تاريخ تطوير حلول المعادلات التربيعية

أرسطو

دي مندليف

ابحث عن جوانب حقل له شكل مستطيل إذا كانت مساحته 12 ، أ

لنفكر في هذه المشكلة.

لنفترض أن x هو طول الحقل ، ثم يكون عرضه ،
هي منطقتها.
لنصنع معادلة تربيعية:
تعطي البردية قاعدة لقراره: "قسّم 12 على".
12: .
لذا، .
"طول الحقل 4" - مذكور في البردية.

معادلة تربيعية مخفضة
أين توجد أي أرقام حقيقية.

في إحدى المهام البابلية ، كان مطلوبًا أيضًا تحديد طول حقل مستطيل (دعنا نشير إليه) وعرضه ().

عند إضافة طول وعرضين لحقل مستطيل ، تحصل على 14 ، ومساحة الحقل 24. ابحث عن جوانبها.

لنقم بعمل نظام معادلات:

من هنا نحصل على معادلة من الدرجة الثانية.

لحلها ، نضيف عددًا معينًا إلى التعبير ،

للحصول على مربع كامل:

بالتالي، .

بشكل عام ، المعادلة التربيعية

له جذور:

ديوفانت
عالم رياضيات يوناني قديم عاش على الأرجح في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. مؤلف كتاب "الحساب" - كتاب مخصص لحل المعادلات الجبرية.
في الوقت الحاضر ، عادة ما تُفهم "معادلات ديوفانتين" على أنها معادلات ذات معاملات عدد صحيح ، يجب إيجاد حلول لها بين الأعداد الصحيحة. كان Diophantus أيضًا من أوائل الذين طوروا تدوينًا رياضيًا.

"أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

سيكون أحد الأرقام أكثر من نصف مجموعهم ، أي 10+ ، والآخر أقل ، أي 10-.

ومن هنا جاءت المعادلة () () = 96

إليكم إحدى مشاكل المشاهير

عالم الرياضيات الهندي من القرن الثاني عشر باسكارا:

قطيع فريسكي من القرود

الأكل الجيد والاستمتاع.

مربعهم الجزء الثامن

يلهون في المرج.

واثنا عشر في الكروم ...

بدأوا في القفز ، معلقين ...

كم عدد القردة

أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.
الحل المقابل للمعادلة

يكتب بهاسكارا في شكل وإكمال الجهه اليسرىفي هذه المعادلة للمربع ، نضيف 32 2 لكلا الطرفين ، وبذلك نحصل على

"الجبر" - الاستعادة - الخورزمي دعا إلى عملية الاستبعاد من كلا الجزأين من معادلة الأعضاء السلبيين عن طريق إضافة أعضاء متساوين ، ولكن معارضة في التوقيع.

"المكبالة" - المعارضة - التخفيض في أجزاء معادلة الأعضاء أنفسهم.

حكم الجبر

عند حل المعادلة

إذا كان في الجزء الأول ،

لا يهم ماذا

قابل العضو السلبي ،

نحن على كلا الجزئين

نعطي عضوا متساويا ،

فقط بإشارة أخرى ،

وسنجد نتيجة إيجابية.

1) المربعات تساوي الجذور ، أي ؛

2) المربعات تساوي عددًا ، أي ؛

3) الجذور تساوي العدد ، أي ؛

4) المربعات والأرقام تساوي الجذور ، أي ؛

5) المربعات والجذور تساوي عددًا ، أي ؛

6) الجذور والأرقام تساوي المربعات أي.

مهمة . المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن جذر.

المحلول. اقسم عدد الجذور إلى النصف - تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ،

اطرح 21 من حاصل الضرب ، واترك 4.

خذ الجذر التربيعي لـ 4 لتحصل على 2.

اطرح 2 من 5 - تحصل على 3 ، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف إلى الرقم 5 ، وهو ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

ولد فيبوناتشي بالإيطالية مجمع تجاريمدينة بيزا ، على الأرجح في سبعينيات القرن الحادي عشر. . في عام 1192 تم تعيينه لتمثيل مستعمرة بيزان التجارية في شمال إفريقيا. بناءً على طلب والده ، انتقل إلى الجزائر ودرس الرياضيات هناك. في عام 1200 ، عاد ليوناردو إلى بيزا وبدأ في كتابة أول أعماله ، كتاب العداد. [ . وفقًا لمؤرخ الرياضيات أ.ب. يوشكيفيتش يرتفع كتاب العداد بحدة فوق الأدب الحسابي والجبر الأوروبي في القرنين الثاني عشر والرابع عشر من خلال تنوع وقوة الأساليب ، وثراء المشاكل ، ودليل العرض ... استمد علماء الرياضيات اللاحقون منه على نطاق واسع مشاكل و طرق حلها ».

