Teorija rasplinutih skupova omogućava upotrebu fuzzy lingvistički definisanih varijabli u sintezi algoritma upravljanja.
Teorija rasplinutih skupova prošla je put od razvoja formalnih sredstava za predstavljanje loše definisanih koncepata koje koristi osoba, i aparata za njihovu obradu, do modeliranja približnog zaključivanja, kojem osoba pribjegava u svakodnevnom životu i profesionalna aktivnost pa čak i prije stvaranja kompjutera sa nejasnom logikom.
Teorija rasplinutih skupova omogućava da se strogo članstvo objekta u određenom skupu zamijeni kontinuiranim stepenom pripadnosti. Da bi se upoznao sa teorijom rasplinutih skupova, njihovom primenom za istraživanja u oblasti katalitičkih procesa, čitalac može da se pozove na poglav.
Teoriju rasplinutih skupova često brkaju sa teorijom vjerovatnoće. Zaista, njeni kritičari su tvrdili da teorija rasplinutih skupova nije u stanju da reši probleme koji nisu formulisani u terminima teorija vjerovatnoće. Osim ovih vrijednosti, ove dvije mjere su prilično različite, iako se obje mogu opisati kao mjere neizvjesnosti. Svaki od njih mjeri drugačiji aspekt neizvjesnosti.
U teoriji rasplinutih skupova, kao što je poznato, koriste se funkcije pripadnosti, koje se tumače kao karakteristične funkcije za rasplinute skupove. Njegova vrijednost, jednaka 0, odgovara tvrdnji da dati element x ne pripada A, a njegova vrijednost jednaka 1 ukazuje na njegovo bezuslovno članstvo u ovom skupu. Međuvrijednosti / id (g) ne treba tumačiti u probabilističkom smislu, jer stepen pripadnosti elementa rasplinutom skupu ne mora biti statističke prirode.
U teoriji rasplinutih skupova, koncept kombinacije dvije fazi relacije igra važnu ulogu.
U teoriji rasplinutih skupova uveden je niz operacija nad skupovima, koje moraju odgovarati kombinacijama rasplinutih pojmova i njihovim semantičkim opterećenjima pri rješavanju primijenjenih problema. U radu se napominje da bi u konkretnom slučaju operacije na rasplinutim skupovima trebale odgovarati operacijama u teoriji običnih skupova. Prilikom rješavanja specifičnih problema: svaki istraživač koristi svoje znanje o objektu proučavanja i ulozi svake operacije.
U teoriji rasplinutih skupova, većina aritmetičkih operacija je definirana za kontinuirane domene. Operacije za diskretne regije obično se izdvajaju kao poseban slučaj.
U teoriji rasplinutih skupova, u zavisnosti od načina specificiranja operacije (T), koji zadovoljavaju aksiome (2.1) - (2.5), postoji beskonačan broj rasplinutih operacija I. U teoriji fazi upravljanja, sljedeće koriste se njihove vrste.
Elementi teorije rasplinutih skupova mogu se uspješno primijeniti na donošenje odluka pod neizvjesnošću. Fuzzy logika se pojavila kao najpogodniji način za izgradnju upravljačkih sistema za složene tehnološke procese, a našla je primenu i u dijagnostičkim i drugim ekspertskim sistemima. Uprkos činjenici da je matematički aparat fuzzy logike prvi put razvijen u SAD, aktivni razvoj Ova metoda je počela u Japanu, Istraživanja u oblasti fuzzy logike su dobila veliku finansijsku podršku, U Evropi i Sjedinjenim Državama, napori su usmjereni da se zatvori ogroman jaz sa Japancima.
Međutim, aksiomatika teorije rasplinutih skupova značajno se razlikuje od aksiomatike teorije vjerovatnoće i dozvoljava upotrebu jednostavnijih računskih procedura. Da bismo to videli, dovoljno je razmotriti operacije ujedinjenja i preseka rasplinutih skupova.
Pominjemo i teoriju rasplinutih skupova, u kojoj su početni koncepti opisani rasplinutim skupovima i varijablama i, shodno tome, rezultirajuće rješenje se tumači u terminima rasplinutih skupova. as show konkretnim primjerima, ove metode su u mnogo čemu slične statističkim. Pri njihovom korištenju pretpostavlja se da su zadane funkcije pripadnosti rezultata promatranja, te se na osnovu njih dobivaju odgovarajuće funkcije pripadnosti za krajnje rezultate.
Teorija rasplinutih skupova
Najupečatljivija karakteristika ljudske inteligencije je sposobnost donošenja ispravnih odluka u okruženju nepotpunih i nejasnih informacija. Izgradnja modela približnog ljudskog rasuđivanja i njihova upotreba u kompjuterskim sistemima budućih generacija jedan je od najvažnijih problema nauke današnjice.
Prilikom studiranja složeni sistemi gdje osoba igra značajnu ulogu, djeluje takozvani princip nekompatibilnosti: da bi se dobili značajni zaključci o ponašanju složenog sistema, potrebno je napustiti visoke standarde tačnost i strogost, koje su karakteristične za relativno jednostavne sisteme, te da u svoju analizu uključi pristupe koji su po prirodi približni.
Pokušavajući formalizirati ljudsko znanje, istraživači su naišli na problem koji je otežavao korištenje tradicionalnog matematičkog aparata za njihovo opisivanje. Postoji čitava klasa opisa koji rade na kvalitativnim karakteristikama objekata (mnogo, malo, jako, veoma itd.) Ove karakteristike su obično nejasne i ne mogu se jednoznačno tumačiti, ali sadrže važne informacije (na primjer, „Jedan od mogućih znakova gripe je visoko temperatura").
Kategorija rasplinutosti i srodni modeli i metode vrlo su važni sa svjetonazorske tačke gledišta, jer je njihovom pojavom postalo moguće podvrgnuti kvantitativnoj analizi one pojave koje su se ranije ili mogle uzeti u obzir samo na kvalitativnom nivou, ili su bile potrebne. upotreba veoma grubih modela.
Značajan napredak u ovom pravcu napravio je prije otprilike 35 godina profesor na Kalifornijskom univerzitetu (Berkeley) Lotfi A. Zadeh. Njegov rad je bio osnova modeliranja intelektualna aktivnostčovjeka i bili su početni poticaj za razvoj nove matematičke teorije.
Šta je Zade predložio? Prvo, proširio je klasični koncept skupa, pretpostavljajući da karakteristična funkcija (funkcija članstva elementa u skupu) može uzeti bilo koju vrijednost u intervalu (0; 1), a ne samo vrijednosti 0 ili 1. Takve skupove on je nazvao fuzzy (fuzzy). L.Zadeh je također definirao niz operacija na rasplinutim skupovima i predložio generalizaciju dobro poznatih metoda logičkog zaključivanja modus ponens i modus tollens.
Nakon što je potom uveo koncept lingvističke varijable i uz pretpostavku da rasplinuti skupovi djeluju kao njene vrijednosti (termini), L. Zade je stvorio aparat za opisivanje procesa intelektualne aktivnosti, uključujući nejasnost i neodređenost izraza.
Evo gledišta L. Zadeha: „Vjerujem da je pretjerana želja za preciznošću počela djelovati da poništava teoriju upravljanja i teoriju sistema, jer dovodi do toga da su istraživanja u ovoj oblasti usmjerena na one i samo oni problemi koji se mogu precizno riješiti. Kao rezultat toga, mnoge klase važnih problema u kojima su podaci, ciljevi i ograničenja previše složeni ili loše definirani da bi omogućili preciznu matematičku analizu su izostavljene i ostale su izostavljene na osnovu toga nisu podložni matematičkoj obradi. Da bismo rekli bilo šta značajno za probleme ove vrste, moramo napustiti naše zahtjeve za preciznošću i priznati rezultate koji su pomalo nejasni ili neodređeni."
Matematička teorija rasplinutih skupova omogućava opisivanje rasplinutih koncepata i znanja, operiranje ovim znanjem i izvođenje nejasnih zaključaka. Na osnovu ove teorije, metode za konstruisanje računarskih rasplinutih sistema značajno proširuju obim računara.
Fuzzy Logic je u osnovi logika za više zadataka koja vam omogućava da definirate srednje vrijednosti između standardnih rezultata kao što je Da/Ne, Tačno/Netačno, crno/bijelo, itd. Koncepti poput "prilično toplo" ili "prilično hladno" mogu se matematički formulisati i obraditi kompjuterima. Tako je učinjen pokušaj da se ljudsko razmišljanje primeni u kompjuterskom programiranju.
