ملخص الدرس

"طرق الحل معادلات غير منطقية»

الصف الحادي عشر للملف الفيزيائي والرياضي.

زيلينودولسكي منطقة البلدية RT "

Valieva S.Z.

موضوع الدرس: طرق حل المعادلات غير المنطقية

الغرض من الدرس: 1. استكشف طرق مختلفةحلول المعادلات غير المنطقية.

1. 
   تنمية القدرة على التعميم واختيار الأساليب الصحيحة لحل المعادلات غير المنطقية.
2. 
   تطوير الاستقلالية ، وتعليم محو الأمية الكلام

نوع الدرس:ندوة.
خطة الدرس:

1. 
   تنظيم الوقت
2. 
   تعلم مواد جديدة
3. 
   حصره
4. 
   العمل في المنزل
5. 
   ملخص الدرس

خلال الفصول
أنا. تنظيم الوقت:رسالة موضوع الدرس ، الغرض من الدرس.

في الدرس السابق ، درسنا حل المعادلات غير المنطقية التي تحتوي على جذور تربيعية بتربيعها. في هذه الحالة ، نحصل على معادلة نتيجة تؤدي أحيانًا إلى ظهور جذور دخيلة. وبعد ذلك ، يعد التحقق من الجذور جزءًا إلزاميًا من حل المعادلة. درسنا أيضًا حل المعادلات باستخدام تعريف الجذر التربيعي. في هذه الحالة ، يمكن حذف الشيك. ومع ذلك ، عند حل المعادلات ، ليس من الضروري دائمًا الانتقال فورًا إلى التطبيق "الأعمى" للخوارزميات لحل المعادلة. في مهام اختبار الحالة الموحدة ، هناك عدد غير قليل من المعادلات ، في حلها ، من الضروري اختيار طريقة حل تسمح لك بحل المعادلات بشكل أسهل وأسرع. لذلك ، من الضروري معرفة طرق أخرى لحل المعادلات غير المنطقية ، والتي سنتعرف عليها اليوم. في السابق ، تم تقسيم الفصل إلى 8 مجموعات إبداعية ، وتم إعطاؤهم أمثلة محددة للكشف عن جوهر طريقة معينة. نعطيهم كلمة.

ثانيًا. تعلم مواد جديدة.

من كل مجموعة ، يشرح طالب واحد للأطفال كيفية حل المعادلات غير المنطقية. يستمع الفصل بأكمله ويدون ملاحظات حول قصتهم.

1 الطريق. إدخال متغير جديد.

حل المعادلة: (2 س + 3) 2 - 3

4 س 2 + 12 س + 9 - 3

4 س 2 - 8 س - 51 - 3

، ر ≥0

× 2 - 2 × - 6 \ u003d ر 2 ؛

4 طن 2-3 طن - 27 = 0

× 2 - 2x - 15 \ u003d 0

× 2 - 2 × - 6 = 9 ؛

الجواب: -3 ؛ 5.

2 طريقة. أبحاث ODZ.

حل المعادلة

ODZ:


x \ u003d 2. بالتحقق ، نتأكد من أن x \ u003d 2 هو جذر المعادلة.

3 طريقة. ضرب طرفي المعادلة في العامل المرافق.

+
(اضرب كلا الجانبين في -
)

س + 3 - س - 8 = 5 (-)

2 = 4 ، وبالتالي س = 1. من خلال التحقق ، نحن مقتنعون بأن x \ u003d 1 هو جذر هذه المعادلة.

4 طريقة. اختزال المعادلة في النظام بإدخال متغير.

حل المعادلة

دع = u ،
= v.

نحصل على النظام:

لنحل بطريقة التعويض. نحصل على u = 2 ، v = 2. وبالتالي ،

نحصل على x = 1.

الجواب: س = 1.

5 طريقة. اختيار مربع كامل.

حل المعادلة

لنفتح الوحدات. لأن -1≤cos0.5x≤1 ، ثم -4≤cos0.5x-3≤-2 ، لذلك. على نفس المنوال،

ثم نحصل على المعادلة

س = 4πn ، nZ.

الجواب: 4πn ، nZ.

6 طريقة. طريقة التقييم

حل المعادلة

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0 ، حسب التعريف ، الجانب الأيمن -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

نحن نحصل
أولئك. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. حل المعادلة بالتحليل ، نحصل على x = 2 ، x = -2

الطريقة 7: استخدام خصائص رتابة الوظائف.

حل المعادلة. الوظائف تتزايد بشكل صارم. يتزايد مجموع الدوال المتزايدة وهذه المعادلة لها جذر واحد على الأكثر. بالاختيار نجد x = 1.

8 طريقة. استخدام النواقل.

حل المعادلة. ODZ: -1≤х≤3.

دع المتجه
. منتج عدديناقلات - نعم الجهه اليسرى. لنجد حاصل ضرب أطوالهما. هذا هو الجانب الأيمن. يملك
، أي. المتجهات a و b متداخلة. من هنا
. دعونا نربّع كلا الجانبين. لحل المعادلة ، نحصل على x \ u003d 1 و x \ u003d
.

1. 
   الدمج.(يُعطى كل طالب ورقة عمل)

العمل الشفوي الأمامي

ابحث عن فكرة لحل المعادلات (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
س = 2

3. × 2 - 3 × +
(إستبدال)

4. (اختيار مربع كامل)

5.
(اختزال معادلة إلى نظام بإدخال متغير.)

6.
(بضرب التعبير المساعد)

7.
لأن
. هذه المعادلة ليس لها جذور.

8. لأن كل مصطلح غير سالب ، فنحن نساويهما بالصفر ونحل النظام.

9. 3

10. أوجد جذر المعادلة (أو ناتج الجذور ، إذا كان هناك العديد منها) للمعادلة.

مكتوب عمل مستقلمتبوعًا بالتحقق

حل المعادلات المرقمة 11 ، 13 ، 17 ، 19

حل المعادلات:

12. (x + 6) 2 -

14.

طريقة التقييم

استخدام خصائص رتابة الوظائف.

استخدام النواقل.

1. 
   أي من هذه الطرق تُستخدم لحل أنواع أخرى من المعادلات؟
2. 
   أي من الطرق التالية أعجبك أكثر ولماذا؟

1. 
   الواجب المنزلي: حل المعادلات المتبقية.

فهرس:

1. 
   الجبر وبداية التحليل الرياضي: كتاب مدرسي. لـ 11 خلية. تعليم عام المؤسسات / S.M. Nikolsky ، MK Potapov ، N.N. Reshetnikov ، AV Shevkin. م: التنوير ، 2009

1. 
   المواد التعليمية في الجبر ومبادئ التحليل للصف 11 /B.M. إيفليف ، إس. ساهاكيان ، إس. شوارزبورد. - م: التنوير ، 2003.
2. 
   مردكوفيتش A. G. الجبر وبدايات التحليل. 10 - 11 خلية: كتاب مهام للتعليم العام. المؤسسات. - م: Mnemosyne ، 2000.
3. 
   Ershova A. P.، Goloborodko V. V. أوراق الاختبارفي الجبر وبدايات التحليل للصفوف 10-11. - م: إليكسا ، 2004
4. 
   كيم يو إس إي 2002-2010

6. محاكاة جبري. A.G. Merzlyak ، V.B. Polonsky ، MS ياكير. كتيب لأطفال المدارس والوافدين. موسكو: "إليكسا" 2001.
7. المعادلات وعدم المساواة. طرق الحل غير القياسية. التعليمية - أدوات. 10-11 فصلا. S.N. Oleinik ، M.K. بوتابوف ، بي باسيشينكو. موسكو. "الحبارى". 2001

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون ، أمر قضائي، في الإجراءات القانونية ، و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.

حل المعادلات غير المنطقية.

في هذه المقالة سوف نتحدث عن طرق الحل أبسط المعادلات غير المنطقية.

معادلة غير منطقيةتسمى المعادلة التي تحتوي على المجهول تحت علامة الجذر.

لنلق نظرة على نوعين معادلات غير منطقية، وهي متشابهة جدًا للوهلة الأولى ، ولكنها في الواقع مختلفة تمامًا عن بعضها البعض.

(1)

(2)

في المعادلة الأولى نرى أن المجهول تحت علامة جذر الدرجة الثالثة. يمكننا أخذ جذر فردي لـ عدد السلبي، لذلك ، في هذه المعادلة لا توجد قيود سواء على التعبير تحت علامة الجذر أو على التعبير على الجانب الأيمن من المعادلة. يمكننا رفع كلا طرفي المعادلة للقوة الثالثة للتخلص من الجذر. نحصل على معادلة مكافئة:

عند رفع الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة إلى قوة فردية ، لا يمكننا أن نخاف من الحصول على جذور دخيلة.

مثال 1. لنحل المعادلة

لنرفع كلا طرفي المعادلة إلى القوة الثالثة. نحصل على معادلة مكافئة:

لنحرك كل الحدود في اتجاه واحد ونخرج x من الأقواس:

نحن نساوي كل عامل بالصفر ، نحصل على:

الجواب: (0 ، 1 ، 2)

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المعادلة الثانية: . يوجد في الجانب الأيسر من المعادلة الجذر التربيعي الذي يأخذ قيمًا غير سالبة فقط. لذلك ، لكي يكون للمعادلة حلول ، يجب أن يكون الجانب الأيمن أيضًا غير سالب. لذلك ، يتم فرض الشرط التالي على الجانب الأيمن من المعادلة:

العنوان = "(! LANG: g (x)> = 0"> - это !} شرط وجود الجذور.

لحل معادلة من هذا النوع ، تحتاج إلى تربيع طرفي المعادلة:

(3)

يمكن أن يؤدي التربيع إلى ظهور جذور غريبة ، لذلك نحتاج إلى المعادلات:

العنوان = "(! LANG: f (x)> = 0"> (4)!}

ومع ذلك ، فإن المتباينة (4) تتبع الشرط (3): إذا كان مربع تعبير ما على الجانب الأيمن من المساواة ، ويمكن لمربع أي تعبير أن يأخذ قيمًا غير سالبة فقط ، فيجب أن يكون الجانب الأيسر أيضًا غير -سلبي. لذلك ، الشرط (4) يتبع تلقائيًا من الشرط (3) وحالتنا المعادلة يعادل النظام:

العنوان = "(! LANG: delim (lbrace) (المصفوفة (2) (1) ((f (x) = g ^ 2 ((x))) (g (x)> = 0))) ()">!}

مثال 2.لنحل المعادلة:

.

دعنا ننتقل إلى نظام مكافئ:

العنوان = "(! LANG: delim (lbrace) (المصفوفة (2) (1) ((2x ^ 2-7x + 5 = ((1-x)) ^ 2) (1-x> = 0))) ( )">!}

نحل المعادلة الأولى للنظام ونتحقق من الجذور التي تحقق المتباينة.

عنوان عدم المساواة = "(! LANG: 1-x> = 0">удовлетворяет только корень !}

الجواب: س = 1

انتباه!إذا قمنا بتربيع طرفي المعادلة في عملية الحل ، فعلينا أن نتذكر أن الجذور الخارجية قد تظهر. لذلك ، إما أنك تحتاج إلى التبديل إلى نظام مكافئ ، أو في نهاية الحل ، تحقق: ابحث عن الجذور واستبدلها في المعادلة الأصلية.

مثال 3. لنحل المعادلة:

لحل هذه المعادلة ، نحتاج أيضًا إلى تربيع كلا الطرفين. دعونا لا نهتم بـ ODZ وشرط وجود الجذور في هذه المعادلة ، ولكن ببساطة في نهاية الحل سوف نتحقق.

لنقم بتربيع طرفي المعادلة:

عند دراسة الجبر ، يواجه الطلاب معادلات من أنواع عديدة. من بين أبسطها ، يمكن للمرء تسمية الخطية التي تحتوي على واحد غير معروف. إذا تم رفع متغير في التعبير الرياضي إلى قوة معينة ، فإن المعادلة تسمى تربيعية ، تكعيبية ، ثنائية التربيع ، وهكذا. قد تحتوي هذه التعبيرات على أرقام منطقية. لكن هناك أيضًا معادلات غير منطقية. وهي تختلف عن غيرها من خلال وجود دالة يكون فيها المجهول تحت علامة الراديكالي (أي خارجيًا بحتًا ، يمكن رؤية المتغير هنا مكتوبًا تحت الجذر التربيعي). حل المعادلات غير المنطقية له خصائصه الخاصة صفات. عند حساب قيمة المتغير للحصول على الإجابة الصحيحة ، يجب أخذها في الاعتبار.

"لا يوصف بالكلمات"

ليس سراً أن علماء الرياضيات القدامى عملوا أساسًا بأرقام منطقية. وتشمل هذه ، كما تعلم ، الأعداد الصحيحة ، التي يتم التعبير عنها من خلال الكسور الدورية العادية والعشرية ، وممثلي هذا المجتمع. ومع ذلك ، فإن علماء الشرق الأوسط والأدنى ، وكذلك الهند ، الذين طوروا علم المثلثات وعلم الفلك والجبر ، تعلموا أيضًا حل المعادلات غير المنطقية. على سبيل المثال ، عرف الإغريق مثل هذه الكميات ، ولكن بوضعها في صيغة لفظية ، استخدموا مفهوم "alogos" ، والتي تعني "لا يمكن وصفها". بعد ذلك بقليل ، وصف الأوروبيون ، مقلدوهم ، هذه الأرقام بـ "الصم". وهي تختلف عن غيرها من حيث أنه لا يمكن تمثيلها إلا في شكل جزء غير دوري لا نهائي ، حيث يستحيل الحصول على التعبير العددي النهائي عنه. لذلك ، في كثير من الأحيان ، تتم كتابة هؤلاء الممثلين لعالم الأرقام في شكل أرقام وعلامات مثل بعض التعبيرات الموجودة أسفل جذر الثاني أو أكثر.

بناءً على ما سبق ، سنحاول تحديد المعادلة غير المنطقية. تحتوي هذه التعبيرات على ما يسمى ب "الأعداد التي لا يمكن التعبير عنها" ، مكتوبة باستخدام علامة الجذر التربيعي. يمكن أن تكون جميع أنواع الخيارات المعقدة نوعًا ما ، ولكن في ابسط شكلتبدو مثل الصورة أدناه.

البدء في حل المعادلات غير المنطقية ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري حساب المنطقة القيم المسموح بهاعامل.

هل التعبير منطقي؟

تأتي الحاجة إلى التحقق من القيم التي تم الحصول عليها من الخصائص ، وكما هو معروف ، فإن مثل هذا التعبير مقبول وليس له أي معنى إلا في ظل ظروف معينة. في حالة وجود جذر زوجي ، يجب أن تكون جميع التعبيرات الجذرية موجبة أو مساوية للصفر. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فلا يمكن اعتبار الترميز الرياضي المقدم ذا مغزى.

دعنا نعطي مثالًا محددًا لكيفية حل المعادلات غير المنطقية (في الصورة أدناه).

في هذه القضيةمن الواضح أنه لا يمكن تلبية هذه الشروط لأي قيم مأخوذة بالقيمة المرغوبة ، حيث اتضح أن 11 ≤ x ≤ 4. وهذا يعني أن Ø فقط يمكن أن يكون حلاً.

اسلوب التحليل

مما سبق ، يتضح كيفية حل أنواع معينة من المعادلات غير المنطقية. هنا بطريقة فعالةقد يكون تحليلا بسيطا.

نقدم عددًا من الأمثلة التي توضح ذلك بوضوح مرة أخرى (في الصورة أدناه).

في الحالة الأولى ، بعد دراسة متأنية للتعبير ، يصبح من الواضح للغاية على الفور أنه لا يمكن أن يكون صحيحًا. في الواقع ، بعد كل شيء ، يجب الحصول على رقم موجب على الجانب الأيسر من المساواة ، والذي لا يمكن أن يساوي -1 بأي شكل من الأشكال.

في الحالة الثانية ، يمكن اعتبار مجموع تعبيرين موجبين مساوياً للصفر فقط عندما تكون x - 3 = 0 و x + 3 = 0 في نفس الوقت. مرة أخرى ، هذا مستحيل. وهكذا ، في الإجابة ، يجب أن تكتب Ø مرة أخرى.

المثال الثالث مشابه جدًا للمثال السابق. في الواقع ، تتطلب شروط ODZ هنا استيفاء المتباينة السخيفة التالية: 5 x ≤ 2. ومثل هذه المعادلة بطريقة مماثلة لا يمكن أن يكون لها حلول سليمة.

تكبير غير محدود

يمكن شرح طبيعة اللاعقلاني بشكل أوضح وكامل ومعروف فقط من خلال سلسلة لا نهائية من الأعداد العشرية. والمحددة مثال رئيسيمن أفراد هذه العائلة بي. ليس بدون سبب ، يُفترض أن هذا الثابت الرياضي معروف منذ العصور القديمة ، حيث يتم استخدامه في حساب محيط ومساحة الدائرة. لكن بين الأوروبيين ، تم تطبيقه لأول مرة من قبل الإنجليزي ويليام جونز والسويسري ليونارد أويلر.

ينشأ هذا الثابت على النحو التالي. إذا قارنا أكثر المحيطات المختلفة ، فإن نسبة أطوالها وأقطارها تساوي بالضرورة نفس الرقم. هذا شكل pi. إذا عبرنا عنها من خلال كسر عادي ، فسنحصل على 22/7 تقريبًا. تم القيام بذلك لأول مرة بواسطة أرخميدس العظيم ، الذي تظهر صورته في الشكل أعلاه. لهذا السبب حصل رقم مشابه على اسمه. لكن هذه ليست قيمة صريحة ، ولكنها قيمة تقريبية ربما لأروع الأرقام. وجد العالم اللامع القيمة المرغوبة بدقة 0.02 ، ولكن في الواقع ، هذا الثابت ليس له قيمة حقيقية ، ولكن يُعبر عنه بـ 3.1415926535 ... إنه سلسلة لا نهائية من الأرقام ، تقترب إلى أجل غير مسمى من قيمة أسطورية معينة.

تربيع

لكن العودة إلى المعادلات غير المنطقية. للعثور على المجهول ، في هذه الحالة غالبًا ما يلجأ إلى طريقة بسيطة: تربيع كلا الجانبين من المساواة القائمة. عادة ما تعطي هذه الطريقة نتائج جيدة. ولكن يجب على المرء أن يأخذ بعين الاعتبار غدر القيم غير العقلانية. يجب فحص جميع الجذور التي تم الحصول عليها نتيجة لذلك ، لأنها قد لا تكون مناسبة.

لكن دعنا نواصل النظر في الأمثلة ونحاول إيجاد المتغيرات بالطريقة المقترحة حديثًا.

ليس من الصعب على الإطلاق ، باستخدام نظرية فييتا ، إيجاد القيم المرغوبة للكميات بعد ، نتيجة لبعض العمليات ، نكون قد شكلنا معادلة من الدرجة الثانية. هنا اتضح أنه من بين الجذور سيكون هناك 2 و -19. ومع ذلك ، عند التحقق ، استبدال القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي ، يمكنك التأكد من عدم ملاءمة أي من هذه الجذور. هذا أمر شائع في المعادلات غير المنطقية. هذا يعني أن معضلتنا مرة أخرى ليس لها حلول ، ويجب الإشارة إلى المجموعة الفارغة في الإجابة.

أمثلة أكثر تعقيدًا

في بعض الحالات ، يلزم تربيع جانبي التعبير ليس مرة واحدة ، بل عدة مرات. ضع في اعتبارك الأمثلة التي تتطلب ما ورد أعلاه. يمكن رؤيتها أدناه.

بعد تلقي الجذور ، لا تنس التحقق منها ، لأنه قد تنشأ جذور إضافية. يجب توضيح سبب إمكانية ذلك. عند تطبيق مثل هذه الطريقة ، يحدث ترشيد المعادلة بطريقة ما. لكن التخلص من الجذور التي نرفضها ، والتي تمنعنا من إجراء العمليات الحسابية ، فإننا ، كما كانت ، نوسع نطاق القيم الحالي ، وهو أمر محفوف بالعواقب (كما يمكنك أن تفهم). توقعًا لذلك ، نقوم بإجراء شيك. في هذه الحالة ، هناك فرصة للتأكد من أن واحدًا فقط من الجذور يناسب: x = 0.

الأنظمة

ماذا نفعل في الحالات التي يكون فيها مطلوبًا حل أنظمة المعادلات غير المنطقية ، وليس لدينا واحد ، ولكن مجاهلين كاملين؟ هنا نتقدم بنفس الطريقة كما في الحالات العادية ، ولكن مع مراعاة الخصائص المذكورة أعلاه لهذه التعبيرات الرياضية. وفي كل مهمة جديدة ، بالطبع ، يجب عليك تطبيق نهج إبداعي. لكن ، مرة أخرى ، من الأفضل التفكير في كل شيء مثال محددأقل. هنا ليس مطلوبًا فقط إيجاد المتغيرين x و y ، ولكن أيضًا للإشارة إلى مجموعهما في الإجابة. إذن ، هناك نظام يحتوي على كميات غير منطقية (انظر الصورة أدناه).