دعنا نرسم الدالة

الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ تتجه فروعه لأعلى منذ ذلك الحين

2) إحداثيات رأس القطع المكافئ

تحدث دبليو سوير :

"غالبًا ما يكون أكثر فائدة لطالب الجبر أن يحل المشكلة نفسها في ثلاثة طرق مختلفةمن حل ثلاث أو أربع مهام مختلفة. حل مشكلة واحدة أساليب مختلفة، يمكنك معرفة أيهما أقصر وأكثر كفاءة عن طريق المقارنة. هذه هي الطريقة التي تصنع بها التجربة ".

"المدينة وحدة من يختلفون"

أرسطو

"الرقم الذي يتم التعبير عنه بعلامة عشرية سيقرأه ألماني وروسي وعربي ويانكي بنفس الطريقة"

وزارة التربية والتعليم بجمهورية تتارستان

مؤسسة تعليمية الميزانية البلدية

مدرسة اسعد الثانوية

فيسوكوجورسكي منطقة البلديةجمهورية تتارستان "

عمل بحثي:

"قصة حادثةميدان المعادلات»

أكمله: أندريفا إيكاترينا ،

8B فئة طالب

المستشار العلمي:

بوزارسكايا تاتيانا ليونيدوفنا ،

مدرس رياضيات

مقدمة

من يريد أن يقتصر على الحاضر

دون معرفة الماضي ،

لن يفهم ابدا.

ج. لايبنيز

تأخذ المعادلات في دورة الرياضيات المدرسية مكانة رائدة، ولكن لم تجد أيًا من أنواع المعادلات مثل هذا تطبيق واسعمثل المعادلات التربيعية.

معادلة الدرجة الثانية أو المعادلات التربيعية ، كان الناس قادرين على حلها حتى في بابل القديمة في الألفية الثانية قبل الميلاد. تمت مناقشة المشكلات التي تؤدي إلى المعادلات التربيعية في العديد من المخطوطات والأطروحات الرياضية القديمة. وفي الوقت الحاضر ، يتم أيضًا حل العديد من مشاكل الجبر والهندسة والفيزياء باستخدام المعادلات التربيعية. من خلال حلها ، يجد الناس إجابات على أسئلة مختلفةالعلوم والتكنولوجيا.

استهداف هذه الدراسة- دراسة تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

لتحقيق هذا الهدف لا بد من حل المهام التالية:

ادرس المؤلفات العلمية حول الموضوع.
تتبع تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

موضوع الدراسة:المعادلات التربيعية.

موضوع الدراسة:تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

أهمية الموضوع :

كان الناس يحلون المعادلات التربيعية منذ العصور القديمة. أردت معرفة تاريخ أصل المعادلات التربيعية.
لا توجد معلومات في الكتب المدرسية حول تاريخ ظهور المعادلات التربيعية.

طرق البحث:

العمل مع المؤلفات العلمية التربوية والشعبية.
الملاحظة والمقارنة والتحليل.

تكمن القيمة العلمية للعمل ، في رأيي ، في حقيقة أن هذه المادة قد تكون ذات فائدة لأطفال المدارس المولعين بالرياضيات والمعلمين في الفصول الاختيارية.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة.

في بابل القديمة ، كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد المناطق قطع ارضومع أعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها.

بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

× 2 - س \ u003d 14.5

على الرغم من مستوى عالتطور الجبر في بابل ، والنصوص المسمارية تفتقر إلى المفهوم عدد السلبيو الطرق الشائعةحلول المعادلات التربيعية.

مثال مأخوذ من أحد الألواح الطينية من هذه الفترة.

"مساحة مجموع مربعين هي 1000. ضلع أحد المربعات هو ضلع المربع الآخر ناقص 10. ما هي أضلاع المربعات؟"

يؤدي هذا إلى معادلات يختصر حلها في حل معادلة تربيعية لها جذر موجب.

في الواقع ، يقتصر الحل في النص المسماري ، كما هو الحال في جميع المسائل الشرقية ، على تعداد بسيط لخطوات الحساب اللازمة لحل المعادلة التربيعية:

”سكوير 10؛ هذا يعطي 100 ؛ اطرح 100 من 1000 ؛ هذا يعطي 900 "إلخ

كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية

يمثل Diophantus أحد أكثر ألغاز صعبةفي تاريخ العلم. كان أحد علماء الرياضيات اليونانيين القدماء الأكثر أصالة وكان ديوفانتوس الإسكندري ، الذي كانت أعماله أهمية عظيمةللجبر ونظرية الأعداد. حتى الآن ، لم يتم توضيح سنة ولادة ولا تاريخ وفاة ديوفانتوس. الفترة الزمنية التي كان يمكن أن يعيش فيها Diophantus هي نصف ألف عام! يُعتقد أنه عاش في القرن الثالث الميلادي. لكن مكان إقامة Diophantus معروف جيدًا - هذه هي الإسكندرية الشهيرة ، مركز الفكر العلمي للعالم الهلنستي.

من بين أعمال ديوفانتوس ، أهمها الحساب ، حيث لم يتبق منها سوى 13 كتابًا حتى يومنا هذا.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق صياغة المعادلات. درجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

مهمة: "أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يجادل Diophantus على النحو التالي: ينتج عن حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فلن يكون ناتجها 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهم أكثر من نصف المجموع ، أي. 10 + سوالآخر أصغر أي 10's. الفرق بينهما 2x.

ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2-4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة هو 12 ، آخر 8 . المحلول س = -2بالنسبة إلى Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المرغوبة باعتباره المجهول ، فسنصل إلى حل المعادلة

ص (20 - ص) = 96 ،

ص 2 - 20 ص + 96 = 0. (2)

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

المعادلات التربيعية من حساب Diophantus:

12 × 2 + س = 1
630 × 2 + 73 × = 6.

حتى في العصور القديمة ، اشتهرت الهند بمعرفتها في مجال علم الفلك والنحو وغيرها من العلوم.

حقق العلماء الهنود أكبر نجاح في مجال الرياضيات. لقد كانوا مؤسسي علم الحساب والجبر ، وذهبوا في تطويرهما إلى أبعد من الإغريق.

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam" ، التي جمعت في عام 499. عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، شرح قاعدة عامةحلول المعادلات التربيعية مختزلة إلى شكل أساسي واحد: ax 2 + bx = c ، a> 0.

يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.
في الهند القديمةكانت المسابقات العامة شائعة
في حل المشاكل الصعبة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "كما تشرق الشمس على النجوم بريقها ، كذلك رجل عالميحجب مجد آخر في الجلسات العامة ويقترح ويحل المسائل الجبرية.

غالبًا ما كانت المهام ملفوفة شكل شعري.
إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا:

« قطيع فريسكي من القرود ،

الأكل الجيد والاستمتاع.

الجزء الثامن منها مربع ،

يلهون في المرج.

واثنا عشر في الكروم ...

بدأوا في القفز ، معلقين ...

كم عدد القردة

أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

المعادلة المقابلة للمشكلة

يكتب Bhaskara كـ x 2 - 64x \ u003d -768 ، ومن أجل إكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، أضف 32 2 إلى كلا الجزأين ، ثم احصل على:

× 2 -64 × + 32 2 \ u003d -768 + 1024 ،

× 1 = 16 ، × 2 = 48.

المعادلات التربيعية في الصين (الألفية الأولى قبل الميلاد).

تعود أولى الآثار المكتوبة الصينية التي وصلت إلينا إلى عصر شانغ (القرنان الثامن عشر والثاني عشر قبل الميلاد). وبالفعل على عظام الكهانة في القرن الرابع عشر. قبل الميلاد e. ، الموجود في Henan ، تم الحفاظ على تدوين الأرقام. لكن الازدهار الحقيقي للعلم بدأ بعد القرن الثاني عشر. قبل الميلاد ه. تم غزو الصين من قبل البدو الرحل زو. خلال هذه السنوات ، نشأت الرياضيات الصينية وعلم الفلك ووصلت إلى ارتفاعات مذهلة. ظهرت أول تقويمات وكتب رياضيات دقيقة. لسوء الحظ ، فإن "إبادة الكتب" للإمبراطور تشين شي هوانغ (شي هوانغدي) لم تسمح للكتب الأولى بالوصول إلينا ، لكنها على الأرجح شكلت أساس الأعمال اللاحقة.

"الرياضيات في تسعة كتب" هي أول مقال رياضي من سلسلة كلاسيكية في الصين القديمة ، نصب تذكاري رائع الصين القديمةعصر أسرة هان المبكرة (206 ق.م - 7 م). يحتوي هذا المقال على مادة رياضية متنوعة وغنية ، بما في ذلك المعادلات التربيعية.

المهمة الصينية: "يوجد خزان بجانب 10 تشي. في وسطها تنمو القصب ، والتي تبرز فوق الماء لمدة 1 تشي. إذا قمت بسحب القصبة إلى الشاطئ ، فسوف تلمسها فقط. والسؤال: ما هو عمق الماء وكم طول القصب؟

(س + 1) 2 \ u003d × 2 +5 2 ،

x 2 + 2x + 1 \ u003d x 2 +25 ،

الجواب: 12chi؛ 13 ح.

معادلات الخوارزمي التربيعية

"لقد صنعت كتاب قصيرحول حساب الجبر والمكابالا ، والذي يتضمن بسيط و أسئلة صعبةالحساب ، لأن الناس في حاجة إليه. الخوارزمي محمد بن موسى.

اشتهر الخوارزمي (أوزبكستان) بـ "كتاب التكميل والتباين" ("الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقبلة") ، الذي اشتُق منه اسم "الجبر". . هذه الأطروحة هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم تقديم تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم صيغ لحلها.

في الجزء النظري من أطروحته ، قدم الخوارزمي تصنيفًا للمعادلات من الدرجة الأولى والثانية وحدد ستة من أنواعها:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax 2 = bx. (مثال:)

2) "المربعات تساوي رقمًا" ، أي فأس 2 \ u003d ق. (مثال :)

3) "الجذور تساوي العدد" أي فأس \ u003d ج. (مثال:)

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax 2 + c = bx. (مثال:)

5) "المربعات والجذور تساوي الرقم" ، أي ax 2 + bx \ u003d c.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي ب س + ج == فأس 2. (مثال:)

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراره ، بالطبع ، لا يتوافق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، تجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول ، فإن الخوارزمي ، مثله مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الاعتبار الصفر. ربما لأنه في مهام عملية محددة ، لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة ، ثم البراهين الهندسية.

لنأخذ مثالا.

"المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. ابحث عن الجذر "(بافتراض جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يقرأ حل المؤلف شيئًا كالتالي: "اقسم عدد الجذور إلى النصف ، تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ، اطرح 21 من الناتج ، 4 باقٍ. خذ جذر 4 ، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3 ، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

معادلة الخوارزمي الشهيرة: "مربع وعشرة جذور يساوي 39". x 2 + 10x= 39 (القرن التاسع). كتب في أطروحته: "القاعدة هي: إذا ضاعفت عدد الجذور ، تحصل على خمسة في هذه المسألة. أضف ذلك إلى 39 ، فهو 64. خذ جذرًا من هذا ، سيكون هناك ثمانية ، واطرح من هذا النصف عدد الجذور ، أي خمسة ، سيكون هناك ثلاثة: سيكون هذا هو جذر المربع الذي كنت تبحث عنه "

المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثاني عشر والسابع عشر.

تم وصف أشكال حل المعادلات التربيعية على نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" ، الذي كتب عام 1202. عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. طور المؤلف بشكل مستقل بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان أول من اقترب من إدخال الأرقام السالبة في أوروبا.

ساهم هذا الكتاب في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم نقل العديد من المهام من هذا الكتاب إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. تمت صياغة القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية إلى الشكل x 2 + bx \ u003d c مع جميع التوليفات الممكنة من العلامات والمعاملات b، c في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وآخرين طريقة العلماءيحل المعادلات التربيعية يأخذ نظرة حديثة.

استنتاج.

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي تقوم عليه مبنى مهيبالجبر. تم حل المعادلات المختلفة ، من الدرجة الثانية والمعادلات ذات الدرجات الأعلى ، من قبل أسلافنا البعيدين. تم حل هذه المعادلات في أكثر البلدان اختلافًا وبُعدًا عن بعضها البعض. كانت الحاجة إلى المعادلات كبيرة. تم استخدام المعادلات في البناء والشؤون العسكرية وفي مواقف الحياة اليومية.

في الوقت الحاضر ، تعد القدرة على حل المعادلات التربيعية أمرًا ضروريًا للجميع. تسهل القدرة على حل المعادلات التربيعية بسرعة وعقلانية وبشكل صحيح اجتياز العديد من موضوعات دورة الرياضيات. يتم حل المعادلات التربيعية ليس فقط في دروس الرياضيات ، ولكن أيضًا في دروس الفيزياء والكيمياء وعلوم الكمبيوتر. معظم المشاكل العملية العالم الحقيقييقلل أيضًا من حل المعادلات التربيعية.

المؤلفات

معادلات Bashmakova I.G Diophantine و Diophantine. موسكو: Nauka ، 1972.
بيريزكينا إي. رياضيات الصين القديمة - م: نوكا ، 1980
Pichurin L.F. خلف صفحات كتاب الجبر: كتاب. للطلاب

7-9 خلايا. المدرسة المتوسطة - م: التنوير ، 1990

Glazer G. I. تاريخ الرياضيات في المدرسة السابع - الصف الثامن. دليل للمعلمين. - م: التنوير ، 1982.

1.1 من تاريخ ظهور المعادلات التربيعية

نشأ الجبر فيما يتعلق بحل مشاكل مختلفة باستخدام المعادلات. عادة في المشاكل هو مطلوب للعثور على واحد أو عدة مجاهيل ، مع معرفة نتائج بعض الإجراءات التي يتم تنفيذها على الكميات المرغوبة والمحددة. يتم تقليل هذه المشكلات إلى حل واحد أو نظام من عدة معادلات ، لإيجاد المعادلات المرغوبة بمساعدة العمليات الجبرية على كميات معينة. دراسات الجبر الخصائص العامةالإجراءات على الكميات.

عُرفت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية منذ 4000 عام في بابل القديمة.

المعادلات التربيعية في بابل القديمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ، ولكن أيضًا من الدرجة الثانية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مناطق الأرض وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية ، وكذلك تطوير علم الفلك و الرياضيات نفسها. عرف البابليون كيفية حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. بتطبيق تدوين جبري حديث ، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية توجد ، بالإضافة إلى النصوص غير المكتملة ، على سبيل المثال ، معادلات تربيعية كاملة:

تتطابق قاعدة حل هذه المعادلات ، المنصوص عليها في النصوص البابلية ، بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة ، لكن من غير المعروف كيف جاء البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا كل النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن لا تقدم سوى مشاكل تتعلق بالحلول المذكورة في شكل وصفات ، مع عدم وجود إشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي حساب Diophantus 'الحسابي على عرض منهجي للجبر ، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل ، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق وضع معادلات بدرجات مختلفة.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 2. "ابحث عن رقمين ، مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96."

يجادل Diophantus على النحو التالي: يترتب على حالة المشكلة أن الأرقام المرغوبة ليست متساوية ، لأنه إذا كانت متساوية ، فإن منتجها لن يساوي 96 ، بل 100. وهكذا ، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهم ، أي .10 + س. الآخر أصغر ، أي 10 - س. الفرق بينهما هو 2x. ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10-س) = 96 ،

ومن ثم فإن x = 2. أحد الأرقام المرغوبة هو 12 ، والآخر هو 8. الحل x = - 2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المجهولة على أنه المجهول ، فيمكننا الوصول إلى حل المعادلة:

من الواضح أن Diophantus يبسط الحل باختيار نصف فرق الأرقام المرغوبة على أنها غير معروفة ؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة.

المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في الأطروحة الفلكية Aryabhattam ، التي جمعتها في 499 عالم الرياضيات والفلك الهندي أرياباتا. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

فأس 2 + ب س \ u003d ج ، أ> 0. (1)

في المعادلة (1) يمكن أن تكون المعاملات سالبة. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على المجد في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

يشير حل Bhaskara إلى أن المؤلف كان على دراية بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية.

المعادلة المقابلة للمشكلة 3 هي:

يكتب باسكارا تحت ستار:

× 2 - 64 × = - 768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة للمربع ، نضيف 32 2 لكلا الجانبين ، ثم نحصل على:

× 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024 ،

(س - 32) 2 = 256 ،

× 1 = 16 ، × 2 = 48.

معادلات الخوارزمي التربيعية

تعطي أطروحة الخوارزمي الجبرية تصنيفًا للمعادلات الخطية والتربيعية. يسرد المؤلف 6 أنواع من المعادلات ، معربًا عنها على النحو التالي:

1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax 2 = bx.

2) "المربعات تساوي العدد" ، أي ax 2 = c.

3) "الجذور تساوي العدد" أي فأس \ u003d ج.

4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax 2 + c = bx.

5) "المربعات والجذور تساوي الرقم" ، أي ax 2 + bx \ u003d c.

6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي ب س + ج == فأس 2.

بالنسبة للخوارزمي ، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة ، فإن مصطلحات كل من هذه المعادلات هي عمليات الجمع ، وليس الطرح. في هذه الحالة ، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول إيجابية لا تؤخذ في الاعتبار. يحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام طريقتي الجبر والمقبلة. قراره ، بالطبع ، لا يتوافق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن حقيقة أنها بلاغية بحتة ، وتجدر الإشارة ، على سبيل المثال ، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير مكتملة من النوع الأول ، فإن الخوارزمي ، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر ، لا يأخذ في الاعتبار الصفر. ربما لأنه في مهام عملية محددة ، لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة ، يضع الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة ، ثم البراهين الهندسية.

لنأخذ مثالا.

المسألة 4. "المربع والرقم 21 يساوي 10 جذور. أوجد الجذر "(أي جذر المعادلة x 2 + 21 \ u003d 10x).

الحل: قسّم عدد الجذور إلى النصف ، تحصل على 5 ، اضرب 5 في نفسه ، اطرح 21 من الناتج ، يتبقى 4. خذ جذر 4 ، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3 ، هذا سيكون الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5 ، ما يعطينا 7 ، فهذا أيضًا جذر.

أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا ، حيث يتم تقديم تصنيف المعادلات التربيعية بشكل منهجي وتقديم الصيغ لحلها.

المعادلات التربيعية في أوروبا القرنين الثاني عشر والسابع عشر.

ساهم هذا الكتاب في انتشار المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا ، ولكن أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم نقل العديد من المهام من هذا الكتاب إلى جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. تمت صياغة القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية إلى شكل أساسي واحد x 2 + bx \ u003d c مع جميع التوليفات الممكنة من العلامات والمعاملات b ، c ، في أوروبا عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

لدى Vieta اشتقاق عام لصيغة حل المعادلة التربيعية ، لكن فييتا أدركت الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. تأخذ في الاعتبار ، بالإضافة إلى الجذور الإيجابية والسلبية. فقط في القرن السابع عشر. بفضل أعمال جيرارد وديكارت ونيوتن وعلماء آخرين ، تتخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلاً حديثًا ..

ترتبط أصول الأساليب الجبرية لحل المشكلات العملية بالعلم العالم القديم. كما هو معروف من تاريخ الرياضيات ، فإن جزءًا كبيرًا من المشكلات ذات الطبيعة الرياضية ، التي تم حلها بواسطة أجهزة الكمبيوتر المصرية والسومرية والبابلية (القرنان السادس والعشرون قبل الميلاد) ، كان لها طبيعة محسوبة. ومع ذلك ، حتى ذلك الحين ، من وقت لآخر ، ظهرت مشاكل حيث تم تحديد القيمة المرغوبة للكمية من خلال بعض الشروط غير المباشرة ، مما يتطلب ، من وجهة نظرنا الحديثة ، صياغة معادلة أو نظام معادلات. في البداية ، تم استخدام الطرق الحسابية لحل مثل هذه المشاكل. في وقت لاحق ، بدأت بدايات التمثيلات الجبرية في التكون. على سبيل المثال ، كانت الآلات الحاسبة البابلية قادرة على حل المسائل التي يمكن اختزالها من حيث التصنيف الحديثلمعادلات الدرجة الثانية. تم إنشاء طريقة لحل مشاكل النص ، والتي استخدمت فيما بعد كأساس لإبراز المكون الجبري ودراسته المستقلة.

تم إجراء هذه الدراسة بالفعل في عصر آخر ، أولاً من قبل علماء الرياضيات العرب (القرنين السادس والعاشر بعد الميلاد) ، الذين حددوا الإجراءات المميزة التي تم بها اختزال المعادلات إلى طريقة العرض القياسيةتقليل المصطلحات المماثلة ، ونقل المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير العلامة. ثم قام علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة ، نتيجة بحث طويل ، بإنشاء لغة الجبر الحديثة ، واستخدام الحروف ، وإدخال الرموز للعمليات الحسابية ، والأقواس ، إلخ. في مطلع القرن السادس عشر- القرن السابع عشر. الجبر كجزء محدد من الرياضيات ، والذي له موضوعه وطريقته ومجالات تطبيقه ، قد تم تشكيله بالفعل. تمثّل تطويرها الإضافي ، حتى وقتنا هذا ، في تحسين الأساليب ، وتوسيع نطاق التطبيقات ، وتوضيح المفاهيم وعلاقاتها بمفاهيم فروع الرياضيات الأخرى.

لذلك ، نظرًا لأهمية واتساع المادة المرتبطة بمفهوم المعادلة ، فإن دراستها في المنهجية الحديثةترتبط الرياضيات بثلاثة مجالات رئيسية من أصلها وأدائها.

X 2 + X = * ؛ X 2 - س = 14.5

على الرغم من ارتفاع مستوى تطور علم الجبر في بابل ، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم الرقم السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية.

عند تجميع المعادلات ، يختار Diophantus بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

هنا ، على سبيل المثال ، هي إحدى مهامه.

المهمة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

ومن هنا جاءت المعادلة:

(10 + س) (10 - س) = 96

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأرقام المرغوبة باعتباره المجهول ، فسنصل إلى حل المعادلة

ص (20 - ص) = 96 ،

في 2 - 20 ص + 96 = 0. (2)

المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور بالفعل على مشاكل المعادلات التربيعية في المسالك الفلكية "Aryabhattam" ، التي جمعت في 499 من قبل عالم الرياضيات والفلك الهندي Aryabhatta. حدد عالم هندي آخر ، Brahmagupta (القرن السابع) ، القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية التي تم تقليصها إلى شكل أساسي واحد:

أوه 2 + ب س = ج ، أ> 0. (1)

في المعادلة (1) ، المعاملات ، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. يتطابق حكم براهماغوبتا بشكل أساسي مع حكمنا.

في الهند القديمة ، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. في أحد الكتب الهندية القديمة ، قيل ما يلي عن مثل هذه المسابقات: "عندما تشرق الشمس على النجوم بتألقها ، فإن الشخص المتعلم سوف يتفوق على مجد آخر في الاجتماعات العامة ، ويقترح ويحل المسائل الجبرية." غالبًا ما كانت ترتدي المهام في شكل شعري.

إليكم إحدى مشكلات عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارا.

المهمة 13.

"قطيع مرح من القرود واثنا عشر في الكروم ...

بعد أن أكل السلطة ، استمتع. بدأوا في القفز ، معلقين ...

الجزء الثامن منهم في مربع كم عدد القردة هناك ،

يلهون في المرج. أخبرني ، في هذا القطيع؟

يشير حل باسكارا إلى أنه كان على علم بالقيمة الثنائية لجذور المعادلات التربيعية (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمسألة 13 هي:

(× / 8) 2 + 12 = س

يكتب باسكارا تحت ستار:

X 2 - 64 × = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع ، يضيف إلى كلا الجانبين 32 2 ، ثم الحصول على:

X 2 - 64 × + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

س - 32 = ± 16 ،

X 1 = 16 ، س 2 = 48.

كيف قام ديوفانتوس بتجميع وحل المعادلات التربيعية. ومن هنا جاءت المعادلة: (10 + x) (10 - x) \ u003d 96 أو: 100 - x2 \ u003d 96 x2 - 4 \ u003d 0 (1) الحل x \ u003d -2 لـ Diophantus غير موجود ، لأن الرياضيات اليونانية يعرف الأرقام الموجبة فقط.

