الدرس الخامس

استهداف: إتقان المهارات الأساسية لتحويل الرسوم البيانية مع الوحدات.

I. توصيل الموضوع والغرض من الدرس

II . تكرار وتوحيد المواد المغطاة

1. إجابات على الأسئلة في واجب منزلي(تحليل المشاكل التي لم تحل).

2. رصد استيعاب المواد (مسح مكتوب).

الخيار 1

F (x) ارسم الدالة y =و (-x) + 2؟

2. ارسم الوظيفة:

الخيار 2

1. كيف ، معرفة الرسم البياني للدالة y = F (x) ارسم الدالة y = -و (خ) - 1؟

2. ارسم الوظيفة:

ثالثا. تعلم مواد جديدة

من مادة الدرس السابق ، يمكن ملاحظة أن طرق تحويل الرسوم البيانية مفيدة للغاية في بنائها. لذلك ، سننظر أيضًا في الطرق الرئيسية لتحويل الرسوم البيانية التي تحتوي على وحدات. هذه الأساليب عالمية ومناسبة لأي وظيفة. لتبسيط البناء ، سننظر في دالة خطية متعددة التعريف F (خ) مع النطاقد (ص ) ، الرسم البياني الذي يظهر في الشكل. دعنا نفكر في ثلاثة تحويلات قياسية للرسوم البيانية مع الوحدات.

1) رسم الدالة y = |و (س) |

f / (x) ، إذا كانت Dx)> 0 ،

حسب تعريف الوحدة ، نحصل على:هذا يعني أنه لرسم الدالة y = |و (x ) | من الضروري حفظ جزء من الرسم البياني للوظيفة y \ u003dو (x ) ، حيث y ≥ 0. هذا الجزء من الرسم البياني للدالة y = F (x) من أجلها y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) رسم الدالة y =و (| x |)

G / O) ، إذا كان Dx)> 0 ،

قم بتوسيع الوحدة واحصل على:لذلك ، لرسم الدالة y =و (| x |) من الضروري حفظ جزء من الرسم البياني للدالة y = F (x) ، حيث x ≥ 0. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن ينعكس هذا الجزء بشكل متماثل إلى اليسار بالنسبة لمحور y.

3) رسم المعادلة | y | =و (خ)

من خلال تعريف الوحدة ، لدينا ذلك لـ F (x) ≥ 0 من الضروري إنشاء رسوم بيانية لوظيفتين: y = f (x) و y = -f (X). هذا يعني أنه لرسم المعادلة | y | = F (x) من الضروري حفظ جزء من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d F (x) ، حيث y ≥ 0. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن ينعكس هذا الجزء بشكل متماثل لأسفل بالنسبة لمحور x.

لاحظ أن التبعية | y | = F (x) لا تحدد وظيفة ، أي لـ x∈ (-2.6؛ 1.4) كل قيمة x تقابل قيمتين y. لذلك ، يوضح الشكل الرسم البياني للمعادلة | у | بالضبط =و (خ).

نحن نستخدم الطرق المدروسة لتحويل الرسوم البيانية مع الوحدات لرسم المزيد وظائف معقدةوالمعادلات.

مثال 1

دعنا نرسم الدالة

نختار الجزء الصحيح في هذه الوظيفةيتم الحصول على هذا الرسم البياني عن طريق تحويل الرسم البياني للوظيفة y \ u003d -1 / x وحدتان إلى اليمين ووحدة واحدة لأسفل. الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع الزائد.

مثال 2

دعنا نرسم الدالة

وفقًا للطريقة 1 ، نحفظ جزء الرسم البياني من المثال 1 ، حيث y ≥ 0. هذا الجزء من الرسم البياني ، حيث y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

مثال 3

دعنا نرسم الدالة

باستخدام الطريقة 2 ، سنحفظ جزء الرسم البياني من المثال 1 ، حيث x ≥ 0. بالإضافة إلى ذلك ، سنقوم بعكس هذا الجزء المحفوظ إلى اليسار بالنسبة لمحور y. نحصل على رسم بياني للدالة متماثل حول المحور y.

مثال 4

لنقم ببناء رسم بياني للمعادلة

وفقًا للطريقة 3 ، نحفظ جزء الرسم البياني من المثال 1 ، حيث y ≥ 0. بالإضافة إلى ذلك ، نعكس هذا الجزء المحفوظ بشكل متماثل لأسفل بالنسبة لمحور الإحداثي. نحصل على الرسم البياني لهذه المعادلة.

بالطبع ، يمكن أيضًا استخدام الطرق المدروسة لتحويل الرسوم البيانية معًا.

