tizedes törtként vagy végtelen tizedes törtként, tehát bármely véges és végtelen tizedes tört valós szám lesz.

Az algebrai műveletek végrehajtása során a következő szabályokat kell követni

1. pozitív számok szorzásakor és osztásakor a kapott szám pozitív lesz
2. negatív számok szorzásakor és osztásakor a kapott szám pozitív lesz
3. negatív és pozitív számok szorzásakor és osztásakor a kapott szám negatív lesz

A valós számokat is össze lehet hasonlítani egymással.

A matematikai elemzés a matematikának egy olyan ága, amely a függvények tanulmányozásával foglalkozik az infinitezimális függvény gondolata alapján.

A matematikai elemzés alapfogalmai a mennyiség, halmaz, függvény, infinitezimális függvény, határérték, derivált, integrál.

Érték nevezzük mindazt, ami számmal mérhető és kifejezhető.

sok néhány elem gyűjteménye, amelyeket valamilyen közös vonás egyesít. Egy halmaz elemei lehetnek számok, figurák, tárgyak, fogalmak stb.

A halmazokat nagybetűkkel, a halmaz elemeit kisbetűkkel jelöljük. A készletelemek göndör kapcsos zárójelekbe vannak zárva.

Ha elem x a készlethez tartozik x, akkor írj x∈x (∈ - tartozik).
Ha az A halmaz része a B halmaznak, akkor írjon A ⊂ B (⊂ - tartalmazza).

Egy halmaz kétféleképpen határozható meg: felsorolással és egy definiáló tulajdonsággal.

Például a felsorolás a következő halmazokat határozza meg:

• A=(1,2,3,5,7) - számkészlet
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) néhány x 1 ,x 2 ,...,x n elem halmaza
• N=(1,2,...,n) a természetes számok halmaza
• Z=(0,±1,±2,...,±n) az egész számok halmaza

A (-∞;+∞) halmazt hívjuk számsor, és tetszőleges szám ennek az egyenesnek a pontja. Legyen a egy tetszőleges pont a valós egyenesen, δ pedig egy pozitív szám. Az intervallumot (a-δ; a+δ) nevezzük δ-a pont szomszédsága a.

Az X halmaz felülről (alulról) korlátos, ha van olyan c szám, hogy bármely x ∈ X esetén teljesül az x≤с (x≥c) egyenlőtlenség. A c számot ebben az esetben hívjuk felső (alsó) él halmazok X. A fent és lent is korlátos halmazt hívjuk korlátozott. A halmaz felső (alsó) lapjai közül a legkisebb (legnagyobb) ún pontos felső (alsó) arc ezt a készletet.

Alapvető numerikus készletek

N	(1,2,3,...,n) Az összes halmaza
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Beállítás egész számok. Az egész számok halmaza magában foglalja a természetes számok halmazát.
K	Egy csomó racionális számok. Az egész számok mellett vannak törtek is. A tört az alak kifejezése, ahol p egy egész szám, q- természetes. A tizedesek úgy is felírhatók, hogy . Például: 0,25 = 25/100 = 1/4. Az egész számokat úgy is felírhatjuk, hogy . Például tört formájában „egy” nevezővel: 2 = 2/1. Így bármely racionális szám felírható tizedes törtként – véges vagy végtelen periodikus.
R	Sok minden közül valós számok. Az irracionális számok végtelen nem periódusos törtek. Ezek tartalmazzák: Két halmaz (racionális és irracionális számok) együtt alkotja a valós (vagy valós) számok halmazát.

Ha egy halmaz nem tartalmaz elemeket, akkor meghívásra kerül üres készletés rögzítették Ø .

A logikai szimbolika elemei

A ∀x jelölés: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kvantor

Matematikai kifejezések írásakor gyakran használnak kvantorokat.

kvantor logikai szimbólumnak nevezzük, amely az őt követő elemeket mennyiségileg jellemzi.

• ∀- általános kvantor, a „mindenkiért”, „bárkiért” szavak helyett használatos.
• ∃- egzisztenciális kvantor, használatos a "létezik", "van" szavak helyett. A ∃! szimbólumkombináció is használatos, amelyet a rendszer úgy olvas, hogy csak egy van.

Műveletek a készleteken

Kettő Az A és B halmaz egyenlő(A=B), ha azonos elemekből állnak.
Például, ha A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), akkor A=B.

Unió (összeg) Az A és B halmazt A ∪ B halmaznak nevezzük, amelynek elemei ezen halmazok legalább egyikéhez tartoznak.
Például, ha A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), akkor A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

kereszteződés (termék) az A és B halmazt A ∩ B halmaznak nevezzük, melynek elemei mind az A, mind a B halmazhoz tartoznak.
Például, ha A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), akkor A ∩ B = (2,4)

különbség az A és B halmazt AB halmaznak nevezzük, melynek elemei az A halmazhoz tartoznak, de nem tartoznak a B halmazhoz.
Például, ha A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), akkor AB = (1,2)

Szimmetrikus különbség az A és B halmazt A Δ B halmaznak nevezzük, amely az AB és BA halmazok különbségeinek uniója, azaz A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Például, ha A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), akkor A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2,5,6)

A halmazműveletek tulajdonságai

Permutability tulajdonságok

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

asszociatív tulajdonság

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Megszámlálható és megszámlálhatatlan halmazok

Bármely két A és B halmaz összehasonlításához megfeleltetést hozunk létre elemeik között.

Ha ez a megfeleltetés egy az egyhez, akkor a halmazokat ekvivalensnek vagy ekvivalensnek nevezzük, A B vagy B A.

1. példa

A BC láb és az ABC háromszög AC hipotenuszának ponthalmaza egyenlő erősségű.