Egy komplex változó függvényei.
Egy komplex változó függvényeinek differenciálása.

Ez a cikk egy leckesorozatot nyit meg, amelyben az összetett változó függvényeinek elméletével kapcsolatos tipikus problémákat fogom megvizsgálni. A példák sikeres elsajátításához alapvető ismeretekkel kell rendelkeznie a komplex számokról. Az anyag megszilárdításához és megismétléséhez elegendő felkeresni az oldalt. A megtaláláshoz készségekre is szüksége lesz másodrendű parciális származékok. Íme, ezek a részleges származékok... még most is meglepődtem, milyen gyakran fordulnak elő...

A téma, amelyet elkezdünk elemezni, nem különösebben nehéz, és egy összetett változó függvényében elvileg minden világos és hozzáférhető. A lényeg az, hogy betartsam az általam empirikusan levezetett alapszabályt. Olvass tovább!

Egy komplex változó függvényének fogalma

Először frissítsük fel ismereteinket egy változó iskolafüggvényéről:

Egy változó függvénye egy olyan szabály, amely szerint a független változó minden értéke (a definíciós tartományból) a függvény egy és csak egy értékének felel meg. Természetesen az "x" és az "y" valós számok.

Összetett esetben a funkcionális függést hasonlóan adjuk meg:

Egy komplex változó egyértékű függvénye az a szabály, hogy mindenki átfogó a független változó értéke (a tartományból) egy és csak egynek felel meg átfogó függvény értéke. Elméletileg a többértékű és néhány más típusú függvény is számításba jön, de az egyszerűség kedvéért egy definícióra összpontosítok.

Mi a függvénye egy komplex változónak?

A fő különbség az, hogy a számok összetettek. Nem ironizálok. Az ilyen kérdésektől gyakran kábulatba esnek, a cikk végén elmondok egy klassz történetet. A leckében Komplex számok bábukhoz alakban egy komplex számot vettünk figyelembe. Azóta a "Z" betű lett változó, akkor a következőképpen jelöljük: , míg az "x" és az "y" eltérő lehet érvényesértékeket. Nagyjából egy komplex változó függvénye a és változóktól függ, amelyek "szokásos" értéket vesznek fel. Tól től ezt a tényt a következő pont logikusan következik:

Egy komplex változó függvénye a következőképpen írható fel:
, ahol és a kettő két függvénye érvényes változók.

A függvényt hívják valódi része funkciókat.
A függvényt hívják képzeletbeli rész funkciókat.

Vagyis egy komplex változó függvénye két valós függvénytől és . Hogy végül mindent tisztázhassunk, nézzünk gyakorlati példákat:

1. példa

Megoldás: A "z" független változó, mint emlékszel, a következőképpen van írva:

(1) Az eredeti funkcióval helyettesítve.

(2) Az első tagnál a csökkentett szorzási képletet használtuk. A távon a zárójelek kinyíltak.

(3) Óvatosan négyzetre szabva, erről nem feledkezve meg

(4) A kifejezések átrendezése: a kifejezések először átírása , amelyben nincs képzeletbeli egység(első csoport), majd kifejezések, ahol van (második csoport). Meg kell jegyezni, hogy nem szükséges keverni a feltételeket, és ezt a szakasztátugorható (valójában szóban teszi).

(5) A második csoport kikerül a zárójelekből.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a funkciónk a formában van ábrázolva

Válasz:
a függvény valódi része.
a függvény képzeletbeli része.

Mik ezek a funkciók? Két változó leghétköznapibb függvényei, amelyek közül olyan népszerűek lehetnek részleges származékok. Kegyelem nélkül - megtaláljuk. De egy kicsit később.

A megoldott feladat algoritmusa röviden a következőképpen írható fel: behelyettesítjük az eredeti függvényt, egyszerűsítéseket hajtunk végre és az összes tagot két csoportra osztjuk - képzeletbeli egység nélkül (valós rész) és képzeletbeli egységgel (képzetes rész).

2. példa

Keresse meg egy függvény valós és képzeletbeli részét

Ez egy „csináld magad” példa. Mielőtt harcba vetné magát az összetett gépen meztelen dáma mellett, hadd adjam meg a legfontosabb tanácsokat a témában:

LÉGY ÓVATOS!Óvatosnak kell lenni persze mindenhol, de az összetett számoknál jobban kell vigyázni, mint valaha! Ne feledje, hogy óvatosan bontsa ki a zárójeleket, ne veszítsen semmit. Megfigyeléseim szerint a leggyakoribb hiba az előjelvesztés. Ne siess!