مثال 5

دعنا نرسم الدالة

نستخدم الرسم البياني للدالةمبني في المثال 3. لإنشاء هذا الرسم البياني ، نحفظ أجزاء الرسم البياني 3 التي من أجلها y ≥ 0. تلك الأجزاء من الرسم البياني 3 التي من أجلها y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

في الحالات التي تعتمد فيها الوحدات بطريقة مختلفة (عن الطرق 1-3) ، من الضروري فتح هذه الوحدات.

مثال 6

دعنا نرسم الدالة

التعبيرات x - 1 و x + 2 الدخول تحت علامات الوحدات يغير علاماتها عند النقطتين x = 1 و x = -2 على التوالي. دعونا نحدد هذه النقاط على خط الإحداثيات. يقسمونها إلى ثلاث فترات. باستخدام تعريفات الوحدة ، دعنا نوسع الوحدات في كل فجوة.

نحن نحصل:

1. متى

2. متى

3. متى

دعونا نبني رسومًا بيانية لهذه الدوال ، مع الأخذ في الاعتبار فترات المتغير x ، حيث تم الكشف عن علامات المقياس. نحصل على خط متقطع.

في كثير من الأحيان ، عند إنشاء الرسوم البيانية للمعادلات ذات الوحدات النمطية ، يتم استخدام مستوى إحداثيات لفتحها. دعنا نشرح هذا بالمثال التالي.

مثال 7

لنقم ببناء رسم بياني للمعادلة

يغير التعبير y - x علامته على الخط المستقيم y = x. لنقم ببناء هذا الخط المستقيم - منصف الزاويتين الإحداثيتين الأولى والثالثة. يقسم هذا الخط نقاط المستوى إلى منطقتين: 1 - النقاط الموجودة فوق الخط y - x ؛ 2 - النقاط الواقعة تحت هذا الخط. دعونا نفتح الوحدة في مثل هذه المناطق. في المنطقة 1 ، خذ ، على سبيل المثال ، نقطة التحكم (0 ؛ 5). نرى أنه لهذه النقطة التعبير y - x \ u003e 0. بتوسيع الوحدة ، نحصل على: y - x + y + x \ u003d 4 أوذ = 2. نبني مثل هذا الخط المستقيم داخل المنطقة الأولى. من الواضح ، في المنطقة 2 ، التعبير y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. ارسم رسم بياني كسري دالة خطيةوالمعادلات:

4. ارسم الرسم البياني للدالة والمعادلات والمتباينات:

ثامنا. تلخيص الدرس

نسخة طبق الأصل

1 المؤتمر العلمي والعملي الإقليمي للعمل التربوي والبحثي للطلاب في الصفوف 6-11 "الأسئلة التطبيقية والأساسية للرياضيات" الجوانب المنهجية لدراسة الرياضيات. "Kudymkar ، Pikuleva Nadezhda Ivanovna ، مدرس الرياضيات ، MOBU" Gymnasium 3 "، Kudymkar ، بيرم ، 2016

2 المحتويات: مقدمة ... الصفحة 3 I. النص الأساسي ... الصفحة 6 1.1 مرجع التاريخ 6 ص 2. التعريفات الأساسية وخصائص الوظائف ص 2.1 وظيفة تربيعية 7 ص 2.2 دالة خطية 8 ص 2.3 دالة كسرية عقلانية 8 ص تعريف الوحدة 9 ص 3.2 خوارزمية لرسم رسم بياني لوظيفة خطية بمعامل ... 9 ص. 3.3 وظائف الرسم التي تحتوي على "وحدات متداخلة" في الصيغة .10 ص 3.4 خوارزمية لرسم الرسوم البيانية لوظائف النموذج y = a 1 x x 1 + أ 2 س س أ ن س س ن + فأس + ب ... 13 ص 3.5 خوارزمية لرسم رسم بياني لدالة تربيعية بمعامل 14 ص 3.6 خوارزمية لرسم رسم بياني لدالة كسرية مع معامل. 15 ص. 4. التغييرات في الرسم البياني للدالة التربيعية اعتمادًا على موقع العلامة قيمه مطلقه..17 ص. II. خاتمة ... 26 ص. قائمة المراجع والمصادر ... 27 ص. تطبيق .... 28 ص. 2

3 مقدمة وظائف التخطيط هي واحدة منها. مواضيع مثيرة للاهتمامفي الرياضيات المدرسية. كتب أكبر عالم رياضيات في عصرنا ، إسرائيل مويسيفيتش غيلفاند: "إن عملية التخطيط هي طريقة لتحويل الصيغ والأوصاف إلى صور هندسية. هذا الرسم هو وسيلة لرؤية الصيغ والوظائف ومعرفة كيف تتغير هذه الوظائف. على سبيل المثال ، إذا تمت كتابة y \ u003d x 2 ، فسترى على الفور القطع المكافئ ؛ إذا كانت y = x 2-4 ، فسترى القطع المكافئ مخفضًا بأربع وحدات ؛ إذا كان y \ u003d - (× 2 4) ، فسترى القطع المكافئ السابق مقلوبًا. هذه القدرة على رؤية الصيغة في وقت واحد ، وتفسيرها الهندسي مهم ليس فقط لدراسة الرياضيات ، ولكن أيضًا للمواد الأخرى. إنها مهارة تبقى معك مدى الحياة ، مثل تعلم ركوب الدراجة أو الكتابة أو قيادة السيارة. " تم الحصول على أساسيات حل المعادلات بالوحدات في الصف السادس السابع. اخترت هذا الموضوع بالذات لأنني أعتقد أنه يتطلب دراسة أعمق وأكثر شمولاً. أريد معرفة المزيد عن معامل العدد ، طرق مختلفةبناء الرسوم البيانية التي تحتوي على علامة القيمة المطلقة. عندما تشتمل المعادلات "القياسية" للخطوط والقطوع المكافئة والقطع الزائد على علامة المقياس ، تصبح رسومها البيانية غير عادية بل وجميلة. لمعرفة كيفية إنشاء مثل هذه الرسوم البيانية ، تحتاج إلى إتقان تقنيات تكوين الأشكال الأساسية ، وكذلك معرفة وفهم تعريف معامل العدد. في دورة الرياضيات المدرسية ، لا يتم النظر في الرسوم البيانية التي تحتوي على وحدة بشكل متعمق بما فيه الكفاية ، ولهذا السبب أردت توسيع معرفتي حول هذا الموضوع ، لإجراء بحثي الخاص. بدون معرفة تعريف الوحدة ، من المستحيل إنشاء أبسط رسم بياني يحتوي على قيمة مطلقة. السمة المميزةالرسوم البيانية الوظيفية التي تحتوي على تعبيرات بعلامة modulo ، 3

4 هو وجود مكامن الخلل في تلك النقاط التي يتغير فيها التعبير تحت علامة الوحدة النمطية. الغرض من العمل: النظر في إنشاء رسم بياني للوظائف الخطية والتربيعية والعقلانية الكسرية التي تحتوي على متغير تحت علامة الوحدة. المهام: 1) دراسة الأدبيات الخاصة بخصائص القيمة المطلقة للخطية والتربيعية والخطية عقلاني كسورالمهام. 2) التحقيق في التغييرات في الرسوم البيانية للوظائف اعتمادًا على موقع علامة القيمة المطلقة. 3) تعلم كيفية رسم الرسوم البيانية للمعادلات. موضوع الدراسة: الرسوم البيانية للوظائف الخطية والتربيعية والكسرية. موضوع الدراسة: التغييرات في الرسم البياني للوظائف الخطية والتربيعية والكسرية حسب موقع علامة القيمة المطلقة. أهمية عمليةعملي هو: 1) في استخدام المعرفة المكتسبة حول الموضوع وتعميقها وتطبيقها على الدوال والمعادلات الأخرى. 2) في استخدام المهارات عمل بحثيفى المستقبل نشاطات التعلم. الملاءمة: تعد مهام الرسم البياني تقليديًا واحدة من أصعب الموضوعات في الرياضيات. يواجه خريجونا مشكلة النجاح في اجتياز اختبار GIA وامتحان الدولة الموحد. مشكلة البحث: رسم الدوال التي تحتوي على علامة المعامل من الجزء الثاني من GIA. فرضية البحث: تم تطوير التطبيق على أساس طرق شائعةإنشاء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على علامة الوحدة ، وطرق حل مهام الجزء الثاني من GIA ستسمح للطلاب بحل هذه المهام 4

5 على أساس واع ، اختر الطريقة الأكثر عقلانية للحل ، وتطبيق طرق حل مختلفة واجتياز GIA بنجاح أكبر. طرق البحث المستخدمة في العمل: 1. تحليل الأدبيات الرياضية ومصادر الإنترنت حول هذا الموضوع. 2. التكاثر التناسلي للمادة المدروسة. 3. نشاط البحث المعرفي. 4. تحليل ومقارنة البيانات بحثا عن حل للمشاكل. 5. بيان الفرضيات والتحقق منها. 6. المقارنة والتعميم حقائق رياضية. 7. تحليل النتائج التي تم الحصول عليها. عند كتابة هذا العمل ، تم استخدام المصادر التالية: موارد الإنترنت ، اختبارات OGE ، الأدب الرياضي. 5

6 I. الجزء الرئيسي 1.1 الخلفية التاريخية. في النصف الأول من القرن السابع عشر ، بدأ مفهوم الوظيفة في التبلور كاعتماد لمتغير واحد على آخر. لذلك ، تخيل عالما الرياضيات الفرنسيان بيير فيرما () ورينيه ديكارت () وظيفة كاعتماد لإحداثيات نقطة منحنى على حدودها. وقد فهم العالم الإنجليزي إسحاق نيوتن () الوظيفة على أنها تنسيق لنقطة متحركة تتغير حسب الوقت. تم تقديم مصطلح "الوظيفة" (من أداء الوظيفة اللاتينية ، العمولة) لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الألماني جوتفريد لايبنيز (). ربط دالة بصورة هندسية (رسم بياني للدالة). في وقت لاحق ، عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي () وعضو أكاديمية بطرسبورغاعتبر عالم الرياضيات الشهير ليونارد أويلر () ، عالم الرياضيات الشهير في القرن الثامن عشر ، الوظيفة كتعبير تحليلي. لدى أويلر أيضًا فهم عام للدالة على أنها اعتماد متغير على آخر. كلمة "وحدة" تأتي من كلمة لاتينية"المعامل" ، وهو ما يعني "قياس" في الترجمة. هو - هي كلمة متعددة المعاني(homonym) ، والتي لها معاني كثيرة ولا تستخدم فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في العمارة والفيزياء والهندسة والبرمجة وغيرها. العلوم الدقيقة. في الهندسة المعمارية ، هذه هي وحدة القياس الأولية التي تم إنشاؤها لهيكل معماري معين وتستخدم للتعبير عن نسب متعددة منه العناصر المكونة. في الهندسة ، يستخدم هذا المصطلح في مختلف مجالات التكنولوجيا التي ليس لها معنى عالمي ويعمل على الإشارة إلى المعاملات والكميات المختلفة ، على سبيل المثال ، معامل الارتباط ، ومعامل المرونة ، وما إلى ذلك. 6

7 معامل الحجم (في الفيزياء) هو نسبة الضغط الطبيعي في المادة إلى الاستطالة النسبية. 2- التعريفات الأساسية وخصائص الوظائف الوظيفة من أهم المفاهيم الرياضية. الوظيفة هي اعتماد المتغير y على المتغير x ، حيث تتوافق كل قيمة من المتغير x مع قيمة واحدة للمتغير y. طرق تحديد الوظيفة: 1) الطريقة التحليلية (يتم تعيين الوظيفة باستخدام صيغة رياضية) ؛ 2) طريقة الجدول (يتم تحديد الوظيفة باستخدام الجدول) ؛ 3) الأسلوب الوصفي (تُعطى الوظيفة من خلال وصف لفظي) ؛ أربعة) طريقة الرسم(يتم تعيين الوظيفة باستخدام رسم بياني). الرسم البياني للدالة هو مجموعة من جميع نقاط مستوى الإحداثيات ، والتي تكون الأحرف الخاصة بها مساوية لقيمة الوسيطة ، والإحداثيات مساوية للقيم المقابلة للدالة. 2.1 دالة تربيعية الوظيفة المحددة بالصيغة y = ax 2 + in + c ، حيث x و y متغيران ، والمعلمات a و b و c هي أي أرقام حقيقية ، و a = 0 تسمى تربيعية. الرسم البياني للوظيفة y \ u003d ax 2 + in + c هو قطع مكافئ ؛ محور تناظر القطع المكافئ y \ u003d ax 2 + in + c هو خط مستقيم ، بالنسبة لـ a> 0 يتم توجيه "فروع" القطع المكافئ لأعلى ، من أجل<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (لوظائف متغير واحد). الخاصية الرئيسية للوظائف الخطية هي أن الزيادة في الوظيفة تتناسب مع زيادة الوسيطة. أي أن الوظيفة هي تعميم التناسب المباشر. الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم ، ومن هنا جاء اسمه. هذا يتعلق بوظيفة حقيقية لمتغير حقيقي واحد. 1) عند ، يشكل الخط المستقيم زاوية حادة بالاتجاه الإيجابي للمحور السيني. 2) عندما يشكل الخط زاوية منفرجة مع الاتجاه الإيجابي للمحور x. 3) هو مؤشر على إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي. 4) متى يمر الخط عبر الأصل. ، 2.3 الدالة الكسرية الكسرية هي كسر بسطه ومقامه كثيرات الحدود. لها شكل حيث ، كثيرات الحدود في أي عدد من المتغيرات. الدوال المنطقية لمتغير واحد هي حالة خاصة: أين ومتعددة الحدود. 1) أي تعبير يمكن الحصول عليه من المتغيرات باستخدام أربع عمليات حسابية هو دالة كسرية. ثمانية

9 2) يتم إغلاق مجموعة الوظائف المنطقية في إطار العمليات الحسابية وعملية التكوين. 3) يمكن تمثيل أي دالة عقلانية كمجموع الكسور البسيطة - يستخدم هذا في التكامل التحليلي .. ، 3. خوارزميات لإنشاء الرسوم البيانية بوحدة نمطية إذا كانت a سالبة. a = 3.2 خوارزمية لإنشاء رسم بياني لوظيفة خطية بمعامل لرسم الرسوم البيانية للدوال y = x ، عليك أن تعرف أنه بالنسبة إلى موجب x لدينا x = x. هذا يعني أنه بالنسبة للقيم الموجبة للوسيطة ، يتطابق الرسم البياني y = x مع الرسم البياني y = x ، أي أن هذا الجزء من الرسم البياني عبارة عن شعاع يخرج من الأصل بزاوية 45 درجة إلى x- محور. بالنسبة إلى x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 للبناء ، نأخذ النقاط (-2 ؛ 2) (-1 ؛ 1) (0 ؛ 0) (1 ؛ 1) (2 ؛ 2). لنقم الآن ببناء رسم بياني y = x-1. إذا كانت A هي نقطة الرسم البياني y = x مع الإحداثيات (a ؛ a) ، فإن نقطة الرسم البياني y = x-1 بنفس قيمة الإحداثي Y ستكون النقطة A1 (أ + 1 ؛ أ). يمكن الحصول على هذه النقطة في الرسم البياني الثاني من النقطة أ (أ ؛ أ) من الرسم البياني الأول عن طريق التحول بالتوازي مع محور الثور إلى اليمين. هذا يعني أنه تم الحصول على الرسم البياني الكامل للدالة y = x-1 من الرسم البياني للدالة y = x عن طريق التحول بالتوازي مع محور Ox إلى اليمين بمقدار 1. لنقم ببناء الرسوم البيانية: y = x-1 للبناء ، نأخذ النقاط (-2 ؛ 3) (-1 ؛ 2) (0 ؛ 1) (1 ؛ 0) (2 ؛ 1). 3.3 بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على "وحدات متداخلة" في الصيغة دعونا نفكر في خوارزمية البناء باستخدام مثال محدد.

11 ص \ u003d i-2-ix + 5ii 1. نقوم ببناء رسم بياني للوظيفة. 2. نعرض الرسم البياني لنصف المستوى السفلي لأعلى بشكل متماثل فيما يتعلق بمحور OX ونحصل على الرسم البياني للدالة. أحد عشر

12 3. نعرض الرسم البياني للدالة لأسفل بشكل متماثل حول محور OX ونحصل على الرسم البياني للدالة. 4. نعرض الرسم البياني للوظيفة لأسفل بشكل متماثل فيما يتعلق بمحور OX ونحصل على الرسم البياني للوظيفة 5. اعرض الرسم البياني للوظيفة فيما يتعلق بمحور OX واحصل على الرسم البياني. 12

13 6. نتيجة لذلك ، يبدو الرسم البياني للدالة مثل هذا 3.4. خوارزمية لتكوين الرسوم البيانية للوظائف بالصيغة y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. في المثال السابق ، كان من السهل جدًا توسيع علامات الوحدة. إذا كان هناك عدد أكبر من الوحدات النمطية ، فمن الصعب النظر في جميع التركيبات الممكنة لعلامات تعبيرات الوحدة الفرعية. كيف يمكننا رسم الدالة في هذه الحالة؟ لاحظ أن الرسم البياني عبارة عن خط متعدد الخطوط ، حيث تكون الرؤوس عند النقاط التي تحتوي على abscissas -1 و 2. بالنسبة إلى x = -1 و x = 2 ، فإن تعبيرات الوحدة الفرعية تساوي صفرًا. بطريقة عملية ، اقتربنا من قاعدة إنشاء مثل هذه الرسوم البيانية: الرسم البياني لوظيفة بالشكل y \ u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x n + ax + b عبارة عن خط متعدد ذي روابط متطرفة لا نهائية. لبناء مثل هذا الشكل متعدد الخطوط ، يكفي معرفة جميع رؤوسه (الرؤوس هي أصفار لتعبيرات الوحدة الفرعية) ونقطة تحكم واحدة على كل من الروابط اللانهائية اليمنى واليسرى. 13

14 مهمة. ارسم الدالة y = x + x 1 + x + 1 وابحث عن أصغر قيمة لها. الحل: 1. أصفار تعبيرات الوحدة الفرعية: 0 ؛ -واحد؛ رؤوس متعددة الخطوط (0 ؛ 2) ؛ (-13) ؛ (1 ؛ 3). (يتم استبدال أصفار تعبيرات الوحدة الفرعية في المعادلة) نبني رسمًا بيانيًا (الشكل 7) ، أصغر قيمة للدالة هي خوارزمية لرسم رسم بياني لوظيفة تربيعية باستخدام الوحدة النمطية التي ترسم خوارزميات لتحويل الرسوم البيانية للوظائف. 1- بناء رسم بياني للدالة y = f (x). وفقًا لتعريف الوحدة النمطية ، تتحلل هذه الوظيفة إلى مجموعة من وظيفتين. لذلك ، يتكون الرسم البياني للدالة y = f (x) من رسمين بيانيين: y = f (x) في نصف المستوى الأيمن ، y = f (-x) في نصف المستوى الأيسر. بناءً على ذلك ، يمكننا صياغة قاعدة (خوارزمية). يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y = f (x) من الرسم البياني للدالة y = f (x) على النحو التالي: عند x 0 يتم الاحتفاظ بالرسم البياني ، وعند x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. لإنشاء رسم بياني للدالة y = f (x) ، يجب عليك أولاً رسم بياني للدالة y = f (x) لـ x> 0 ، ثم بالنسبة إلى x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 للحصول على هذا الرسم البياني ، يكفي فقط إزاحة الرسم البياني الذي تم الحصول عليه مسبقًا بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين. لاحظ أنه إذا كان مقام الكسر هو x + 3 ، فسنقوم بإزاحة الرسم البياني إلى اليسار: الآن نحتاج إلى ضرب جميع الإحداثيات في اثنين للحصول على التمثيل البياني للدالة ، وأخيرًا ، نحول التمثيل البياني لأعلى بمقدار وحدتين : آخر شيء بقي علينا فعله ، هو رسم الدالة المعطاة إذا كانت محاطة بعلامة المقياس. للقيام بذلك ، نعكس بشكل متماثل لأعلى الجزء بأكمله من الرسم البياني ، وإحداثياته ​​سلبية (الجزء الذي يقع أسفل المحور السيني): الشكل 4 16

17 4. التغييرات في الرسم البياني للدالة التربيعية اعتمادًا على موقع علامة القيمة المطلقة. ارسم الدالة y \ u003d x 2 - x -3 1) بما أن x \ u003d x عند x 0 ، يتطابق الرسم البياني المطلوب مع القطع المكافئ y \ u003d 0.25 x 2 - x - 3. إذا كانت x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. ب) لذلك أكمل x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 تين. 4 يتطابق الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) مع الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) على مجموعة القيم غير السالبة للوسيطة وهو متماثل معها فيما يتعلق بـ y -المحور على مجموعة القيم السالبة للوسيطة. الدليل: إذا كانت x 0 ، فإن f (x) = f (x) ، أي في مجموعة القيم غير السالبة للوسيطة ، تتطابق الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) و y = f (x). نظرًا لأن y \ u003d f (x) دالة زوجية ، فإن الرسم البياني الخاص بها متماثل فيما يتعلق بنظام التشغيل. وبالتالي ، يمكن الحصول على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) على النحو التالي: 1. ارسم الدالة y \ u003d f (x) لـ x> 0 ؛ 2. بالنسبة إلى x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0 ؛ 2. بالنسبة إلى x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 إذا كانت x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 والجزء المنعكس بشكل متماثل y \ u003d f (x) عند y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0 ، ثم f (x) \ u003d f (x) ، مما يعني أنه في هذا الجزء يتطابق الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) مع الرسم البياني للوظيفة نفسها y \ u003d f (x). إذا كانت f (x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 الشكل 5 الخلاصة: لرسم الدالة y = f (x) 1. ارسم الدالة y = f (x) ؛ 2. في المناطق التي يقع فيها الرسم البياني في نصف المستوى السفلي ، أي حيث f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 عمل بحثي على رسم الرسوم البيانية للوظائف y = f (x) باستخدام تعريف القيمة المطلقة والأمثلة المدروسة سابقًا ، نرسم الرسوم البيانية للوظيفة: y \ u003d 2 x - 3 y \ u003d x 2-5 x y \ u003d x 2-2 وتوصلوا إلى استنتاجات. من أجل بناء رسم بياني للدالة y = f (x) من الضروري: 1. إنشاء رسم بياني للدالة y = f (x) لـ x> 0. 2. قم ببناء الجزء الثاني من الرسم البياني ، أي عكس الرسم البياني الذي تم إنشاؤه بشكل متماثل فيما يتعلق بنظام التشغيل ، لأن هذه الوظيفة زوجية. 3. يجب تحويل أقسام الرسم البياني الناتج الموجودة في نصف المستوى السفلي إلى نصف المستوى العلوي بشكل متماثل مع محور OX. قم بإنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d 2 x - 3 (الطريقة الأولى لتحديد الوحدة النمطية) X< -1,5 и х>1.5 أ) ص = 2 س - 3 ، ل س> 0 ب) ل س<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 ب) ل x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) نقوم ببناء خط مستقيم متماثل مع الخط المبني فيما يتعلق بمحور نظام التشغيل. 3) يتم عرض أقسام الرسم البياني الموجودة في نصف المستوى السفلي بشكل متماثل حول محور OX. بمقارنة الرسمين البيانيين ، نرى أنهما متماثلان. 21

