Ha minden természetes szám n valós számnak felel meg a n , akkor azt mondják, hogy adott számsor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tehát egy numerikus sorozat egy természetes argumentum függvénye.

Szám a 1 hívott a sorozat első tagja , szám a 2 — a sorozat második tagja , szám a 3 — harmadik stb. Szám a n hívott n-edik tag sorozatok , és a természetes szám n — a számát .

Két szomszédos tagtól a n És a n +1 tagszekvenciák a n +1 hívott későbbi (felé a n ), A a n — előző (felé a n +1 ).

Egy sorozat megadásához meg kell adni egy metódust, amely lehetővé teszi egy tetszőleges számú sorozattag megtalálását.

A sorrendet gyakran adják meg n-edik tagképletek , azaz egy képlet, amely lehetővé teszi egy sorozattag meghatározását a száma alapján.

Például,

a pozitív páratlan számok sorozata a képlettel adható meg

a n= 2n- 1,

és a váltakozás sorrendje 1 És -1 - képlet

b n = (-1)n +1 . ◄

A sorrend meghatározható visszatérő képlet, vagyis egy képlet, amely a sorozat bármely tagját kifejezi, néhánytól kezdve, az előző (egy vagy több) tagon keresztül.

Például,

Ha a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ha egy 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , akkor a numerikus sorozat első hét tagja a következőképpen van beállítva:

egy 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = egy 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

egy 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

egy 5 = a 3 + egy 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

A szekvenciák lehetnek végső És végtelen .

A sorozat az ún végső ha véges számú tagja van. A sorozat az ún végtelen ha végtelenül sok tagja van.

Például,

kétjegyű természetes számok sorozata:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

végső.

Prímszám sorozat:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

végtelen. ◄

A sorozat az ún növekvő , ha minden tagja a másodiktól kezdve nagyobb, mint az előző.

A sorozat az ún fogyó , ha minden tagja a másodiktól kezdve kisebb, mint az előző.

Például,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . egy növekvő sorozat;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . egy csökkenő sorozat. ◄

Olyan sorozatot nevezünk, amelynek elemei a szám növekedésével nem csökkennek, vagy éppen ellenkezőleg, nem nőnek monoton sorozat .

A monoton szekvenciák különösen növekvő és csökkenő szekvenciák.

Aritmetikai progresszió

Aritmetikai progresszió sorozatot hívunk meg, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amelyhez ugyanannyit adunk.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

egy aritmetikai progresszió, ha bármely természetes számra n feltétel teljesül:

a n +1 = a n + d,

Ahol d - néhány szám.

Így az adott számtani sorozat következő és előző tagjai közötti különbség mindig állandó:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Szám d hívott egy aritmetikai sorozat különbsége.

A számtani progresszió beállításához elegendő megadni az első tagot és a különbséget.

Például,

Ha a 1 = 3, d = 4 , akkor a sorozat első öt tagja a következőképpen található:

egy 1 =3,

a 2 = egy 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

egy 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Az első taggal végzett aritmetikai sorozathoz a 1 és a különbség d neki n

a n = egy 1 + (n- 1)d.

Például,

keresse meg egy aritmetikai sorozat harmincadik tagját

1, 4, 7, 10, . . .

egy 1 =1, d = 3,

egy 30 = egy 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = egy 1 + (n- 2)d,

a n= egy 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

akkor nyilván

a n=	a n-1 + a n+1
	2

a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok számtani átlagával.

az a, b és c számok akkor és csak akkor egymást követő tagjai valamelyik számtani sorozatnak, ha az egyik egyenlő a másik kettő számtani átlagával.

Például,

a n = 2n- 7 , egy aritmetikai sorozat.

Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ennélfogva,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Vegye figyelembe, hogy n egy aritmetikai sorozat -edik tagja nem csak azon keresztül található meg a 1 , hanem bármely korábbi a k

a n = a k + (n- k)d.

Például,

Mert a 5 lehet írni

egy 5 = egy 1 + 4d,

egy 5 = a 2 + 3d,

egy 5 = a 3 + 2d,

egy 5 = egy 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

akkor nyilván

a n=	a n-k +a n+k
	2

egy aritmetikai sorozat bármely tagja a másodiktól kezdve egyenlő a tőle egyenlő távolságra lévő számtani sorozat tagjainak összegének felével.

Ezen túlmenően minden számtani progresszióra igaz az egyenlőség:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Például,

számtani haladásban

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = egy 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) egy 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, mert

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

egy 5 + egy 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

első n egy aritmetikai sorozat tagjai egyenlő a szélső tagok összegének felének a tagok számával való szorzatával:

Ebből különösen az következik, hogy ha szükséges a feltételek összegzése

a k, a k +1 , . . . , a n,

akkor az előző képlet megtartja szerkezetét:

Például,

számtani haladásban 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ha számtani progressziót adunk meg, akkor a mennyiségeket a 1 , a n, d, nÉsS n két képlet kapcsolja össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül három értékét adjuk meg, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, két egyenletrendszerbe kombinálva, két ismeretlennel.

Aritmetikai progresszió egy monoton sorozat. Ahol:

• Ha d > 0 , akkor növekszik;
• Ha d < 0 , akkor csökken;
• Ha d = 0 , akkor a sorozat stacioner lesz.

