إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

رقم أ 1 مُسَمًّى أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم أ مُسَمًّى العضو التاسعالتسلسلات والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 مُسَمًّى تالي (تجاه أ )، أ أ — سابق (تجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي صيغة تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.

على سبيل المثال،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات أخير و بلا نهاية .

التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

تسلسل الرقم الأولي:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أقل من السابق.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

رقم د مُسَمًّى الفرق في التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د ها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

أ=	أ ن -1 + أ ن + 1
	2

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التدرجات الحسابية إذا وفقط إذا كان أحدها مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

أ ن + 1 + أ ن -1	=	2ن- 5 + 2ن- 9	= 2ن- 7 = أ,
2		2

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أ=	أ ن ك + أ ن + ك
	2

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثانية ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,

أولاً ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاث من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

المتوالية العدديةهو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ثم يتزايد.
• لو د < 0 ثم يتناقص.
• لو د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

رقم ف مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف ها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لمنتج الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أولاً ن أعضاء متتالية هندسية ذات قاسم ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= n.b. 1

لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

S n- كورونا -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك ·	1 - ف ن - ك +1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :

• يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

لو ف< 0 ، ثم يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدوده الفردية لها نفس علامة الحد الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل قاسمه أقل من 1 ، إنه

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً تنازليًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . =	ب 1	.
	1 - ف

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، الذي - التي

سجل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

قبل أن نبدأ في اتخاذ القرار مشاكل التقدم الحسابي، ضع في اعتبارك ماهية التسلسل الرقمي ، لأن التقدم الحسابي هو حالة خاصةتسلسل رقمي.

التسلسل الرقمي هو مجموعة عدد، كل عنصر له خاصته رقم سري . تسمى عناصر هذه المجموعة أعضاء التسلسل. يُشار إلى الرقم الترتيبي لعنصر التسلسل بواسطة فهرس:

العنصر الأول في التسلسل ؛

العنصر الخامس في التسلسل.

- العنصر "nth" في التسلسل ، أي العنصر "يقف في قائمة الانتظار" في الرقم ن.

هناك تبعية بين قيمة عنصر التسلسل ورقمه الترتيبي. لذلك ، يمكننا اعتبار التسلسل كدالة تكون وسيطتها هي الرقم الترتيبي لعنصر من عناصر التسلسل. بعبارة أخرى ، يمكن للمرء أن يقول ذلك التسلسل هو دالة للحجة الطبيعية:

يمكن تحديد التسلسل بثلاث طرق:

1 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام جدول.في هذه الحالة ، نقوم ببساطة بتعيين قيمة كل عضو في التسلسل.

على سبيل المثال ، قرر شخص ما القيام بإدارة الوقت الشخصية ، والبدء بحساب مقدار الوقت الذي يقضيه في فكونتاكتي خلال الأسبوع. من خلال كتابة الوقت في جدول ، سيحصل على تسلسل يتكون من سبعة عناصر:

يحتوي السطر الأول من الجدول على رقم يوم الأسبوع ، والثاني - الوقت بالدقائق. نرى أنه ، يوم الاثنين ، قضى شخص ما 125 دقيقة في فكونتاكتي ، أي يوم الخميس - 248 دقيقة ، أي يوم الجمعة ، 15 دقيقة فقط.

2 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة العضو رقم n.

في هذه الحالة ، يتم التعبير عن اعتماد قيمة عنصر التسلسل على رقمه مباشرة كصيغة.

على سبيل المثال ، إذا ، إذن

لإيجاد قيمة عنصر تسلسل برقم معين ، نستبدل رقم العنصر في صيغة العضو رقم n.

نفعل الشيء نفسه إذا احتجنا إلى إيجاد قيمة دالة إذا كانت قيمة الوسيطة معروفة. نستبدل قيمة الوسيطة بدلاً من ذلك في معادلة الوظيفة:

إذا ، على سبيل المثال ، ، الذي - التي

مرة أخرى ، ألاحظ أنه في تسلسل ، على عكس دالة رقمية عشوائية ، يمكن أن يكون الرقم الطبيعي فقط حجة.

3 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة تعبر عن اعتماد قيمة عضو التسلسل بالرقم n على قيمة الأعضاء السابقين. في هذه الحالة ، لا يكفي أن نعرف فقط رقم عضو التسلسل لإيجاد قيمته. نحتاج إلى تحديد العضو الأول أو أول عدد قليل من الأعضاء في التسلسل.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسل ,

يمكننا إيجاد قيم أعضاء المتسلسلة في تسلسلابتداء من الثالث:

أي أنه في كل مرة للعثور على قيمة العنصر التاسع في المتسلسلة ، نعود إلى العنصرين السابقين. تسمى طريقة التسلسل هذه متكرر، من كلمة لاتينية متكرر- عد.

الآن يمكننا تحديد التقدم الحسابي. التقدم الحسابي هو حالة خاصة بسيطة من التسلسل العددي.

المتوالية العددية يسمى تسلسل عددي ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، مضافًا بنفس الرقم.

الرقم يسمى الفرق في التقدم الحسابي. يمكن أن يكون الاختلاف في التقدم الحسابي موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.

إذا كان العنوان = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} في ازدياد.

على سبيل المثال ، 2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ أحد عشر؛...

إذا ، فإن كل مصطلح من التقدم الحسابي أقل من السابق ، والتقدم هو يتضاءل.

على سبيل المثال ، 2 ؛ -1 ؛ -4 ؛ -7 ؛ ...

إذا ، فإن جميع أعضاء التقدم متساوون مع نفس الرقم ، والتقدم هو ثابت.

على سبيل المثال ، 2 ؛ 2 ؛ 2 ؛ 2 ؛ ...

الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي:

لنلق نظرة على الصورة.

نحن نرى ذلك

، وفي نفس الوقت

بإضافة هاتين المتعادلتين ، نحصل على:

.

قسّم طرفي المعادلة على 2:

إذن ، كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي لاثنين من المتجاورين:

علاوة على ذلك ، لأن

، وفي نفس الوقت

، الذي - التي

، وبالتالي

يبدأ كل عضو في التقدم الحسابي بالعنوان = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

صيغة العضو ال.

نرى أنه بالنسبة لأعضاء التقدم الحسابي ، فإن العلاقات التالية تصمد:

وأخيرا

حصلنا صيغة المصطلح n.

مهم!يمكن التعبير عن أي عضو في التقدم الحسابي من حيث و. بمعرفة المصطلح الأول وفرق التقدم الحسابي ، يمكنك العثور على أي من أعضائه.

مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي.

في التقدم الحسابي التعسفي ، تكون مجموع المصطلحات المتباعدة بشكل متساوٍ عن المتطرفين متساوية مع بعضها البعض:

ضع في اعتبارك التقدم الحسابي مع n من الأعضاء. دع مجموع n من أعضاء هذا التقدم يكون مساويًا لـ.

رتب شروط التقدم أولاً بترتيب تصاعدي للأرقام ، ثم بترتيب تنازلي:

دعنا نجمعها:

المجموع في كل قوس هو ، عدد الأزواج ن.

نحن نحصل:

لذا، يمكن إيجاد مجموع n من الأعضاء للتقدم الحسابي باستخدام الصيغ:

يعتبر حل مشاكل التقدم الحسابي.

1 . يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة الحد التاسع: . إثبات أن هذا التسلسل هو تطور حسابي.

دعنا نثبت أن الفرق بين عضوين متجاورين في المتسلسلة يساوي نفس العدد.

لقد توصلنا إلى أن الفرق بين عضوين متجاورين في المتسلسلة لا يعتمد على عددهما وهو ثابت. لذلك ، بحكم التعريف ، هذا التسلسل هو تقدم حسابي.

2 . بالنظر إلى التقدم الحسابي -31 ؛ -27 ؛ ...

أ) ابحث عن 31 مصطلحًا للتقدم.

ب) تحديد ما إذا كان الرقم 41 مدرجًا في هذا التقدم.

أ)نحن نرى ذلك ؛

دعنا نكتب صيغة الحد التاسع لتقدمنا.

على العموم

في حالتنا هذه ، لهذا

نحن نحصل:

ب)افترض أن الرقم 41 هو أحد أعضاء المتسلسلة. لنجد رقمه. للقيام بذلك ، نحل المعادلة:

حصلنا على قيمة طبيعية لـ n ، لذلك ، نعم ، الرقم 41 هو أحد أعضاء التقدم. إذا كانت القيمة التي تم العثور عليها لـ n ليست عددًا طبيعيًا ، فسنجيب على أن الرقم 41 ليس عضوًا في التقدم.

3 . أ) بين الرقمين 2 و 8 ، أدخل 4 أرقام بحيث تشكل مع الأرقام المعطاة تقدمًا حسابيًا.

ب) أوجد مجموع شروط التقدم الناتج.

أ)دعنا ندخل أربعة أرقام بين الرقمين 2 و 8:

حصلنا على تقدم حسابي يتكون من 6 حدود.

دعونا نجد الفرق في هذا التقدم. للقيام بذلك ، نستخدم صيغة المصطلح التاسع:

من السهل الآن العثور على قيم الأرقام:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

ب)

الجواب: أ) نعم. ب) 30

4. تنقل الشاحنة دفعة من الحجر المسحوق تزن 240 طنًا ، مما يزيد معدل النقل يوميًا بنفس عدد الأطنان. ومن المعروف أنه تم نقل طنين من الركام في اليوم الأول. حدد عدد الأطنان من الأنقاض التي تم نقلها في اليوم الثاني عشر إذا اكتمل العمل كله في 15 يومًا.

وفقًا لظروف المشكلة ، تزداد كمية الحجر المسحوق التي تنقلها الشاحنة يوميًا بنفس العدد. لذلك ، نحن نتعامل مع تقدم حسابي.

نصوغ هذه المسألة من حيث التقدم الحسابي.

خلال اليوم الأول ، تم نقل 2 طن من الأنقاض: a_1 = 2.

تم الانتهاء من جميع الأعمال في 15 يومًا:.

تنقل الشاحنة كمية من الحجر المسحوق وزنها 240 طناً:

نحن بحاجة إلى إيجاد.

أولاً ، لنجد فرق التقدم. دعونا نستخدم صيغة مجموع n من أعضاء التقدم.

في حالتنا هذه:

على سبيل المثال ، التسلسل \ (2 \) ؛ \ (5 \) ؛ \ (8 \) ؛ \(أحد عشر\)؛ \ (14 \) ... هو تقدم حسابي ، لأن كل عنصر تالٍ يختلف عن العنصر السابق بمقدار ثلاثة (يمكن الحصول عليه من العنصر السابق بإضافة ثلاثة):

في هذا التقدم ، يكون الفرق \ (د \) موجبًا (يساوي \ (3 \)) ، وبالتالي فإن كل حد تالٍ أكبر من السابق. تسمى هذه التعاقب في ازدياد.

ومع ذلك ، يمكن أيضًا أن يكون \ (d \) عدد السلبي. على سبيل المثال، في التدرج الحسابي \ (16 \) ؛ \ (10 ​​\) ؛ \ (4 \) ؛ \ (- 2 \) ؛ \ (- 8 \) ... فارق التقدم \ (د \) يساوي سالب ستة.

وفي هذه الحالة ، سيكون كل عنصر تالٍ أقل من العنصر السابق. تسمى هذه التعاقب تناقص.

تدوين التقدم الحسابي

يُشار إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.

الأرقام التي تشكل التقدم تسمى ذلك أعضاء(أو عناصر).

يتم الإشارة إليها بنفس الحرف مثل التقدم الحسابي ، ولكن مع فهرس عددي يساوي رقم العنصر بالترتيب.

على سبيل المثال ، التقدم الحسابي \ (a_n = \ left \ (2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ 11 ؛ 14 ... \ right \) \) يتكون من العناصر \ (a_1 = 2 \) ؛ \ (a_2 = 5 \) ؛ \ (a_3 = 8 \) وهكذا.

بمعنى آخر ، للتقدم \ (a_n = \ left \ (2 ؛ 5 ؛ 8 ؛ 11 ؛ 14 ... \ right \) \)

حل المشاكل في التقدم الحسابي

من حيث المبدأ ، المعلومات الواردة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقريبًا في التقدم الحسابي (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).

مثال (OGE). يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الشروط \ (b_1 = 7 ؛ د = 4 \). ابحث عن \ (b_5 \).
حل:

إجابة: \ (ب_5 = 23 \)

مثال (OGE). يتم إعطاء المصطلحات الثلاثة الأولى للتقدم الحسابي: \ (62 ؛ 49 ؛ 36 ... \) أوجد قيمة المصطلح السلبي الأول لهذا التقدم ..
حل:

	لدينا العناصر الأولى من التسلسل ونعلم أنه تقدم حسابي. أي أن كل عنصر يختلف عن العنصر المجاور بنفس الرقم. اكتشف أيهما بطرح العنصر السابق من العنصر التالي: \ (د = 49-62 = -13 \).
	الآن يمكننا استعادة تقدمنا ​​إلى العنصر المطلوب (السلبي الأول).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(-3\)

مثال (OGE). يتم إعطاء العديد من العناصر المتتالية للتقدم الحسابي: \ (... 5 ؛ x ؛ 10 ؛ 12.5 ... \) أوجد قيمة العنصر المشار إليه بالحرف \ (x \).
حل:

	للعثور على \ (س \) ، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق ، بمعنى آخر ، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \ (د = 12.5-10 = 2.5 \).
	والآن نجد ما نبحث عنه دون أي مشاكل: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(7,5\).

مثال (OGE). التقدم الحسابي معين وفقا للشروط: \ (a_1 = -11 \) ؛ \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) أوجد مجموع المصطلحات الستة الأولى لهذا التقدم.
حل:

	علينا إيجاد مجموع أول ستة حدود من التقدم. لكننا لا نعرف معانيها ، فنحن لدينا العنصر الأول فقط. لذلك ، نحسب القيم أولاً بدورنا ، باستخدام المعطى لنا: \ (ن = 1 \) ؛ \ (أ_ (1 + 1) = أ_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (ن = 2 \) ؛ \ (أ_ (2 + 1) = أ_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (ن = 3 \) ؛ \ (أ_ (3 + 1) = أ_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) وبعد حساب العناصر الستة التي نحتاجها ، نجد مجموعها.
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	تم العثور على المبلغ المطلوب.