22 أمثلة على المشاكل مثال 1. ضع في اعتبارك الرسم البياني للدالة y = x 2 6x +5. بما أن x تربيع ، فبغض النظر عن علامة العدد x بعد تربيعه ، ستكون موجبة. ويترتب على ذلك أن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2-6x +5 سيكون مطابقًا للرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2-6x +5 ، أي رسم بياني لوظيفة لا تحتوي على علامة قيمة مطلقة (الشكل 2). الشكل 2 مثال 2. ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 6 x +5. باستخدام تعريف معامل العدد ، نستبدل الصيغة y \ u003d x 2 6 x +5 الآن نحن نتعامل مع مهمة تبعية متعددة التعريف معروفة لنا جيدًا. سنقوم ببناء رسم بياني مثل هذا: 1) نبني القطع المكافئ y \ u003d x 2-6x +5 ونضع دائرة حول هذا الجزء منه ، وهو 22

23 يتوافق مع قيم x غير السالبة ، أي الجزء الموجود على يمين المحور الصادي. 2) في نفس مستوى الإحداثيات ، نقوم ببناء القطع المكافئ y \ u003d x 2 + 6x +5 ووضع دائرة حول هذا الجزء منه الذي يتوافق مع القيم السالبة لـ x ، أي الجزء الموجود على يسار المحور ص. تشكل الأجزاء المحاطة بدائرة من القطع المكافئ معًا رسمًا بيانيًا للوظيفة y \ u003d x 2-6 x +5 (الشكل 3). الشكل 3 مثال 3. ضع في اعتبارك الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2-6 x +5. لان الرسم البياني للمعادلة y \ u003d x 2 6x +5 هو نفس الرسم البياني للوظيفة بدون علامة المعامل (في المثال 2) ، ويتبع ذلك الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 6 x +5 مطابق للرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 6 x +5 ، كما هو موضح في المثال 2 (الشكل 3). مثال 4. لنقم ببناء رسم بياني للدالة y \ u003d x 2 6x +5. للقيام بذلك ، نقوم بإنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d x 2-6x. للحصول منه على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2-6x ، تحتاج إلى استبدال كل نقطة من القطع المكافئ بإحداثية سالبة بنقطة لها نفس الإحداثي ، ولكن مع الإحداثي المعاكس (الموجب). بعبارة أخرى ، يجب استبدال جزء القطع المكافئ الواقع أسفل المحور x بخط متماثل حول المحور x. لان نحتاج إلى إنشاء رسم بياني للوظيفة y \ u003d x 2-6x +5 ، ثم يجب رفع الرسم البياني للوظيفة التي اعتبرناها y \ u003d x 2-6x فقط على طول المحور y بمقدار 5 وحدات لأعلى (الشكل .4). 23

24 الشكل 4 مثال 5. لنقم ببناء رسم بياني للدالة y \ u003d x 2-6x + 5. للقيام بذلك ، نستخدم الدالة متعددة التعريف المعروفة. ابحث عن أصفار الدالة y \ u003d 6x +5 6x + 5 \ u003d 0 at. ضع في اعتبارك حالتين: 1) إذا ، فإن المعادلة تأخذ الصيغة y = x 2 6x -5. دعونا نبني هذا القطع المكافئ ونضع دائرة حول هذا الجزء منه حيث. 2) إذا ، فإن المعادلة تأخذ الشكل y \ u003d x 2 + 6x +5. دعونا نبني هذا القطع المكافئ ونضع دائرة حول ذلك الجزء منه ، والذي يقع على يسار النقطة ذات الإحداثيات (الشكل 5). 24

25 الشكل 5 مثال 6. دعنا نرسم الدالة y \ u003d x 2 6 x +5. للقيام بذلك ، سنرسم الدالة y \ u003d x 2-6 x +5. رسمنا هذا الرسم البياني في المثال 3. نظرًا لأن وظيفتنا تقع تمامًا تحت علامة الوحدة النمطية ، من أجل رسم الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 6 x +5 ، فأنت بحاجة إلى كل نقطة من الرسم البياني للدالة y \ u003d x 2 6 × + 5 بإحداثية سالبة ، استبدلها بنقطة لها نفس الإحداثية ، ولكن بالإحداثيات المعاكسة (موجبة) ، أي يجب استبدال جزء القطع المكافئ الواقع أسفل محور الثور بخط متماثل بالنسبة لمحور الثور (الشكل 6). الشكل 6 25