U posljednje vrijeme, fazi upravljanja je jedno od najaktivnijih i najproduktivnijih područja istraživanja primjene teorije rasplinutih skupova. Fuzzy kontrola je posebno korisna kada tehnološkim procesima su previše složeni da bi se analizirali konvencionalnim kvantitativnim metodama ili gdje se dostupni izvori informacija tumače kvalitativno, neprecizno ili nejasno. Eksperimentalno je pokazano da fuzzy kontrola daje bolje rezultate u odnosu na rezultate dobijene konvencionalnim algoritmima upravljanja. Fuzzy metode pomažu u kontroli visoke peći i valjaonice, automobila i voza, prepoznaju govor i slike i dizajniraju robote dodirom i vidom. Fuzzy logika, na kojoj se zasniva neizrazita kontrola, po duhu je bliža ljudskom mišljenju i prirodnim jezicima od tradicionalnih logičkih sistema. Fuzzy logika pruža efektivna sredstva prikaz nesigurnosti i netačnosti stvarnom svijetu. Dostupnost matematički alati odražavajući nejasnoću početnih informacija omogućava vam da izgradite model koji je adekvatan stvarnosti.
2. OPIS NESIGURNOSTI U TEORIJI ODLUČIVANJA
2.4. Opisivanje neizvjesnosti korištenjem Fuzzy teorije
2.4.1. rasplinuti skupovi
Neka A- neki set. Podset B setovi A karakterizirana svojom karakterističnom funkcijom
Šta je rasplinuti skup? Obično se kaže da je rasplinuti podskup C setovi A karakterizira njegova funkcija pripadnosti Vrijednost funkcije članstva u točki X pokazuje stepen pripadnosti ove tačke rasplinutom skupu. Fazi skup opisuje nesigurnost koja odgovara tački X- uključen je i nije uključen u rasplinuti skup OD. Za ulazak - šanse, za drugi - (1-) šanse.
Ako funkcija članstva ima oblik (1) za neke B, onda C postoji običan (jasan) podskup A. Dakle, teorija rasplinutih skupova nije ništa manje opća matematička disciplina od teorije običnih skupova, budući da su obični skupovi poseban slučaj rasplinutih. Shodno tome, može se očekivati da teorija fuzzinessa u cjelini generalizira klasičnu matematiku. Međutim, kasnije ćemo vidjeti da je teorija fuzzinessa u određenom smislu svedena na teoriju slučajnih skupova i stoga je dio klasične matematike. Drugim riječima, konvencionalna matematika i fuzzy matematika su ekvivalentne u smislu općenitosti. Međutim, za praktična primjena u teoriji odlučivanja, opis i analiza neizvjesnosti korištenjem teorije rasplinutih skupova je vrlo plodonosna.
Običan podskup mogao bi se identificirati s njegovom karakterističnom funkcijom. To ne rade matematičari, jer da bi se definirala funkcija (u sadašnjem pristupu) prvo se mora definirati skup. Fazi podskup, sa formalne tačke gledišta, može se identifikovati sa njegovom funkcijom članstva. Međutim, termin "fazi podskup" je poželjniji kada se konstruiše matematički modeli stvarne pojave.
Teorija fuzzinessa je generalizacija intervalne matematike. Zaista, funkcija članstva
definira intervalnu nesigurnost – za razmatranu vrijednost se zna samo da se nalazi u datom intervalu [ a,b]. Dakle, opis nesigurnosti uz pomoć rasplinutih skupova je opštiji nego uz pomoć intervala.
Početak moderne teorije fuzzinessa položio je rad američkog naučnika azerbejdžanskog porijekla L.A. Zadeha iz 1965. godine. Do danas je o ovoj teoriji objavljeno na hiljade knjiga i članaka, izlazi nekoliko međunarodnih časopisa, a urađeno je dosta teorijskog i primijenjenog rada. Prva knjiga ruskog autora o teoriji fuzzinessa objavljena je 1980. godine.
L.A. Zadeh je teoriju rasplinutih skupova smatrao alatom za analizu i modeliranje humanističkih sistema, tj. sistema u kojima ljudi učestvuju. Njegov pristup se zasniva na premisi da elementi ljudskog mišljenja nisu brojevi, već elementi nekih rasplinutih skupova ili klasa objekata, za koje prelaz iz „pripadanja“ u „nepripadanje“ nije nagao, već kontinuiran. Trenutno se metode fuzzy teorije koriste u gotovo svim primijenjenim oblastima, uključujući upravljanje preduzećima, kvalitet proizvoda i tehnološke procese.
L.A. Zadeh je koristio izraz "fazi skup" (fazi skup). Izraz "fuzzy" preveden je na ruski kao nejasno, zamagljeno, nejasno, pa čak i kao pahuljasto i maglovito.
Aparat teorije fuzzinessa je glomazan. Kao primjer, dajemo definicije teoretskih skupova operacija na rasplinutim skupovima. Neka C i D- dva rasplinuta podskupa A sa funkcijama članstva, odnosno. raskrsnica, proizvod CD, unija , negacija , zbir C+ D nazivaju se rasplinutim podskupovima A sa funkcijama članstva
respektivno.
Kao što je već napomenuto, teorija rasplinutih skupova se u određenom smislu svodi na teoriju vjerovatnoće, odnosno na teoriju slučajnih skupova. Odgovarajući niz teorema je dat u nastavku. Međutim, prilikom rješavanja primijenjenih problema, vjerovatno se statističke metode i metode fazi teorije obično smatraju različitim.
Da biste se upoznali sa specifičnostima rasplinutih skupova, razmotrite neka njihova svojstva.
U nastavku, pretpostavljamo da su svi razmatrani rasplinuti skupovi podskupovi istog skupa Y.
De Morganovi zakoni za rasplinute skupove. Kao što je poznato, sljedeći identiteti algebre skupova nazivaju se Morganovi zakoni
Teorema 1. Za rasplinute skupove, identiteti
(4)
Dokaz teoreme 1 sastoji se u direktnoj provjeri valjanosti relacija (3) i (4) izračunavanjem vrijednosti funkcija pripadnosti rasplinutih skupova koji učestvuju u ovim relacijama na osnovu gore navedenih definicija.
Identiteti (3) i (4) će biti pozvani de Morganovi zakoni za rasplinute skupove. Za razliku od klasičnog slučaja relacija (2), one se sastoje od četiri identiteta, od kojih se jedan par odnosi na operacije unije i presjeka, a drugi par na operacije proizvoda i sume. Kao i relacija (2) u algebri skupova, de Morganovi zakoni u algebri rasplinutih skupova omogućavaju transformaciju izraza i formula, koje uključuju operacije negacije.
Distributivni zakon za rasplinute skupove. Neka svojstva skupova operacija ne vrijede za rasplinute skupove. Da, osim kada ALI- "očisti" skup (tj. funkcija članstva uzima samo vrijednosti 0 i 1).
Da li je distributivni zakon istinit za rasplinute skupove? U literaturi se ponekad nejasno navodi da „ne uvijek“. Hajde da to bude potpuno jasno.
Teorema 2. Za sve nejasne skupove A, B i OD
Istovremeno, jednakost
je istina ako i samo ako, za sve
Dokaz. Fiksiramo proizvoljan element. Da bismo skratili zapis, označavamo Da bismo dokazali identitet (5), potrebno je to pokazati
Razmotrite različite redoslijed tri broja a, b, c. Neka prvo Onda lijeva strana relacija (7) je i prava, tj. vrijedi jednakost (7).
Neka je Tada na relaciji (7) lijevo je i desno, tj. relacija (7) je opet jednakost.
Ako tada na relaciji (7) stoji lijevo i desno, tj. oba dijela se ponovo poklapaju.
Tri druga reda brojeva a, b, c nema potrebe za rastavljanjem, jer su u odnosu (6) brojevi b i c ulazite simetrično. Identitet (5) je dokazan.
Druga tvrdnja teoreme 2 proizlazi iz činjenice da je, u skladu sa definicijama operacija na rasplinutim skupovima
Ova dva izraza se poklapaju ako i samo ako, kada, što je ono što je trebalo dokazati.
Definicija 1. Nosilac rasplinutog skupa ALI je skup svih bodova , za koji
Korolar teoreme 2. Ako su nosioci rasplinutih skupova AT i OD podudaraju sa U, zatim jednakost (6) se odvija ako i samo ako A -"jasan" (tj. običan, klasičan, ne rasplinut) skup .
Dokaz. Po stanju 
sa svim . Tada iz teoreme 2 slijedi da je 
one. ili , što znači da ALI- jasan set.
2.4.2. Primjer opisa nesigurnosti korištenjem
fuzzy set
Koncept "bogat" se često koristi u raspravama o socio-ekonomskim problemima, uključujući u vezi sa pripremom i donošenjem odluka. Međutim, očigledno je da različiti ljudi unose različite sadržaje u ovaj koncept. Zaposlenici Instituta za visoke statističke tehnologije i ekonometriju sproveli su 1996. godine sociološku studiju percepcije različitih segmenata stanovništva o pojmu „bogat čovjek“.