إجابة: \ (S_6 = 9 \).

مثال (OGE). في التدرج الحسابي \ (أ_ (12) = 23 \) ؛ \ (أ_ (16) = 51 \). ابحث عن الاختلاف في هذا التقدم.
حل:

إجابة: \ (د = 7 \).

صيغ التقدم الحسابي الهامة

كما ترى ، يمكن حل العديد من مشاكل التقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - أن التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام ، ويتم الحصول على كل عنصر تالي في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الفرق من التقدم).

ومع ذلك ، في بعض الأحيان هناك حالات يكون فيها حل مشكلة "الجبين" غير مريح للغاية. على سبيل المثال ، تخيل أنه في المثال الأول ، لا نحتاج إلى إيجاد العنصر الخامس \ (b_5 \) ، بل العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \ (b_ (386) \). ما هو ، نحن \ (385 \) مرة لجمع أربعة؟ أو تخيل أنه في المثال قبل الأخير ، تحتاج إلى إيجاد مجموع أول ثلاثة وسبعين عنصرًا. العد محير ...

لذلك ، في مثل هذه الحالات ، لا يتم حلها "على الجبهة" ، ولكنها تستخدم صيغًا خاصة مشتقة للتقدم الحسابي. والأهم منها صيغة الحد التاسع من التقدم وصيغة مجموع \ (n \) المصطلحات الأولى.

صيغة للعضو \ (n \): \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) ، حيث \ (a_1 \) هو العضو الأول في التقدم ؛
\ (n \) - رقم العنصر المطلوب ؛
\ (a_n \) عضو في التقدم بالرقم \ (n \).

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على ما لا يقل عن ثلاثمائة ، حتى العنصر المليون ، مع العلم فقط بالاختلاف الأول وفرق التقدم.

مثال. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشروط: \ (b_1 = -159 \) ؛ \ (د = 8،2 \). ابحث عن \ (b_ (246) \).
حل:

إجابة: \ (ب_ (246) = 1850 \).

صيغة مجموع المصطلحات n الأولى هي: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \) ، حيث

\ (a_n \) هو آخر مصطلح تم تجميعه ؛

مثال (OGE). يتم الحصول على التقدم الحسابي من خلال الشروط \ (a_n = 3.4n-0.6 \). أوجد مجموع \ (25 \) شروط هذا التقدم.
حل:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		لحساب مجموع أول 25 عنصرًا ، علينا معرفة قيمة الحد الأول والخامس والعشرين. يتم إعطاء تقدمنا ​​من خلال صيغة المصطلح التاسع اعتمادًا على رقمه (انظر التفاصيل). لنحسب العنصر الأول باستبدال \ (n \) بآخر.
\ (n = 1 ؛ \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \)		لنجد الآن الحد الخامس والعشرين بالتعويض عن 25 بدلاً من \ (n \).
\ (ن = 25 ؛ \) \ (أ_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \)		حسنًا ، الآن نحسب المبلغ المطلوب دون أي مشاكل.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فارك (2،8 + 84،4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		الجواب جاهز.

إجابة: \ (S_ (25) = 1090 \).

للحصول على مجموع \ (n \) المصطلحات الأولى ، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) بدلاً من \ (a_n \) استبدل الصيغة الخاصة به \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). نحن نحصل:

صيغة مجموع المصطلحات n الأولى هي: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) ، حيث

\ (S_n \) - المبلغ المطلوب \ (n \) للعناصر الأولى ؛
\ (a_1 \) هو أول مصطلح يتم جمعه ؛
\ (د \) - فرق التقدم ؛
\ (n \) - عدد العناصر في المجموع.

مثال. أوجد مجموع أول \ (33 \) - على سبيل المثال شروط التقدم الحسابي: \ (17 \) ؛ \ (15،5 \) ؛ \ (14 \) ...
حل:

إجابة: \ (S_ (33) = - 231 \).

مشاكل تقدم حسابية أكثر تعقيدًا

الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا. لننهي الموضوع من خلال التفكير في المشكلات التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب ، بل أيضًا التفكير قليلاً (في الرياضيات ، قد يكون هذا مفيدًا ☺)

