حل مهام الامتحان في نظرية الاحتمالات. نظرية الاحتمالات

احتمالا. مهام امتحان الملف الشخصي في الرياضيات.

من إعداد مدرس الرياضيات في MBOU "Lyceum No. 4" ، Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

تعريف الاحتمال

احتمالا أحداث A استدعاء نسبة الرقم م نتائج مواتية لهذا الحدث ل الرقم الإجمالي ن جميع الأحداث غير المتوافقة الممكنة بشكل متساوٍ والتي يمكن أن تحدث نتيجة اختبار أو ملاحظة واحدة:

يترك ك - عدد رميات العملة ، ثم عدد النتائج المحتملة: ن = 2 ك .

يترك ك - عدد لفات النرد ، ثم عدد النتائج المحتملة: ن = 6 ك .

في تجربة عشوائية ، يتم رمي عملة متماثلة مرتين. أوجد احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة بالضبط.

حل.

4 خيارات فقط: يا أوه أوه ص ص ؛ ص ص ؛ ا .

مواتية 2: يا ص و ص ؛ ا .

الاحتمال هو 2/4 = 1/2 = 0,5 .

الجواب: 0.5.

في تجربة عشوائية ، يتم رمي نردتين. أوجد احتمال الحصول على 8 نقاط إجمالاً. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

حل.

النرد هو النرد مع 6 جوانب. يمكن أن يتدحرج القالب الأول 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 نقاط. كل متغير من نقاط التنقيط يتوافق مع 6 خيارات لإسقاط النقاط في النرد الثاني.

أولئك. المجموع خيارات مختلفة 6 × 6 = 36.

ستكون الخيارات (نتائج التجربة) على النحو التالي:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

إلخ. ...............................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

دعنا نحسب عدد النتائج (الخيارات) التي يكون فيها مجموع نقطتي نرد 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

فقط 5 خيارات.

لنجد الاحتمال: 5/36 = 0.138 ≈ 0.14.

الجواب: 0.14.

يوجد إجمالي 55 تذكرة في مجموعة تذاكر علم الأحياء ، 11 منها تحتوي على سؤال حول علم النبات. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول علم النبات في تذكرة اختبار تم اختيارها عشوائيًا.

حل:

احتمال حصول الطالب على سؤال حول علم النبات في بطاقة اختبار تم اختيارها عشوائيًا هو 11/55 = 1/5 = 0.2.

الجواب: 0.2.

يشارك 20 رياضيا في بطولة الجمباز: 8 من روسيا و 7 من الولايات المتحدة والباقي من الصين. يتم تحديد الترتيب الذي يؤديه اللاعبون بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون الرياضي الذي ينافس أولاً من الصين.

حل.

هناك 20 رياضيا في المجموع.

منهم 20 - 8 - 7 = 5 رياضيين من الصين.

احتمال أن يكون اللاعب الذي ينافس أولاً من الصين هو 5/20 = 1/4 = 0.25.

الجواب: 0.25.

يعقد المؤتمر العلمي في 5 أيام. تم التخطيط لما مجموعه 75 تقريراً - الأيام الثلاثة الأولى ، 17 تقريراً لكل منها ، والباقي موزعة بالتساوي بين اليومين الرابع والخامس. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم جدولة تقرير الأستاذ م في اليوم الأخير من المؤتمر؟

حل:

تم تحديد اليوم الأخير من المؤتمر

(75 - 17 × 3): 2 = 12 تقرير.

احتمال جدولة تقرير الأستاذ M. في اليوم الأخير من المؤتمر هو 12/75 = 4/25 = 0.16.

الجواب: 0.16.

قبل بدء الجولة الأولى من بطولة كرة الريشة ، يتم تقسيم المشاركين بشكل عشوائي إلى أزواج من خلال سحب القرعة. في المجموع ، يشارك في البطولة 26 لاعبا في كرة الريشة ، من بينهم 10 مشاركين من روسيا ، بما في ذلك رسلان أورلوف. أوجد احتمالية أن يلعب رسلان أورلوف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس ريشة من روسيا؟

حل:

وتجدر الإشارة إلى أن رسلان أورلوف يجب أن يلعب مع لاعب تنس الريشة من روسيا. ورسلان أورلوف نفسه من روسيا أيضًا.

احتمال أن يلعب رسلان أورلوف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس ريشة من روسيا هو 9/25 = 36/100 = 0.36.

الجواب: 0.36.

داشا يرمي النرد مرتين. سجلت 8 نقاط في المجموع. أوجد احتمال الحصول على 2 من الرمية الأولى.

حل.

في المجموع ، يجب أن يتدحرج النردان 8 نقاط. هذا ممكن إذا كانت هناك المجموعات التالية:

فقط 5 خيارات. دعونا نحسب عدد النتائج (الخيارات) التي سقطت فيها نقطتان في الرمية الأولى.

هذا الخيار هو 1.

أوجد الاحتمال: 1/5 = 0.2.

الجواب: 0.2.

هناك 20 فريقًا يشاركون في بطولة العالم. بمساعدة الكثير ، يجب تقسيمهم إلى خمس مجموعات من أربعة فرق لكل منها. يوجد في الصندوق بطاقات مختلطة بأرقام المجموعة:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

يقوم قادة الفريق برسم بطاقة واحدة لكل منهم. ما هو احتمال أن يكون المنتخب الروسي في المجموعة الثالثة.

حل:

هناك 20 فريقًا في المجموع ، 5 مجموعات.

كل مجموعة لديها 4 فرق.

إذن ، في المجموع ، حصلنا على 20 نتيجة ، واحتجنا إلى 4 ، مما يعني أن احتمال سقوط النتيجة المرجوة هو 4/20 = 0.2.

الجواب: 0.2.

مصنعان ينتجان نفس الزجاج لمصابيح السيارات. ينتج المصنع الأول 45٪ من هذه الزجاجات ، والثاني - 55٪. ينتج المصنع الأول 3٪ من الزجاج المعيب ، والثاني - 1٪. أوجد احتمالية أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في متجر ما سيكون به عيب.

حل:

احتمال شراء الزجاج من المصنع الأول ووجود عيب فيه:

ص 1 = 0.45 0.03 = 0.0135.

احتمال شراء الزجاج من المصنع الثاني ووجود عيب فيه:

ص 2 = 0.55 0.01 = 0.0055.

لذلك ، وفقًا للصيغة الاحتمال الكاملتساوي احتمالية أن يكون الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في المتجر معيبًا

ع = ص 1 + ص 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

الجواب: 0.019.

