Kvadratinių lygčių sprendinių kūrimo istorija

Aristotelis

D.I.Mendelejevas

Raskite stačiakampio formos lauko kraštines, jei jo plotas 12 , A

Panagrinėkime šią problemą.

Tegul x yra lauko ilgis, tada jo plotis,
– jos plotas.
Padarykime kvadratinę lygtį:
Papirusas pateikia taisyklę, kaip ją išspręsti: „Padalinkite 12 iš“.
12: .
Taigi,.
„Lauko ilgis yra 4“, – rašoma papiruse.

Sumažinta kvadratinė lygtis
kur yra realieji skaičiai.

Vienoje iš Babilonijos problemų taip pat reikėjo nustatyti stačiakampio lauko ilgį (pažymime) ir plotį ().

Sudėjus stačiakampio lauko ilgį ir du pločius, gauname 14, o lauko plotas yra 24. Raskite jo kraštines.

Sukurkime lygčių sistemą:

Iš čia gauname kvadratinę lygtį.

Norėdami tai išspręsti, prie išraiškos pridedame tam tikrą skaičių,

Norėdami gauti visą kvadratą:

Vadinasi,.

Iš esmės kvadratinė lygtis

Turi dvi šaknis:

DIOFANTAS
Senovės graikų matematikas, tariamai gyvenęs III amžiuje prieš Kristų. e. „Aritmetikos“ – knygos, skirtos algebrinėms lygtims spręsti, autorius.
Šiais laikais „Diofantino lygtys“ dažniausiai reiškia lygtis su sveikųjų skaičių koeficientais, kurių sprendinius reikia rasti tarp sveikųjų skaičių. Diofantas taip pat buvo vienas pirmųjų, sukūrusių matematinį žymėjimą.

„Raskite du skaičius žinodami, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“.

Vienas iš skaičių bus daugiau nei pusė jų sumos, tai yra 10+, o kitas bus mažesnis, tai yra 10-.

Taigi lygtis ()()=96

Pateiksime vieną iš garsiųjų problemų

XII amžiaus Indijos matematikas Bhaskara:

Šurmuliuojančių beždžionių pulkas

Pavalgęs iki pasitenkinimo smagiai praleidau laiką.

Aštunta jų dalis kvadratuota

Smagiai praleidau proskynoje.

Ir dvylika palei vynmedžius...

Jie pradėjo šokinėti, kabėti...

Kiek beždžionių buvo?

Pasakyk man, šioje pakuotėje?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo, jog kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės.
Atitinkamas lygties sprendimas

Bhaskara rašo forma ir užbaigti kairė pusėšią lygtį į kvadratą, į abi puses pridedame 32 2, gauname

„AL-JEBR“ – ATSTATYMAS – AL-KHWAZMI PAVADINĖ NEIGIAMOSIŲ SĄVOKŲ IŠSKYRIMU IŠ ABEJŲ LYGTYBĖS DALIŲ, PRIDĖJANT LYGIAS, TAČIAU PRIEŠINGAS SĄLYGUS.

„AL-MUQABALAH“ – KONTRASTICIJA – PANAŠIŲ TERMINŲ SUMAŽINIMAS LYGTYBĖS DALYSE.

TAISYKLĖ "AL-JEBR"

SPRENDANT LYGTĮ

JEI PIRMOJE DALYJE,

NESVARBU KAS

SUSITIKS NEIGIAMU NARIU,

MES ABI DALIS

DOVANOSIME LYGŲ NARIĄ,

TIK SU KITU ŽENKLU,

IR MES RASIME TEIGIAMĄ REZULTATĄ.

1) kvadratai lygūs šaknims, tai yra;

2) kvadratai lygūs skaičiams, tai yra;

3) šaknys lygios skaičiui, tai yra;

4) kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims, t.y.;

5) kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui, t.y.;

6) šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams, t.y.

Užduotis . Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Raskite šaknį.

Sprendimas. Padalinkite šaknų skaičių per pusę - gausite 5, padauginkite 5 iš savęs,

Iš sandaugos atimkite 21, palikdami 4.

Paimkite 4 šaknį ir gausite 2.

Iš 5 atimkite 2 - gausite 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite jį prie 5, kuris suteikia 7, tai taip pat yra šaknis.

Fibonacci gimė italų kalba prekybos centras Pizos miestas, tikriausiai 1170 m. . 1192 m. jis buvo paskirtas atstovauti Pizano prekybos kolonijai Šiaurės Afrikoje. Tėvo prašymu jis persikėlė į Alžyrą ir ten studijavo matematiką. 1200 m. Leonardo grįžo į Pizą ir pradėjo rašyti savo pirmąjį kūrinį „Abako knyga“. [ . Pasak matematikos istoriko A. P. Juškevičiaus Abakų knyga „metodų įvairove ir galia, problemų gausa, pateikimo įrodymais smarkiai pakyla virš Europos aritmetinės-algebrinės XII–XIV amžių literatūros... Vėlesni matematikai iš jos plačiai sėmėsi ir problemų, ir metodų. už jų sprendimą ».

Nubraižykime funkciją

Grafas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos aukštyn, nes

2) Parabolės viršūnės koordinatės

kalbėjo W. Sawyeris :

„Dažnai algebros studentui naudingiau tą patį uždavinį išspręsti trise Skirtingi keliai nei trijų ar keturių skirtingų problemų sprendimas. Vienos problemos sprendimas įvairių metodų, palygindami galite sužinoti, kuris iš jų yra trumpesnis ir efektyvesnis. Taip ugdoma patirtis“.

„Miestas yra skirtumų vienybė“

Aristotelis

„Skaičius, išreikštas dešimtainiu ženklu, vienodai gali perskaityti vokietis, rusas, arabas ir jankis.

Tatarstano Respublikos švietimo ir mokslo ministerija

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

„Usado vidurinė mokykla

Vysokogorskis savivaldybės rajonas Tatarstano Respublika"

Tiriamasis darbas:

"Istorija atsiradimaskvadratas lygtys»

Užbaigė: Andreeva Jekaterina,

8B klasės mokinys

Mokslinis patarėjas:

Pozharskaya Tatjana Leonidovna,

matematikos mokytojas

Įvadas

Kas nori apsiriboti dabartimi?

nežinant praeities,

jis niekada jo nesupras.

G.V. Leibnicas

Užima lygtys mokykliniame matematikos kurse pirmaujanti vieta, tačiau nė viena iš lygčių tipų tokių nerado platus pritaikymas, kaip ir kvadratinės lygtys.

Žmonės sugebėjo išspręsti antrojo laipsnio arba kvadratines lygtis Senovės Babilone, II tūkstantmetyje prieš Kristų. Problemos, lemiančios kvadratines lygtis, aptariamos daugelyje senovės matematinių rankraščių ir traktatų. Ir šiais laikais daugelis algebros, geometrijos ir fizikos problemų taip pat sprendžiamos naudojant kvadratines lygtis. Jas spręsdami žmonės randa atsakymus įvairių klausimų Mokslas ir technologijos.

Tikslas Šis tyrimas- ištirti kvadratinių lygčių atsiradimo istoriją.

Norint pasiekti šį tikslą, būtina išspręsti šias užduotis:

Studijuoti mokslinę literatūrą šia tema.
Atsekite kvadratinių lygčių atsiradimo istoriją.

Studijų objektas: kvadratines lygtis.

Studijų dalykas: kvadratinių lygčių atsiradimo istorija.

Temos aktualumas :

Žmonės kvadratines lygtis spręsdavo nuo seno. Norėjau sužinoti kvadratinių lygčių istoriją.
Mokykliniuose vadovėliuose informacijos apie kvadratinių lygčių istoriją nėra.

Tyrimo metodai:

Darbas su edukacine ir mokslo populiarinimo literatūra.
Stebėjimas, palyginimas, analizė.

Darbo mokslinė vertė, mano nuomone, slypi tame, kad ši medžiaga gali sudominti matematika besidominčius moksleivius, užklasinių užsiėmimų mokytojus.

Kvadratinės lygtys senovės Babilone.

Senovės Babilone poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su vietovių paieška. žemės sklypai ir su karinio pobūdžio žemės darbais, taip pat su pačios astronomijos ir matematikos raida.

Naudodamiesi šiuolaikine algebrine žyma, galime pasakyti, kad jų dantiraščio tekstuose, be neišsamių, yra, pavyzdžiui, pilnos kvadratinės lygtys:

x 2 - x = 14,5

Nepaisant aukštas lygis Algebros raida Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta koncepcijos neigiamas skaičius Ir bendrieji metodai sprendžiant kvadratines lygtis.

Pavyzdys paimtas iš vienos iš šio laikotarpio molio lentelių.

"Dviejų kvadratų sumos plotas yra 1000. Vieno iš kvadratų kraštinė yra kito kvadrato kraštinė, sumažinta 10. Kokios yra kvadratų kraštinės?"

Tai veda prie lygčių, kurių sprendimas redukuojasi iki kvadratinės lygties su teigiama šaknimi išsprendimo.

Tiesą sakant, sprendimas dantraščio tekste, kaip ir visose Rytų problemose, apsiriboja paprastu skaičiavimo žingsnių, reikalingų kvadratinei lygčiai, sąrašu:

„10 aikštė; tai duoda 100; atimti 100 iš 1000; tai duoda 900" ir tt

Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis

Diofantas yra vienas iš labiausiai sunkios mįslės mokslo istorijoje. Jis buvo vienas originaliausių senovės graikų matematikų Diofantas Aleksandrietis, kurio darbai turėjo didelę reikšmę algebrai ir skaičių teorijai. Nei Diofanto gimimo metai, nei mirties data kol kas nėra patikslinti. Laikotarpis, kai Diofantas galėjo gyventi, yra pusė tūkstantmečio! Manoma, kad jis gyveno III mūsų eros amžiuje. Tačiau Diofanto gyvenamoji vieta gerai žinoma – tai garsioji Aleksandrija, helenistinio pasaulio mokslinės minties centras.

Iš Diofanto kūrinių svarbiausia yra Aritmetika, iš kurios 13 knygų iki šių dienų išliko tik 6.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros pateikimo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, lydimų paaiškinimų ir išspręstų konstruojant lygtis. skirtingų laipsnių.

Kurdamas lygtis, Diofantas sumaniai parenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

Užduotis: „Rasti du skaičius žinant, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“

Diofantas motyvuoja taip: iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad reikalingi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tai jų sandauga būtų ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus didesnis nei pusė jų sumos, t.y. 10 + x, kitas yra mažesnis, t.y. 10-ųjų. Skirtumas tarp jų 2x.

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Iš čia x = 2. Vienas iš reikiamų skaičių yra lygus 12 , kitas 8 . Sprendimas x = -2 nes Diofanto nėra, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsime pasirinkdami vieną iš reikalingų skaičių kaip nežinomą, tada prieisime prie lygties sprendimo

y(20 – y) = 96,

y 2 – 20m + 96 = 0. (2)

Aišku, kad nežinomuoju pasirinkęs reikiamų skaičių pusę skirtumo, Diofantas supaprastina sprendimą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties (1) sprendimo.

Kvadratinės lygtys iš Diofanto aritmetikos:

12x2 +x = 1
630x2 +73x=6.

Net senovėje Indija garsėjo savo žiniomis astronomijos, gramatikos ir kitų mokslų srityse.

Indijos mokslininkai šioje srityje pasiekė didžiausią sėkmę matematikai. Jie buvo aritmetikos ir algebros įkūrėjai, kurių kūrime nuėjo toliau nei graikai.

Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, sudarytame 499 m. Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) apibūdino Pagrindinė taisyklė kvadratinių lygčių sprendiniai, redukuoti į vieną kanoninę formą: ax 2 +bx=c, a>0.

Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.
IN Senovės Indija buvo dažni vieši konkursai
sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išmokęs žmogus užtemdykite kito šlovę populiariuose susirinkimuose, siūlydami ir spręsdami algebrines problemas.

Užduotys dažnai būdavo aprengtos poetinė forma.
Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai:

« Švelnių beždžionių pulkas,

Pavalgęs iki pasitenkinimo smagiai praleidau laiką.

Aštunta jų dalis yra kvadratais,

Smagiai praleidau proskynoje.

Ir dvylika palei vynmedžius...

Jie pradėjo šokinėti, kabėti...

Kiek beždžionių buvo?

Pasakyk man, šioje pakuotėje?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo, jog kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės.

Uždavinį atitinkanti lygtis

Bhaskara rašo forma x 2 - 64x = -768 ir, norėdami užpildyti kairę šios lygties pusę iki kvadrato, prie abiejų pusių pridėkite 32 2, tada gaukite:

x 2 -64x + 32 2 = -768 + 1024,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Kvadratinės lygtys Kinijoje (I tūkst. pr. Kr.).

Pirmieji mus pasiekę kinų rašytiniai paminklai datuojami Šang epochoje (XVIII-XII a. pr. Kr.). Ir jau ant ateities kaulų XIV a. pr. Kr e., rasta Henane, skaičių žymėjimai buvo išsaugoti. Tačiau tikrasis mokslo klestėjimas prasidėjo po XII a. pr. Kr e. Kiniją užkariavo Džou klajokliai. Per šiuos metus kinų matematika ir astronomija atsirado ir pasiekė nuostabių aukštumų. Pasirodė pirmieji tikslūs kalendoriai ir matematikos vadovėliai. Deja, imperatoriaus Qin Shi Huang (Shi Huangdi) „knygų sunaikinimas“ neleido mūsų pasiekti ankstyvosioms knygoms, tačiau greičiausiai jos buvo pagrindas tolesniems darbams.

„Matematika devyniose knygose“ yra pirmasis klasikinis matematikos kūrinys senovės Kinijoje, nuostabus paminklas senovės Kinija Ankstyvosios Hanų dinastijos laikais (206 m. pr. Kr. – 7 m. po Kr.). Šiame esė yra įvairios ir turtingos matematinės medžiagos, įskaitant kvadratines lygtis.

Kinijos iššūkis: „Yra rezervuaras, kurio kraštas 10 cm. Jo centre yra nendrė, kuri 1 valandą išsikiša virš vandens. Jei trauksite nendrę į krantą, ji ją tiesiog palies. Kyla klausimas: koks yra vandens gylis ir koks nendrių ilgis?

(x+1) 2 =x 2 +5 2,

x 2 +2x+1 = x 2 +25,

Atsakymas: 12chi; 13 val

Al-Khwarizmi kvadratinės lygtys

„Susitvarkiau trumpa knyga apie algebros ir almukabalos skaičiavimą, kuris apima paprastą ir sunkūs klausimai aritmetika, nes žmonėms to reikia“. Al-Khorezmi Mohammedas ben Musa.

Al-Khorezmi (Uzbekistanas) geriausiai žinomas dėl savo „Užbaigimo ir prieštaravimo knygos“ („Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-mukabala“), iš kurios pavadinimo kilo žodis „algebra“. išvestinė. Šis traktatas yra pirmoji mums pasiekusi knyga, kurioje sistemingai išdėstoma kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateikiamos jų sprendimo formulės.

Teorinėje traktato dalyje al-Khorezmi pateikia 1 ir 2 laipsnių lygčių klasifikaciją ir nustato šešis jų tipus:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax 2 = bx. (pavyzdys:)

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax 2 = s (pavyzdys:)

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax = c. (pavyzdys:)

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax 2 + c = bx. (pavyzdys:)

5) „Kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui“, ty ax 2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax 2. (pavyzdys:)

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-mukabal metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII a., neatsižvelgia į nulinį sprendimą. tikriausiai todėl, kad konkrečioje praktikoje tai neturi reikšmės užduotyse. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, al-Khwarizmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Pateikime pavyzdį.

„Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Rasti šaknį"(tai reiškia lygties x 2 + 21 = 10x šaknį).

Autoriaus sprendimas skamba maždaug taip: „Padalinkite šaknų skaičių per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Atimkite 2 iš 5, gausite 3, tai bus norima šaknis. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai suteikia 7, tai taip pat yra šaknis.

Garsioji Al-Khwarizmi lygtis: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“. x 2 + 10x= 39 (IX a.). Savo traktate jis rašo: „Taisyklė yra tokia: padvigubinkite šaknų skaičių, gausite penkias šioje užduotyje. Pridėjus tai prie trisdešimt devynių, jis bus šešiasdešimt keturi. Paimkite šio šaknį, ji tampa aštuoniomis, ir iš to atimkite pusę šaknų skaičiaus, t.y. penki, tai lieka trys: tai bus aikštės, kurios ieškojote, šaknis.

Kvadratinės lygtys Europoje XII-XVII a.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonacci. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių uždavinių sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XIV–XVII a. Europos vadovėliuose. Bendrąją kvadratinių lygčių, redukuotų iki formos x 2 + bх = с, sprendimo taisyklę visoms galimoms ženklų ir koeficientų b, c kombinacijoms 1544 m. Europoje suformulavo M. Stiefel.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvedimą galima gauti iš Viète, tačiau Viète atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. dėka Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų darbų mokslininkų būdu sprendžia kvadratines lygtis moderni išvaizda.

Išvada.

Kvadratinės lygtys yra pagrindas, ant kurio remiasi didingas pastatas algebra. Įvairias lygtis – tiek kvadratines, tiek aukštesnio laipsnio lygtis – sprendė mūsų tolimi protėviai. Šios lygtys buvo išspręstos labai skirtingose ir tolimose šalyse. Lygčių poreikis buvo didelis. Lygtys buvo naudojamos statybose, kariniuose reikaluose ir kasdienėse situacijose.

Šiais laikais gebėjimas spręsti kvadratines lygtis yra būtinas kiekvienam. Gebėjimas greitai, racionaliai ir teisingai spręsti kvadratines lygtis leidžia lengviau atlikti daugybę matematikos kurso temų. Kvadratinės lygtys sprendžiamos ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos, informatikos pamokose. Dauguma praktinių problemų realus pasaulis Taip pat reikia išspręsti kvadratines lygtis.

Literatūra

Bashmakova I. G. Diofanto ir Diofanto lygtys. M.: Nauka, 1972 m.
Berezkina E.I. Senovės Kinijos matematika – M.: Nauka, 1980 m
Pichurin L.F. Už algebros vadovėlio puslapių: knyga. studentams

7-9 klasės mokyklos vidurkis - M.: Išsilavinimas, 1990 m

Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje VII - VIII klasėse. Vadovas mokytojams. - M.: Išsilavinimas, 1982 m.

1.1. Iš kvadratinių lygčių atsiradimo istorijos

Algebra atsirado sprendžiant įvairias problemas naudojant lygtis. Paprastai problemoms spręsti reikia rasti vieną ar daugiau nežinomųjų, tuo pačiu žinant kai kurių veiksmų, atliktų su norimais ir duotais kiekiais, rezultatus. Tokios problemos kyla sprendžiant vieną ar kelių lygčių sistemą, naudojant algebrines operacijas su duotais dydžiais, surasti reikiamas. Tiriama algebra bendrosios savybės veiksmai dėl kiekių.

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos prieš 4000 metų Senovės Babilone.

Kvadratinės lygtys senovės Babilone

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška ir karinio pobūdžio žemės kasimo darbais. kaip ir su pačios astronomijos ir matematikos raida. Babiloniečiai sugebėjo išspręsti kvadratines lygtis apie 2000 m. Naudodamiesi šiuolaikine algebrine žyma, galime pasakyti, kad jų dantiraščio tekstuose, be neišsamių, yra, pavyzdžiui, pilnos kvadratinės lygtys:

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros pateikimo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, kuriuos lydi paaiškinimai ir išspręstos sudarant įvairaus laipsnio lygtis.

Kurdamas lygtis, Diofantas sumaniai parenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

2 užduotis. „Raskite du skaičius, žinodami, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“.

Diofantas motyvuoja taip: iš uždavinio sąlygų išplaukia, kad reikalingi skaičiai nėra lygūs, nes jei jie būtų lygūs, tai jų sandauga būtų ne 96, o 100. Taigi vienas iš jų bus didesnis nei pusė jų sumos, t.y. 10 + x. Kitas yra mažesnis, ty 10 - x. Skirtumas tarp jų yra 2x. Taigi lygtis:

(10+x)(10-x) =96,

Vadinasi, x = 2. Vienas iš reikiamų skaičių yra 12, kitas – 8. Sprendimas x = - 2 Diofantui neegzistuoja, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsite pasirinkę vieną iš reikalingų skaičių kaip nežinomą, galite rasti lygties sprendimą:

Aišku, kad nežinomuoju pasirinkęs reikiamų skaičių pusę skirtumo, Diofantas supaprastina sprendimą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties sprendimo.

Kvadratinės lygtys Indijoje

Kvadratinių lygčių problemos randamos jau astronominiame traktate „Aryabhattiam“, kurį 499 metais sudarė Indijos matematikas ir astronomas Aryabhatta. Kitas indų mokslininkas Brahmagupta (VII a.) išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai taip pat gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Indijoje buvo įprasti vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsimokslinęs žmogus pranoksta savo šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai.

Bhaskaros sprendimas rodo, kad autorius žinojo, kad kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės.

3 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

Bhaskara prisidengdamas rašo:

x 2 – 64 x = – 768

ir, norėdami užpildyti kairę šios lygties pusę iki kvadrato, prie abiejų pusių pridėkite 32 2, tada gaukite:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x – 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Al-Khwarizmi kvadratinės lygtys

Al-Khwarizmi algebrinis traktatas pateikia tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikaciją. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax 2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax 2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax 2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui“, ty ax 2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax 2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-mukabal metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII a., neatsižvelgia į nulinį sprendimą. tikriausiai todėl, kad konkrečioje praktikoje tai neturi reikšmės užduotyse. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, Al-Khwarizmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Pateikime pavyzdį.

4 uždavinys. „Kvadratas ir skaičius 21 yra lygūs 10 šaknų. Raskite šaknį“ (tai reiškia lygties šaknį x 2 + 21 = 10x).

Sprendimas: šaknų skaičių padalinkite per pusę, gausite 5, 5 padauginkite iš savęs, iš sandaugos atimkite 21, lieka 4. Paimkite šaknį iš 4, gausite 2. Iš 5 atimkite 2, gausite 3, tai bus šaknis, kurios ieškote. Arba pridėkite 2 prie 5, o tai duoda 7, tai taip pat yra šaknis.

Al-Khorezmi traktatas yra pirmoji mums pasiekusi knyga, kurioje sistemingai išdėstoma kvadratinių lygčių klasifikacija ir pateikiamos jų sprendimo formulės.

Kvadratinės lygtys Europoje XII-XVII a.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XIV–XVII a. Europos vadovėliuose. Bendrą kvadratinių lygčių, redukuotų iki vienos kanoninės formos x 2 + bх = с, sprendimo taisyklę visoms galimoms ženklų ir koeficientų b, c kombinacijoms 1544 m. Europoje suformulavo M. Stiefel.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvedimą galima gauti iš Viète, tačiau Viète atpažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli buvo vieni pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. Girardo, Dekarto, Niutono ir kitų mokslininkų darbų dėka kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgauna šiuolaikinę formą.

Algebrinių praktinių problemų sprendimo metodų ištakos yra susijusios su mokslu senovės pasaulis. Kaip žinoma iš matematikos istorijos, nemaža dalis Egipto, Šumerų, Babilono raštininkų ir skaičiuotojų (XX-VI a. pr. Kr.) spręstų matematinių uždavinių buvo skaičiuojamojo pobūdžio. Tačiau net ir tada retkarčiais iškildavo problemų, kai norima dydžio reikšmė buvo patikslinta tam tikromis netiesioginėmis sąlygomis, kurios, mūsų šiuolaikiniu požiūriu, reikalavo sudaryti lygtį ar lygčių sistemą. Iš pradžių tokiems uždaviniams spręsti buvo naudojami aritmetiniai metodai. Vėliau pradėjo formuotis algebrinių sąvokų užuomazgos. Pavyzdžiui, Babilonijos skaičiuotuvai sugebėjo išspręsti problemas, kurias galima sumažinti Šiuolaikinė klasifikacijaį antrojo laipsnio lygtis. Sukurtas tekstinių uždavinių sprendimo metodas, vėliau pasitarnavęs kaip algebrinio komponento išskyrimo ir savarankiško tyrimo pagrindas.

Šis tyrimas buvo atliktas kitoje epochoje, pirmiausia arabų matematikų (VI–X a. po Kr.), kurie nustatė būdingus veiksmus, kuriais lygtys buvo sumažintos iki standartinis vaizdas panašių terminų atvedimas, terminų perkėlimas iš vienos lygties dalies į kitą su ženklo pasikeitimu. Ir tada Europos Renesanso matematikai, kurie dėl ilgų ieškojimų sukūrė šiuolaikinės algebros kalbą, raidžių vartojimą, simbolių įvedimą aritmetinėms operacijoms, skliaustus ir kt. XVI a. sandūroje XVII a. jau susiformavo algebra kaip specifinė matematikos dalis, turinti savo dalyką, metodą ir taikymo sritis. Tolimesnė jo plėtra iki pat mūsų laikų buvo tobulinama metodų, plečiamų taikymo sritis, sąvokų ir jų sąsajų su kitų matematikos šakų sąvokomis išaiškinimas.

Taigi, atsižvelgiant į medžiagos, susijusios su lygties samprata, svarbą ir platumą, jos tyrimas šiuolaikiniai metodai matematika siejama su trimis pagrindinėmis jos kilmės ir veikimo sritimis.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės sklypų plotų paieška ir karinio pobūdžio žemės kasimo darbais. kaip ir su pačios astronomijos ir matematikos raida. Kvadratinės lygtys galėjo būti išspręstos maždaug 2000 m. e. babiloniečiai.

Naudodamiesi šiuolaikine algebrine žyma, galime pasakyti, kad jų dantiraščio tekstuose, be neišsamių, yra, pavyzdžiui, pilnos kvadratinės lygtys:

X 2 + X = *; X 2 - X = 14,5

Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis.

Diofanto aritmetikoje nėra sistemingo algebros pateikimo, tačiau joje yra sistemingų uždavinių, kuriuos lydi paaiškinimai ir išspręstos sudarant įvairaus laipsnio lygtis.

Kurdamas lygtis, Diofantas sumaniai parenka nežinomuosius, kad supaprastintų sprendimą.

Štai, pavyzdžiui, viena iš jo užduočių.