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Most kocka. A rövidített szorzási képlet segítségével a következőket kapjuk:
.

A képletek nagyon kényelmesek a gyakorlatban, mivel nagyban felgyorsítják a megoldási folyamatot.

Egy komplex változó függvényeinek differenciálása.

Két hírem van: jó és rossz. Kezdem egy jóval. Egy komplex változó függvényére érvényesek a differenciálás szabályai és az elemi függvények deriváltjainak táblázata. Így a derivált pontosan ugyanúgy vesszük fel, mint egy valós változó függvénye esetén.

A rossz hír az, hogy egy összetett változó számos függvényéhez egyáltalán nincs derivált, és ki kell találni differenciálható egyik vagy másik funkció. És a szíved „kitalálása” további bajokkal jár.

Tekintsük egy komplex változó függvényét. Ahhoz, hogy ez a függvény differenciálható legyen, szükséges és elegendő, hogy:

1) Hogy legyenek elsőrendű parciális származékai. Azonnal felejtsd el ezeket a jelöléseket, mivel az összetett változó függvényelméletében hagyományosan a jelölés másik változatát használják: .

2) Elvégezni az ún Cauchy-Riemann feltételek:

Csak ebben az esetben létezik a származék!

3. példa

Megoldás három egymást követő szakaszra bomlik:

1) Keresse meg a függvény valós és képzetes részét! Ezt a feladatot a korábbi példákban elemeztük, ezért kommentár nélkül leírom:

Azóta:

És így:

a függvény képzeletbeli része.

Még egy technikai szemponton kitérek: milyen sorrendben kifejezéseket valós és képzeletbeli részekben írni? Igen, alapvetően mindegy. Például a valós rész így írható: , és képzeletbeli - így: .

2) Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Ketten vannak.

Kezdjük az állapot ellenőrzésével. Találunk részleges származékok:

Így a feltétel teljesül.

Kétségtelenül a jó hír az, hogy a részleges származékok szinte mindig nagyon egyszerűek.

Ellenőrizzük a második feltétel teljesülését:

Ugyanaz lett, de azzal ellentétes jelek, vagyis a feltétel is teljesül.

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható.

3) Keresse meg a függvény deriváltját! A származék is nagyon egyszerű, és megtalálható a szokásos szabályok:

A differenciálás képzeletbeli egységét állandónak tekintjük.

Válasz: - valódi rész a képzeletbeli rész.
A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek,.

A származék megtalálásának még két módja van, ezeket természetesen ritkábban használják, de az információ hasznos lesz a második lecke megértéséhez - Hogyan találjuk meg egy komplex változó függvényét?

A származékot a következő képlettel találhatjuk meg:

BAN BEN ez az eset:

És így

Meg kell oldani az inverz problémát - a kapott kifejezésben el kell különíteni a . Ehhez a következő kifejezésekkel és zárójelből ki kell venni:

A fordított művelet, amint azt sokan észrevették, valamivel nehezebb végrehajtani, az ellenőrzéshez mindig jobb a kifejezést venni, és a piszkozaton vagy szóban kinyitni a zárójeleket, ügyelve arra, hogy pontosan kiderüljön.

Tükörképlet a derivált megtalálásához:

Ebben az esetben: , Ezért:

4. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Ha a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, keressük meg a függvény deriváltját.

Gyors megoldásés egy hozzávetőleges minta a befejezésről a lecke végén.

Mindig teljesülnek a Cauchy-Riemann feltételek? Elméletileg gyakrabban nem teljesülnek, mint amennyire teljesülnek. De gyakorlati példákban nem emlékszem olyan esetre, amikor ne hajtották volna végre =) Így, ha a parciális deriváltjai „nem konvergáltak”, akkor nagyon nagy valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy valahol hibát követett el.

Bonyolítsuk le a funkcióinkat:

5. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Kiszámítja

Megoldás: A megoldási algoritmus teljesen megmarad, de a végére egy új hóbort is hozzáadódik: a derivált megtalálása egy pontban. A kockához a szükséges képletet már levezették:

Határozzuk meg ennek a függvénynek a valós és képzeletbeli részét:

Figyelem és még egyszer figyelem!

Azóta:


És így:
a függvény valós része;
a függvény képzeletbeli része.

A második feltétel ellenőrzése:

Ugyanez derült ki, csak ellentétes előjelekkel, vagyis a feltétel is teljesül.