إذا لعب Grandmaster A. لعب باللون الأبيض ، فإنه يفوز بـ Grandmaster B. باحتمال 0.52. إذا لعب A. باللون الأسود ، فإن A. تتفوق على B. مع احتمال 0.3.

يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين.

حل:

فرص الفوز في المباراتين الأولى والثانية مستقلة عن بعضها البعض. احتمال إنتاج أحداث مستقلة يساوي ناتج احتمالاتها:

ص = 0.52 0.3 = 0.156.

الجواب: 0.156.

يطلق الرياضي الرياضي النار على الأهداف خمس مرات. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.8. أوجد احتمال أن يكون الرياضي قد أصاب الأهداف في أول ثلاث مرات وأخطأ في المرتبتين الأخيرتين. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

حل:

نتيجة كل لقطة تالية لا تعتمد على السابقة. لذلك ، فإن الأحداث "إصابة من الطلقة الأولى" ، "إصابة في الطلقة الثانية" ، إلخ. مستقل.

احتمال كل نتيجة 0.8. لذا فإن احتمال الخطأ هو 1 - 0.8 = 0.2.

طلقة واحدة: 0.8

3 طلقة: 0.8

4 طلقة: 0.2

5 طلقة: 0.2

وفقًا لصيغة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة ، نجد أن الاحتمال المطلوب يساوي:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

الجواب: 0.02.

يحتوي المتجر على جهازي دفع. يمكن أن يكون كل واحد منهم معيبًا باحتمال 0.05 ، بغض النظر عن الجهاز الآلي الآخر. أوجد احتمال أن يكون جهازًا واحدًا على الأقل صالحًا للخدمة.

حل:

أوجد احتمال أن كلا الآليين معيبان.

هذه الأحداث مستقلة ، واحتمال ناتجها يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث:

0.05 0.05 = 0.0025.

إن الحدث الذي يتألف من حقيقة أن آلة واحدة على الأقل صالحة للخدمة هو عكس ذلك.

لذلك ، فإن احتمالها هو

1 − 0,0025 = 0,9975.

الجواب: 0.9975.

يضرب كاوبوي جون ذبابة على الحائط باحتمال 0.9 إذا أطلق النار بمسدس طلقة. إذا أطلق جون مسدسًا غير مسدس ، فإنه يضرب ذبابة باحتمال 0.2. هناك 10 مسدسات على الطاولة ، تم إطلاق 4 منها فقط. يرى كاوبوي جون ذبابة على الحائط ، يمسك عشوائيًا بأول مسدس يصادفه ويطلق النار بسرعة. أوجد الاحتمال الذي أخطأه جون.

حل:

احتمال أن يخطئ جون إذا انتزع مسدس رصاصة هو:

0.4 (1 - 0.9) = 0.04

احتمال أن يفوتك جون إذا أمسك بمسدس غير مسدس هو:

0.6 (1 - 0.2) = 0.48

هذه الأحداث غير متوافقة ، واحتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

0,04 + 0,48 = 0,52.

الجواب: 0.52.

أثناء إطلاق القصف المدفعي ، يقوم النظام الأوتوماتيكي بإطلاق النار على الهدف. إذا لم يتم تدمير الهدف ، يتم إطلاق النظام مرة أخرى. تتكرر الطلقات حتى يتم تدمير الهدف. احتمال تدمير هدف معين من الطلقة الأولى هو 0.4 ، ومع كل لقطة لاحقة يكون 0.6. كم عدد الطلقات المطلوبة للتأكد من أن احتمال تدمير الهدف لا يقل عن 0.98؟

حل:

يمكنك حل المشكلة "بالأفعال" ، بحساب احتمالية النجاة بعد سلسلة من الأخطاء المتتالية:

الفوسفور (1) = 0.6 ؛

ف (2) = ف (1) 0.4 = 0.24 ؛

ف (3) = ف (2) 0.4 = 0.096 ؛

الفوسفور (4) = الفوسفور (3) 0.4 = 0.0384 ؛

الفوسفور (5) = P (4) 0.4 = 0.01536.

الاحتمال الأخير أقل من 0.02 ، لذا يكفي خمس تسديدات على الهدف.

الجواب: 5.

هناك 26 شخصًا في الفصل ، من بينهم توأمان - أندري وسيرجي. ينقسم الفصل بشكل عشوائي إلى مجموعتين من 13 شخصًا لكل منهما. أوجد احتمال أن يكون أندريه وسيرجي في نفس المجموعة.

حل:

دع أحد التوائم في مجموعة ما.

سويًا معه ، سيكون 12 شخصًا من بين 25 من زملاء الدراسة المتبقين في المجموعة.

احتمال أن يكون التوأم الثاني من بين هؤلاء الـ 12 شخصًا يساوي

P = 12:25 = 0.48.

الجواب: 0.48.

تظهر الصورة متاهة. يزحف العنكبوت إلى المتاهة عند نقطة "المدخل". لا يمكن للعنكبوت أن يستدير ويزحف للخلف ، لذلك ، عند كل مفترق ، يختار العنكبوت أحد المسارات التي لم يزحف إليها بعد. بافتراض أن اختيار المسار الإضافي عشوائي تمامًا ، حدد باحتمالية خروج العنكبوت من D.

حل:

في كل من الشوكات الأربعة المحددة ، يمكن للعنكبوت أن يختار إما المسار المؤدي إلى الخروج D أو مسارًا آخر باحتمال 0.5. هذه أحداث مستقلة ، واحتمال منتجها (يصل العنكبوت إلى المخرج D) يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث. لذلك ، فإن احتمال الوصول إلى المخرج D هو (0.5) 4 = 0,0625.

محاضرة عن موضوع "نظرية الاحتمالات"

المهمة رقم 4 من امتحان 2016.

مستوى الملف الشخصي.

1 مجموعة:تعيينات على استخدام صيغة الاحتمال الكلاسيكية.

التمرين 1.تمتلك شركة سيارات الأجرة 60 سيارة. 27 منهم سوداء مع نقوش صفراء على الجانبين ، والباقي اللون الأصفربحروف سوداء. أوجد احتمال وصول سيارة صفراء ذات نقوش سوداء إلى مكالمة عشوائية.

المهمة 2.ألقى ميشا وأوليغ وناستيا وجاليا القرعة - من يجب أن يبدأ اللعبة. أوجد احتمال ألا يبدأ Galya اللعبة.

المهمة 3.في المتوسط ، من بين 1000 مضخة حديقة تم بيعها ، هناك 7 تسربات. أوجد احتمال عدم تسرب إحدى المضخات المختارة عشوائيًا.

المهمة 4.لا يوجد سوى 15 تذكرة في مجموعة تذاكر الكيمياء ، في 6 منها هناك سؤال حول موضوع "الأحماض". ابحث عن احتمال أن يحصل الطالب على سؤال حول موضوع "الأحماض" في تذكرة يتم اختيارها عشوائيًا في الامتحان.

المهمة 5.يتنافس 45 رياضيا في بطولة الغوص ، من بينهم 4 غواصين من إسبانيا و 9 غواصين من الولايات المتحدة الأمريكية. يتم تحديد ترتيب العروض بالتعادل. أوجد احتمال أن يكون الطائر الرابع والعشرون من الولايات المتحدة.

المهمة 6.ينعقد المؤتمر العلمي في 3 أيام. تم التخطيط لما مجموعه 40 تقريرًا - 8 تقارير في اليوم الأول ، والباقي موزعة بالتساوي بين اليومين الثاني والثالث. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم جدولة تقرير الأستاذ م في اليوم الأخير من المؤتمر؟

التمرين 1.قبل بدء الجولة الأولى من بطولة التنس ، يتم تقسيم المشاركين بشكل عشوائي إلى أزواج من خلال سحب القرعة. في المجموع ، يشارك 26 لاعب تنس في البطولة ، من بينهم 9 مشاركين من روسيا ، بما في ذلك تيموفي تروبنيكوف. أوجد احتمال أن يلعب تيموفي تروبنيكوف في الجولة الأولى أي لاعب تنس من روسيا.

المهمة 2.قبل بدء الجولة الأولى من بطولة كرة الريشة ، يتم تقسيم المشاركين بشكل عشوائي إلى أزواج من خلال سحب القرعة. في المجموع ، يشارك في البطولة 76 لاعبًا في كرة الريشة ، من بينهم 22 رياضيًا من روسيا ، من بينهم فيكتور بولياكوف. أوجد احتمال أن يلعب فيكتور بولياكوف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس ريشة من روسيا.

المهمة 3.هناك 16 طالبًا في الفصل ، من بينهم صديقان - أوليغ وميخائيل. يتم تقسيم الفصل بشكل عشوائي إلى 4 مجموعات متساوية. أوجد احتمال أن يكون أوليغ وميخائيل في نفس المجموعة.

المهمة 4.هناك 33 طالبًا في الفصل ، من بينهم صديقان - أندري وميخائيل. يتم تقسيم الطلاب بشكل عشوائي إلى 3 مجموعات متساوية. أوجد احتمال أن يكون أندريه وميخائيل في نفس المجموعة.

التمرين 1:في مصنع أدوات المائدة الخزفية ، 20٪ من الألواح المنتجة معيبة. أثناء مراقبة جودة المنتج ، يتم الكشف عن 70٪ من اللوحات المعيبة. باقي اللوحات معروضة للبيع. أوجد احتمال عدم وجود عيوب في اللوحة المختارة عشوائيًا وقت الشراء. جولة إجابتك إلى أقرب مائة.

المهمة 2.في مصنع أدوات المائدة الخزفية ، 30٪ من الألواح المنتجة معيبة. أثناء مراقبة جودة المنتج ، يتم الكشف عن 60٪ من اللوحات المعيبة. باقي اللوحات معروضة للبيع. أوجد احتمال أن تكون اللوحة المختارة عشوائيًا وقت الشراء معيبة. جولة إجابتك إلى أقرب مائة.

المهمة 3:مصنعان ينتجان نفس الزجاج لمصابيح السيارات. ينتج المصنع الأول 30٪ من هذه الزجاجات ، والثاني - 70٪. ينتج المصنع الأول 3٪ من الزجاج المعيب ، والثاني - 4٪. أوجد احتمالية أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في متجر ما سيكون به عيب.

2 مجموعة:إيجاد احتمالية وقوع الحدث المعاكس.

التمرين 1.احتمال إصابة مركز الهدف من مسافة 20 مترًا لمطلق النار المحترف هو 0.85. أوجد احتمال عدم إصابة مركز الهدف.

المهمة 2.عند تصنيع محامل بقطر 67 مم ، فإن احتمال أن يختلف القطر عن المحدد بأقل من 0.01 مم هو 0.965. أوجد احتمال أن يكون قطر المحمل العشوائي أقل من 66.99 مم أو أكبر من 67.01 مم.

3 مجموعة:إيجاد احتمالية وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث غير المتوافقة. صيغة الجمع الاحتمالية.

التمرين 1.أوجد احتمال أن يتدحرج النرد 5 أو 6.

المهمة 2.يوجد 30 كرة في الجرة: 10 حمراء و 5 زرقاء و 15 بيضاء. أوجد احتمال رسم كرة ملونة.

المهمة 3.يطلق مطلق النار على هدف مقسم إلى 3 مناطق. احتمالية إصابة المنطقة الأولى هي 0.45 ، والثانية - 0.35. أوجد احتمال إصابة الرامي للمنطقة الأولى أو الثانية برصاصة واحدة.

المهمة 4.تعمل الحافلة يوميًا من وسط المنطقة إلى القرية. احتمال أن يكون هناك أقل من 18 راكبا يوم الاثنين هو 0.95. احتمال أن يكون هناك أقل من 12 راكبًا هو 0.6. أوجد احتمال أن يكون عدد الركاب بين 12 و 17.

المهمة 5.احتمال أن الجديد غلاية كهربائيةستستمر أكثر من عام ، أي ما يعادل 0.97. احتمال استمراره لأكثر من عامين هو 0.89. أوجد احتمال أن يستمر أقل من عامين ولكن أكثر من عام.

المهمة 6.احتمال قيام الطالب U بشكل صحيح بحل أكثر من 9 مهام في اختبار الأحياء هو 0.61. احتمالية أن تحل U. بشكل صحيح أكثر من 8 مسائل هو 0.73. أوجد احتمال أن U يحل 9 مشاكل بالضبط بشكل صحيح.

4 مجموعة:احتمال حدوث أحداث مستقلة في وقت واحد. صيغة الضرب الاحتمالية.

التمرين 1.الغرفة مضاءة بفانوس بمصباحين. احتمال احتراق مصباح واحد في السنة هو 0.3. أوجد احتمال عدم احتراق مصباح واحد على الأقل خلال عام.

المهمة 2.الغرفة مضاءة بفانوس بثلاثة مصابيح. احتمال احتراق مصباح واحد في السنة هو 0.3. أوجد احتمال عدم احتراق مصباح واحد على الأقل خلال عام.

المهمة 3.هناك اثنان من الباعة في المتجر. كل واحد منهم مشغول مع عميل لديه احتمال 0.4. ابحث عن احتمال أن يكون كلا البائعين مشغولين في وقت عشوائي في نفس الوقت (افترض أن العملاء يدخلون بشكل مستقل عن بعضهم البعض).

المهمة 4.هناك ثلاثة بائعين في المتجر. كل واحد منهم مشغول مع عميل لديه احتمال 0.2. ابحث عن احتمال أن يكون جميع البائعين الثلاثة مشغولين في نفس الوقت في وقت عشوائي (افترض أن العملاء يدخلون بشكل مستقل عن بعضهم البعض).

المهمة 5:وفقًا لتعليقات العملاء ، أعرب ميخائيل ميخائيلوفيتش عن تقديره لموثوقية متجرين عبر الإنترنت. احتمال تسليم المنتج المطلوب من المتجر أ هو 0.81. احتمال تسليم هذا المنتج من المتجر B هو 0.93. طلب ميخائيل ميخائيلوفيتش البضائع دفعة واحدة في كلا المتجرين. بافتراض أن المتاجر عبر الإنترنت تعمل بشكل مستقل عن بعضها البعض ، ابحث عن احتمال عدم قيام أي من المتاجر بتسليم البضائع.

المهمة 6:إذا لعب Grandmaster A. لعب باللون الأبيض ، فإنه يفوز بالسيد الكبير B. باحتمال 0.6. إذا لعب A. باللون الأسود ، فإن A. تتفوق على B. مع احتمال 0.4. يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين.

5 مجموعة:مهام تطبيق كلا الصيغتين.

التمرين 1:يقوم جميع المرضى الذين يشتبه في إصابتهم بالتهاب الكبد بإجراء فحص دم. إذا أظهر الاختبار التهاب الكبد ، فإن نتيجة الاختبار تسمى إيجابية. في مرضى التهاب الكبد ، يعطي التحليل نتيجة إيجابية مع احتمال 0.9. إذا لم يكن المريض مصابًا بالتهاب الكبد ، فقد يعطي الاختبار نتيجة إيجابية خاطئة مع احتمال 0.02. من المعروف أن 66٪ من المرضى المشتبه في إصابتهم بالتهاب الكبد مصابون بالفعل بالتهاب الكبد. أوجد احتمالية أن تكون نتيجة اختبار مريض أُدخل إلى العيادة يشتبه في إصابته بالتهاب الكبد إيجابية.

المهمة 2.يضرب كاوبوي جون ذبابة على الحائط باحتمال 0.9 إذا أطلق النار بمسدس طلقة. إذا أطلق جون مسدسًا غير منظور ، فإنه يضرب ذبابة باحتمال 0.2. هناك 10 مسدسات على الطاولة ، تم إطلاق 4 منها فقط. يرى كاوبوي جون ذبابة على الحائط ، يمسك عشوائيًا بأول مسدس يصادفه ويطلق النار بسرعة. أوجد الاحتمال الذي أخطأه جون.

المهمة 3:

في بعض المناطق ، أظهرت الملاحظات:

1. إذا كان صباح حزيران (يونيو) صافياً ، فإن احتمال هطول أمطار في ذلك اليوم هو 0.1. 2. إذا كان صباح حزيران / يونيو غائمًا ، فإن احتمال سقوط أمطار نهارًا هو 0.4. 3. احتمالية أن يكون الجو غائمًا في شهر حزيران (يونيو) هو 0.3.

أوجد احتمال ألا تمطر في يوم عشوائي في حزيران (يونيو).

المهمة 4.أثناء إطلاق القصف المدفعي ، يقوم النظام الأوتوماتيكي بإطلاق النار على الهدف. إذا لم يتم تدمير الهدف ، يتم إطلاق النظام مرة أخرى. تتكرر الطلقات حتى يتم تدمير الهدف. احتمال تدمير هدف معين من اللقطة الأولى هو 0.3 ، ومع كل لقطة لاحقة يكون 0.9. كم عدد الطلقات المطلوبة للتأكد من أن احتمال تدمير الهدف لا يقل عن 0.96؟

في مجمع تجارياثنين من آلات البيع متطابقة تبيع القهوة. تتم صيانة آلات البيع في المساء بعد إغلاق المركز. من المعروف أن احتمالية وقوع حدث "بحلول المساء تنفد الآلة الأولى من القهوة" هو 0.25. نفس الاحتمال للحدث "بحلول المساء سوف تنفد القهوة من الآلة الثانية". احتمال نفاد القهوة من كلا الجهازين بحلول المساء هو 0.15. أوجد احتمال وجود قهوة متبقية في كلتا الآلتين بحلول مساء اليوم.

حل.

ضع في اعتبارك الأحداث

أ = نفاد القهوة في الآلة الأولى ،

B = القهوة ستنتهي في الآلة الثانية.

أ ب = نفاد القهوة في كلا الجهازين ،

A + B = آلة واحدة على الأقل سوف تنفد من القهوة.

حسب الشرط P (A) = P (B) = 0.25 ؛ الفوسفور (أ ب) = 0.15.

الأحداث A و B مشتركة ، واحتمال مجموع حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث ، مخفضة باحتمالية منتجها:

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0.25 + 0.25 - 0.15 = 0.35.

لذلك ، فإن احتمال الحدث المعاكس ، أن القهوة ستبقى في كلا الجهازين ، يساوي 1 - 0.35 = 0.65.

الجواب: 0.65.

دعنا نعطي حلا آخر.

احتمال بقاء القهوة في الآلة الأولى هو 1 - 0.25 = 0.75. احتمال بقاء القهوة في الآلة الثانية هو 1 - 0.25 = 0.75. احتمال بقاء القهوة في آلة البيع الأولى أو الثانية هو 1 - 0.15 = 0.85. بما أن P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) ، لدينا: 0.85 = 0.75 + 0.75 - X، من أين هو الاحتمال المطلوب X = 0,65.

ملحوظة.

لاحظ أن الحدثين A و B ليسا مستقلين. في الواقع ، سيكون احتمال إنتاج أحداث مستقلة مساويًا لحاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث: P (A · B) = 0.25 · 0.25 = 0.0625 ، ومع ذلك ، من خلال الافتراض ، فإن هذا الاحتمال يساوي 0.15.

إلينا الكسندروفنا بوبوفا 10.10.2018 09:57

أنا ، أستاذ مشارك ، مرشح العلوم التربوية، أنا أعتبر أنه من الغباء الكامل والمذهل تضمين المهام للأحداث التابعة لأطفال المدارس. المعلمون لا يعرفون هذا القسم - لقد دعيت لإلقاء محاضرة على التلفزيون في دورات تدريب المعلمين. هذا القسم ليس ولا يمكن أن يكون في البرنامج. ليس من الضروري ابتكار طرق بدون مبرر. يتم ببساطة استبعاد المهام من هذا النوع. نقصر أنفسنا على التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. وحتى ذلك الحين ، قم بدراسة الكتب المدرسية مبدئيًا - انظر ما كتبه المؤلفون عن هذا. انظر إلى زوباريف الصف الخامس. إنها لا تعرف حتى الرموز وتعطي الاحتمال كنسبة مئوية. بعد التعلم من هذه الكتب المدرسية ، لا يزال الطلاب يعتقدون أن الاحتمال هو نسبة مئوية. العديد من المهام المثيرة للاهتمام حول التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. يجب أن يطلب منهم الطلاب. لا يوجد حد لاستنكار أساتذة الجامعات من هرائك على إدخال هذا النوع من المهام.

المتقدمين الانتباه!هنا عدد قليل مفكك مهام الاستخدام. الباقي ، الأكثر إثارة للاهتمام ، موجودون في مواد الفيديو المجانية الخاصة بنا. شاهد وتصرف!

سنبدأ بـ مهام بسيطةوالمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.
عشوائييسمى الحدث حدثًا لا يمكن التنبؤ به بدقة مسبقًا. يمكن أن يحدث أم لا.
لقد ربحت اليانصيب - حدث عشوائي. لقد قمت بدعوة الأصدقاء للاحتفال بالفوز ، وفي الطريق إليك علقوا في المصعد - وهو حدث عشوائي أيضًا. صحيح أن السيد كان قريبًا وحرر الشركة بأكملها في عشر دقائق - ويمكن اعتبار هذا أيضًا حادثًا سعيدًا ...

حياتنا مليئة بالأحداث العشوائية. يمكن القول أن كل واحد منهم يحدث مع البعض احتمالا. على الأرجح ، أنت معتاد بشكل حدسي على هذا المفهوم. الآن سنقدم تعريفًا رياضيًا للاحتمال.

لنبدأ من جدا مثال بسيط. أنت تقذف عملة معدنية. طرة أو نقش؟

يسمى هذا الإجراء ، الذي يمكن أن يؤدي إلى نتيجة من عدة نتائج ، في نظرية الاحتمالات امتحان.

الرؤوس والذيل - اثنان ممكن نزوحالاختبارات.

سيسقط النسر في حالة واحدة من حالتين ممكنتين. ويقولون ان احتمالاأن رؤوس العملة تساوي.

دعونا نرمي النرد. النرد له ستة جوانب ، لذلك هناك ست نتائج محتملة.

على سبيل المثال ، خمنت أن ثلاث نقاط ستنهار. هذه نتيجة واحدة من أصل ست نتائج ممكنة. في نظرية الاحتمالات ، سيتم استدعاؤها نتيجة مواتية.

احتمال الحصول على ثلاثية هو (نتيجة واحدة إيجابية من ستة محتملة).

احتمال أربعة هو أيضًا

لكن احتمال ظهور السبعة هو صفر. بعد كل شيء ، لا يوجد وجه بسبع نقاط على المكعب.

احتمال وقوع حدث يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة إلى العدد الإجمالي للنتائج.

من الواضح أن الاحتمال لا يمكن أن يكون أكبر من واحد.

هنا مثال آخر. في كيس من التفاح أحمر اللون الباقي أخضر. لا تختلف التفاح في الشكل أو الحجم. تضع يدك في الكيس وتخرج تفاحة بشكل عشوائي. احتمال رسم تفاحة حمراء هو واحتمال رسم تفاحة خضراء.

احتمالية الحصول على اللون الأحمر أو تفاحة خضراءمساوي ل .

دعنا نحلل مشاكل نظرية الاحتمالات المدرجة في مجموعات التحضير للامتحان.

. في شركة سيارات الأجرة هذه اللحظةسيارات مجانية: أحمر ، أصفر وأخضر. في مكالمة ، غادرت إحدى السيارات ، والتي تصادف أنها الأقرب إلى العميل. أوجد احتمال وصول سيارة أجرة صفراء.

هناك سيارات في المجموع ، أي واحدة من أصل خمسة عشر ستأتي إلى العميل. هناك تسعة صفراء ، مما يعني أن احتمال وصول سيارة صفراء ، أي.

. (إصدار تجريبي) في مجموعة تذاكر علم الأحياء لجميع التذاكر ، يوجد في اثنتين منها سؤال حول عيش الغراب. في الامتحان ، يحصل الطالب على تذكرة واحدة يتم اختيارها عشوائيًا. ابحث عن احتمال أن هذه التذكرة لا تتضمن السؤال عن الفطر.

من الواضح أن احتمال سحب تذكرة دون السؤال عن الفطر هو ، هذا هو.

. قامت لجنة أولياء الأمور بشراء الألغاز لهدايا التخرج للأطفال العام الدراسيوالتي تحتوي على لوحات لفنانين مشهورين وصور حيوانات. يتم توزيع الهدايا بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن تحصل Vovochka على لغز الحيوان.

تم حل المهمة بطريقة مماثلة.

إجابة: .

. الرياضيون يشاركون في بطولة الجمباز: من روسيا والولايات المتحدة والباقي - من الصين. يتم تحديد الترتيب الذي يؤديه اللاعبون بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون آخر رياضي شارك في المنافسة من الصين.

لنتخيل أن جميع الرياضيين في نفس الوقت اقتربوا من القبعة وسحبوا منها قطعًا من الورق بها أرقام. سيحصل بعضهم على الرقم العشرين. احتمالية انسحاب رياضي صيني متساوية (لأن الرياضيين من الصين). إجابة: .

. طُلب من الطالب تسمية رقم من إلى. ما هو احتمال أن يسمي رقمًا من مضاعفات الخمسة؟

كل خمس سنواترقم من مجموعة معينة يقبل القسمة على. لذا فإن الاحتمال هو.

رمي النرد. أوجد احتمال الحصول على عدد فردي من النقاط.

الأعداد الفردية؛ - حتى. احتمال عدد فردي من النقاط هو.

إجابة: .

. تم رمي العملة ثلاث مرات. ما هو احتمال رأسين وذيل واحد؟

لاحظ أنه يمكن صياغة المشكلة بشكل مختلف: يتم رمي ثلاث عملات في نفس الوقت. لن يؤثر على القرار.