Src = "https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt = "(! LANG: المعادلات التربيعية في الهند. ax2 + bx = c، a> 0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

المعادلات التربيعية في الخورزمي. 1) "المربعات تساوي الجذور" ، أي ax2 + c \ u003d bx. 2) "المربعات تساوي الرقم" ، أي ax2 = c. 3) "الجذور تساوي العدد" أي ah \ u003d c. 4) "المربعات والأرقام تساوي الجذور" ، أي ax2 + c = bx. 5) "المربعات والجذور تساوي عددًا" ، أي ax2 + bx = c. 6) "الجذور والأرقام تساوي المربعات" ، أي bx + c \ u003d ax2.

المعادلات التربيعية في أوروبا في القرنين الثالث عشر والسابع عشر. x2 + bx = c ، مع كل التوليفات الممكنة لعلامات المعاملين b ، c تمت صياغتها في أوروبا فقط في 1544 بواسطة M. Stiefel.

في نظرية فييتا. "إذا كان B + D مضروبًا في A - A 2 يساوي BD ، فإن A يساوي B ويساوي D." بلغة الجبر الحديثة ، تعني صيغة فييتا أعلاه: إذا (أ + ب) س - س 2 = أب ، أي س 2 - (أ + ب) س + أب = 0 ، إذن س 1 = أ ، س 2 = ب.

طرق حل المعادلات التربيعية. 1. الطريقة: تحلل الجانب الأيسر من المعادلة إلى عوامل. حل المعادلة x2 + 10 x - 24 = 0. حلل الجانب الأيسر إلى عوامل: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2). لذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: (س + 12) (س - 2) = 0 بما أن المنتج يساوي صفرًا ، فإن أحد عواملها على الأقل هو صفر. لذلك ، يختفي الجانب الأيسر من المعادلة عند x = 2 وأيضًا عند x = - 12. وهذا يعني أن الرقم 2 و - 12 هما جذور المعادلة x2 + 10 x - 24 = 0.

2. الطريقة: طريقة اختيار مربع كامل. لنحل المعادلة x2 + 6 x - 7 = 0. اختر مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر. للقيام بذلك ، نكتب التعبير x2 + 6 x بالشكل التالي: x2 + 6 x \ u003d x2 + 2 x 3. في التعبير الناتج ، يكون المصطلح الأول هو مربع الرقم x ، والثاني هو حاصل ضرب مضاعف لـ x في 3. لذلك ، للحصول على مربع كامل ، عليك إضافة 32 ، لأن x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3) 2. نقوم الآن بتحويل الجانب الأيسر من المعادلة x2 + 6 x - 7 \ u003d 0 ، ونضيف إليها ونطرح 32. لدينا: x2 + 6 x - 7 \ u003d x2 + 2 x 3 + 32-7 \ u003d (x + 3) 2-9-7 \ u003d (x + 3) 2 - 16. وهكذا ، يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي: (x + 3) 2-16 \ u003d 0 ، (x + 3) 2 \ u003d 16 . لذلك ، x + 3 - 4 \ u003d 0 ، x1 = 1 ، أو x + 3 = -4 ، x2 = -7.

3. الطريقة: حل المعادلات التربيعية بالصيغة. اضرب طرفي المعادلة ax2 + bx + c = 0 ، a ≠ 0 في 4 a وعلى التوالي لدينا: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0، ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - ب 2 + 4 أك = 0 ، (2 فأس + ب) 2 = ب 2-4 أك ، 2 فأس + ب = ± √ ب 2-4 أك ، 2 فأس = - ب ± √ ب 2-4 أك و

4. الطريقة: حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا. كما تعلم ، فإن المعادلة التربيعية المعطاة لها الشكل x2 + px + c \ u003d 0. (1) تتوافق جذورها مع نظرية Vieta ، والتي بالنسبة لـ a \ u003d 1 لها الشكل x 1 x 2 \ u003d q ، x 1 + × 2 \ u003d - ص أ) × 2-3 × + 2 = 0 ؛ x 1 = 2 و x 2 = 1 ، حيث أن q = 2> 0 و p = - 3 0 و p = 8> 0. ب) x 2 + 4 x - 5 = 0 ؛ × 1 \ u003d - 5 و × 2 \ u003d 1 ، منذ ف \ u003d - 5 0 ؛ × 2-8 × - 9 = 0 ؛ × 1 \ u003d 9 و × 2 \ u003d - 1 ، منذ ف \ u003d - 9

5. الطريقة: حل المعادلات باستخدام طريقة "النقل". ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية ax2 + bx + c \ u003d 0 ، حيث a ≠ 0. بضرب أجزائه في a ، نحصل على المعادلة a 2 x2 + abx + ac \ u003d 0. دع الفأس \ u003d y ، من أين س \ u003d ذ / أ ؛ ثم نصل إلى المعادلة y2 + by + ac = 0 ، وهو ما يعادل المعطى المعطى. نجد جذريها y1 و y2 باستخدام نظرية فييتا. أخيرًا ، نحصل على x1 = y1 / a و x1 = y2 / a.