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek, ezért a függvény differenciálható:

Számítsa ki a derivált értékét a kívánt pontban:

Válasz:, , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek,

A kockákkal ellátott függvények gyakoriak, ezért egy példa a konszolidációra:

6. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Kiszámítja .

Döntés és mintabefejezés az óra végén.

A komplex elemzés elméletében a komplex argumentum egyéb funkcióit is meghatározzák: exponenciális, szinusz, koszinusz stb. Ezek a funkciók szokatlan, sőt bizarr tulajdonságokkal rendelkeznek – és ez igazán érdekes! Nagyon szeretném elmondani, de itt csak úgy történt, nem egy kézikönyv vagy egy tankönyv, hanem egy megoldás, ezért ugyanazt a feladatot fogom megvizsgálni néhány közös funkcióval.

Először az ún Euler-képletek:

Bárkinek érvényes számok esetén a következő képletek érvényesek:

Referenciaként a notebookjába is másolhatja.

Szigorúan véve csak egy képlet van, de általában a kényelem kedvéért írnak is különleges eset mínusz jelzővel. A paraméternek nem kell egy betűből állnia, lehet összetett kifejezés, függvény, csak az a fontos, hogy csak érvényesértékeket. Tulajdonképpen most is látni fogjuk:

7. példa

Keresse meg a származékot.

Megoldás: A párt általános vonala megingathatatlan marad - ki kell emelni a funkció valós és képzeletbeli részeit. Részletes megoldást adok, és az alábbiakban kommentálom az egyes lépéseket:

Azóta:

(1) "z" helyére.

(2) A helyettesítés után el kell választani a valós és a képzeletbeli részt első kitevőben kiállítók. Ehhez nyissa ki a zárójeleket.

(3) Csoportosítjuk az indikátor képzeletbeli részét, zárójelbe téve a képzeletbeli egységet.

(4) Használja az iskolai cselekvést hatalommal.

(5) A szorzóhoz az Euler-képletet használjuk, míg .

(6) Kinyitjuk a zárójeleket, ennek eredményeként:

a függvény valós része;
a függvény képzeletbeli része.

A további műveletek szabványosak, ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését:

9. példa

Határozza meg egy függvény valós és képzetes részét! . Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését. Így van, nem fogjuk megtalálni a származékot.

Megoldás: A megoldási algoritmus nagyon hasonlít az előző két példához, de nagyon vannak fontos pontokat, ezért lépésről lépésre ismét megjegyzést teszek a kezdeti szakaszhoz:

Azóta:

1) A "z" helyett helyettesítjük.

(2) Először válassza ki a valós és a képzeletbeli részeket a sinus belsejében. Ebből a célból nyissa ki a konzolokat.

(3) A , while képletet használjuk .

(4) Használat hiperbolikus koszinusz paritása: És hiperbolikus szinuszos páratlanság: . A hiperbolikák, bár nem e világból valók, de sok tekintetben hasonló trigonometrikus függvényekhez hasonlítanak.

Végül is:
a függvény valós része;
a függvény képzeletbeli része.

Figyelem! A mínusz jel a képzeletbeli részre vonatkozik, és semmi esetre sem szabad elveszíteni! Mert vizuális illusztráció A fenti eredmény így átírható:

Ellenőrizzük a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését:

A Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

Válasz:, , a Cauchy-Riemann feltételek teljesülnek.

A koszinusszal, hölgyeim és uraim, magunktól is megértjük:

10. példa

Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Szándékosan szedtem össze a bonyolultabb példákat, mert a hámozott mogyoróhoz hasonlót mindenki elbír. Ugyanakkor edd a figyelmedet! Diótörő az óra végén.

Nos, befejezésül megfontolok még egyet érdekes példa amikor a komplex argumentum a nevezőben van. Párszor találkoztunk a gyakorlatban, elemezzünk valami egyszerűt. Ó, kezdek megöregedni...

11. példa

Határozza meg a függvény valós és képzetes részét! Ellenőrizze a Cauchy-Riemann feltételek teljesülését.

Megoldás: Ismét el kell választani a függvény valós és képzeletbeli részét.
Ha akkor

Felmerül a kérdés, hogy mi a teendő, ha "Z" van a nevezőben?

Minden egyszerű - a szabvány segít módszer a számláló és a nevező szorzására a konjugált kifejezéssel, a lecke példáiban már használták Komplex számok bábukhoz. Emlékezzünk az iskolai képletre. A nevezőben már szerepel, így a konjugált kifejezés a következő lesz. Így a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni a következővel: