"نظرية الاحتمال في مهام الامتحان والأوج". مهام OGE. نظرية الاحتمالات

مهمة 1.

في شركة سيارات الأجرة هذه اللحظة 10 سيارات مجانية: 1 سوداء و 1 صفراء و 8 خضراء.في مكالمة ، غادرت إحدى السيارات ، والتي تصادف أنها الأقرب إلى العميل.أوجد احتمال وصول سيارة أجرة صفراء.

هناك 10 سيارات إجمالاً ، 1 منها صفراء ، لذا فإن الاحتمال المطلوب هو P = 1/10 = 0.1.

الجواب: 0.1.

المهمة 2.

في امتحان الهندسة ، يواجه الطالب مشكلة واحدة من المجموعة.احتمال أن تكون هذه مشكلة دائرة هو 0.45. احتمال أن تكون هذه مشكلة في موضوع "المنطقة" هو 0.25. لا توجد مشاكل في المجموعة تتعلق في نفس الوقت بهذين الموضوعين. أوجد احتمال أن يواجه الطالب مشكلة في أحد هذين الموضوعين في الامتحان.

P = 0.45 + 0.25 = 0.7.

الجواب: 0.7.

المهمة 3.

يبيع متجر القرطاسية 118 قلمًا، منها 32 باللون الأحمر ، و 39 باللون الأخضر ، و 7 باللون الأرجواني ، ولا يزال هناك اللون الأزرق والأسود ، وهي مقسمة بالتساوي. ابحث عن احتمال أنه إذا تم اختيار قلم واحد عشوائيًا ، فسيتم اختيار قلم أخضر أو قلم أسود.

32 + 39 + 7 = 78 - مجموع الأقلام الحمراء والخضراء والأرجوانية. ثم الأزرق والأسود معًا - (118-78) = 40. وبما أن الأزرق والأسود يقسمان بالتساوي ، فإن 40/2 = 20 - أقلام سوداء. إذن ، أسود وأخضر معًا 20 + 39 = 59 قلمًا.

بعد ذلك ، نظرًا لوجود 118 مقبض في المجموع ، فإن الاحتمال المطلوب هو P = 59/118 = 1/2 = 0.5.

الجواب: 0.5.

المهمة 4.

يبيع متجر القرطاسية 138 قلمًا، منها 34 لونًا أحمر ، و 23 لونًا أخضر ، و 11 لونًا بنفسجي ، ولا يزال هناك أزرق وأسود ، وهما مقسمان بالتساوي. أوجد احتمالية أنه إذا تم اختيار قلم واحد عشوائيًا ، فسيتم اختيار قلم أحمر أو قلم أسود.

تعرف على عدد الأقلام السوداء الموجودة في المتجر.

34 + 23 + 11 = 68 مجموع أقلام حمراء وخضراء وبنفسجية. ثم الأزرق والأسود معًا - (138-68) = 70. وبما أن الأزرق والأسود منقسمان بالتساوي ، فإن 70/2 = 35 - أقلام سوداء. إذن هناك 34 + 35 = 69 قلمًا أسود وأحمر معًا.

بعد ذلك ، نظرًا لوجود 138 مقبض في المجموع ، فإن الاحتمال المطلوب هو P = 69/138 = 1/2 = 0.5.

الجواب: 0.5.

المهمة 5.

تلفاز سفيتا معطل ويظهر قناة عشوائية واحدة فقط.يضيء الضوء على التلفزيون. في هذا الوقت ، يتم عرض الكوميديا على أربع قنوات من أصل عشرين قناة. ابحث عن احتمال وصول Sveta إلى القناة حيث لا يتم تشغيل الكوميديا.

الكوميديا ليست على 20-4 = 16 قناة.

هذا يعني أن احتمال سقوط الضوء على إحدى القنوات الستة عشر هو P = 16/20 = 4/5 = 0.8.

الجواب: 0.8.

المهمة 6.

في المتوسط ، من بين كل 80 بطارية مباعة ، يتم شحن 68 بطارية. أوجد احتمالية عدم شحن البطارية المشتراة.

إجمالي البطاريات غير المشحونة: 80-68 = 12.

الاحتمال المطلوب هو P = 12/80 = 3/20 = 0.15.

الجواب: 0.15.

المهمة 7.

في المتوسط ، يوجد مصباحان كشافان معيبان لكل 50 مصباحًا كشافًا. أوجد احتمال شراء مصباح يدوي يعمل.

بالنسبة لـ 50 مصباحًا كشافًا ، يوجد 50-2 = 48 مصباحًا صالحًا للخدمة.

لذلك ، فإن احتمال شراء مصباح يدوي هو P = 48/50 = 0.96.

مهام التحضير لـ OGE والاستخدام حسب الاحتمالية

يشارك 6 رياضيين من اليونان و 4 رياضيين من بلغاريا و 3 رياضيين من رومانيا و 7 من المجر في مسابقة رمي الجلة. يتم تحديد ترتيب تنافس الرياضيين بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون آخر المنافسين من المجر.

الحل: إجمالي النتائج 4 + 6 + 7 + 3 = 20 ؛ مفضل - 7. الإجابة: 7/20 = 0.35

تعمل الحافلة يوميًا من وسط المنطقة إلى القرية. احتمال أن يكون هناك أقل من 30 راكبًا في الحافلة يوم الاثنين هو 0.94. احتمال أن يكون هناك أقل من 20 راكبًا هو 0.56. أوجد احتمال أن يكون عدد الركاب بين 20 و 29.

الحل: الاحتمال المطلوب هو P = 0.94−0.56 = 0.38. الإجابة 0.38

يعقد المؤتمر العلمي في 5 أيام. تم التخطيط لما مجموعه 75 تقريراً - الأيام الثلاثة الأولى ، 17 تقريراً لكل منها ، والباقي موزعة بالتساوي بين اليومين الرابع والخامس. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم جدولة تقرير البروفيسور بريوبرازينسكي في اليوم الأخير من المؤتمر؟

الحل: دعنا نستخدم التعريف الكلاسيكي للاحتمال. حسب حالة المشكلة ، يوجد 12 تقريرًا في اليوم الأخير ، وهناك 75 تقريرًا إجمالاً ، ثم الاحتمال المطلوب هو P = 12/75 = 0.16. الإجابة 0.16

حضر الندوة 3 علماء من النرويج و 3 من روسيا و 4 من إسبانيا. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. أوجد احتمال أن يكون الثامن هو تقرير عالم من روسيا. الجواب: 0.3

حضر الندوة 3 علماء من إندونيسيا و 3 من كمبوديا و 4 من تشيلي و 10 علماء آخرين من أوروبا. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. أوجد احتمال أن تكون الورقة الثامنة ورقة بحثية لعالم من إندونيسيا. الجواب: 0.15

يشارك 6 رياضيين من بريطانيا العظمى و 3 رياضيين من فرنسا و 6 رياضيين من ألمانيا و 10 رياضيين من إيطاليا في مسابقة رمي الجلة. يتم تحديد ترتيب تنافس الرياضيين بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون المنافس الأخير من فرنسا.

الحل: إجمالي النتائج 6 + 3 + 6 + 10 = 25 ؛ مواتية - 3. الإجابة: 3/25 = 0.12. الجواب: 0.12

يشارك 6 لاعبين في بطولة الأبطال أندية كرة القدم: برشلونة ويوفنتوس وبايرن وتشيلسي وبورتو وباريس سان جيرمان. يتم تقسيم الفرق بشكل عشوائي إلى مجموعتين من ثلاثة فرق. ما هو احتمال أن يكون برشلونة وبايرن في نفس المجموعة؟

دع "برشلونة" و "بايرن" يجب أن يدخلوا المجموعة الأولى. احتمال وصول برشلونة إلى هناك هو 3/6 = 1/2 ، نظرًا لوجود 3 أماكن في المجموعة ، وهناك 6 فرق إجمالاً.احتمال أن يدخل بايرن ميونيخ أيضًا في المجموعة الأولى هو 2/5 ، نظرًا لوجود مكانين متبقيين في المجموعة ، وفي المجموع نختار من بين الفرق الخمسة المتبقية. لذلك ، فإن احتمال دخول الفريقين إلى المجموعة الأولى هو 1/2 ∗ 2/5 = 0.2. نظرًا لوجود مجموعتين ، تضاف الاحتمالات (سيقع كلا الفريقين في المجموعة الأولى في المجموعة الثانية). ثم الاحتمال المطلوب هو 0.4. الجواب: 0.4.

قامت لجنة أولياء الأمور بشراء 10 ألغاز هدايا للأطفال في نهاية العام ، 3 منها بسيارات و 7 مع إطلالات على المدينة. يتم توزيع الهدايا بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يحصل Vasya على اللغز مع السيارة. القرار 3/10. الجواب: 0.3

شركة Agrofirm تشتري بيض الدجاجفي أسرتين. 40٪ من بيض المزرعة الأولى بيض من أعلى فئة ، ومن المزرعة الثانية 20٪ بيض من أعلى فئة. في المجموع ، تحصل 35٪ من البيض على أعلى فئة. أوجد احتمال أن تكون البيضة المشتراة من هذه المزرعة من المزرعة الأولى. حل:للدلالة به xالاحتمال المطلوب أن البيضة المشتراة قد تم إنتاجها في المزرعة الأولى. ثم 1− x- احتمالية إنتاج البويضة المشتراة في المزرعة الثانية. نطبق صيغة الاحتمال الإجمالي ونحصل عليها 0.4 س + 0.2 (1 × س) = 0.35 ⇒ س = 0.75.الجواب: 0.75

قامت لجنة أولياء الأمور بشراء 20 لغزًا لهدايا للأطفال في نهاية العام ، 6 منها بالسيارات و 14 مع إطلالات على المدينة. يتم توزيع الهدايا بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يحصل فولوديا على لغز المدينة. الجواب: 14/20 = 0.7

يوجد على الطبق فطائر ، متطابقة في المظهر: 4 مع اللحم ، 8 مع ملفوف و 3 مع تفاح. بيتيا تختار عشوائيا فطيرة واحدة. أوجد احتمال أن تكون الفطيرة مليئة بالتفاح. الجواب: 0.2

لا يوجد سوى 25 تذكرة في مجموعة التذاكر في الفيزياء ، 13 منها تحتوي على سؤال عن البصريات. ابحث عن احتمال احتواء بطاقة الاختبار المختارة عشوائيًا على بطاقة ضوئية.

الجواب: 13/25 = 0.52

في مجموعة التذاكر في الفيزياء ، هناك 15 تذكرة فقط في 12 منها هناك سؤال حول الكهرباء الساكنة. ابحث عن احتمال أن بطاقة الاختبار المختارة عشوائيًا لا تحتوي على بطاقة إلكتروستاتيكية. الجواب: 15/3 = 0.2

انكسرت الساعة الميكانيكية ذات الاتصال الهاتفي لمدة اثنتي عشرة ساعة في وقت ما وتوقفت عن العمل. أوجد احتمال تجمد عقرب الساعات عند موضع الساعة 5 وليس عند الساعة 11.

الحل: في المجموع ، يتم تقسيم الاتصال الهاتفي للأرقام من 1 إلى 12 إلى 12 قطاعًا ، القطاعات المفضلة لنا هي من 5 إلى 11. هناك 6 منها ، ثم Р = 6/12 = 0.5. الجواب: 0.5

انكسرت الساعة الميكانيكية ذات الاتصال الهاتفي لمدة اثنتي عشرة ساعة في وقت ما وتوقفت عن العمل. أوجد احتمال تجمد عقرب الساعات عند موضع الساعة 4 وليس عند الساعة 7.

الحل: هناك 12 قطاعا في المجموع. مناسب - 3. ثم Р = 3/12 = 0.25. الجواب: 0.25

يتكون فريق الزلاجة الجماعية من أربعة أشخاص. إذا مرض رياضي واحد على الأقل ، فلن يبدأ الفريق في البداية. احتمال الإصابة بالمرض بالنسبة لعضو الفريق الأول هو 0.1 ، وللثاني - 0.2 ، وللثالث - 0.3 وللرابع - 0.4. ما هو احتمال ألا يبدأ فريق الزلاجة الجماعية؟

حل. لنجد احتمال أن يبدأ الفريق: P 1 = (1−0.1) ∗ (1− 0.2) ∗ (1− 0.3) ∗ (1− 0.4) = 0.3024. إذن فإن احتمال عدم بدء الفريق يساوي P = 1 − P 1 = 1-0.3024 = 0.6976. الجواب هو 0.6976.

هناك 30 شخصا في مجموعة السياح. يتم إلقاءهم بطائرة هليكوبتر في عدة خطوات إلى منطقة نائية ، 6 أشخاص في كل رحلة. الترتيب الذي تنقل به المروحية السياح عشوائي. أوجد احتمال قيام السائح P. بأول رحلة لهليكوبتر. الإجابة 6/30 = 0.2

هناك 16 شخصا في مجموعة السياح. يتم إلقاءهم بطائرة هليكوبتر في عدة خطوات إلى منطقة نائية ، 4 أشخاص في كل رحلة. الترتيب الذي تنقل به المروحية السياح عشوائي. أوجد احتمال قيام السائح "أ" بأول رحلة مروحية. الجواب: 4/16 = 0.25

في13 رياضيا من روسيا و 2 رياضيين من النرويج و 5 رياضيين من السويد يشاركون في التزلج الريفي على الثلج. يتم تحديد الترتيب الذي يبدأ به اللاعبون بالقرعة. أوجد احتمالية أن يبدأ أولاً رياضي ليس من روسيا. الجواب: 7/20 = 0.35

هناك 35 تذكرة في الامتحان ، لم يتعلم ستاس 7 منها. أوجد احتمال حصوله ، في اختيار عشوائي ، على التذكرة المستفادة. الجواب: 28/35 = 0.8

في كل خمس وعشرين علبة قهوة ، حسب شروط العرض الترويجي ، هناك جائزة. يتم توزيع الجوائز بشكل عشوائي بين البنوك. تشتري كوليا علبة قهوة على أمل الفوز بجائزة. أوجد احتمال ألا يجد Kolya الجائزة في مصرفه.

الحل: حيث أنه حسب الشروط يوجد جائزة في كل خمس وعشرين علبة قهوة ،

ثم في ال 24 المتبقية لا توجد جائزة. بعد ذلك ، فإن احتمال ألا يجد كوليا جائزة في بنكه يساوي

24/25 = 0.96 الإجابة: 0.96:

من بين 600 لوحة مفاتيح للكمبيوتر ، يوجد 12 في المتوسط معيبة. ما هو احتمال أن تكون لوحة المفاتيح المختارة عشوائيًا صحيحة. الجواب: 1-12 / 600 = 0.98

في المتوسط ، لكل 147 تدريبات جيدة ، هناك ثلاثة تدريبات سيئة. أوجد احتمال أن يكون التمرين المحدد جيدًا. الجواب: 147/150 = 0.98

ألقى تلاميذ الصف التاسع بيتيا وكاتيا وفانيا وداشا وناتاشا الكثير على من سيبدأ اللعبة. أوجد احتمالية ألا تقع القطعة على عاتق كاتيا لبدء اللعبة. الإجابة 4/5 = 0.8

ألقى تلاميذ الصف التاسع بيتيا وكاتيا وفانيا وداشا وناتاشا الكثير على من سيبدأ اللعبة. أوجد احتمال أن يبدأ الصبي اللعبة. الجواب: 0.4

كان لدى سيريزها أربع حلويات في جيبه - "السنونو" و "الرداء الأحمر" و "القناع" و "الإقلاع" ، بالإضافة إلى مفاتيح الشقة. أخذ Seryozha المفاتيح ، وأسقط عن طريق الخطأ قطعة حلوى من جيبه. أوجد احتمال فقد حلوى "الرداء الأحمر". الجواب: 1/4 = 0.25

قبل بدء الجولة الأولى من بطولة التنس ، يتم تقسيم المشاركين عشوائيًا إلى أزواج من خلال سحب القرعة. في المجموع ، يشارك 76 لاعب تنس في البطولة ، من بينهم 7 رياضيين من روسيا ، بما في ذلك أناتولي موسكفين. أوجد احتمال أن يلعب أناتولي موسكفين في الجولة الأولى أي لاعب تنس من روسيا. الجواب: 6/75 = 0.08

تقام مسابقة فناني الأداء في 5 أيام. تم الإعلان عن 80 عرضًا - عرض واحد من كل دولة مشاركة في المسابقة. يشارك فنان من روسيا في المسابقة. في اليوم الأول ، تم جدولة 8 عروض ، والباقي يتم توزيعها بالتساوي بين الأيام المتبقية. يتم تحديد ترتيب العروض بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم عرض أداء من روسيا في اليوم الثالث من المسابقة؟

الحل: أوجد عدد العروض المجدولة لليوم الثالث: (80-8) / 4 = 18

بعد ذلك ، احتمال أن يتم عرض أداء فنان من روسيا في اليوم الثالث من المسابقة يساوي

ف = 18/80 = 0.225 الإجابة: 0.225

وفقًا للبيانات الإحصائية ، فإن احتمال أن يستمر هاتف Samsung الذي تم شراؤه في متجر Euroset لأكثر من أربع سنوات هو 0.83. احتمال استمرارها لأكثر من خمس سنوات هو 0.66. ابحث عن احتمال فشل هاتف من هذه العلامة التجارية خلال العام الخامس من التشغيل.

الحل: احتمال الحدث المطلوب هو P = 0.83−0.66 = 0.17. الجواب 0.17.

ما احتمال أن العدد الطبيعي المختار عشوائيًا من 30 إلى 54 يقبل القسمة على 2؟

حل. من 30 إلى 54 25 رقمًا. حتى من أصل 13. (30 31 ؛ 32 33 ؛ 34 35 ؛ ... 52 53 ؛ و 54) الإجابة 13/25 = 0.52

تحتوي الجرة على 5 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء. من أجل الحظ ، اختر ثلاثة منهم. ما هو احتمال أن يكون اثنان منهم باللون الأزرق.

حل. (2/3 * 1/5) /3/8=2/15*8/3=16/45=0.3 (5)

يوجد 30 كرة في الجرة: 10 حمراء و 5 زرقاء و 15 بيضاء. أوجد احتمال ظهور كرة ملونة.

حدثان غير متوافقين Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 5/30 + 10/30 = 15/30 = 0.5

تختار Kolya عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام. أوجد احتمال أنها تقبل القسمة على 5.

حل. يوجد 900 رقم مكون من ثلاثة أرقام في المجموع ، من أصل 180 رقمًا هي مضاعفات 5 ، لذلك P \ u003d 180/900 \ u003d 0.2 الإجابة: 0.2

تحتوي الجرة على 10 كرات بيضاء و 15 سوداء و 20 زرقاء و 25 كرة حمراء. سحب كرة واحدة. أوجد احتمال أن تكون الكرة المرسومة: أبيض ، أسود ، أزرق ، أحمر ، أبيض أو أسود ، أزرق أو أحمر ، أبيض أو أسود أو أزرق؟

حل. الأحداث تأخذ الكرة لون أبيضأو إخراج الكرة السوداء غير متناسق. لذلك ، نستخدم نظرية الجمع في الحل. هناك 70 كرة في المجموع.

أوجد ل (ب) = 10/70: الفوسفور (ع) = 15/70: الفوسفور (ق) = 20/70: الفوسفور (ج) = 25/70

من خلال نظرية الجمع ، نحصل على P (b + h) = P (b) + P (h) = 10/70 + 15/70 = 25/70 = 5/14 ؛ P (s + k) = P (s) + P (k) = 20/70 + 25/70 = 45/70 = 9/14 ؛ P (b + h + s) = P (b) + P (s) + P (h) = 10/70 + 20/70 + 15/70 = 45/70 = 9/14

تختار Kolya عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام. أوجد احتمال أنها تقبل القسمة على 4.

الصندوق الأول يحتوي على 2 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء ، الصندوق الثاني يحتوي على 8 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. نخرج كرة واحدة من كل صندوق. ما هو احتمال أن تكون كلتا الكرتين بيضاء؟ حل. ضع في اعتبارك الأحداث:

A و B هما حدثان مستقلان لذلك P (A * B) = P (A) * P (B) = 1/6 * 2/3 = 1/9 إجابة 1/9

يختار Stas عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام. أوجد احتمال أنها تقبل القسمة على 48.

الصندوق الأول يحتوي على 2 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء ، الصندوق الثاني يحتوي على 8 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. نخرج كرة واحدة من كل صندوق. ما هو احتمال أن تكون إحدى الكرات المرسومة بيضاء والأخرى سوداء؟ حل.

أ - أخرج كرة بيضاء من صندوق واحد P (A) \ u003d 2/12

ب - أخرج كرة بيضاء من صندوقين P (B) \ u003d 8/12

ج - أخرج كرة سوداء من صندوق واحد P (C) \ u003d 10/12

د- أخرج كرة سوداء من صندوقين R (D) \ u003d 4/12

ما هي الحالات المحتملة لـ P (AD) P (BC). نظرًا لأن الصناديق مستقلة عن بعضها البعض ، فستكون الأحداث مستقلة. ثم P (AD) = P (A) * P (D) = 1/6 * 1/3 = 1/18 ؛ P (BC) \ u003d P (B) * P (C) \ u003d 2/3 * 5/6 \ u003d 5/9

نتيجة لذلك ، لدينا حدثان غير متوافقين ونحصل على P = P (AD) + P (BC) = 11/18.

يختار Vova عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام. أوجد احتمال أنها تقبل القسمة على 49. الحل. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام - 900. الرقم الأول الذي يقبل القسمة على 49 هو 147. الحد الأقصى: تم حله من خلال عدم المساواة 49 * n< 1000 n < 20 20/49 т.е. n =20-2=18 Ответ 18/900=0,02

في امتحان الهندسة ، يجيب الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الامتحان. احتمال أن يكون هذا السؤال في علم المثلثات هو 0.3. احتمال أن يكون هذا سؤال دائرة مغطى هو 0.25. لا توجد أسئلة تتعلق بهذين الموضوعين في نفس الوقت. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الاختبار. الحل P (A UB) = P (A) + P (B) -P (AB) P = 0.3 + 0.25 = 0.55 P (AB) = 0

في مجمع تجارياثنين من آلات البيع متطابقة تبيع القهوة. احتمال نفاد القهوة من الآلة بنهاية اليوم هو 0.3. احتمال نفاد القهوة من كلا الجهازين هو 0.12. أوجد احتمال وجود قهوة متبقية في كلتا جهازي البيع بحلول نهاية اليوم.

حل. ضع في اعتبارك الأحداث: أ = تنتهي القهوة في الآلة الأولى ،

B = القهوة ستنتهي في الآلة الثانية. ثم

أ ب = نفاد القهوة في كلا الجهازين ،

A + B = آلة واحدة على الأقل سوف تنفد من القهوة.

حسب الشرط P (A) = P (B) = 0.3 ؛ الفوسفور (أ ب) = 0.12.

الأحداث A و B مشتركة ، واحتمال مجموع حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث ، مخفضة باحتمالية منتجها: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0.3 + 0.3−0.12 = 0.48.

لذلك ، فإن احتمال الحدث المعاكس ، أن القهوة ستبقى في كلا الجهازين ، يساوي 1 - 0.48 = 0.52. الجواب: 0.52.

دعنا نعطي حلا آخر.

احتمال بقاء القهوة في الآلة الأولى هو 1 - 0.3 = 0.7. احتمال بقاء القهوة في الآلة الثانية هو 1 - 0.3 = 0.7. احتمال بقاء القهوة في آلة البيع الأولى أو الثانية هو 1 - 0.12 = 0.88. بما أن P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) ، لدينا: 0.88 = 0.7 + 0.7 - x ، حيث الاحتمال المرغوب فيه x = 0.52. ملحوظة.

لاحظ أن الحدثين A و B ليسا مستقلين. في الواقع ، سيكون احتمال إنتاج أحداث مستقلة مساويًا لحاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث: P (A · B) = 0.3 · 0.3 = 0.09 ، ومع ذلك ، من خلال الافتراض ، فإن هذا الاحتمال يساوي 0.12.

تبيع آلتان متطابقتان القهوة في المركز التجاري. تتم صيانة آلات البيع في المساء بعد الإغلاق. احتمال نفاد القهوة من الآلة بنهاية اليوم هو 0.25. نفس الاحتمال لحدث أنه بحلول المساء ستنتهي القهوة في الآلة الثانية. احتمال نفاد القهوة من كلا الجهازين هو 0.15. أوجد احتمال وجود قهوة متبقية في كلتا جهازي البيع بحلول نهاية اليوم. حل. P (АUB) \ u003d P (A) + P (B) -P (AB) \ u003d 0.25 + 0.25-0.15 - على الأقل في واحد ، ثم إذا من 1-0.35 = 0.65 - ستبقى القهوة في كلا الجهازين

احتمال استمرار عمل الكمبيوتر الشخصي الجديد لأكثر من عام هو 0.98. احتمال استمرارها لأكثر من عامين هو 0.84. أوجد احتمال أن يستمر أقل من عامين ولكن أكثر من عام. حل. سيستمر أكثر من عام ، مما يعني أكثر من عامين أو سينقطع في الفترة من عام إلى عامين. الفوسفور (> 1) = P (1-2) + P (> 2) P = 0.98-0.84

احتمال أن يحل الطالب P. بشكل صحيح أكثر من 12 مسألة في اختبار الرياضيات هو 0.7. احتمال أن يكون P. يحل بشكل صحيح أكثر من 11 مشكلة هو 0.79. أوجد احتمال أن يكون P. يحل بالضبط 12 مشكلة بشكل صحيح. الإجابة Р = 0.79-0.7 = 0.09

قبل البداية مباراة كرة قدميقذف الحكم عملة معدنية ليحدد الفريق الذي سيحصل على الكرة أولاً. يجب أن يلعب الفريق "أ" مباراتين - مع الفريق "ب" ومع الفريق "ج". ابحث عن احتمال حصول الفريق "أ" على الكرة الأولى في كلتا المباراتين. الحل ½ * 1/2 = 0.25

قبل بدء مباراة الكرة الطائرة ، يقوم قادة الفريق بسحب قرعة عادلة لتحديد الفريق الذي سيبدأ لعبة الكرة. يتناوب فريق "Monter" في اللعب مع فرق "Rotor" و "Stator" و "Motor". أوجد احتمال أن المجرب سيبدأ اللعبة الأولى فقط.

القرار: كابتن فريق "مونتير" سيرسم القرعة ثلاث مرات: مع قائد فريق "روتور" ، ثم مع قائد فريق "ستاتور" ومع قائد فريق "موتور".

في السحب الأول ، يكون احتمال بدء اللعبة 0.5. علاوة على ذلك ، فإن احتمال عدم بدء اللعبة باستخدام "Stator" و "Motor" يساوي أيضًا 0.5 لكل منهما. وبالتالي ، فإن احتمال بدء اللعبة الأولى فقط هو P = 0.5 0.5 0.5 = 0.125. الجواب: 0.125

ما هو احتمال أن يتم اختياره بشكل عشوائي رقم التليفونينتهي برقمين زوجي؟

حل. أ- حتى قبل الأخير - P (A) \ u003d 1/2. ب - حتى آخر P (B) \ u003d 1/2

P \ u003d 0.5 * 0.5 \ u003d 0.25 أو ما مجموعه 5 أرقام في المكان الأخير و 5 في المكان قبل الأخير. المجموع 5 * 5 \ u003d 25. إجمالي عدد الأرقام في آخر مكانين هو 10 * 10 = 100. الإجابة 25/100 = 0.25

إذا لعب Grandmaster A. لعب باللون الأبيض ، فإنه يفوز بالسيد الكبير B. باحتمال 0.5. إذا لعب A. باللون الأسود ، فإن A. تتفوق على B. مع احتمال 0.3. يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال أن يفوز A.

الحل: ابحث عن احتمال ألا يفوز Grandmaster A بلعبة واحدة. إنها تساوي P 1 = 0.5 0.7 = 0.35. ثم ، احتمال أن A. يفوز في لعبة واحدة على الأقل يساوي (وفقًا لمعادلة احتمال وقوع حدث معاكس) P = 1 − P 1 = 0.65. الجواب: 0.65.

إذا لعب Grandmaster A. لعب باللون الأبيض ، فإنه يفوز بالسيد الكبير B. باحتمال 0.5. إذا لعب A. باللون الأسود ، فإن A. تتفوق على B. مع احتمال 0.32. يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين. الإجابة 0.5 * 0.32 = 0.16

إذا لعب Grandmaster A. لعب باللون الأبيض ، فإنه يفوز بـ Grandmaster B. باحتمال 0.52. إذا لعب A. باللون الأسود ، فإن A. تتفوق على B. مع احتمال 0.3. يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين.

الحل: فرص الفوز في المجموعتين الأولى والثانية مستقلة عن بعضها البعض. إن احتمال حاصل ضرب الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالاتها: 0.52 0.3 = 0.156. الجواب: 0.156

فلاش يجعل مشاعل. احتمال وجود عيب في مصباح يدوي تم اختياره عشوائيًا من دفعة هو 0.02. ما هو احتمال عدم وجود عيب في فانوسين تم اختيارهما عشوائيًا من نفس الدفعة؟ الإجابة 0.98 * 0.98 = 0.9604

يضرب كاوبوي جون ذبابة على الحائط باحتمال 0.9 إذا أطلق النار بمسدس طلقة. إذا أطلق جون مسدسًا غير منظور ، فإنه يضرب الذبابة باحتمال 0.3. هناك 10 مسدسات على الطاولة ، اثنان منهم فقط تم إطلاق النار عليهم. يرى كاوبوي جون ذبابة على الحائط ، يمسك عشوائيًا بأول مسدس يصادفه ويطلق النار بسرعة. أوجد الاحتمال الذي أخطأه جون.

الحل: احتمالية رؤية البندقية هي 2/10 = 0.2 ، بحيث لا يتم رؤيتها 8/10 = 0.8
احتمال إصابة الهدف وضرب جون هو 0.2 0.9 = 0.18
احتمال إصابة جون وعدم إطلاق النار عليه هو 0.8 0.3 = 0.24

احتمال الضرب: 0.18 + 0.24 = 0.42
فرصة ضائعة: P = 1 - 0.42 = 0.58 الإجابة: 0.58

أرسلت بعثة دار النشر الصحف إلى ثلاثة مكاتب بريد. احتمال تسليم الصحف في الوقت المناسب إلى المقصورة الأولى هو 0.95 ، والثاني - 0.9 ، والثالث - 0.8. أوجد احتمال الأحداث التالية:

أ) فرع واحد فقط سيستقبل الصحف في الوقت المحدد ؛

ب) قسم واحد على الأقل سيستقبل الصحف في وقت متأخر.

حل. الحل: تقديم الأحداث

A1 = (تم تسليم الصحف في الوقت المحدد إلى الفرع الأول) ،

A2 = (تم تسليم الصحف في الوقت المحدد إلى الفرع الثاني) ،

A3 = (تسليم الصحف في الوقت المحدد للفرع الثالث) ،

حسب الشرط P (A1) = 0.95 ؛ ف (A2) = 0.9 ؛ ف (A3) = 0.8

أوجد احتمال وقوع الحدث X = (فرع واحد فقط سيستقبل الصحف في الوقت المحدد).

سيحدث الحدث X إذا

أو يتم تسليم الصحف في الوقت المحدد إلى الفرع الأول ، ولا يتم تسليمها في الوقت المحدد حتى الثاني والثالث ،

أو يتم تسليم الصحف في الوقت المحدد إلى قسمين ، ولا يتم تسليمها في الوقت المحدد إلى 1 و 3 ،

أو تم تسليم الصحف في الوقت المحدد إلى الفرع الثالث ، ولم يتم تسليمها في الوقت المحدد إلى الفرع الأول والثاني.

هكذا،

X = A 1⋅ A 2 * ⋅ A 3 * + A 1 * ⋅ A 2⋅ A 3 * + A 1 * ⋅ A 2 * ⋅ A 3.

نظرًا لأن الأحداث A1 ، A2 ، A3 مستقلة ، من خلال نظريات الجمع والضرب التي نحصل عليها

الفوسفور (X) = P (A1) ⋅ ص (A2 * ) ⋅ ف (A3 * ) + ف (A1 * ) ⋅ P (A2) ⋅ ف (A3 * ) + ف (A1 * ) ⋅ ص (A2 * ) ⋅ P (A3) =

0,95⋅ 0,1⋅ 0,2+0,05⋅ 0,9⋅ 0,2+0,05⋅ 0,1⋅ 0,8=0,032.

لنجد احتمالية الحدث Y = (على الأقل قسم واحد سيتأخر في استقبال الصحف). دعنا نقدم الحدث المعاكس Y * = (ستستقبل جميع الأقسام الصحف في الوقت المحدد). احتمالية هذا الحدث

الفوسفور (ص *) = الفوسفور (A1 ⋅ أ 2 ⋅ A3) = P (A1) ⋅ P (A2) ⋅ P (A3) = 0.95 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8=0,684.

ثم احتمال الحدث Y: P (Y) = 1 − P (Y *) = 1−0.684 = 0.316. الجواب: 0.032 ؛ 0.316.

يوضح الجدول نتائج أربعة رماة ، والتي أظهروها في التدريبات.

رقم مطلق النار

عدد اللقطات

عدد الإصابات

قرر المدرب إرسال مطلق النار بمعدل إصابة أعلى نسبيًا إلى المنافسة. ما هو الرامي الذي سيختاره المدرب؟ اذكر رقمه في الجواب.

حل. قارن الكسور

26/44 45/70 14/40 48/67 أفضل نتيجة 4. الإجابة 4.

ضرب الرياضي الهدف مع احتمال 0.8. يطلق النار خمس مرات. خمس طلقات على خمسة أهداف مختلفة. ما هو احتمال أن يصطدم رياضي الأحياء بثلاثة أهداف بالضبط؟

حل. نظرًا لوجود العديد من الطلقات في المشكلة ، واحتمال حدوث إصابة هو نفسه لكل لقطة ، إذن نحن نتكلمحول مخطط برنولي P n (k) = C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n - k.

الإجابة = 10 * 0.8 3 * 0.2 2 = 0.2048

ما هو احتمال ظهور شعار النبالة 5 مرات بعد 8 رميات لعملة؟

حل. نظرًا لوجود العديد من التجارب في المشكلة ، واحتمال حدوث حدث (شعار النبالة) هو نفسه في كل تجربة ، فإننا نتحدث عن مخطط برنولي. دعنا نكتب معادلة برنولي ، التي تصف احتمال سقوط شعار النبالة من ن رميات من العملات المعدنية بالضبط k مرة: P n (k) = C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n - k.

نكتب البيانات من حالة المشكلة: n = 8 ، p = 0.5 (احتمال سقوط شعار النبالة في كل رمية هو 0.5) و k = 5. استبدل واحصل على الاحتمال:

الفوسفور (X) = P 8 (5) = C 5 8 ⋅ 0.5 5 ⋅ (1 - 0.5) 8 - 5 = 8! / 5! 3! ⋅ 0.5 8 = (6⋅ 7⋅ 8) / (1⋅ 2⋅ 3) 0.58 = 0.219. الجواب هو 0.219.

للإشارة إلى وقوع حادث ، تم تثبيت جهازي إشارات يعملان بشكل مستقل. احتمال أن يعمل جهاز الإشارات في حالة وقوع حادث هو 0.95 لجهاز الإشارة الأول و 0.9 للجهاز الثاني. أوجد احتمال أن يعمل جهاز إشارة واحد فقط في حالة وقوع حادث.

الحل: لنقدم أحداثًا مستقلة:

A1 = (في حالة وقوع حادث ، سيعمل جهاز الإشارة الأول) ؛

A2 = (في حالة وقوع حادث ، سيعمل جهاز الإشارة الثاني) ؛

حسب حالة المشكلة P (A1) = 0.95، P (A2) = 0.9P (A1) = 0.95، P (A2) = 0.9.

دعنا نقدم الحدث X = (في حالة وقوع حادث ، سيعمل جهاز إشارة واحد فقط). سيحدث هذا الحدث إذا تم تشغيل جهاز التنبيه الأول أثناء وقوع حادث ولم يتم تشغيل الثاني ، أو إذا تم تشغيل جهاز التنبيه الثاني أثناء وقوع حادث ولم يتم تشغيل الحدث الأول ، أي X = A1⋅A2 * + A1 * ⋅A2. ثم يكون احتمال الحدث X وفقًا لنظريات الجمع وضرب الاحتمالات مساويًا لـ

الفوسفور (X) = P (A1) ⋅ ص (A2 * ) + ف (A1 * ) ⋅ P (A2) = 0.95 ⋅ 0,1+0,05 ⋅ 0.9 = 0.14. الجواب: 0.14.

تحتوي الجرة الأولى على 10 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء ، وتحتوي الجرة الثانية على 5 كرات بيضاء و 9 كرات سوداء. تم أخذ كرة من كل جرة. ما هو احتمال أن تكون كلتا الكرتين سوداء؟

حل. دعنا نقدم الحدث X = (كلتا الكرتين المسحوبتين باللون الأسود).

نقدم أحداثًا مستقلة مساعدة: H 1 × = (يتم سحب كرة سوداء من الجرة الأولى) ،

H 2 × = (يتم سحب كرة سوداء من الجرة الثانية).

لنجد احتمالات هذه الأحداث وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال: P (H 1 ×) = 4/14

الفوسفور (H 2 ×) = 9/14. ثم P (X) \ u003d P (H 1x) * P (H 2x) \ u003d 2/7 * 9/14 = 9/49 = 0.184. إجابة . 0.184.

ثلاثة طلاب في الامتحان يحلون نفس المشكلة بشكل مستقل. احتمالات حلها من قبل هؤلاء الطلاب هي 0.8 و 0.7 و 0.6 على التوالي. أوجد احتمال أن يقوم طالب واحد على الأقل بحل المشكلة.

حل. دعنا نقدم الحدث X = (على الأقل طالب واحد سيحل المشكلة) وعكسه X * = (لن يحل أي طالب المشكلة). نقدم أحداثًا مساعدة: A1 = (حل الطالب الأول المشكلة) ، A2 = (حل الطالب الثاني المشكلة) ، A3 = (حل الطالب الثالث المشكلة) ، الاحتمالات P (A1) = 0.8 ، P (A2) = 0.7 ، P (A3)) = 0.6. دعنا نعبر عن الحدث X * = A1 * A2 * A3 *. نحن نعتبر أن الاحتمال هو احتمال ناتج أحداث مستقلة: Р (X *) = (1-0.8) (1-0.7) (1-0.6) = 0 ، 2 * 0.3 * 0.4 = 0.024.

ثم احتمال الحدث المطلوب P (X) = 1- P (X *) = 1 - 0.024 = 0.976. إجابة . 0.976.

ضرب الرياضي الهدف مع احتمال 0.8. يطلق النار خمس مرات. أوجد احتمال أن يصيب الهدف مرة واحدة بالضبط.

قبل بدء مباراة كرة قدم ، يرمي الحكم عملة معدنية ليحدد الفريق الذي سيحصل على الكرة أولاً. يتناوب فريق "الأبيض" في اللعب مع فرق "الأحمر" و "الأزرق" و "الأخضر". أوجد احتمال أن يفوز الفريق "الأبيض" بحق حيازة الكرة في مباراتين بالضبط من أصل ثلاث.

الحل: نقوم بعمل قائمة بجميع النتائج المحتملة في هذه ثلاث مبارياتمع الحمر (R) والبلوز (C) والخضر (G).
P - الأول لديه الكرة ، N - لا.

PPP PNP PNP NPP PNN NNP NNP NNP

وانظر كم منها يحتوي بالضبط على 2 مرات P ، أي في مباراتين بالضبط ، سيكون الفريق "الأبيض" أول من يحصل على الكرة.
هناك 3 خيارات من هذا القبيل ، وهناك 8 خيارات في المجموع ، ثم الاحتمال المطلوب هو 3/8 = 0.375. الجواب: 0.375

مصنعان ينتجان نفس الزجاج لمصابيح السيارات. ينتج المصنع الأول 45٪ من هذه الزجاجات ، والثاني - 55٪. ينتج المصنع الأول 3٪ من الزجاج المعيب ، والثاني - 1٪. أوجد احتمالية أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في متجر ما سيكون به عيب.

الحل: احتمال شراء الزجاج من المصنع الأول ووجود عيب فيه: 0.45 0.03 = 0.0135

احتمال أن يكون الزجاج قد تم شراؤه من المصنع الثاني وكان به عيب: 0.55 0.01 = 0.0055

وفقًا لمعادلة الاحتمالية الإجمالية ، فإن احتمال أن يكون الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في المتجر معيبًا هو 0.0135 + 0.0055 = 0.019. الجواب: 0.019

بوريس نيكولايفيتش بيرفوشكين

مدرس رياضيات أعلى فئة

NOU "مدرسة بطرسبورغ" Tete-a-Tete "

عناصر نظرية الاحتمالية للصف التاسع OGE والصف الحادي عشر للاستخدام في الرياضيات .

نظرية الاحتمالية في الامتحان شديدة جدا مهام بسيطةرقم B10. يمكن للجميع التعامل معها. في الواقع ، لحل المشكلة B10 في نسخة من الامتحانهناك حاجة فقط للمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.

عشوائي يسمى الحدثالتي لا يمكن توقعها بدقة مسبقًا. يمكن أن يحدث أم لا.

لقد ربحت اليانصيب - حدث عشوائي. لقد قمت بدعوة الأصدقاء للاحتفال بالفوز ، وفي الطريق إليك علقوا في المصعد - وهو حدث عشوائي أيضًا. صحيح أن السيد كان قريبًا وحرر الشركة بأكملها في عشر دقائق - ويمكن اعتبار هذا أيضًا حادثًا سعيدًا ...

حياتنا مليئة بالأحداث العشوائية. يمكن القول أن كل واحد منهم يحدث مع البعض احتمالا. على الأرجح ، أنت معتاد بشكل حدسي على هذا المفهوم. الآن سنقدم تعريفًا رياضيًا للاحتمال.

لنبدأ من جدا مثال بسيط. أنت تقذف عملة معدنية. طرة أو نقش؟
يسمى هذا الإجراء ، الذي يمكن أن يؤدي إلى نتيجة من عدة نتائج ، في نظرية الاحتمالات امتحان.
الرؤوس والذيل - اثنان ممكن نزوحالاختبارات.

سيسقط النسر في حالة واحدة من حالتين ممكنتين. ويقولون ان احتمالاأن العملة تهبط على الوجه هي 1/2.

دعونا نرمي النرد. النرد له ستة جوانب ، لذلك هناك ست نتائج محتملة.
على سبيل المثال ، خمنت أن ثلاث نقاط ستنهار. هذه نتيجة واحدة من أصل ست نتائج ممكنة. في نظرية الاحتمالات ، سيتم استدعاؤها نتيجة مواتية.
احتمال الحصول على ثلاثية هو 1/6 (نتيجة واحدة إيجابية من أصل ستة محتملة).
احتمال أربعة هو أيضًا 1/6
لكن احتمال ظهور السبعة هو صفر. بعد كل شيء ، لا يوجد وجه بسبع نقاط على المكعب.

احتمال وقوع حدث يساوي نسبة عدد النتائج المواتية إلى الرقم الإجماليالنتائج.

من الواضح أن الاحتمال لا يمكن أن يكون أكبر من واحد.
هنا مثال آخر. يوجد 25 تفاحة في كيس ، 8 منها حمراء والباقي خضراء. لا تختلف التفاح في الشكل أو الحجم. تضع يدك في الكيس وتخرج تفاحة بشكل عشوائي. احتمالية رسم تفاحة حمراء هي 8/25 والأخضر 17/25.
احتمالية الحصول على اللون الأحمر أو تفاحة خضراءيساوي 8/25 + 17/25 = 1.

دعنا نحلل مشاكل نظرية الاحتمالات المدرجة في مجموعات التحضير للامتحان.

1. تمتلك شركة التاكسي حالياً 15 سيارة مجانية: 2 حمراء ، 9 صفراء و 4 خضراء. في مكالمة ، غادرت إحدى السيارات ، والتي تصادف أنها الأقرب إلى العميل. أوجد احتمال وصول سيارة أجرة صفراء.

هناك 15 سيارة في المجموع ، أي واحدة من أصل خمسة عشر ستأتي إلى العميل. هناك تسعة صفراء ، مما يعني أن احتمال وصول سيارة صفراء هو 9/15 ، أي 0.6.

2. (نسخة تجريبية 2012) لا يوجد سوى 25 تذكرة في مجموعة تذاكر الأحياء ، اثنتان منها تحتويان على سؤال حول عيش الغراب. في الامتحان ، يحصل الطالب على تذكرة واحدة يتم اختيارها عشوائيًا. ابحث عن احتمال أن هذه التذكرة لا تتضمن السؤال عن الفطر.

من الواضح أن احتمال سحب تذكرة دون السؤال عن الفطر هو 23/25 ، أي 0.92.

3. قامت لجنة أولياء الأمور بشراء 30 لغزًا لهدايا التخرج للأطفال العام الدراسي، 12 منها عليها لوحات لفنانين مشهورين و 18 بها صور حيوانات. يتم توزيع الهدايا بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن تحصل Vovochka على لغز الحيوان.

تم حل المهمة بطريقة مماثلة.
الجواب: 0.6.

4. 20 رياضيا يشاركون في بطولة الجمباز: 8 من روسيا و 7 من الولايات المتحدة والباقي من الصين. يتم تحديد الترتيب الذي يؤديه اللاعبون بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون آخر رياضي شارك في المنافسة من الصين.

لنتخيل أن جميع الرياضيين في نفس الوقت اقتربوا من القبعة وسحبوا منها قطعًا من الورق بها أرقام. سيحصل بعضهم على الرقم العشرين. احتمال أن يتم سحبها بواسطة رياضي صيني هو 5/20 (حيث يوجد -5 رياضيين من الصين). الجواب: 0.25.

5. طُلب من الطالب تسمية رقم من 1 إلى 100. ما هو احتمال أن يسمي رقمًا من مضاعفات الخمسة؟

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11... 100

كل خمس سنواتالرقم من المجموعة المعطاة قابل للقسمة على 5. وبالتالي ، فإن الاحتمال هو 1/5.

6. رمي نرد. أوجد احتمال الحصول على عدد فردي من النقاط.

1 ، 3 ، 5 - أرقام فردية ؛ 2 ، 4 ، 6 زوجي. احتمال عدد فردي من النقاط هو 1/2.

الجواب: 0.5.

7. رمي عملة معدنية ثلاث مرات. ما هو احتمال رأسين وذيل واحد؟

لاحظ أنه يمكن صياغة المشكلة بشكل مختلف: يتم رمي ثلاث عملات في نفس الوقت. لن يؤثر على القرار.

كم عدد النتائج المحتملة في رأيك هناك؟
نرمي قطعة نقود. هذا الإجراء له نتيجتان محتملتان: الرؤوس والأطراف
عملتان - أربع نتائج بالفعل:

ثلاث عملات؟ هذا صحيح ، 8 نتائج ، لأن 2 2 2 = 2³ = 8.

يظهر رأسان وذيل واحد ثلاث مرات من أصل ثمانية.
الجواب: 3/8.

8. في تجربة عشوائية ، يتم رمي نردتين. أوجد احتمال الحصول على 8 نقاط إجمالاً. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

رمي النرد الأول - ست نتائج. ولكل منهم ستة أخرى ممكنة - عندما نرمي النرد الثاني.
نتوصل إلى أن هذا الإجراء - رمي نرد - له إجمالي 36 نتيجة محتملة ، حيث أن 6² = 36.

والآن من أجل الأخبار السارة:

2 6
3 5
4 4
5 3
6 2

احتمال الحصول على ثماني نقاط هو 36/5 0.14.

9. يصيب مطلق النار الهدف باحتمال 0.9. أوجد احتمال أن يصيب الهدف أربع مرات متتالية.

إذا كان احتمال الإصابة 0.9 ، فإن احتمال الخطأ هو 0.1. نحن نجادل بنفس الطريقة كما في المشكلة السابقة. احتمال حدوث ضربتين متتاليتين هو 0.9 0.9 = 0.81. واحتمال أربع ضربات متتالية هو
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
^

الاحتمال: منطق القوة الغاشمة.

المشكلة B10 حول العملات المعدنية من عمل التشخيصبدا 7 ديسمبر صعبًا بالنسبة للكثيرين. ها هي حالتها:

كان لدى بيتيا قطعتان من العملات من فئة 5 روبل و 4 عملات من 10 روبل في جيبه. قام بيتيا ، دون أن ينظر ، بتحويل حوالي 3 عملات معدنية إلى جيب آخر. أوجد احتمال أن تكون العملات المعدنية من فئة الخمسة روبل الآن في جيوب مختلفة.

نحن نعلم أن احتمال حدث ما يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة إلى إجمالي عدد النتائج. لكن كيف تحسب كل هذه النتائج؟

يمكنك بالطبع الإشارة إلى عملات معدنية من فئة الخمس روبل بالأرقام 1 والعملات المعدنية من فئة 10 روبل بالأرقام 2 - ثم حساب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها اختيار ثلاثة عناصر من المجموعة 1 1 2 2 2 2.

ومع ذلك ، هناك حل أسهل:

نقوم بترميز العملات المعدنية بأرقام: 1 ، 2 (هذه خمسة روبل) ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 (هذه عشرة روبلات). يمكن الآن صياغة حالة المشكلة على النحو التالي:

هناك ست شرائح مرقمة من 1 إلى 6. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها توزيعها بالتساوي بين جيبين بحيث لا ينتهي الأمر بالرقائق المرقمة 1 و 2 معًا؟

دعنا نكتب ما لدينا في الجيب الأول.
للقيام بذلك ، سنقوم بعمل جميع التركيبات الممكنة من المجموعة 1 2 3 4 5 6. ستكون المجموعة المكونة من ثلاث شرائح مكونة من ثلاثة أرقام. من الواضح ، في ظروفنا أن 1 2 3 و 2 3 1 هما نفس مجموعة الرقائق. من أجل عدم تفويت أي شيء وعدم التكرار ، نقوم بترتيب الأرقام المقابلة المكونة من ثلاثة أرقام بترتيب تصاعدي:

123, 124, 125, 126...
إذن ما هي الخطوة التالية؟ قلنا إننا نرتب الأعداد بترتيب تصاعدي. فالآتي 134 ثم:
135, 136, 145, 146, 156.
الجميع! مررنا بكل المجموعات الممكنة بدءًا من 1. نتابع:
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.
هناك 20 نتيجة محتملة في المجموع.

لدينا شرط - يجب ألا ينتهي الأمر بالشرائح ذات الأرقام 1 و 2 معًا. هذا يعني ، على سبيل المثال ، أن المجموعة 356 لا تناسبنا - فهذا يعني أن الرقائق 1 و 2 انتهى بها المطاف في الجيب الثاني وليس الأول. النتائج المواتية بالنسبة لنا هي تلك التي يوجد فيها إما 1 أو 2. ها هي:

134 ، 135 ، 136 ، 145 ، 146 ، 156 ، 234 ، 235 ، 236 ، 245 ، 246 ، 256 - إجمالي 12 نتيجة مواتية.

ثم الاحتمال المطلوب هو 12/20.

UMK أي

نظرية الاحتمالات

في OGE وامتحان الدولة الموحدة

إقليم التاي

مهام

على الاحتمال

مع النرد

(حجر النرد)

1. حدد احتمال سقوط عدد فردي من النقاط عند رمي نرد (نرد).

حل المشكلة:

الرقم الفردي - 3 (1 ؛ 3 ؛ 5)

الجواب: P = 0.5

2. حدد احتمال سقوط أقل من 4 نقاط عند رمي نرد.

حل المشكلة:

إجمالي الأحداث - 6 (6 أرقام من 1 إلى 6 يمكن أن تسقط)

أقل من 4 نقاط - 3 (1 ، 2 ، 3)

الجواب: P = 0.5

3. حدد احتمال سقوط أكثر من 3 نقاط عند إلقاء نرد (نرد).

حل المشكلة:

إجمالي الأحداث - 6 (6 أرقام من 1 إلى 6 يمكن أن تسقط)

أكثر من 3 نقاط - 3 (4 ؛ 5 ؛ 6)

الجواب: P = 0.5

4. حدد احتمال سقوط أكثر من نقطتين عند رمي نرد. قرب إجابتك لأعشار.

حل المشكلة:

إجمالي الأحداث - 6 (6 أرقام من 1 إلى 6 يمكن أن تسقط)

أكثر من نقطتين - 2 (3 ، 4 ، 5 ، 6)

ف = 4: 6 = 0.66 ...

الجواب: P = 0.7

5. حجر النردرميت مرتين. أوجد احتمال أن يكون مجموع العددين المرسومين فرديًا.

حل المشكلة:

سيكون المبلغ فرديًا عند: 1) ظهوره لأول مرة غريبرقم ، وفي الثانية حتى. 2) لأول مرة - حتى، والمرة الثانية غريب .

1) 3: 6 = 0.5 - احتمال الحصول على رقم فردي في الرمية الأولى.

3: 6 = 0.5 - احتمال الحصول على رقم زوجي في اللفة الثانية.

0.5 0.5 \ u003d 0.25 - لأن يجب أن يحدث هذان الحدثان معًا. 2) 3: 6 = 0.5 - احتمال الحصول على رقم زوجي في الرمية الأولى.

3: 6 = 0.5 - احتمال الحصول على رقم فردي في اللفة الثانية.

0.5 0.5 \ u003d 0.25 - لأن يجب أن يحدث هذان الحدثان معًا.

3) 0,25 + 0,25 = 0,5

الجواب: P = 0.5

6. رمي نرد مرتين. أوجد احتمال أن يكون أكبر عددين مرسومين هو 5. قرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة.

حل المشكلة:

1) لفة أول لفة 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 وسوف لفة الثانية 5 2) لفة الأولى لفة 5 واللفة الثانية سوف لفة 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5

5: 6 = 5/6 - احتمال سقوط 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ 5

5/6 1/6 = 5/36 - احتمال وقوع كلا الحدثين

1: 6 = 1/6 - احتمال a 5

5: 6 = 5/6 - احتمال 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ 5

1/6 5/6 = 5/36 - احتمال حدوث كلا الحدثين

5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

إجابة: 0,3

7. رمي نرد مرتين. أوجد احتمال ظهور رقم أكبر من 3 مرة واحدة على الأقل.

حل المشكلة:

1) لفة أول لفة 1 ، أو 2 ، أو 3 ، واللفة الثانية سوف لفة 4 ؛ أو 5 أو 6 2) في الرمية الأولى ، سيتم دحرجة 4 ؛ أو 5 أو 6 ، وفي اللفة الثانية ، سيتم دحرجة 1 أو 2 أو 3. 3) في اللفة الأولى ، سيتم لف 4 ؛ أو 5 أو 6 ، وفي القائمة الثانية ، ستظهر 4 أو 5 أو 6.