كما ترى ، فإن مثل هذه المهمة ليست صعبة بشكل خارق للطبيعة. تحتاج فقط إلى أن تكون ذكيًا وأن تخمن أن الجانب الأيسر من المعادلة الأولى هو مربع المجموع. تم العثور على مهام مماثلة في الاختبار.

اللاعقلاني في الرياضيات

في كل مرة ، ظهرت الحاجة إلى إنشاء أنواع جديدة من الأرقام للبشرية عندما تفتقر إلى "المساحة" لحل بعض المعادلات. الأرقام غير المنطقية ليست استثناء. كما تشهد الحقائق من التاريخ ، لفت الحكماء العظماء الانتباه إلى هذا الأمر لأول مرة حتى قبل عصرنا ، في القرن السابع. قام بذلك عالم رياضيات من الهند ، يُعرف باسم مانافا. لقد فهم بوضوح أنه من المستحيل استخراج جذر من بعض الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال ، هذه تشمل 2 ؛ 17 أو 61 ، بالإضافة إلى كثيرين آخرين.

توصل أحد الفيثاغورس ، وهو مفكر يُدعى هيباسوس ، إلى نفس النتيجة ، محاولًا إجراء حسابات باستخدام التعبيرات العددية لأضلاع الخماسي. بعد أن اكتشف عناصر رياضية لا يمكن التعبير عنها عدديًا وليس لها خصائص الأعداد العادية ، أغضب زملائه لدرجة أنه ألقى به في البحر. الحقيقة هي أن الفيثاغوريين الآخرين اعتبروا منطقه تمردًا على قوانين الكون.

علامة راديكالية: التطور

بدأ استخدام علامة الجذر للتعبير عن القيمة العددية لأعداد "الصم" في حل المتباينات غير المنطقية والمعادلات بعيدًا عن الفور. لأول مرة ، بدأ علماء الرياضيات الأوروبيون ، وخاصة الإيطاليون ، في التفكير في الراديكالية في القرن الثالث عشر. في الوقت نفسه ، توصلوا إلى فكرة استخدام اللاتينية R للتسمية ، لكن علماء الرياضيات الألمان تصرفوا بشكل مختلف في أعمالهم. لقد أحبوا الحرف V أكثر ، وسرعان ما انتشرت التسمية V (2) و V (3) ، والتي كانت تهدف للتعبير عن الجذر التربيعي للعدد 2 و 3 وما إلى ذلك. في وقت لاحق ، تدخل الهولنديون وغيروا علامة الراديكالي. وأكمل رينيه ديكارت التطور ، جاعلاً علامة الجذر التربيعي إلى الكمال الحديث.

التخلص من اللاعقلاني

قد تتضمن المعادلات غير المنطقية والمتباينات متغيرًا ليس فقط تحت علامة الجذر التربيعي. يمكن أن يكون من أي درجة. الطريقة الأكثر شيوعًا للتخلص منها هي رفع طرفي المعادلة إلى القوة المناسبة. هذا هو الإجراء الرئيسي الذي يساعد في العمليات مع اللاعقلاني. لا تختلف الإجراءات في بعض الحالات بشكل خاص عن تلك التي قمنا بتحليلها مسبقًا. هنا ، يجب مراعاة شروط عدم سلبية التعبير الجذري ، وأيضًا في نهاية الحل ، من الضروري استبعاد القيم الدخيلة للمتغيرات بالطريقة التي تم عرضها في الأمثلة التي تم النظر فيها بالفعل.

من بين التحولات الإضافية التي تساعد في العثور على الإجابة الصحيحة ، غالبًا ما يتم استخدام ضرب التعبير بواسطة المرافق ، وغالبًا ما يكون من الضروري أيضًا إدخال متغير جديد ، مما يجعل الحل أسهل. في بعض الحالات ، لإيجاد قيمة المجهول ، يُنصح باستخدام الرسوم البيانية.