11 problema.„Rasti du skaičius žinant, kad jų suma yra 20, o sandauga yra 96“

Taigi lygtis:

(10 + x) (10 - x) = 96

Iš čia x = 2. Vienas iš reikiamų skaičių yra lygus 12 , kitas 8 . Sprendimas x = -2 nes Diofanto nėra, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius.

Jei šią problemą išspręsime pasirinkdami vieną iš reikalingų skaičių kaip nežinomą, tada prieisime prie lygties sprendimo

y(20 – y) = 96,

adresu 2 – 20у + 96 = 0. (2)

Aišku, kad nežinomuoju pasirinkęs reikiamų skaičių pusę skirtumo, Diofantas supaprastina sprendimą; jam pavyksta problemą redukuoti iki nepilnos kvadratinės lygties (1) sprendimo.

Kvadratinės lygtys Indijoje

Oi 2 + bх = с, а > 0. (1)

(1) lygtyje koeficientai, išskyrus A, taip pat gali būti neigiamas. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Senovės Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išsilavinęs žmogus viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas, pranoks kitų šlovę“. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Tai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko problemų. Bhaskarai.

13 problema.

„Kaime beždžionių ir dvylika palei vynmedžius...

Valdžia pavalgę linksminosi. Jie pradėjo šokinėti, kabėti...

Jų yra aikštėje, aštunta dalis. Kiek beždžionių buvo?

Smagiai praleidau proskynoje. Pasakyk man, šioje pakuotėje?

Bhaskaros sprendimas rodo, kad jis žinojo, kad kvadratinių lygčių šaknys yra dvireikšmės (3 pav.).

13 uždavinį atitinkanti lygtis yra tokia:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara prisidengdamas rašo:

X 2 - 64x = -768

ir, kad kairioji šios lygties pusė būtų užpildyta kvadratu, prideda prie abiejų pusių 32 2 , tada gauni:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x – 32 = ± 16,

X 1 = 16, x 2 = 48.

Kaip Diofantas sudarė ir išsprendė kvadratines lygtis. Taigi lygtis: (10+x)(10 -x) =96 arba: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Sprendimas x = -2 Diofantui neegzistuoja, nes graikų matematika žinojo tik teigiamus skaičius .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Kvadratinės lygtys Indijoje. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Kvadratinės lygtys al-Khorezmi. 1) „Kvadratai yra lygios šaknys“, ty ax2 + c = bx. 2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax2 = c. 3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax = c. 4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx. 5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c. 6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c = ax2.

Kvadratinės lygtys Europoje XIII–XVII a. x2 + bx = c, visoms galimoms koeficientų b, c ženklų kombinacijoms Europoje M. Stiefelis suformulavo tik 1544 m.

Apie Vietos teoremą. "Jei B + D padauginus A - A 2 yra lygus BD, tada A yra B ir D." Šiuolaikinės algebros kalba aukščiau pateikta Vieta formuluotė reiškia: jei (a + b)x - x2 = ab, t.y. x2 - (a + b)x + ab = 0, tai x1 = a, x2 = b.

Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. 1. METODAS: Kairiosios lygties pusės faktorinavimas. Išspręskime lygtį x2 + 10 x - 24 = 0. Paskaičiuokime kairę pusę: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Todėl lygtį galima perrašyti taip: (x + 12)(x - 2) = 0 Kadangi sandauga lygi nuliui, tai bent vienas jos faktorius lygus nuliui. Todėl kairioji lygties pusė tampa nuliu, kai x = 2, o taip pat ir x = - 12. Tai reiškia, kad skaičius 2 ir - 12 yra lygties x2 + 10 x - 24 = 0 šaknys.

2. METODAS: Viso kvadrato ištraukimo metodas. Išspręskime lygtį x2 + 6 x - 7 = 0. Kairėje pusėje pasirinkite pilną kvadratą. Norėdami tai padaryti, užrašome išraišką x2 + 6 x tokia forma: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Gautoje išraiškoje pirmasis narys yra skaičiaus x kvadratas, o antrasis - dvigubas. x sandauga iš 3. Taigi, norint gauti pilną kvadratą, reikia pridėti 32, nes x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Dabar transformuojame kairę lygties pusę x2 + 6 x - 7 = 0, prie jos pridėdami ir atimdami 32. Turime: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Taigi šią lygtį galima užrašyti taip: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Todėl x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 arba x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę. Padauginkime abi lygties puses ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 iš 4 a ir iš eilės gausime: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ak,

4. METODAS: lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Kaip žinoma, redukuotos kvadratinės lygties forma yra x2 + px + c = 0. (1) Jos šaknys tenkina Vietos teoremą, kurios a = 1 forma yra x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 ir x 2 = 1, nes q = 2 > 0 ir p = - 3 0 ir p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 ir x 2 = 1, nes q = - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 ir x 2 = - 1, nes q = - 9