Geometriai progresszió

geometriai progresszió sorozatot hívunk, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

geometriai progresszió, ha bármely természetes számra n feltétel teljesül:

b n +1 = b n · q,

Ahol q ≠ 0 - néhány szám.

Így ennek a geometriai progressziónak a következő tagjának az előzőhöz viszonyított aránya egy állandó szám:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Szám q hívott geometriai progresszió nevezője.

A geometriai progresszió beállításához elegendő annak első tagját és nevezőjét megadni.

Például,

Ha b 1 = 1, q = -3 , akkor a sorozat első öt tagja a következőképpen található:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 és nevező q neki n -a kifejezés a következő képlettel kereshető:

b n = b 1 · q n -1 .

Például,

keresse meg a geometriai progresszió hetedik tagját 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

akkor nyilván

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

a geometriai progresszió minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző és az azt követő tagok mértani átlagával (arányos).

Mivel fordítva is igaz, a következő állítás érvényes:

az a, b és c számok akkor és csak akkor egymást követő tagjai valamilyen geometriai haladásnak, ha az egyik négyzete egyenlő a másik kettő szorzatával, vagyis az egyik szám a másik kettő mértani közepe.

Például,

bizonyítsuk be, hogy a képlet által adott sorozat b n= -3 2 n , egy geometriai progresszió. Használjuk a fenti állítást. Nekünk van:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Ennélfogva,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ami a szükséges állítást bizonyítja. ◄

Vegye figyelembe, hogy n egy geometriai progresszió th tagját nemcsak keresztül találhatjuk meg b 1 , hanem bármely korábbi kifejezés is b k , amelyhez elegendő a képletet használni

b n = b k · q n - k.

Például,

Mert b 5 lehet írni

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

akkor nyilván

b n 2 = b n - k· b n + k

egy geometriai sorozat bármely tagjának négyzete a másodiktól kezdve egyenlő a haladás tőle egyenlő távolságra lévő tagok szorzatával.

Ezenkívül minden geometriai progresszióra igaz az egyenlőség:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Például,

exponenciálisan

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , mert

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

első n nevezővel rendelkező geometriai progresszió tagjai q ≠ 0 képlettel számolva:

És mikor q = 1 - a képlet szerint

S n= n.b. 1

Jegyezzük meg, hogy ha összegeznünk kell a feltételeket

b k, b k +1 , . . . , b n,

akkor a következő képletet használjuk:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Például,

exponenciálisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ha adott egy geometriai progresszió, akkor a mennyiségek b 1 , b n, q, nÉs S n két képlet kapcsolja össze:

Ezért, ha ezen mennyiségek közül bármelyik három értékét megadjuk, akkor a másik két mennyiség megfelelő értékeit ezekből a képletekből határozzuk meg, két egyenletrendszerbe kombinálva, két ismeretlennel.

Egy geometriai progresszióhoz az első taggal b 1 és nevező q a következők történnek monotonitási tulajdonságok :

• a progresszió növekszik, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 És q> 1;

b 1 < 0 És 0 < q< 1;

• A progresszió csökken, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

b 1 > 0 És 0 < q< 1;

b 1 < 0 És q> 1.

Ha q< 0 , akkor a geometriai progresszió előjel-váltakozó: a páratlan számú tagok előjele megegyezik az első tagjával, a páros tagok pedig az ellenkező előjellel. Nyilvánvaló, hogy a váltakozó geometriai progresszió nem monoton.

Az első terméke n A geometriai progresszió tagjai a következő képlettel számíthatók ki:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Például,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió végtelen geometriai progressziónak nevezzük, amelynek a nevező modulusa kisebb, mint 1 , vagyis

|q| < 1 .

Vegye figyelembe, hogy a végtelenül csökkenő geometriai progresszió nem feltétlenül csökkenő sorozat. Ez megfelel az esetnek

1 < q< 0 .

Ilyen nevező esetén a sorozat jel-váltakozó. Például,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege nevezd meg azt a számot, amelyhez az első összege tartozik n a progresszió szempontjából a szám korlátlan növekedésével n . Ez a szám mindig véges, és a képlettel fejezzük ki

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Például,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Az aritmetikai és a geometriai progresszió kapcsolata

Az aritmetikai és a geometriai progresszió szorosan összefügg. Vegyünk csak két példát.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Azt

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Például,

1, 3, 5, . . . — aritmetikai progresszió különbséggel 2 És

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió q , Azt

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetikai progresszió különbséggel log aq .

Például,

2, 12, 72, . . . egy nevezővel rendelkező geometriai progresszió 6 És

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetikai progresszió különbséggel lg 6 . ◄

Mielőtt dönteni kezdenénk aritmetikai progressziós problémák, fontolja meg, mi a számsorozat, mivel az aritmetikai progresszió különleges eset számsor.

A számsor az számkészlet, amelynek minden eleme megvan a maga sorozatszám . Ennek a halmaznak az elemeit a sorozat tagjainak nevezzük. A sorozatelemek sorszámát index jelzi:

A sorozat első eleme;

A sorozat ötödik eleme;

- a sorozat "n-edik" eleme, azaz. a "sorban álló" elem az n számon.

Egy sorozatelem értéke és sorszáma között függőség van. Ezért egy sorozatot tekinthetünk függvénynek, amelynek argumentuma a sorozat elemének sorszáma. Más szavakkal, mondhatjuk ezt a sorozat a természetes argumentum függvénye:

A sorrend háromféleképpen határozható meg:

1 . A sorrend táblázat segítségével adható meg. Ebben az esetben egyszerűen beállítjuk a sorozat minden tagjának értékét.

Például valaki úgy döntött, hogy személyes időgazdálkodást végez, és először kiszámolja, mennyi időt tölt a VKontakte-on a héten. Ha táblázatba írja az időt, akkor hét elemből álló sorozatot kap:

A táblázat első sora a hét napjának számát tartalmazza, a második - az időt percekben. Azt látjuk, hogy hétfőn Valaki 125 percet töltött a VKontakte-on, azaz csütörtökön - 248 percet, azaz pénteken csak 15 percet.

2 . A sorozat az n-edik tag képletével adható meg.

Ebben az esetben egy sorozatelem értékének a számától való függését közvetlenül egy képlet formájában fejezzük ki.

Például ha , akkor

Egy adott számú sorozatelem értékének meghatározásához az elemszámot behelyettesítjük az n-edik tag képletébe.

Ugyanezt tesszük, ha meg kell találnunk egy függvény értékét, ha az argumentum értéke ismert. Helyettesítjük az argumentum értékét a függvény egyenletében:

Ha pl. , Azt

Még egyszer megjegyzem, hogy egy sorozatban, ellentétben egy tetszőleges numerikus függvénnyel, csak természetes szám lehet argumentum.

3 . A sorozat olyan képlettel adható meg, amely kifejezi az n számú sorozattag értékének az előző tagok értékétől való függését. Ebben az esetben nem elég, ha csak egy sorozattag számát ismerjük ahhoz, hogy megtaláljuk az értékét. Meg kell adnunk a sorozat első vagy első néhány tagját.

Vegyük például a sorrendet ,

Megtalálhatjuk egy sorozat tagjainak értékeit sorban, a harmadiktól kezdve:

Vagyis minden alkalommal, hogy megtaláljuk a sorozat n-edik tagjának értékét, visszatérünk az előző kettőhöz. A szekvenálásnak ezt a módját ún visszatérő, tól től Latin szó recurro- Gyere vissza.

Most már definiálhatunk egy aritmetikai progressziót. Az aritmetikai sorozat egy numerikus sorozat egyszerű speciális esete.

Aritmetikai progresszió numerikus sorozatnak nevezzük, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, ugyanazzal a számmal hozzáadva.

A számot hívják egy aritmetikai sorozat különbsége. Az aritmetikai sorozat különbsége lehet pozitív, negatív vagy nulla.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} növekvő.

Például 2; 5; 8; tizenegy;...

Ha , akkor az aritmetikai sorozat minden tagja kisebb, mint az előző, a progresszió pedig az fogyó.

Például 2; -1; -4; -7;...

Ha , akkor a progresszió minden tagja azonos számmal, és a progresszió az helyhez kötött.

Például 2;2;2;2;...

Az aritmetikai sorozat fő tulajdonsága:

Nézzük a képet.

Ezt látjuk

, és ugyanakkor

Ezt a két egyenlőséget összeadva a következőt kapjuk:

.

Osszuk el 2-vel az egyenlet mindkét oldalát:

Tehát a számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő két szomszédos szám számtani középével:

Ráadásul mivel

, és ugyanakkor

, Azt

, és ezért

A title="k>l) kezdetű aritmetikai sorozat minden tagja">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

th tag formula.

Látjuk, hogy az aritmetikai progresszió tagjaira a következő összefüggések állnak fenn:

és végül

Kaptunk az n-edik tag képlete.

FONTOS! Egy aritmetikai sorozat bármely tagja kifejezhető és kifejezésekkel. Ismerve az első tagot és a számtani sorozat különbségét, bármelyik tagját megtalálhatja.

Egy aritmetikai sorozat n tagjának összege.

Egy tetszőleges aritmetikai progresszióban a szélsőségektől egyenlő távolságra lévő tagok összegei egyenlők egymással:

Tekintsünk egy n tagú aritmetikai sorozatot. Legyen ennek a haladásnak n tagjának összege egyenlő.

Rendezd a haladás feltételeit először növekvő számsorrendbe, majd csökkenő sorrendbe:

Párosítsuk össze:

A zárójelben szereplő összeg , a párok száma n.

Kapunk:

Így, egy aritmetikai sorozat n tagjának összegét a következő képletekkel találhatjuk meg:

Fontolgat számtani progressziós feladatok megoldása.

1 . A sorozatot az n-edik tag képlete adja meg: . Bizonyítsuk be, hogy ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat két szomszédos tagja közötti különbség azonos számmal egyenlő.

Megállapítottuk, hogy a sorozat két szomszédos tagjának különbsége nem függ a számuktól, és állandó. Ezért definíció szerint ez a sorozat egy aritmetikai sorozat.

2 . Adott egy aritmetikai sorozat -31; -27;...

a) Keresse meg a progresszió 31 tagját!

b) Döntse el, hogy a 41-es szám szerepel-e ebben a haladásban!

A) Azt látjuk ;

Írjuk fel a haladásunk n-edik tagjának képletét.

Általában

A mi esetünkben , Ezért

Kapunk:

b) Tegyük fel, hogy a 41 a sorozat tagja. Keressük a számát. Ehhez megoldjuk a következő egyenletet:

n természetes értéket kaptunk, tehát igen, a 41-es szám a progresszió tagja. Ha n talált értéke nem természetes szám lenne, akkor azt válaszolnánk, hogy a 41 szám NEM tagja a progressziónak.

3 . a) A 2 és 8 számok közé illesszen be 4 számot úgy, hogy a megadott számokkal együtt számtani sorozatot alkossanak.

b) Határozza meg az eredményül kapott haladás tagjainak összegét!

A) Szúrjunk be négy számot a 2 és 8 közé:

Kaptunk egy aritmetikai sorozatot, amelyben 6 tag van.

Keressük meg ennek a haladásnak a különbségét. Ehhez az n-edik tag képletét használjuk:

Most már könnyű megtalálni a számok értékét:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Válasz: a) igen; b) 30

4. A teherautó 240 tonna tömegű zúzottkő tételt szállít, naponta ugyanennyi tonnával növelve a szállítási sebességet. Ismeretes, hogy az első napon 2 tonna törmeléket szállítottak. Határozza meg, hány tonna zúzott követ szállítottak a tizenkettedik napon, ha az összes munkát 15 nap alatt végezték el.

A probléma állapotának megfelelően naponta ugyanannyival növekszik a kamion által szállított zúzottkő mennyisége. Ezért számtani progresszióval van dolgunk.

Ezt a problémát számtani progresszióval fogalmazzuk meg.

Az első nap során 2 tonna zúzott követ szállítottak: a_1=2.

Minden munka 15 nap alatt készült el: .

A teherautó 240 tonna tömegű zúzottkő tételt szállít:

Meg kell találnunk.

Először is nézzük meg a progresszió különbségét. Használjuk a képletet a progresszió n tagjának összegére.

A mi esetünkben:

Például a \(2\); \(5\); \(8\); \(tizenegy\); A \(14\)… egy aritmetikai sorozat, mert minden következő elem hárommal különbözik az előzőtől (három hozzáadásával kapható meg az előzőtől):

Ebben a progresszióban a \(d\) különbség pozitív (egyenlő \(3\)), ezért minden következő tag nagyobb, mint az előző. Az ilyen progressziókat ún növekvő.

Azonban \(d\) is lehet negatív szám. Például, aritmetikai sorozatban \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… a \(d\) progressziókülönbség mínusz hat.

És ebben az esetben minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Ezeket a progressziókat ún csökkenő.

Aritmetikai progressziós jelölés

A haladást kis latin betűvel jelöljük.

A progressziót alkotó számokat úgy nevezzük tagjai(vagy elemek).

Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint az aritmetikai progresszió, de numerikus indexük megegyezik az elemszámmal.

Például az \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetikai sorozat a \(a_1=2\) elemekből áll; \(a_2=5\); \(a_3=8\) és így tovább.

Más szavakkal, a \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Feladatok megoldása aritmetikai sorozaton

Elvileg a fenti információk már elégségesek ahhoz, hogy szinte minden problémát megoldjunk egy aritmetikai lépésben (beleértve az OGE-nél felkínáltakat is).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(b_1=7; d=4\) feltételek adják meg. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:

Válasz: \(b_5=23\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat első három tagja: \(62; 49; 36…\) Határozza meg a folyamat első negatív tagjának értékét.
Megoldás:

	Megadjuk a sorozat első elemeit, és tudjuk, hogy ez egy aritmetikai sorozat. Vagyis minden elem ugyanazzal a számmal különbözik a szomszédostól. Állapítsa meg, melyiket, ha kivonja az előzőt a következő elemből: \(d=49-62=-13\).
	Most visszaállíthatjuk a haladást a kívánt (első negatív) elemre.
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(-3\)

Példa (OGE). Egy aritmetikai sorozat több egymást követő eleme adott: \(...5; x; 10; 12,5...\) Keresse meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!
Megoldás:

	Az \(x\) kereséséhez tudnunk kell, hogy a következő elem mennyiben tér el az előzőtől, más szóval a progresszió különbségétől. Keressük meg két ismert szomszédos elemből: \(d=12,5-10=2,5\).
	És most gond nélkül megtaláljuk, amit keresünk: \(x=5+2,5=7,5\).
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(7,5\).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszió adott következő feltételekkel: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Határozza meg a folyamat első hat tagjának összegét.
Megoldás:

	Meg kell találnunk a progresszió első hat tagjának összegét. De nem ismerjük a jelentésüket, csak az első elemet kapjuk. Ezért először sorra számoljuk ki az értékeket a nekünk megadottak alapján: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) És miután kiszámoltuk a hat elemet, amire szükségünk van, megtaláljuk az összegüket.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	A kért összeget megtaláltuk.

Válasz: \(S_6=9\).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszióban \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Keresse meg ennek a progressziónak a különbségét.
Megoldás:

Válasz: \(d=7\).

Fontos aritmetikai progressziós képletek

Amint láthatja, sok aritmetikai progressziós probléma megoldható egyszerűen a fő dolog megértésével - hogy az aritmetikai progresszió számok lánca, és a lánc minden következő elemét úgy kapjuk meg, hogy ugyanazt a számot hozzáadjuk az előzőhöz (a különbség a progresszió).

Néha azonban vannak olyan helyzetek, amikor nagyon kényelmetlen a "homlokon" megoldani. Például képzeljük el, hogy a legelső példában nem az ötödik elemet \(b_5\), hanem a háromszáznyolcvanhatodik \(b_(386)\) elemet kell megtalálnunk. Mi az, \ (385 \)-szer hozzáadunk négyet? Vagy képzeld el, hogy az utolsó előtti példában meg kell találnod az első hetvenhárom elem összegét. A számolás zavaró...

Ezért ilyenkor nem „homlokon” oldanak meg, hanem speciális, számtani haladásra levezetett képleteket használnak. A főbbek pedig a progresszió n-edik tagjának képlete és az első tagok \(n\) összegének képlete.

A \(n\)-edik tag képlete: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ahol \(a_1\) a haladás első tagja;
\(n\) – a szükséges elem száma;
\(a_n\) a \(n\) számú progresszió tagja.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy gyorsan megtaláljuk legalább a háromszázadik, sőt a milliomod elemet, csak az első és a progressziókülönbség ismeretében.

Példa. Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Keresse meg a \(b_(246)\).
Megoldás:

Válasz: \(b_(246)=1850\).

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ahol

\(a_n\) az utolsó összegzett tag;

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(a_n=3,4n-0,6\) feltételek adják meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(25\) tagjának összegét.
Megoldás:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Az első huszonöt elem összegének kiszámításához ismernünk kell az első és a huszonötödik tag értékét. Progressziónkat az n-edik tag képlete adja meg a számától függően (lásd a részleteket). Számítsuk ki az első elemet úgy, hogy \(n\)-t eggyel helyettesítjük.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Most keressük meg a huszonötödik tagot úgy, hogy \(n\) helyett huszonötöt helyettesítünk.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nos, most gond nélkül kiszámoljuk a szükséges mennyiséget.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(25)=1090\).

Az első tagok \(n\) összegére egy másik képletet kaphat: csak annyit kell tennie, hogy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) helyett cserélje ki a képletet \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kapunk:

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ahol

\(S_n\) – az első elemek szükséges összege \(n\);
\(a_1\) az első összeadandó tag;
\(d\) – progresszió különbség;
\(n\) - az összegben szereplő elemek száma.

Példa. Keresse meg az aritmetikai sorozat első \(33\)-ex tagjának összegét: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Megoldás:

Válasz: \(S_(33)=-231\).

Bonyolultabb aritmetikai progressziós feladatok

Mostantól minden olyan információ birtokában van, amelyre szüksége van szinte minden aritmetikai progressziós probléma megoldásához. Fejezzük be a témát azokkal a problémákkal, amelyekben nem csak képleteket kell alkalmazni, hanem egy kicsit gondolkodni is (matematikában ez hasznos lehet ☺)

Példa (OGE). Keresse meg a progresszió összes negatív tagjának összegét: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Megoldás:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A feladat nagyon hasonló az előzőhöz. Ugyanígy kezdjük a megoldást: először megkeressük a \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Most behelyettesítjük a \(d\)-t az összeg képletébe... és itt felbukkan egy kis árnyalat – nem tudjuk, hogy \(n\). Más szóval, nem tudjuk, hány kifejezést kell hozzáadni. Hogyan lehet megtudni? Gondolkozzunk. Ha az első pozitív elemhez érünk, akkor abbahagyjuk az elemek hozzáadását. Vagyis meg kell találnia ennek az elemnek a számát. Hogyan? Írjuk fel a képletet egy aritmetikai sorozat bármely elemének kiszámításához: \(a_n=a_1+(n-1)d\) esetünkben.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Szükségünk van arra, hogy \(a_n\) nagyobb legyen nullánál. Nézzük meg, mi \(n\) fog történni.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Mínusz egyet áthelyezünk, nem felejtve el táblát váltani
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Számítás...
\(n>65 333…\)		…és kiderül, hogy az első pozitív elem \(66\) lesz. Ennek megfelelően az utolsó negatív értéke \(n=65\). Minden esetre nézzük meg.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Így hozzá kell adnunk az első \(65\) elemeket.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(65)=-630,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a feltételek adják meg: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Keresse meg a \(26\)-edik és \(42\) elem közötti összeget.
Megoldás:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Ebben a feladatban is meg kell találni az elemek összegét, de nem az elsőtől, hanem a \(26\)-ediktől kezdve. Erre nincs képletünk. Hogyan döntsünk? Egyszerű - a \(26\)-edik és a \(42\)-edik összeg eléréséhez először meg kell találnia az \(1\)-edik és a \(42\)-edik összeget, majd ki kell vonni belőle az összeget az elsőtől \ (25 \)-ig (lásd a képet).
	A \(a_1=-33\) progressziónkhoz és a \(d=4\) különbséghez (végül is négyet adunk az előző elemhez, hogy megtaláljuk a következőt). Ennek ismeretében megtaláljuk az első \(42\)-uh elemek összegét.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Most az első \(25\)-edik elem összege.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	És végül kiszámítjuk a választ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Válasz: \(S=1683\).

Az aritmetikai progresszióhoz számos további képlet van, amelyeket ebben a cikkben nem vettünk figyelembe, mivel alacsony gyakorlati hasznosságuk. Azonban könnyen megtalálhatja őket.

Vagy aritmetika - ez egyfajta rendezett numerikus sorozat, amelynek tulajdonságait iskolai algebrai tanfolyamon tanulmányozzák. Ez a cikk részletesen tárgyalja azt a kérdést, hogy hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét.

Mi ez a progresszió?

