احتمال حدوث حدث $ A $ هو نسبة عدد النتائج المفضلة لـ $ A $ إلى عدد جميع النتائج الممكنة المتساوية

$ P (A) = (m) / (n) $ ، حيث $ n $ هو العدد الإجمالي للنتائج المحتملة و $ m $ هو عدد النتائج لصالح $ A $.

احتمال وقوع حدث هو رقم من المقطع $$

تمتلك شركة سيارات الأجرة 50 دولارًا من السيارات المتاحة. 35 دولارًا منهم أسود ، والباقي أصفر. أوجد احتمال وصول سيارة صفراء إلى مكالمة عشوائية.

أوجد عدد السيارات الصفراء:

في المجموع ، هناك سيارات بقيمة 50 دولارًا ، أي أن واحدًا من كل خمسين سيأتي إلى المكالمة. هناك 15 دولارًا للسيارات الصفراء ، وبالتالي فإن احتمال وصول سيارة صفراء هو دولار (15) / (50) = (3) / (10) = 0.3 دولار

الجواب: 0.3 دولار

الأحداث المعاكسة

يقال إن حدثين متعارضين إذا كانا في محاكمة معينة غير متوافقين وحدث أحدهما بالضرورة. تضيف احتمالات الأحداث المعاكسة ما يصل إلى 1. يتم كتابة الحدث المعاكس للحدث $ A $ $ ((A)) ↖ (-) $.

$ P (A) + P ((A)) ↖ (-) = 1 دولار

أحداث مستقلة

يقال إن حدثين $ A $ و $ B $ مستقلان إذا كان احتمال حدوث كل منهما لا يعتمد على ما إذا كان الحدث الآخر قد حدث أم لا. خلاف ذلك ، تسمى الأحداث التابعة.

إن احتمال حاصل ضرب حدثين مستقلين $ A $ و $ B $ يساوي حاصل ضرب هذين الاحتمالين:

$ P (A B) = P (A) P (B) $

اشترى إيفان إيفانوفيتش تذكرتي يانصيب مختلفتين. احتمالية فوز الأول بطاقة اليانصيب، يساوي 0.15 دولار. احتمال فوز تذكرة اليانصيب الثانية هو 0.12 دولار. إيفان إيفانوفيتش يشارك في كلا السحبين. بافتراض أن السحوبات يتم إجراؤها بشكل مستقل عن بعضها البعض ، ابحث عن احتمال فوز إيفان إيفانوفيتش في كلا التعادلين.

احتمال $ P (A) $ - يفوز بالتذكرة الأولى.

احتمال $ P (B) $ - يفوز بالتذكرة الثانية.

الأحداث $ A $ و $ B $ أحداث مستقلة. أي ، للعثور على احتمال وقوع كلا الحدثين ، تحتاج إلى إيجاد حاصل ضرب الاحتمالات

$ P (A B) = P (A) P (B) $

دولار P = 0.15 0.12 = 0.018 دولار

الجواب: 0.018 دولار

أحداث غير متوافقة

يقال إن حدثين $ A $ و $ B $ غير متوافقين إذا لم تكن هناك نتائج لصالح كلا الحدثين $ A $ والحدث $ B $. (الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت)

احتمال مجموع حدثين غير متوافقين $ A $ و $ B $ يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

$ P (A + B) = P (A) + P (B) $

في امتحان الجبر ، يحصل الطالب على سؤال واحد من جميع الاختبارات. احتمال أن يكون هذا سؤالاً حول الموضوع " المعادلات التربيعية"، يساوي 0.3 دولار. احتمال أن يكون هذا سؤالاً حول الموضوع " المعادلات غير المنطقية"، يساوي 0.18 دولار. لا توجد أسئلة تتعلق بهذين الموضوعين في نفس الوقت. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الاختبار.

تسمى هذه الأحداث غير متوافقة ، حيث سيحصل الطالب على سؤال إما حول موضوع "المعادلات الرباعية" ، أو حول موضوع "المعادلات غير المنطقية". لا يمكن اكتشاف المواضيع في نفس الوقت. احتمال مجموع حدثين غير متوافقين $ A $ و $ B $ يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

$ P (A + B) = P (A) + P (B) $

دولار P \ u003d 0.3 + 0.18 = 0.48 دولار

الجواب: 0.48 دولار

الأحداث المشتركة

يقال إن حدثين مشتركين إذا كان وقوع أحدهما لا يستبعد حدوث الآخر في نفس المحاكمة. خلاف ذلك ، تسمى الأحداث غير متوافقة.

إن احتمال مجموع حدثين مشتركين $ A $ و $ B $ يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين مطروحًا منه احتمال حاصل ضربهما:

$ P (A + B) = P (A) + P (B) -P (A B) $

هناك نوعان من آلات القهوة متطابقة في بهو السينما. احتمالية نفاد القهوة من الآلة بنهاية اليوم هي 0.6 دولار. احتمال نفاد القهوة من كلا الجهازين هو 0.32 دولار. أوجد احتمال نفاد قهوة واحدة على الأقل من ماكينات البيع بنهاية اليوم.

دعنا نشير إلى الأحداث ، دعنا:

$ A $ = ستنتهي القهوة في الآلة الأولى ،

$ B $ = ستنتهي القهوة في الآلة الثانية.

$ A B = القهوة بالدولار الأمريكي سوف تنفد في كلتا ماكينات البيع ،

$ A + B = القهوة بالدولار الأمريكي سوف تنفد في آلة بيع واحدة على الأقل.

حسب الاصطلاح ، $ P (A) = P (B) = 0.6 ؛ P (A B) = 0.32 دولار.

الحدثان $ A $ و $ B $ مشتركان ، واحتمال مجموع حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين ، مخفضًا باحتمالية منتجهما:

$ P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0.6 + 0.6 - 0.32 = 0.88 دولار.

احتمالا. مهام امتحان الملف الشخصي في الرياضيات.

من إعداد مدرس الرياضيات في MBOU "Lyceum No. 4" ، Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

تعريف الاحتمال

احتمالا أحداث A استدعاء نسبة الرقم م نتائج مواتية لهذا الحدث ل الرقم الإجمالي ن جميع الأحداث غير المتوافقة الممكنة بشكل متساوٍ والتي يمكن أن تحدث نتيجة اختبار أو ملاحظة واحدة:

م

ن

يترك ك - عدد رميات العملة ، ثم عدد النتائج المحتملة: ن = 2 ك .

يترك ك - عدد رمي النرد ، ثم عدد النتائج المحتملة: ن = 6 ك .

في تجربة عشوائية ، يتم رمي عملة متماثلة مرتين. أوجد احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة بالضبط.

المحلول.

4 خيارات فقط: حول؛ أوه أوه ص ص ؛ ص ص ؛ حول .

مواتية 2: حول؛ ر و ص ؛ حول .

الاحتمال هو 2/4 = 1/2 = 0,5 .

الجواب: 0.5.

في تجربة عشوائية ، تم رمي نردتين. أوجد احتمال الحصول على 8 نقاط إجمالاً. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

المحلول.

النرد هو النرد مع 6 جوانب. يمكن أن يتدحرج القالب الأول 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 نقاط. يتوافق كل خيار تسجيل مع 6 خيارات للتسجيل في النرد الثاني.

أولئك. المجموع خيارات مختلفة 6 × 6 = 36.

ستكون الخيارات (نتائج التجربة) كما يلي:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

إلخ. ...............................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

دعنا نحسب عدد النتائج (الخيارات) التي يكون فيها مجموع نقطتي نرد 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

فقط 5 خيارات.

لنجد الاحتمال: 5/36 = 0.138 ≈ 0.14.

الجواب: 0.14.

يوجد إجمالي 55 تذكرة في مجموعة تذاكر علم الأحياء ، 11 منها تحتوي على سؤال حول علم النبات. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول علم النبات في تذكرة اختبار تم اختيارها عشوائيًا.

المحلول:

احتمال حصول الطالب على سؤال حول علم النبات في بطاقة اختبار تم اختيارها عشوائيًا هو 11/55 = 1/5 = 0.2.

الجواب: 0.2.

يشارك 20 رياضيا في بطولة الجمباز: 8 من روسيا و 7 من الولايات المتحدة والباقي من الصين. يتم تحديد الترتيب الذي يؤديه لاعبو الجمباز بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون أول رياضي يتنافس من الصين.

المحلول.

هناك 20 رياضيا في المجموع.

منهم 20 - 8 - 7 = 5 رياضيين من الصين.

احتمال أن يكون الرياضي الذي ينافس أولاً من الصين هو 5/20 = 1/4 = 0.25.

الجواب: 0.25.

يعقد المؤتمر العلمي في 5 أيام. تم التخطيط لما مجموعه 75 تقريراً - الأيام الثلاثة الأولى ، 17 تقريراً لكل منها ، والباقي موزعة بالتساوي بين اليومين الرابع والخامس. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم جدولة تقرير الأستاذ م في اليوم الأخير من المؤتمر؟

المحلول:

تم تحديد اليوم الأخير من المؤتمر

(75 - 17 × 3): 2 = 12 تقرير.

احتمال جدولة تقرير الأستاذ M. في اليوم الأخير من المؤتمر هو 12/75 = 4/25 = 0.16.

الجواب: 0.16.

قبل بدء الجولة الأولى من بطولة كرة الريشة ، يتم تقسيم المشاركين بشكل عشوائي إلى أزواج من خلال سحب القرعة. في المجموع ، يشارك 26 لاعبا في كرة الريشة في البطولة ، بما في ذلك 10 مشاركين من روسيا ، بما في ذلك رسلان أورلوف. أوجد احتمال أن يلعب رسلان أورلوف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس ريشة من روسيا؟

المحلول:

وتجدر الإشارة إلى أن رسلان أورلوف يجب أن يلعب مع لاعب تنس الريشة من روسيا. ورسلان أورلوف نفسه من روسيا أيضًا.

احتمال أن يلعب رسلان أورلوف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس ريشة من روسيا هو 9/25 = 36/100 = 0.36.

الجواب: 0.36.

رمى داشا مرتين حجر النرد. سجلت 8 نقاط في المجموع. أوجد احتمال الحصول على 2 من الرمية الأولى.

المحلول.

في المجموع ، يجب أن يتدحرج النردان 8 نقاط. هذا ممكن إذا كانت هناك المجموعات التالية:

فقط 5 خيارات. دعنا نحسب عدد النتائج (الخيارات) التي سقطت فيها نقطتان في أول لفة.

هذا الخيار هو 1.

أوجد الاحتمال: 1/5 = 0.2.

الجواب: 0.2.

هناك 20 فريقًا يشاركون في بطولة العالم. بمساعدة الكثير ، يجب تقسيمهم إلى خمس مجموعات من أربعة فرق لكل منها. يوجد في المربع بطاقات مختلطة بأرقام المجموعة:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

يقوم قادة الفريق برسم بطاقة واحدة لكل منهم. ما هو احتمال أن يكون المنتخب الروسي في المجموعة الثالثة.

المحلول:

هناك 20 فريقًا في المجموع ، 5 مجموعات.

كل مجموعة لديها 4 فرق.

إذن ، في المجموع ، حصلنا على 20 نتيجة ، واحتجنا إلى 4 ، مما يعني أن احتمال سقوط النتيجة المرجوة هو 4/20 = 0.2.

الجواب: 0.2.

مصنعان ينتجان نفس الزجاج لمصابيح السيارات. ينتج المصنع الأول 45٪ من هذه الزجاجات ، والثاني - 55٪. ينتج المصنع الأول 3٪ من الزجاج المعيب ، والثاني - 1٪. أوجد احتمالية أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في المتجر سيكون به عيب.

المحلول:

احتمال شراء الزجاج من المصنع الأول ووجود عيب فيه:

ر 1 = 0.45 0.03 = 0.0135.

احتمال شراء الزجاج من المصنع الثاني ووجود عيب فيه:

ر 2 = 0.55 0.01 = 0.0055.

لذلك ، وفقًا للصيغة الاحتمال الكاملتساوي احتمالية أن يكون الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في المتجر معيبًا

ع = ص 1 + ص 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

الجواب: 0.019.

إذا لعب Grandmaster A. لعب باللون الأبيض ، فإنه يفوز بالسيد الكبير B. باحتمال 0.52. إذا لعب A. باللون الأسود ، فإن A. تتفوق على B. مع احتمال 0.3.

يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين.

المحلول:

فرص الفوز في المباراتين الأولى والثانية مستقلة عن بعضها البعض. احتمال إنتاج أحداث مستقلة يساوي ناتج احتمالاتها:

ص = 0.52 0.3 = 0.156.

الجواب: 0.156.

يطلق اللاعب الرياضي النار على الأهداف خمس مرات. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.8. أوجد احتمال أن يكون الرياضي قد أصاب الأهداف في أول ثلاث مرات وأخطأ في آخر مرتين. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

المحلول:

نتيجة كل لقطة تالية لا تعتمد على السابقة. لذلك ، فإن الأحداث "إصابة من الطلقة الأولى" ، "إصابة في الطلقة الثانية" ، إلخ. لا يعتمد.

احتمال كل نتيجة 0.8. لذا فإن احتمال الخطأ هو 1 - 0.8 = 0.2.

طلقة واحدة: 0.8

طلقة واحدة: 0.8

3 طلقة: 0.8

4 طلقة: 0.2

5 طلقة: 0.2

وفقًا لصيغة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة ، نجد أن الاحتمال المطلوب يساوي:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

الجواب: 0.02.

يحتوي المتجر على جهازي دفع. يمكن أن يكون كل واحد منهم معيبًا باحتمال 0.05 ، بغض النظر عن الجهاز الآلي الآخر. أوجد احتمال أن يكون جهازًا واحدًا على الأقل صالحًا للخدمة.

المحلول:

أوجد احتمال أن كلا الآليين معيبان.

هذه الأحداث مستقلة ، واحتمال ناتجها يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث:

0.05 0.05 = 0.0025.

حدث يتألف من حقيقة أن آلة واحدة على الأقل صالحة للخدمة هو عكس ذلك.

لذلك ، فإن احتمالها هو

1 − 0,0025 = 0,9975.

الجواب: 0.9975.

يضرب كاوبوي جون ذبابة على الحائط باحتمال 0.9 إذا أطلق النار بمسدس طلقة. إذا أطلق جون مسدسًا غير مسدس ، فإنه يضرب ذبابة باحتمال 0.2. هناك 10 مسدسات على الطاولة ، تم إطلاق 4 منها فقط. يرى كاوبوي جون ذبابة على الحائط ، يمسك عشوائيًا بأول مسدس يصادفه ويطلق النار بسرعة. أوجد الاحتمال الذي أخطأه جون.

المحلول:

احتمال أن يخطئ جون إذا انتزع مسدس رصاصة هو:

0.4 (1 - 0.9) = 0.04

احتمالية أن يفوتك جون إذا أمسك بمسدس غير مسدس هو:

0.6 (1 - 0.2) = 0.48

هذه الأحداث غير متوافقة ، واحتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

0,04 + 0,48 = 0,52.

الجواب: 0.52.

أثناء إطلاق القصف المدفعي ، يقوم النظام الأوتوماتيكي بإطلاق النار على الهدف. إذا لم يتم تدمير الهدف ، يتم إطلاق النظام مرة أخرى. تتكرر الطلقات حتى يتم تدمير الهدف. احتمال تدمير هدف معين من الطلقة الأولى هو 0.4 ، وفي كل لقطة لاحقة يكون 0.6. كم عدد الطلقات المطلوبة للتأكد من أن احتمال تدمير الهدف لا يقل عن 0.98؟

المحلول:

يمكنك حل المشكلة "بالأفعال" ، بحساب احتمالية النجاة بعد سلسلة من الأخطاء المتتالية:

الفوسفور (1) = 0.6 ؛

ف (2) = ف (1) 0.4 = 0.24 ؛

ف (3) = ف (2) 0.4 = 0.096 ؛

الفوسفور (4) = P (3) 0.4 = 0.0384 ؛

الفوسفور (5) = P (4) 0.4 = 0.01536.

الاحتمال الأخير أقل من 0.02 ، لذا يكفي خمس تسديدات على الهدف.

الجواب: 5.

هناك 26 شخصًا في الفصل ، من بينهم توأمان - أندري وسيرجي. ينقسم الفصل بشكل عشوائي إلى مجموعتين من 13 شخصًا لكل منهما. أوجد احتمال أن يكون أندري وسيرجي في نفس المجموعة.

المحلول:

دع أحد التوائم في مجموعة ما.

سويًا معه ، سيكون 12 شخصًا من بين 25 من زملاء الدراسة المتبقين في المجموعة.

احتمال أن يكون التوأم الثاني من بين هؤلاء الـ 12 شخصًا يساوي

P = 12:25 = 0.48.

الجواب: 0.48.

تظهر الصورة متاهة. يزحف العنكبوت إلى المتاهة عند نقطة "المدخل". لا يستطيع العنكبوت الدوران والزحف للخلف ، لذلك يختار العنكبوت عند كل مفترق أحد المسارات التي لم يزحف إليها بعد. بافتراض أن اختيار المسار الإضافي عشوائي تمامًا ، حدد باحتمالية خروج العنكبوت من D.

المحلول:

في كل من الشوكات الأربعة المحددة ، يمكن للعنكبوت أن يختار إما المسار المؤدي إلى الخروج D أو مسارًا آخر باحتمال 0.5. هذه أحداث مستقلة ، واحتمال منتجها (يصل العنكبوت إلى المخرج D) يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث. لذلك فإن احتمال القدوم إلى المخرج D هو (0.5). 4 = 0,0625.

تم تقديمه حتى الآن في البنك المفتوح لمشاكل الاستخدام في الرياضيات (mathege.ru) ، والتي يعتمد حلها على صيغة واحدة فقط ، وهي تعريف كلاسيكي للاحتمال.

أسهل طريقة لفهم الصيغة هي باستخدام الأمثلة.
مثال 1توجد 9 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء في السلة. تختلف الكرات في اللون فقط. عشوائيا (دون النظر) نحصل على واحد منهم. ما هو احتمال أن تكون الكرة المختارة بهذه الطريقة زرقاء؟

تعليق.في مسائل نظرية الاحتمالات ، يحدث شيء ما (في هذه القضيةعملنا على رسم الكرة) ، والذي قد يكون نتيجة مختلفة- حصيلة. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن عرض النتيجة بطرق مختلفة. "لقد سحبنا كرة" هي أيضًا نتيجة. كانت النتيجة "سحبنا الكرة الزرقاء". "لقد سحبنا هذه الكرة بالذات من جميع الكرات الممكنة" - هذه النظرة الأقل عمومية للنتيجة تسمى النتيجة الأولية. إنها النتائج الأولية المقصودة في صيغة حساب الاحتمال.

المحلول.الآن نحسب احتمال اختيار كرة زرقاء.
الحدث أ: "تحولت الكرة المختارة إلى اللون الأزرق"
العدد الإجمالي لجميع النتائج المحتملة: 9 + 3 = 12 (عدد الكرات التي يمكننا رسمها)
عدد النتائج المواتية للحدث أ: 3 (عدد هذه النتائج التي حدث فيها الحدث أ - أي عدد الكرات الزرقاء)
الفوسفور (أ) = 3/12 = 1/4 = 0.25
الجواب: 0.25

دعونا نحسب احتمال اختيار كرة حمراء لنفس المشكلة.
سيظل العدد الإجمالي للنتائج المحتملة كما هو ، 12. عدد النتائج الإيجابية: 9. الاحتمال المرغوب: 9/12 = 3/4 = 0.75

يقع احتمال أي حدث دائمًا بين 0 و 1.
في بعض الأحيان في الحديث اليومي (ولكن ليس في نظرية الاحتمالات!) يتم تقدير احتمالية الأحداث كنسبة مئوية. يتم الانتقال بين التقييم الرياضي والمحادثات عن طريق الضرب (أو القسمة) بنسبة 100٪.
لذا،
في هذه الحالة ، يكون الاحتمال صفراً للأحداث التي لا يمكن أن تحدث - غير محتمل. على سبيل المثال ، في مثالنا ، سيكون هذا هو احتمال سحب كرة خضراء من السلة. (عدد النتائج المفضلة هو 0 ، P (A) = 0/12 = 0 إذا تم حسابها وفقًا للصيغة)
يحتوي الاحتمال 1 على أحداث ستحدث بالتأكيد بلا خيارات. على سبيل المثال ، احتمال أن تكون الكرة المختارة إما حمراء أو زرقاء هو لمشكلتنا. (عدد النتائج الإيجابية: 12 ، P (A) = 12/12 = 1)

لقد نظرنا إلى مثال كلاسيكي يوضح تعريف الاحتمال. كل ما شابه ذلك مهام الاستخداموفقًا لنظرية الاحتمالات يتم حلها من خلال تطبيق هذه الصيغة.
بدلاً من الكرات الحمراء والزرقاء ، يمكن أن يكون هناك التفاح والكمثرى ، الأولاد والبنات ، التذاكر المكتسبة وغير المكتسبة ، التذاكر التي تحتوي ولا تحتوي على سؤال حول موضوع معين (نماذج أولية) ، أكياس معيبة وعالية الجودة أو مضخات حديقة (نماذج أولية) ،) - المبدأ يبقى كما هو.