Mini anketa je izgledala ovako:
1. Sa kojim mjesečnim prihodom (u milionima rubalja po osobi) biste sebe smatrali bogatom osobom?
2. Procijenivši trenutna primanja, kojoj kategoriji pripadate:
a) bogati
b) bogatstvo je iznad prosjeka;
c) bogatstvo je ispod prosjeka;
d) siromašni;
e) ispod granice siromaštva?
(Ubuduće ćemo umjesto punog naziva kategorija raditi sa slovima, na primjer, "c" - kategorija, "b" - kategorija, itd.)
3. Vaše zanimanje, specijalnost.
Anketirane su ukupno 74 osobe, od čega 40 naučnika i nastavnika, 34 lica nisu bila zaposlena u oblasti nauke i obrazovanja, uključujući 5 radnika i 5 penzionera. Od svih ispitanika, samo jedan (!) sebe smatra bogatim. Nekoliko tipičnih odgovora istraživača i nastavnika dato je u tabeli 1, a slične informacije za radnike komercijalnu sferu- u tabeli 2.
Tabela 1.
Tipični odgovori naučnika i nastavnika
|
Odgovori na pitanje 3 |
Odgovori na pitanje 1, milion rubalja po osobi |
Odgovori na pitanje 2 |
||||||
|
dr |
||||||||
|
Učitelju |
||||||||
|
Stariji. Istraživač |
||||||||
|
Inženjer fizičar |
||||||||
|
Programer |
||||||||
|
naučnik |
||||||||
tabela 2
Tipični odgovori komercijalnih radnika.
|
Odgovori na pitanje 3 |
Odgovori na pitanje 1 |
Odgovori na pitanje 2 |
|
|
Potpredsjednik banke |
|||
|
zamjenik direktor banke |
|||
|
Šef. kreditno odjeljenje |
|||
|
Šef Odjeljenja za vrijednosne papire |
|||
|
Glavni računovođa |
|||
|
Računovođa |
|||
|
Menadzer banke |
|||
|
Šef odsjeka za dizajn |
Raspon odgovora na prvo pitanje je od 1 do 100 miliona rubalja. mjesečno po osobi. Rezultati istraživanja pokazuju da je kriterijum bogatstva među finansijskim radnicima generalno nešto viši nego među naučnim radnicima (vidi histograme na sl. 1 i slici 2 ispod).
Anketa je pokazala da se bilo koji specifično značenje količina koja je neophodna "za potpunu sreću", čak i uz mali namaz, je nemoguća, što je sasvim prirodno. Kao što se vidi iz tabela 1 i 2, novčani ekvivalent bogatstvo se kreće od 1 do 100 miliona rubalja mjesečno. Potvrđeno je mišljenje da velika većina prosvjetnih radnika svoje bogatstvo svrstava u kategoriju "c" i niže (81% ispitanika), uključujući kategoriju "e" svoje prihode pripisuje 57%.
Kod zaposlenih u komercijalnim strukturama i budžetskim organizacijama slika je drugačija: "g" - kategorija 1 osoba (4%), "e" - kategorija 4 ljudi (17%), "b" - kategorija - 46% i 1 osoba " a" - kategorija .
Penzioneri, što nije iznenađujuće, svoja primanja su svrstali u kategoriju "d" (4 osobe), a samo jedna osoba je navela kategoriju "g". Radnici su odgovorili ovako: 4 osobe - "c", i jedna osoba - "b".
Da bismo predstavili opštu sliku, u tabeli 3 su dati podaci o odgovorima radnika drugih zanimanja.
Tabela 3
Tipični odgovori radnika raznih profesija.
|
Odgovori na pitanje 3 |
Odgovori na pitanje 1 |
Odgovori na pitanje 2 |
|
|
trgovački radnik |
|||
|
Vozač |
|||
|
Serviser |
|||
|
Vlasnik benzinske pumpe |
|||
|
Penzioner |
|||
|
direktor fabrike |
|||
|
Domaćica |
|||
|
Mehaničar |
|||
|
Operater kompjutera |
|||
|
Socijalni radnik |
|||
|
Arhitekta |
trasted zanimljiv fenomen: što je viša granica bogatstva za osobu, to je niža kategorija u odnosu na ovu granu koju on smatra.
Prirodno je koristiti histograme za sumiranje podataka. Da biste to učinili, morate grupirati odgovore. Korišćeno je 7 časova (intervala):
1 - do 5 miliona rubalja po osobi mjesečno (uključivo);
2 - od 5 do 10 miliona;
3- od 10 do 15 miliona;
4 - od 15 do 20 miliona;
5 - od 20 do 25 miliona;
6 - od 25 do 30 miliona;
7 - više od 30 miliona.
(U svim intervalima lijeva granica je isključena, a desna je, naprotiv, uključena.)
Sumarni podaci prikazani su na Sl. 1 (za istraživače i nastavnike) i Sl. 2 (za sve ostale, odnosno za lica koja nisu zaposlena u oblasti nauke i obrazovanja - zaposleni u drugim budžetskim organizacijama, privrednim strukturama, radnici, penzioneri) .
Fig.1. Histogram odgovora na pitanje 1 za istraživače i nastavnike (40 osoba).
Fig.2. Histogram odgovora na pitanje 1 za lica koja nisu zaposlena u oblasti nauke i obrazovanja (34 osobe).
Za dvije odabrane grupe, kao i za neke podgrupe druge grupe, izračunate su zbirne prosječne karakteristike - aritmetičke sredine uzorka, medijani, modovi. Istovremeno, medijan grupe je broj miliona rubalja, nazvan centralnim po rednom broju ispitanika u rastućoj seriji odgovora na pitanje 1, a mod grupe je interval u kojem se traka histograma je najviša, tj. "dobila" je maksimalan broj ispitanika. Rezultati su prikazani u tabeli. četiri.
Tabela 4
Sažete prosječne karakteristike odgovora na pitanje 1
za različite grupe (u milionima rubalja mjesečno po osobi).
|
Intervjuisana grupa |
aritmetika |
||
|
Istraživači i nastavnici |
|||
|
Osobe koje nisu zaposlene u oblasti nauke i obrazovanja |
|||
|
Zaposleni u komercijalnim strukturama i budžetskim organizacijama |
|||
|
penzioneri |
Hajde da napravimo fuzzy skup koji opisuje koncept „bogate osobe“ u skladu sa idejama ispitanika. Da bismo to uradili, sastavit ćemo tabelu 5 na osnovu slika 1 i 2, uzimajući u obzir raspon odgovora na prvo pitanje.
Tabela 5
Broj odgovora koji su upali u intervale
|
Broj intervala |
||||||
|
Interval, milion rubalja Mjesečno |
||||||
|
Broj odgovora u intervalu |
||||||
|
Udio odgovora u intervalu |
||||||
|
Kumulativni odgovori |
||||||
|
Akumulirana stopa odgovora |
Nastavak tabele 5.
|
Broj intervala |
|||||
|
Interval, milion rubalja Mjesečno |
|||||
|
Broj odgovora u intervalu |
|||||
|
Udio odgovora u intervalu |
|||||
|
Kumulativni odgovori |
|||||
|
Akumulirana stopa odgovora |
Peti red tabele 5 definiše funkciju članstva rasplinutog skupa koji izražava koncept „bogataša“ u smislu njegovih mesečnih prihoda. Ovaj rasplinuti skup je podskup skupa od 9 intervala datih u redu 2 tabele 5. Ili skup od 9 uslovnih brojeva (0, 1, 2, ..., 8). Empirijska funkcija distribucije, izgrađena na uzorku odgovora 74 ispitanika na prvo pitanje mini upitnika, opisuje koncept "bogate osobe" kao rasplinut podskup pozitivne poluose.
2.4.3. O razvoju metodologije određivanja cijena
zasnovano na teoriji rasplinutih skupova
Da biste procijenili vrijednosti indikatora koji nemaju kvantitativnu procjenu, možete koristiti metode rasplinutih skupova. Na primjer, u tezi P.V. Bitjukov, rasplinuti skupovi su korišteni u modeliranju problema cijena za kurseve e-učenja koji se koriste u učenje na daljinu. Proveo je studiju vrijednosti faktora "Nivo kvaliteta kursa" koristeći fuzzy skupove. Tokom praktične upotrebe predloženog P.V. Bityukov metodom određivanja cijena, vrijednosti brojnih drugih faktora također se mogu odrediti pomoću teorije rasplinutih skupova. Na primjer, može se koristiti za određivanje prognoze rejtinga specijalnosti na sveučilištu uz pomoć stručnjaka, kao i vrijednosti drugih faktora koji se odnose na grupu "Obilježja kursa". Hajde da opišemo pristup P.V. Bitjukov kao primjer praktične upotrebe teorije rasplinutih skupova.