مثال (OGE). أوجد مجموع كل الشروط السلبية للتقدم: \ (- 19.3 \) ؛ \ (- 19 \) ؛ \ (- 18.7 \) ...
حل:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) د) (2) \) \ (\ cdot n \)		المهمة مشابهة جدا للمهمة السابقة. نبدأ في الحل بنفس الطريقة: أولاً نجد \ (د \).
\ (د = a_2-a_1 = -19 - (- 19.3) = 0.3 \)		سنقوم الآن باستبدال \ (d \) في صيغة المجموع ... وهنا يظهر فارق بسيط - لا نعرف \ (n \). بمعنى آخر ، لا نعرف عدد المصطلحات التي يجب إضافتها. كيف تعرف؟ لنفكر. سنتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك تحتاج إلى معرفة رقم هذا العنصر. كيف؟ دعنا نكتب معادلة حساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) لحالتنا.
\ (a_n = a_1 + (n-1) د \)
\ (أ_n = -19.3 + (ن -1) 0.3 \)		نحتاج أن يكون \ (a_n \) أكبر من الصفر. دعنا نكتشف ما سيحدث \ (n \) هذا.
\ (- 19.3+ (ن -1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \)		نقسم طرفي المتباينة على \ (0،3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19،3) (0،3) \)		ننقل ناقص واحد ، ولا ننسى تغيير العلامات
\ (n> \) \ (\ frac (19،3) (0،3) \) \ (+ 1 \)		الحوسبة ...
\ (n> 65333… \)		... واتضح أن أول عنصر موجب سيكون له الرقم \ (66 \). وفقًا لذلك ، فإن آخر سلبية لها \ (n = 65 \). فقط في حالة ، دعنا نتحقق من ذلك.
\ (n = 65 ؛ \) \ (أ_ (65) = - 19.3+ (65-1) 0.3 = -0.1 \) \ (n = 66 ؛ \) \ (أ_ (66) = - 19.3+ (66-1) 0.3 = 0.2 \)		وبالتالي ، نحتاج إلى إضافة عناصر \ (65 \) الأولى.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19،3) + (65-1) 0،3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38.6 + 19.2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630.5 \)		الجواب جاهز.

إجابة: \ (S_ (65) = - 630.5 \).

مثال (OGE). يُعطى التقدم الحسابي بالشروط: \ (a_1 = -33 \)؛ \ (أ_ (ن + 1) = أ_n + 4 \). أوجد المجموع من \ (26 \) th إلى \ (42 \) ضمناً.
حل:

\ (a_1 = -33 ؛ \) \ (أ_ (ن + 1) = أ_n + 4 \)	في هذه المشكلة ، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر ، ولكن ليس من الأول ، ولكن من \ (26 \) th. ليس لدينا صيغة لهذا. كيف تقرر؟ سهل - للحصول على المجموع من \ (26 \) إلى \ (42 \) ، يجب عليك أولاً إيجاد المجموع من \ (1 \) إلى \ (42 \) ، ثم طرح المجموع منه أول من \ (25 \) عشر (انظر الصورة).
	لتقدمنا ​​\ (a_1 = -33 \) ، والفرق \ (د = 4 \) (بعد كل شيء ، نضيف أربعة إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة هذا ، نجد مجموع أول \ (42 \) - أه عناصر.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ فارك (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	الآن مجموع العناصر \ (25 \) - الأولى.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ فارك (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	وأخيرًا ، نحسب الإجابة.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

إجابة: \ (ق = 1683 \).

للتقدم الحسابي ، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب قلة فائدتها العملية. ومع ذلك ، يمكنك العثور عليها بسهولة.

أو الحساب - هذا نوع من التسلسل العددي المرتب ، يتم دراسة خصائصه في دورة الجبر المدرسية. تناقش هذه المقالة بالتفصيل مسألة كيفية إيجاد مجموع التقدم الحسابي.

ما هذا التقدم؟

قبل الشروع في النظر في السؤال (كيفية إيجاد مجموع التقدم الحسابي) ، يجدر بنا فهم ما سيتم مناقشته.

أي تسلسل للأرقام الحقيقية التي يتم الحصول عليها عن طريق إضافة (طرح) بعض القيمة من كل رقم سابق يسمى التقدم الجبري (الحسابي). هذا التعريف ، المترجم إلى لغة الرياضيات ، يأخذ الشكل:

أنا هنا هو الرقم الترتيبي لعنصر السلسلة a i. وبالتالي ، بمعرفة رقم أولي واحد فقط ، يمكنك بسهولة استعادة السلسلة بأكملها. يُطلق على المعلمة d في الصيغة اسم فرق التقدم.

يمكن بسهولة إثبات أن المساواة التالية تنطبق على سلسلة الأرقام قيد الدراسة:

أ n \ u003d أ 1 + د * (ن - 1).

أي لإيجاد قيمة العنصر n بالترتيب ، أضف الفرق d إلى العنصر الأول a 1 n-1 مرة.

ما هو مجموع التقدم الحسابي: الصيغة

قبل إعطاء صيغة المبلغ المحدد ، يجدر النظر في حالة خاصة بسيطة. بالنظر إلى تقدم الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10 ، فأنت بحاجة إلى إيجاد مجموعها. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات في التقدم (10) ، فمن الممكن حل المشكلة بشكل مباشر ، أي جمع كل العناصر بالترتيب.

S 10 \ u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \ u003d 55.