كم عدد النتائج المحتملة في رأيك هناك؟

نرمي قطعة نقود. هذا الإجراء له نتيجتان محتملتان: الرؤوس والأطراف

عملتان - أربع نتائج بالفعل:

ثلاث عملات؟ هذا صحيح ، النتائج ، منذ ذلك الحين.

يظهر رأسان وذيل واحد ثلاث مرات من أصل ثمانية.

إجابة: .

. في تجربة عشوائية ، يتم رمي نردتين. أوجد احتمال أن يسقط المجموع نقاطًا. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

رمي النرد الأول - ست نتائج. ولكل منهم ستة أخرى ممكنة - عندما نرمي النرد الثاني.

لقد حصلنا على أن هذا الإجراء قد رمي اثنين حجر النرد- كل النتائج الممكنة منذ ذلك الحين.

والآن من أجل الأخبار السارة:

احتمال الحصول على ثماني نقاط هو.

>. يصيب مطلق النار الهدف باحتمالية. أوجد احتمال أن يصيب الهدف أربع مرات متتالية.

إذا كان احتمال الضرب متساويًا ، فإن احتمال الضرب يكون. نحن نجادل بنفس الطريقة كما في المشكلة السابقة. احتمال ضربتين متتاليتين هو. واحتمال أربع مرات متتالية يساوي.

الاحتمال: منطق القوة الغاشمة.

هنا مهمة من عمل التشخيصالذي وجده الكثيرون صعبًا.

كان لدى بيتيا عملات معدنية من الروبل والروبل في جيبه. قام بيتيا ، دون أن ينظر ، بتحويل بعض العملات المعدنية إلى جيب آخر. أوجد احتمال أن تكون العملات المعدنية من فئة الخمسة روبل الآن في جيوب مختلفة.

نحن نعلم أن احتمال حدث ما يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة إلى إجمالي عدد النتائج. لكن كيف تحسب كل هذه النتائج؟

يمكنك بالطبع الإشارة إلى عملات من فئة الخمس روبل بالأرقام ، وعملات العشرة روبل بالأرقام - ثم حساب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها اختيار ثلاثة عناصر من المجموعة.

ومع ذلك ، هناك حل أسهل:

نقوم بترميز العملات المعدنية بأرقام: ، (هذه خمسة روبل) ، (هذه عشرة روبل). يمكن الآن صياغة حالة المشكلة على النحو التالي:

هناك ست شرائح مرقمة من إلى. ما هو عدد الطرق التي يمكن توزيعها بالتساوي بين جيبين بحيث لا ينتهي الأمر بالرقائق ذات الأرقام معًا؟

دعنا نكتب ما لدينا في الجيب الأول.

للقيام بذلك ، سنقوم بتكوين جميع المجموعات الممكنة من المجموعة. مجموعة من ثلاث شرائح ستكون عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام. من الواضح أنه في ظل ظروفنا ونفس مجموعة الرموز. من أجل عدم تفويت أي شيء وعدم التكرار ، نقوم بترتيب الأرقام المقابلة المكونة من ثلاثة أرقام بترتيب تصاعدي:

الجميع! لقد جربنا جميع المجموعات الممكنة بدءًا من. نواصل:

إجمالي النتائج الممكنة.

لدينا شرط - رقائق بأرقام ويجب ألا نكون معًا. هذا يعني ، على سبيل المثال ، أن المجموعة لا تناسبنا - فهذا يعني أن الرقائق وكلاهما انتهى في الجيب الأول ، ولكن في الجيب الثاني. النتائج المواتية بالنسبة لنا هي تلك التي توجد فيها إما فقط أو فقط. ها هم:

134 ، 135 ، 136 ، 145 ، 146 ، 156 ، 234 ، 235 ، 236 ، 245 ، 246 ، 256 - إجمالي النتائج الإيجابية.

ثم الاحتمال المطلوب هو.

ما المهام التي تنتظرك في امتحان الرياضيات؟

دعنا نحلل واحدة من أصعب المشاكل في نظرية الاحتمالات.

من أجل الالتحاق بمعهد تخصص "اللغويات" ، يجب على المتقدم Z. أن يسجل 70 نقطة على الأقل في امتحان الدولة الموحد في كل من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية واللغة الأجنبية. للتسجيل في تخصص "التجارة" ، تحتاج إلى تسجيل 70 نقطة على الأقل في كل مادة من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية والدراسات الاجتماعية.

احتمال حصول المتقدم Z. على 70 نقطة على الأقل في الرياضيات هو 0.6 ، في اللغة الروسية - 0.8 ، في لغة اجنبية- 0.7 وفي الدراسات الاجتماعية - 0.5.
أوجد احتمال أن يتمكن Z. من إدخال واحد على الأقل من التخصصين المذكورين.

لاحظ أن المشكلة لا تسأل عما إذا كان مقدم الطلب المسمى Z. سيدرس اللغويات والتجارة في نفس الوقت ويحصل على شهادتين. نحتاج هنا إلى إيجاد احتمال أن يتمكن Z. من إدخال واحد على الأقل من هذين التخصصين - أي أنه سيحرز العدد المطلوب من النقاط.
لدخول تخصص واحد على الأقل من التخصصين ، يجب أن يسجل Z. 70 نقطة على الأقل في الرياضيات. وباللغة الروسية. ومع ذلك - العلوم الاجتماعية أو الأجنبية.
احتمال حصوله على 70 نقطة في الرياضيات هو 0.6.
احتمال تسجيل النقاط في الرياضيات واللغة الروسية هو 0.6 0.8.

دعونا نتعامل مع الدراسات الأجنبية والاجتماعية. الخيارات مناسبة لنا عندما يسجل المتقدم نقاطًا في الدراسات الاجتماعية أو بلغة أجنبية أو في كليهما. لا يكون الخيار مناسبًا عندما لا يسجل نقاطًا سواء في اللغة أو في "المجتمع". هذا يعني أن احتمال اجتياز الدراسات الاجتماعية أو الأجنبية بنسبة 70 نقطة على الأقل يساوي
1 – 0,5 0,3.
نتيجة لذلك ، فإن احتمال اجتياز الرياضيات والدراسات الروسية والاجتماعية أو دراسة أجنبية يساوي
0.6 0.8 (1 - 0.5 0.3) = 0.408. هذا هو الجواب.

يمكن تقديم نظرية الاحتمالية في الامتحان في الرياضيات في شكل مهام بسيطة للتعريف الكلاسيكي للاحتمال ، وفي شكل أشياء معقدة نوعًا ما ، لتطبيق النظريات المقابلة.