Vrijednost ocjene koja se dodjeljuje svakom intervalu za faktor "Nivo kvaliteta kursa" utvrđuje se na univerzalnoj skali, gdje je potrebno postaviti vrijednosti jezičke varijable "Nivo kvaliteta kursa": NISKO, SREDNJE, VISOKO. Stepen pripadnosti određenoj vrijednosti izračunava se kao omjer broja odgovora u kojima se pojavila u određenom intervalu skale i maksimalnog (za ovu vrijednost) broja odgovora u svim intervalima.
U toku rada na disertaciji sprovedeno je istraživanje stručnjaka o stepenu uticaja nivoa kvaliteta elektronskih kurseva na njihovu upotrebnu vrednost. Tokom ankete, svaki stručnjak je zamoljen da procijeni vrijednost određene klase kurseva sa stanovišta potrošača, u zavisnosti od nivoa kvaliteta. Stručnjaci su davali svoju ocjenu za svaki razred predmeta na skali od 10 bodova (gdje 1 - min, 10 - max). Za prelazak na univerzalnu skalu, sve vrijednosti skale vrijednosti od 10 bodova podijeljene su s maksimalnim rezultatom od 10.
Koristeći svojstva funkcije članstva, potrebno je prethodno obraditi podatke kako bi se smanjila izobličenja unesena anketom. Prirodna svojstva funkcija pripadnosti su prisustvo jednog maksimuma i glatki frontovi koji opadaju na nulu. Za obradu statističkih podataka možete koristiti takozvanu matricu nagoveštaja. Očigledno se pogrešni elementi preliminarno uklanjaju. Kriterijum uklanjanja je prisustvo nekoliko nula u nizu oko ovog elementa.
Elementi matrice nagoveštaja izračunavaju se po formuli: 
,
gdje je element tabele sa rezultatima ankete, grupiran po intervalima. Matrica nagovještaja je niz u kojem se odabire maksimalni element: , a zatim se svi njegovi elementi pretvaraju prema formuli:
.
Za stupce u kojima se primjenjuje linearna aproksimacija:
.
Rezultati proračuna su sažeti u tabeli, na osnovu koje se grade funkcije članstva. Da biste to učinili, pronađite maksimalan broj elemenata u redovima: 
. Funkcija članstva se izračunava po formuli: 
. Rezultati proračuna dati su u tabeli. 6.
Tabela 6
Vrijednosti funkcije pripadnosti lingvističke varijable
|
Interval na univerzalnoj skali |
||||||||||
Rice. 3 . Grafikon funkcija članstva za vrijednosti lingvističke varijable "Nivo kvaliteta kursa"
Na slici 3, pune linije prikazuju funkcije pripadnosti vrijednosti jezičke varijable "Nivo kvaliteta kursa" nakon obrade tabele koja sadrži rezultate ankete. Kao što se može vidjeti iz grafikona, funkcije pripadnosti zadovoljavaju svojstva koja su gore opisana. Za usporedbu, isprekidana linija prikazuje funkciju pripadnosti jezičke varijable za LOW vrijednost bez obrade podataka.
2.4.4. O statistici rasplinutih skupova
Fazni skupovi su posebna vrsta objekata nenumeričke prirode. Statističke metode za analizu objekata nenumeričke prirode opisane su u. Konkretno, srednja vrijednost rasplinutog skupa može se odrediti formulom:
,
A.
Kao što je poznato, metode statistike nenumeričkih podataka zasnivaju se na korištenju udaljenosti (ili indikatora razlike) u odgovarajućim prostorima nenumeričke prirode. Udaljenost između rasplinutih podskupova ALI i AT setovi X = {x 1 , x 2 , …, x k) može se definisati kao
gdje je funkcija pripadnosti rasplinutog skupa A, a - funkcija pripadnosti rasplinutog skupa B. Mogu se koristiti i druge udaljenosti:
(Uzmimo ovu udaljenost kao 0 ako su funkcije pripadnosti identično jednake 0.)
U skladu sa aksiomatskim pristupom izboru udaljenosti (metrike) u nenumeričkim prostorima, razvijen je opsežan skup aksiomskih sistema iz kojih se izvodi jedna ili druga vrsta udaljenosti (metrika) u određenim prostorima. Kada se koriste probabilistički modeli, udaljenost između nasumičnih rasplinutih skupova je sama po sebi slučajna varijabla koja ima asimptotski normalnu distribuciju u nizu postavki.
2.4.5. Fazni skupovi kao projekcije slučajnih skupova
Od samog početka pojave moderne fuzzy teorije 1960-ih, počela je rasprava o njenoj vezi sa teorijom vjerovatnoće. Činjenica je da funkcija pripadnosti rasplinutog skupa liči na raspodjelu vjerovatnoće. Jedina razlika je u tome što je zbroj vjerovatnoća nad svim mogućim vrijednostima slučajne varijable (ili integrala, ako je skup mogućih vrijednosti nebrojiv) uvijek jednak 1, a zbir S Vrijednosti funkcije pripadnosti (u kontinuiranom slučaju - integral funkcije članstva) mogu biti bilo koji nenegativan broj. Postoji iskušenje normalizacije funkcije članstva, tj. podijeliti sve njegove vrijednosti sa S(u S 0) da se svede na distribuciju verovatnoće (ili gustinu verovatnoće). Međutim, stručnjaci za fuzziness s pravom prigovaraju takvoj "primitivnoj" redukciji, budući da se ona provodi posebno za svaki rasplinutost (fazi skup), a definicije običnih operacija na rasplinutim skupovima ne mogu se složiti s tim. Posljednja izjava znači sljedeće Neka su funkcije pripadnosti rasplinutih skupova ALI i AT. Kako se transformiraju funkcije članstva u ovom slučaju? Instalirajte ga u principu nemoguće. Posljednja izjava postaje sasvim jasna nakon razmatranja nekoliko primjera parova rasplinutih skupova s istim zbrojima vrijednosti funkcija pripadnosti, ali različitim rezultatima teoretskih operacija na njima, i sumama vrijednosti odgovarajućih funkcija pripadnosti jer su ovi rezultati teoretskih operacija, na primjer, za sjecišta skupova također različiti.
U radovima o rasplinutim skupovima prilično se često navodi da je rasplinuta teorija samostalna grana primijenjene matematike i da nema nikakve veze sa teorijom vjerovatnoće (vidi, na primjer, pregled literature u monografijama). Autori koji su upoređivali fuzzy teoriju i teoriju vjerovatnoće obično su naglašavali razliku između ovih područja teorijskog i primijenjenog istraživanja. Obično se uspoređuje aksiomatika i upoređuju se područja primjene. Odmah treba napomenuti da argumenti u drugom tipu poređenja nemaju dokaznu snagu, budući da postoje različita mišljenja o granicama primjenjivosti čak i tako dugogodišnje naučne oblasti kao što su vjerovatno-statističke metode. Podsjetimo da je rezultat razmišljanja jednog od najpoznatijih francuskih matematičara Henrija Lebesguea o granicama primjenjivosti aritmetike sljedeći: „Aritmetika je primjenjiva kada je primjenjiva“ (vidi njegovu monografiju).
Kada se porede različiti aksiomi fuzzy teorije i teorije verovatnoće, lako je uočiti da se liste aksioma razlikuju. Međutim, iz ovoga nikako ne proizlazi da je nemoguće uspostaviti vezu između ovih teorija, kao što je dobro poznata redukcija euklidske geometrije na ravni na aritmetiku (tačnije, na teoriju sistem brojeva- vidi, na primjer, monografiju). Podsjetimo da su ove dvije aksiomatike - euklidska geometrija i aritmetika - na prvi pogled vrlo različite.
Može se razumjeti želja entuzijasta novog trenda da naglase temeljnu novinu svog naučnog aparata. Međutim, podjednako je važno uspostaviti veze između novog pristupa i ranije poznatih.
Kako se pokazalo, teorija rasplinutih skupova je usko povezana sa teorijom slučajnih skupova. Još 1974. godine u radu je pokazano da je prirodno da se fazi skupovi smatraju "projekcijama" slučajnih skupova. Razmotrimo ovu metodu svođenja teorije rasplinutih skupova na teoriju slučajnih skupova.
Definicija 2. Neka je slučajni podskup konačnog skupa U. fuzzy set AT, odlučno na U, zove se projekcija ALI i označeno Proj A, ako
(8)
za sve
Očigledno, svaki nasumični skup ALI može se staviti u korespondenciju uz pomoć formule (8) rasplinutog skupa B = Proj A. Ispostavilo se da je istina i suprotno.
Teorema 3. Za bilo koji rasplinuti podskup AT final setovi At postoji nasumični podskup ALI setovi At takav da B = ProjA.
Dokaz. Dovoljno je navesti distribuciju slučajnog skupa ALI. Neka 1- nosač AT(vidi definiciju 1 gore). Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti 
kod nekih m i elementi 1 numerisan na takav način da
Hajde da predstavimo skupove
Za sve ostale podskupove X setovi At stavimo P(A=X)=0. Od elementa y t uključeno u set Y(1), Y(2),…, Y(t) i nije uključen u
setovi Y(t+1),…, Y(m), onda
iz gornjih formula proizilazi da 
Ako je onda, očigledno, teorema 3 dokazana.
Raspodjela slučajnog skupa sa nezavisnim elementima, kako slijedi iz razmatranja poglavlja 8 monografije, u potpunosti je određena njegovom projekcijom. Za konačan slučajni skup opšti pogled ovo nije istina. Da bismo razjasnili ono što je rečeno, potrebna nam je sljedeća teorema.
Teorema 4. Za slučajni podskup ALI setovi At iz konačnog broja elemenata skupova brojeva 
i 
izražene jedna kroz drugu .
Dokaz. Drugi skup se izražava u terminima prvog na sljedeći način:
Elementi prvog skupa mogu se izraziti u terminima drugog pomoću formule uključivanja i isključenja iz formalne logike, prema kojoj
U ovoj formuli, u prvom zbroju at prolazi kroz sve elemente skupa Y\X, u drugom zbroju, varijable sumiranja 1 i u 2 ne poklapaju se i takođe prolaze kroz ovaj skup, i tako dalje. Pozivanje na formulu uključivanja i isključenja dovršava dokaz teoreme 4.
U skladu sa teoremom 4, slučajni skup A može se okarakterisati ne samo distribucijom, već i skupom brojeva 
U ovom skupu a nema drugih relacija tipa jednakosti. Ovaj skup uključuje brojeve, stoga je fiksiranje projekcije slučajnog skupa jednako fiksiranju k = kartica (Y) parametri iz (2k-1) parametri koji specificiraju distribuciju slučajnog skupa ALI Uglavnom.
Sljedeća teorema će biti korisna.
Teorema 5. Ako a Projekt A = B, onda
Da bismo to dokazali, dovoljno je koristiti identitet iz teorije slučajnih skupova, formulu za vjerovatnoću pokrivanja , definiciju negacije rasplinutog skupa i činjenicu da je zbir svih P(A=X) je jednako 1. U ovom slučaju, formula za vjerovatnoću pokrivanja znači sljedeću izjavu: pronaći vjerovatnoću pokrivanja fiksnog elementa q slučajni podskup S konačan skup Q, dovoljno je izračunati
gdje je sumiranje preko svih podskupova A setovi Q koji sadrži q.
2.4.6. Raskrsnice i proizvodi fuzzy
i nasumične skupove
Hajde da saznamo kako su operacije nad slučajnim skupovima povezane sa operacijama nad njihovim projekcijama. Na osnovu de Morganovih zakona (teorema 1) i teorema 5, dovoljno je razmotriti operaciju preseka slučajnih skupova.
Teorema 6. Ako su nasumični podskupovi A 1 i A 2 konačan skup At su nezavisni, onda je fazi skup proizvod rasplinutih skupova Proj A 1 i Proj A 2 .
Dokaz. To moramo pokazati za bilo koga
Prema formuli za vjerovatnoću pokrivanja tačke slučajnim skupom (vidi gore)
Lako je provjeriti da se distribucija presjeka slučajnih skupova može izraziti kroz njihovu zajedničku distribuciju na sljedeći način:
Iz relacija (10) i (11) slijedi da se vjerovatnoća pokrivanja za presjek slučajnih skupova može predstaviti kao dvostruki zbir
Zapazite sada da se desna strana formule (12) može prepisati na sljedeći način:
(13)
Zaista, formula (12) se razlikuje od formule (13) samo po tome što sadrži članove u kojima presjek varijabli sumiranja poprima konstantnu vrijednost. Koristeći definiciju nezavisnosti slučajnih skupova i pravilo množenja zbrojeva, dobijamo da iz (12) i (13) slijedi jednakost
Tada se jednakost (14) svodi na uvjet
Jasno je da je relacija (15) zadovoljena ako i samo ako R 2 R 3=0 za sve, tj. ne postoji element koji bi istovremeno 
i 
, a to je ekvivalentno praznini presjeka nosača slučajnih skupova i .
Teorema 7 je dokazana.
24.7. Namotavanje redosleda operacija
preko rasplinutih skupova na niz operacija
preko nasumičnih skupova
Gore su dobijene neke veze između rasplinutih i slučajnih skupova. Treba napomenuti da je proučavanje ovih veza u radu počelo uvođenjem slučajnih skupova u cilju razvoja i generalizacije aparata rasplinutih skupova L. Zadeh. (Da bi se fiksirao prioritet na svjetskom nivou, preporučljivo je napomenuti da je ovaj rad završen 1974. i da je izvještavan na Centralnom ekonomsko-matematičkom institutu Akademije nauka SSSR-a na Svesaveznom naučnom seminaru „Multivarijantna statistička analiza i vjerovatnoća Modeliranje realnih procesa" 18. decembra 1974. - vidi.) Činjenica je da matematički aparat rasplinutih skupova ne dozvoljava da se uzme u obzir razne opcije ovisnosti između koncepata (objekata) modeliranih uz njegovu pomoć nije dovoljno fleksibilan. Dakle, da bismo opisali "zajednički dio" dva nejasna skupa, postoje samo dvije operacije - proizvod i presjek. Ako se koristi prvi od njih, onda se pretpostavlja da se skupovi ponašaju kao projekcije nezavisnih slučajnih skupova (vidi teoremu 6 iznad). Operacija preseka takođe nameće dobro definisana ograničenja na tip zavisnosti između skupova (videti teoremu 7 gore), iu ovom slučaju se nalaze čak i neophodni i dovoljni uslovi. Poželjno je imati više mogućnosti za modeliranje zavisnosti između skupova (pojmova, objekata). Upotreba matematičkog aparata slučajnih skupova pruža takve mogućnosti.
Svrha redukcije teorije rasplinutih skupova na teoriju slučajnih skupova je da se iza bilo koje konstrukcije iz rasplinutih skupova vidi konstrukcija iz slučajnih skupova koja određuje svojstva prvog, baš kao što vidimo slučajnu varijablu iza gustine distribucije vjerovatnoće . U ovom pododjeljku predstavljamo rezultate o redukciji algebre rasplinutih skupova na algebru slučajnih skupova.
Definicija 4. Prostor vjerovatnoće (Ω , G, P} naziva se djeljivim ako za bilo koji mjerljiv skup X G i bilo koji pozitivan broj , manji P(X), može se izmjeriti mnogo takav da
Primjer. Neka je jedinična kocka konačno-dimenzionalnog linearnog prostora, G je sigma-algebra Borelovih skupova, i P je Lebesgueova mjera. Tada (Ω , G, P} - deljivi prostor verovatnoće.
Dakle, deljivi prostor verovatnoće nije egzotičan. Pravilna kocka je primjer takvog prostora.
Dokaz tvrdnje formulirane u primjeru provodi se standardnim matematičkim metodama. Oni se zasnivaju na činjenici da se mjerljivi skup može proizvoljno precizno aproksimirati otvorenim skupovima, potonji su predstavljeni kao zbir ne više od prebrojivog broja otvorenih loptica, a za kuglice se provjerava djeljivost direktno (telo volumena je odvojeno iz lopte X odgovarajućom ravninom).
Teorema 8. Neka je dat slučajni skup ALI na deljivom verovatnosnom prostoru {Ω, G, P) sa vrijednostima u skupu svih podskupova skupa At iz konačnog broja elemenata i rasplinutog skupa D na U. Zatim postoje nasumični skupovi Od 1, Od 2, Od 3, Od 4 na isti prostor vjerovatnoće tako da
gdje B = ProjA.
Dokaz. Zbog valjanosti de Morganovih zakona za rasplinute (vidi teoremu 1 gore) i za slučajne skupove, kao i gornju teoremu 5 (o negacijama), dovoljno je dokazati postojanje slučajnih skupova Od 1 i Od 2 .
Razmotrimo distribuciju vjerovatnoće u skupu svih podskupova skupa At, što odgovara slučajnom skupu OD takav da Projekt C = D(postoji na osnovu teoreme 3). Hajde da napravimo nasumični skup Od 2 sa navedenom distribucijom, nezavisno od ALI. Onda 
po teoremu 6.
Tako da se za rezultirajući nasumični skup, slučajni skup ne mijenja). Petlja kroz sve elemente At, dobijamo nasumični skup 
, za koje je traženo ispunjeno. Teorema 8 je dokazana.