Mielőtt rátérnénk a kérdés megvitatására (hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét), érdemes megérteni, hogy miről lesz szó.

A valós számok bármely sorozatát, amelyet úgy kapunk, hogy minden előző számból hozzáadunk (kivonunk) valamilyen értéket, algebrai (aritmetikai) progressziónak nevezzük. Ez a definíció a matematika nyelvére lefordítva a következő formát ölti:

Itt az i az a i sorozat elemének sorszáma. Így egyetlen kezdő szám ismeretében könnyedén visszaállíthatja a teljes sorozatot. A képletben szereplő d paramétert progressziós különbségnek nevezzük.

Könnyen kimutatható, hogy a következő egyenlőség áll fenn a vizsgált számsorra:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Azaz az n-edik elem értékének sorrendben történő megtalálásához adjuk hozzá a d különbséget az első a elemhez 1 n-1-szer.

Mennyi egy számtani progresszió összege: képlet

Mielőtt megadná a képletet a feltüntetett mennyiségre, érdemes megfontolni egy egyszerű speciális esetet. Adott a természetes számok progressziója 1-től 10-ig, meg kell találnia az összegüket. Mivel kevés tag van a (10) progresszióban, lehetséges a probléma eleve megoldása, azaz az összes elem sorrendben történő összegzése.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Érdemes megfontolni egyet érdekes dolog: mivel minden tag ugyanazzal a d \u003d 1 értékkel különbözik a következőtől, akkor az első páronkénti összegzése a tizeddel, a második a kilenceddel és így tovább ugyanazt az eredményt adja. Igazán:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Amint látja, ebből az összegből csak 5 van, vagyis pontosan kétszer kevesebb, mint a sorozat elemeinek száma. Ezután megszorozva az összegek számát (5) az egyes összegek eredményével (11), akkor az első példában kapott eredményhez jutunk.

Ha ezeket az argumentumokat általánosítjuk, a következő kifejezést írhatjuk fel:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ez a kifejezés azt mutatja, hogy egyáltalán nem szükséges az összes elemet egy sorban összegezni, elég tudni az első a 1 és az utolsó a n értékét, és azt is teljes szám kifejezések n.

Úgy gondolják, hogy Gauss akkor gondolt először erre az egyenlőségre, amikor az iskolai tanára által felállított problémára keresett megoldást: az első 100 egész szám összegzésére.

Elemek összege m-től n-ig: képlet

Az elõzõ bekezdésben megadott képlet választ ad arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg az elsõ elemek számtani sorozatának összegét, de a feladatokban gyakran szükséges egy számsort összegezni a haladás közepén. Hogyan kell csinálni?

A kérdés megválaszolásának legegyszerűbb módja a következő példa: legyen szükség az m-től az n-ig terjedő tagok összegének megkeresésére. A probléma megoldásához a progresszió egy adott m-től n-ig terjedő szakaszát új számsorként kell ábrázolni. Egy ilyen előadásban mth term a m lesz az első, egy n pedig n-(m-1) lesz számozva. Ebben az esetben az összeg standard képletét alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Példa képletek használatára

Tudva, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat összegét, érdemes megfontolni egy egyszerű példát a fenti képletek használatára.

Az alábbiakban egy numerikus sorozat látható, amelynek tagjainak összegét kell megtalálnia, az 5-től kezdve a 12-ig:

A megadott számok azt jelzik, hogy a d különbség egyenlő 3-mal. Az n-edik elemre vonatkozó kifejezést használva megtalálhatja a progresszió 5. és 12. tagjának értékét. Kiderül:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 = a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Ismerve a vizsgált algebrai progresszió végén lévő számok értékét, és azt is, hogy a sorozat mely számait foglalják el, használhatja az előző bekezdésben kapott összeg képletét. Kap:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Érdemes megjegyezni, hogy ezt az értéket másképpen is meg lehet kapni: először keresse meg az első 12 elem összegét a standard képlet segítségével, majd számítsa ki az első 4 elem összegét ugyanazzal a képlettel, majd vonja ki a másodikat az első összegből. .

Egy aritmetikai sorozat összege.

Az aritmetikai sorozat összege egyszerű dolog. Értelemben és képletben egyaránt. De ebben a témában mindenféle feladat van. Az elemitől egészen szilárdig.

Először is foglalkozzunk az összeg jelentésével és képletével. És akkor döntünk. Saját örömére.) Az összeg jelentése olyan egyszerű, mint a lecsökkentés. Egy aritmetikai progresszió összegének meghatározásához csak óvatosan kell összeadnia az összes tagot. Ha ez a kifejezés kevés, akkor képletek nélkül is hozzáadhatja. De ha sok, vagy sok... bosszantó az összeadás.) Ebben az esetben a képlet ment.

Az összeg képlete egyszerű:

Nézzük meg, milyen betűket tartalmaz a képlet. Ezzel sok minden kiderül.

S n egy aritmetikai progresszió összege. Összeadás eredménye minden tagokkal, együtt elsőÁltal utolsó. Fontos. Adja össze pontosan Minden tagok sorban, hézagok és ugrások nélkül. És pontosan attól kezdve első. Rejtvényekben, mint például a harmadik és nyolcadik tag összegének megtalálása, vagy az ötödiktől a huszadikig terjedő tagok összegének megtalálása - közvetlen alkalmazás a képletek kiábrándítóak.)

egy 1 - első a progresszió tagja. Itt minden világos, egyszerű első sorszám.

a n- utolsó a progresszió tagja. A sor utolsó sora. Nem túl ismerős név, de az összegre alkalmazva nagyon megfelelő. Aztán majd meglátod magad.

n az utolsó tag száma. Fontos megérteni, hogy a képletben ez a szám egybeesik a felvett tagok számával.