في هذا الجزء ، نأخذ في الاعتبار المشكلات التي يكفي استخدام تعريف الاحتمال لها. أحيانًا نطبق هنا أيضًا معادلة لحساب احتمالية الحدث المعاكس. على الرغم من أنه يمكن الاستغناء عن هذه الصيغة هنا ، إلا أنها ستظل ضرورية عند حل المشكلات التالية.

الجزء النظري

الحدث العشوائي هو حدث قد يحدث أو لا يحدث (من المستحيل التنبؤ مسبقًا) أثناء الملاحظة أو الاختبار.

افترض أنه أثناء الاختبار (رمي عملة معدنية أو نرد ، رسم تذكرة امتحان ، إلخ) من الممكن تحقيق نفس النتائج الممكنة. على سبيل المثال ، عند رمي عملة معدنية ، يكون عدد جميع النتائج 2 ، حيث لا يمكن أن تكون هناك نتائج أخرى باستثناء فقدان "ذيول" أو "النسور". عند رمي النرد ، هناك 6 نتائج ممكنة ، حيث أن ظهور أي من الأرقام من 1 إلى 6 ممكن بشكل متساوٍ على الوجه العلوي للنرد.

احتمال وقوع حدث "أ" هو نسبة عدد النتائج المفضلة لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي للنتائج الممكنة المتساوية (هذا هو التعريف الكلاسيكي للاحتمال). نحن نكتب

على سبيل المثال ، دع الحدث A يتكون من الحصول على عدد فردي من النقاط على لفة نرد. هناك 6 نتائج محتملة في المجمل: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 على الوجه العلوي للنرد. في نفس الوقت ، النتائج مع 1 ، 3 ، 5 لفات تكون مواتية للحدث أ. .

لاحظ أن المتباينة المزدوجة صحيحة دائمًا ، لذا فإن احتمال حدوث أي حدث A يقع على الفترة ، أي . إذا كان احتمال إجابتك أكبر من واحد ، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأ في مكان ما وتحتاج إلى إعادة التحقق من الحل.

يتم استدعاء الأحداث A و B عكسبعضنا البعض إذا كانت أي نتيجة مواتية لواحد منهم بالضبط.

على سبيل المثال ، عند رمي نرد ، يكون حدث "دحرجة رقم فردي" هو عكس الحدث "المتداول رقمًا زوجيًا".

يتم الإشارة إلى الحدث المعاكس للحدث أ. من تعريف الأحداث المعاكسة يتبع ذلك
، وسائل،
.

مشاكل حول اختيار كائنات من مجموعة

مهمة 1. 24 فريق يشاركون في بطولة العالم. من خلال القرعة ، يجب تقسيمهم إلى أربع مجموعات كل منها ستة فرق. يوجد في الصندوق بطاقات مختلطة بأرقام المجموعة:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

يقوم قادة الفريق برسم بطاقة واحدة لكل منهم. ما هو احتمال أن يكون المنتخب الروسي في المجموعة الثالثة؟

العدد الإجمالي للنتائج يساوي عدد البطاقات - هناك 24 منها ، وهناك 6 نتائج مواتية (حيث أن الرقم 3 مكتوب على ست بطاقات). الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.25.

المهمة 2.تحتوي الجرة على 14 كرات حمراء و 9 صفراء و 7 كرات خضراء. يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من الجرة. ما هو احتمال أن تكون هذه الكرة صفراء؟

إجمالي عدد النتائج يساوي عدد الكرات: 14 + 9 + 7 = 30. عدد النتائج التي تفضل هذا الحدث، يساوي 9. الاحتمال المطلوب يساوي .

المهمة 3.توجد 10 أرقام على لوحة مفاتيح الهاتف ، من 0 إلى 9. ما هو احتمال أن يكون الرقم الذي يتم ضغطه عشوائيًا أكبر من 5؟

النتيجة هنا هي الضغط على مفتاح معين ، لذلك هناك 10 نتائج متساوية في المجموع. يتم تفضيل الحدث المشار إليه بواسطة النتائج ، مما يعني الضغط على المفتاح 6 أو 8. هناك نوعان من هذه النتائج. الاحتمال المطلوب هو.

الجواب: 0.2.

المهمة 4. ما هو احتمال أن العدد الطبيعي المختار عشوائيًا من 4 إلى 23 يقبل القسمة على 3؟

هناك 23-4 + 1 = 20 عددًا طبيعيًا في الفترة من 4 إلى 23 ، مما يعني أن هناك 20 نتيجة محتملة في المجموع. في هذا المقطع ، الأرقام التالية هي مضاعفات الثلاثة: 6 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18 ، 21. هناك 6 أرقام في المجموع ، لذلك 6 نتائج تفضل الحدث المعني. الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.3.

المهمة 5.من بين 20 تذكرة معروضة في الامتحان ، يمكن للطالب أن يجيب فقط على 17. ما هو احتمال ألا يتمكن الطالب من الإجابة على التذكرة المختارة عشوائياً؟

الطريقة الأولى.

نظرًا لأن الطالب يمكنه الإجابة على 17 تذكرة ، فلا يمكنه الإجابة على 3 تذاكر. احتمال الحصول على واحدة من هذه التذاكر هو ، بحكم التعريف ،.

الطريقة الثانية.

قم بالإشارة إلى الحدث "يمكن للطالب الرد على التذكرة". ثم . احتمال وقوع الحدث المعاكس = 1 - 0.85 = 0.15.

الجواب: 0.15.

المهمة 6. في البطولة الجمباز الايقاعييشارك 20 رياضيا: 6 من روسيا ، 5 من ألمانيا ، والباقي من فرنسا. يتم تحديد الترتيب الذي يؤديه اللاعبون بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون اللاعب السابع من فرنسا.

هناك 20 لاعبا في المجموع ، كل منهم لديهم فرص متساوية لأداء المركز السابع. لذلك ، هناك 20 نتيجة محتملة متساوية. من فرنسا 20 - 6 - 5 = 9 رياضيين ، لذلك هناك 9 نتائج إيجابية لهذا الحدث. الاحتمال المطلوب هو.

الجواب: 0.45.

المهمة 7.يعقد المؤتمر العلمي في 5 أيام. تم التخطيط لما مجموعه 50 تقريرًا - الأيام الثلاثة الأولى ، 12 تقريرًا لكل منها ، والباقي يتم توزيعها بالتساوي بين اليومين الرابع والخامس. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم تحديد موعد تقرير الأستاذ "ن" في اليوم الأخير من المؤتمر؟

أولاً ، دعنا نتعرف على عدد التقارير التي تمت جدولتها في اليوم الأخير. تم جدولة التقارير للأيام الثلاثة الأولى. لا يزال هناك 50 - 36 = 14 تقريرًا يتم توزيعها بالتساوي بين اليومين المتبقيين ، لذلك تمت جدولة التقارير في اليوم الأخير.