Glavni rezultat o redukciji teorije rasplinutih skupova na teoriju slučajnih skupova daje sljedeća teorema.
Teorema 9. Neka 
- neki rasplinuti podskupovi skupa At iz konačnog broja elemenata. Razmotrimo rezultate uzastopnog izvođenja teoretskih operacija skupova
gdje je simbol jedne od sljedećih teoretskih skupova operacija na rasplinutim skupovima: presjek, proizvod, unija, zbir (različiti simboli mogu biti na različitim mjestima). Zatim postoje nasumični podskupovi 
isti set At takav da
i, pored toga, rezultati teorijskih operacija skupova povezani su sličnim relacijama
gde znak znači da je mesto koje se razmatra simbol preseka slučajnih skupova, ako je u definiciji Bm je simbol preseka ili simbol proizvoda rasplinutih skupova, i, prema tome, simbol unije slučajnih skupova, ako je u Bm označava simbol unije ili simbol za zbir rasplinutih skupova.
Osnovi teorije rasplinutih skupova i fuzzy logike postavljeni su kasnih 1960-ih u radovima poznatog američkog matematičara Lotfija Zadeha. Njegov rad "Fuzzy Sets", objavljen 1965. godine u časopisu "Informacija i kontrola", postao je podsticaj za razvoj nove matematičke teorije. On je dao ime novoj grani nauke - "fazi skupovi" (fuzzy - fuzzy, blurry, soft). Glavni razlog za pojavu nove teorije bilo je nejasno i približno rezonovanje, koje se koristilo za opisivanje procesa, sistema, objekata od strane osobe. Matematička teorija rasplinutih skupova i fuzzy logika su generalizacije klasična teorija skupove i klasičnu formalnu logiku.
Prošlo je više od decenije pre nego što je fuzzy pristup modeliranju složenih sistema bio prepoznat u celom svetu. Šta je L. Zade ponudio? Prvo, on je proširio klasični kantorijanski pojam skupa pretpostavkom da karakteristična funkcija (funkcija članstva elementa u skupu) može poprimiti bilo koju vrijednost u intervalu [ 0 , 1 ], a ne samo vrijednosti 0 ili 1. On je takve skupove nazvao fuzzy [21]. L. Zade je također definirao niz operacija s rasplinutim skupovima i predložio generalizaciju metoda zaključivanja.
Nakon toga, uvodeći koncept lingvističke varijable i pretpostavljajući da su njene vrijednosti (termini) rasplinuti skupovi, L. Zadeh je stvorio aparat za opisivanje procesa intelektualne aktivnosti, uključujući nejasnost i nesigurnost izraza (na primjer, visoka, srednja , beznačajni rizici).
Zadatak rasplinutih skupova je da odrede pripadnost nekog objekta ili elementa u datom skupu. Neka E - neki set, i ALI- podset E, to je ALI Ì E.Činjenica da je element x skupa E pripada skupu ALI u teoriji skupova, to su: x Ì ALI. Za izražavanje ove pripadnosti može se koristiti drugi koncept - karakteristična funkcija μA ( x) čija vrijednost pokazuje da li (da ili ne) X element ALI:
Prema teoriji rasplinutih skupova, karakteristična funkcija pripadnosti može uzeti bilo koju vrijednost u intervalu , a ne samo dvije - 0 i 1. U skladu s tim, element X i setovi E možda ne pripada A (μ Α ( X) = 0), biti element ALI mali stepen (vrijednost μA ( x) blizu nule), biti element ALI u velikoj mjeri (μA ( x) blizu 1) ili biti element ALI(μA ( x) = 1). Dakle, koncept pripadnosti je generalizovan. Fuzzy under set ALI univerzalni set E odrediti ALI i definirani su uređenim parovima [ 22 ]:
Karakteristična funkcija pripadnosti (ili samo funkcija pripadnosti) μA ( x) uzima vrijednosti u nekom uređenom skupu M(na primjer, M =). Ova funkcija članstva ukazuje na stepen (ili nivo) pripadnosti elementa x podskupu ALI. Mnogo M nazvan skupom pouzdanosti. Ako a M= (0, 1), zatim rasplinuti podskup ALI može se smatrati običnim ili hrskavim kompletom.
Za rasplinute skupove, kao i za obične, definirane su glavne logičke operacije.
Jednakost. Dva nejasna seta ALI i AT nazivaju se jednakim ako za sve x Î E njihove karakteristične funkcije su jednake: μA ( x) = μB ( x). Oznake: A = B.
Dominacija. Pretpostavljamo da je rasplinuti skup ALI pripada rasplinutom skupu AT, ako za sve X Î E relacija je važeća: μA ( x) £ μB ( x) označavaju: ALI Ì AT. Ponekad se koristi izraz "dominacija", odnosno kada ALI Ì AT, oni to kažu AT dominira ALI.
Dodatak. Neka M = , ALI i AT - rasplinuti skupovi definirani na E. A i AT nadopunjuju jedno drugo ako je ∀x Εμ /, (x) = 1 - μB (χ). Oznake: A = A
raskrsnica dva rasplinuta skupa (fazi "i") koji označavaju A ∩ AT - najveći rasplinuti podskup koji se istovremeno nalazi u ALI i AT. Ovako definiran:
Udruženje dva rasplinuta skupa (fazi "ILI"), označavajući ALI ∪ AT je najmanji rasplinuti podskup koji uključuje oboje ALI, i AT, sa funkcijom članstva
Razlika dva nejasna skupa ALI - AT = ALI ∩ In with funkcija članstva
Neka M= i ALI - rasplinuti skup sa elementima X iz univerzalnog seta E i skup vrijednosti funkcije pripadnosti M. Vrijednost se poziva visina fuzzy set ALI. fuzzy set ALI je normalno, ako je njegova visina 1, odnosno, gornja granica njegove funkcije pripadnosti je 1 (). Fazi skup se zove subnormalno.
Fazi skup je prazan, ako 
. Neprazan subnormalni skup može se normalizirati formulom
Vizuelno predstavljanje operacija na rasplinutim skupovima. Razmotrimo pravokutni koordinatni sistem, na čijoj su y osi ucrtane vrijednosti μA ( x), na x-osi - elementi se postavljaju slučajnim redoslijedom E. Ako je set E je uređen po prirodi, poželjno je da se taj redosled sačuva u postavljanju elemenata na x-osu. Takvo predstavljanje je vizuelno jednostavne operacije na rasplinutim skupovima.
Neka ALI - fuzzy interval između 5 i 8, i AT- rasplinut broj blizu 4 (slika 4.4, a , b) .
Nejasan skup između 5 i 8 I (I) blizu 4 (tamna linija) je ilustrovan na sl. 4.4, in, nejasno postavljeno između 5 i 8 ILI (ILI) oko 4 - sl. 4.4, G(tamna linija).
Rice. 4.4. Primjeri rasplinutih skupova ( a , b) njih raskrsnice (u) i sindikati ( G)
Da bi se opisali rasplinuti skupovi, uvodi se koncept rasplinutih i lingvističkih varijabli. Fazi varijabla je opisana skupom<β, X, A>, gdje je β ime varijable, X- univerzalni skup (domen β), A- fuzzy set on X, koji opisuje ograničenja na vrijednosti fuzzy varijable β.
Vrijednosti lingvističke varijable mogu biti nejasne varijable, odnosno jezička varijabla se nalazi na visoki nivo nego rasplinuta varijabla. Svaka lingvistička varijabla se sastoji od: imena; skup njegovih vrijednosti, koji se naziva i osnovni skup TERM T. Elementi osnovnog skupa termina su imena rasplinutih varijabli univerzalnog skupa X pravilo sintakse G, pomoću kojih se novi termini generišu koristeći riječi prirodnog ili formalnog jezika; semantičko pravilo R, koji odgovara svakoj vrijednosti lingvističke varijable rasplinuti podskup skupa x.
Jezička varijabla je opisana skupom<β, Τ , X , G , M> gde
β - naziv jezičke varijable;
T - skup njegovih vrijednosti (term-set), a to su imena rasplinutih varijabli, od kojih je domen svake skup x; mnogo T naziva se osnovnim skupom pojmova lingvističke varijable;
G- sintaktički postupak koji vam omogućava da radite sa elementima skupa pojmova T, posebno generirati nove pojmove (vrijednosti);
M - semantička procedura koja omogućava transformaciju svake nove vrijednosti lingvističke varijable formirane postupkom G, na rasplinutu varijablu, odnosno da formira odgovarajući rasplinuti skup.