26 ثانياً - خاتمة "لا يمكن استخدام المعلومات الرياضية بمهارة وربحية إلا إذا تم إتقانها بشكل إبداعي ، بحيث يرى الطالب بنفسه كيف يمكن الوصول إليها بشكل مستقل". أ. كولموغوروف. هذه المهام ذات أهمية كبيرة لطلاب الصف التاسع ، لأنها شائعة جدًا في اختبارات OGE. ستتيح لك القدرة على بناء هذه الرسوم البيانية للوظائف اجتياز الاختبار بنجاح أكبر. تخيل عالما الرياضيات الفرنسيان بيير فيرمات () ورينيه ديكارت () وظيفة كاعتماد على إحداثيات نقطة منحنى على حدودها. وقد فهم العالم الإنجليزي إسحاق نيوتن () الوظيفة على أنها تنسيق لنقطة متحركة تتغير حسب الوقت. 26

27 3. قائمة المراجع والمصادر 1. Galitsky M. L.، Goldman A. M.، Zvavich L. I. مجموعة من المسائل في الجبر للصفوف 8 9: Proc. بدل لطلاب المدارس. والفصول مع تعميق. دراسة الرياضيات الطبعة الثانية. م: التنوير ، دوروفيف جي في الرياضيات. الجبر. المهام. تحليل البيانات. الصف 9: m34 Proc. لدراسات التعليم العام. مدير الطبعة الثانية ، الصورة النمطية. م: بوستارد ، Solomonik V.S مجموعة من الأسئلة والمشاكل في الرياضيات M: "المدرسة العليا" ، Yashchenko I.V. GIA. الرياضيات: خيارات الامتحان النموذجية: About options.m .: "National Education"، p. 5. Yashchenko I.V. OGE. الرياضيات: خيارات الامتحان النموذجية: About options.m .: "National Education"، p. 6. Yashchenko I.V. OGE. الرياضيات: خيارات الامتحان النموذجية: About options.m .: "National Education"، p.

28 الملحق 28

29 مثال 1. ارسم الدالة y = x 2 8 x الحل. دعونا نحدد التكافؤ في الوظيفة. قيمة y (-x) هي نفسها قيمة y (x) ، لذا فإن هذه الوظيفة زوجية. ثم يكون الرسم البياني الخاص به متماثلًا فيما يتعلق بمحور Oy. نبني رسمًا بيانيًا للدالة y \ u003d x 2 8x + 12 لـ x 0 ونعرض الرسم البياني بشكل متماثل بالنسبة لـ Oy لسالب x (الشكل 1). مثال 2. الرسم البياني التالي على شكل y \ u003d x 2 8x وهذا يعني أنه تم الحصول على الرسم البياني للدالة على النحو التالي: يقومون ببناء رسم بياني للدالة y \ u003d x 2 8x + 12 ، وترك جزء الرسم البياني التي تقع فوق محور الثور دون تغيير ، ويتم عرض جزء الرسم البياني الذي يقع تحت محور الإحداثيات بشكل متماثل فيما يتعلق بمحور الثور (الشكل 2). مثال 3. لرسم الدالة y \ u003d x 2 8 x + 12 ، يتم تنفيذ مجموعة من التحولات: y \ u003d x 2 8x + 12 y \ u003d x 2 8 x + 12 y \ u003d x 2 8 x الإجابة : الشكل 3. مثال 4 التعبير الذي يقف تحت علامة الوحدة ، علامة التغييرات عند النقطة س = 2/3. في x<2/3 функция запишется так: 29

30 بالنسبة إلى x> 2/3 ، ستتم كتابة الوظيفة على النحو التالي: أي أن النقطة x = 2/3 تقسم مستوى الإحداثي الخاص بنا إلى منطقتين ، في أحدهما (إلى اليمين) نبني الوظيفة وفي آخر (إلى اليسار) الرسم البياني للوظيفة التي نبنيها: مثال 5 بعد ذلك ، يكون الرسم البياني مكسورًا أيضًا ، لكن به نقطتا توقف ، لأنه يحتوي على تعبيرين تحت علامات الوحدة:

31 قم بتوسيع الوحدات في الفترة الأولى: في الفترة الثانية: في الفترة الثالثة: وهكذا ، في الفترة (- ؛ 1.5] لدينا الرسم البياني مكتوبًا بالمعادلة الأولى ، في الفترة الزمنية ، الرسم البياني مكتوبًا بالمعادلة الثانية ، وعلى الفاصل الزمني)