سننظر في النتيجة رقم سريتقرير الأستاذ ن. هناك 50 نتيجة ممكنة متساوية.و 7 نتائج تفضل الحدث المشار إليه (آخر 7 أرقام في قائمة التقارير). الاحتمال المطلوب هو.

الجواب: 0.14.

المهمة 8. يوجد 10 مقاعد على متن الطائرة بجوار مخارج الطوارئ و 15 مقعدًا خلف الحواجز الفاصلة بين الكبائن. بقية المقاعد غير مريحة للركاب طويل القامة. الراكب K. طويل القامة. أوجد احتمال حصول الراكب "ك" على مقعد مريح عند تسجيل الوصول ، مع اختيار عشوائي للمقعد ، إذا كان هناك 200 مقعد على متن الطائرة.

النتيجة في هذه المشكلة هي اختيار الموقع. في المجموع هناك 200 نتيجة ممكنة متساوية. قم بتفضيل الحدث "المكان المختار مناسب" 15 + 10 = 25 نتيجة. الاحتمال المطلوب هو.

الجواب: 0.125.

المهمة 9. من بين 1000 مطحنة قهوة تم تجميعها في المصنع ، هناك 7 قطع معيبة. يقوم الخبير بفحص مطحنة قهوة واحدة تم اختيارها عشوائيًا من بين 1000 طاحونة. أوجد احتمال أن تكون مطحنة القهوة التي يتم فحصها معيبة.

عند اختيار مطحنة قهوة بشكل عشوائي ، من الممكن أن يكون هناك 1000 نتيجة ، والحدث أ "مطحنة القهوة المختارة معيبة" يكون مناسبًا لسبع نتائج. حسب تعريف الاحتمال.

الجواب: 0.007.

المهمة 10.ينتج المصنع ثلاجات. في المتوسط ، لكل 100 ثلاجة عالية الجودة ، هناك 15 ثلاجة بها عيوب خفية. أوجد احتمال أن تكون الثلاجة المشتراة عالية الجودة. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.

هذه المهمة مشابهة للمهمة السابقة. ومع ذلك ، فإن عبارة "لكل 100 ثلاجة عالية الجودة ، هناك 15 بها عيوب" تخبرنا بذلك 15 قطعة معيبة ليست مدرجة في جودة 100. لذلك ، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو 100 + 15 = 115 (يساوي العدد الإجمالي للثلاجات) ، والنتائج الإيجابية هي 100. والاحتمال المطلوب هو. لحساب القيمة التقريبية لكسر ، من الملائم استخدام القسمة بزاوية. نحصل على 0.869 ... وهو 0.87.

الجواب: 0.87.

المهمة 11. قبل بدء الجولة الأولى من بطولة التنس ، يتم تقسيم المشاركين بشكل عشوائي إلى أزواج من خلال سحب القرعة. في المجموع ، يشارك في البطولة 16 لاعب تنس ، من بينهم 7 مشاركين من روسيا ، بما في ذلك مكسيم زايتسيف. أوجد احتمال أن يلعب مكسيم زايتسيف في الجولة الأولى أي لاعب تنس من روسيا.

كما في المهمة السابقة ، تحتاج إلى قراءة الشرط بعناية وفهم ما هي النتيجة وما هي النتيجة الإيجابية (على سبيل المثال ، يؤدي التطبيق غير المدروس لمعادلة الاحتمال إلى إجابة خاطئة).

النتيجة هنا منافس مكسيم زايتسيف. نظرًا لوجود 16 لاعب تنس في المجموع ، ولا يستطيع مكسيم اللعب مع نفسه ، فهناك 16-1 = 15 نتيجة محتملة متساوية. النتيجة الإيجابية هي منافس من روسيا. هناك 7 نتائج مواتية - 1 = 6 (نستبعد مكسيم نفسه من بين الروس). الاحتمال المطلوب هو.

الجواب: 0.4.

المهمة 12.حضر قسم كرة القدم 33 شخصًا ، من بينهم شقيقان - أنطون وديمتري. أولئك الذين يحضرون القسم ينقسمون بشكل عشوائي إلى ثلاث فرق من 11 شخصًا لكل فريق. أوجد احتمال أن يكون أنطون وديمتري في نفس الفريق.

دعونا نشكل الفرق عن طريق وضع اللاعبين بالتسلسل في أماكن فارغة ، مع البدء بأنطون وديمتري. أولاً ، دعنا نضع أنطون في مكان تم اختياره عشوائيًا من بين 33 مكانًا مجانيًا. والآن نضع ديمتري في مكان فارغ (سننظر في اختيار مكان له كنتيجة). هناك 32 في المجموع أماكن مجانيةأ (تم أخذ واحدة بالفعل من قبل أنطون) ، لذا فإن إجمالي 32 نتيجة ممكنة. هناك 10 أماكن خالية متبقية في نفس الفريق مع أنطون ، لذا فإن حدث "أنطون وديمتري في نفس الفريق" يفضله 10 نتائج. احتمالية هذا الحدث .

الجواب: 0.3125.

المهمة 13. انكسرت الساعة الميكانيكية ذات الاتصال الهاتفي لمدة اثنتي عشرة ساعة في وقت ما وتوقفت عن العمل. أوجد احتمال تجميد عقرب الساعات عندما يصل إلى 11 لكنه لا يصل إلى الساعة 2.

تقليديا ، يمكن تقسيم الاتصال الهاتفي إلى 12 قطاعًا تقع بين علامات الأرقام المجاورة (بين 12 و 1 و 1 و 2 و 2 و 3 ، ... ، 11 و 12). سوف نعتبر توقف عقرب الساعات في أحد القطاعات المشار إليها كنتيجة. في المجموع ، هناك 12 نتيجة ممكنة متساوية. هذا الحدث مفضل بثلاث نتائج (قطاعات بين 11 و 12 و 12 و 1 و 1 و 2). الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.25.

لخص

بعد دراسة المادة الخاصة بحل المشكلات البسيطة في نظرية الاحتمالات ، أوصي بإكمال المهام لحل مستقل ، والتي ننشرها على قناة Telegram الخاصة بنا. يمكنك أيضًا التحقق من صحة تنفيذها عن طريق إدخال ملف الإجابات في النموذج المقترح.