تختلف قليلاً في صياغة مشكلة النظرية احتمالات الاستخدام، حيث تحتاج إلى حساب احتمال وقوع حدث في يوم معين. (،) كما في المهام السابقة ، تحتاج إلى تحديد النتيجة الأولية ، ثم تطبيق نفس الصيغة.

مثال 2المؤتمر يستمر ثلاثة أيام. في اليومين الأول والثاني ، 15 متحدثًا ، في اليوم الثالث - 20. ما هو احتمال سقوط تقرير الأستاذ "م" في اليوم الثالث ، إذا تم تحديد ترتيب التقارير بالقرعة؟

ما هي النتيجة الأولية هنا؟ - إسناد تقرير أستاذ إلى واحد ممكن الأرقام التسلسليةمن أجل الأداء. 15 + 15 + 20 = 50 شخصًا يشاركون في السحب. وبالتالي ، يمكن أن يتلقى تقرير الأستاذ M. واحدًا من 50 رقمًا. هذا يعني أن هناك 50 نتيجة أولية فقط.
ما هي النتائج الإيجابية؟ - تلك التي تبين أن الأستاذ سيتحدث في اليوم الثالث. أي ، آخر 20 رقمًا.
وفقًا للصيغة ، فإن الاحتمال P (A) = 20/50 = 2/5 = 4/10 = 0.4
الجواب: 0.4

سحب القرعة هنا هو إنشاء مراسلات عشوائية بين الأشخاص والأماكن المرتبة. في المثال 2 ، تم النظر في المطابقة من حيث الأماكن التي يمكن أن يشغلها شخص معين. يمكنك التعامل مع نفس الموقف من الجانب الآخر: أي من الأشخاص الذين لديهم احتمالية يمكن أن تصل إلى مكان معين (النماذج الأولية ، ، ،):

مثال 3يشارك في القرعة 5 ألمان و 8 فرنسيين و 3 إستونيين. ما هو احتمال أن يكون الأول (/ الثاني / السابع / الأخير - لا يهم) فرنسيًا.

عدد النتائج الأولية هو عدد الكل الناس المحتملينمن يمكنه الوصول إلى هذا المكان بالقرعة. 5 + 8 + 3 = 16 فردًا.
نتائج مواتية - الفرنسيون. 8 أشخاص.
الاحتمال المطلوب: 8/16 = 1/2 = 0.5
الجواب: 0.5

النموذج الأولي مختلف قليلاً. هناك مهام أكثر إبداعًا حول العملات المعدنية () والنرد (). يمكن العثور على حلول لهذه المشكلات في صفحات النماذج الأولية.

فيما يلي بعض الأمثلة على رمي العملات المعدنية أو رمي النرد.

مثال 4عندما نرمى قطعة نقود ، ما هو احتمال الحصول على ذيول؟
المخرجات 2 - رؤوس أو ذيول. (يُعتقد أن العملة لا تقع أبدًا على الحافة) نتيجة إيجابية - ذيول ، 1.
الاحتمال 1/2 = 0.5
الجواب: 0.5.

مثال 5ماذا لو قلبنا قطعة نقود مرتين؟ ما هو احتمالية ظهوره على الوجه في المرتين؟
الشيء الرئيسي هو تحديد النتائج الأولية التي سنأخذها في الاعتبار عند رمي عملتين. بعد رمي عملتين ، يمكن أن تحدث إحدى النتائج التالية:
1) PP - في المرتين ظهرت ذيول
2) PO - ذيول المرة الأولى ، رؤوس المرة الثانية
3) OP - أول مرة يرأس ، وذيول المرة الثانية
4) OO - يرأس في المرتين
ليس هناك من خيارات اخرى. هذا يعني أن هناك 4 نتائج أولية ، الأولى فقط هي الأفضل ، 1.
الاحتمال: 1/4 = 0.25
الجواب: 0.25

ما هو احتمال أن تهبط رميتان لعملة على ذيول مرة واحدة؟
عدد النتائج الأولية هو نفسه ، 4. النواتج الإيجابية هي الثانية والثالثة ، 2.
احتمال الحصول على ذيل واحد: 2/4 = 0.5

في مثل هذه المشاكل ، قد تكون هناك صيغة أخرى في متناول اليد.
إذا حصلنا على نتيجتين محتملتين في رمية واحدة لعملة واحدة ، فسيكون هناك 2 2 = 2 2 = 4 (كما في المثال 5) ، لثلاث رميات 2 2 = 2 3 = 8 ، لأربعة : 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16 ، ... من أجل N رميات من النتائج المحتملة سيكون هناك 2 · 2 · ... · 2 = 2 N.