يجدر النظر في واحد شيء مثير للاهتمام: نظرًا لأن كل مصطلح يختلف عن التالي بنفس القيمة d \ u003d 1 ، فإن الجمع الزوجي للأول مع العاشر ، والثاني مع التاسع ، وما إلى ذلك سيعطي نفس النتيجة. حقًا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

كما ترى ، لا يوجد سوى 5 من هذه المبالغ ، أي أقل مرتين بالضبط من عدد العناصر في السلسلة. ثم بضرب عدد المجاميع (5) في نتيجة كل مجموع (11) ، ستصل إلى النتيجة التي حصلت عليها في المثال الأول.

إذا قمنا بتعميم هذه الحجج ، فيمكننا كتابة التعبير التالي:

S n \ u003d n * (a 1 + a n) / 2.

يوضح هذا التعبير أنه ليس من الضروري على الإطلاق جمع جميع العناصر في صف واحد ، يكفي معرفة قيمة الأول a 1 والأخير a n ، وأيضًا الرقم الإجماليشروط

يُعتقد أن غاوس فكر أولاً في هذه المساواة عندما كان يبحث عن حل للمشكلة التي حددها معلم مدرسته: لتلخيص أول 100 عدد صحيح.

مجموع العناصر من م إلى ن: الصيغة

تجيب الصيغة الواردة في الفقرة السابقة على سؤال حول كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي (للعناصر الأولى) ، ولكن غالبًا في المهام من الضروري جمع سلسلة من الأرقام في منتصف التقدم. كيف افعلها؟

أسهل طريقة للإجابة على هذا السؤال هي النظر في المثال التالي: فليكن من الضروري إيجاد مجموع المصطلحات من mth إلى n. لحل المشكلة ، يجب تمثيل مقطع معين من m إلى n من التقدم كسلسلة أرقام جديدة. في مثل هذا العرض مصطلح شسيكون a m أولاً ، وسيتم ترقيم n n- (m-1). في هذه الحالة ، بتطبيق الصيغة القياسية للمبلغ ، سيتم الحصول على التعبير التالي:

S م n \ u003d (n - م + 1) * (أ م + أ ن) / 2.

مثال على استخدام الصيغ

معرفة كيفية العثور على مجموع التقدم الحسابي ، يجدر النظر في مثال بسيط لاستخدام الصيغ أعلاه.

يوجد أدناه تسلسل رقمي ، يجب أن تجد مجموع أعضائه ، بدءًا من الخامس وينتهي بالرقم الثاني عشر:

تشير الأرقام المعطاة إلى أن الفرق d يساوي 3. باستخدام التعبير الخاص بالعنصر n ، يمكنك إيجاد قيم العضوين الخامس والثاني عشر من التقدم. اتضح:

أ 5 \ u003d أ 1 + د * 4 \ u003d -4 + 3 * 4 \ u003d 8 ؛

أ 12 \ u003d أ 1 + د * 11 \ u003d -4 + 3 * 11 \ u003d 29.

من خلال معرفة قيم الأرقام الموجودة في نهايات التقدم الجبري قيد الدراسة ، وكذلك معرفة الأرقام في السلسلة التي تشغلها ، يمكنك استخدام صيغة المجموع التي تم الحصول عليها في الفقرة السابقة. يحصل:

S 5 12 \ u003d (12-5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن الحصول على هذه القيمة بشكل مختلف: أولاً ، ابحث عن مجموع أول 12 عنصرًا باستخدام الصيغة القياسية ، ثم احسب مجموع العناصر الأربعة الأولى باستخدام نفس الصيغة ، ثم اطرح الثاني من المجموع الأول .

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. لكن هناك كل أنواع المهام في هذا الموضوع. من الابتدائي إلى صلب جدا.

أولاً ، دعنا نتعامل مع معنى وصيغة المجموع. وبعد ذلك سنقرر. من أجل سعادتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل الخفض. للعثور على مجموع التقدم الحسابي ، ما عليك سوى إضافة جميع أعضائه بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة ، يمكنك إضافتها بدون أي معادلات. ولكن إذا كان هناك الكثير أو الكثير ... الإضافة مزعجة.) في هذه الحالة ، يتم حفظ الصيغة.

صيغة المجموع بسيطة:

دعنا نتعرف على نوع الأحرف المضمنة في الصيغة. هذا سوف يوضح الكثير.

S n هو مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الجمع الجميعأعضاء مع أولاًبواسطة آخر.انه مهم. أضف ما يصل بالضبط الجميعأعضاء على التوالي ، دون ثغرات ويقفز. وبالضبط ، بدءًا من أولاً.في الألغاز ، مثل إيجاد مجموع المصطلحين الثالث والثامن ، أو مجموع المصطلحات من الخامس إلى العشرين - التطبيق المباشرالصيغ مخيبة للآمال.)

أ 1 - أولاًعضو في التقدم. كل شيء واضح هنا ، إنه بسيط أولاًرقم الصف.