Határozzuk meg a fogalmat utolsó tag a n. Kitöltő kérdés: milyen tag lesz utolsó, ha adott végtelen számtani progresszió?

A magabiztos válaszhoz meg kell értened a számtani progresszió elemi jelentését, és ... figyelmesen olvassa el a feladatot!)

Az aritmetikai progresszió összegének megállapításánál mindig az utolsó tag jelenik meg (közvetlenül vagy közvetve), amelyet korlátozni kellene. Egyébként véges, konkrét összeg egyszerűen nem létezik. A megoldáshoz nem mindegy, hogy milyen progressziót adunk meg: véges vagy végtelen. Nem mindegy, hogyan adjuk meg: számsorral, vagy az n-edik tag képletével.

A legfontosabb dolog annak megértése, hogy a képlet a progresszió első tagjától a számot tartalmazó tagig működik n. Valójában a képlet teljes neve így néz ki: egy aritmetikai sorozat első n tagjának összege. Ezen legelső tagok száma, i.e. n, kizárólag a feladat határozza meg. A feladatban mindezek az értékes információk gyakran titkosítva vannak, igen ... De semmi, az alábbi példákban ezeket a titkokat felfedjük.)

Példák a feladatokra egy aritmetikai sorozat összegére.

Először is, hasznos információk:

Az aritmetikai progresszió összegére vonatkozó feladatok fő nehézsége a képlet elemeinek helyes meghatározása.

A feladatok készítői határtalan fantáziával éppen ezeket az elemeket titkosítják.) Itt a lényeg, hogy ne féljünk. Az elemek lényegének megértéséhez elég csak megfejteni őket. Nézzünk meg néhány példát részletesen. Kezdjük egy igazi GIA-n alapuló feladattal.

1. A számtani progressziót a következő feltétel adja meg: a n = 2n-3.5. Keresse meg az első 10 tag összegét!

Szép munka. Könnyű.) Mit kell tudnunk a képlet szerinti mennyiség meghatározásához? Első tag egy 1, utolsó félév a n, igen az utolsó tag száma n.

Hol szerezhető be az utolsó tagszám n? Igen, ugyanott, olyan állapotban! Azt írja, keresse meg az összeget az első 10 tag. Nos, milyen szám lesz utolsó, tizedik tag?) Nem hiszi el, a száma tizedik!) Ezért ahelyett a n behelyettesítjük a képletbe egy 10, de ehelyett n- tíz. Az utolsó tag száma ismét megegyezik a tagok számával.

Meg kell határozni egy 1És egy 10. Ez könnyen kiszámítható az n-edik tag képletével, amely a problémafelvetésben található. Nem tudja, hogyan kell csinálni? Látogassa meg az előző leckét, e nélkül - semmi.

egy 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

egy 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Megtudtuk a számtani sorozat összegének képletének minden elemének jelentését. Már csak le kell cserélni őket, és meg kell számolni:

Ez minden. Válasz: 75.

Egy másik feladat a GIA alapján. Kicsit bonyolultabb:

2. Adott egy aritmetikai sorozat (a n), amelynek különbsége 3,7; a 1 \u003d 2.3. Keresse meg az első 15 tag összegét!

Azonnal írjuk az összegképletet:

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely tag értékét megtaláljuk a szám alapján. Egyszerű helyettesítést keresünk:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Marad a képlet összes elemének helyettesítése egy aritmetikai progresszió összegével, és kiszámítja a választ:

Válasz: 423.

Egyébként ha az összegképletben ahelyett a n csak behelyettesítjük az n-edik tag képletét, így kapjuk:

Hasonlókat adunk meg, új képletet kapunk egy aritmetikai sorozat tagjainak összegére:

Amint látja, nincs rá szükség n-edik tag a n. Egyes feladatokban ez a képlet sokat segít, igen... Emlékezhet erre a képletre. És lehetséges benne megfelelő pillanat könnyű kihozni, mint itt. Hiszen az összeg képletét és az n-edik tag képletét minden szempontból emlékezni kell.)

Most a feladat egy rövid titkosítás formájában):

3. Határozza meg az összes olyan pozitív kétjegyű szám összegét, amelyek három többszörösei!

Hogyan! Nincs első tag, nincs utolsó, nincs továbblépés... Hogyan éljünk!?

A fejeddel kell gondolkodnod, és ki kell húznod a feltételből egy aritmetikai sorozat összegének minden elemét. Mik azok a kétjegyű számok – tudjuk. Két számból állnak.) Milyen kétjegyű szám lesz első? 10, valószínűleg.) utolsó dolog kétjegyű szám? 99, persze! A három számjegyűek követik őt...