لذلك ، يمكنك إيجاد احتمال الحصول على 5 ذيول من 5 رميات للعملة.
العدد الإجمالي للنتائج الأولية: 2 5 = 32.
النتائج الإيجابية: 1. (RRRRRR - جميع الذيل الخمس)
الاحتمال: 1/32 = 0.03125

وينطبق الشيء نفسه على النرد. برمية واحدة ، يكون هناك 6 نتائج محتملة ، لذلك ، لرميتين: 6 6 = 36 ، لثلاثة 6 6 6 = 216 ، إلخ.

مثال 6نرمي النرد. ما هو احتمال الحصول على رقم زوجي؟

إجمالي النتائج: 6 ، حسب عدد الوجوه.
مواتية: 3 نتائج. (2، 4، 6)
الاحتمال: 3/6 = 0.5

مثال 7رمي اثنين من النرد. ما هو احتمال أن يكون المجموع 10؟ (تقريبًا إلى جزء من مائة)

هناك 6 نتائج محتملة لموت واحد. وبالتالي ، بالنسبة إلى شخصين ، وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه ، 6 · 6 = 36.
ما هي النتائج التي ستكون مواتية لتساقط إجمالي 10؟
يجب أن تتحلل 10 إلى مجموع رقمين من 1 إلى 6. ويمكن القيام بذلك بطريقتين: 10 = 6 + 4 و 10 = 5 + 5. لذلك ، بالنسبة للمكعبات ، الخيارات ممكنة:
(6 في الأول و 4 في الثاني)
(4 في الأول و 6 في الثاني)
(5 في الأول و 5 في الثاني)
في المجموع ، 3 خيارات. الاحتمال المطلوب: 3/36 = 1/12 = 0.08
الجواب: 0.08

ستتم مناقشة الأنواع الأخرى من مشكلات B6 في إحدى مقالات "كيفية الحل" التالية.

حدث عشوائي أي حدث قد يحدث أو لا يحدث نتيجة لبعض التجارب.

احتمالية الحدث ريساوي نسبة عدد النتائج المواتية كمن بين جميع النتائج الممكنة. ن، بمعنى آخر.

ع = \ فارك (ك) (ن)

صيغ جمع وضرب نظرية الاحتمالات

حدث شريط (أ) اتصل مقابل الحدث أ ، إذا لم يحدث الحدث "أ".

مجموع الاحتمالات الأحداث المعاكسة تساوي واحدًا ، أي

الفوسفور (\ بار (أ)) + ف (أ) = 1

• لا يمكن أن يكون احتمال وقوع حدث أكبر من 1.
• إذا كان احتمال وقوع حدث يساوي 0 ، فلن يحدث ذلك.
• إذا كان احتمال وقوع حدث هو 1 ، فسيحدث.

نظرية الجمع الاحتمالية:

"احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث."

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب)

احتمالا كمياتحدثين مشتركينيساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث دون مراعاة حدوثها المشترك:

الفوسفور (أ + ب) = الفوسفور (أ) + الفوسفور (ب) - الفوسفور (أب)

نظرية الضرب الاحتمالية

"احتمال حاصل ضرب حدثين يساوي حاصل ضرب احتمالات أحدهما احتمال مشروطآخر محسوب بشرط أن يكون الأول.

P (AB) = P (A) * P (B)

التطورات اتصل غير متوافق, إذا كان مظهر أحدهما يستبعد ظهور الآخرين. أي ، يمكن أن يحدث حدث معين واحد فقط ، أو آخر.

التطورات اتصل مشترك, إلا إذا كان وقوع أحدهما يحول دون وقوع الآخر.

حدثان عشوائيان يتم استدعاء A و B لا يعتمد, إذا كان حدوث أحدهما لا يغير من احتمال حدوث الآخر. خلاف ذلك ، يطلق على الأحداث A و B اسم تابع.