أ- آخرعضو في التقدم. الرقم الأخير من الصف. ليس اسمًا مألوفًا جدًا ، ولكن عند تطبيقه على المبلغ ، يكون مناسبًا جدًا. ثم سترى بنفسك.

ن هو رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم في الصيغة يتطابق مع عدد المصطلحات المضافة.

دعنا نحدد المفهوم آخرعضو أ. ملء السؤال: أي نوع من الأعضاء سوف آخر،إذا أعطيت بلا نهايةالمتوالية العددية؟

للحصول على إجابة موثوقة ، تحتاج إلى فهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و ... قراءة المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي ، يظهر المصطلح الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر) ، والتي يجب أن تكون محدودة.خلاف ذلك ، كمية محددة ومحددة فقط غير موجود.بالنسبة للحل ، لا يهم نوع التقدم المعطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف تُعطى: بسلسلة من الأرقام ، أو بصيغة العضو التاسع.

الشيء الأكثر أهمية هو فهم أن الصيغة تعمل من أول مصطلح للتقدم إلى المصطلح مع الرقم ن.في الواقع ، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع أول n من المصطلحات للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي ن، يتم تحديده من خلال المهمة فقط. في المهمة ، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة ، نعم ... لكن لا شيء ، في الأمثلة أدناه سنكشف هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام لمجموع التقدم الحسابي.

أولاً، معلومات مفيدة:

تتمثل الصعوبة الرئيسية في مهام مجموع التقدم الحسابي في التحديد الصحيح لعناصر الصيغة.

يقوم مؤلفو التخصيصات بتشفير هذه العناصر بالذات بخيال لا حدود له). الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. لفهم جوهر العناصر ، يكفي مجرد فك رموزها. دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تستند إلى GIA حقيقي.

1. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ ن = 2 ن -3.5. أوجد مجموع أول 10 حدود.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ وفقًا للصيغة ، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ أول عضو أ 1، الموسم الماضي أ، نعم رقم الفصل الأخير ن.

من أين تحصل على رقم العضو الأخير ن؟ نعم ، في نفس المكان ، في الحالة! تقول تجد المجموع أول 10 أعضاء.حسنًا ، ما هو الرقم الذي سيكون آخر،العضو العاشر؟) لن تصدقوا ، رقمه هو العاشر!) لذلك ، بدلا من أسنقوم بالتعويض في الصيغة أ 10، ولكن بدلا من ذلك ن- عشرة. مرة أخرى ، يكون عدد العضو الأخير هو نفسه عدد الأعضاء.

يبقى أن يتحدد أ 1و أ 10. يتم حساب ذلك بسهولة من خلال صيغة المصطلح n ، والذي يتم تقديمه في بيان المشكلة. لا أعرف كيف نفعل ذلك؟ قم بزيارة الدرس السابق ، بدون هذا - لا شيء.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

أ 10= 2 10 - 3.5 = 16.5

S n = ق 10.

اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. يبقى أن نستبدلهم ، ونحصي:

هذا كل ما في الامر. الجواب: 75.

مهمة أخرى على أساس الجماعة الإسلامية المسلحة. أكثر تعقيدًا:

2. بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن) ، يكون الفرق بينهما 3.7 ؛ أ 1 \ u003d 2.3. أوجد مجموع أول 15 حدًا.

نكتب على الفور صيغة الجمع:

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور على قيمة أي عضو برقمه. نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

يبقى استبدال جميع العناصر في الصيغة بمجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة ، إذا كان في صيغة الجمع بدلاً من أفقط استبدل صيغة الحد التاسع ، نحصل على:

نعطي معادلات مماثلة ، نحصل على صيغة جديدة لمجموع أعضاء التقدم الحسابي:

كما ترى ، ليست هناك حاجة المصطلح التاسع أ. في بعض المهام ، تساعد هذه الصيغة كثيرًا ، نعم ... يمكنك تذكر هذه الصيغة. ومن الممكن في اللحظة المناسبةمن السهل إخراجها ، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء ، يجب تذكر صيغة المجموع وصيغة الحد التاسع بكل طريقة.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع كل الأعداد الموجبة المكونة من رقمين والتي تكون مضاعفات العدد ثلاثة.

كيف! لا يوجد عضو أول ، لا أخير ، لا تقدم إطلاقا ... كيف تعيش !؟

سيكون عليك أن تفكر برأسك وتخرج من الشرط جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي. ما هي الأعداد المكونة من رقمين - نعلم. إنها تتكون من رقمين.) ما العدد المكون من رقمين أولاً؟ 10 ، يفترض.) آخر شيءرقم مكون من رقمين؟ 99 بالطبع! ستتبعه الثلاثة أرقام ...