مثال. لنحل المعادلة 2 × 2 - 11 × + 15 = 0. الحل. "ارمي" المعامل 2 إلى الحد الحر ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة y2 - 11 y + 30 = 0. وفقًا لنظرية Vieta ، y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 الإجابة : 2 ، 5 ؛ 3. × 1 = 2 ، 5 × 2 = 3.

6. الطريقة: خصائص معاملات المعادلة التربيعية. A. دع المعادلة التربيعية ax2 + bx + c \ u003d 0 تُعطى ، حيث a ≠ 0. 1) إذا ، a + b + c \ u003d 0 (أي مجموع المعاملات هو صفر) ، ثم x1 \ u003d 1 ، x2 \ u003d ج / أ. دليل - إثبات. قسّم طرفي المعادلة على ≠ 0 ، نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة x 2 + b / a x + c / a \ u003d 0. وفقًا لنظرية Vieta x 1 + x 2 \ u003d - b / a، x 1 × 2 \ u003d 1 ج / أ. حسب الشرط أ - ب + ج = 0 ، من أين ب = أ + ج. وبالتالي ، x 1 + x 2 \ u003d - a + b / a \ u003d -1 - c / a ، x 1 x 2 \ u003d - 1 (- c / a) ، أي x1 \ u003d -1 و x2 \ u003d c / أ ، والتي كان من المقرر إثباتها.

إذا كان المعامل الثاني b \ u003d 2 k عددًا زوجيًا ، فإن صيغة الجذر C. المعادلة أعلاه x2 + px + q \ u003d 0 تتطابق مع المعادلة نظرة عامة، حيث أ = 1 ، ب = ص ، ج = ف. لذلك ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المختصرة ، صيغة الجذور

7. الطريقة: الحل الرسومي لمعادلة تربيعية. إذا قمنا في المعادلة x2 + px + q = 0 بنقل المصطلحين الثاني والثالث إلى الجانب الأيمن ، فسنحصل على x2 = - px - q. لنقم ببناء الرسوم البيانية للاعتماد y \ u003d x2 و y \ u003d - px - q.

مثال 1) دعونا نحل المعادلة بيانياً x2 - 3 x - 4 = 0 (الشكل 2). المحلول. نكتب المعادلة بالصيغة x2 \ u003d 3 x + 4. نقوم ببناء القطع المكافئ y \ u003d x2 والخط المستقيم y \ u003d 3 x + 4. يمكن إنشاء خط مستقيم y \ u003d 3 x + 4 باستخدام اثنين النقاط M (0 ؛ 4) و N (3 ؛ 13). الجواب: س 1 = - 1 ؛ س 2 = 4

8. الطريقة: حل المعادلات التربيعية بالبوصلة والمسطرة. إيجاد جذور بوصلة مربعة ومسطرة (الشكل 5). المعادلات بعد ذلك ، من خلال نظرية القاطع ، لدينا OB OD = OA OC ، حيث OC = OB OD / OA = x1 x2 / 1 = c / a. ax2 + bx + c = 0 مع

Src = "https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt = "(! LANG: 1) نصف قطر دائرة أكبر من تنسيق المركز (AS> SK أو R> a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. الطريقة: حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني. z 2 + pz + q = 0. تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 11): بافتراض OS = p ، ED = q ، OE = a (الكل في سم) ، من تشابه المثلثات SAN و CDF نحصل على النسبة

أمثلة. 1) بالنسبة للمعادلة z 2-9 z + 8 = 0 ، يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 8 ، 0 و z 2 = 1 ، 0 (الشكل 12). 2) باستخدام الرسم البياني ، نحل المعادلة 2 z 2-9 z + 2 = 0. اقسم معاملات هذه المعادلة على 2 ، نحصل على المعادلة z 2-4 ، 5 z + 1 = 0. يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 4 و z 2 = 0، 5. 3) بالنسبة للمعادلة z 2-25 z + 66 \ u003d 0 ، المعاملتان p و q خارج النطاق ، نقوم بإجراء الاستبدال z \ u003d 5 t ، نحن احصل على المعادلة t 2-5 t + 2 ، 64 \ u003d 0 ، والتي نحلها بواسطة المخططات البيانية ونحصل على t 1 = 0.6 و t 2 = 4.4 ، حيث z 1 = 5 t 1 = 3.0 و z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. الطريقة: طريقة هندسية لحل المعادلات التربيعية. أمثلة. 1) لنحل المعادلة x2 + 10 x = 39. في الأصل ، تمت صياغة هذه المسألة على النحو التالي: "الجذر التربيعي والعشرة يساوي 39" (الشكل 15). نحصل على الضلع المطلوب x من المربع الأصلي

y2 + 6 y - 16 = 0. الحل موضح في الشكل. 16 ، حيث y2 + 6 y = 16 ، أو y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. الحل. التعابير y2 + 6 y + 9 و 16 + 9 هي هندسيًا نفس المربع ، والمعادلة الأصلية y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 هي نفس المعادلة. من حيث نحصل على y + 3 = ± 5 ، أو y1 = 2 ، y2 = - 8 (الشكل 16).