Matematička teorija rasplinutih skupova i fuzzy logike su generalizacije klasične teorije skupova i klasične formalne logike. Ove koncepte je prvi predložio američki naučnik Lotfi Zadeh 1965. godine. Glavni razlog za pojavu nove teorije bilo je prisustvo nejasnog i približnog zaključivanja pri opisivanju procesa, sistema, objekata od strane osobe.
Prije nego što je rasplinuti pristup modeliranju složenih sistema bio prepoznat u cijelom svijetu, prošlo je više od jedne decenije od rođenja teorije rasplinutih skupova. I na ovom putu razvoja rasplinutih sistema uobičajeno je razlikovati tri perioda.
Prvi period (kraj 60-ih - početak 70-ih) karakteriše razvoj teorijskog aparata rasplinutih skupova (L. Zadeh, E. Mamdani, Bellman). U drugom periodu (70-80-te) pojavljuju se prvi praktični rezultati u oblasti fazi upravljanja složenim tehničkim sistemima (fazi upravljački parogenerator). Istovremeno, pažnja je počela da se poklanja pitanjima izgradnje ekspertskih sistema zasnovanih na fazi logici, razvoju fazi kontrolera. Otkrivaju se nejasni ekspertni sistemi za podršku odlučivanju široka primena u medicini i ekonomiji. Konačno, u trećem periodu, koji traje od kasnih 80-ih i traje i danas, pojavljuju se softverski paketi za izgradnju fuzzy ekspertskih sistema, a područja primjene fuzzy logike primjetno se šire. Primenjuje se u automobilskoj, vazduhoplovnoj i transportnoj industriji, u oblasti proizvoda kućanskih aparata, u oblasti finansija, analize i donošenja upravljačkih odluka i mnoge druge.
Trijumfalni marš fuzzy logike širom svijeta počeo je nakon što je Bartholomew Kosko dokazao poznatu FAT teoremu (Fuzzy Approximation Theorem) kasnih 80-ih. U poslovanju i finansijama, fuzzy logika je stekla priznanje kada je 1988. godine ekspertski sistem zasnovan na nejasnim pravilima za predviđanje finansijskih pokazatelja bio jedini koji je predvideo krah berze. A broj uspješnih fuzzy aplikacija se sada kreće u hiljadama.
Matematički aparat
Karakteristika rasplinutog skupa je funkcija članstva. Označimo sa MF c (x) stepen pripadnosti rasplinutom skupu C, što je generalizacija koncepta karakteristične funkcije običnog skupa. Tada je rasplinuti skup C skup uređenih parova oblika C=(MF c (x)/x), MF c (x) . Vrijednost MF c (x)=0 znači da nema članstva u skupu, 1 – punopravno članstvo.
Ilustrujmo ovo u jednostavan primjer. Formaliziramo netačnu definiciju "vrućeg čaja". Kao x (područje rasuđivanja) će biti temperaturna skala u stepenima Celzijusa. Očigledno će se promijeniti od 0 do 100 stepeni. Nejasan set za koncept "vrućeg čaja" može izgledati ovako:
C=(0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100).
Dakle, čaj sa temperaturom od 60 C spada u "Vrući" set sa stepenom članstva 0,80. Za jednu osobu, čaj na temperaturi od 60 C može biti vruć, za drugu - ne previše vruć. Upravo u tome se manifestuje nejasnost dodjele odgovarajućeg skupa.
Za rasplinute skupove, kao i za obične, definirane su glavne logičke operacije. Najosnovniji koji su potrebni za proračune su raskrsnica i unija.
Presek dva rasplinuta skupa (fazi "AND"): A B: MF AB (x)=min(MF A (x), MF B (x)).
Unija dva rasplinuta skupa (fazi "ILI"): A B: MF AB (x)=max(MF A (x), MF B (x)).
U teoriji rasplinutih skupova razvijen je opšti pristup izvršavanju operatora preseka, unije i sabiranja, implementiranih u tzv. trouglastim normama i konormama. Gore navedene implementacije operacija ukrštanja i unije su najčešći slučajevi t-norme i t-konorme.
Da bi se opisali fazi skupovi, uvode se koncepti rasplinutih i lingvističkih varijabli.
Fazi varijabla je opisana skupom (N,X,A), gdje je N ime varijable, X je univerzalni skup (područje rasuđivanja), A je rasplinuti skup na X.
Vrijednosti lingvističke varijable mogu biti fuzzy varijable, tj. lingvistička varijabla je na višem nivou od fuzzy varijable. Svaka lingvistička varijabla se sastoji od:
- titule;
- skup njegovih vrijednosti, koji se naziva i osnovni skup termina T. Elementi osnovnog skupa pojmova su imena rasplinutih varijabli;
- univerzalni set X;
- sintaksičko pravilo G, prema kojem se novi termini generišu upotrebom riječi prirodnog ili formalnog jezika;
- semantičko pravilo P, koje povezuje svaku vrijednost lingvističke varijable s nejasnim podskupom skupa X.
Razmislite o tako nejasnom konceptu kao što je "cijena dionice". Ovo je naziv lingvističke varijable. Formiramo osnovni skup termina za njega, koji će se sastojati od tri nejasne varijable: "Low", "Moderate", "High" i postavimo područje razmišljanja u obliku X= (jedinice). Posljednja stvar koju treba učiniti je izgraditi funkcije članstva za svaki lingvistički termin iz osnovnog skupa termina T.
Postoji preko desetak tipičnih oblika krivulje za definiranje funkcija članstva. Najrasprostranjenije su: trokutaste, trapezoidne i Gausove funkcije pripadnosti.
Funkcija trokutaste pripadnosti definirana je trostrukom brojeva (a,b,c), a njena vrijednost u tački x izračunava se prema izrazu:
$$MF\,(x) = \,\begin(case) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,b)(c\,-\,b),\,b\leq \,x\leq \ ,c &\ \\ 0, \;x\,\ne \in\,(a;\,c)\ \end(slučajevi)$$
Sa (b-a)=(c-b) imamo slučaj simetrične trouglaste funkcije pripadnosti, koja se može jednoznačno specificirati sa dva parametra iz trojke (a,b,c).
Slično tome, za postavljanje trapezoidne funkcije članstva potrebna su četiri broja (a, b, c, d):
$$MF\,(x)\,=\, \begin(case) \;1\,-\,\frac(b\,-\,x)(b\,-\,a),\,a \leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac(x\,-\,c)(d \,-\,c),\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\ne \in\,(a;\,d) \ \end(slučajevi)$$
Sa (b-a)=(d-c), trapezoidna funkcija pripadnosti poprima simetričan oblik.
Funkcija pripadnosti Gaussovog tipa opisana je formulom
$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,(\Bigl(\frac(x\,-\,c)(\sigma)\Bigr))^2\biggr]$$
i radi na dva parametra. Parametar c označava centar rasplinutog skupa, a parametar je odgovoran za strminu funkcije.
Skup funkcija pripadnosti za svaki član iz osnovnog skupa termina T obično je prikazan zajedno na jednom grafikonu. Slika 3 prikazuje primjer jezičke varijable "Cijena dionica" opisane gore, Slika 4 prikazuje formalizaciju netačnog koncepta "Starost osobe". Dakle, za osobu od 48 godina, stepen pripadnosti skupu "Mladi" je 0, "Prosjek" - 0,47, "Iznad prosjeka" - 0,20.
Broj pojmova u jezičkoj varijabli rijetko prelazi 7.
Nejasan zaključak
Osnova za izvođenje neizrazite operacije zaključivanja je baza pravila koja sadrži fuzzy iskaze u obliku "Ako-onda" i funkcije članstva za odgovarajuće lingvističke termine. U tom slučaju moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:
- Postoji najmanje jedno pravilo za svaki lingvistički termin izlazne varijable.
- Za bilo koji termin ulazne varijable postoji najmanje jedno pravilo u kojem se ovaj termin koristi kao preduslov (lijeva strana pravila).
U suprotnom, postoji nepotpuna baza nejasnih pravila.
Neka baza pravila ima m pravila oblika:
R 1: AKO je x 1 A 11 … I … x n je A 1n ONDA je y B 1
…
R i: AKO je x 1 A i1 … I … x n je A u ONDA y je B i
…
R m: AKO je x 1 A i1 … I … x n je A mn ONDA y je B m ,
gdje je x k , k=1..n – ulazne varijable; y je izlazna varijabla; A ik su dati rasplinuti skupovi sa funkcijama pripadnosti.
Rezultat nejasnog zaključivanja je jasna vrijednost varijable y * zasnovana na datim oštrim vrijednostima x k , k=1..n.
Uopšteno govoreći, mehanizam zaključivanja uključuje četiri faze: uvođenje rasplinutosti (fuzzifikacija), rasplinuto zaključivanje, kompoziciju i redukciju na jasnoću ili defuzzification (vidi sliku 5).