مضاعفات الثلاثة ... حسنًا ... هذه هي الأعداد التي تقبل القسمة على ثلاثة بالتساوي ، هنا! عشرة لا يقبل القسمة على ثلاثة ، و 11 لا يقبل القسمة ... 12 ... يقبل القسمة! لذا ، هناك شيء ما آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة حسب حالة المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه السلسلة تقدمًا حسابيًا؟ بالتأكيد! يختلف كل مصطلح عن السابق بدقة بمقدار ثلاثة. إذا تمت إضافة 2 أو 4 إلى المصطلح ، على سبيل المثال ، النتيجة ، أي لن يتم تقسيم الرقم الجديد على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي إلى الكومة: د = 3.مفيد!)

لذلك ، يمكننا كتابة بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم ناخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن الرقم 99 هو خطأ قاتل ... الأرقام - دائمًا ما تكون متتالية ، ويقفز أعضاؤنا فوق المراكز الثلاثة الأولى. لا تتطابق.

هناك حلان هنا. طريقة واحدة هي للعمل الدؤوب الفائق. يمكنك رسم التقدم ، سلسلة الأرقام الكاملة ، وحساب عدد المصطلحات بإصبعك.) الطريقة الثانية هي للمدروس. عليك أن تتذكر صيغة الحد التاسع. إذا تم تطبيق الصيغة على مشكلتنا ، فسنحصل على أن 99 هو العضو الثلاثين في التقدم. أولئك. ن = 30.

ننظر إلى صيغة مجموع التقدم الحسابي:

نحن ننظر ونفرح.] سحبنا كل ما هو ضروري لحساب المبلغ من حالة المشكلة:

أ 1= 12.

أ 30= 99.

S n = ق 30.

ما تبقى هو الحساب الأولي. استبدل الأرقام الموجودة في الصيغة واحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز الشائعة:

4. يتم إعطاء تقدم حسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.

ننظر إلى صيغة المجموع و ... نحن مستاءون.) الصيغة ، دعني أذكرك ، تحسب المجموع من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المجموع منذ العشرين ...الصيغة لن تعمل.

يمكنك ، بالطبع ، رسم التقدم بأكمله على التوالي ، ووضع الأعضاء من 20 إلى 34. لكن ... بطريقة ما يتضح ذلك بغباء ولفترة طويلة ، أليس كذلك؟)

هناك حل أكثر أناقة. دعنا نقسم المتسلسلة إلى جزأين. الجزء الأول سوف من الفصل الأول إلى التاسع عشر.جزء ثان - عشرين إلى أربعة وثلاثين.من الواضح أننا إذا قمنا بحساب مجموع شروط الجزء الأول ق 1-19دعنا نضيفه إلى مجموع أعضاء الجزء الثاني ق 20-34، نحصل على مجموع التقدم من الحد الأول إلى الرابع والثلاثين ق 1-34. مثله:

ق 1-19 + ق 20-34 = ق 1-34

هذا يدل على أن للعثور على المجموع ق 20-34يمكن أن يتم عن طريق الطرح البسيط

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19

يتم النظر في كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو ، أي صيغة المجموع القياسية تنطبق عليهم تمامًا. هل نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من شرط المهمة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 حدًا وأول 34 حدًا ، سنحتاج إلى الحد التاسع عشر والرابع والثلاثين. نحسبها وفقًا لصيغة الحد التاسع ، كما في المشكلة 2:

أ 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

أ 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

لم يتبقى شيء. اطرح مجموع 19 مصطلحًا من مجموع 34 مصطلحًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة مهمة واحدة! هناك ميزة مفيدة للغاية في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ماذا تحتاج (س 20-34) ،حسبنا ما يبدو أنه ليس مطلوبًا - S 1-19.ثم قرروا ق 20-34، تجاهل غير الضروري من النتيجة الكاملة. غالبًا ما تنقذ مثل هذه "الخدعة بالأذنين" في الألغاز الشريرة).

في هذا الدرس ، قمنا بفحص المشكلات التي يكفيها فهم معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا ، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصيحة عملية:

عند حل أي مشكلة لمجموع التقدم الحسابي ، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين على الفور من هذا الموضوع.

صيغة المصطلح التاسع:

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما تبحث عنه ، وفي أي اتجاه تفكر من أجل حل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع كل الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في الملاحظة إلى المشكلة 4. حسنًا ، ستساعد المشكلة 3.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: أ 1 = -5.5 ؛ أ ن + 1 = أ ن +0.5. أوجد مجموع أول 24 حدًا.

غير عادي؟) هذه صيغة متكررة. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط ، فغالبًا ما توجد مثل هذه الألغاز في GIA.

7. ادخر Vasya المال للعطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المحبوب (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول ، وأنفق 50 روبل في كل يوم لاحق أكثر من اليوم السابق! حتى ينفد المال. كم يوما من السعادة امتلكها فاسيا؟

هل هو صعب؟) ستساعد الصيغة الإضافية من المهمة 2.

الإجابات (في حالة فوضى): 7 ، 3240 ، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.