2) 3: 6 = 0.5 - احتمال 4 ؛ 5 ؛ 6

3: 6 = 0.5 - احتمال السقوط 1 ؛ 2 ؛ 3

0.5 0.5 \ u003d 0.25 - احتمال حدوث كلا الحدثين

3) 3: 6 = 0.5 - احتمال 4 ؛ 5 ؛ 6

3: 6 = 0.5 - احتمال السقوط 4 ؛ 5 ؛ 6

0.5 0.5 \ u003d 0.25 - احتمال حدوث كلا الحدثين

4) 0.25+ 0.25 + 0.25 = 0.75 الإجابة: 0,75

مهام

على الاحتمال

بالعملات المعدنية

8. في تجربة عشوائية ، يتم رمي عملة متماثلة مرتين. أوجد احتمال أن تهبط الرؤوس بالضبط 1 مرة .

حل المشكلة:دعونا نحدد عدد النتائج المحتملة ، ونستعرض جميع خيارات الرميات. لنقم بعمل جدول ونعرض جميع الخيارات:

2: 4 \ u003d 0.5 - احتمال سقوط الرؤوس على الرمية.

2) الجواب: 0.5

9. في تجربة عشوائية ، يتم رمي عملة متماثلة ثلاث مرات. أوجد احتمال أن تهبط الرؤوس بالضبط .ثلاث مرات .

حل المشكلة:

1 رمي

2 رمي

3 رمي

1: 8 = 0.125 هو احتمال أن تهبط القرعة.

الجواب: 0.125

10. في تجربة عشوائية ، تم رمي عملة متماثلة ثلاث مرات. أوجد احتمال أن تهبط الرؤوس بالضبط 2 مرات .

حل المشكلة:

1 رمي

2 رمي

3 رمي

3: 8 \ u003d 0.375 - احتمال سقوط الرؤوس عند الرمية.

الجواب: 0.375

أحد عشر . في تجربة عشوائية ، تم رمي عملة متماثلة ثلاث مرات. ابحث عن احتمال أن الرؤوس لن تظهر أبدًا.

حل المشكلة:

1 رمي

2 رمي

3 رمي

1: 8 = 0.125 - احتمال أن تهبط القرعة.

الجواب: 0.125

مهام

على الاحتمال

(مختلف)

12. من المعروف أن احتمال أن يكون الطفل المولود ذكراً في بعض المناطق هو 0.512. في عام 2010 ، كان هناك ما معدله 477 فتاة لكل 1000 طفل مولود في هذه المنطقة. كيف يختلف تواتر إنجاب فتاة عام 2010 في هذه المنطقة عن احتمالية حدوث هذا الحدث؟

حل المشكلة:

1 - 0,512 = 0,488 –

2) 477: 1000 = 0,477 - احتمالية إنجاب الفتيات عام 2010

3) 0,488 - 0,477=0,011

إجابة: 0,011

13. من المعروف أنه في بعض المناطق يكون احتمال أن يكون الطفل المولود ذكراً هو 0.486. في عام 2011 ، كان هناك ما معدله 522 فتاة لكل 1000 طفل مولود في هذه المنطقة. كيف يختلف تواتر إنجاب فتاة عام 2011 في هذه المنطقة عن احتمالية حدوث هذا الحدث؟

حل المشكلة:

1 - 0,486 = 0,514 – احتمال إنجاب فتيات في المنطقة

2) 522: 1000 = 0,522 - احتمالية إنجاب الفتيات عام 2011

3) 0,522 - 0,514 = 0,008

إجابة: 0,008

14. يختار Stas عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام. أوجد احتمال أنها تقبل القسمة على 48.

حل المشكلة:

999 - 99 = 900 – ثلاثة أرقام فقط

2) 999: 48 = 20,8125 - أي. المجموع 20 الأرقام قابلة للقسمة على 48

من بين هؤلاء ، رقمان مكونان من رقمين - هذا هو 48 و 96 ، ثم 20-2 = 18

4) 18: 900 = 0,02

إجابة: 0,02

15 . يختار أندرو عددًا عشوائيًا من ثلاثة أرقام. أوجد احتمال أنها تقبل القسمة على 33.

حل المشكلة:

999 - 99 = 900 – ثلاثة أرقام فقط

2) 999: 33 = 30,29… - أي. المجموع 30 الأرقام قابلة للقسمة على 33

من بين هؤلاء ، ثلاثة أعداد مكونة من رقمين - هذا هو 33 ، 66 ، 99 ثم 30-3 = 27

4) 27: 900 = 0,03

إجابة: 0,03

16. في كل أربع علبة قهوة ، حسب شروط العرض الترويجي ، هناك جائزة. يتم توزيع الجوائز بشكل عشوائي بين البنوك. تشتري علياء علبة قهوة على أمل الفوز بجائزة. أوجد احتمال أن علياء لم تجد الجائزة في بنكها.

حل المشكلة:

1) 1: 4 = 0.25 - احتمال الحصول على جائزة.

2) 1 - 0.25 = 0.75 - احتمال عدم الحصول على جائزة

الجواب: 0.75

17. في امتحان الهندسة ، يحصل الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الامتحان. احتمال أن يكون هذا السؤال هو 0.35. احتمال أن يكون هذا سؤال دائرة مغطى هو 0.2. لا توجد أسئلة تتعلق بهذين الموضوعين في نفس الوقت. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الاختبار.

حل:

احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين: 0.35 + 0.2 = 0.52

الجواب: 0.52

18. يصوب لاعب رياضي على الأهداف خمس مرات. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.8. أوجد احتمال أن يكون الرياضي قد أصاب الأهداف في أول ثلاث مرات وأخطأ في المرتبتين الأخيرتين. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

حل:

ضرب احتمال - 0.8

احتمال الخطأ - 0.2

إن أحداث Miss and Hit مستقلة ، لذا

19. هناك نوعان من آلات الدفع في المتجر. يمكن أن يكون كل واحد منهم معيبًا باحتمال 0.12 ، بغض النظر عن الجهاز الآلي الآخر. أوجد احتمال أن يكون جهازًا واحدًا على الأقل صالحًا للخدمة.

حل:

أوجد احتمال أن كلا الآليين معيبان.

هذه الأحداث مستقلة ، أي 0.12² = 0.0144

الحدث الذي لا يقل عن واحد من

الأوتوماتون هو العكس ، لذا 1 - 0.0144 = 0.9856

الجواب: 0.9856

20. في المركز التجاري ، هناك آلتان متطابقتان تبيعان القهوة. احتمال نفاد القهوة من الآلة بنهاية اليوم هو 0.3. احتمال نفاد القهوة من كلا الجهازين هو 0.16. أوجد احتمال وجود قهوة متبقية في كلتا جهازي البيع بحلول نهاية اليوم.

حل:

ضع في اعتبارك الأحداث:

أ- ستنتهي القهوة في الآلة الأولى

ب - ستنتهي القهوة في الآلة الثانية

أ ب - ستنتهي القهوة في كلتا ماكينات البيع

A + B - ستنتهي القهوة بآلة واحدة على الأقل

ومن ثم ، فإن احتمال الحدث المعاكس (ستبقى القهوة في كلا الجهازين) يساوي

الجواب: 0.56

21. مصنعان ينتجان نفس الزجاج لمصابيح السيارات. ينتج المصنع الأول 45٪ من هذه الزجاجات ، والثاني - 55٪. ينتج المصنع الأول 3٪ من الزجاج المعيب ، والثاني - 1٪. أوجد احتمالية أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في متجر ما سيكون به عيب.

حل:

احتمال أن يكون الزجاج الذي تم شراؤه من المصنع الأول معيبًا: 0.45 0.03 = 0.0135

احتمال وجود عيب في الزجاج الذي تم شراؤه من المصنع الثاني: 0.55 0.01 = 0.0055

وسائل، الاحتمال الكاملحقيقة أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في المتجر سيكون معيبًا: 0.0135 + 0.0055 = 0.019

الجواب: 0.019