Három többszörösei... Hm... Ezek olyan számok, amelyek egyenlően oszthatók hárommal, itt! A tíz nem osztható hárommal, a 11 nem osztható... a 12... osztható! Szóval valami készülődik. Már lehet sorozatot írni a probléma feltételének megfelelően:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ez a sorozat aritmetikai sorozat lesz? Biztosan! Mindegyik kifejezés szigorúan hárommal különbözik az előzőtől. Ha 2-t vagy 4-et adunk a kifejezéshez, mondjuk az eredményt, pl. egy új szám már nem lesz osztva 3-mal. Azonnal meghatározhatja a halom aritmetikai progressziójának különbségét: d = 3. Hasznos!)

Tehát nyugodtan felírhatunk néhány progressziós paramétert:

Mi lesz a szám n utolsó tag? Aki azt hiszi, hogy a 99, az végzetesen téved... Számok - azok mindig sorban mennek, és tagjaink átugranak az első három között. Nem egyeznek.

Itt két megoldás létezik. Az egyik út a szuper szorgalmasak. Lefestheti a progressziót, az egész számsort, és az ujjával megszámolhatja a tagok számát.) A második módszer a gondolkodóknak való. Emlékezned kell az n-edik tag képletére. Ha a képletet alkalmazzuk a feladatunkra, akkor azt kapjuk, hogy 99 a progresszió harmincadik tagja. Azok. n = 30.

Nézzük az aritmetikai progresszió összegének képletét:

Nézzük és örülünk.) A probléma állapotából kihúztunk mindent, ami az összeg kiszámításához szükséges:

egy 1= 12.

egy 30= 99.

S n = S 30.

Marad az elemi aritmetika. Helyettesítse be a számokat a képletben, és számítsa ki:

Válasz: 1665

A népszerű rejtvények másik típusa:

4. Egy aritmetikai progressziót adunk meg:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Keresse meg a huszadiktól a harmincnegyedig terjedő tagok összegét!

Megnézzük az összegképletet, és ... idegesek vagyunk.) A képlet, hadd emlékeztessem önöket, kiszámítja az összeget az elsőtől tag. És a feladatban ki kell számítania az összeget huszadik óta... A képlet nem fog működni.

Természetesen lefestheti a teljes folyamatot sorban, és a tagokat 20-ról 34-re teheti. De ... valahogy hülyén és hosszú ideig sikerül, nem?)

Van ennél elegánsabb megoldás is. Bontsuk sorozatunkat két részre. Az első rész lesz az első ciklustól a tizenkilencedikig. Második rész - húsz-harmincnégy. Világos, hogy ha kiszámítjuk az első rész feltételeinek összegét S 1-19, adjuk hozzá a második rész tagjainak összegéhez S 20-34, megkapjuk az első tagtól a harmincnegyedig terjedő progresszió összegét S 1-34. Mint ez:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ez azt mutatja, hogy megtalálja az összeget S 20-34 egyszerű kivonással elvégezhető

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

A jobb oldalon mindkét összeget figyelembe veszik az elsőtől tag, azaz. a standard összegképlet egészen alkalmazható rájuk. Kezdjük?

Kivonjuk a progresszió paramétereit a feladatfeltételből:

d = 1,5.

egy 1= -21,5.

Az első 19 és az első 34 tag összegének kiszámításához szükségünk lesz a 19. és a 34. tagra. Megszámoljuk őket az n-edik tag képlete szerint, mint a 2. feladatban:

egy 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

egy 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Semmi sem maradt. Vonjuk ki a 19 tag összegét a 34 tag összegéből:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Válasz: 262,5

Egy fontos megjegyzés! Van egy nagyon hasznos funkció a probléma megoldásában. Közvetlen számítás helyett amire szüksége van (S 20-34), megszámoltuk amire, úgy tűnik, nincs szükség – S 1-19.És akkor elhatározták S 20-34, a szükségtelent kidobva a teljes eredményből. Az ilyen „fülcsalások” gyakran megmentenek gonosz fejtörőket.)

Ebben a leckében olyan problémákat vizsgáltunk meg, amelyekhez elég megérteni egy aritmetikai sorozat összegének jelentését. Nos, ismernie kell néhány képletet.)

gyakorlati tanácsokat:

Ha bármilyen feladatot egy számtani sorozat összegére old meg, azt javaslom, hogy azonnal írja ki a két fő képletet ebből a témából.

Az n-edik tag képlete:

Ezek a képletek azonnal megmondják, mire kell figyelni, milyen irányba kell gondolkodni a probléma megoldása érdekében. Segít.

És most az önálló megoldás feladatai.

5. Határozza meg az összes hárommal nem osztható kétjegyű szám összegét!

Menő?) A 4. feladatra vonatkozó megjegyzés rejtve van. Nos, a 3. feladat segít.

6. Az aritmetikai progressziót a következő feltétel adja: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Keresse meg az első 24 tag összegét!

Szokatlan?) Ez egy visszatérő képlet. Erről az előző leckében olvashat. Ne hagyja figyelmen kívül a hivatkozást, az ilyen rejtvények gyakran megtalálhatók a GIA-ban.

7. Vasya pénzt spórolt az ünnepre. Akár 4550 rubel! És úgy döntöttem, hogy a legkedvesebb személynek (magamnak) adok néhány nap boldogságot). Élj szépen anélkül, hogy megtagadnál magadtól semmit. Költsön 500 rubelt az első napon, és 50 rubel többet minden következő napon, mint az előző napon! Amíg el nem fogy a pénz. Hány nap volt a boldogságban Vasya?

Nehéz?) A 2. feladatból egy további képlet segít.

Válaszok (rendetlenségben): 7, 3240, 6.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.