5. METODAS: lygčių sprendimas „metimo“ metodu. Panagrinėkime kvadratinę lygtį ax2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0. Abi puses padauginus iš a, gauname lygtį a 2 x2 + abx + ac = 0. Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y2 + by + ac = 0, kuri yra lygiavertė duotajai. Jo šaknis y1 ir y2 randame naudodami Vietos teoremą. Galiausiai gauname x1 = y1/a ir x1 = y2/a.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį 2 x2 – 11 x + 15 = 0. Sprendimas. Koeficientą 2 „išmeskime“ į laisvąjį narį, kaip rezultatas gauname lygtį y2 – 11 y + 30 = 0. Pagal Vietos teoremą y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Atsakymas: 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. METODAS: Kvadratinės lygties koeficientų savybės. A. Tegu kvadratinė lygtis ax2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0. 1) Jei a + b + c = 0 (t. y. koeficientų suma lygi nuliui), tai x1 = 1, x2 = c/ A. Įrodymas. Abi lygties puses padalijus iš a ≠ 0, gauname redukuotą kvadratinę lygtį x 2 + b/a x + c/a = 0. Pagal Vietos teoremą x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Pagal sąlygą a – b + c = 0, iš kur b = a + c. Taigi, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), t.y. x1 = -1 ir x2 = c/a, o tai yra ką reikėjo įrodyti.

B. Jei antrasis koeficientas b = 2 k yra lyginis skaičius, tada šaknų formulė B. Aukščiau pateikta lygtis x2 + px + q = 0 sutampa su lygtimi bendras vaizdas, kuriame a = 1, b = p ir c = q. Todėl sumažintos kvadratinės lygties šaknies formulė yra

7. METODAS: Kvadratinės lygties grafinis sprendimas. Jei lygtyje x2 + px + q = 0 antrą ir trečią narius perkeliame į dešinę, gauname x2 = - px - q. Sukurkime priklausomybės y = x2 ir y = - px - q grafikus.

1 pavyzdys) Išspręskime grafiškai lygtį x2 - 3 x - 4 = 0 (2 pav.). Sprendimas. Parašykime lygtį forma x2 = 3 x + 4. Sukonstruokite parabolę y = x2 ir tiesę y = 3 x + 4. Tiesę y = 3 x + 4 galima sudaryti naudojant du taškus M (0; 4) ir N (3; 13). Atsakymas: x1 = - 1; x2 = 4

8. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant kompasą ir liniuotę. kvadratinio kompaso ir liniuotės šaknų radimas (5 pav.). lygtys Tada pagal sekantinę teoremą gauname OB OD = OA OC, iš kur OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 naudojant

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Apskritimo spindulys yra didesnis už centro ordinatę (AS > SK arba R > +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. METODAS: Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą. z 2 + pz + q = 0. Kreivinė nomogramos skalė konstruojama pagal formules (11 pav.): Darant prielaidą, kad OS = p, ED = q, OE = a (visi cm), Iš trikampių panašumo SAN ir CDF gauname proporciją

Pavyzdžiai. 1) Lygčiai z 2 - 9 z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8, 0 ir z 2 = 1, 0 (12 pav.). 2) Naudodami nomogramą išsprendžiame lygtį 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomograma suteikia šaknys z 1 = 4 ir z 2 = 0, 5. 3) Lygčiai z 2 - 25 z + 66 = 0 koeficientai p ir q yra už skalės ribų, atliekame pakeitimą z = 5 t, gauname lygtis t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, kurią išsprendžiame naudodami nomogramas ir gauname t 1 = 0,6 ir t 2 = 4, 4, iš kurių z 1 = 5 t 1 = 3, 0 ir z 2 = 5 t 2 = 22. 0.

10. METODAS: geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas. Pavyzdžiai. 1) Išspręskime lygtį x2 + 10 x = 39. Originale šis uždavinys suformuluotas taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“ (15 pav.). Gauname reikiamą pradinio kvadrato kraštinę x

y2 + 6 y - 16 = 0. Sprendimas parodytas pav. 16, kur y2 + 6 y = 16 arba y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Sprendimas. Išraiškos y2 + 6 y + 9 ir 16 + 9 geometriškai reiškia tą patį kvadratą, o pradinė lygtis y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 yra ta pati lygtis. Iš to gauname, kad y + 3 = ± 5, arba y1 = 2, y2 = - 8 (16 pav.).