Algoritmi neizrazitog zaključivanja razlikuju se uglavnom po vrsti korištenih pravila, logičkim operacijama i tipu metode defuzzifikacije. Razvijeni su Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto modeli fazi zaključivanja.
Razmotrimo nejasno zaključivanje detaljnije koristeći Mamdani mehanizam kao primjer. Ovo je najčešći metod logičkog zaključivanja u rasplinutim sistemima. Koristi minimaksnu kompoziciju rasplinutih skupova. Ovaj mehanizam uključuje sljedeći slijed radnji.
- Postupak fuzifikacije: određuju se stepeni istinitosti, tj. vrijednosti funkcija članstva za lijeve dijelove svakog pravila (preduvjeti). Za bazu pravila sa m pravila, označavamo stepene istine kao A ik (x k), i=1..m, k=1..n.
Nejasan zaključak. Prvo se određuju "granični" nivoi za lijevu stranu svakog od pravila:
$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_(ik)\,(x_k))$$
$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$
Kompozicija, odnosno unija dobijenih skraćenih funkcija, za koje se koristi maksimalni sastav rasplinutih skupova:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$
gdje je MF(y) funkcija pripadnosti rezultirajućeg rasplinutog skupa.
Defuzzifikacija, ili redukcija do jasnoće. Postoji nekoliko metoda defuzzifikacije. Na primjer, metoda srednjeg centra ili metoda centra:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$
Geometrijsko značenje ove vrijednosti je centar gravitacije za MF(y) krivu. Slika 6 grafički prikazuje Mamdanijeve fazi zaključivanja za dvije ulazne varijable i dva rasplinuta pravila R1 i R2.
Integracija sa inteligentnim paradigmama
Hibridizacija metoda intelektualne obrade informacija moto je pod kojim su zapadni i američki istraživači prošli 90-te. Kao rezultat kombinovanja nekoliko tehnologija veštačke inteligencije, pojavio se poseban termin - "soft computing" (soft computing), koji je uveo L. Zadeh 1994. godine. Trenutno, meko računarstvo kombinuje oblasti kao što su: fuzzy logika, veštačke neuronske mreže, probabilističko rezonovanje i evolucioni algoritmi. Oni se međusobno nadopunjuju i koriste se u različitim kombinacijama za stvaranje hibridnih inteligentnih sistema.
Uticaj fuzzy logike pokazao se možda najobimnijim. Baš kao što su rasplinuti skupovi proširili opseg klasične matematičke teorije skupova, rasplinuta logika je "napala" gotovo većinu metoda rudarenja podataka, dajući im novu funkcionalnost. Ispod su najviše zanimljivi primjeri ovakva udruženja.
Fuzzy neuronske mreže
Fuzzy neuronske mreže (fuzzy-neural networks) izvode zaključke na osnovu aparata fuzzy logike, međutim, parametri funkcija pripadnosti se podešavaju korištenjem algoritama NN učenja. Stoga, za odabir parametara takvih mreža koristimo metodu povratnog širenja, koja je prvobitno bila predložena za obuku višeslojnog perceptrona. Za to je neizraziti upravljački modul predstavljen u obliku višeslojne mreže. Fazi neuronska mreža se obično sastoji od četiri sloja: sloja za fuzzifikaciju za ulazne varijable, sloja za agregiranje vrijednosti aktivacije stanja, sloja za agregiranje rasplinutih pravila i izlaznog sloja.
Arhitekture fuzzy neuronskih mreža tipa ANFIS i TSK su trenutno najšire korištene. Dokazano je da su takve mreže univerzalni aproksimatori.
Algoritmi za brzo učenje i interpretabilnost akumuliranog znanja - ovi faktori su učinili današnje fuzzy neuronske mreže jednom od najperspektivnijih i efektivni alati soft computing.
Adaptivni fuzzy sistemi
Klasični rasplinuti sistemi imaju nedostatak što je za formulisanje pravila i funkcija članstva potrebno uključiti stručnjake iz određene predmetne oblasti, što nije uvek moguće obezbediti. Adaptivni fuzzy sistemi rešavaju ovaj problem. U takvim sistemima, parametri fazi sistema se biraju u procesu učenja na eksperimentalnim podacima. Algoritmi za učenje adaptivnih rasplinutih sistema su relativno dugotrajni i složeni u poređenju sa algoritmima učenja za neuronske mreže, i po pravilu se sastoje od dve faze: 1. Generisanje jezičkih pravila; 2. Ispravka funkcija članstva. Prvi problem se odnosi na problem tipa nabrajanja, drugi problem se odnosi na optimizaciju u kontinuiranim prostorima. U ovom slučaju nastaje određena kontradikcija: funkcije članstva su potrebne za generiranje nejasnih pravila, a pravila su neophodna za izvođenje neizrazitog zaključivanja. Osim toga, prilikom automatskog generisanja rasplinutih pravila, potrebno je osigurati njihovu potpunost i konzistentnost.
Značajan dio metoda obuke fuzzy sistema koristi genetske algoritme. U engleskoj literaturi, ovo odgovara posebnom terminu - Genetski Fuzzy Systems.
Grupa španskih istraživača na čelu sa F. Herrerom dala je značajan doprinos razvoju teorije i prakse rasplinutih sistema sa evolucionom adaptacijom.
Fuzzy Queries
Fuzzy upiti bazama podataka (fuzzy queries) - obećavajući smjer u savremeni sistemi obrada informacija. Ovaj alat vam omogućava da formulirate upite na prirodnom jeziku, na primjer: "Prikaži listu jeftinih stambenih ponuda u blizini centra grada", što nije moguće korištenjem standardnog mehanizma upita. U tu svrhu razvijena je fuzzy relaciona algebra i posebna proširenja SQL jezika za fuzzy upite. Većina istraživanja u ovoj oblasti pripada zapadnoevropskim naučnicima D. Dubois i G. Prade.
Pravila nejasnih asocijacija
Fuzzy asocijativna pravila su alat za izdvajanje obrazaca iz baza podataka koji su formulisani kao lingvistički iskazi. Ovdje se uvode posebni koncepti fuzzy transakcije, podrška i pouzdanost pravila fuzzy asocijacije.
Nejasne kognitivne mape
Fuzzy kognitivne mape je predložio B. Kosko 1986. godine i koriste se za modeliranje kauzalnih veza identificiranih između koncepata određenog područja. Za razliku od jednostavnih kognitivnih mapa, fuzzy kognitivne mape su neizraziti usmjereni graf čiji su čvorovi neizraziti skupovi. Usmjerene ivice grafa ne samo da odražavaju uzročno-posledične veze između pojmova, već i određuju stepen uticaja (težinu) povezanih koncepata. Aktivna upotreba rasplinutih kognitivnih mapa kao alata za modeliranje sistema je zbog mogućnosti vizuelnog predstavljanja analiziranog sistema i lakoće interpretacije uzročno-posledičnih veza između pojmova. Glavni problemi se odnose na proces konstruisanja kognitivne mape, koji nije podložan formalizaciji. Pored toga, potrebno je dokazati da je konstruisana kognitivna mapa adekvatna realnom simuliranom sistemu. Za rješavanje ovih problema razvijeni su algoritmi za automatsku konstrukciju kognitivnih mapa na osnovu uzorka podataka.
Fuzzy klastering
Metode rasplinutog grupisanja, za razliku od preciznih metoda (na primjer, Kohonenove neuronske mreže), dozvoljavaju da isti objekt pripada nekoliko klastera u isto vrijeme, ali sa različitim stepenima. Nejasno grupiranje u mnogim situacijama je više "prirodno" nego jasno, na primjer, za objekte koji se nalaze na granici klastera. Najčešći su: c-means fuzzy algoritam samoorganizacije i njegova generalizacija u obliku Gustafson-Kessel algoritma.
Književnost
- Zadeh L. Koncept lingvističke varijable i njegova primjena na donošenje približnih odluka. – M.: Mir, 1976.
- Kruglov V.V., Dli M.I. Inteligentni informacioni sistemi: kompjuterska podrška za fuzzy logiku i fuzzy inference sisteme. – M.: Fizmatlit, 2002.
- Leolenkov A.V. Fuzzy modeliranje u MATLAB-u i fuzzyTECH-u. - Sankt Peterburg, 2003.
- Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkovsky L. Neuralne mreže, genetski algoritmi i rasplinuti sistemi. - M., 2004.
- Masalovich A. Fuzzy logika u poslovanju i financijama. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
- Kosko B. Fuzzy sistemi kao univerzalni aproksimatori // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, br. 11, novembar 1994. - P. 1329-1333.
- Cordon O., Herrera F., Opća studija o genetskim fuzzy sistemima // Genetski algoritmi u inženjerstvu i računarstvu, 1995. - P. 33-57.
